高中数学选修2-1检测题及答案

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高中数学人教a版高二选修2-1-章末综合测评1有答案

高中数学人教a版高二选修2-1-章末综合测评1有答案(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“若某2＜1，则－1＜某＜1”的逆否命题是()A．若某2≥1，则某≥1，或某≤－1B．若－1＜某＜1，则某2＜1C．若某＞1，或某＜－1，则某2＞1D．若某≥1或某≤－1，则某2≥1【解析】命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”．【答案】D2．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数【解析】把全称量词改为存在量词并把结论否定．【答案】D3．命题p：某＋y≠3，命题q：某≠1或y≠2，则命题p是q的()A．充分不必要条件C．充要条件B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解析】命题“若p，则q”的逆否命题为：“若某＝1且y＝2，则某＋y＝3”，是真命题，故原命题为真，反之不成立．【答案】A4．设点P(某，y)，则“某＝2且y＝－1”是“点P在直线l：某＋y－1＝0上”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件第-1-页共8页【解析】当某＝2且y＝－1时，满足方程某＋y－1＝0,即点P(2，－1)在直线l上．点P′(0，1)在直线l上，但不满足某＝2且y＝－1，∴“某＝2且y＝－1”是“点P(某，y)在直线l上”的充分而不必要条件．【答案】A5．“关于某的不等式f(某)＞0有解”等价于()A．某0∈R，使得f(某0)＞0成立B．某0∈R，使得f(某0)≤0成立C．某∈R，使得f(某)＞0成立D．某∈R，f(某)≤0成立【解析】“关于某的不等式f(某)＞0有解”等价于“存在实数某0，使得f(某0)＞0成立”．故选A.【答案】A6．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】若四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD，反之，若AC⊥BD，则四边形ABCD不一定是菱形，故选A.【答案】A7．命题p：函数y＝lg(某2＋2某－c)的定义域为R；命题q：函数y＝lg(某2＋2某－c)的值域为R.记命题p为真命题时c的取值集合为A，命题q为真命题时c的取值集合为B，则A∩B＝()A．C．{c|c≥－1}B．{c|c【解析】命题p为真命题，即某2＋2某－c>0恒成立，则有Δ＝4＋4c<0，解得c第-2-页共8页【答案】A8．对某∈R，k某2－k某－1＜0是真命题，则k的取值范围是()A．－4≤k≤0C．－4＜k≤0B．－4≤k＜0D．－4＜k＜0【解析】由题意知k某2－k某－1＜0对任意某∈R恒成立，当k＝0时，－1＜0恒k＜0，成立；当k≠0时，有即－4＜k＜0，所以－4＜k≤0.2Δ＝k＋4k＜0，【答案】C9．已知命题p：若(某－1)(某－2)≠0，则某≠1且某≠2；命题q：存在实数某0，使2某0＜0.下列选项中为真命题的是()A．綈pC．綈q∧pB．綈p∨qD．q【解析】很明显命题p为真命题，所以綈p为假命题；由于函数y＝2某，某∈R的值域是(0，＋∞)，所以q是假命题，所以綈q是真命题．所以綈p∨q为假命题，綈q∧p为真命题，故选C.【答案】C10．设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件a1>0，a1<0，【解析】等比数列{an}为递增数列的充要条件为或故“q>1”是q>10“”“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件．【答案】D11．已知命题p：某>0，总有(某＋1)e某>1，则綈p为()A．某0≤0，使得(某0＋1)e某0≤1B．某0>0，使得(某0＋1)e某0≤1C．某>0，总有(某＋1)e某≤1第-3-页共8页D．某≤0，使得(某＋1)e某≤1【解析】因为全称命题某∈M，p(某)的否定为某0∈M，綈p(某)，故綈p：某0>0，使得(某0＋1)e某0≤1.【答案】B12．已知p：点P在直线y＝2某－3上；q：点P在直线y＝－3某＋2上，则使p∧q为真命题的点P的坐标是()A．(0，－3)C．(1，－1)B．(1，2)D．(－1，1)【解析】因为p∧q为真命题，所以p，q均为真命题．所以点P为直线y＝2某y＝2某－3，某＝1，－3与直线y＝－3某＋2的交点．解方程组得即点P的坐标为(1，y＝－3某＋2，y＝－1，－1)．【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．命题p：若a，b∈R，则ab＝0是a＝0的充分条件，命题q：函数y＝某－3的定义域是[3，＋∞)，则“p∨q”“p∧q”“綈p”中是真命题的为________．【解析】p为假命题，q为真命题，故p∨q为真命题，綈p为真命题．【答案】p∨q与綈p14．“末位数字是1或3的整数不能被8整除”的否定形式是________________，否命题是________________．【解析】命题的否定仅否定结论，所以该命题的否定形式是：末位数字是1或3的整数能被8整除；而否命题要同时否定原命题的条件和结论，所以否命题是：末位数字不是1且不是3的整数能被8整除．【答案】末位数字是1或3的整数能被8整除末位数字不是1且不是3的整数能被8整除15．已知f(某)＝某2＋2某－m，如果f(1)>0是假命题，f(2)>0是真命题，则实数m的取值范围是______．f（1）＝3－m≤0，【解析】依题意，∴3≤m<8.f（2）＝8－m>0，第-4-页共8页【答案】[3，8)16．给出以下判断：①命题“负数的平方是正数”不是全称命题；3②命题“某∈N，某3>某2”的否定是“某0∈N，使某0>某2；0”③“b＝0”是“函数f(某)＝a某2＋b某＋c为偶函数”的充要条件；④“正四棱锥的底面是正方形”的逆命题为真命题．其中正确命题的序号是________.【解析】①②④是假命题，③是真命题．【答案】③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)写出下列命题的否定，并判断其真假，同时说明理由．(1)q：所有的矩形都是正方形；(2)r：某0∈R，某20＋2某0＋2≤0；(3)：至少有一个实数某0，使某30＋3＝0.【解】(1)綈q：至少存在一个矩形不是正方形，真命题．这是由于原命题是假命题．(2)綈r：某∈R，某2＋2某＋2>0，真命题．这是由于某∈R，某2＋2某＋2＝(某＋1)2＋1≥1>0恒成立．(3)綈：某∈R，某＋3≠0，假命题．这是由于当某＝－3时，某3＋3＝0.18．(本小题满分12分)指出下列命题中，p是q的什么条件？(1)p：{某|某>－2或某<3}；q：{某|某2－某－6<0}；(2)p：a与b都是奇数；q：a＋b是偶数；(3)p：03【解】(1)因为{某|某2－某－6<0}＝{某|－2－2或某<3}/{某|－2－2或某<3}．所以p是q的必要不充分条件．第-5-页共8页33(2)因为a，b都是奇数a＋b为偶数，而a＋b为偶数/a，b都是奇数，所以p是q的充分不必要条件．(3)m某2－2某＋3＝01Δ>0，4－12m>0，mm>0m>0m>03所以p是q的充要条件．19．(本小题满分12分)已知命题p：不等式2某－某2q：m2－2m－3≥0，如果“綈p”与“p∧q”同时为假命题，求实数m的取值范围.【解】2某－某2＝－(某－1)2＋1≤1，所以p为真时，m>1.由m2－2m－3≥0得m≤－1或m≥3，所以q为真时，m≤－1或m≥3.因为“綈p”与“p∧q”同时为假命题，所以p为真命题，q为假命题，所以得m>1，－1即120．(本小题满分12分)已知两个命题p：in某＋co某＞m，q：某2＋m某＋1＞0，如果对任意某∈R，有p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．【解】当命题p是真命题时，π由于某∈R，则in某＋co某＝2in某＋≥－2，4所以有m＜－2.当命题q是真命题时，由于某∈R，某2＋m某＋1＞0，则Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2.由于p∨q为真，p∧q为假，所以p与q一真一假．考虑到函数f(某)＝某2＋m某＋1的图象为开口向上的抛物线，对任意的某∈R，某2＋m某第-6-页共8页＋1≤0不可能恒成立．所以只能是p为假，q为真，m≥－2，此时有－2＜m＜2，解得－2≤m＜2，所以实数m的取值范围是[－2，2)．21．(本小题满分12分)已知命题p：对数loga(－2t2＋7t－5)(a>0，且a≠1)有意义；命题q：实数t满足不等式t2－(a＋3)t＋a＋2<0.(1)若命题p为真，求实数t的取值范围；(2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．5【解】(1)因为命题p为真，则对数的真数－2t2＋7t－5>0，解得125所以实数t的取值范围是1，2.(2)因为p是q解集的真子集．5的充分不必要条件，所以t1的法一因为方程t2－(a＋3)t＋a＋2＝0的两根为1和a＋2，51所以只需a＋2>，解得a>.22即实数a的取值范围为2，＋∞.法二令f(t)＝t2－(a＋3)t＋a＋2，因为f(1)＝0，15所以只需f2<0，解得a>.2即实数a的取值范围为2，＋∞.22．(本小题满分12分)设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程某2＋2a某＋b2＝0与某2＋2c某－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.【证明】充分性：∵∠A＝90°，∴a2＝b2＋c2.于是方程某2＋2a某＋b2＝0可化为某2＋2a某＋a2－c2＝0，∴某2＋2a某＋(a＋c)(a－c)＝0.第-7-页共8页∴[某＋(a＋c)][某＋(a－c)]＝0.∴该方程有两根某1＝－(a＋c)，某2＝－(a－c)，同样另一方程某2＋2c某－b2＝0也可化为某2＋2c某－(a2－c2)＝0，即[某＋(c＋a)][某＋(c－a)]＝0，∴该方程有两根某3＝－(a＋c)，某4＝－(c－a)．可以发现，某1＝某3，∴方程有公共根．必要性：设某是方程的公共根，某2＋2a某＋b2＝0，①则22某＋2c某－b＝0，②由①＋②，得某＝－(a＋c)，某＝0(舍去)．代入①并整理，可得a2＝b2＋c2.∴∠A＝90°.∴结论成立．第-8-页共8页。

人教a版高中数学选修2-1全册同步练习及单元检测含答案

⼈教a版⾼中数学选修2-1全册同步练习及单元检测含答案⼈教版⾼中数学选修2～1 全册章节同步检测试题⽬录1.1.1课时同步练习1.2课时同步练习1.3课时同步练习1.4.1、2课时同步练习1.4.3课时同步练习第1章单元过关试卷同步练习2.1.1课时同步练习2.1.2课时同步练习2.2.1课时同步练习2.2.2（第1课时）同步练习2.2.2（第2课时）同步练习2.3.1课时同步练习2.3.2（第1课时）同步练习2.3.2（第2课时）同步练习2.4.1课时同步练习2.4.2（第1课时）同步练习2.4.2（第2课时）同步练习第2章单元过关试卷同步练习3.1.1课时同步练习3.1.2课时同步练习3.1.3课时同步练习3.1.4课时同步练习3.1.5课时同步练习3.2第3课时同步练习3.2第4课时同步练习3.2（第1课时）同步练习3.2（第2课时）同步练习第3章单元过关试卷同步练习模块质量检测A卷同步练习模块质量检测B卷同步练习第1章 1.1.1⼀、选择题(每⼩题5分，共20分)1．下列语句中命题的个数是( )①－5∈Z；②π不是实数；③⼤边所对的⾓⼤于⼩边所对的⾓；④2是⽆理数．A．1 B．2C．3 D．4解析：①②③④都是命题．答案： D2．下列说法正确的是( )A．命题“直⾓相等”的条件和结论分别是“直⾓”和“相等”B．语句“最⾼⽓温30 ℃时我就开空调”不是命题C．命题“对⾓线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D．语句“当a＞4时，⽅程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题解析：对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若有两个⾓是直⾓，则这两个⾓相等”；B所给语句是命题；C的反例可以是“⽤边长为3的等边三⾓形与底边为3，腰为2的等腰三⾓形拼成的四边形不是菱形”来说明．故选D.答案： D3．下列语句中假命题的个数是( )①3是15的约数；②15能被5整除吗？③{x|x是正⽅形}是{x|x是平⾏四边形}的⼦集吗？④3⼩于2；⑤矩形的对⾓线相等；⑥9的平⽅根是3或－3；⑦2不是质数；⑧2既是⾃然数，也是偶数．A．2 B．3C．4 D．5解析：④⑦是假命题，②③不是命题，①⑤⑥⑧是真命题．答案： A4．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平⾯，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β⊥γ，则α∥γ；③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中为真命题的是( )A．①②B．①③C．③④D．②④解析：显然①是正确的，结论选项可以排除C，D，然后在剩余的②③中选⼀个来判断，即可得出结果，①③为真命题．故选B.答案： B⼆、填空题(每⼩题5分，共10分)5．给出下列命题：①在△ABC 中，若∠A ＞∠B ，则sin A ＞sin B ；②函数y ＝x 3在R 上既是奇函数⼜是增函数；③函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a ⾄多有⼀个交点；④若将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，则得到函数y ＝sin ?2x ＋π4的图象．其中正确命题的序号是________．解析：①∠A ＞∠B ?a ＞b ?sin A ＞sin B ．②③易知正确．④将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin ?2x ＋π2的图象．答案：①②③6．命题“⼀元⼆次⽅程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根”，条件p ：________，结论q ：________，是________(填“真”或“假”)命题．答案：⼀元⼆次⽅程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) 此⽅程有两个不相等的实数根假三、解答题(每⼩题10分，共20分)7．指出下列命题的条件p 和结论q ：(1)若x ＋y 是有理数，则x ，y 都是有理数；(2)如果⼀个函数的图象是⼀条直线，那么这个函数为⼀次函数．解析： (1)条件p ：x ＋y 是有理数，结论q ：x ，y 都是有理数．(2)条件p ：⼀个函数的图象是⼀条直线，结论q ：这个函数为⼀次函数．8．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：0解析：命题p 是真命题，则x 2－2x －2≥1，∴x ≥3或x ≤－1，命题q 是假命题，则x ≤0或x ≥4.∴x ≥4或x ≤－1.尖⼦⽣题库☆☆☆9．(10分)(1)已知下列命题是真命题，求a 、b 满⾜的条件．⽅程ax 2＋bx ＋1＝0有解．(2)已知下列命题是假命题，若x 1ax 2，求a 满⾜的条件．解析： (1)∵ax 2＋bx ＋1＝0有解．∴当a ＝0时，bx ＋1＝0有解，只有b ≠0时，⽅程有解x ＝－1b . 当a ≠0时，⽅程为⼀元⼆次⽅程，有解的条件为Δ＝b 2－4a ≥0.综上，当a ＝0，b ≠0或a ≠0，b 2－4a ≥0时，⽅程ax 2＋bx ＋1＝0有解．(2)∵命题当x 1a x 2为假命题，∴应有当x 1即a x 2－x 1x 1x 2≤0. ∵x 1∴x 2－x 1>0，x 1x 2>0，∴a ≤0.第1章 1.2⼀、选择题(每⼩题5分，共20分)1．“|x |＝|y |”是“x ＝y ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： |x |＝|y |?x ＝y 或x ＝－y ，但x ＝y ?|x |＝|y |.故|x |＝|y |是x ＝y 的必要不充分条件．答案： B2．“x ＝2k π＋π4(k ∈Z)”是“tan x ＝1”成⽴的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当x ＝2k π＋π4时，tan x ＝1，⽽tan x ＝1得x ＝k π＋π4，所以“x ＝2k π＋π4”是“tan x ＝1”成⽴的充分不必要条件．故选A. 答案： A3．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( )A ．充分⽽不必要条件B ．必要⽽不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵x ≥2且y ≥2，∴x 2＋y 2≥4，∴x ≥2且y ≥2是x 2＋y 2≥4的充分条件；⽽x 2＋y 2≥4不⼀定得出x ≥2且y ≥2，例如当x ≤－2且y ≤－2时，x 2＋y 2≥4亦成⽴，故x ≥2且y ≥2不是x 2＋y 2≥4的必要条件．答案： A4．设A 是B 的充分不必要条件，C 是B 的必要不充分条件，D 是C 的充要条件，则D 是A 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分⼜不必要条件解析：由题意得：故D 是A 的必要不充分条件答案： B⼆、填空题(每⼩题5分，共10分)5．下列命题中是假命题的是________．(填序号)(1)x >2且y >3是x ＋y >5的充要条件(2)A ∩B ≠?是A B 的充分条件(3)b 2－4ac <0是ax 2＋bx ＋c <0的解集为R 的充要条件(4)三⾓形的三边满⾜勾股定理的充要条件是此三⾓形为直⾓三⾓形解析： (1)因x >2且y >3?x ＋y >5， x ＋y >5?/ x >2且y >3，故x >2且y >3是x ＋y >5的充分不必要条件．(2)因A ∩B ≠??/ A B, A B ?A ∩B ≠?.故A ∩B ≠?是A B 的必要不充分条件．(3)因b 2－4ac <0?/ ax 2＋bx ＋c <0的解集为R ， ax 2＋bx ＋c <0的解集为R ?a <0且b 2－4ac <0，故b 2－4ac <0是ax 2＋bx ＋c <0的解集为R 的既不必要也不充分条件．(4)三⾓形的三边满⾜勾股定理的充要条件是此三⾓形为直⾓三⾓形．答案： (1)(2)(3)6．设集合A ＝x |x x －1<0，B ＝{x |0x |x x －1<0＝{x |0∴“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分不必要条件．答案：充分不必要三、解答题(每⼩题10分，共20分)7．已知p ：12≤x ≤1，q ：a ≤x ≤a ＋1，若p 的必要不充分条件是q ，求实数a 的取值范围．解析： q 是p 的必要不充分条件，则p ?q 但q ?/p .∵p ：12≤x ≤1，q ：a ≤x ≤a ＋1. ∴a ＋1≥1且a ≤12，即0≤a ≤12.∴满⾜条件的a 的取值范围为0，12. 8．求证：0≤a <45是不等式ax 2－ax ＋1－a >0对⼀切实数x 都成⽴的充要条件．证明：充分性：∵0，∴Δ＝a 2－4a (1－a )＝5a 2－4a ＝a (5a －4)<0，则ax 2－ax ＋1－a >0对⼀切实数x 都成⽴．⽽当a ＝0时，不等式ax 2－ax ＋1－a >0可变成1>0.显然当a ＝0时，不等式ax 2－ax ＋1－a >0对⼀切实数x 都成⽴．必要性：∵ax 2－ax ＋1－a >0对⼀切实数x 都成⽴，∴a ＝0或 a >0，Δ＝a 2－4a 1－a <0.解得0≤a <45. 故0≤a ＜45是不等式ax 2－ax ＋1－a >0对⼀切实数x 都成⽴的充要条件．尖⼦⽣题库☆☆☆9．(10分)已知条件p ：A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}，条件q ：B ＝{x |x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0}．若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解析：先化简B ，B ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0}，①当a ≥13时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}；②当a ＜13时，B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}．因为p 是q 的充分条件，所以A ?B ，从⽽有 a ≥13a 2＋1≤3a ＋12a ≥2，解得1≤a ≤3.或 a ＜13a 2＋1≤22a ≥3a ＋1，解得a ＝－1.综上，所求a 的取值范围是{a |1≤a ≤3或a ＝－1}．第1章 1.3⼀、选择题(每⼩题5分，共20分)1．已知p ：x 2－1≥－1，q ：4＋2＝7，则下列判断中，错误的是( )A ．p 为真命题，p 且q 为假命题B ．p 为假命题，q 为假命题C ．q 为假命题，p 或q 为真命题D ．p 且q 为假命题，p 或q 为真命题解析：∵p 为真命题，q 为假命题，∴p 且q 为假命题，p 或q 是真命题．答案： B2．如果命题“綈p ∨綈q ”是假命题，则在下列各结论中，正确的为( ) ①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧q ”是假命题；③命题“p ∨q ”是真命题；④命题“p ∨q ”是假命题．A ．①③B ．②④C ．②③D ．①④解析：∵綈p ∨綈q 是假命题∴綈(綈p ∨綈q )是真命题即p ∧q 是真命题答案： A3．“p ∨q 为假命题”是“綈p 为真命题”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若p ∨q 为假命题，则p ，q 都为假命题，綈p 为真命题．若綈p 为真命题，则p ∨q 可能为真命题，∴“p ∨q 为假命题”是“綈p 为真命题”的充分不必要条件．答案： A4．已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数，则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是() A ．q 1，q 3 B ．q 2，q 3C ．q 1，q 4D ．q 2，q 4解析：∵y ＝2x 在R 上为增函数，y ＝2－x ＝? ????12x在R 上为减函数，∴y ＝－2－x ＝－? ????12x在R 上为增函数，∴y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，故p 1是真命题．y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数是错误的，故p 2是假命题．∴q1：p1∨p2是真命题，因此排除B和D，q2：p1∧p2是假命题，q3：綈p1是假命题，(綈p1)∨p2是假命题，故q3是假命题，排除A.故选C.答案： C⼆、填空题(每⼩题5分，共10分)5．“a≥5且b≥3”的否定是____________；“a≥5或b≤3”的否定是____________．答案：a＜5或b＜3 a＜5且b＞36．在下列命题中：①不等式|x＋2|≤0没有实数解；②－1是偶数或奇数；③2属于集合Q，也属于集合R；④A?A∪B.其中，真命题为________．解析：①此命题为“⾮p”的形式，其中p：不等式|x＋2|≤0有实数解，因为x＝－2是该不等式的⼀个解，所以p是真命题，所以⾮p是假命题．②此命题是“p或q”的形式，其中p：－1是偶数，q：－1是奇数．因为p为假命题，q为真假题，所以p或q是真命题，故是真命题．③此命题是“p且q”的形式，其中p：2属于集合Q，q：2属于集合R.因为p为假命题，q为真命题，所以p且q是假命题，故是假命题．④此命题是“⾮p”的形式，其中p：A?A∪B.因为p为真命题，所以“⾮p”为假命题，故是假命题．所以填②.答案：②三、解答题(每⼩题10分，共20分)7．分别写出由下列各组命题构成的p∧q，p∨q，綈p形式命题．(1)p：8∈{x|x2－8x≤0}，q：8∈{2,8}．(2)p：函数f(x)＝3x2－1是偶函数，q：函数f(x)＝3x2－1的图象关于y轴对称．解析：(1)p∧q：8∈({x|x2－8x≤0}∩{2,8})．p∨q：8∈({x|x2－8x≤0}∪{2,8})．綈p：8?{x|x2－8x≤0}．(2)p∧q：函数f(x)＝3x2－1是偶函数并且它的图象关于y轴对称．p∨q：函数f(x)＝3x2－1是偶函数或它的图象关于y轴对称．綈p：函数f(x)＝3x2－1不是偶函数．8．写出下列命题的否定，然后判断其真假：(1)p：⽅程x2－x＋1＝0有实根；(2)p ：函数y ＝tan x 是周期函数；(3)p ：??A ；(4)p ：不等式x 2＋3x ＋5<0的解集是?.解析：题号判断p 的真假綈p 的形式判断綈p 的真假 (1)假⽅程x 2－x ＋1＝0⽆实数根真 (2)真函数y ＝tan x 不是周期函数假 (3)真 ? A 假 (4)真不等式x 2＋3x ＋5<0的解集不是? 假尖⼦⽣题库☆☆☆9．(10分)设命题p ：实数x 满⾜x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满⾜ x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解析： (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a )(x －a )<0.⼜a >0，所以a当a ＝1时，1即p 为真命题时实数x 的取值范围是1由 x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0. 解得－2≤x ≤3，x <－4或x >2.即2所以q 为真时实数x 的取值范围是2若p ∧q 为真，则 1所以实数x 的取值范围是(2,3)．(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，即綈p ?綈q 且綈q ?/ 綈p .设A ＝{x |x ≤a 或x ≥3a }，B ＝{x |x ≤2或x >3}，则A B .所以03，即1所以实数a 的取值范围是(1,2].第1章 1.4.1、2⼀、选择题(每⼩题5分，共20分)1．下列命题中的假命题是( )A ．?x ∈R ，lg x ＝0B ．?x ∈R ，tan x ＝1C ．?x ∈R ，x 2>0D ．?x ∈R,2x>0 解析： A 中当x ＝1时，lg x ＝0，是真命题．B 中当x ＝π4＋k π时，tan x ＝1，是真命题． C 中当x ＝0时，x 2＝0不⼤于0，是假命题．D 中?x ∈R,2x>0是真命题．答案： C2．下列命题中，真命题是( )A ．?m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数B ．?m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数C ．?m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数D ．?m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数解析：∵当m ＝0时，f (x )＝x 2(x ∈R )．∴f (x )是偶函数⼜∵当m ＝1时，f (x )＝x 2＋x (x ∈R )∴f (x )既不是奇函数也不是偶函数．∴A 对，B 、C 、D 错．故选A.答案： A3．下列4个命题： p 1：?x ∈(0，＋∞)，? ????12xx ； p 2：?x ∈(0,1)，log 12x >log 13x ；p 3：?x ∈(0，＋∞)，? ????12x >log 12x ； p 4：?x ∈? ????0，13，? ????12xx . 其中的真命题是( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解析：对于命题p 1，当x ∈(0，＋∞)时，总有? ????12x >? ??13x 成⽴．所以p 1是假命题，排除A 、B ；对于命题p 3，在平⾯直⾓坐标系中作出函数y ＝? ??12x 与函数 y ＝log 12x 的图象，可知在(0，＋∞)上，函数y ＝? ????12x 的图象并不是始终在函数y ＝log 12x 图象的上⽅，所以p 3是假命题，排除C.故选D.答案： D4．若命题p ：?x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－3或a >2B ．a ≥2C ．a >－2D ．－2即(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1≥0恒成⽴，所以有： a ＋2>0，16－4a ＋2a －1≤0 a >－2，a 2＋a －6≥0?a ≥2.答案： B⼆、填空题(每⼩题5分，共10分)5．命题“有些负数满⾜不等式(1＋x )(1－9x )>0”⽤“?”或“?”可表述为________．答案： ?x 0<0，使(1＋x 0)(1－9x 0)>06．已知命题p ：?x 0∈R ，tan x 0＝3；命题q ：?x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则命题“p 且q ”是________命题．(填“真”或“假”)解析：当x 0＝π3时，tan x 0＝3，∴命题p 为真命题； x 2－x ＋1＝? ????x －122＋34>0恒成⽴，∴命题q 为真命题，∴“p 且q ”为真命题．答案：真三、解答题(每⼩题10分，共20分)7．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假：(1)若a >0，且a ≠1，则对任意实数x ，a x>0.(2)对任意实数x 1，x 2，若x 1(3)?T0∈R，使|sin(x＋T0)|＝|sin x|.(4)?x0∈R，使x20＋1<0.解析：(1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题．(1)∵a x>0(a>0且a≠1)恒成⽴，∴命题(1)是真命题．(2)存在x1＝0，x2＝π，x1但tan 0＝tan π，∴命题(2)是假命题．(3)y＝|sin x|是周期函数，π就是它的⼀个周期，∴命题(3)是真命题．(4)对任意x0∈R，x20＋1>0.∴命题(4)是假命题．8．选择合适的量词(?、?)，加在p(x)的前⾯，使其成为⼀个真命题：(1)x>2；(2)x2≥0；(3)x是偶数；(4)若x是⽆理数，则x2是⽆理数；(5)a2＋b2＝c2(这是含有三个变量的语句，则p(a，b，c)表⽰)解析：(1)?x∈R，x>2.(2)?x∈R，x2≥0；?x∈R，x2≥0都是真命题．(3)?x∈Z，x是偶数．(4)存在实数x，若x是⽆理数，则x2是⽆理数．(如42)(5)?a，b，c∈R，有a2＋b2＝c2.尖⼦⽣题库☆☆☆9．(10分)若?x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a 的取值范围．解析：(1)当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R；(2)当m≠0时，⼆次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成⽴，即4m2＋4am＋1≥0恒成⽴．⼜4m2＋4am＋1≥0是⼀个关于m的⼆次不等式，恒成⽴的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.综上所述，当m＝0时，a∈R；当m≠0，a∈[－1,1]．第1章 1.4.3⼀、选择题(每⼩题5分，共20分)1．命题：对任意x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0的否定是( )A ．不存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1≤0B ．存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1≥0C ．存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1>0D ．对任意x ∈R ，x 3－x 2＋1>0解析：由全称命题的否定可知，命题的否定为“存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1>0”．故选C.答案： C2．命题p ：?m 0∈R ，使⽅程x 2＋m 0x ＋1＝0有实数根，则“綈p ”形式的命题是( )A ．?m 0∈R ，使得⽅程x 2＋m 0x ＋1＝0⽆实根B ．对?m ∈R ，⽅程x 2＋mx ＋1＝0⽆实根C ．对?m ∈R ，⽅程x 2＋mx ＋1＝0有实根D ．⾄多有⼀个实数m ，使得⽅程x 2＋mx ＋1＝0有实根解析：由特称命题的否定可知，命题的否定为“对?m ∈R ，⽅程x 2＋mx ＋1＝0⽆实根”．故选B.答案： B3．“?x 0?M ，p (x 0)”的否定是( )A ．?x ∈M ，綈p (x )B ．?x ?M ，p (x )C ．?x ?M ，綈p (x )D ．?x ∈M ，p (x )答案： C 4．已知命题p ：?x ∈R ，使tan x ＝1，命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧?q ”是假命题；③命题“?p ∨q ”是真命题；④命题“?p ∨?q ”是假命题，其中正确的是( )A ．②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④解析：当x ＝π4时，tan x ＝1，∴命题p 为真命题．由x 2－3x ＋2<0得1∴p ∧q 为真，p ∧?q 为假，?p ∨q 为真，?p ∨?q 为假．答案： D⼆、填空题(每⼩题5分，共10分)5．命题p ：?x ∈R ，x 2＋2x ＋5<0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定命题綈p ：________，它是________命题(填“真”或“假”)．解析：∵x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4≥0恒成⽴，所以命题p是假命题．答案：特称命题假?x∈R，x2＋2x＋5≥0真6．(1)命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________．(2)命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________．答案：(1)?x0∈R，|x0－2|＋|x0－4|≤3(2)?x∈R，x2＋2x＋5≠0三、解答题(每⼩题10分)7．写出下列命题的否定并判断其真假．(1)所有正⽅形都是矩形；(2)?α，β∈R，sin(α＋β)≠sin α＋sin β；(3)?θ0∈R，函数y＝sin(2x＋θ0)为偶函数；(4)正数的对数都是正数．解析：(1)命题的否定：有的正⽅形不是矩形，假命题．(2)命题的否定：?α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，真命题．(3)命题的否定：?θ∈R，函数y＝sin(2x＋θ)不是偶函数，假命题．(4)命题的否定：存在⼀个正数，它的对数不是正数，真命题．8．已知函数f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成⽴，并说明理由．(2)若存在⼀个实数x0，使不等式m－f(x0)＞0成⽴，求实数m的取值范围．解析：(1)不等式m＋f(x)＞0可化为m＞－f(x)，即m＞－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m＞－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成⽴，只需m＞－4即可．故存在实数m，使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成⽴，此时只需m＞－4.(2)若m－f(x0)>0，∴m>f(x0)．∵f(x0)＝x20－2x0＋5＝(x0－1)2＋4≥4.∴m>4.尖⼦⽣题库☆☆☆9．(10分)写出下列各命题的否命题和命题的否定，并判断真假．(1)?a，b∈R，若a＝b，则a2＝ab；(2)若a·c＝b·c，则a＝b；(3)若b2＝ac，则a，b，c是等⽐数列．。

高中数学选修2—1椭圆测试卷

高中数学选修2-1《圆锥曲线》2.2—2.3阶段训练（椭圆）时间120分钟总分150分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=＞＞的离心率为32，过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =A 1B 2C 3 D2 【答案】B 2.已知椭圆C ：22221x y ab+=（a>b>0）的离心率为32，过右焦点F 且斜率为k （k>0）的直线于C 相交于A 、B 两点，若3AF FB =。

则k =A1 B 2 C 3 D2 【答案】B3.到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是A. 直线B. 椭圆C. 抛物线D. 双曲线【答案】 D解析：排除法轨迹是轴对称图形，排除A 、C ，轨迹与已知直线不能有交点，排除B 4.椭圆22221()x y a b ab+=>>0的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是A 20,2⎛⎤⎥ ⎝⎦B 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C)21,1⎡-⎣ D 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D5.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 A.54 B.53 C.52 D.51【答案】B6.若点O 和点F 分别为椭圆22143xy+=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则O P FP的最大值为A ．2B ．3C ．6D ．8【答案】C 7.椭圆()222210x y a ab+=＞b ＞的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ．在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是 A （0，22] B （0，12] C[21-，1） D[12，1）【答案】D 8．椭圆141622=+yx上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（）A ．3B ．11C ．22D ．10【答案】D 9．在椭圆13422=+yx内有一点P （1，－1），F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使|MP|+2|MF|的值最小，则这一最小值是（）A ．25 B ．27C ．3D ．4【答案】C10．过点M （－2，0）的直线m 与椭圆1222=+yx交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为（）A ．2B ．－2C ．21 D ．－21【答案】D二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．离心率21=e ，一个焦点是()3,0-F 的椭圆标准方程为 ___________ .【答案】1273622=+xy12．与椭圆4 x 2 + 9 y 2 = 36 有相同的焦点,且过点(－3，２)的椭圆方程为_______________．【答案】1101522=+yx13．已知()y x P ,是椭圆12514422=+yx上的点，则y x +的取值范围是________________ ．【答案】]13,13[-14．已知椭圆Ｅ的短轴长为6，焦点Ｆ到长轴的一个端点的距离等于９，则椭圆Ｅ的离心率等于__________________．【答案】5415．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率32=e ，短轴长为58，求椭圆的方程____________．【答案】18014422=+yx或18014422=+xy.三、解答题（本大题共6题，16—18每小题12分，19—21题每小题13分，共75分） 16.已知A 、B 为椭圆22ax +22925ay =1上两点，F 2为椭圆的右焦点，若|AF 2|+|BF 2|=58a ，AB中点到椭圆左准线的距离为23，求该椭圆方程．【答案】设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，,54=e 由焦半径公式有a －ex 1+a －ex 2=a58，∴x 1+x 2=a21，即AB 中点横坐标为a41，又左准线方程为ax 45-=，∴234541=+a a ，即a =1，∴椭圆方程为x 2+925y 2=1．17.过椭圆4:),(148:220022=+=+yx O y x P yxC 向圆上一点引两条切线PA 、PB 、A 、B 为切点，如直线AB 与x 轴、y 轴交于M 、N 两点．（1）若0=⋅PB PA ，求P 点坐标；（2）求直线AB 的方程（用00,y x 表示）；（3）求△MON 面积的最小值．（O 为原点）【答案】（1）PBPA PB PA ⊥∴=⋅0∴OAPB 的正方形由843214882020202020==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+x y x y x 220±=∴x ∴P 点坐标为（0,22±）（2）设A （x1，y1），B （x2，y2）则PA 、PB 的方程分别为4,42211=+=+y y x x y y x x ，而PA 、PB 交于P （x0，y0）即x1x0+y1y0=4，x2x0+y2y0=4，∴AB 的直线方程为：x0x+y0y=4（3）由)0,4(4000x M y y x x 得=+、)4,0(0y N||18|4||4|21||||21000y x y x ON OM S MON ⋅=⋅=⋅=∆22)48(22|222|24||20200000=+≤⋅=y x y x y x 22228||800=≥=∴∆y x S MON当且仅当22,|2||22|m in00==∆MONS y x 时.18.椭圆12222=+by ax (a＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O为坐标原点. （1）求2211ba+的值；（2）若椭圆的离心率e 满足33≤e ≤22，求椭圆长轴的取值范围.【答案】设),(),,(2211y x P y x P ，由OP ⊥ OQ ⇔ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 ① 01)(2,1,121212211=++--=-=x x x x x y x y 代入上式得：又将代入x y-=112222=+by ax 0)1(2)(222222=-+-+⇒b a x a x b a ，,2,022221ba ax x +=+∴>∆222221)1(ba b a x x +-=代入①化简得21122=+ba.(2) ,3221211311222222222≤≤⇒≤-≤∴-==ab ab ab ac e又由（1）知12222-=a ab26252345321212122≤≤⇒≤≤⇒≤-≤∴a aa，∴长轴 2a ∈ [6,5].19.一条变动的直线L 与椭圆42x+2y2=1交于P 、Q 两点，M 是L 上的动点，满足关系|MP|·|MQ|=2．若直线L 在变动过程中始终保持其斜率等于1．求动点M 的轨迹方程，并说明曲线的形状．【答案】设动点M(x ，y)，动直线L ：y=x +m ，并设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)是方程组⎩⎨⎧=-++=042,22y x m x y的解，消去y ，得3x 2+4m x +2m 2－4=0，其中Δ=16m 2－12(2m 2－4)>0，∴－6<m<6，且x 1+x 2=－3m 4，x 1x 2=34m22-，又∵|MP|=2|x －x 1|，|MQ|=2|x －x 2|．由|MP||MQ|=2，得|x－x 1||x －x 2|=1，也即 |x 2－(x 1+x 2)x +x 1x 2|=1，于是有.13423422=-++mmx x∵m=y －x ，∴|x2+2y 2－4|=3．由x 2+2y 2－4=3，得椭圆172722=+x x夹在直线6±=x y 间两段弧，且不包含端点．由x 2+2y 2－4=－3，得椭圆x 2+2y 2=1．20.椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点F （c ，0）（0>c ）的准线l 与x轴相交于点A ，|OF|=2|FA|，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点 .（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若0=⋅OQ OP ，求直线PQ 的方程；（3）设AQ AP λ=（1>λ），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明FQ FM λ-=.（14分）【答案】（1）由题意，可设椭圆的方程为)2(12222>=+a yax .由已知得⎪⎩⎪⎨⎧-==-).(2,2222c c ac c a 解得2,6==c a，所以椭圆的方程为12622=+yx，离心率36=e .（2）解：由（1）可得A （3，0） .设直线PQ的方程为)3(-=x k y .由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)3(,12622x k y yx 得062718)13(2222=-+-+k x k x k ，依题意0)32(122>-=∆k ，得3636<<-k .设),(),,(2211y x Q y x P ，则13182221+=+kk x x ， ①136272221+-=kk x x . ②，由直线PQ 的方程得)3(),3(2211-=-=x k y x k y .于是]9)(3[)3)(3(2121221221++-=--=x x x x k x x k y y. ③∵0=⋅OQOP ，∴02121=+y y x x. ④，由①②③④得152=k ，从而)36,36(55-∈±=k.所以直线PQ 的方程为035=--y x 或035=-+y x .（2）证明：),3(),,3(2211y x AQ y x AP-=-=.由已知得方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=-=-.126,126,),3(3222221212121y x y x y y x x λλ注意1>λ，解得λλ2152-=x ，因),(),0,2(11y x M F -，故 ),1)3((),2(1211y x y x FM -+-=--=λ),21(),21(21y y λλλλ--=--= .而),21(),2(222y y x FQ λλ-=-=，所以FQ FM λ-=.21.在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆15922=+yx的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。

新北师大版高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》检测(含答案解析)

一、选择题1．已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，4AB =，3AD =，'5AA =，90BAD ∠=，''60BAA DAA ∠=∠=．则'AC 的长为（）A ．85B ．97C ．12D ．230 2．如图，四边形ABCD 和ABEF 都是正方形，G 为CD 的中点，60DAF ∠=，则直线BG 与平面AGE 所成角的余弦值是（）A ．25B ．105C ．155D ．2153．在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且1(02)AG λλ=<<，则点G 到平面1D EF 的距离为( )A ．23B ．2C ．223λD ．2554．如图，已知平行六面体1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，12AA =， 011120A AB A AD ∠=∠=，则线段1AC 的长为（）A ．2B ．1C ．2D ．35．已知正方体1111ABCD A BC D -,M 为11A B 的中点，则异面直线A M 与1BC 所成角的余弦值为（）A ．105B ．1010C ．32D ．626．如图是由16个边长为1的菱形构成的图形，菱形中的锐角为,3π=,,a AB b CD =则=a b ⋅A ．5-B ．1-C ．3-D ．6-7．在空间直角坐标系Oxyz 中,已知(2,0,0)(2,2,0),(0,2,0),(1,1,2)A B C D .若123,,S S S 分别是三棱锥D ABC -在坐标平面上的正投影图形的面积，则（） A ．123S S S ==B ．21=S S 且23S S ≠C ．31S S =且32S S ≠D ．32S S =且31S S ≠8．圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面的中心，M 为SO 的中点，动点P 在圆锥底面内（包括圆周）若,AM MP ⊥则点P 形成的轨迹的长度为( ) A ．76 B ．75 C ．72 D ．749．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，点E F 、分别是棱AB 、BC 的中点，则点1C 到平面1B EF 的距离等于（）A ．23B ．223C ．33D ．4310．如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形， Q 为BC 的中点，PQ ⊥面ABCD ，且2PQ =，动点N 在以D 为球心半径为1的球面上运动，点M 在面 ABCD内运动，且PM 5=，则MN 长度的最小值为（）A ．352-B ．23-C ．25-+D ．332- 11．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -，O 是底面1111D C B A 的中心，则O 到平面11ABC D 的距离是（）A ．12B ．24C ．22D 312．在平面直角坐标系中，()2,3A -、()32B -，，沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角，则AB 的长为（）A 2B ．211C ．32D ．42二、填空题13．在空间四边形ABCD 中，连接AC 、BD ,若BCD 是正三角形，且E 为其中心，则1322AB BC DE AD +--的化简结果为________． 14．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，AB ⊥AC ，且AA 1=AB=AC ，则异面直线AB 1与BC 1所成角为_____．15．已知平面向量()21,3m =+a 与()2,m =b 是共线向量且0⋅<a b ,则=b __. 16．已知四边形ABCD 为平行四边形，且A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则顶点D 的坐标为________．17．如图所示，在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，12AA =，1AB BC ==，动点P 、Q 分别在线段1C D 、AC 上，则线段PQ 长度的最小值是______．18．如图，空间四边形OABC 中，,M N 分别是对边,OA BC 的中点，点G 在线段MN 上，分MN 所成的定比为2，OG xOA yOB zOC =++，则,,x y z 的值分别为_____．19．在空间直角坐标系O xyz -中，点(1,2,3)A -到原点的距离为__________．20．三棱锥V-ABC 的底面ABC 与侧面VAB 都是边长为a 的正三角形，则棱VC 的长度的取值范围是_________.三、解答题21．在①()()DE CF DE CF +⊥-，②17||2DE =，③0cos ,1EF DB <<这三个条件中任选一个，补充在下面的横线中，并完成问题.问题：如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -.已知点1D 的坐标为()0,0,2，E 为棱11D C 上的动点，F 为棱11B C 上的动点，___________，试问是否存在点E ，F 满足1EF AC ⊥？若存在，求AE BF ⋅的值；若不存在，请说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22．如图.四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面是直角梯形，BC ∥AD ，AB AD ，AD=2BC=2，四边形ABB 1A 1和ADD 1A 1均为正方形.（1）证明；平面ABB 1A 1平面ABCD ；（2）求二面角B 1 CD-A 的余弦值.23．如图，在四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AD AB ⊥，4AB AS ==，3AD =，6BC =，E 为SB 的中点．（1）求证：//AE 平面SCD ．（2）求二面角B AE C --的余弦值．24．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，已知2,6PB PD PA ===，E 为PA 的中点．（1）求证PC BD ⊥；（2）求直线PC 与平面 PBD 所成角的正弦值．（3）求二面角B PC E --的余弦值．25．如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，其中四边形ABCD 为正方形，四边形ABEF 为直角梯形，1//902AB AF BE AF BE BAF ==∠=︒，，，M 为线段CE 上一点，//MF 平面ABCD ．（1）确定点M 的位置，并证明你的结论；（2）求直线DF 与平面BFM 所成角的正弦值．26．如图，四棱锥中P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，60DAB ∠=︒，2AB AD CD ==，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PAD △为等腰直角三角形，90APD ∠=︒．（Ⅰ）求证：AD PB ⊥；（Ⅱ）求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】用空间向量基本定理表示出AC '，然后平方后转化为数量积的运算求得．【详解】记a AB =，b AD =，c AA '=，则43cos900a b ⋅=⨯⨯︒=，同理152b c ⋅=，10a c ⋅=，由空间向量加法法则得AC a b c '=++， ∴22222()222AC a b c a b c a b b c a c '=++=+++⋅+⋅+⋅222154352210852=+++⨯+⨯=， ∴85AC '=AC '=．故选：A ．【点睛】方法点睛：本题考查求空间线段长，解题方法是空间向量法，即选取基底，用基底表示出向量，然后利用向量模的平方等于向量的平方转化为向量的数量积进行计算．2．C解析：C【分析】以A 为原点，以AD 、AB 的方向分别为x 、y 轴的正方向，过A 作垂直平面ABCD 的直线作z 轴建立空间直角坐标系，设2AB =，利用空间向量法可求得直线BG 与平面AGE 所成角的正弦值，再利用同角三角函数的基本关系可求得结果.【详解】以A 为原点，以AD 、AB 的方向分别为x 、y 轴的正方向，过A 作垂直平面ABCD 的直线作z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．设2AB =，得()0,0,0A 、()2,1,0G 、()0,2,0B 、(1,3E ，则()2,1,0AG =，(3AE =，()2,1,0BG =-，设平面AGE 的法向量为(),,n x y z =，则20230n AG x y n AE x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1x =，则2y =-，3z = 所以，平面AGE 的一个法向量为(1,2,3n =-，从而10cos ,225n BGn BG n BG ⋅<>===⨯⋅，故直线BG 与平面AGE 2101515⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：C.【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin h lθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=<>.3．D解析：D【分析】以D 为原点，DA 为x 轴、DC 为y 轴、1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点G 到平面1D EF 的距离 .【详解】以D 为原点，DA 为x 轴、DC 为y 轴、1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()12,,2,0,0,2,2,0,1,2,2,1G D E F λ，()()()12,0,1,0,2,0,0,,1ED EF EG λ=-==，设平面1D EF 的法向量(),,n x y z =，则12020n ED x z n EF y ⎧⋅=-+=⎨⋅==⎩，取1x =，得()1,0,2n =，∴点G 到平面1D EF 的距离为 2255EG nd n ⋅===，故选D. 【点睛】本题主要考查利用空间向量求点到平面的距离，是中档题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 4．A解析：A【分析】由11AC AB BC CC =++，两边平方，利用数量积的运算法则及数量积公式能求出21AC 的值，从而可得结果.【详解】平行六面体1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，1112,120AA A AB A AD =∠=∠=， 11AC AB BC CC ∴=++，()2211AC AB BC CC ∴=++222111222AB BC CC AB CC BC CC AB BC =+++⋅+⋅+⋅ 114212cos120212cos12002=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+=， ∴线段1AC 的长为12AC = A.【点睛】本题主要考查利用空间向量求线段的长，考查向量数量积的运算法则，属于中档题.向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b θ⋅=；二是向量的平方等于向量模的平方22a a =. 5．A解析：A【分析】建立空间直角坐标系，求出向量AM 与1BC 的向量坐标，利用数量积求出异面直线A M 与1B C 所成角的余弦值.【详解】以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：设正方体的棱长为1，则(1,0,0)A ，1(1,0,1)A ，(1,1,0)B ，1(1,1,1)B ，(0,1,0)C ∵M 为11A B 的中点 ∴1(1,,1)2M ∴1(0,,1)2AM =，52AM =；1(1,0,1)B C =--，12B C =. ∴异面直线A M 与1B C 所成角的余弦值为111110cos ,10AM B C AM B C AM B C⋅===⋅ 故选A.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法，找出两异面直线所成的角∠AEM （或其补角），是解题的关键．如果异面直线所成的角不容易找，则可以通过建立空间直角坐标系，利用空间向量来求解．6．B解析：B【解析】设菱形中横向单位向量为,m 纵向单位向量为n ，则111,1122m n m n ==⋅=⨯⨯=，2a AB m n ==+，32b CD m n ==-+，()()232a b m n m n ⋅=+-+=223443421m n m n -+-⋅=-+-=-，故选B. 7．D解析：D 【分析】试题分析：结合其空间立体图形易知，112222=⨯⨯=S ，2312222S S ==⨯⨯=，所以23S S =且13S S ≠，故选D ．考点：空间直角坐标系及点的坐标的确定，正投影图形的概念，三角形面积公式． 8．C 解析：C【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设出动点的坐标，利用向量的坐标公式求出向量坐标，利用向量垂直的充要条件列出方程求出动点P 的轨迹方程，得到P 的轨迹是底面圆的弦，利用勾股定理求出弦长．【详解】建立空间直角坐标系．设A （0，﹣1，0），B （0，1，0），S （0，03M （0，0，3P （x ，y ，0）．于是有AM =（0，13MP =（x ，y ，3 由于AM ⊥MP ，所以（0，13•（x ，y ，30，即y 34=，此为P 点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为2371()4-=．故选C ．【点睛】本题考查通过建立坐标系，将求轨迹问题转化为求轨迹方程、考查向量的数量积公式、向量垂直的充要条件、圆的弦长的求法．属中档题9．D解析：D【分析】建立空间直角坐标系，找到平面1B EF 的法向量，利用向量法求点到平面的距离求解即可.【详解】以1D 为坐标原点，分别以11D A ，11D C ，1D D 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则1(2,2,0)B ，1(0,2,0)C ，(2,1,2)E ，(1,2,2)F .设平面1B EF 的法向量为(,,)n x y z =，1(0,1,2)B E =-1(1,0,2)B F =-则1100n B E n B F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020y z x z -+=⎧⎨-+=⎩ 令1z =，得(2,2,1)n =.又11(2,0,0)BC =-，∴点1C 到平面1B EF 的距离1122|||2200|43||221n B C h n ⋅-⨯++===++，故选：D .【点睛】本题用向量法求点到平面的距离，我们也可以用等体积法求点到平面的距离，当然也可以找到这个垂线段，然后放在直角三角形中去求.10．C解析：C【分析】若要使MN 最短，点N 必须落在平面ABCD 内，且一定在DN 的连线上，此时应满足,,,D N M Q 四点共线，通过几何关系即可求解【详解】如图，当点N 落在平面ABCD 内，且,,,D N M Q 四点共线时，MN 距离应该最小，由PM 5=1MQ =，即点M 在以Q 为圆心，半径为1的圆上，由几何关系求得5DQ ，1DN MQ ==，故552NM DN MQ -=故答案选：C【点睛】本题考查由几何体上的动点问题求解两动点间距离的最小值，属于中档题11．B解析：B【分析】如图建立空间直角坐标系，可证明1A D ⊥平面11ABC D ，故平面11ABC D 的一个法向量为：1DA ，利用点到平面距离的向量公式即得解. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则：1111(,,1),(0,0,1),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,1)22O D A B C 111(,,0)22OD ∴=-- 由于AB ⊥平面111,ADD A AD ⊂平面11ADD A1AB A D ∴⊥，又11AD A D ⊥，1AB AD1A D ∴⊥平面11ABC D故平面11ABC D 的一个法向量为：1(1,0,1)DA = O ∴到平面11ABC D 的距离为： 1111||22||2OD DA d DA ⋅===故选：B【点睛】本题考查了点到平面距离的向量表示，考查了学生空间想象，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.12．D解析：D 【分析】作AC x ⊥轴于C ，BD x ⊥轴于D ，则AB AC CD DB =++，两边平方后代入数量积即可求得2||AB ，则AB 的长可求．【详解】如图，()2,3A -，()3,2B -，作AC x ⊥轴于C ，BD x ⊥轴于D ，则()2,0C -，()3,0D ，3AC ∴=，5CD =，2DB =，沿x 轴把坐标平面折成60︒的二面角，CA ∴<，60DB >=︒，且0AC CD CD DB ⋅=⋅=，222||()AB AB AC CD DB ∴==++ 222222AC CD DB AC CD CD DB AC DB =+++⋅+⋅+⋅19254232322⎛⎫=+++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭． 42AB ∴=即AB 的长为42故选：D ．【点睛】本题主要考查了空间角，向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题13．【分析】由题意结合重心的性质和平面向量的三角形法则整理计算即可求得最终结果【详解】如图取BC 的中点F 连结DF 则∴【点睛】本题主要考查空间向量的运算法则及其应用意在考查学生的转化能力和计算求解能力解析：0【分析】由题意结合重心的性质和平面向量的三角形法则整理计算即可求得最终结果.【详解】如图，取BC 的中点F ，连结DF ，则23DF DE =， ∴1322AB BC DE AD +--AB BF DF DA =+-+AF FD DA =++0=.【点睛】本题主要考查空间向量的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 14．【解析】连结A1B ∵AA1⊥面ABC 平面A1B1C1∥面ABC ∴AA1⊥平面A1B1C1∵A1C1⊂平面A1B1C1∴AA1⊥A1C1∵△ABC 与△A1B1C1是全等三角形AB ⊥AC ∴A1B1⊥A1 解析：2π 【解析】连结A 1B ，∵AA 1⊥面ABC ，平面A 1B 1C 1∥面ABC ，∴AA 1⊥平面A 1B 1C 1，∵A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，∴AA 1⊥A 1C 1，∵△ABC 与△A 1B 1C 1是全等三角形，AB ⊥AC ，∴A 1B 1⊥A 1C 1，∵A 1B 1∩AA 1=A 1，∴A 1C 1⊥平面AA 1B 1B ，又∵AB 1⊂平面AA 1B 1B ，∴A 1C 1⊥AB 1，∵矩形AA 1B 1B 中，AA 1=AB ，∴四边形AA 1B 1B 为正方形，可得A 1B ⊥AB 1，∵A 1B∩A 1C 1=A 1，∴AB 1⊥平面A 1BC 1，结合BC 1⊂平面A 1BC 1，可得AB 1⊥BC 1，即异面直线AB 1与BC 1所成角为2π．故答案为2π．15．【解析】∵向量与是共线向量∴∴或∵∴即∴则∴故答案为解析：22【解析】∵向量(21,3)a m =+与(2,)b m =是共线向量∴(21)6m m +=∴32m =或2m =- ∵0a b ⋅<∴(21)230m m +⨯+<，即27m <-∴2m =-，则(2,2)b =-∴22(b =+=故答案为16．【解析】由平行四边形中对角线互相平分的性质知AC 的中点即为BD 的中点AC 的中点设D(xyz)则∴x ＝5y ＝13z ＝－3故D(513－3)解析：(5,13,3)-【解析】由平行四边形中对角线互相平分的性质知，AC 的中点即为BD 的中点，AC 的中点7(,4,1)2O - ，设D (x ，y ，z )，则7251,4,12222x y z +-++==-= ∴x ＝5，y ＝13，z ＝－3，故D (5,13，－3)．17．【分析】以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系利用空间向量法计算出异面直线的公垂线的长度即为所求【详解】由题意可知线段长度的最小值为异面直线的公垂线的长度如下图所示以点为坐标原点所在直线分解析：13【分析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算出异面直线1C D 、AC 的公垂线的长度，即为所求.【详解】由题意可知，线段PQ 长度的最小值为异面直线1C D 、AC 的公垂线的长度.如下图所示，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则点()1,0,0A 、()0,1,0C 、()10,1,2C 、()0,0,0D ，所以，()1,1,0AC =-，()10,1,2=DC ，()1,0,0DA =，设向量(),,n x y z =满足n AC ⊥，1⊥n DC ，由题意可得1020n AC x y n DC y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，解得2x y y z =⎧⎪⎨=-⎪⎩，取2y =，则2x =，1z =-，可得()2,2,1n =-，因此，min 23DA n PQ n ⋅==. 故答案为：23. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于将PQ 长度的最小值转化为异面直线AC 、1C D 的距离，实际上就是求出两条异面直线的公垂线的长度，利用空间向量法求出两条异面直线间的距离，首先要求出两条异面直线公垂线的一个方向向量的坐标，再利用距离公式求解即可. 18．【解析】∵∴∴故答案为解析：111,,633【解析】∵ O G OM MG =+，12OM OA =，2 ,3MG MN MN ON OM ==-，1 ()2ON OB OC =+，∴111 633OG OA OB OC =++，∴16x =，13y z ==，故答案为111,,63319．【解析】距离【解析】距离d ==20．【解析】分析：设的中点为连接由余弦定理可得利用三角函数的有界性可得结果详解：设的中点为连接则是二面角的平面角可得在三角形中由余弦定理可得即的取值范围是为故答案为点睛：本题主要考查空间两点的距离余弦定解析：)【解析】分析：设AB 的中点为D ，连接,,VD CD VC ，由余弦定理可得22233cos 22VC a a VDC =-∠，利用三角函数的有界性可得结果. 详解：设AB 的中点为D ，连接,,VD CD VC ，则VD VC == VDC ∠是二面角V AB C --的平面角，可得0,1cos 1VDC VDC π<∠<-<∠<，在三角形VDC 中由余弦定理可得，2222cos VC VDC ⎫⎫=+-∠⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2233cos 22a a VDC =-∠22030VC a VC <<⇒<<，即VC 的取值范围是()，为故答案为().点睛：本题主要考查空间两点的距离、余弦定理的应用，意在考查空间想象能力、数形结合思想的应用，属于中档题. 三、解答题21．答案见解析【分析】先利用已知条件写出点坐标，设(0,,2)(02),(,2,2)(02)E a a F b b ≤≤≤≤，进而得到1,,,EF A A F C E B 的坐标，利用空间向量数量积的坐标表示求出1,EF A AE BF C ⋅⋅；若选① ：利用空间向量数量积的坐标表示公式、空间向量垂直的性质即可求解；若选② ：利用空间向量模的坐标表示公式即可得出结果；若选③ ：利用空间向量夹角的性质进行求解即可.【详解】解：由题意，正方体1111ABCD A BC D -棱长为2，则1(2,0,0),(2,2,0),(2,0,2),(0,0,0),(0,2,0)A B A D C ，设(0,,2)(02),(,2,2)(02)E a a F b b ≤≤≤≤，则1(,2,0),(2,2,2),(2,,2),(2,0,2)EF b a A AE a BF b C =-=--=-=-，所以142(),82EF A a b AE C BF b ⋅=-+⋅=-.选择①：()()DE CF DE CF +⊥-，所以22()()0,DE CF DE CF DE CF +⋅-==，得a b =，若10EF AC ⋅=得42()0a b -+=，则1a b ==，故存在点(0,1,2),(1,2,2)E F ，满足10EF AC ⋅=，826AE BF b ⋅=-=. 选择②：因为17||2DE =，=，得12a =，若10EF AC ⋅=，即42()0a b -+=，得32b =. 故存在点130,,2,,2,222E F ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，满足10EF AC ⋅=，825AE BF b ⋅=-=. 选择③：因为0cos ,1EF DB <〈〉<，所以EF 与DB 不共线，所以2b a ≠-，即2a b +≠，则142()0EF AC a b ⋅=-+≠，故不存在点,E F 满足10EF AC ⋅=. 【点睛】关键点睛：建立空间坐标系，利用空间向量数量积的坐标表示、空间向量垂直的性质、空间向量模的坐标表示公式以及空间向量夹角的性质是解决本题的关键.22．（1）详见解析；（2）66. 【分析】（1）根据四边形ABB 1A 1和ADD 1A 1均为正方形，得到11,AA AB AA AD ⊥⊥，再由线面垂直的判定定理证得1AA ⊥平面ABCD ，然后利用面面垂直的判定定理证明.（2）以A 为原点，以1,,AB AD AA 分别为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系,求得平面1BCD 的一个法向量为(),,m x y z =，又平面CDA 的一个法向量为()0,0,1n =，然后由cos ,m n m n m n ⋅=⋅求解.【详解】（1）因为四边形ABB 1A 1和ADD 1A 1均为正方形.所以11,,AA AB AA AD AB AD A ⊥⊥⋂=，所以1AA ⊥平面ABCD ；又因为1AA ⊂平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1平面ABCD ；（2）以A 为原点，以1,,AB AD AA 分别为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系：则()()()()10,0,0,2,1,0,0,2,0,2,0,2A C D B ，所以()()12,1,0,0,1,2CD CB =-=-，设平面1BCD 的一个法向量为(),,m x y z =，则100m CD m CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x y y z -+=⎧⎨-+=⎩，令1,2,1x y z ===，则()1,2,1m =，又平面CDA 的一个法向量为()0,0,1n =，所以16cos ,66m nm n m n ⋅===⋅，二面角B 1CD-A 的余弦值是66【点睛】方法点睛：求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．23．（1）证明见解析；（2）2211. 【分析】（1）取SC 的中点F ，连接,DF EF ，证明四边形ADFE 为平行四边形，可得//AE DF ，即可证//AE 平面SCD ；（2）建立如图所示空间直角坐标系，然后写出各点坐标，得平面ABE 的法向量为AD ，计算平面ACE 的法向量m ，利用数量积公式代入计算二面角的余弦值.【详解】（1）证明：取SC 的中点F ，连接,DF EF因为E 、F 为SB 、SC 的中点，所以//EF BC 且132EF BC ==，又因为//AD BC ，3AD =，6BC =，所以//EF AD 且EF AD =，所以四边形ADFE 为平行四边形，所以//AE DF ，又AE ⊄平面SCD ，DF ⊂平面SCD ，所以//AE 平面SCD ．（2）因为SA ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，所以建立如图所示空间直角坐标系，则(0,0,0),(4,0,0),(4,6,0),(0,3,0),(2,0,2)A B C D E ，(2,0,2),(4,0,0),(4,6,0)AE AB AC ===，(0,3,0)AD = 由题意可知AD ⊥平面ABE ，设平面ACE 的法向量(,,)m x y z =所以00AC m AE m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，则460220x y x z +=⎧⎨+=⎩，得(3,2,3)m =-- 设二面角B AE C --的平面角为θ，所以622cos cos ,322AD m θAD m AD m ⋅-====⨯，所以二面角B AE C --的余弦值为2211.【点睛】本题考查了立体几何中的线面平行的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面关系的相互转化，通过中位线平行证明线线平行，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.24．（1）证明见解析（2）22（3）155 【分析】(1)由PB PD =可得出PO BD ⊥，再由菱形性质可得AC BD ⊥，即可证明BD ⊥平面POC ，可得PC BD ⊥；（2）先证明OP ⊥平面ABCD ，可以O 为原点，以OB ，OC ，OP 为坐标轴建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角；（3）由（2）利用向量法求二面角的余弦值.【详解】（1）设,AC BD 交点为O ,连接PO ，ABCD 是边长为2的菱形，,AC BD O ∴⊥是,AC BD 的中点，,PD O B BD P P =∴⊥，又PO ⊂平面POC ,AC ⊂平面 POC ，PO AC O =，BD ∴⊥平面POC ，PC ⊂平面POC ，.C BD P ∴⊥（2）60,2,A D B D A A B ︒===∠ABD ∴是等边三角形，又AB PB PD ==PBD ∴是等边三角形， 3P OA O ∴== 222OP PA OA +∴=，OA OP ∴⊥又,OP OB OA OB O ⊥⋂=OP ∴⊥平面ABCD ，以O 为原点，以OB ，OC ，OP 为坐标轴建立空间直角坐标系如图:则(1,0,0),3,0),3)B C P ，(0,3,3PC ∴=-，而3,0)OC →=是平面 PBD 的一个法向量，设直线PC 与平面PBD 所成角为θ，则||2sin 263|||||PC OC PC OC θ→→→→⋅===⋅ 所以直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值为22. (3)由（2）知(3,0)BC →=-,(3,3PC =-设平面BPC 的法向量n (x,y,z)→=，则.0.0n PC n BC ⎧=⎨=⎩,33030y z x y ⎧-=⎪∴⎨-+=⎪⎩, 令1y =，得3,1x z ==，所以(3,1,1)n →=，又BD ⊥平面EPC , (1,0,0)m ∴=是平面 EPC 的一个法向量，315cos ,||||515m n m n m n ⋅∴〈〉===⋅⋅， ∴二面角B PC E --的余弦值为155. 【点睛】关键点点睛：根据题目所给条件，利用平面几何知识证明OA OP ⊥，再根据OP OB ⊥，证明OP ⊥平面ABCD ，得以O 为原点，以OB ，OC ，OP 为坐标轴建立空间直角坐标系是解题的关键所在.25．（1）点M 在CE 的中点处，证明见解析；（2）32. 【分析】（1）首先观察图形的特征，确定点M 的位置，之后利用线面平行的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，设出边长，写出点的坐标，利用向量法求得线面角的正弦值.【详解】（1）点M 在CE 的中点处，证明如下：取BC 中点P ，连接,BP AP ，根据题意，可知//,PM AF PM AF =，所以四边形AFMP 是平行四边形，所以//AP MF ，又因为FM ⊄平面ABCD ，AP ⊂平面ABCD ，所以//MF 平面ABCD ；（2）设1AF AB AD ===，如图建立空间直角坐标系，则有1(1,0,1),(1,1,0),(0,1,),(0,0,0)2D F M B ，所以(0,1,1)DF =-，1(1,1,0),(0,1,)2BF BM ==，设平面BFM 的法向量为(,,)n x y z =，则有00n BF n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即0102x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取1y =，则有1,2x z =-=-，所以平面BFM 的一个法向量为(1,1,2)n =--，所以03cos ,26DF nDF n DF n ⋅+<>===⋅，所以直线DF 与平面BFM 3 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，解题思路如下：（1）首先根据图形的特征，判断出点的位置，之后利用线面平行的判定定理证明即可；（2）在证明的过程中，注意线在面外和线在面内的条件；（3）建立空间直角坐标系，求得平面的法向量和直线的方向向量；（4）利用向量所成角的余弦值得到线面角的正弦值.26．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）3913. 【分析】（Ⅰ）取AD 的中点G ，连结PG 、GB 、BD ，根据PA PD =和ABD △是正三角形，证明AD ⊥平面PGB 即可.（Ⅱ）根据侧面PAD ⊥底面ABCD ，PG AD ⊥，易得直线GA 、GB 、GP 两两互相垂直，以G 为原点，直线GA 、GB 、GP 所在直线为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系G xyz -，求得平面PBC 的一个法向量()000,,n x y z =，再由平面PAD 的一个法向量1(0,3,0)n GB a ==，设平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角为θ，由11cos ||n n n n θ⋅=⋅求解. 【详解】（Ⅰ）如图所示：取AD 的中点G ，连结PG 、GB 、BD ．PA PD =，PG AD ∴⊥AB AD =，且60DAB ∠=︒，ABD ∴是正三角形，BG AD ⊥，又PG BG G =，AD ∴⊥平面PGB ．AD PB ∴⊥（Ⅱ）∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，又PG AD ⊥，PG ∴⊥底面ABCD ．PG BG ∴⊥．∴直线GA 、GB 、GP 两两互相垂直，故以G 为原点，直线GA 、GB 、GP 所在直线为x 轴、y 轴和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -．设PG a =，则可求得(0,0,)P a ，(,0,0)A a ，3,0)B a ，(,0,0)D a -，33,02C a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． 33,,02BC a ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭．(0,3,)PB a a ∴=-．设()000,,n x y z =是平面PBC 的一个法向量，则0n BC ⋅=且0n PB ⋅=．0000330,230.ax ay az ⎧-=⎪∴⎪-=⎩解得00003,3.x y z y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 取03y =(1,3,3)n =-．又∵平面PAD 的一个法向量13,0)n GB a ==，设平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角为θ，则1139cos ||1393n n n n aθ⋅===⋅++⋅ 所以平面PAD 与平面PBC 39 【点睛】方法点睛：求二面角最常用的方法：1、几何法：二面角的大小用它的平面角来度量．平面角的作法常见的有①定义法；②垂面法．注意利用等腰、等边三角形的性质．向量法：分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．。

高中数学选修2-1 第一章《常用逻辑用语》单元测试题(含答案)

高中数学选修2-1 第一章单元测试题《常用逻辑用语》时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列语句中，不能成为命题的是( )A．指数函数是增函数吗？B．2 012＞2 013C．若a⊥b，则a·b＝0D．存在实数x0，使得x0＜02．已知命题：“若x≥0，y≥0，则xy≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．43．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．下列命题中的假命题是( )A．存在x∈R，lg x＝0 B．存在x∈R，tan x＝1C．任意x∈R，x3＞0 D．任意x∈R,2x＞05．下列命题中是全称命题并且是真命题的是( )A．每个二次函数的图象与x轴都有两个不同的交点B．对任意非正数c，若a≤b＋c，则a≤bC．存在一个菱形不是平行四边形D．存在一个实数x使不等式x2－3x＋7＜0成立18．(本小题满分12分)写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实数根；(2)p：存在一个实数x，使得3x＜0；(3)p：若a n＝－2n＋1，则∃n∈N，使S n＜0；(4)p：有些偶数是质数．19．(本小题满分12分)设命题p：c2＜c和命题q：对∀x∈R，x2＋4cx＋1＞0，且p∨q为真，p∧q为假，求实数c的取值范围．20．(本小题满分12分)已知p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)(x－m－1)≤0，若綈p是綈q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．21．(本小题满分12分)已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.22．(本小题满分12分)给出两个命题：命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅，命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．分别求出符合下列条件的实数a的范围．(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．高中数学选修2-1 第一章单元测试题《常用逻辑用语》参考答案时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列语句中，不能成为命题的是( )A．指数函数是增函数吗？B．2 012＞2 013C．若a⊥b，则a·b＝0D．存在实数x0，使得x0＜0解析：疑问句不能判断真假，因此不是命题．D是命题，且是个特称命题．答案：A2．已知命题：“若x≥0，y≥0，则xy≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：原命题是真命题，逆否命题为真命题，逆命题为“若xy≥0，则x≥0，y≥0”是假命题，则否命题为假命题．答案：B3．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：先求出两直线平行的条件，再判断与a＝1的关系．若l1∥l2，则2a －2＝0，∴a＝1.故a＝1是l1∥l2的充要条件．答案：C。

高中数学选修2-1 第二章《圆锥曲线与方程》单元测试题(含答案)

12PF F S ＝解析：设P (x 0，y 0)，PF 的中点为(x ，y )，则y 0＝14x 20，又F (0,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 02y ＝y 0＋12，∴⎩⎨⎧x 0＝2xy 0＝2y －1，代入y 0＝14x 20得2y －1＝14(2x )2，化简得x 2＝2y －1，故选A. 答案：A7．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32C ．1 D. 3 解析：由已知解出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解．由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为3x －y ＝0或3x ＋y ＝0，则焦点到渐近线的距离d 1＝|3×1－0|32＋－12＝32或d 2＝|3×1＋0|32＋12＝32. 答案：B8．直线y ＝x ＋b 与抛物线x 2＝2y 交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且OA ⊥OB ，则b ＝( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎨⎧y ＝x ＋b ，x 2＝2y ，消去y ，得x 2－2x －2b ＝0，所以x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－2b ，y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝b 2，∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线， ∴所求轨迹的方程为x 2＝4y . (2)由题意易知直线l 2的斜率存在，又抛物线方程为x 2＝4y ，当直线AB 斜率为0时|PQ |＝4 2.当直线AB 斜率k 不为0时，设中点坐标为(t,2)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则有x 21＝4y 1，x 22＝4y 2，两式作差得x 21－x 22＝4(y 1－y 2)，即得k ＝x 1＋x 24＝t 2，则直线方程为y －2＝t2(x －t )，与x 2＝4y 联立得x 2－2tx ＋2t 2－8＝0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝2t 2－8， |PQ |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 24[4t 2－42t 2－8]＝8－t 24＋t 2≤6，即|PQ |的最大值为6.19．(本小题满分12分)已知双曲线的焦点在x 轴上，离心率为2，F 1，F 2为左、右焦点，P 为双曲线上一点，且∠F 1PF 2＝60°，12PF F S ＝123，求双曲线的标准方程．解析：如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．∴所求k 的值为2.21．(本小题满分12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点为A (0,1)，离心率为22，过点B (0，－2)及左焦点F 1的直线交椭圆于C ，D 两点，右焦点设为F 2.(1)求椭圆的方程； (2)求△CDF 2的面积．解析：(1)由题意知b ＝1，c a ＝22，且c 2＝a 2＋b 2，解得a ＝2，c ＝1. 易得椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)∵F 1(－1,0)，∴直线BF 1的方程为y ＝－2x －2，由⎩⎨⎧y ＝－2x －2x22＋y 2＝1得9x 2＋16x ＋6＝0.∵Δ＝162－4×9×6＝40＞0，所以直线与椭圆有两个公共点，设为C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－169x 1·x 2＝23∴|CD |＝1＋－22|x 1－x 2|＝5·x 1＋x 22－4x 1x 2＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1692－4×23＝1092，又点F 2到直线BF 1的距离d ＝455，故CDF S2＝12|CD |·d ＝4910. 22．(本小题满分12分)过点C (0,1)的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为。

上海青浦区实验中学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试题(含答案解析)

一、选择题1．设双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的左､右焦分别是1F ，2F ，过1F 的直线交双曲线C 的左支于M ，N 两点若212=MF F F ，且112MF NF =，则双曲线C 的离心率是（） A ．2B ．32C ．54D ．532．P 是椭圆221169x y +=上的点，1F 、2F 是椭圆的左、右焦点，设12PF PF k ⋅=，则k的最大值与最小值之和是（） A ．16 B ．9 C ．7 D ．253．人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.探照灯、手电筒也是利用这个原理设计的.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，从点F 出发的光线第一象限内抛物线上一点P 反射后的光线所在直线方程为2y =，若入射光线FP 的斜率为43，则抛物线方程为（） A ．28y x =B ．26y x =C ．24y x =D ．22y x =4．已知双曲线221(0,0)x y m n m n-=>>和椭圆22174x y +=有相同的焦点，则11m n +的最小值为（）A ．12 B ．32 C ．43D ．95．若圆222210x y ax y +-++=与圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点()2,C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为（）A ．24480y x y -++=B ．22220y x y +-+=C ．2210y x y ---=D ．24250y x y +-+=6．已知1F ，2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，若在右支上存在点A 使得点2F 到直线1AF ，则离心率e 的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭7．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点P 在抛物线上，点9,02Q p ⎛⎫⎪⎝⎭．若2QF PF =，且PQF △的面积为p =（）A ．1B ．2C ．3D ．48．椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上一点M 关于原点的对称点为N ，F 为椭圆的一个焦点，若0MF NF ⋅=，且3MNF π∠=，则该椭圆的离心率为（） A ．212-B ．22 C ．33D ．31-9．如图所示，12FF 分别为椭圆2222x y 1a b+=的左右焦点，点P 在椭圆上，2POF 的面积为3的正三角形，则2b 的值为( )A 3B ．23C ．33D ．4310．抛物线224y x x =-的焦点坐标是( ) A ．F (0，18) B ．F (1，－158) C ．F (0，－158) D ．(1，18) 11．(2018·太原一模)已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足0FA FB FC ++=，则111AB BC CAk k k ++= ( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．2p12．已知椭圆r ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，且离心率为12，三角形ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，设它的三条边AB ､BC ､AC 的中点分别为D ､E ､M ，且三条边所在直线的斜率分别为1k ､2k ､3k ，且1k ､2k ､3k 均不为0.O 为坐标原点，若直线OD ､OE ､OM 的斜率之和为1.则123111k k k ++=（） A ．43-B ．-3C ．1813-D ．32-二、填空题13．设12,F F 为双曲线22212x y a -=的两个焦点，已知点P 在此双曲线上，且123F PF π∠=，若此双曲线的离心率等于62，则点P 到y 轴的距离等于__________． 14．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>）的左，右焦点分别是1F ，2F ，直线:(10)l y k x =-过点2F ，且与双曲线C 在第一象限交于点P .若（22()0OP OF PF +⋅=（O 为坐标原点），且()121PF a PF +=，则双曲线C 的离心率为__________.15．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，直线:36l y x =+过点1F ，且与双曲线C 在第二象限交于点P ，若点P 在以12F F 为直径的圆上，则双曲线C 的离心率为_____________．16．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与直线11:2l y x =，21:2l y x =-，过椭圆上一点P作12,l l 的平行线，分别交12,l l 于,M N 两点，若||MN 为定值，则ab=__________. 17．如图，将桌面上装有液体的圆柱形杯子倾斜α角（母线与竖直方向所成角）后，液面呈椭圆形，当30α=︒时，该椭圆的离心率为____________.18．双曲线221916x y -=的左焦点到渐近线的距离为________．19．在平面直角坐标系中，曲线C 是由到两个定点1,0A 和点()1,0B -的距离之积等于2C ，有下列四个结论：①曲线C 是轴对称图形； ②曲线C 是中心对称图形；③曲线C 上所有的点都在单位圆221x y +=内；其中，所有正确结论的序号是__________．20．已知双曲线的方程为221916x y -=，点12,F F 是其左右焦点，A 是圆22(6)4x y +-=上的一点，点M 在双曲线的右支上，则1||||MF MA +的最小值是__________.三、解答题21．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的离心率为12，过点()03，，且BMN ∆是椭圆C 的内接三角形.（1）若点B 为椭圆C 的上顶点，且原点O 为BMN ∆的垂心，求线段MN 的长；（2）若点B 为椭圆C 上的一动点，且原点O 为BMN ∆的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值.22．已知抛物线26y x =焦点为F ，一条直线过焦点与抛物线相交于A ，B 两点，直线的倾斜角为60.（1）求线段AB 的长度.（2）过点()3,0Q 的直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，点P 为直线3x =-上的任意一点，设直线PM ，PQ ，PN 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且满足132k k k μ+=，μ能否为定值？若为定值，求出μ的值；若不为定值，请说明理由.23．已知离心率22e =的椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的一个焦点为()1,0-.（1）求椭圆C 的方程；（2）若斜率为1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且423AB =，求直线l 的方程. 24．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴为2，椭圆上的点到焦点的最短距离为23-.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的右顶点和上顶点分别为,M N ，斜率为12的直线l 与椭圆C 交于P Q 、两点，求证：直线MP 与NQ 的斜率之和为定值；（3）过右焦点2F 作相互垂直的弦,AB CD ，求||||AB CD +的最小值.25．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点与抛物线243y x =的焦点重合，短轴的一个端点与两焦点围成的三角形面积为3. （1）求椭圆C 的方程；（2）设过点(0,4)的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且坐标原点O 在以AB 为直径的圆上，求直线l 的斜率.26．在平面直角坐标系xOy 中，动点M 到点(1,0)A -和(1,0)B 的距离分别为1d 和2d ，2AMB θ∠=，且212cos 1d d θ=.（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）是否存在直线l 过点B 与轨迹E 交于P ，Q 两点，且以PQ 为直径的圆过原点O ？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据题意画出图形，结合图形建立关于c ､a 的关系式，再求离心率ce a=的值. 【详解】解：如图所示，取1F M 的中点P ，则2122MF FF c ==，MP c a =-，1F P c a =-；又112NF MF =，则()14NF c a =-，242NF c a =-；在2Rt NPF △中，22222NP PF NF +=，在2Rt MPF △中，22222MP PF MF +=，得()()()()22224252c a c a c c a ---=--⎡⎤⎣⎦，化简得223850c ac a -+=，即()()350c a c a --=，解得c a =或35c a =；又1e >， ∴离心率53c e a ==. 故选：D .【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是建立,a c 的等量关系，结合等腰三角形的性质与双曲线的定义可得．2．D解析：D 【分析】设(),P x y ，根据标准方程求得271616k x =-，再由椭圆的几何性质可得最大值与最小值，从而可得结论. 【详解】因为椭圆方程为椭圆221169x y +=，所以4,7a c =设(),P x y ，则()()22222127·771616k PF PF x y x y x ==-+-+-, 又2016x ≤≤.∴max min 16,9k k ==. 故max min +16+925k k ==. 所以k 的最大值与最小值的和为25. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于将所求得量表示成椭圆上的点的坐标间的关系，由二次函数的性质求得其最值.3．D解析：D 【分析】由抛物线方程可得焦点坐标，设出P 点坐标，由性质求出P 点坐标，表示出FP 的斜率，解出p ，即可得抛物线方程. 【详解】,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设()00,P x y由题意有02y =将02y =代入()220y px p =>得02x p=2,2P p ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，且FP 的斜率为43，有204232p p -=-解得：1p =故抛物线方程为：22y x = 故选：D 【点睛】抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，2p等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．4．C解析：C 【分析】本题首先可根据双曲线和椭圆有相同的焦点得出3m n +=，然后将11m n+转化为123m n n m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，最后利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】因为双曲线221x y m n-=和椭圆22174x y +=有相同的焦点，所以743m n ，则()111111233m n m n m n n m n m ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 142233m n n m，当且仅当m n =时取等号，故11m n+的最小值为43，故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线与椭圆焦点的相关性质的应用，双曲线有222+=a b c ，椭圆有222a b c =+，考查利用基本不等式求最值，是中档题.5．D解析：D 【分析】首先根据两圆的对称性，列式求a ，再利用直接法求圆心P 的轨迹方程. 【详解】由条件可知222210x y ax y +-++=的半径为1，并且圆心连线所在直线的斜率是1-，()()2222222101x y ax y x a y a +-++=⇔-++=，，圆心(),1a -，22r a =，所以2111a a -⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得：1a =，即()2,1C -设(),P x y ，由条件可知PC x =x =，两边平方后，整理为24250y x y +-+=. 故选：D 【点睛】方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种：1.直接法：把题设条件直接“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程.2.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.3.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法.6．D解析：D 【分析】设直线1AF 的方程，利用点2F 到直线的距离建立等式，解出斜率k ，因为0bk a<<，从而求出,a c 的不等关系，进而解出离心率的范围. 【详解】设1AF ：()y k x c =+，因为点A 在右支上，则0b k a<<，，所以222222343a b k c a a =<-，即2247c a >，解得：2e > 故选：D . 【点睛】本题考查双曲线求离心率，属于中档题.方法点睛：（1）利用点到直线的距离建立等量关系；（2）解出斜率k 与,a b 的关系；（3）由点在右支和左焦点的位置关系，求出斜率k 的范围；（4）利用斜率k 的范围，建立,a c 的不等式，求出离心率的范围.7．B解析：B 【分析】根据题意得||4QF p =，||2PF p =，进而根据抛物线的定义得P 点的横坐标为32P x p =，设点P 在x 轴上方，故P ，再结合三角形PQF △面积即可得答案.【详解】解：由条件知(,0)2p F ，所以||4QF p =，所以1||||22PF QF p ==，由抛物线的准线为2p x =-，及抛物线的定义可知，P 点的横坐标为3222p p p -=，不妨设点P 在x 轴上方，则P ，所以142PQFSp =⨯=2p =．故选：B 【点睛】本题解题的关键在于根据抛物线的定义得P 点的横坐标为32P x p =，进而求出P 的纵坐标并结合三角形PQF △面积求解，考查运算求解能力，是中档题.8．D解析：D 【分析】E 是另一个焦点，由对称性知MENF 是平行四边形，从而得MENF 是矩形．3MEF MNF π∠=∠=，在直角三角形MEF 中用c 表示出两直角边，再上椭圆定义得,a c 的等式，求得离心率．【详解】如图，E 是另一个焦点，由对称性知MENF 是平行四边形， ∵0MF NF ⋅=，∴MF NF ⊥，∴MENF 是矩形．3MNF π∠=，∴3MEF π∠=，∴1cos232ME EF c c π==⨯=，2sin3MF c π==，∴1)2MF ME c a +==，∴1c e a ===．故选：D ．【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到,a c 的关系，本题利用椭圆的对称性，引入另一焦点E 后形成一个平行四边形MENF ，再根据向量数量积得垂直，从而得到矩形，在矩形中利用椭圆的定义构造出,a c 的关系．求出离心率．9．B解析：B 【分析】由2POF 3233=.c 把(3P 代入椭圆方程可得：22131a b+=，与224a b =+联立解得即可得出．【详解】解：2POF 3233= 解得2c =．(3P ∴代入椭圆方程可得：22131a b+=，与224a b =+联立解得：223b = 故选B ．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等边三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．B解析：B 【分析】右边配方后，利用抛物线的标准方程结合图象平移变换求解．【详解】已知抛物线方程为22(1)2y x =--，即21(1)(2)2x y -=+，它的图象是由抛物线212x y =向右平移1单位，再向下平移2个单位得到的，抛物线212x y =中122p =，14p =，焦点坐标为1(0,)8，011+=，115288-=-，因此所求焦点坐标为15(1,)8-，故选：B ．【点睛】本题考查求抛物线的焦点坐标，掌握抛物线的标准方程与图象变换是解题关键．11．A解析：A 【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y . ∵抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ∴(,0)2p F ∵0FA FB FC ++= ∴112233(,)(,)(,)(0,0)222p p px y x y x y -+-+-= ∴1230y y y ++=∵2221212121211()122AB y y x x y y p k y y y y p--+===--，同理可知3212BC y y k p +=，3112CA y y k p +=. ∴3231123212()11102222AB BC CA y y y y y y y y y k k k p p p p+++++++=++== 故选A.12．A解析：A 【分析】根据椭圆的右焦点为()1,0F ，且离心率为12，求出椭圆方程，由三角形ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，利用点差法求解. 【详解】因为椭圆的右焦点为()1,0F ，且离心率为12，所以11,2c c a ==，解得 22,3a b ==，所以椭圆方程为：22143x y +=，设 ()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则222212121,14343y x y x +=+=，两式相减得：()()1212121243+-=--+y y x x y y x x ，即143OD AB k k =-，同理1414,33OM OE AC BC k k k k =-=-，又直线OD ､OE ､OM 的斜率之和为1，所以()1231114433OD OM OE k k k k k k ++=-++=-，故选：A 【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法以及直线与椭圆的位置关系和中点弦问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．【解析】依题意由解得根据双曲线焦点三角形面积公式有解得代入双曲线方程解得解析：【解析】依题意，由222{b c a c a b ===+，解得2,a c =，根据双曲线焦点三角形面积公式有212F F 21b cotπ22tan6P S y∠===⋅，解得y =，代入双曲线方程解得x =14．【分析】取的中点则根据得则设根据结合双曲线的定义得到然后在中利用勾股定理求解即可【详解】如图取的中点则因为所以即因为是的中位线所以由题意可得设则由双曲线的定义可知则即故在中由勾股定理得即整理得解得故解析：2【分析】取2PF 的中点H ，则22OP OF OH +=，根据22()0OP OF PF +⋅=，得2OH PF ⊥，则12PF PF ⊥，设2PF m =，根据()121PF a PF +=结合双曲线的定义得到2||2PF =，122PF a =+，然后在12Rt PF F 中，利用勾股定理求解即可.【详解】如图，取2PF 的中点H ，则22OP OF OH +=，因为22()0OP OF PF +⋅=，所以20OH PF ⋅=，即2OH PF ⊥.因为OH 是12PF F △的中位线，所以12PF PF ⊥.由题意可得10c =，设2PF m =，则()11PF a m =+，由双曲线的定义可知12||2PF PF a -=，则2am a =，即2m =，故2||2PF =，122PF a =+.在12Rt PF F 中，由勾股定理得2221122||||PF PF F F +=，即()242240a ++=，整理得2280a a +-=，解得2a =.故双曲线C 的离心率为102c a =. 故答案为：102【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和定义的应用以及平面几何的知识，平面向量垂直问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.15．【分析】利用直线l 的斜率和点P 在以为直径的圆周上在直角三角形中求出和用定义求出代入离心率公式求解即可【详解】由题意可得则因为直线l 的斜率是3则因为点P 在以为直径的圆周上所以所以则故双曲线C 的离心率为解析：102【分析】利用直线l 的斜率和点P 在以12F F 为直径的圆周上，在直角三角形12PF F 中，求出1PF和2PF ，用定义求出a ，代入离心率公式求解即可．【详解】由题意可得2c =，则2124F F c ==．因为直线l 的斜率是3，则12sin PF F ∠=，12cos PF F ∠=．因为点P 在以12F F 为直径的圆周上，所以1290F PF ∠=︒，所以11212cos PF F F PF F =∠=，21212sin PF F F PF F =∠=，则212PF PF a -==，故双曲线C的离心率为c a =【点睛】本题考查双曲线的性质，考查双曲线定义的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．16．4【解析】当点时过椭圆上点作的平行线分别为联立可得同理可得所以当点时过椭圆上点作的平行线分别为联立可得同理可得所以所以为定值则所以点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系此类问题的解答中主要特例法的应用解析：4 【解析】当点(0,)P b 时，过椭圆上点P 作12,l l 的平行线分别为11,22y x b y x b =+=-+，联立1212y x b y x⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得(,)2b M b ，同理可得(,)2b N b -，所以2MN b =,当点(,0)P a 时，过椭圆上点P 作12,l l 的平行线分别为11,2222a ay x y x =-=-+，联立12212a y x y x⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得(,)24a a M ，同理可得(,)24a a N -，所以2a MN =,所以MN 为定值，则22ab =，所以4a b=. 点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，此类问题的解答中主要特例法的应用，是解答选择题的一种方法，本题的解答中取点P 分别为长轴和短轴的端点，联立方程组，求得MN ，得出,a b 的关系式是解答关键，平时应注意特殊值等方法在选择题解答中的应用.17．【分析】由图知椭圆的短轴长为圆柱的直径椭圆的长半轴与底面半径构成夹角为的直角三角形由此可求得椭圆离心率【详解】设圆柱形杯子的底面半径为画示意图如图所示：则是椭圆的长半轴长是椭圆的短半轴长则又则故答案解析：12【分析】由图知椭圆的短轴长为圆柱的直径，椭圆的长半轴与底面半径构成夹角为30的直角三角形，由此可求得椭圆离心率. 【详解】设圆柱形杯子的底面半径为b ，画示意图如图所示：则OC 是椭圆的长半轴长，OB 是椭圆的短半轴长，则22BC a b c =-=，又30COB α∠==︒，则1sin 2c e a α===. 故答案为：12【点睛】本题考查了圆柱的截面为椭圆的问题，根据椭圆的性质求出椭圆的离心率，考查了学生的分析能力，空间想象能力，属于中档题.18．4【分析】首先根据题中所给的双曲线方程求出其左焦点坐标和渐近线方程之后利用点到直线的距离公式求得结果【详解】根据题意双曲线的方程为其中所以所以其左焦点的坐标为渐近线方程为即则左焦点到其渐近线的距离为解析：4 【分析】首先根据题中所给的双曲线方程，求出其左焦点坐标和渐近线方程，之后利用点到直线的距离公式求得结果. 【详解】根据题意，双曲线的方程为221916x y -=，其中3,4a b ==，所以5c =，所以其左焦点的坐标为(5,0)-，渐近线方程为43y x =±，即430x y ±=，则左焦点到其渐近线的距离为2045d ===，故答案为：4. 【点睛】该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有根据双曲线的方程求其焦点坐标以及渐近线方程，点到直线的距离公式，属于简单题目.19．①②【分析】由题意曲线是平面内与两个定点和的距离的积等于常数设动点坐标为得到动点的轨迹方程然后由方程特点即可加以判断【详解】由题意设动点坐标为利用题意及两点间的距离公式的得：对于①分别将方程中的被﹣解析：①② 【分析】由题意曲线C 是平面内与两个定点1,0A 和()1,0B -标为(),x y ，得到动点的轨迹方程，然后由方程特点即可加以判断．【详解】由题意，设动点坐标为(),x y ，利用题意及两点间的距离公式的得：=对于①，分别将方程中的x 被﹣x 代换y 不变，y 被﹣ y 代换x 不变，方程都不变，故关于y 轴对称和x 轴对称，故曲线C 是轴对称图形，故①正确对于②，把方程中的x 被﹣x 代换且y 被﹣y 代换，方程不变，故此曲线关于原点对称，曲线C 是中心对称图形，故②正确；对于③，令y ＝0=x 21>，此时对应的点不在单位圆x 2+y 2=1内，故③错误．故答案为：①② 【点睛】本题考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.20．【分析】设点的坐标为利用双曲线的定义可得于是转化求解即可【详解】解：由题意可得即则的坐标分别为由双曲线的定义得又是圆上的点圆的圆心为半径为2由图可知则的最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的解析：【分析】设点C 的坐标为(0,6)，利用双曲线的定义，可得12||||26MF MF a -==，于是1||||MF MA +=2||||2||MF CM a CA ++-2||62CF ≥+-，转化求解即可．【详解】解：由题意可得，291625c =+=，即5c =，则1F ，2F 的坐标分别为(5,0)-，(5,0)，由双曲线的定义，得12||||26MF MF a -==，又A 是圆22(6)4x y +-=上的点，圆的圆心为(0,6)C ，半径为2，由图可知，22||||||CM MF CF +≥，12||||||||2||MF MA MF CM a CA +=++-2||62461CF ≥+-=则1||||MF MA +的最小值为4+61 故答案为：4+61 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，熟练掌握双曲线的性质及其圆外一点到圆上一点距离的最小值是解题的关键，属于中档题．三、解答题21．（143323 【分析】（1）根据题意，先求出椭圆的方程，由原点O 为BMN △的垂心可得BO MN ⊥，//MN x 轴，设(),M x y ，则(),N x y -，22443x y =-，根据·=0BM ON 求出线段MN 的长；（2）设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则()1212,A x x y y ++，当MN 斜率不存在时，则O 到直线MN 的距离为1，由斜率存在时根据()()222222121211221434343x x y y x y x y +++=+=+=，即1212346x x y y +=-，由方程联立得出22443m k =+，再由点到直线的距离求出最值. 【详解】解：（1）设焦距为2c，由题意知：22212b b ac c a ⎧⎪=⎪=-⎨⎪⎪=⎩，22431a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩因此，椭圆C 的方程为：22143x y +=；由题意知：BO MN ⊥，故//MN x 轴，设(),M x y ，则(),N x y -，22443x y =-，2227·403BM ON x y y =-+=-=，解得：y =， B ，M不重合，故y =213249x =，故2MN x ==（2）设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，当MN 斜率不存在时，点D 在x 轴上，所以此时点B 在长轴的端点处由2OB =,则1OD =，则O 到直线MN 的距离为1；当MN 斜率存在时，设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则1212,22x x y y D ++⎛⎫⎪⎝⎭，所以()1212,A x x y y ++，所以()()222222121211221434343x x y y x y x y +++=+=+=，即1212346x x y y +=- 也即()()1212346x x kx m kx m +++=-()()221212434460kx x mk x x m +++++=223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，则()2224384120k x mkx m +++-= ()2248430k m∆=+->，x =则：122843mk x x k -+=+，212241243m x x k -=+，代入式子得： 22223286043m k m k --=+，22443m k =+设O 到直线MN 的距离为d，则d ===0k =时，min 32d =；综上，原点O 到直线MN 距离的最小值为32.【点睛】关键点睛：本题考查椭圆的内接三角形的相关性质的应用，解答本题的关键是设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，根据点,,M N A 均在椭圆上，得出1212346x x y y +=-，由方程联立韦达定理得到22443m k =+，属于中档题.22．（1）8；（2）是，定值为2. 【分析】（1）联立直线与抛物线得出韦达定理，即可求出弦长；（2）设出直线方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理表示出13k k +，即可得出定值. 【详解】（1）可得3,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，直线的倾斜角为603 则直线方程为332y x ⎫=-⎪⎭，设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与抛物线23326y x y x ⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩可得242090x x -+=，则121295,4x x x x +==， 123538AB x x =++=+=；（2）可知直线l 的斜率不为0，则设直线l 的方程为3x my =+，m R ∈，设()3,P t -，()11,M x y ，()22,N x y ，把3x my =+代入26y x =得26180y my --= ∴126y y m +=，1218y y =-，∴12121312123366y t y t y t y tk k x x my my ----+=+=+++++ ()()()()()()1221126666y t my y t my my my -++-+=++()()()1212212122612636my y tm y y t m y y m y y +-+-=+++()()()221866121866363m tm m t t m m m ⨯-+-⋅-==-⨯-+⋅+，26tk =-，132k k k μ+=，36t t μ⎛⎫∴-=⨯- ⎪⎝⎭，P 为3x =-上的任意一点，t ∴不恒为0，2μ∴=，即μ为定值2.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.23．（1）2212x y +=；（2）1y x =+或1y x =-.【分析】（1）由离心率求出a ，再求出b ，可得椭圆方程；（2）设直线l 的方程为y x m =+，点()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得1212,x x x x +，然后代入弦长公式12AB x =-可求得参数m 值得直线方程．【详解】（1）由题意知，1c =，2c e a ==，∴a = 1b =， ∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设直线l 的方程为y x m =+，点()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组2212x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，化简，得2234220x mx m ++-=.由已知得，()2221612228240m m m ∆=--=-+>，即23m <，∴m <<1243m x x +=-，212223m x x -=.∴21AB x =-== 解得1m =±，符合题意，∴直线l 的方程为1y x =+或1y x =-. 【点睛】方法点睛：本题考查直线与椭圆相交弦长问题．解题方法是设而不求的思想方法，即设交点坐标1122(,),(,)A x y B x y ，设出直线方程，代入椭圆方程后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入弦长公式12AB x =-求解．24．（1）2214x y +=；（2）证明见解析；（3）3.【分析】（1）由题知1b=，2a c -=222a b c =+即可得椭圆的标准方程为2214x y +=；（2）由题意得(2,0),(0,1)M N ，设112211,,,22P x x m Q x x m ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，直线l 为12y x m =+，直线与椭圆联立化简得212122,22x x m x x m +=-=-，进而0MP NQ k k =+；（3）当直线AB 斜率不存在时，22||||23b AB CD a a+=+=，当直线AB 斜率存在时，设直线AB 为y kx =，直线CD为1y x k =-+2245||||54174AB CD k k+=-++，再结合基本不等式即可得答案. 【详解】（1）因为短轴为2，所以22,1b b ==，又因为椭圆上的点到焦点的最短距离为ac -，所以2a c -= 又因为222a b c =+，解得2,1,a b c ===所以椭圆的标准方程为2214x y +=；（2）由题意得(2,0),(0,1)M N ，设直线l 为12y x m =+，与2214x y +=联立得：222220x mx m ++-=设112211,,,22P x x m Q x x m ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则212122,22x x m x x m +=-=- 所以()12121212122111(1)222222MP NQ x m x m x x m x x m k k x x x x x ++-+-+-++=+=--22222(1)(2)220222m m x m m m x -+---+==--，所以MP 与NQ 的斜率之和为定值0；（3）当直线AB 斜率不存在时，2225b AB CD a a+=+=当直线AB 斜率存在时，设直线AB为y kx =，直线CD为1y x k =-+得()2222411240k x x k +-+-=，所以23434212441k x x x x k -+==+，所以()224141AB k k +==+，同理()2241||4k CD k +=+，所以()()2222224141445||||5414417k AB CD k k k kk +++=+=-++++因为22448k k +≥=，所以1635AB CD +≥>，当且仅当1k =±时取等号，所以AB CD +的最小值为3. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，椭圆中的最值问题，考查运算能力与化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于巧设点的坐标，结合韦达定理，设而不求，达到求解目标，化简运算；同时还要注意再设直线方程时，需要考虑斜率存在与否，做到周密解答.25．（1）2214x y +=；（2）【分析】（1）根据抛物线2y=的焦点为)，解得c =122c b⨯⨯=b即可.（2）设直线l方程为4y kx=+，与椭圆方程联立，根据坐标原点O在以AB为直径的圆上，由OA OB⊥，即1212x x y y⋅+⋅=求解.【详解】（1）因为抛物线2y=的焦点为)，由题意得：c=所以122c b⨯⨯=解得1b=，24a=，所以椭圆C的方程为2214xy+=；（2）由题意设过点(0,4)的直线l方程为4y kx=+，设()()1122,,,A x yB x y，由22414y kxxy=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()221432600k x kx+++=，则1212223260,1414kx x x xk k+=-⋅=++，()()2232240140k k∆=-+>，解得k>k<，因为坐标原点O在以AB为直径的圆上，所以OA OB⊥，即1212x x y y⋅+⋅=，即()()2121214160k x x k x x+⋅+++=，所以()()2226032141601414kk kk k++-+=++，即219k=，解得k=适合0∆>，所以直线l的斜率是.【点睛】易错点点睛：易错点是由坐标原点O在以AB为直径的圆上，转化为OA OB⊥，由1212x x y y⋅+⋅=，求得斜率，而忽视要满足.0∆>.26．（1）2212xy+=；（2）存在；1)y x=-.【分析】（1）由余弦定理可得12d d+=.（2）设P ，Q 两点的坐标依次为()11,x y ，()22,x y ，以线段PQ 为直径的圆过原点得，0OP OQ ⋅=，即12120x x y y +=，先假设存在直线l 满足题设，设直线l 的方程为(1)y k x =-，与椭圆方程联立，韦达定理代入求出k 的值，再检验斜率不存在的情况.【详解】（1）当0θ≠时，在ABM 中，由余弦定理得：22121242cos2d d d d θ=+-. 又212cos1d d θ=，整理得，12d d +=所以点M 的轨迹E 是以(1,0)A -和(1,0)B为焦点，长轴长为个端点）又当点M 为该椭圆的长轴的两个端点时，0θ=，也满足212cos1d d θ=.所以点M 的轨迹E 的方程是2212x y +=.（2）假设存在直线l 满足题设，设直线l 的方程为(1)y k x =-，由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得()2222124220k x k x k +-+-= 设P ，Q 两点的坐标依次为()11,x y ，()22,x y ，由韦达定理得，2122412k x x k +=+，21222212k x x k-=+. 由题意以线段PQ 为直径的圆过原点得，0OP OQ ⋅=，即12120x x y y +=.又()()()212121212111y y k x k x k x x x x =--=-++⎡⎤⎣⎦，整理得：()212121210x k x x x x x =⎡-+⎤⎣⎦++.代入整理得：22222222222410121212k k k k k k k ⎛⎫--+-+= ⎪+++⎝⎭，即k = 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，此时1,2P ⎛ ⎝⎭、1,2Q ⎛- ⎝⎭，经验证0OP OQ ⋅≠不满足题意.综上所述，所求直线l存在，其方程为1)y x =-. 【点睛】关键点睛：本题考查求轨迹方程和根据条件求直线方程，解答本题的关键是由以线段PQ 为直径的圆过原点，得0OP OQ ⋅=，即12120x x y y +=，转化为方程联立韦达定理代入求解，将条件转化为向量的数量积为0，进而转化为利用韦达定理求解的方法，属于中档题.。

(北师大版)深圳市高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》测试题(含答案解析)

一、选择题1．已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，4AB =，3AD =，'5AA =，90BAD ∠=，''60BAA DAA ∠=∠=．则'AC 的长为（）A ．85B ．97C ．12D ．230 2．如图，四边形ABCD 和ABEF 都是正方形，G 为CD 的中点，60DAF ∠=，则直线BG 与平面AGE 所成角的余弦值是（）A ．25B ．105C ．155D ．215 3．如图，已知正方体1111ABCD A BC D -棱长为3，点H 在棱1AA 上，且11HA=，在侧面11BCC B 内作边长为1的正方形1EFGC ，P 是侧面11BCC B 内一动点，且点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长，则当点P 运动时，2||HP 的最小值是（）A ．21B ．22C ．23D ．134．在四棱锥O ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平四边形，设OA a =，OB b =，OC c =，则BD 可表示为（）A ．a c b +-B ．a +2b c -C ．c b a +-D ．a c +-2b 5．过平面α外一点A 引斜线段AB 、AC 以及垂线段AO ，若AB 与α所成角是30，6AO =，AC BC ⊥，则线段BC 长的取值范围是（）A ．()0,6B ．()6,+∞C ．(0,63D ．()63,+∞6．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 是棱AB 的中点，F 是侧面AA 1D 1D 内一点，若EF ∥平面BB 1D 1D ，则EF 长度的范围为（）A ．[2,3]B ．[2,5]C ．[2,6]D ．[2,7] 7．如图：在直棱柱111ABC A B C -中，1AA AB AC ==，AB AC ⊥，,,P Q M 分别是A 1B 1,BC,CC 1的中点，则直线PQ 与AM 所成的角是（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 8．在直三棱柱111ABC A B C -中，1111122AA A B B C ==，且AB BC ⊥，点M 是11AC 的中点，则异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值为( )A ．13B 22C 32D ．129．已知正方体1111ABCD A BC D -,M 为11A B 的中点，则异面直线A M 与1BC 所成角的余弦值为（）A 10B 10C ．32D ．6210．已知A 、B 、C 是不共线的三点，O 是平面ABC 外一点，则在下列条件中，能得到点M 与A 、B 、C 一定共面的条件是（）A ．111222OM OA OB OC =++ B ．OM OA OB OC =++ C ．1133OM OA OB OC =-+ D ．2OM OA OB OC =--11．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60︒，若对角线1AC 的长是棱长的m 倍，则m 等于（）A ．2B ．3C ．1D ．212．如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 为正方形，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，3AB =，14AA =，P 是侧面11BCC B 内的动点，且1AP BD ⊥，记AP 与平面11BCC B 所成的角为θ，则tan θ的最大值为（）A ．43B ．53C ．2D ．259二、填空题13．若△ABC 的三个顶点坐标分别为231-,222⎛ ⎝2则角A 的大小为_____.14．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是11A B 、11A C 的中点，则异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为______．15．设(3,3,1),(1,0,5),(0,1,0)A B C ，则AB 中点M 到C 的距离CM = _______. 16．如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且 2EF = ①AC BE ⊥；②//EF 平面ABCD ；③三棱锥A BEF -的体积为定值； ④异面直线,AE BF 所成的角为定值.其中正确结论的序号是______．17．在正方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B （含端点）上的任一点，则直线ME 与平面1D EF 所成角的正弦值的最小值为_________.18．已知向量,,a b c 是空间的一个单位正交基底，向量,,a b a b c +-是空间的另一个基底．若向量m 在基底,,a b c 下的坐标为()1,2,3，则m 在基底,,a b a b c +-下的坐标为 _________19．正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1,若动点P 在线段1BD 上运动, 则·DC AP 的取值范围是．20．已知60︒ 的二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，已知1AB = ，2AC = ，3BD = ，则线段CD 的长为__________．三、解答题21．如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG 所截后得到的，其中60BAD ∠=︒，22AB AD ==，45BAE GAD ∠=∠=︒.（Ⅰ）求证：平面ADG ⊥平面BDG ；（Ⅱ）求直线BG 与平面AGFE 所成角的正弦值.22．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AC BC AC AA BC E F ⊥==,,,分别为侧棱11,BB CC 中点．（1）证明：//BF 平面11AC E ．（2）求1BC 与平面11AC E 所成角的正弦值．23．如图所示，在多面体ABCDE 中，//DE AB ，AC BC ⊥，平面DAC ⊥平面ABC ，24BC AC ==，2AB DE =，DA DC =，点F 为BC 的中点．（1）证明：EF ⊥平面ABC ；（2）若直线BE 与平面ABC 所成的角为60︒，求平面DCE 与平面ADC 所成的锐二面角的余弦值．24．如图，在四棱锥P ABCD -中，6π∠=CAD ，且321,2AD CD PA ABC ===，和PBC 均是等边三角形，O 为BC 的中点.（I ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求CB 与平面PBD 所成角的正弦值.25．如图，已知ABCD 为正方形，GD ⊥平面ABCD ，//AD EG 且2AD EG =，//GD CF 且2GD FC =，2DA DG ==.（1）求平面BEF 与平面CDGF 所成二面角的余弦值；（2）设M 为FG 的中点，N 为正方形ABCD 内一点（包含边界），当//MN 平面BEF 时，求线段MN 的最小值.26．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，4PD =，底面ABCD 是边长为2的正方形，E ，F 分别为PB ，PC 的中点．（1）求证：平面ADE ⊥平面PCD ；（2）求直线BF 与平面ADE 所成角的正弦值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】用空间向量基本定理表示出AC '，然后平方后转化为数量积的运算求得．【详解】记a AB =，b AD =，c AA '=，则43cos900a b ⋅=⨯⨯︒=，同理152b c ⋅=，10a c ⋅=，由空间向量加法法则得AC a b c '=++，∴22222()222AC a b c a b c a b b c a c '=++=+++⋅+⋅+⋅222154352210852=+++⨯+⨯=， ∴85AC '=，即85AC '=．故选：A ．【点睛】方法点睛：本题考查求空间线段长，解题方法是空间向量法，即选取基底，用基底表示出向量，然后利用向量模的平方等于向量的平方转化为向量的数量积进行计算．2．C解析：C【分析】以A 为原点，以AD 、AB 的方向分别为x 、y 轴的正方向，过A 作垂直平面ABCD 的直线作z 轴建立空间直角坐标系，设2AB =，利用空间向量法可求得直线BG 与平面AGE 所成角的正弦值，再利用同角三角函数的基本关系可求得结果.【详解】以A 为原点，以AD 、AB 的方向分别为x 、y 轴的正方向，过A 作垂直平面ABCD 的直线作z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．设2AB =，得()0,0,0A 、()2,1,0G 、()0,2,0B 、(1,3E ，则()2,1,0AG =，(3AE =，()2,1,0BG =-，设平面AGE 的法向量为(),,n x y z =，则20230n AG x y n AE x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1x =，则2y =-，3z =所以，平面AGE 的一个法向量为()1,2,3n =-，从而410cos ,5225n BGn BG n BG ⋅<>===⨯⋅，故直线BG 与平面AGE 所成角的余弦值是21015155⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：C.【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin h lθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=<>.3．D解析：D【分析】建立空间直角坐标系,根据P 在11BCC B 内可设出P 点坐标，作1HM BB ⊥,连接PM ,可得222HP HM MP =+，作1PN CC ⊥，根据空间中两点间距离公式，再根据二次函数的性质，即可求得2HP 的范围.【详解】根据题意,以D 为原点建立空间直角坐标系如图所示：作1HM BB ⊥交1BB 于M,连接PM ，则HM PM ⊥作1PN CC ⊥交1CC 于N ，则PN 即为点P 到平面11CDD C 距离.设(),3,P x z ,则()()()1,3,2,3,3,2,0,3,F M N z ()03,03x z ≤≤≤≤∵点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长∴PN PF =由两点间距离公式可得()()2212x x z =-+-，化简得()2212x z -=-,则210x -≥解不等式可得12x ≥综上可得132x ≤≤ 则在Rt HMP ∆中222HP HM MP =+()()222332x z =+-+-()223321x x =+-+-()2213x =-+132x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭所以213HP ≥（当时2x = 取等）故选:D【点睛】本题考查了空间直角坐标系的综合应用，利用空间两点间距离公式及二次函数求最值，属于难题.4．D解析：D【分析】作出图形，根据条件得出BD BA BC =+，再得到BA a b =-，BC c b =-，即可求解，得到答案.【详解】如图所示，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，则BD BA BC =+，在OAB ∆中，BA OA OB a b =-=-，在OBC ∆中，BC OC OB c b =-=-，故选：D.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，以及向量的加法的几何意义，其中解答中熟记向量的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.5．C解析：C【分析】画出已知图形，可得出OBC ∆是以OB 为斜边的直角三角形，求出OB 的长度，则线段BC 长的范围即可求出.【详解】如下图所示：AO α⊥，BC α⊂，BC AO ∴⊥.又BC AC ⊥，AO AC A ⋂=，AO 、AC ⊂平面ACO ，BC ∴⊥平面ACO . OC ⊂平面ACO ，OC BC ∴⊥，在Rt OAB ∆中，6AO =，30ABO =∠，63tan 30AO OB ∴==. 在平面α内，要使得OBC ∆是以OB 为斜边的直角三角形，则0BC OB <<，即063BC <<BC 长的取值范围是(0,63.故选C.【点睛】本题考查线段长度的取值范围的求解，同时也考查了线面角的定义，解题的关键就是推导出线面垂直，得出线线垂直关系，从而构造直角三角形来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 6．C解析：C【分析】过F 作1//FG DD ，交AD 于点G ，交11A D 于H ，根据线面垂直关系和勾股定理可知222EF AE AF =+；由,//EF FG 平面11BDD B 可证得面面平行关系，利用面面平行性质可证得G 为AD 中点，从而得到AF 最小值为,F G 重合，最大值为,F H 重合，计算可得结果.【详解】过F 作1//FG DD ，交AD 于点G ，交11A D 于H ，则FG ⊥底面ABCD2222222221EF EG FG AE AG FG AE AF AF ∴=+=++=+=+//EF 平面11BDD B ，//FG 平面11BDD B ，EF FG F ⋂=∴平面//EFG 平面11BDD B ，又GE 平面EFG //GE ∴平面11BDD B又平面ABCD 平面11BDD B BD =，GE 平面ABCD //GE BD ∴ E 为AB 中点 G ∴为AD 中点，则H 为11A D 中点即F 在线段GH 上min 1AF AG ∴==，max 145AF AH =+=min 112EF ∴+=max 156EF +则线段EF 长度的取值范围为：2,6本题正确选项：C【点睛】本题考查立体几何中线段长度取值范围的求解，关键是能够确定动点的具体位置，从而找到临界状态；本题涉及到立体几何中线面平行的性质、面面平行的判定与性质等定理的应用.7．D解析：D【分析】建立空间直角坐标系，结合直线的方向向量确定异面直线所成的角即可.【详解】以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设2AB =，则()()()()0,0,0,1,0,2,1,1,0,0,2,1A P Q M ，据此可得：()()0,1,2,0,2,1PQ AM =-=，0PQ AM ⋅=，故PQ AM ⊥，即直线PQ 与AM 所成的角是2π. 本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查空间向量的应用，异面直线所成的角的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．B解析：B【分析】以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，求得11,1,22MB ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，()10,? 02AA =，，利用空间向量夹角余弦公式能求出异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值．【详解】在直三棱柱111ABC A B C -中，1111122AA A B B C ==，且AB BC ⊥，点M 是11AC ， ∴以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，设11111222AA A B B C ===，则11,1,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(0,00B ，），(1,00A ，），1(1,02A ，）， 11,1,22MB ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，1(0,02AA ，）=，设异面直线MB 与1AA 所成角为θ，则112cos 31824MB AA MB AA θ⋅===⋅⋅,∴异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值为223，故选B ．【点睛】本题主要考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题．求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.9．A解析：A【分析】建立空间直角坐标系，求出向量AM 与1BC 的向量坐标，利用数量积求出异面直线A M 与1B C 所成角的余弦值. 【详解】以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：设正方体的棱长为1，则(1,0,0)A ，1(1,0,1)A ，(1,1,0)B ，1(1,1,1)B ，(0,1,0)C ∵M 为11A B 的中点∴1(1,,1)2M ∴1(0,,1)2AM =，52AM =；1(1,0,1)B C =--，12B C =. ∴异面直线A M 与1B C 所成角的余弦值为111110cos ,510AM B C AM B C AM B C⋅===⋅ 故选A.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法，找出两异面直线所成的角∠AEM （或其补角），是解题的关键．如果异面直线所成的角不容易找，则可以通过建立空间直角坐标系，利用空间向量来求解．10．C解析：C【分析】由共面向量定理可得：若定点M 与点A 、B 、C 一定共面，则存在实数x ，y ，使得AM xAB yAC =+，即(1)OM x y OA xOB yOC =--++，判断标准是验证OA ，OB ，OC 三个向量的系数和是否为1，若为1则说明四点M ，A ，B ，C 一定共面，由此规则即可找出正确的条件．【详解】由题意,,A B C 三点不共线，点O 是平面ABC 外一点，对于A 由于向量的系数和是32，不是1，故此条件不能保证点M 在面ABC 上；对于B ，等号右边三个向量的系数和为3，不满足四点共面的条件，故不能得到点M 与,,A B C 一定共面对于C ，等号右边三个向量的系数和为1，满足四点共面的条件，故能得到点M 与,,A B C 一定共面对于D ，等号右边三个向量的系数和为0，不满足四点共面的条件，故不能得到点M 与,,A B C 一定共面综上知，能得到点M 与,,A B C 一定共面的一个条件为C .故选：C ．【点睛】本题考查平面向量的基本定理，利用向量判断四点共面的条件，解题的关键是熟练记忆四点共面的条件，利用它对四个条件进行判断得出正确答案，本题考查向量的基本概念，要熟练记忆．11．A解析：A【分析】由题意画出结晶体的图形，利用向量加法的三角形法则求解晶体的对角线的长.【详解】设AB a =，AD b =，1AA c =，棱长为t ，则两两夹角为60︒， 11AC AB AD A A a b c=++=+-， 22222222122232AC a b c a b c a b a c c b t t t ∴=+-=+++⋅-⋅-⋅=-=，12AC t ∴=. 2m ∴=.故选：A .【点睛】本题考查了棱柱的结构特征，考查了向量加法三角形法则，解答的关键是掌握22||a a =，是基础题.12．B 解析：B【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线面角的正切值的最大值.【详解】以1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设(,3,)P x z ，则1(3,3,),(3,3,4)AP x z BD =-=--，11,0AP BD AP BD ⊥∴⋅=，33(3)3340,4x z z x ∴---⨯+=∴=, 22225||(3)6916BP x z x x ∴=-+=-+225488191625255x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， ||5tan ||3AB BP θ∴=， tan θ∴的最大值为53. 故选：B .【点睛】本题主要考查的是线面所成角，解题的关键是找到线面所成角的平面角，是中档题.二、填空题13．【分析】先写出的坐标再由向量的夹角公式求得角A 【详解】=(-100)则cosA=又因为故角A 的大小为30°填【点睛】求平面向量夹角公式：若则解析：30【分析】先写出,AB AC 的坐标，再由向量的夹角公式求得角A.【详解】 31AB -,,0,AC 22⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭=(-1,0,0).则cosA=3AB?AC 211|AB|?|AC|==⨯,又因为,[0,]AB AC π∈，故角A 的大小为30°.填30．【点睛】求平面向量夹角公式：cos ,,,[0,]a ba b a b a b π⋅=∈⋅，若111222(,,),(,,)a x y z b x y z ==，则121212222222cos ,,,[0,]x x y y z z a b a b x y z x y z π++=∈++⋅++．14．【解析】【分析】由题意设正方体的棱长为2建立如图所示空间直角坐标系利用空间向量求解即可得到答案【详解】设正方体的棱长为2建立如图所示空间直角坐标系则0211异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为故答案为【解析】【分析】由题意，设正方体的棱长为2，建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量求解，即可得到答案．【详解】设正方体的棱长为2，建立如图所示空间直角坐标系，则A(2,0，0)，B(2,2，0)，M(2,1，2)，N(1,1，2)，()BM 0,1,2∴=-，()AN 1,1,2=-，BM ANcos BM,AN 5BM AN ⋅∴===⋅∴异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为3010．故答案为3010．【点睛】本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用，其中解答中根据几何体的结构特征，建立适当的空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15．【解析】中点解析：532【解析】中点32,,32M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22235321322MC ⎛⎫=+-+= ⎪⎝⎭． 16．①②③【分析】根据平面可判断①；根据可判断②；利用体积公式判断③；设用向量法求出的夹角的范围判断④【详解】连接由可知平面而平面故①正确；由且平面平面可得平面故②正确；三棱锥的体积为定值故③正确；建立解析：①②③【分析】根据AC ⊥平面11BB D D 可判断①；根据11//B D BD 可判断②；利用体积公式判断③；设11D E a =，用向量法求出,AE BF 的夹角的范围判断④.【详解】连接BD ，由AC BD ⊥，1AC DD ⊥，可知AC ⊥平面11BB D D ，而BE ⊂平面11BB D D ，AC BE ∴⊥，故①正确；由//EF BD ，且EF ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，可得//EF 平面ABCD ，故②正确；1132A BEF BEF V S AC -=⋅111123222=⨯⨯⨯=， ∴三棱锥A BEF -的体积为定值，故③正确；建立坐标系如图所示;设1102D E a a ⎛=≤≤ ⎝⎭, 则()1,0,0A，()1,1,0B ，,,122E a a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，11,122F ⎫++⎪⎪⎝⎭， 2,12AE ⎛⎫∴=-⎪ ⎪⎝⎭，211,1222BF a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭, 设异面直线,AE BF 所成的角为θ，则cos a AE BF AE BF a θ⋅==⋅= 2232222a a a ⎛-+=-+ ⎝⎭ ∴当0a =时，cos θ θ∴的最小值为30，即异面直线,AE BF 所成的角不为定值，故④错误；故答案为：①②③【点睛】本题考查了线面垂直的性质定理、线面平行的判定定理、三棱锥的体积公式以及空间向量法求异面直线所成的角，综合性比较强，属于中档题.17．【分析】建立直角坐标系设正方体边长为2求出平面的法向量为直线与平面所成角为因为所以当时取到最小值代入即可【详解】解：如图建立直角坐标系设正方体边长为2则002设平面的法向量为由得令故0由设直线与平面解析：25 【分析】建立直角坐标系，设正方体边长为2，求出平面DEF 的法向量为m ，直线ME 与平面1D EF 所成角为α，22sin cos ,15m EM a α==+⋅，因为[0a ∈，2]，所以当2a =时，取到最小值，代入即可．【详解】解：如图，建立直角坐标系，设正方体边长为2，AM a =，则(2E ，0，1)，(2M ，a ，2)，(0D ，0，2)，(2F ，2，1)，设平面DEF 的法向量为(m x =，y ，)z ，1(0,2,0),(2,0,1)EF ED ==-，由0m EF ⋅=，10m D E ⋅=，得020y x z =⎧⎨-+=⎩，令2z =，1x =，故(1m =，0，2)，由(0,,1)EM a =，设直线ME 与平面1D EF 所成角为α，22sin cos ,15m EM a α==+⋅，因为[0a ∈，2]，所以当2a =时， sin α的最小值为22555=⋅，故答案为：25．【点睛】考查立体几何中的最值问题，本题利用向量法求线面所成的角，基础题．18．【解析】由题意可知：即在基底下的坐标为解析：31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】由题意可知：()()3123322m a b c a b a b c =++=+--+ ，即m 在基底,,a b a b c +-下的坐标为31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭. 19．【详解】试题分析：以所在的直线为轴以所在的直线为轴以所在的直线为轴建立空间直角坐标系则∴∵点在线段上运动∴且∴∴故答案为考点：空间向量数量积的运算解析：[]0,1【详解】试题分析：以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系．则、、、、．∴、．∵点在线段上运动，∴，且．∴AP AB BP DC BP =+=+(),1,λλλ=--，∴，故答案为[]0,1．考点：空间向量数量积的运算. 20．【解析】根据题意画图由空间向量法得到故答案为：解析：22【解析】根据题意画图，由空间向量法得到()2222||2?··CD CA AB BD CA AB BD CA AB AB BD BDCA =++=+++++214CA BD =⋅==故答案为：三、解答题21．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ 【分析】（Ⅰ）证明：AD DB ⊥，GD DB ⊥，即可证明BD ⊥平面ADG ，从而得到平面ADG ⊥平面BDG ；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量方法求直线GB 与平面AEFG 所成角的正弦值．【详解】（Ⅰ）证明：在BAD 中，22AB AD ==，60BAD ∠=︒．由余弦定理2222cos60BD AD AB AB AD =+-︒，BD ， 222AB AD DB =+，AD DB ∴⊥，在直平行六面体中，GD ⊥平面ABCD ，DB ⊂平面ABCD ，GD DB ∴⊥，又ADGD D =，,AD DG ⊂平面ADGBD ∴⊥平面ADG ．又因为BD ⊂平面BDG ，所以平面ADG ⊥平面BDG ；（Ⅱ）解：如图以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -，45BAE GAD ∠=∠=︒，22AB AD ==，(1A ∴，0，0)，(0,3,0)B ，E ，(0G ，0，1)，(1AE =-，(1,0,1)AG =-，(0,1)GB =-，设平面AEFG 的法向量(,,)n x y z =，·20·0n AE x z n AG x z ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩令1x =，得3y =，1z =， ∴3(1,3n =-，设直线GB 和平面AEFG 的夹角为θ，∴21sin |cos ,|||7||||GB n GB n GB n θ=<>==，所以直线GB 与平面AEFG ．【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 22．（1）答案见解析；（2）31010【分析】（1）先证线线平行，即1//BF C E ，再得出线面平行；（2）建立空间直角坐标系，求出面11AC E 的法向量为n 和向量1CB ，求出这两个向量的夹角的余弦，从而得到1BC 与平面11AC E 所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：在三棱柱111ABC A B C -中，1BB 与1CC 平行且相等. 因为E ，F 分别为侧棱1BB ，1CC 的中点，所以BE 与1FC 平行且相等，所以四边形1BEC F 是平行四边形，从而1//BF C E .因为1C E ⊂平面11AC E ，BF ⊄平面11AC E ，所以//BF 平面11AC E .（2）解：以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，设1BC =，则()12,0,2A ，()10,0,2C ，()0,1,1E ，()10,1,2B . ()112,0,0C A =，()10,1,1EC =-，()10,1,2CB =.设平面11AC E 的法向量为(),,n x y z =，则1110n C A n EC ⋅=⋅=，即20,0,x y z =⎧⎨-+=⎩令1y =，得()0,1,1n =. 所以13310cos,1052CB n ==⨯，故1BC 与平面11AC E 所成角的正弦值为31010. 【点睛】本题考查了立体几何中的线面平行的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 23．（1）证明见解析；（2）34. 【分析】（1）取AC 的中点O ，连接DO ，OF ，根据面面垂直的性质定理，可得DO ⊥平面ABC ，根据O ，F 分别为AC ，BC 的中点，可得四边形DEFO 为平行四边形，即//EF DO ，即可得证；（2）如图建系，求得各点坐标，进而求得所需向量坐标，分别求得平面ADC 和平面DCE 的法向量，利用二面角的向量求法，即可求得答案.【详解】（1）证明：取AC 的中点O ，连接DO ，OF ，如图所示：∵在DAC △中，DA DC =，∴DO AC ⊥，∵平面DAC ⊥平面ABC ，且平面DAC ⋂平面ABC =AC ， ∴DO ⊥平面ABC ，∵O ，F 分别为AC ，BC 的中点，∴//OF AB ，且2AB OF =，又//DE AB ，2AB DE =， ∴//OF DE OF DE =，，∴四边形DEFO 为平行四边形，∴//EF DO ， ∴EF ⊥平面ABC ；（2）∵DO ⊥平面ABC ，∴DO ⊥BC ， DO AO ⊥，又AC BC ⊥，∴以O 为原点，OA 为x 轴，过点O 与CB 平行的直线为y 轴，OD 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，∵24BC AC ==，2AB DE =，DA DC =，点F 为BC 的中点， ∴(1,0,0)A ，(1,0,0)C -，(1,4,0)B -，∵EF ⊥平面ABC ，∴直线BE 与平面ABC 所成角为60EBF ︒∠=， ∴tan6023DO EF BF ︒=== ∴(0,0,23)D ，(1,2,23)E -，取平面ADC 的一个法向量(0,1,0)m =，设平面DCE 的一个法向量(,,)n x y z =， ∵(1,0,23)CD =，(0,2,23)CE =，则2302230n CD x z n CE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1z =，得(23,3,1)n =--， ∴222||(23)(3)14n =-+-+=，||1m =，3m n ⋅=-，∴33cos ,||||14m n m n m n ⋅-<>===⋅⨯，设平面DCE 与平面ADC 所成的锐二面角为θ，则3cos |cos ,|4m n θ=〈〉=，∴平面DCE 与平面ADC 所成的锐二面角的余弦值为34．【点睛】解题的关键是熟练掌握线面垂直的判定定理、性质定理，并灵活应用，利用空间向量求解二面角的步骤为：1，建系求得所需点的坐标；2，求得所需向量的坐标；3，求出两个平面的法向量12,n n ；4，代入公式121212cos ,n n n n n n ⋅<>=⋅即可求得二面角的余弦值；需要结合图象判断所求角为锐角还是钝角. 24．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）3913. 【分析】（Ⅰ）根据题中的边长以及垂直关系，可求出,OA OP ，利用勾股定理判断OP OA ⊥，再根据等边三角形三线重合，判断OP BC ⊥，即可证明PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）根据垂直关系，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标公式求CB 与平面PBD 所成角的正弦值.【详解】（Ⅰ）证明：在ACD △中，由已知得3AC =,ABC PBC 均为边长为3的等边三角形，且O 为BC 的中点 ,OA BC OP BC ∴⊥⊥，且32OA OP ==. 在PAO 中，已知322PA =，则有222,PO OA PA OP OA +=∴⊥. 又,OA BC O OA ⋂=⊂平面,ABCD BC ⊂平面,ABCD OP ∴⊥平面ABCD .（Ⅱ）以O 为坐标原点，,,OA OC OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则30,0,,0,,2P B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，D ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. (0,3,0)(1,3,0)BC BD ∴==，，32BP ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭.设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =，则00n BP n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩即00x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，令1z =.则3y x ==.∴平面PBD 的一个法向量为(3,3,1)n =-，39sin |cos ,|13BCn θ∴=<>=.sin θ∴= 【点睛】方法点睛：1.利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角中的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；2.在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法解垂线段的长度h ，而不必画出线面角，利用sin h θ= /斜线段长，进行求角；3.建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 是直线l 的方向向量，n 是平面的法向量，利用公式sin cos ,a n θ=<>求解. 25．（1，（2）2【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值；（2）设(),,0N x y ，即可表示出MN ，再根据//MN 平面BEF ，即可得到0m MN =，即可得到x 与y 的关系，最后根据向量的模及二次函数的性质计算可得；【详解】解：（1）如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()0,2,0C ，()2,2,0B ，()2,0,0A ，()0,0,2G ，()0,2,1F ，()1,0,2E ，则()1,2,2BE =--，()1,2,1FE =-，()2,0,0DA =，设面BEF 的法向量为(),,n x y z =，则22020x y z x y z --+=⎧⎨-+=⎩，令2x =，则3y =，4z =，所以()2,3,4n =，而平面CDGF 的法向量为()2,0,0DA =设平面BEF 与平面CDGF 所成二面角为θ，显然二面角为锐角，所以2224229cos 292234n DA n DAθ===++ （2）设(),,0N x y ，[],0,2x y ∈，依题意30,1,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则3,1,2MN x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭因为//MN 平面BEF ，所以()23162390m MN x y x y =+--=+-= 所以()222913314714422MN x y y y =+-+=-+又因为函数2133147422y x x =-+，对称轴为313122131324x -=-=>⨯，且开口向上，所以函数2133147422y x x =-+在[]0,2上单调递减，所以当2y =时，min 222MN =，此时3,2,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以线段MN 的最小值为222【点睛】本题考查二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 26．（1）证明见解析；（245【分析】（1）先证明AD ⊥平面PCD ，通过已知可得PD AD ⊥、AD CD ⊥，即可；（2）建立空间直角坐标系，找出各点坐标，设出法向量求解即可. 【详解】（1）因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD AD ⊥．因为底面ABCD 是正方形，所以AD CD ⊥．因为PD CD D ⋂=，所以AD ⊥平面PCD ．又因为AD ⊂平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面PCD ．（2）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD AD ⊥，PD CD ⊥．因为底面ABCD 是正方形，所以AD CD ⊥．如图建立空间直角坐标系D xyz -．因为4PD =，底面ABCD 为边长为2的正方形，所以()0,0,4P ，()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()0,0,0D ，()1,1,2E ，()0,1,2F ．则()2,0,0DA =，()1,1,2DE =，()2,1,2BF =--．设平面ADE 的法向量(),,m x y z =，由00m DA m DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得2020x x y z =⎧⎨++=⎩．令1z =-，则0x =，2y =．所以()0,2,1m =-．设直线BF 与平面ADE 所成角为θ，则,45sin cos ,1595BF m BF m BF mθ====⨯．所以直线BF 与平面ADE 所成角的正弦值为4515．【点睛】本题考查了面面垂直的判定，核心是要求面面垂直，先考虑线面垂直；同时也考查了线面角的计算方法，核心是要求正弦值，先求余弦值.。

深圳市高中数学选修2-1第一章《常用逻辑用语》测试卷(包含答案解析)

一、选择题1．“a b >”是“b a a b e e ->-”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．下列命题错误的是（）A ．命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实数根”的逆否命题为：“若方程20x x m +-=无实数根，则0m ≤”B ．“6πθ=”是“()1sin 22k θπ+=”的充分不必要条件C ．若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题D ．对于命题:p x R ∃∈，使得210x x ++<，则:p x R ⌝∀∈，均有210x x ++≥ 3．已知1:12p x ≥-，:2q x a -<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为（） A ．(],4-∞B ．[]1,4C ．(]1,4D ．()1,44．命题“若{}n a 是等比数列，则n n k n k na aa a +-=（n k >且*,n k N ∈）的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．35．下列说法不正确的是（） A ．命题“若a b >，则ac bc >”是真命题 B ．命题“若220a b +=，则,a b 全为0”是真命题C ．命题“若0a =，则0ab =”的否命题是“若0a ≠，则0ab ≠”D ．命题“若0a =，则0ab =”的逆否命题是“若0ab ≠，则0a ≠” 6．设0a >，0b >，则“1a b +≤”是“114a b+≥”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．命题:p 关于x 的不等式2240x ax ++>对一切x ∈R 恒成立，:q 函数()()32xf x a =-是增函数，若“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，则实数a 取值范围为（） A ．()(),22,-∞-+∞B ．(][),21,2-∞-C ．(](],21,2-∞-D ．(][),22,-∞-+∞8．设0a >，0b >.下列说法正确的是（）A ．2ln 2ln a b a b +<+则a b >B ．2ln 2ln a b a b +<+则a b <C ．2ln 2ln a b a b -<-则a b >D ．2ln 2ln a b a b -<-则a b <9．下列四种说法中，错误的个数是（）①命题“x ∃∈R ，20x x ->”的否定是“x ∀∈R ，20x x -≤”； ②命题“p q ∨为真”是命题“p q ∧为真”的必要不充分条件； ③“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真； ④若实数x ，[]0,1y ∈，则满足221x y +>的概率为4π. A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10．下列命题中正确的是（）A ．若p q ∧为真命题，则p q ∨为真命题B ．已知x ∈R ，那么1x x+的最小值为2 C ．命题“0x ∃∈R ，20010x x ++<”的否定是“x ∀∈R ，210x x ++>” D ．命题“若21x >，则1x >”的否命题为“若21x >，则1x ≤”11．命题“[]1,2x ∃∈，2ln 0x x a +-≤”为假命题，则a 的取值范围为（） A ．(),1-∞B ．(),0-∞C ．(],ln 22-∞+D ．(),ln 24-∞+12．下列三个命题：①设命题p ：若m 是质数，则m 一定是奇数．那么p ⌝真命题；②在ABC 中，“sin sin A B =”是“cos cos A B =”的充要条件； ③“若1x >，则1x >”的否命题是“若1x >，则1x ≤”．其中真命题的个数为( ) A ．3B ．2C ．1D ．0二、填空题13．若12,[3,4]x x ∀∈∃∈R ，使2211221225x x x x x ax +++-成立，则实数a 的取值范围是______．14．给出如下四个命题：①把二进制数(2)110011化为十进制数，结果为51；②将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，平均值不变，方差不变；③从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则事件“至多一个红球”与“都是红球”互斥且对立；④若“p q ∧”为假命题，则p 、q 均为假命题.其中正确的命题的序号是________．15．设命题P ：实数,x y 满足：0222x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，命题q ：实数,x y 满足()221x y m ++≤，若p 是q 的必要不充分条件，则正实数m 的取值范围是__________. 16．已知1:123x p --≤，22:210q x x m -+-≤，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是______.17．已知a R ∈，命题“存在x ∈R ，使230x ax a --≤”为假命题，则a 的取值范围为______.18．给出以下四个结论： ①函数()211x f x x -=+的对称中心是1,2；②若关于x 的方程10x k x-+=在()0,1∈x 没有实数根，则k 的取值范围是2k ≥； ③在ABC 中，“cos cos b A a B =”是“ABC 为等边三角形”的充分不必要条件； ④若()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个单位后为奇函数，则ϕ最小值是π12. 其中正确的结论是______19．在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为__________.①函数3231y x x =-+的图象关于点()0,1成中心对称；②对,x y R ∀∈若0x y +≠，则1x ≠或1y ≠-；③若实数x ，y 满足221x y +=，则2yx +的最大值为3；④若ABC ∆为钝角三角形，则sin cos A B <.20．“直线l 垂直于平面α内的无数条直线”是“l α⊥”的________条件(填“充分非必要”或“必要非充分”或“充要”或“既非充分也非必要”).三、解答题21．设关于x 的不等式254x x ≤-的解集为A ，不等式2(2)20()x a x a a R -++≤∈的解集为B ．（1）求集合A ，B ；（2）若x A ∈是x B ∈的必要条件，求实数a 的取值范围.22．已知命题：“{}|11x x x ∃∈-<<，使等式220x x m --=成立”是真命题. （1）求实数m 的取值集合M ；（2）设不等式()()20x a x a -+-<的解集为N ，若x ∈N 是x M ∈的必要条件，求a 的取值范围.23．已知命题甲：关于x 的不等式22(1)0x a x a +-+≤的解集为空集；命题乙：方程2(4)0x a --=有两个不相等的实根．（1）若甲、乙都是真命题，求实数a 的取值范围；（2）若甲、乙中有且只有一个是假命题，求实数a 的取值范围.24．已知集合{}{}222430(0),540A x x ax a a B x x x =-+≤>=-+≥，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.25．已知集合{}211A x a x a =-<<+，{}01B x x =≤≤.（1）在①1a =-，②0a =，③1a =，这三个条件中选择一个条件，求A B ;（2）若“x A ∈”是R x B ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 注：（1）中如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 26．不等式：2112x x -≤+的解集为A . （1）求集合A ；（2）若不等式2(1)10ax a x +--≤的解集为B ，且x A ∈是x B ∈的必要条件，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】构造函数()x f x e x =+利用单调性判断. 【详解】设()x f x e x =+，()e 10x f x '=+>，所以()f x 为增函数，由于a b >，所以()()f a f b >，所以b a a b e e ->-；反之b a a b e e ->-成立，则有()()f a f b >，所以a b >. 所以是充要条件，故选C. 【点睛】本题主要考查充要条件的判定，明确两者之间的推出关系是判定的关键.2．C解析：C 【解析】对于A ，命题的逆否命题，既要交换条件、结论，又要否定条件及结论，所以‘命题“若m ＞0，则方程x 2+x-m=0有实数根”的逆否命题为：“若方程x 2+x-m=0无实数根，则m≤0”，故正确；对于B “6πθ=”⇒“()1sin 22k θπ+=” 但“()1sin 22k θπ+=” 不能推出“6πθ=” 故正确；对于C ，p ∧q 为假命题，则p ，q 有一个为假命题即可，故错误；对于D ，命题的否定先换量词，再否定结论，故正确．故选C ．3．C解析：C【分析】求出p 、q 中的不等式，根据p 是q 的充分不必要条件可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】解不等式112x ≥-，即131022x x x --=≤--，解得23x <≤，解不等式2x a -<，即22x a -<-<，解得22a x a -<<+，由于p 是q 的充分不必要条件，则(]2,3()2,2a a -+，所以2223a a -≤⎧⎨+>⎩，解得14a <≤. 因此，实数a 的取值范围是(]1,4. 故选：C. 【点睛】本题考查利用充分不必要条件求参数，同时也考查了分式不等式和绝对值不等式的求解，考查计算能力，属于中等题.4．A解析：A 【分析】先判断原命题为真命题，由此得出逆否命题是真命题；判断出原命题的逆命题为真命题，由此判断原命题的否命题也是真命题，由此确定假命题的个数. 【详解】若{}n a 是等比数列，则n a 是n k a -与n k a +的等比中项，所以原命题是真命题，从而，逆否命题是真命题；反之，若(*)n n k n k n a a n k n k a a +-=>∈N ，,，则当1k =时，11(1*)n n n na a n n a a +-=>∈N ,，所以{}n a 是等比数列，所以逆命题是真命题，从而，否命题是真命题．故选:A ．【点睛】本小题主要考查四种命题及其相互关系，考查等比数列的性质，属于基础题.5．A解析：A 【分析】根据不等式性质，真命题，否命题，逆否命题性质逐一判断各个选项即可．【详解】A 选项，若a b >，当0c ≤时，ac bc >不成立，所以命题为假命题，所以A 不正确B 选项，若220a b +=，则,a b 全为0正确，所以命题为真命题，正确C 选项，否命题否定结论和条件，本选项满足否命题形式，正确D 选项，命题“若0a =，则0ab =”的逆否命题是“若0ab ≠，则0a ≠”满足逆否命题的形式. 所以答案选A 【点睛】本题考查了不等式的性质，真命题的判断，否命题和逆否命题的知识.属于基础题目.6．A解析：A 【分析】先利用基本不等式证明充分性成立，再举反例说明必要性不成立即可. 【详解】解：因为0a >，0b >，所以1a b ≤+≤，所以104ab <≤，所以14ab≥（当且仅当12a b ==时取等号），所以114a b +≥≥=（当且仅当12a b ==时取等号）.所以“1a b +≤”是“114a b+≥”的充分条件. 反之，当13a =，1b =时114a b +≥，但是1a b +>，所以“1a b +≤”是“114a b +≥”的不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用、充分条件与必要条件，属于中档题.7．B解析：B 【分析】先求得命题,p q 为真命题时，a 的取值范围.根据“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题可知,p q 一真一假，由此进行分类讨论，求得a 的取值范围.【详解】当p 为真命题时，24160a ∆=-<，解得22a -<<. 当q 为真命题时，321,1a a -><.由于“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，所以,p q 一真一假. 当p 真q 假时，221a a -<<⎧⎨≥⎩，解得12a ≤<；当p 假q 真时，221a a a ≤-≥⎧⎨<⎩或，解得2a ≤-.综上所述，实数a 的取值范围是(][),21,2-∞-.故选：B 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式恒成立问题，考查根据含有逻辑联结词命题的真假性求参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.8．B解析：B 【分析】举反例说明C,D 不成立，再根据函数2ln x y x =+单调性，进而确定选项. 【详解】因为311123112ln12ln 2,2ln 2ln ,ee e e-<--<-所以CD 不成立；因为2ln x y x =+在(0,)+∞上单调递增，所以由2ln 2ln a b a b +<+得a b <，故选：B 【点睛】本题考查利用函数单调性判断命题真假，考查基本分析判断能力，属基础题.9．C解析：C 【分析】根据题意，①②说法正确，若0m =③错误，根据古典概型④概率应该为14π-.【详解】命题“x ∃∈R ，20x x ->”的否定是“x ∀∈R ，20x x -≤”，所以①正确；命题“p q ∨为真”即p ，q 至少有一个为真，不能推出命题“p q ∧为真”，命题“p q ∧为真”则p ，q 全为真，能够推出命题“p q ∨为真”，所以命题“p q ∨为真”是命题“p q ∧为真”的必要不充分条件，所以②正确；“若22am bm <，则a b <”的逆命题是：若a b <，则22am bm <，当0m =时不成立，所以该逆命题不是真命题，所以③不正确；若实数x ，[]0,1y ∈，有序数对(),x y 对应平面内的点形成的区域面积为1，如图：其中扇形区域不满足221x y +>，面积为4π，深色区域符合题意，则满足221x y +>的概率为14π-，所以④不正确.故选：C 【点睛】此题考查命题的真假判断，涉及全称命题的否定，含有逻辑连接词的命题真假判断，不等式的性质辨析，求几何概型，涉及知识面比较广.10．A解析：A 【分析】对各个命题分别判断．【详解】A. 若p q ∧为真命题，则,p q 都是真命题，∴p q ∨为真命题，正确．B.当0x <时，10x x+<，B 错； C. 命题“0x ∃∈R ，20010x x ++<”的否定是x ∀∈R ，210x x ++≥，C 错； D. 命题“若21x >，则1x >”的否命题为“若21x ≤，则1x ≤”，D 错．故选：A. 【点睛】本题考查命题真假的判断，解题时可对各个命题分别判断，然后得出正确结论．11．A解析：A 【分析】由于命题为假命题，则它的逆否命题一定为真，得出其逆否命题，构造函数2ln y x x =+，利用单调性得出函数2ln y x x =+在[]1,2的最小值，即可得到a 的取值范围. 【详解】若“[]1,2x ∃∈，使得2ln 0x x a +-≤”为假命题，可得当[]1,2x ∈时，2ln x x a +>恒成立只需()2minln a x x <+又函数2ln y x x =+在[]1,2上单调递增，所以1a <. 故选：A 【点睛】本题主要考查了原命题与逆否命题等价性的应用以及函数不等式恒成立问题，属于中档题.12．B解析：B 【分析】对各个命题分别判断．【详解】命题p ：若m 是质数，则m 一定是奇数．2是质数，但2是偶数，命题p 是假命题，那么p ⌝真命题；①正确；在ABC 中，sin sin A B a b A B =⇔=⇔=⇔cos cos A B =，②正确； “若1x >，则1x >”的否命题是“若1x ≤，则1x ≤”，③错．因此有2个命题正确．故选：Ｂ．【点睛】本题考查命题的真假判断，这种问题难度较大，需要对每个命题进行判断，才能得出正确结论，这样考查的知识点可能很多，考查的能力要求较高．二、填空题13．【分析】先整理为关于的不等式恒成立求出相应的最值后得不等式在时能成立分离参数整理为求出诉最大值可得结论【详解】由得∴当时取得最小值∴使成立即使成立设设则∴即∴在时是增函数∴在上有∴故答案为：【点睛】解析：(,5]-∞【分析】先整理为关于1x 的不等式恒成立，求出相应的最值后，得不等式222222154x x x ax -+--+-在2[3,4]x ∈时能成立，分离参数整理为223414x a x ≤++，求出223414x x ++诉最大值可得结论．【详解】由2211221225x x x x x ax ≥++-+，得2212122(2)5x x x x ax +-≥-+-， ∴当2112x x =-时，()21212x x x +-取得最小值()22222221211224x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴2[3,4]x ∃∈，使222222154x x x ax -+--+-成立，即2[3,4]x ∃∈，使223414a x x ++成立．设3414t y t=++，设1234t t ≤<≤，则12120,316t t t t -<>， ∴12121212121233()(316)44444t t t t t t y y t t t t ---=+--=0<，即12y y <， ∴3414t y t=++在[3,4]∈时，是增函数． ∴223414x y x =++在[3,4]上有max 5y =，∴5a ≤．故答案为：(,5]-∞．【点睛】思路点睛：本题考查双变量不等式恒成立求参数范围．解题方法是先整理为以1x 为变量的不等式恒成立，又转化为关于2x 的不等式能成立，分离参数后求得函数的最值．14．①③【分析】①根据二进制与十进制的关系转换后可判断②利用均值与方差的计算公式可判断③根据事件的关系判断④根据且的真假判断【详解】对于①正确;对于②将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后平均值解析：①③ 【分析】①根据二进制与十进制的关系转换后可判断，②利用均值与方差的计算公式可判断，③根据事件的关系判断，④根据“且”的真假判断．【详解】对于①543210(2)11001112120202121251=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=正确;对于②，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，平均值为加上或减去这个常数，均值改变，方差不变，错误；对于③，从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，“至多一个红球”为“一红一白或两白”，“都是红球”为“两红”，则事件“至多一个红球”与“都是红球”互斥且对立，正确;对于④，若“p q ∧”为假命题，则p ，q 至少有一个为假命题，则④不正确；答案:①③. 【点睛】方法点睛：本题命题的真假判断，解题时需对每个命题进行判断，要求掌握相应的知识，考查的知识点较多，属于中档题．15．【分析】命题中点组成集合命题中点组成集合题意说明由集合的包含关系可得【详解】作出不等式组表示的平面区域如图内部（含边界）不等式表示的平面区域是以为圆心为半径的圆及内部如图若是的必要不充分条件则圆在内解析：1(0,]2 【分析】命题p 中点(,)x y 组成集合M ，命题q 中点(,)x y 组成集合N ，题意说明NM ，由集合的包含关系可得．【详解】作出不等式组0222x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩表示的平面区域，如图ABC ∆内部（含边界），不等式22(1)x y m ++≤表示的平面区域是以(1,0)Q -为圆心m 为半径的圆及内部，如图，若p 是q 的必要不充分条件，则圆C 在ABC ∆内部，圆心C 到直线y x =的距离为10222d --==，所以202m <≤，即102m <≤．故答案为：1(0,]2．【点睛】本题考查必要不充分条件的应用，考查不等式组表示的平面区域．解题方法是数形结合思想法．16．【分析】先分别求出命题和命题为真命题时表示的集合即可求出和表示的集合根据必要不充分条件所表示的集合间关系即可求出【详解】对于命题由可解出则表示的集合为或设为A 对于命题则设表示的集合为B 是的必要不充分解析：(][),99,-∞-⋃+∞【分析】先分别求出命题p 和命题q 为真命题时表示的集合，即可求出p ⌝和q ⌝表示的集合，根据必要不充分条件所表示的集合间关系即可求出.【详解】对于命题p ，由1123x --≤可解出210x -≤≤，则p ⌝表示的集合为{2x x <-或}10x >，设为A ，对于命题q ，22210x x m -+-≤，则110x m x m ，设q ⌝表示的集合为B ， p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，B ∴ A ，当0m >时，110x m x m 的解集为{}11x m x m -≤≤+，则{1B x x m =<-或}1x m >+，12110m m -≤-⎧∴⎨+≥⎩，解得9m ≥；当0m =时，{}1B x x =≠，不满足题意；当0m <时，110x m x m 的解集为{}11x m x m +≤≤-，则{1B x x m =<+或}1x m >-，12110m m +≤-⎧∴⎨-≥⎩，解得9m ≤-，综上，m 的取值范围是(][),99,-∞-⋃+∞.故答案为：(][),99,-∞-⋃+∞.【点睛】本题考查命题间关系的集合表示，以及根据集合关系求参数范围，属于中档题. 17．【分析】将条件转化为任意恒成立此时有从而解出实数a 的取值范围【详解】命题：存在使为假命题即恒成立则即：解得故实数a 的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查由命题的真假求参数的范围考查一元二次不等式的应解析：()12,0-【分析】将条件转化为任意x ∈R ，230x ax a -->恒成立，此时有∆<0，从而解出实数a 的取值范围.【详解】命题：“存在x ∈R ，使230x ax a --≤”为假命题即230x ax a -->恒成立，则∆<0，即：2120a a ∆=+<，解得120a -<<，故实数a 的取值范围为()12,0-故答案为：()12,0-【点睛】本题考查由命题的真假求参数的范围，考查一元二次不等式的应用，体现了等价转化的思想，属于中等题.18．①【分析】对四个结论逐个分析可选出答案【详解】对于①其图象由的图象向左平移1个单位再向上平移2个单位得到故的对称中心为即①正确；对于②由可得令且显然函数在上单调递减则又因为时故在的值域为所以当时关于解析：①【分析】对四个结论逐个分析，可选出答案.【详解】对于①，()213211x f x x x -==-++，其图象由3y x =-的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到，故()f x 的对称中心为1,2，即①正确；对于②，由10x k x -+=，可得1k x x =-. 令()1g x x x=-，且()0,1∈x ，显然函数()g x 在()0,1∈x 上单调递减，则()()10g x g >=，又因为0x →时，1+x x -→∞，故()g x 在0,1的值域为0,，所以当0k ≤时，关于x 的方程10x k x-+=在()0,1∈x 没有实数根，即②错误；对于③，先来判断充分性，当cos cos b A a B =时，可得sin cos sin cos =B A A B ，所以()sin cos sin cos sin 0B A A B B A -=-=，即B A =，所以ABC 为等腰三角形，不能推出ABC 为等边三角形，即充分性不成立；再来判断必要性，当ABC 为等边三角形时，可得B A =，则sin cos sin cos =B A A B ，故cos cos b A a B =，即必要性成立，故③不正确；对于④，()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个单位后，得到()πsin 223g x x φ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由()g x 为奇函数，可得πsin 203φ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则()π2π3φk k +=∈Z ，解得()ππ26k φk =-∈Z ，当1k =时，ϕ取得最小正值为π3，故④不正确.所以，正确的结论是①.故答案为：①.【点睛】本题考查函数的对称中心，考查三角函数的平移变换及奇偶性的应用，考查利用参变分离法解决方程的解的存在性问题，考查充分性与必要性的判断，考查学生的推理论证能力与计算求解能力，属于中档题.19．①②③【分析】我们可以根据对称性等函数的性质对四个结论逐一进行判断可以得到正确的结论【详解】解：①函数可得所以函数关于点成中心对称成立故①正确；②对若且则即有若则或故②正确；③若实数满足可设则设为可解析：①②③【分析】我们可以根据对称性等函数的性质对四个结论逐一进行判断，可以得到正确的结论．【详解】解：①函数()3231y f x x x ==-+可得()()2f x f x +-=()()3323123112x x x x -++-++=.所以函数关于点()0,1成中心对称成立.，故①正确；②对x ∀，y R ∈．若1x =且1y =-，则0x y +=．即有若0x y +≠，则1x ≠或1y ≠-．故②正确；③若实数x ，y 满足221x y +=，可设cos x α=，sin (02)y ααπ=<，则sin 22cos y x αα=++，设为t ，可得sin cos 2t t αα-=22||t，解得33t ，则2y x+③正确； ④若ABC ∆为钝角三角形，若A 为锐角，B 为钝角，则sin cos A B >，故④错误．故答案为：①②③【点睛】本题考查的知识点是判断命题真假，比较综合的考查了函数的性质，属于中档题， 20．必要不充分【分析】根据线面垂直的定义以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论【详解】根据线面垂直的定义可知直线与平面内任意无数条直线都垂直当直线与平面内无数条直线都垂直时直线与平面垂直不一定成立∴直解析：必要不充分【分析】根据线面垂直的定义以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【详解】根据线面垂直的定义可知，直线l 与平面α内任意无数条直线都垂直，当直线l 与平面α内无数条直线都垂直时，直线l 与平面α垂直不一定成立，∴“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的必要不充分条件．故答案为必要不充分.本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用线面垂直的定义是解决本题的关键，注意“无数条”和“任意条”的区别．三、解答题21．（1）{}14A x x =≤≤，当2a >时，{}2B x x a =≤≤；当2a =时，{2}B =；当2a <时，{}2B x a x =≤≤；（2）14a ≤≤. 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法，即可求得A ，将不等式2(2)20()x a x a a R -++≤∈因式分解，讨论2a >、2a =、2a <三种情况，即可得答案；（2）根据题意可得B A ⊆，讨论2a >、2a =、2a <三种情况，即可得答案.【详解】（1）不等式254x x ≤-，整理得2540x x -+≤，即(1)(4)0x x --≤，解得14x ≤≤，所以{}14A x x =≤≤.不等式2(2)20()x a x a a R -++≤∈，整理得()(2)0x a x --≤，当2a >时，解得2x a ≤≤，所以解集为{}2B x x a =≤≤；当2a =时，解集为{2}B =；当2a <时，解得2a x ≤≤，所以解集为{}2B x a x =≤≤.（2）因为x A ∈是x B ∈的必要条件，即B A ⊆，当2a >时，{}2B x x a =≤≤，所以4a ≤，即24a <≤；当2a =时，{2}B =，满足题意；当2a <时，{}2B x a x =≤≤，所以1a ≥，即12a ≤<，综上14a ≤≤.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，充分、必要条件等知识，考查分析理解，分类讨论，计算化简的能力，属中档题.22．（1）1,38M ⎡⎫=-⎪⎢⎣⎭（2）3a ≥或1a ≤- 【分析】（1）利用参数分离法将m 用x 表示，结合二次函数的性质求出m 的取值范围，从而可求集合M ；（2）若x ∈N 是x M ∈的必要条件，则M N ⊆分类讨论①当2a a >-即1a >时，{|2}N x a x a =-<<，②当2a a <-即1a <时，{|2}N x a x a =<<-，两种情况进行求解；解：（1）由题意，方程22m x x =-在(1,1)-上有解令2()2f x x x =-(11)x -<<.只需m 在()f x 值域内易知()f x 值域为1,38⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.m ∴的取值集合1,38M ⎡⎫=-⎪⎢⎣⎭（2）由题意，M N ⊆，显然N 不为空集.①当2a a >-即1a >时，(2,)N a a =-. 12831a a a ⎧-<-⎪⎪∴≥⎨⎪>⎪⎩3a ∴≥ ②当2a a <-即1a <时，(,2)N a a =-.23181a a a -≥⎧⎪⎪∴<-⎨⎪<⎪⎩1a ∴≤-. 综合：3a ∴≥或1a ≤-【点睛】本题主要考查了二次函数在闭区间上的值域的求解，集合之间包含关系的应用，体现了分类讨论思想的应用．23．（1）()(),42,-∞-+∞；（2）[)14,1,23⎛⎤--⋃ ⎥⎝⎦. 【分析】（1）根据一元二次不等式解集与判别式关系，求出甲为真命题时a 的范围，根据一元二次方程解的个数与判别式关系，求出乙为真命题时a 的范围，即可求出结论；（2）由甲、乙只有一假求出a 的取值范围.【详解】命题甲：由不等式22(1)0x a x a +-+≤的解集为空集，得22(1)40a a ∆=--<，解得：1,a <-或13a >，命题乙：由方程2(4)0x a --=有两个不相等的实根得224(4)0a a ∆=+->，解得：4,a <-或2a >；（1）甲，乙都是真命题的条件是()(),42,a ∈-∞-⋃+∞（2）甲，乙中有且只有一个是假命题的条件是[)14,1,23a ⎛⎤∈--⋃ ⎥⎝⎦.【点睛】本题以命题真假判断与应用为载体，考查了复合命题的真假判断，一元二次不等式的解法，方程根的个数及其判断，属于中档题.24．[)10,4,3⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦.【分析】先化简两个集合，再根据充分必要性得到A 是B 的真子集，再列式计算即可.【详解】解：{}{}224303(0)A x x ax a x a x a a =-+≤=≤≤>， {}2540{1B x x x x x =-+≥=≤或4}x ≥，因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A 是B 的真子集，故310a a ≤⎧⎨>⎩或40a a ≥⎧⎨>⎩，103a ∴<≤或4a ≥， ∴实数a 的取值范围是[)10,4,3⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦.【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含． 25．（1）答案见解析；（2）,11,2 【分析】（1）本题可将a 的值代入集合A 中，然后通过并集的相关性质即可得出结果；（2）本题首先可通过集合B 求出集合B R ，然后通过x A ∈得出集合A 不是空集，最后通过题意得出集合A 是集合B R 的真子集，即可列出不等式并通过计算得出结果. 【详解】（1）选择①：当1a =-时，()3,0A =-，因为[]0,1B =，所以(]3,1A B ⋃=-.选择②：当0a =时，()1,1A =-，因为[]0,1B =，所以(]1,1A B ⋃=-.选择③：当1a =时，()1,2A =，因为[]0,1B =，所以[)0,2A B ⋃=.（2）因为{}01B x x =≤≤，所以()(),01,R B =-∞⋃+∞，因为x A ∈，所以集合{}211A x a x a =-<<+不是空集，即211a a -<+，解得2a <，因为“x A ∈”是R x B ∈的充分不必要条件，所以集合A 是集合B R 的真子集，即10a +≤或211a -≥，解得1a ≤-或1a ≥，综上所述，实数a 的取值范围为,11,2. 【点睛】关键点点睛：若命题p 是命题q 的充分不必要条件，则命题p 中元素所组成的集合是命题q 中元素所组成的集合的真子集，若命题p 是命题q 的必要不充分条件，则命题q 中元素所组成的集合是命题p 中元素所组成的集合的真子集，考查计算能力，是中档题. 26．（1）(]2,3=-A ；（2）1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）原式变形为302x x -≤+，结合一元二次不等式的解法可得答案；（2）x A ∈是x B ∈的必要条件，等价于B A ⊆，分0a =，0a >，0a >三种情况讨论，分别根据包含关系列不等式求解即可.【详解】（1）不等式变为21102x x --≤+，即302x x -≤+，即()()32020x x x ⎧-+≤⎨+≠⎩，解得23x -<≤，所以(]2,3=-A ；（2）因为x A ∈是x B ∈的必要条件，所以B A ⊆，当0a =时，[)1,B =-+∞，不合题意，舍去，当0a >时，不等式为()110⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭x x a ， 1110,1,B a a ⎡⎤-<<∴=-⎢⎥⎣⎦； 1,3B A a ∴⊆≤，得13a ≥，当0a <时，不等式可化为()110⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭x x a ，因为无论1a与1-大小关系如何,都不合题意综上，a的取值范围是1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题主要考查分数不等式，一元二次不等式的解法，考查了根据必要条件求参数以及集合的包含关系，同时考查转化思想与分类讨论思想的应用，属于中档题.。

高中数学选修2-1 各章节同步练习及答案解析

第一章 1.1第1课时一、选择题1．下列语句中命题的个数为()①{0}∈N；②他长得很高；③地球上的四大洋；④5的平方是20.A．0B．1C．2D．3[答案]C[解析]①④是命题，②③不是命题．地球上的四大洋是不完整的句子．2．若a>1，则函数f(x)＝a x是增函数()A．不是命题B．是真命题C．是假命题D．是命题，但真假与x的取值有关[答案]B[解析]当a>1时，指数函数f(x)＝a x是增函数，故“若a>1，则函数f(x)＝a x是增函数”是真命题．3．已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是() A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥βB．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥nC．m⊥α，m⊥n⇒n∥αD．n∥m，n⊥α⇒m⊥α[答案]D[解析]验证排除法：A选项中缺少条件m与n相交；B选项中两平行平面内的两条直线m与n关系不能确定；C选项中缺少条件n⊄α.4．给定下列命题：①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②若a>b>0，c>d>0，则ac>bd；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0.其中是真命题的是()A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④[答案]B[解析]①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，所以①为真命题；②由不等式的乘法性质知命题正确，所以②为真命题；③如等腰梯形对角线相等，不是矩形，所以③是假命题；④由等式性质知命题正确，所以④是真命题，故选B.5．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是()A. a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝c[答案]B[解析]A选项中可能有a⊥b；C选项中a2＝b2说明|a|＝|b|，a与b并不一定共线，D 选项中a·b＝a·c说明a·(b－c)＝0，则a⊥(b－c)6．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是()A．这个四边形的对角线互相平分B．这个四边形的对角线互相垂直C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直D．这个四边形是平行四边形[答案]C[解析]该命题的条件是“一个四边形是平行四边形”，结论是“这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”．二、填空题7．下面是关于四棱柱的四个命题：①如果有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②如果两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③如果四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④如果四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．其中，真命题的编号是__________________(写出所有真命题的编号)．[答案]②④[解析]②中由过相对侧棱截面的交线垂直于底面并与侧棱平行，可知命题成立，④中由题意，可知对角面均为长方形，即可证命题成立．①、③错误，反例如有一对侧面与底面垂直的斜四棱柱．8．设a、b、c是空间的三条直线，下面给出四个命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线；③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面．其中真命题的个数是__________________．[答案]0[解析]∵垂直于同一直线的两条直线不一定平行，∴命题①不正确；∵与同一直线均异面的两条直线的位置关系可以共面，也可以异面，∴命题②不正确；∵与同一直线均相交的两条直线在空间中可以相交，也可以平行或异面，∴命题③不正确；∵当两平面的相交直线为直线b时，两平面内分别可以作出直线a与c，即直线a与c 不一定共面，∴命题④不正确．综上所述，真命题的个数为0.三、解答题9．判断下列语句中哪些是命题，是命题的，请判断真假．(1)末位是0的整数能被5整除；(2)△ABC中，若∠A＝∠B，则sin A＝sin B；(3)余弦函数是周期函数吗？(4)求证：当x∈R时，方程x2＋x＋2＝0无实根．[解析](1)是命题，真命题．(2)是命题，真命题．(3)、(4)不是命题．10．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)对角线相等的四棱柱是长方体；(2)整数的平方是非负整数；(3)能被10整除的数既能被2整除，也能被5整除．[解析](1)可写为：“若四棱柱的对角线相等，则它是长方体”，这个命题是假命题，如底面是等腰梯形的直四棱柱．(2)可写为：“若一个数是整数，则它的平方是非负整数”，真命题．(3)可写为：“若一个数能被10整除，则它既能被2整除，也能被5整除”，真命题．一、选择题1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这四句诗中，在当时条件下，可以作为命题的是()A．红豆生南国B．春来发几枝C．愿君多采撷D．此物最相思[答案]A[解析]“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A.2．设α、β、γ为两两不重合的平面，c 、m 、n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①如果α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②如果α∥β，c ⊂α，则c ∥β；③如果α∩β＝c ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，c ∥γ，则m ∥n .其中真命题个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[答案] C[解析] ①α⊥γ，β⊥γ，则α与β可相交，①错误；②中∵α∥β，∴α与β无公共点，又c ⊂α，∴c 与β无公共点，∴c ∥β，故②正确；由c ∥γ，c ⊂β，β∩γ＝m 得c ∥m ，同理可得c ∥n ，∴m ∥n ，故③正确．3．下面的命题中是真命题的是( )A ．y ＝sin 2x 的最小正周期为2πB ．若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根同号，则c a>0 C ．如果M ⊆N ，那么M ∪N ＝MD ．在△ABC 中，若AB →·BC →>0，则△ABC 为锐角三角形[答案] B[解析] y ＝sin 2x ＝1－cos2x 2，T ＝2π2＝π，故A 为假命题；当M ⊆N 时，M ∪N ＝N ，故C 为假命题；当AB →·BC →>0时，向量AB →与BC →的夹角为锐角，B 为钝角，故D 为假命题．4．设a 是已知的平面向量且a ≠0.关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使a ＝b ＋c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a ＝λb ＋μc ；③给定向量b 和正数μ，总存在单位向量c ，使a ＝λb ＋μc .④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a ＝λb ＋μc .上述命题中的向量b 、c 和a 在同一平面内，且两两不共线，则真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] C[解析] 对于①，由向量的三角形加法法则可知其正确；由平面向量基本定理知②正确；对③，可设e 与b 是不共线单位向量，则存在实数λ，y 使a ＝λb ＋y e ，若y >0，则取μ＝y ，c ＝e ，若y <0，则取μ＝－y ，c ＝－e ，故③正确；④显然错误，给定正数λ和μ，不一定满足“以|a |，|λb |，|μc |为三边长可以构成一个三角形”，这里单位向量b 和c 就不存在．可举反例：λ＝μ＝1，b 与c 垂直，此时必须a 的模为2才成立．二、填空题5．给出下列四个命题：①若a >b >0，则1a >1b； ②若a >b >0，则a －1a >b －1b； ③若a >b >0，则2a ＋b a ＋2b >a b； ④若a >0，b >0，且2a ＋b ＝1，则2a ＋1b的最小值为9. 其中正确命题的序号是__________________．(把你认为正确命题的序号都填上)[答案] ②④[解析] ①在a >b >0两端同乘以1ab 可得1b >1a，故①错； ②由于⎝⎛⎭⎫a －1a －⎝⎛⎭⎫b －1b ＝(a －b )⎝⎛⎭⎫1＋1ab >0，故②正确；③由于2a ＋b a ＋2b －a b ＝b 2－a 2(a ＋2b )b <0，即2a ＋b a ＋2b <a b，故③错；④由2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝5＋2b a ＋2a b≥5＋22b a ·2a b ＝9，当且仅当2b a ＝2a b，即a ＝b ＝13时取得等号，故④正确． 6．已知函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R )，给出下列命题：①若a 2－b ≤0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数；②若a 2－b >0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数；③当x ＝a 时，f (x )有最小值b －a 2；④当a 2－b ≤0时，f (x )有最小值b －a 2.其中正确命题的序号是__________________．[答案] ①④[解析] 由题意知f (x )＝|x 2－2ax ＋b |＝|(x －a )2＋b －a 2|.若a 2－b ≤0，则f (x )＝|(x －a )2＋b －a 2|＝(x －a )2＋b －a 2，可知f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数，所以①正确，②错误；只有在a 2－b ≤0的条件下，才可能在x ＝a 时，f (x )取最小值b －a 2，所以③错误，④正确．三、解答题7．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式．(1)ac >bc ⇒a >b ；(2)当m >14时，mx 2－x ＋1＝0无实根； (3)方程x 2－2x －3＝0的解为x ＝3或x ＝－1.[解析] (1)若ac >bc ，则a >b .(2)若m >14，则mx 2－x ＋1＝0无实根． (3)若x 2－2x －3＝0，则x ＝3或x ＝－1.8．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：0<x <4，若命题p 是真命题，命题q 是假命题，求实数x 的取值范围．[解析] 由lg(x 2－2x －2)≥0，得x 2－2x －2≥1，即x 2－2x －3≥0.解得x ≤－1或x ≥3.故命题p ：x ≤－1或x ≥3.又命题q ：0<x <4，且命题p 为真，命题q 为假，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1或x ≥3x ≤0或x ≥4，所以x ≤－1或x ≥4.所以，满足条件的实数x 的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．第一章 1.1 第2课时一、选择题1．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则它的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0[答案] C[解析] 原命题是真命题，因为幂函数的图象不过第四象限，反过来，图象不过第四象限的函数不一定是幂函数，所以逆命题为假命题，根据等价命题的真假性相同可知，否命题为假命题，逆否命题为真命题，故选C.2．“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为( )A．若x2≠1，则x＝1B．若x2＝1，则x≠1C．若x2≠1，则x≠1D．若x≠1，则x2≠1[答案]C[解析]“若p则q”的否命题形式为“若¬p则¬q”．3．命题“如果a、b都是奇数，则ab必为奇数”的逆否命题是()A．如果ab是奇数，则a、b都是奇数B．如果ab不是奇数，则a、b不都是奇数C．如果a、b都是奇数，则ab不是奇数D．如果a、b不都是奇数，则ab不是奇数[答案]B[解析]命题“如果a、b都是奇数，则ab必为奇数”的逆否命题是“如果ab不是奇数，则a、b不都是奇数”．4．“a2＋b2≠0”的含义是()A．a、b不全为0B．a、b全不为0C．a、b至少有一个为0D．a不为0且b为0，或b不为0且a为0[答案]A[解析]若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0，或a＝0且b≠0，或a≠0且b＝0，即a、b不全为0，故选A.5．原命题为“圆内接四边形是等腰梯形”，则下列说法正确的是()A．原命题是真命题B．逆命题是假命题C．否命题是真命题D．逆否命题是真命题[答案]C[解析]否命题是“非圆内接四边形不是等腰梯形”，为真命题．6．设a、b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是()A．若a≠－b，则|a|≠|b|B．若a＝－b，则|a|≠|b|C．若|a|≠|b|，则a≠－bD．若|a|＝|b|，则a＝－b[答案]D[解析]命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是“若|a|＝|b|，则a＝－b”，故选D.二、填空题7．(2015·福建八县一中高二期末测试)命题“若∠C＝90°，则△ABC是直角三角形”的否命题的真假性为__________________．[答案]假[解析]原命题的否命题是“若∠C≠90°，则△ABC不是直角三角形”，是假命题．8．“若a∈A，则a∈B”的逆否命题为__________________．[答案]若a∉B，则a∉A[解析]一个命题的逆否命题是结论的否定作条件，条件的否定作结论，故原命题的逆否命题为“若a∉B，则a∉A”．三、解答题9．设原命题为“已知a、b是实数，若a＋b是无理数，则a、b都是无理数”．写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并分别说明他们的真假．[解析]逆命题：已知a、b为实数，若a、b都是无理数，则a＋b是无理数．如a＝2，b＝－2，a＋b＝0为有理数，故为假命题．否命题：已知a、b是实数，若a＋b不是无理数，则a、b不都是无理数．由逆命题为假知，否命题为假．逆否命题：已知a、b是实数，若a、b不都是无理数，则a＋b不是无理数．如a＝2，b＝2，则a＋b＝2＋2是无理数，故逆否命题为假．10．判断命题“已知a、x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．[解析]逆否命题：已知a，x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，真命题．判断如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.∵a<1，∴4a－7<0，即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点，∴关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真．第三章综合素质检测时间120分钟，满分150分。

(北师大版)长春市高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》检测(包含答案解析)

一、选择题1．设F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C 的左.右支交于点P Q 、，若2,60PQ QF PQF =∠=︒，则该双曲线的离心率为（）A ．1BC ．2D ．4+2．已知椭圆中心在原点，且一个焦点为(0F ，直线43130x y +-=与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为1，则此椭圆的方程是（）A ．221325y x +=B ．221325x y +=C ．221369y x +=D ．221369x y +=3．已知抛物线24x y =上的一点M 到此抛物线的焦点的距离为2，则点M 的纵坐标是（） A ．0B ．12C ．1D ．24．已知F 是双曲线22:13y C x -=的右焦点，Q 是双曲线C 左支上的一点，(0,M 是y 轴上的一点.当MQF 的周长最小时，过点Q 的椭圆与双曲线C 共焦点，则椭圆的离心率为（） A ．25B ．45C ．15D ．235．已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若在右支上存在点A ，使得点2F 到直线1AF 的距离为2a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A ．)+∞B ．C ．)+∞D ．6．已知圆2221:(0)C x y b b +=>与双曲线22222:1(0,0)-=>>x y C a b a b，若在双曲线2C 上存在一点P ，使得过点P 所作的圆1C 的两条切线互相垂直，则双曲线2C 的离心率的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎦B ．⎫+∞⎪⎪⎣⎭C ．(D ．)+∞7．已知三角形ABC 的三个顶点都在椭圆：22143x y +=上，设它的三条边AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，M ，且三条边所在线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且1k ，2k ，3k 均不为0.O 为坐标原点，若直线OD ，OE ，OM 的斜率之和为1.则123111k k k ++=（） A ．43-B ．3- C ．1813-D ．32-8．设P 为椭圆22:1169x y C +=上的点，12,F F 分别是椭圆C 的左，右焦点，125PF PF ⋅=，则12PF F △的面积为（）A ．3B ．4C ．5D ．69．已知1F 、2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线与椭圆交于P 、Q 两点，1PQ PF ⊥，且112QF PF =，则12PFF △与12QF F 的面积之比为（） A ．23- B ．21- C ．21+D ．23+10．如图，已知点()00,P x y 是双曲线221:143x y C -=上的点，过点P 作椭圆222:143x y C +=的两条切线，切点为A 、B ，直线AB 交1C 的两渐近线于点E 、F ，O是坐标原点，则OE OF ⋅的值为（）A ．34B ．1C ．43D ．91611．在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（） A ．45π B ．34π C ．(625)π-D ．54π 12．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，离心率22，过点F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 中点为(1,1)，则直线l 的斜率为（）A ．2B ．2-C ．12-D ．12二、填空题13．设F 为抛物线2:=3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30的直线交C 于A ,B 两点，则AB =________.14．设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 作直线交抛物线C 于A B 、两点，O 为坐标原点，则AOB ∆面积的最小值为__________．15．如图，过抛物线2:4C y x =的焦点F 的弦AB 满足3AF FB =（点A 在x 轴上方），分别过,A B 作抛物线的切线，设两切线的交点为M ，则M 的坐标为__________.16．已知双曲线221x my +=的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m =______.17．过抛物线22(0)y px p =>的焦点作倾斜角为45︒的直线与该抛物线交于P ，Q 两点，P ，Q 在x 轴上的射影分别为R ，S.若梯形PRQS 的面积为12，则p 的值为____________. 18．已知抛物线24y x =的焦点为F ，P 为抛物线上一动点，定点()1,1A ，则PAF △周长最小值为______．19．在平面直角坐标系中，曲线C 是由到两个定点1,0A 和点()1,0B -的距离之积等于2C ，有下列四个结论：①曲线C 是轴对称图形； ②曲线C 是中心对称图形；③曲线C 上所有的点都在单位圆221x y +=内；其中，所有正确结论的序号是__________．20．已知为()0,1A -，当B 在曲线221y x =+上运动时，线段AB 的中点M 的轨迹方程是___________________.三、解答题21．已知圆M 的方程为222260x y x y +---=，以坐标原点为圆心的圆N 与圆M 相切．（1）求圆N 的方程；（2）圆N 与x 轴交于E F ，两点，圆N 内的动点D 使得,DE DO DF ，成等比数列，求DF DE →→⋅的取值范围；（3）过点M 作两条直线分别与圆N 相交于A B ，两点，且直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，试判断直线MN 和AB 是否平行，并说明理由．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点与抛物线24y x =的焦点相同，1F 、2F 分别为椭圆C 的左、右焦点，M 为C 上任意一点，12MF F S的最大值为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）不过点F 2的直线l :y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ，B 两点. ①若k 2=12,且S △AOB =2，求m 的值； ②若x 轴上任意一点到直线AF 2与BF 2距离相等，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.23．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0Q 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点.点()4,3P ，记直线PA ，PB 的斜率分别为12,k k ，当12k k ⋅最大时，求直线l 的方程.24．在平面直角坐标系中，动点M 到点(2,0)F 的距离和它到直线52x =的距离的比是常25（1）求动点M 的轨迹方程；（2）若过点F 作与坐标轴不垂直的直线l 交动点M 的轨迹于,A B 两点，设点A 关于x 轴的对称点为P ，当直线l 绕着点F 转动时，试探究：是否存在定点Q ，使得,,B P Q 三点共线？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．25．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，短轴的（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点(0,4)的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且坐标原点O 在以AB 为直径的圆上，求直线l 的斜率.26．已知抛物线24W y x =：的焦点为F ，直线2+y x t =与抛物线W 相交于,A B 两点. （1）将||AB 表示为t 的函数；（2）若||AB =AFB △的周长.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】∵|PQ |=2|QF |,∠PQF =60°,∴∠PFQ =90°，设双曲线的左焦点为F 1,连接F 1P ,F 1Q ，由对称性可知,F 1PFQ 为矩形,且|F 1F |=2|QF|,1QF =，不妨设()1220F F m m =>，则1,QF QF m ==，故121212F F c e a QF QF ====-. 本题选择A 选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．2．C解析：C 【解析】设椭圆方程为()222210y x a b a b+=>>联立方程：2222143130y x a bx y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，整理得：()222222216910416990b a x b x b a b +---=, 设()11M x y ，，()22N x y ，，则1212x x +=，即2221042169b b a=+，化简得：224a b =，又2227a b -=，易得：22369a b ⎧=⎨=⎩，∴此椭圆的方程是221369y x +=故选C点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB 所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB 的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k ，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.3．C解析：C 【解析】试题分析：先根据抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，进而根据抛物线的定义可知点p 到焦点的距离与到准线的距离相等，进而推断出y p +1=2，求得y p ．解：根据抛物线方程可求得焦点坐标为（0，1），准线方程为y=﹣1，根据抛物线定义， ∴y p +1=2，解得y p =1．故选C ．考点：抛物线的简单性质．4．B解析：B 【分析】当,,M Q E 三点共线时，MQ QE +最小，进而可求出Q 的坐标，结合椭圆的性质，可知椭圆的离心率EF e QE QF=+.【详解】由题意，双曲线22:13y C x -=中，2221,3,4a b c ===，设双曲线的左焦点为E ，则()2,0E -，右焦点()2,0F ，则4MF ==，根据双曲线的性质可知，2QF QE a -=，则MQF的周长为26MF MQ QF MF MQ QE a MQ QE ++=+++=++，当,,M Q E 三点共线时，MQ QE +最小，此时MQF 的周长最小，此时直线ME 的方程为)32y x =+，联立)221332y x x y ⎧==+-⎪⎨⎪⎩，消去y 得450x +=，解得54x =-，则33y = 所以MQF 的周长最小时，点Q 的坐标为533,44⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，过点Q 的椭圆的左焦点()2,0E -，右焦点()2,0F ，则2222533533224444QE QF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭614544=+=，所以椭圆的离心率45EFe QE QF ==+.故选：B. 【点睛】本题考查双曲线、椭圆的性质，考查椭圆离心率的求法，考查学生的计算求解能力，属于中档题.5．A解析：A 【分析】由点()2,0F c 到直线1AF 的距离为2a ，可得出直线1AF 的方程为0ax by ac -+=，与双曲线联立，利用120x x <可建立关系求解. 【详解】设点A 的坐标为(,)m n ，则直线1AF 的方程为()()0m c y n x c +-+=，点()2,0F c 到直线1AF 的距离为2a ，222()a m c n =++∴，可得()a n m c b =+，则直线1AF 的方程化为0ax by ac -+=，与双曲线方程联立，可得()4424422420b a x a cx a c a b ----=，A 在右支上，4224440a c a b b a--∴<-，即440b a ->，即220b a ->，即2220c a ->，则可得2e >.故选：A. 【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.6．B解析：B 【分析】根据题意，若过点P 所作的圆1C 的两条切线互相垂直，则2OP b =，则只需在双曲线上存在一点到坐标原点额距离为2b ，设点(),P x y ，则利用22222212x OP x y x b b a ⎛⎫=+=+-= ⎪⎝⎭有解求出离心率e 的取值范围.【详解】如图所示，设点P 为双曲线上一点，过点P 作圆2221:(0)C x y b b +=>的两条切线PA 与PB ，切点分别为A 与B ，连接OP ，若两条切线互相垂直，则22OP OB b ==，设点(),P x y ，则22222212x OP x y x b b a ⎛⎫=+=+-= ⎪⎝⎭有解，整理得22223c x b a =有解，即22223a b x c=，又22x a ≥，所以2231b c ≥，又222b c a =-，故22233c a c -≥，解得6c e a =≥. 故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的取值范围求解，求解离心率的的值及取值范围的关键在于画出图形，根据图形找到各边的数量关系，通过数量关系列出,,a b c 的齐次式求解.7．A解析：A 【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()11,D s t ，()22,E s t ，()33,M s t ，利用A ，B 在椭圆上，代入椭圆方程，两式相减得：111413t k s =-，同理可得：222413t k s =-，333413t k s =-，再利用已知条件即可得出结果. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()11,D s t ，()22,E s t ，()33,M s t ，因为A ，B 在椭圆上，所以2211143x y +=，2222143x y +=，两式相减得：121211121213344y y x x sk x x y y t -+==-⨯=-⨯-+，即111413t k s =-，同理可得222413t k s =-，333413t k s =-，所以31212312311143t t tk k k s s s ⎛⎫++=-++ ⎪⎝⎭因为直线OD ､OE ､OM 的斜率之和为1，所以12311144133k k k ++=-⨯=-，故选：A. 【点睛】关键点睛：本题主要考查椭圆的简单性质的应用.利用平方差法转化求解斜率是解决本题的关键.8．D解析：D 【分析】先根据椭圆的方程求得c ，进而求得12F F ，设出12,PF m PF n ==，利用余弦定理可求得mn 的值，最后利用三角形面积公式求解．【详解】由椭圆方程有4,3a b ==，则c .设12,PF m PF n ==，由椭圆的定义有：28m n a +==.设12F PF θ∠=，由125PF PF ⋅=，得cos 5mn θ=，由余弦定理得： 222cos 28m n mn θ+-= 解得：513,cos 13mn θ==，12sin 13θ∴=．所以12PF F △的面积为1112sin 1362213S mn θ==⨯⨯=．故选：D 【点睛】本题考查椭圆的标准方程、椭圆的定义的应用，椭圆中求三角形的面积问题，是中档题．9．D解析：D 【分析】设1PF t =，则1122QF PF t ==，由已知条件得出130PQF ∠=，利用椭圆的定义可得22PF a t =-，222QF at =-，则43PQ a t =-，利用勾股定理可求得33t a =+，进而可得出121222222PF F QF F S PF a t S QF a t -==-△△，代入33t a =+计算即可得解. 【详解】可设1PF t =，则1122QF PF t ==，1PQ PF ⊥，则130PQF ∠=，由椭圆的定义可得22PF a t =-，222QF a t =-，则43PQ a t =-，则22211PQ PF QF +=，即()222434a t t t -+=，即有433a t t -=，解得33t =+，则12PF F △与12QF F 的面积之比为()12122222312332322231233PF F QF F a a S PF a t S QF a t a --+=====+---+△△.故选：D. 【点睛】方法点睛：椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称为椭圆的“焦点三角形”，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理以及椭圆的定义来解决.10．B解析：B 【分析】设点()00,P x y ，求出直线AB 的方程为003412x x y y +=，联立直线AB 与双曲线两渐近线方程，求出点E 、F 的坐标，由此可计算得出OE OF ⋅的值. 【详解】先证明结论：椭圆222:143x y C +=在其上一点()00,M x y 的切线方程为003412x x y y +=.由于点()00,M x y 在椭圆2C 上，则22003412x y +=，联立002234123412x x y y x y +=⎧⎨+=⎩，消去y 得()()22220000342448160x y x x x y +-+-=，即22001224120x x x x -+=，即()200x x -=，所以，直线003412x x y y +=与椭圆2C 相切.所以，椭圆222:143x y C +=在其上一点()00,M x y 的切线方程为003412x x y y +=.本题中，设点()00,P x y ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，直线PA 的方程为113412x x y y +=，直线PB 的方程为223412x x y y +=，由于点()00,P x y 在直线PA 、PB 上，可得1010202034123412x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩，所以点()11,A x y 、()22,B x y 满足方程003412x x y y +=，所以，直线AB 的方程为003412x x y y +=.联立0034122x x y y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，得点E ⎫，同理F ⎫.因此，()()()()2222220000048361213422OE OF x y y y ⋅=-==---. 故选：B. 【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：（1）设切线方程为y kx m =+与椭圆方程联立，由0∆=进行求解；（2）椭圆22221x y a b +=在其上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b +=，在应用此方程时，首先应证明直线00221x x y y a b +=与椭圆22221x y a b+=相切.11．A解析：A 【详解】试题分析：设直线:240l x y +-=因为1||||2C l OC AB d -==，1c d -表示点C 到直线l 的距离，所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点，l 为准线的抛物线，圆C 的半径最小值为1122O ld-==，圆C面积的最小值为2455ππ⎛=⎝⎭．故本题的正确选项为A.考点：抛物线定义.12．C解析：C【分析】先根据已知得到222a b=，再利用点差法求出直线的斜率.【详解】由题得222222242,4()2,22cc a a b a a ba=∴=∴-=∴=.设1122(,),(,)A x yB x y，由题得1212+=2+=2x x y y，，所以2222221122222222b x a y a bb x a y a b⎧+=⎨+=⎩，两式相减得2212121212()()a()()0b x x x x y y y y+-++-=，所以2212122()2a()0b x x y y-+-=，所以221212()240()y yb bx x-+=-，所以1120,2k k+=∴=-.故选：C【点睛】本题主要考查椭圆离心率的计算，考查直线和椭圆的位置关系和点差法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.二、填空题13．12【解析】由知焦点所以设直线AB方程为联立抛物线与直线方程消元得：设则根据抛物线定义知故填：解析：12【解析】由2=3y x知焦点3(0)4F，，所以设直线AB方程为3)4y x=-，联立抛物线与直线方程，消元得：21616890x x-+=，设1122(,),(,)A x yB x y，则12212x x+=，根据抛物线定义知12213||=x1222AB x p++=+=.故填：12.14．【解析】抛物线焦点为当直线的斜率不存在时即和轴垂直时面积最小将代入解得故故答案为点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质直线与抛物线的位置关系该题最大的难点在于确定当直线在何位置时三角形的面积最大属于中解析：98【解析】抛物线焦点为3,04⎛⎫⎪⎝⎭，当直线的斜率不存在时，即和x 轴垂直时，面积最小，将34x =代入23y x =，解得32y =±，故133922428OABS =⨯⨯⨯=，故答案为98. 点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系，该题最大的难点在于确定当直线在何位置时，三角形的面积最大，属于中档题；将AOB ∆面积分为用x 轴将其分开，即可得1212OABOFB OFA SSS OF y y =+=-，故可得当直线的斜率不存在时，即和x 轴垂直时，12y y -的值最大，即面积最大.15．【分析】由已知求得抛物线焦点坐标及准线方程由求得所在直线倾斜角得到斜率写出所在直线方程联立准线方程与抛物线方程求得的坐标可求利用导数求斜率写出直线的方程再求两直线的交点则的坐标可求【详解】解：由抛物解析：⎛- ⎝⎭【分析】由已知求得抛物线焦点坐标及准线方程，由3AF FB =求得AB 所在直线倾斜角，得到斜率，写出AB 所在直线方程，联立准线方程与抛物线方程，求得A 、B 的坐标可求，利用导数求斜率，写出直线AM 、BM 的方程，再求两直线的交点，则M 的坐标可求．【详解】解：由抛物线2:4C y x =，得焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-．由题意设AB 所在直线的倾斜角为θ，由3AF FB =，得2231cos 1cos θθ=-+，即1cos 2θ=．tan θ∴=则AB 所在直线方程为1)y x =-．联立21)4y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得231030x x -+=．解得：13x =或3x =，因为点A 在x 轴上方所以(3,23)A ，123,3B ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭由2y x =，得y x'=， 2y x =-得y x'=-∴33|3x y ='==，13|313x y ='=-=-，即AM 、BM 所在直线的斜率分别为3、3-． 3:23(3)AM y x ∴-=-，231:3()3BM y x +=-- 所以323(3)2313()33y x y x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=--⎪⎩解得123x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩M ∴的坐标为23(1,)-．故答案为：23(1,)3-．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．16．【分析】化双曲线方程为标准方程求得的值依题意列方程解方程求得的值【详解】双曲线方程化为标准方程得故依题意可知即解得【点睛】本小题主要考查双曲线的标准方程考查双曲线的虚轴和实轴考查运算求解能力属于基础题解析：1-4【分析】化双曲线方程为标准方程，求得,a b 的值，依题意列方程，解方程求得m 的值.【详解】双曲线方程化为标准方程得2211y x m-=-，故1,a b == 依题意可知2b a =2=，解得14m =-.【点睛】本小题主要考查双曲线的标准方程，考查双曲线的虚轴和实轴，考查运算求解能力，属于基础题.17．【分析】求出过抛物线的焦点且倾斜角为的直线方程然后与抛抛物线联立利用根与系数的关系与三角形的面积转化求解即可【详解】解：由题意可知直线方程为代入抛物线方程可得设可得所以因为过抛物线的焦点作倾斜角为的【分析】求出过抛物线的焦点且倾斜角为45︒的直线方程，然后与抛抛物线联立，利用根与系数的关系与三角形的面积转化求解即可【详解】解：由题意可知直线方程为2p y x =-，代入抛物线方程，可得22304p x px -+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，可得212123,4p x x p x x +==，所以12x x -===，因为过抛物线22(0)y px p =>的焦点作倾斜角为45︒的直线与该抛物线交于P ，Q 两点，P ，Q 在x 轴上的射影分别为R ，S ，且梯形PRQS 的面积为12，所以()2121122x x -=，可得218122p ⨯=，解得p【点睛】此题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查计算能力，属于中档题18．3【分析】求周长的最小值即求的最小值设点在准线上的射影为则根据抛物线的定义可知因此问题转化为求的最小值根据平面几何知识当三点共线时最小从而可得结果【详解】求周长的最小值即求的最小值设点在准线上的射影解析：3 【分析】求PAF ∆周长的最小值，即求||||PA PF +的最小值．设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义，可知||||PF PD =．因此问题转化为求||||PA PD +的最小值，根据平面几何知识，当D 、P 、A 三点共线时||||PA PD +最小，从而可得结果【详解】求PAF ∆周长的最小值，即求||||PA PF +的最小值，设点P 在准线上的射影为D ，根据抛物线的定义，可知||||PF PD =因此，||||PA PF +的最小值，即||||PA PD +的最小值根据平面几何知识，可得当D ，P ，A 三点共线时||||PA PD +最小，因此的最小值为(1)112A x --=+=， ||1AF =，所以PAF ∆周长的最小值为213+=，故答案为：3．【点睛】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D ，P ，A 三点共线时||||PA PD +最小，是解题的关键．19．①②【分析】由题意曲线是平面内与两个定点和的距离的积等于常数设动点坐标为得到动点的轨迹方程然后由方程特点即可加以判断【详解】由题意设动点坐标为利用题意及两点间的距离公式的得：对于①分别将方程中的被﹣解析：①② 【分析】由题意曲线C 是平面内与两个定点1,0A 和()1,0B -2标为(),x y ，得到动点的轨迹方程，然后由方程特点即可加以判断．【详解】由题意，设动点坐标为(),x y ，利用题意及两点间的距离公式的得：()()2222121x y x y -++=+对于①，分别将方程中的x 被﹣x 代换y 不变，y 被﹣ y 代换x 不变，方程都不变，故关于y 轴对称和x 轴对称，故曲线C 是轴对称图形，故①正确对于②，把方程中的x 被﹣x 代换且y 被﹣y 代换，方程不变，故此曲线关于原点对称，曲线C 是中心对称图形，故②正确；对于③，令y ＝0=x 21>，此时对应的点不在单位圆x 2+y 2=1内，故③错误．故答案为：①② 【点睛】本题考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.20．【分析】设出的坐标求出的坐标动点在抛物线上运动点满足抛物线方程代入求解即可得到的轨迹方程【详解】解：设的坐标由题意点与点所连线段的中点可知动点在抛物线上运动所以所以所以点与点所连线段的中的轨迹方程是解析：24y x =【分析】设出M 的坐标，求出P 的坐标，动点P 在抛物线221y x =+上运动，点P 满足抛物线方程，代入求解，即可得到M 的轨迹方程．【详解】解：设M 的坐标(,)x y ，由题意点B 与点(0,1)A -所连线段的中点M ，可知(2,21)B x y +，动点B 在抛物线221y x =+上运动，所以2212(2)1y x +=+，所以24y x =．所以点B 与点(0,1)A -所连线段的中M 的轨迹方程是：24y x =．故答案为：24y x =．【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，相关点法，是常见的求轨迹方程的方法，注意中点坐标的应用，属于中档题．三、解答题21．（1）222x y +=；（2）[)10-，；（3）平行，理由见解析．【分析】(1)根据圆心距与圆M 半径的大小，判断两圆的位置关系为内切，进而根据MN R r =-求得圆N 的半径，最后写出圆N 的方程；(2)设动点()D x y ，，根据,DE DO DF ，成等比数列求得动点D 的轨迹方程，又结合动点是在圆内的，求出D 点纵坐标y 的取值范围，再将DF DE →→⋅表示为221y -，最后求得DF DE →→⋅的取值范围.(3) 因为直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，故直线MA 和直线MB 的斜率存在，且互为相反数，设直线MA 的斜率为k ，则直线MB 的斜率为k -．接着联立直线MA 方程和圆的方程得到A 点的横坐标，同理得到B 点的横坐标，最后求得直线AB 和MN 的斜率相等，所以直线MN 和AB 是平行的. 【详解】解：1（）圆M 的方程可化为()()22118x y -+-=，故圆心()11M ，，半径R =圆N 的圆心坐标为()00，，因为MN =<所以点N 在圆M 内，故圆N 只能内切于圆M ，设其半径为r ，因为圆N 内切于圆M ，所以有MN R r =-r =，解得r =所以圆N 的方程为222x y +=；2（）由题意可知：()E ，)F ，设()D x y ，，由,DE DO DF ，成等比数列，得2DO DE DF =⋅，22x y =+，整理得221x y -=，而())DE DF x y x y →→⋅=-⋅-，，())()2222x x y x y =⋅+-=+-()2221221y y y =++-=-，由于点D 在圆N 内，故有222221x y x y ⎧+<⎨-=⎩，由此得2102y ≤<，所以[)10DE DF →→⋅∈-，；3（）因为直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，故直线MA 和直线MB 的斜率存在，且互为相反数，设直线MA 的斜率为k ，则直线MB 的斜率为k -．故直线MA 的方程为()11y k x -=-，直线MB 的方程为()11y k x -=--，由()22112y k x x y ⎧-=-⎨+=⎩，得()()()222121120k x k k x k ++-+--=，因为点M 在圆N 上，故其横坐标1x =一定是该方程的解，222211A k kx k -∴+=+ 可得22211A k k x k --=+，同理可得：22211B k k x k +-=+，所以B AAB B Ay y k x x -=-()()3232222222222421111114212111B A MNB Ak k k k k k kk k x k x k k k k k k k k k x x k k --+-++++----+++=====+--++-++，所以直线AB 和MN 一定平行．【点睛】直线与圆，圆与圆的位置关系是圆锥曲线中比较常考的内容之一，需要注意一下几点： (1)圆与圆的位置关系的判断就是根据圆心距和半径和差之间的大小关系进行判断； (2)求动点的轨迹方程通常采用“建设限代化”五步骤来求动点的轨迹，切记求出方程之后，看有没有不满足题意的解，需要排除掉；(3)一般联立方程组之后，方程的两个解是直线与曲线交点的横坐标或者纵坐标，在已知一个坐标的情况下，另一个坐标可以通过韦达定理求得.22．（1）2212x y +=；（2）①1m =±；②直线l 恒过定点(2,0).【分析】（1）根据题意，可求得1c =，1b =，进而求得a ，由此得到椭圆方程；（2）①联立方程，得到k 与m 的不等关系，及两根的关系，表示出弦长AB 及点O 到直线AB 的距离，由此建立等式解出即可；②依题意，120k k +=，由此可得到k 与m 的等量关系，进而求得定点．【详解】（1）由抛物线的方程24y x =得其焦点为(1,0)，则1c =，当点M 为椭圆的短轴端点时，12MF F 面积最大，此时1212S c b =⨯⨯=，则1b =，∴a =2212x y +=；（2）联立2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得，222(12)4220k x kmx m +++-=，∆222222164(21)(22)8(21)0k m k m k m =-+-=-+>，得2212(*)k m +>，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2121222422,1212km m x x x x k k-+=-=++， ①0m ≠且212k =，代入(*)得，202m <<，12|||AB x x -，设点O 到直线AB 的距离为d，则d ==∴12||||)23AOB m S AB d ==， 21(0,2)m ∴=∈，则1m =±；②1122121122,1111y kx m y kx m k k x x x x ++====----，由题意，120k k +=， ∴1212011kx m kx m x x +++=--，即12122()()20kx x m k x x m +-+-=， ∴2222242()()201212m km k m k m k k -+---=++，解得2m k =-， ∴直线l 的方程为(2)y k x =-，故直线l 恒过定点，该定点坐标为(2,0)．【点睛】方法点睛：证明曲线过定点，一般有两种方法.（1）特殊探求，一般证明：即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后证明该定点在该直线或该曲线上（定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立）.（2）分离参数法：一般可以根据需要选定参数R λ∈，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式2123(,)(,)(,)0f x y f x y f x y λλ++=，（一般地，(,)(1,2,3)i f x y i =为关于,x y 的二元一次关系式）由上述原理可得方程组123(,)0{(,)0(,)0f x y f x y f x y ===，从而求得该定点.23．（1）22142x y +=；（2）10x y --=. 【分析】（1）已知条件得b c ==a ，可得椭圆标准方程；（2）当直线l 的斜率为0时，12k k 的值，当直线l 的斜率不为0时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线l 的方程为1x my =+，代入椭圆方程整理后应用韦达定理得1212,y y y y +，计算12k k ，化为m 的函数，然后换元，设41t m =+，求出12k k 的最大值，及m 的值得直线方程．【详解】（1）由已知得b c ==又2224a b c =+=，所以椭圆的方程为22142x y +=. （2）①当直线l 的斜率为0时，则12k k ⋅=33342424⨯=-+； ②当直线l 的斜率不为0时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线l 的方程为1x my =+，将1x my =+代入22142x y +=，整理得22(2)230m y my ++-=. 则12222m y y m -+=+，12232y y m -=+. 又111x my =+，221x my =+，所以，112134y k k x -⋅=-2234y x -⋅-1212(3)(3)(3)(3)y y my my --=-- 12122121293()93()y y y y m y y m y y -++=-++=2232546m m m ++=+23414812m m +=++. 令41t m =+，则122324225t k k t t ⋅=+-+32254()2t t=++-1≤ 所以当且仅当5t =，即1m =时，取等号.由①②得，直线l 的方程为10x y --=.【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆标准方程，考查椭圆中的最值问题．解题方法是设而不求的思想方法，即设交点坐标11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线l 的方程为1x my =+，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得1212,y y y y +，然后代入12k k ，化为m 的函数，用换元法求得最值．24．（1）2215x y +=；（2）存在定点5,02Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得,,P B Q 三点共线．【分析】（1）设(,)M x y 22(2)2552x y x -+=-化简可得结果；（2）联立直线l 与椭圆方程，根据韦达定理得1212,x x x x +，椭圆的对称性知，若存在定点Q ，则点Q 必在x 轴上，设(,0)Q t ，根据//PB PQ 列式，结合1212,x x x x +可求出52t =. 【详解】（1）设(,)M x y=，化简得2215x y += 故动点M 的轨迹方程为2215x y +=．（2）由题知(2,0)F 且直线l 斜率存在，设为k ，则直线l 方程为(2)y k x =- 由22(2)15y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(51)202050k x k x k +-+-= 设1122(,),(,)A x y B x y ，则2212122220205,5151k k x x x x k k -+==++，由椭圆的对称性知，若存在定点Q ，则点Q 必在x 轴上故假设存在定点(,0)Q t ，使得,,P B Q 三点共线，则//PB PQ 且11(,)P x y - 又212111(,),(,).PB x x y y PQ t x y =-+=-211211()()()x x y y y t x ∴-=+-，即211121()(2)(4)()x x k x k x x t x --=+--化简得12122(2)()40x x t x x t -+++= 将2212122220205,5151k k x x x x k k -+==++式代入上式得2222205202(2)405151k k t t k k -⨯-+⨯+=++ 化简得52t = 故存在定点5(,0)2Q ，使得,,P B Q 三点共线．【点睛】关键点点睛：由椭圆的对称性知，若存在定点Q ，则点Q 必在x 轴上是解题关键. 25．（1）2214x y +=；（2）【分析】（1）根据抛物线2y =的焦点为)，解得c =122c b ⨯⨯=b 即可. （2）设直线l 方程为4y kx =+，与椭圆方程联立，根据坐标原点O 在以AB 为直径的圆上，由OA OB ⊥，即12120x x y y ⋅+⋅=求解.【详解】（1）因为抛物线2y =的焦点为)，由题意得：c =所以122c b ⨯⨯= 解得1b =，24a =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）由题意设过点(0,4)的直线l 方程为4y kx =+，设()()1122,,,A x y B x y ，由22414y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()221432600k x kx +++=，则1212223260,1414k x x x x k k +=-⋅=++， ()()2232240140k k ∆=-+>，解得k >k <，因为坐标原点O 在以AB 为直径的圆上，所以OA OB ⊥，即12120x x y y ⋅+⋅=，即()()2121214160k x x k x x +⋅+++=，所以()()2226032141601414k k k k k ++-+=++，即219k =，解得k =适合0∆>，所以直线l 的斜率是.【点睛】易错点点睛：易错点是由坐标原点O 在以AB 为直径的圆上，转化为OA OB ⊥，由12120x x y y ⋅+⋅=，求得斜率，而忽视要满足.0∆>.26．（1）||AB =12t；（2）7+ 【分析】（1）设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，化简计算即可得到所求函数；（2）运用抛物线的定义和（1）的结论，结合12||||2AF BF x x +=++，进而得到AFB △的周长．【详解】（1）224y x t y x =+⎧⎨=⎩，整理得()224410x t x t +-+=，则2212212163216161632044144t t t t t x x t t x x ⎧⎪∆=-+-=->⎪-⎪+==-⎨⎪⎪=⎪⎩， AB===，其中12t；（2）由||AB =4t =-，经检验，此时16320t ∆=->，所以1215x x t +=-=，由抛物线的定义，有1212||||()()52722p p AF BF x x x x p +=+++=++=+=，又||AB =所以AFB △的周长为7+【点睛】求曲线弦长的方法：（1）利用弦长公式12l x =-；（2）利用12l y y =-；（3）如果交点坐标可以求出，利用两点间距离公式求解即可.。

高中数学模块综合测评(含解析)新人教A版高二选修2-1数学试题

模块综合测评(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a ∈R ，则“a ＜2”是“a 2＜2a ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [∵a 2＜2a ⇔a (a －2)＜0⇔0＜a ＜2． ∴“a ＜2”是“a 2＜2a ”的必要不充分条件．] 2．已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x >1，则p 为( )A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1B ．∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1C ．∀x >0，总有(x ＋1)e x 0≤1D ．∀x ≤0，总有(x ＋1)e x 0≤1 B [命题p 为全称命题，所以p 为∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1．故选B ．]3．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( )A ．54B ．52C ．32D ．54B [由题意，1－b 2a 2＝⎝⎛⎭⎫322＝34，∴b 2a 2＝14，而双曲线的离心率e 2＝1＋b 2a 2＝1＋14＝54，∴e ＝52．]4．已知空间向量a ＝(t,1，t )，b ＝(t －2，t,1)，则|a －b |的最小值为( ) A ． 2 B ． 3 C ．2D ．4C [|a －b |＝2(t －1)2＋4≥2，故选C ．] 5．椭圆x 225＋y 29＝1与椭圆x 2a 2＋y 29＝1有()A ．相同短轴B ．相同长轴C ．相同离心率D ．以上都不对D [对于x 2a 2＋y 29＝1，有a 2>9或a 2<9，因此这两个椭圆可能长轴相同，也可能短轴相同，离心率是不确定的，因此A ，B ，C 均不正确，故选D ．]6．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝AA 1＝1，则二面角C 1-AB -C 为( ) A ．π3B ．2π3C ．3π4D ．π4D [以A 为原点，直线AB ，AD ，AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则平面ABC 的一个法向量为AA 1→＝(0,0,1)，平面ABC 1的一个法向量为A 1D →＝(0,1，－1)，∴cos 〈AA 1→，A 1D →〉＝－12＝－22，∴〈AA 1→，A 1D →〉＝3π4，又二面角C 1-AB -C 为锐角，即π－34π＝π4，故选D ．]7．命题“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A ．a ≥4 B ．a ≤4 C ．a ≥5D ．a ≤5C [∵∀x ∈[1,2]，1≤x 2≤4，∴要使x 2－a ≤0为真，则a ≥x 2，即a ≥4，本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有C 符合，故选C ．]8．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8xB [由已知可得，抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0．又直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4，则|OA |＝|a |2，故S △OAF ＝12·|a |4·|a |2＝4，解得a ＝±8，故抛物线的方程为y 2＝±8x ．] 9．已知A (1,2,3)，B (2,1,2)，C (1,1,2)，O 为坐标原点，点D 在直线OC 上运动，则当DA →·DB →取最小值时，点D 的坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫43，43，43B ．⎝⎛⎭⎫83，43，83 C ．⎝⎛⎭⎫43，43，83D ．⎝⎛⎭⎫83，83，43C [点D 在直线OC 上运动，因而可设OD →＝(a ，a,2a )，则DA →＝(1－a,2－a,3－2a )，DB →＝(2－a,1－a,2－2a )，DA →·DB →＝(1－a )(2－a )＋(2－a )(1－a )＋(3－2a )(2－2a )＝6a 2－16a ＋10，所以a ＝43时DA →·DB →取最小值，此时OD →＝⎝⎛⎭⎫43，43，83．] 10．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若椭圆的离心率为23，则k 的值为( )A ．－13B ．13C ．±13D ．±12C [由题意知点B 的横坐标是c ，故点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫c ，±b 2a ，则斜率k ＝±b 2ac ＋a ＝±b 2ac ＋a 2＝±a 2－c 2ac ＋a 2＝±1－e 2e ＋1＝±(1－e )＝±13，故选C ．]11．若F 1，F 2为双曲线C ：x 24－y 2＝1的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，∠F 1PF 2＝60°，则点P 到x 轴的距离为( )A ．55B ．155C ．2155D ．1520B [设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，点P 到x 轴的距离为|y P |，则S △F 1PF 2＝12r 1r 2sin 60°＝34r 1r 2，又4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos 60°＝(r 1－r 2)2＋2r 1r 2－r 1r 2＝4a 2＋r 1r 2，得r 1r 2＝4c 2－4a 2＝4b 2＝4，所以S △F 1PF 2＝12r 1r 2sin 60°＝3＝12·2c ·|y P |＝5|y P |，得|y P |＝155，故选B ．]12．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝2π3．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则|MN ||AB |的最大值是( ) A ． 3 B ．32 C ．33D ．34C [如图．设|AF |＝r 1，|BF |＝r 2，则|MN |＝r 1＋r 22．在△AFB 中，因为|AF |＝r 1，|BF |＝r 2且∠AFB ＝2π3，所以由余弦定理，得|AB |＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos 2π3＝r 21＋r 22＋r 1r 2，所以|MN ||AB |＝r 1＋r 22r 21＋r 22＋r 1r 2＝12×(r 1＋r 2)2r 21＋r 22＋r 1r 2＝12×1＋r 1r 2r 21＋r 22＋r 1r 2≤12×1＋r 1r 23r 1r 2＝33，当且仅当r 1＝r 2时取等号．故选C ．] 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于下列结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →．其中正确的是________．(填序号)①②③[∵AB →·AP →＝－2－2＋4＝0，∴AB →⊥AP →，即AP ⊥AB ，①正确；∵AP →·AD →＝－4＋4＝0，∴AP →⊥AD →，即AP ⊥AD ，②正确；由①②可得AP →是平面ABCD 的法向量，③正确；由③可得AP →⊥BD →，④错误．]14．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为________．x 25－y 220＝1[由已知得ba ＝2，所以b ＝2a ．在y ＝2x ＋10中令y ＝0得x ＝－5，故c ＝5，从而a 2＋b 2＝5a 2＝c 2＝25，所以a 2＝5，b 2＝20，所以双曲线的方程为x 25－y 220＝1．] 15．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝23，且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3，则椭圆C 的方程为________．x 23＋y 2＝1[由e ＝c a＝23，得c 2＝23a 2，所以b 2＝a 2－c 2＝13a 2，设P (x ，y )是椭圆C 上任意一点，则x 2a 2＋y 2b 2＝1，所以x 2＝a 2⎝⎛⎭⎫1－y 2b 2＝a 2－3y 2．|PQ |＝x 2＋(y －2)2＝a 2－3y 2＋(y －2)2＝－2(y ＋1)2＋a 2＋6，当y ＝－1时，|PQ |有最大值a 2＋6．由a 2＋6＝3，可得a 2＝3，所以b 2＝1，故椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1．]16．四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且PD ＝AB ＝1，G 为△ABC 的重心，则PG 与底面ABCD 所成的角θ的正弦值为________．31717[如图，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，由已知P (0,0,1)，A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，则重心G ⎝⎛⎭⎫23，23，0，因此DP →＝(0,0,1)，GP →＝⎝⎛⎭⎫－23，－23，1，所以sin θ＝|cos 〈DP →，GP →〉|＝|DP →·GP →||DP →|·|GP →|＝31717．]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}．“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a 组成的集合．[解]∵A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，由于“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，∴B A ．当B ＝∅时，得a ＝0；当B ≠∅时，由题意得B ＝{1}或B ＝{2}．则当B ＝{1}时，得a ＝1；当B ＝{2}时，得a ＝12．综上所述，实数a 组成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，12．18．(本小题满分12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0．[解](1)由双曲线的离心率为2，可知双曲线为等轴双曲线，设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ，又双曲线过点(4，－10)，代入解得λ＝6，故双曲线的方程为x 2－y 2＝6．(2)证明：由双曲线的方程为x 2－y 2＝6，可得a ＝b ＝6，c ＝23，所以F 1(－23，0)，F 2(23，0)．由点M (3，m )，得MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )，又点M (3，m )在双曲线上，所以9－m 2＝6，解得m 2＝3，所以MF 1→·MF 2→＝m 2－3＝0．19．(本小题满分12分)如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA 1＝1，AB ＝3k ，AD ＝4k ，BC ＝5k ，DC ＝6k (k ＞0)．(1)求证：CD ⊥平面ADD 1A 1；(2)若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为67，求k 的值．[解] (1)证明：取CD 的中点E ，连接BE ，如图①．①∵AB ∥DE ，AB ＝DE ＝3k ， ∴四边形ABED 为平行四边形， ∴BE ∥AD 且BE ＝AD ＝4k ．在△BCE 中，∵BE ＝4k ，CE ＝3k ，BC ＝5k ，∴BE 2＋CE 2＝BC 2，∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CD ．又∵BE ∥AD ，∴CD ⊥AD ．∵AA 1⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴AA 1⊥CD ．又AA 1∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面ADD 1A 1．(2)以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图②所示的空间直角坐标系，则A (4k,0,0)，C (0,6k,0)，B 1(4k,3k,1)，A 1(4k,0,1)，②∴AC →＝(－4k,6k,0)，AB 1→＝(0,3k,1)，AA 1→＝(0,0,1)．设平面AB 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧AC →·n ＝0，AB 1→·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4kx ＋6ky ＝0，3ky ＋z ＝0.取y ＝2，得n ＝(3,2，－6k )．设AA 1与平面AB 1C 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈AA 1→，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AA 1→·n |AA 1→||n |＝6k 36k 2＋13＝67，解得k ＝1，故所求k 的值为1． 20．(本小题满分12分)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作一条倾斜角为π4的直线与抛物线相交于A ，B 两点．(1)用p 表示|AB |；(2)若OA →·OB →＝－3，求这个抛物线的方程．[解](1)抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，过点F 且倾斜角为π4的直线方程为y ＝x －p2．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝x －p 2，得x 2－3px ＋p 24＝0， ∴x 1＋x 2＝3p ，x 1x 2＝p 24，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4p ．(2)由(1)知，x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝3p ，∴y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫x 1－p 2⎝⎛⎭⎫x 2－p 2＝x 1x 2－p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝p 24－3p 22＋p 24＝－p 2，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝p 24－p 2＝－3p 24＝－3，解得p 2＝4，∴p ＝2． ∴这个抛物线的方程为y 2＝4x ．21．(本小题满分12分)如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面是边长为1的正方形，P A ⊥CD ，P A ＝1，PD ＝2，E 为PD 上一点，PE ＝2ED ．(1)求证：P A ⊥平面ABCD ；(2)在侧棱PC 上是否存在一点F ，使得BF ∥平面AEC ？若存在，指出F 点的位置，并证明；若不存在，说明理由．[解](1)证明：∵P A ＝AD ＝1，PD ＝2，∴P A 2＋AD 2＝PD 2，即P A ⊥AD ．又P A ⊥CD ，AD ∩CD ＝D ， ∴P A ⊥平面ABCD ．(2)以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，P (0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫0，23，13，AC →＝(1,1,0)，AE →＝⎝⎛⎭⎫0，23，13．设平面AEC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，2y ＋z ＝0，令y ＝1，则n ＝(－1,1，－2)．假设侧棱PC 上存在一点F ，且CF →＝λCP →(0≤λ≤1)，使得BF ∥平面AEC ，则BF →·n ＝0．又∵BF →＝BC →＋CF →＝(0,1,0)＋(－λ，－λ，λ)＝(－λ，1－λ，λ)， ∴BF →·n ＝λ＋1－λ－2λ＝0，∴λ＝12，∴存在点F ，使得BF ∥平面AEC ，且F 为PC 的中点．22．(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C ．(1)若点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．[解](1)∵BF 2＝2，而BF 22＝OB 2＋OF 22＝b 2＋c 2＝2＝a 2，∵点C 在椭圆上，C ⎝⎛⎭⎫43，13， ∴169a 2＋19b2＝1， ∴b 2＝1，∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1． (2)直线BF 2的方程为x c ＋y b ＝1，与椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1联立方程组，解得A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，－b 3a 2＋c 2，则C 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b 3a 2＋c 2，又F 1为(－c,0)，kF 1C ＝b 3a 2＋c 22a 2c a 2＋c 2＋c＝b 33a 2c ＋c 3，又k AB ＝－b c ，由F 1C ⊥AB ，得b 33a 2c ＋c 3·⎝⎛⎭⎫－b c ＝－1，即b 4＝3a 2c 2＋c 4，所以(a 2－c 2)2＝3a 2c 2＋c 4，化简得e ＝c a ＝55．。

高中数学选修2-1全册综合测试题含答案

选修2-1综合测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1．已知p ：2x －3<1，q ：x 2－3x <0，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．抛物线y ＝14x 2的焦点坐标为( ) A ．(116，0) B ．(－116，0) C ．(0,1) D ．(0，－1)3．已知命题p ：3是奇数，q ：3不是质数．由它们构成的“p ∨q ”“p ∧q ”“非p ”形式的命题中真命题有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－3,0) C ．(－12,0) D ．(－60，－12)5．下列结论正确的个数是( )①命题“所有的四边形都是平行四边形”是特称命题；②命题“∀x ∈R ，x 2＋1>0”是全称命题；③若p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋1≤0，则非p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋1≤0.A ．0B ．1C ．2D ．36．设α，β，γ是互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出下列命题：①若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β；④若m ∥α，n ⊥α，则m ⊥n .其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．47．已知a ＝(m ＋1,0,2m )，b ＝(6,2n －1,2)，若a ∥b ，则m 与n 的值分别为( ) A.15，12 B ．5,2 C ．－15，－12D ．－5，－2 8．若双曲线x 23－16y 2p 2＝1的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．4 29．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为( )A.43B.32C.53D ．210．如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点EF 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°11．给出下列曲线，其中与直线y ＝－2x －3有交点的所有曲线是( )①4x ＋2y －1＝0；②x 2＋y 2＝3；③x 22＋y 2＝1；④x 22－y 2＝1. A ．①③ B ．②④ C ．①②③ D ．②③④12．过点M (－2,0)的直线l 与椭圆x 2＋2y 2＝2交于P 1，P 2两点，设线段P 1P 2的中点为P .若直线l 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1·k 2等于( )A ．－12 B.12C ．－2D ．2 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上)13．命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是________．14．已知命题p ：1≤x ≤2，q ：a ≤x ≤a ＋2，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．15．已知直线l 1的一个方向向量为(－7,4,3)，直线l 2的一个方向向量为(x ，y,6)，且l 1∥l 2，则x ＝________，y ＝________.16．如图在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则AC 1与平面ABCD 所成角的余弦值为________．三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知命题p ：不等式|x －1|>m －1的解集为R ，命题q ：f (x )＝－(5－2m )x 是减函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围．18．(12分)求证：a ＋2b ＝0是直线ax ＋2y ＋3＝0和直线x ＋by ＋2＝0互相垂直的充要条件．19．(12分)抛物线y ＝－x 22与过点M (0，－1)的直线l 相交于A ，B 两点，O 为原点，若OA 和OB 的斜率之和为1，求直线l 的方程．20．(12分)已知椭圆C 的中心为平面直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C 的方程；(2)若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，|OP ||OM |＝e (e 为椭圆C 的离心率)，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．21．(12分)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝2AA 1，点D 是A 1B 1的中点，点E 在A 1C 1上，且DE ⊥AE .(1)证明：平面ADE⊥平面ACC1A1；(2)求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值．22．(12分)如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC.(1)设E是DC的中点，求证：D1E∥平面A1BD；(2)求二面角A1—BD—C1的余弦值．1．解析 p ：x <2，q ：0<x <3.∴pD ⇒/q ，qD ⇒/p .∴p 是q 的既不充分也不必要条件．答案 D2．解析由y ＝14x 2，得x 2＝4y ，∴焦点坐标为(0,1)．答案 C2．解析命题p 为真，q 为假，∴“p ∨q ”为真，“p ∧q ”、“綈p ”为假，故应选B.答案 B4．解析由x 24＋y 2k ＝1表示双曲线知，k <0，且a 2＝4，b 2＝－k ，∴e 2＝c 2a 2＝4－k 4，∵1<e <2，∴1<4－k 4<4.∴4<4－k <16，∴－12<k <0.答案 C5．解析 ①是全称命题，②是全称命题，③綈p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋1>0.∴①不正确，②正确，③不正确．答案 B6．解析 ①正确，②不正确，③正确，④正确．答案 C7．解析 ∵a ∥b ，∴a ＝λb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1＝6λ，0＝λ(2n －1)，2m ＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝15，n ＝12，λ＝15.∴m ＝15，n ＝12.答案 A 8．解析设双曲线的焦距为2c ，由双曲线方程知c 2＝3＋p 216，则其左焦点为(－3＋p 216，0)．由抛物线方程y 2＝2px 知其准线方程为x ＝－p 2，由双曲线的左焦点在抛物线的准线上知，3＋p 216＝p 24，且p >0，解得p ＝4.答案 C9．解析由双曲线的定义知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝8a 3，|PF 2|＝2a 3.又|PF 2|≥c －a ，即2a 3≥c －a .∴c a ≤53.即e ≤53.答案 C10．解析建立空间直角坐标如图所示．设AB ＝2，则EF →＝(0，－1,1)．BC 1→＝(2,0,2)，∴cos 〈EF →·BC 1→〉＝EF →·BC 1→|EF →||BC 1→|＝28·2＝12，故EF 与BC 1所成的角为60°.答案 B11．解析直线y ＝－2x －3与4x ＋2y －1＝0平行，所以与①不相交．②中圆心(0,0)到直线2x ＋y ＋3＝0的距离d ＝35< 3.所以与②相交．把y ＝－2x －3代入x 22＋y 2＝1，得x 22＋4x 2＋12x ＋9＝1，即9x 2＋24x ＋16＝0，Δ＝242－4×9×16＝0，所以与③有交点．观察选项知，应选D.答案 D12．解析设直线l 的方程为y ＝k 1(x ＋2)，代入x 2＋2y 2＝2，得(1＋2k 21)x 2＋8k 21x ＋8k 21－2＝0，设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 211＋2k 21，而y 1＋y 2＝k 1(x 1＋x 2＋4)＝4k 11＋2k 21. ∴k 2＝y 1＋y 22x 1＋x 22＝－12k 1，∴k 1·k 2＝－12. 答案 A13．解析命题“存在一个三角形没有外接圆”是特称命题，它的否定是全称命题“任意一个三角形都有外接圆．”答案任意一个三角形都有外接圆14．解析 “p 是q 的必要不充分条件”的逆否命题是“q 是p 的必要不充分条件”．∴{x |1≤x ≤2}{x |a ≤x ≤a ＋2}，∴0≤a ≤1. 答案 0≤a ≤115．答案－14 816．解析由题意知，AC 1＝22＋22＋1＝3，AC ＝22＋22＝22，在Rt △AC 1C 中，cos ∠C 1AC ＝AC AC 1＝223.答案 22317．解由|x －1|>m －1的解集为R ，知m －1<0，∴m <1.即p ：m <1.又f (x )＝－(5－2m )x 是减函数，∴5－2m >1，即m <2，即q ：m <2.若p 真q 假，则⎩⎨⎧ m <1，m ≥2，m 不存在．若p 假q 真，则⎩⎨⎧ m ≥1，m <2，∴1≤m <2.综上知，实数m 的取值范围是[1,2)．18．证明充分性：当b ＝0时，如果a ＋2b ＝0，那么a ＝0，此时直线ax ＋2y ＋3＝0平行于x 轴，直线x ＋by ＋2＝0平行于y 轴，它们互相垂直；当b ≠0时，直线ax ＋2y ＋3＝0的斜率k 1＝－a 2，直线x＋by ＋2＝0的斜率k 2＝－1b ，如果a ＋2b ＝0，那么k 1k 2＝(－a 2)×(－1b )＝－1.故两直线互相垂直．必要性：如果两条直线互相垂直且斜率都存在，那么k 1k 2＝(－a 2)×(－1b )＝－1，所以a ＋2b ＝0，若两条直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，则b ＝0，且a ＝0，所以a ＋2b ＝0.综上可知，a ＋2b ＝0是直线ax ＋2y ＋3＝0和直线x ＋by ＋2＝0互相垂直的充要条件．19．解显然直线l 垂直于x 轴不合题意，故设所求的直线方程为y ＝kx －1，代入抛物线方程化简，得x 2＋2kx －2＝0.由根的判别式Δ＝4k 2＋8＝4(k 2＋2)>0，于是有k ∈R .设点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)，则y 1x 1＋y 2x 2＝1.① 因为y 1＝kx 1－1，y 2＝kx 2－1，代入① ，得2k －(1x 1＋1x 2)＝1.② 又因为x 1＋x 2＝－2k ，x 1x 2＝－2，代入②得k ＝1.所以直线l 的方程为y ＝x －1.20．解 (1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a ，c 由已知得⎩⎨⎧ a －c ＝1，a ＋c ＝7，解得⎩⎨⎧ a ＝4，c ＝3，所以椭圆C 的方程为x 216＋y 27＝1.(2)设M (x ，y )，P (x ，y 1)，其中x ∈[－4,4]．由已知得x 2＋y 21x 2＋y 2＝e 2.而e ＝34，故16(x 2＋y 21)＝9(x 2＋y 2)．① 由点P 在椭圆C 上得y 21＝112－7x 216，代入①式并化简得9y 2＝112，所以点M 的轨迹方程为y ＝±473(－4≤x ≤4)，它是两条平行于x轴的线段．21．解 (1)证明：由正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的性质知AA 1⊥平面A 1B 1C 1.又DE ⊂平面A 1B 1C 1，所以DE ⊥AA 1.而DE ⊥AE ，AA 1∩AE ＝A ，所以DE ⊥平面ACC 1A 1.又DE ⊂平面ADE ，故平面ADE ⊥平面ACC 1A 1.(2)如图所示，设O 是AC 的中点，以O 为原点建立空间直角坐标系．不妨设AA 1＝2，则AB ＝2，相关各点的坐标分别是A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C 1(0,1，2)，D (32，－12，2)．易知AB →＝(3，1,0)，AC 1→＝(0,2，2)，AD →＝(32，12，2)．设平面ABC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎨⎧n ·AB →＝3x ＋y ＝0，n ·AC 1→＝2y ＋2z ＝0.解得x ＝－33y ，z ＝－2y .故可取n ＝(1，－3，6)．所以cos 〈n ，AD →〉＝n ·AD →|n ||AD →|＝2310×3＝105.由此可知，直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为10 5.22．解(1)证明：在图中连接B，E，则四边形DABE为正方形，∴BE＝AD＝A1D1，且BE∥AD∥A1D1.∴四边形A1D1EB为平行四边形．∴D 1E ∥A 1B .又D 1E ⊄平面A 1BD ，A 1B ⊂平面A 1BD ，∴D 1E ∥平面A 1BD .(2)以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设DA ＝1，则D (0,0,0)，A (1,0,0)，B (1,1,0)，C 1(0,2,2)，A 1(1,0,2)．∴DA 1→＝(1,0,2)，DB →＝(1,1,0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面A 1BD 的一个法向量，由n ⊥DA 1→，n ⊥DB →，得⎩⎨⎧x ＋2z ＝0，x ＋y ＝0，取z ＝1，则n ＝(－2,2,1)．又DC 1＝(0,2,2)，DB →＝(1,1,0)，设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面C 1BD 的一个法向量，由m ⊥DC 1→，m ⊥DB →，得⎩⎨⎧ 2y 1＋2z 1＝0，x 1＋y 1＝0，取z 1＝1，则m ＝(1，－1,1)．设m 与n 的夹角为α，二面角A 1－BD －C 1为θ，显然θ为锐角，∴cos α＝m ·n |m ||n |＝－39×3＝－33.∴cosθ＝3 3，即所求二面角A1－BD－C1的余弦值为3 3.。

上海东方中学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》检测题(含答案解析)

一、选择题1．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 是棱AB 的中点，F 是侧面AA 1D 1D 内一点，若EF ∥平面BB 1D 1D ，则EF 长度的范围为（）A ．[2,3]B ．[2,5]C ．[2,6]D ．[2,7] 2．在直三棱柱111ABC A B C -中，1111122AA A B B C ==，且AB BC ⊥，点M 是11AC 的中点，则异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值为( )A ．13B ．223C ．324D ．123．如图，将边长为2的正方体ABCD 沿对角线BD 折起，得到三棱锥1A BCD -，则下列命题中，错误的为( )A ．直线BD ⊥平面1AOC B ．1A B CD ⊥C ．三棱锥1A BCD -的外接球的半径为2D ．若E 为CD 的中点，则//BC 平面1AOE 4．如图，在大小为45°的二面角A -EF -D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是( )A 3B 2C ．1D 32-5．已知正方体1111ABCD A BC D -,M 为11A B 的中点，则异面直线A M 与1BC 所成角的余弦值为（）A ．105B ．1010C ．32D ．626．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点，2,22,2AB AD PA ===，则异面直线BC 与AE 所成的角的大小为（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π27．如图，在平行六面体1111ABCD A BC D -中，M 为11AC 与11B D 的交点．若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（）A ．11+22+a b cB ．1122a b c -+C ．1122-++a b c D ．1122+-a b c 8．已知两平面的法向量分别为m =(0，1，0)，n =(0，1，1)，则两平面所成的二面角为（）A ．45°B ．135°C ．45°或135°D ．90°9．在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为（）A ．3λB ．22C ．23λD ．5510．如图所示，平行六面体1111ABCD A BC D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60︒.求1BD 与AC 夹角的余弦值是（）A ．33B ．66C ．217D ．21311．如图，在棱长都相等的正三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱1CC 的中点，E 是棱1AA 上的动点.设AE x =，随着x 增大，平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角的平面角是（）A ．增大B ．先增大再减小C ．减小D ．先减小再增大12．在正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）111ABC A B C -中，2AB =，E ，F 分别为11AC 和11AB 的中点，当AE 和BF 所成角的余弦值为710时，AE 与平面11BCC B 所成角的正弦值为（）A ．155B ．1510C ．510D ．55二、填空题13．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，11AB AC AA ===，已知G 和E 分别为11A B 和1CC 的中点，D 和F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点），若DG EF ⊥，则线段DF 长度的取值范围为______．14．平面α过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m 、n 所成角的正弦值为________．15．在空间直角坐标系中，点（1，2，3）关于yoz 面对称的点的坐标为__________ 16．ABC △中，90C ∠︒＝，60A ∠︒＝，2AB ＝，M 为AB 中点，将BMC △沿CM 折叠，当平面BMC ⊥平面AMC 时，A ，B 两点之间的距离为_____．17．如图，在三棱锥P ABC -，ABC ∆为等边三角形，PAC ∆为等腰直角三角形，4PA PC ==，平面PAC ⊥平面ABC ，D 为AB 的中点，则异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为__________．18．设P ，A ，B ，C 是球O 表面上的四个点，PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA PB PC ===，则球O 的表面积为____________.19．如图所示，在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，12AA =，1AB BC ==，动点P 、Q 分别在线段1C D 、AC 上，则线段PQ 长度的最小值是______．20．如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱1BC 上一点，且12BD DC =设1,,,AB a AC b AA c ===用a ,b ,c 表示向量AD ，则AD =_____________.三、解答题21．在四棱台1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，1111AAA B ==，120BAD ∠=︒，1AA ⊥平面ABCD .（1）E 是棱AD 的中点，求证：1//B E 平面11CDD C ；（2）试问棱AD 上是否存在点M ，使得二面角111M A B D --57？若存在，求点M 的位置；若不存在，请说明理由.22．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，60BCD ∠=︒，,PD CD E =为CD 的中点．（1）求证：平面PBE ⊥平面PCD .（2）求二面角B PC D --所成角的余弦值．23．如图，在三棱锥P ABC -中，2PA PB ==，5AC BC PC ===，2AB =，点D ，E 分别为AB ，PC 的中点.（1）证明：平面PAB ⊥平面ABC ；（2）设点F 在线段BC 上，且BF FC λ=，若二面角C AE F --的大小为45°，求实数λ的值.24．如图，平行四边形ABCD 中，26AD AB ==，,E F 分别为,AD BC 的中点.以EF 为折痕把四边形EFCD 折起，使点C 到达点M 的位置，点D 到达点N 的位置，且NF NA =.（1）求证：平面AFN ⊥平面NEB ；（2）若23BE =，求点F 到平面BEM 的距离.25．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ，4OA =，3OB =，4OP =，OP ⊥底面ABCD ，设点M 是PC 的中点．（1）直线PB 与平面BDM 所成角的正弦值．（2）点A 到平面BDM 的距离．26．如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，其中四边形ABCD 为正方形，四边形ABEF 为直角梯形，1//902AB AF BE AF BE BAF ==∠=︒，，，M 为线段CE 上一点，//MF 平面ABCD ．（1）确定点M 的位置，并证明你的结论；（2）求直线DF 与平面BFM 所成角的正弦值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除1．C解析：C【分析】过F 作1//FG DD ，交AD 于点G ，交11A D 于H ，根据线面垂直关系和勾股定理可知222EF AE AF =+；由,//EF FG 平面11BDD B 可证得面面平行关系，利用面面平行性质可证得G 为AD 中点，从而得到AF 最小值为,F G 重合，最大值为,F H 重合，计算可得结果.【详解】过F 作1//FG DD ，交AD 于点G ，交11A D 于H ，则FG ⊥底面ABCD2222222221EF EG FG AE AG FG AE AF AF ∴=+=++=+=+//EF 平面11BDD B ，//FG 平面11BDD B ，EF FG F ⋂=∴平面//EFG 平面11BDD B ，又GE 平面EFG //GE ∴平面11BDD B又平面ABCD 平面11BDD B BD =，GE 平面ABCD //GE BD ∴ E 为AB 中点 G ∴为AD 中点，则H 为11A D 中点即F 在线段GH 上min 1AF AG ∴==，max 145AF AH =+=min 112EF ∴+=max 156EF +则线段EF 长度的取值范围为：2,6本题正确选项：C【点睛】本题考查立体几何中线段长度取值范围的求解，关键是能够确定动点的具体位置，从而找到临界状态；本题涉及到立体几何中线面平行的性质、面面平行的判定与性质等定理的应用.2．B解析：B以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，求得11,1,22MB ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，()10,? 02AA =，，利用空间向量夹角余弦公式能求出异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值．【详解】在直三棱柱111ABC A B C -中，1111122AA A B B C ==，且AB BC ⊥，点M 是11AC ， ∴以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，设11111222AA A B B C ===，则11,1,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(0,00B ，），(1,00A ，），1(1,02A ，）， 11,1,22MB ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，1(0,02AA ，）=，设异面直线MB 与1AA 所成角为θ，则11cos 18MB AA MB AA θ⋅===⋅ ∴异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值为3，故选B ．【点睛】本题主要考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题．求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.3．B解析：B【分析】通过线线垂直证得线面垂直，进而得到A 正确；对于B 选项先假设成立，再推出矛盾进而得到结果不正确；C 根据四棱锥的形状得到球心位置，进而得到半径；由线面平行的判定定理得到线面平行.【详解】因为ABCD 是正方形，故得到BD AC ⊥,折叠之后得到1BD OA ⊥，BD OC ⊥,1O A OC O ⋂= 故得到BD ⊥面1AOC ,进而得到A 选项正确；假设1A B CD ⊥，又因为11A B A ⊥D ，进而得到1A B ⊥面1ACE ,则11A B AC ⊥,三角形1A BC ,BC=2=1 2,A B =不可能满足直角关系，故B 错误.三棱锥1A BCD -，的外接球的球心在O 点处，因为OC=OD=OB=O 1A ，此时球的半径为C 正确；若E 为CD 的中点，则//BC OE ,OE 在平面1AOE 内，故得到//BC 平面1AOE ，D 正确；故答案为B.【点睛】直线与平面垂直的概念是利用直线与直线垂直的概念定义的，要注意定义中的“任何一条直线”这个词，它与“所有直线”是同义词，但与“无数条直线”不同，2.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面.符号语言如下：a b b a αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭. 4．D解析：D【分析】由DB ED FE BF =++，利用数量积运算性质展开即可得到答案【详解】BD ED FE BF =++, 2222222111BD BF FE ED BF FE FE ED BF ED ∴=+++++=++ 故3BD =-故选D【点睛】本题是要求空间两点之间的距离，运用空间向量将其表示，然后计算得到结果，较为基础． 5．A解析：A【分析】建立空间直角坐标系，求出向量AM 与1BC 的向量坐标，利用数量积求出异面直线A M 与1B C 所成角的余弦值.【详解】以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：设正方体的棱长为1，则(1,0,0)A ，1(1,0,1)A ，(1,1,0)B ，1(1,1,1)B ，(0,1,0)C ∵M 为11A B 的中点 ∴1(1,,1)2M ∴1(0,,1)2AM =，52AM =；1(1,0,1)B C =--，12B C =. ∴异面直线A M 与1B C 所成角的余弦值为111110cos ,10AM B C AM B C AM B C⋅===⋅ 故选A. 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法，找出两异面直线所成的角∠AEM （或其补角），是解题的关键．如果异面直线所成的角不容易找，则可以通过建立空间直角坐标系，利用空间向量来求解．6．B解析：B 【解析】分析：以A 点为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，求得(0,22,0),(1,2,1)BC AE ==，利用向量的夹角公式，即可求解.详解：以A 点为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(2,0,0),(2,22,0),(0,0,2),(0,0,0),(12,1)B C P A E ，则(0,22,0),(1,2,1)BC AE ==，设异面直线BC 和AE 所成的角为θ，则2cos ,224BC AE BC AE BC AE⋅===⋅⋅ 所以异面直线BC 和AE 所成的角为4π，故选B.点睛：本题考查了异面直线所成的角的求解，其中把异面直线所成的角转化为向量所成的角，利用向量的夹角公式求解是解答的关键，对于对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.7．C解析：C 【分析】根据空间向量的运算法则，化简得到11122BM AB AD AA =-++，即可求解. 【详解】由题意，根据空间向量的运算法则，可得1111112BM BB B M AA B D =+=+1111111111111()()222222AA A D A B AA AD AB AB AD AA a b c =+-=+-=-++=-++.故选：C. 【点睛】在空间向量的线性运算时，要尽可能转化为平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，以及利用三角形的中位线、相似三角形等平面几何的性质，把未知向量转化为已知向量有直接关系的向量来解决.8．C解析：C 【分析】先求出两个向量的夹角为,=45︒<>m n ，再转化为二面角的大小. 【详解】12cos ,212⋅<>===⨯⋅m n m n m n，即,=45︒<>m n ，所以两平面所成二面角为45°或180°-45°=135°. 答案：C 【点睛】本题考查了空间向量的夹角和二面角的求法，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于基础题目.9．D解析：D 【分析】由几何体为正方体，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面D 1EF 的法向量n ，结合向量的点到平面距离公式求得点M 到平面D 1EF 的距离，结合N 为EM 中点即可求解【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则M （2，λ，2），D 1（0，0，2），E （2，0，1），F （2，2，1），1ED ＝（﹣2，0，1），EF ＝（0，2，0），EM ＝（0，λ，1），设平面D 1EF 的法向量n ＝（x ，y ，z ），则12020n ED x z n EF y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取x ＝1，得n ＝（1，0，2），∴点M 到平面D 1EF 的距离为：d ＝||225||55EM n n ⋅==，N 为EM 中点，所以N 到该面的距离为55故选：D ．【点睛】本题考查利用向量法求解点到平面距离，建系法与数形结合是解题关键，属于中档题10．B解析：B 【分析】以1,,AB AD AA 为空间向量的基底，表示出1BD 和AC ，由空间向量的数量积求出向量的夹角的余弦值即得．【详解】由题意11111cos 602AB AD AB AA AD AA ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=．以1,,AB AD AA 为空间向量的基底，AC AB AD =+，111BD AD AB AD AA AB =-=+-，221111()()AC BD AB AD AD AA AB AB AD AB AA AB AD AD AA AB AD ⋅=+⋅+-=⋅+⋅-++⋅-⋅1=，222()23AC AB AD AB AB AD AD =+=+⋅+=222211111()2222BD AD AA AB AD AA AB AD AA AD AB AA AB=+-=+++⋅-⋅-⋅=，∴111cos ,3AC BD AC BD AC BD ⋅<>===⋅．∴1BD 与AC故选：B ．【点睛】本题考查用空间向量法求异面直线所成的角，解题时选取空间基底，把其他向量用基底表示，然后由数量积的定义求得向量的夹角，即得异面直线所成的角．11．D解析：D 【分析】设正三棱柱111ABC A B C -棱长为2，设平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角为α，,02AE x x =≤≤，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，确定出,,B D E 点的坐标，求出平面BDE 的法向量m ，底面ABC 的法向量坐标为(0,0,1)n =，将cos α表示为关于x 的函数，通过讨论cos α的增减变化，即可求出结论. 【详解】设正三棱柱111ABC A B C -棱长为2，,02AE x x =≤≤，设平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角为α，以A 为坐标原点，过点A 在底面ABC 内与AC 垂直的直线为x 轴，1,AC AA 所在的直线分别为,y z 轴建立空间直角坐标系，则,0),(0,2,1),(0,0,),(3,1,1),(0,2,1)B D E xBD ED x =-=-，设平面BDE 的法向量(,,)m s t k =，则m BDm ED⎧⊥⎨⊥⎩，即02(1)0t k t x k ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩，令k =1t s x ==+，所以平面BDE的一个法向量(1m x =+，底面ABC 的一个法向量为(0,0,1)n =，cos |cos ,|m n α=<>==当1(0,)2x ∈，cos α随着x 增大而增大，则α随着x 的增大而减小，当1(,2)2x ∈，cos α随着x 增大而减小，则α随着x 的增大而增大. 故选：D.【点睛】本题考查空间向量法求二面角，应用函数思想讨论二面角的大小，考查直观想象、数学计算能力，素养中档题.12．B解析：B 【分析】设1AA t =，以B 为原点，过B 作BC 的垂线为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，由AE 和BF 所成角的余弦值为710，求出12t AA ==．由此能求出AE 与平面11BCC B 所成角α的正弦值．【详解】设1AA t =，以B 为原点，过B 作BC 的垂线为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，则3331(3,1,0),,,(0,0,0),,22A E t B F t ⎫⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，3(2AE =-，12，)t ，3(2BF =，12，)t ， AE ∵和BF 所成角的余弦值为710，2221||||72|cos ,|10||||11t AE BF AE BF AE BF t t -∴<>===++，解得2t =．∴3(2AE =-，12，2)，平面11BCC B 的法向量(1,0,0)n =，AE ∴与平面11BCC B 所成角α的正弦值为：3||152sin 10||||5AE n AE n α===．故选：B ．【点睛】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题13．【分析】建立空间直角坐标系设出的坐标求出向量利用求得关系式写出的表达式然后利用二次函数求最值即可【详解】由题意建立如图所示的空间直角坐标系则由于则所以所以所以当时线段长度的最小值是当时线段长度的最大解析：5【分析】建立空间直角坐标系，设出F 、D 的坐标，求出向量DG ，EF ，利用GD EF ⊥求得关系式，写出DF 的表达式，然后利用二次函数求最值即可．【详解】由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，1(0,1,)2E ，1(,0,1)2G ，(,0,0)F x ，(0,,0)D y ，由于GD EF ⊥，则0GD EF ⋅=，所以210x y +-=，所以(,,0)(21,)DF x y y y =-=-+-，所以22222215415550DF x y y y y ⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭+，当25y =时，线段DF 长度的最小值是15，当0y =时，线段DF 长度的最大值是1，而不包括端点，故0y =不能取；故答案为：5[,1)5．【点睛】本题主要考查了点、线、面间的距离计算、棱柱的结构特征、空间直角坐标系等基础知识，着重考查了空间想象能力，以及运算求解能力，属于基础题．14．【分析】画出题目描述的图形判断直线mn 的所成的角通过解三角形即可【详解】如图:α‖平面CB1D1α∩平面ABCD=mα∩平面ABA1B1=n 可知:m//CD1m//B1D1因为△CB1D1是正三角形解析：32【分析】画出题目描述的图形，判断直线m 、n 的所成的角，通过解三角形即可. 【详解】如图:α‖平面CB1D1, α∩平面ABCD=m, α∩平面ABA1B1=n,可知:m//CD1,m//B1D1,因为△CB1D1是正三角形.所以m、n所成角就是∠CD1B1=60°则m、m所成角的正弦值为:故选:A【点睛】本题考查异面直线所成角的求法,考查空间想象能力以及计算能力，解决问题的关键是在空间图形中找到异面直线所成的平面角.15．(-123)【分析】在空间直角坐标系中点（xyz）关于平面yoz对称的点坐标是（-xyz）【详解】在空间直角坐标系中点（123）关于平面xoy对称的点坐标是（-123）故答案为（-123）【点睛】本解析：(-1，2，3)【分析】在空间直角坐标系中，点（x，y，z）关于平面yoz对称的点坐标是（-x，y，z）．【详解】在空间直角坐标系中，点（1，2，3）关于平面xoy对称的点坐标是（-1，2，3）．故答案为（-1，2，3）．【点睛】本题考查点的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间直角坐标系的性质的合理运用．16．【解析】【分析】取MC中点O连结AOBO推导出AC＝BM＝AM＝CM＝1AO＝BO＝AO⊥MCAO⊥平面BMCAO⊥BO由此能求出AB两点之间的距离【详解】取MC中点O连结AOBO∵△ABC中∠C＝【解析】【分析】取MC中点O，连结AO，BO，推导出AC＝BM＝AM＝CM＝1，AO BOAO⊥MC，AO⊥平面BMC，AO⊥BO，由此能求出A，B两点之间的距离．【详解】取MC中点O，连结AO，BO，∵△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝2，M 为AB 中点， ∴AC ＝BM ＝AM ＝CM ＝1， ∴AO 2131()2- BO 22011172cos1201214222BM MO BM OM ⎛⎫+-⨯⨯⨯+-⨯⨯⨯-=⎪⎝⎭ AO ⊥MC ，将△BMC 沿CM 折叠，当平面BMC ⊥平面AMC 时， AO ⊥平面BMC ，∴AO ⊥BO ，∴A ，B 两点之间的距离|AB |22371044BO AO +=+=, 故答案为：102．【点睛】本题考查两点间距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17．【分析】建立如图所示的空间直角坐标系结合为等腰直角三角形求得向量的坐标利用向量的夹角公式即可求解【详解】取得中点连接因为所以因为平面平面平面平面所以平面又因为所以于是以为坐标原点建立如图所示的空间直2 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，结合PAC ∆为等腰直角三角形，求得向量,AC PD 的坐标，利用向量的夹角公式，即可求解．【详解】取AC 得中点O ，连接OP ，OB ，因为PA PC =，所以AC OP ⊥. 因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ⋂平面ABC AC =.所以OP ⊥平面ABC ，又因为AB BC =，所以AC OB ⊥，于是以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，结合PAC ∆为等腰直角三角形，4PA PC ==,ABC ∆为等边三角形，则()22,0,0A ，()22,0,0C -，()0,0,22P ，()2,6,0D，所以()42,0,0AC =-，()2,6,22PD =-，所以8cos ,424AC PD AC PD AC PD⋅-〈〉==⨯ 24=-，故异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为24.【点睛】本题主要考查了利用空间向量求解异面直线所成的角，其中解答中根据几何体的结构特征，建立适当的空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力．18．【分析】利用条件两两垂直且把三棱锥扩展为正方体球的直径即是正方体的体对角线长由球的表面积公式求解【详解】先把三棱锥扩展为正方体则正方体的体对角线的长为所以球的半径为所以球的表面积为【点睛】本题主要考解析：3π【分析】利用条件PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA PB PC ===把三棱锥P ABC -扩展为正方体，球的直径即是正方体的体对角线长，由球的表面积公式求解．【详解】先把三棱锥P ABC -3所以球的半径为3 所以球的表面积为234π3π⨯=⎝⎭．【点睛】本题主要考查了球的体积公式：343V r π=球（其中r 为球的半径）及长方体的体对角线长公式：222l a b c =++（其中,,a b c 分别是长方体的长、宽、高）．19．【分析】以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系利用空间向量法计算出异面直线的公垂线的长度即为所求【详解】由题意可知线段长度的最小值为异面直线的公垂线的长度如下图所示以点为坐标原点所在直线分解析：13【分析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算出异面直线1C D 、AC 的公垂线的长度，即为所求. 【详解】由题意可知，线段PQ 长度的最小值为异面直线1C D 、AC 的公垂线的长度.如下图所示，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则点()1,0,0A 、()0,1,0C 、()10,1,2C 、()0,0,0D ，所以，()1,1,0AC =-，()10,1,2=DC ，()1,0,0DA =，设向量(),,n x y z =满足n AC ⊥，1⊥n DC ，由题意可得1020n AC x y n DC y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，解得2x y y z =⎧⎪⎨=-⎪⎩，取2y =，则2x =，1z =-，可得()2,2,1n =-，因此，min23DA n PQn⋅==.故答案为：23. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于将PQ 长度的最小值转化为异面直线AC 、1C D 的距离，实际上就是求出两条异面直线的公垂线的长度，利用空间向量法求出两条异面直线间的距离，首先要求出两条异面直线公垂线的一个方向向量的坐标，再利用距离公式求解即可.20．【解析】试题分析：考点：平面向量基本定理解析：122333a b c ++【解析】试题分析：()()111222333AD AB BD AB BC AB BC CC AB AC AB CC =+=+=++=+-+ ()21223333a b a c a b c =+-+=++ 考点：平面向量基本定理三、解答题21．（1）证明见解析；（2）存在，M 为AD 边上靠近A 的四等分点. 【分析】（1）先证11//B E C D ，再根据线面平行判定定理即可证明命题；（2）取BC 中点G ，根据AG ，AD ，1AA 两两互相垂直建立坐标系，设点(0,,0)M t 分别求得平面11MA B 和平面111A B D 的法向量，再由二面角公式解得t 值，从而确定M 的位置. 【详解】（1）证明：连1DC ，由1B C //AD ，得11B C E //D =，故四边形11B EDC 为平行四边形.11//B E C D =，1C D ⊂平面11CDD C ，1B E ⊂/平面11CDD C ，所以1//B E 平面11CDD C ，（2）假设M 点存在，取BC 中点G ，因为底面ABCD 是菱形，120BAD ∠=︒，所以AG BC ⊥，AG AD ⊥，又1AA ⊥面ABCD ，所以AG ，AD ，1AA 两两互相垂直.以A 为坐标原点，AG ，AD ，1AA 为正方向建立空间直角坐标系A xyz -.由2AB =，得3AG =(0,,0)M t ，其中[0,2]t ∈.1(0,0,1)A ，131,122B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()10,,1A M t =-，1131,022A B ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.设()1,,n x y z =为平面11MA B 的一个法向量，则1111100n A B n MA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即31022x y ty z -=⎪⎨⎪-=⎩可取()11,3,3t n =. 易知平面111A B D 一个法向量为()20,0,1n = 由1221212357cos ,133n n n n n n t t ⋅===++‖12t =，故M 为AD 边上靠近A 的四等分点. 【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下：（1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标；（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）；（3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值. 22．（1）证明见详解；（27【分析】（1）证出BE DC ⊥，PD BE ⊥，由线面垂直的判定定理证出BE ⊥平面PCD ，再由面面垂直的判定定理即可证明.（2）以D 为原点，以,,DF DC DP 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面PDC 一个法向量以及平面PBC 的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解. 【详解】（1）连接BD ，由四边形ABCD 为菱形，60BCD ∠=︒，则BD AD BC ==，又E 为CD 的中点，BE DC ∴⊥,PD ⊥平面ABCD ，且BE ⊂平面ABCD ，PD BE ∴⊥，PD DC D ⋂=，所以BE⊥平面PCD ，BE ⊂平面PBE ，∴平面PBE ⊥平面PCD .（2）取AB 的中点F ，连接DF ，则DF DC ⊥，以D 为原点，以,,DF DC DP 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图：设1PD CD ==，则()0,0,1P ，()0,1,0C ，31,02B ⎫⎪⎪⎝⎭，3F ⎫⎪⎝⎭， 3,0,02DF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()0,1,1PC =-，31,122PB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，由DF DC ⊥，DF DP ⊥，DC DP D ⋂=，所以DF ⊥平面PDC ，即32DF ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭为平面PDC 一个法向量，设平面PBC 的一个法向量为(),,n x y z =，则00n PC n PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即0102y z x y z -=⎧+-=，令1y =，可得1z =，x =3,1,13n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭设二面角B PC D --所成角为θ，且为锐角，11cos cos ,1n DF n DF n DFθ⋅=====所以二面角B PC D --. 【点睛】思路点睛：解决二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内；（2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错. （3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量. （4）利用法向量求距离、线面角或二面角. 23．（1）证明见解析；（2）2λ=. 【分析】（1）要证平面PAB⊥平面ABC ，只需证明PD ⊥平面ABC ，通过勾股定理可知PD CD ⊥，即可证明；（2）已知二面角的角度，求参数的值，建立出平面直角坐标系，借助法向量即可. 【详解】（1）证明：连接CD ，∵PA PB ==2AB =，D 为AB 的中点，∴PD AB ⊥，1PD =，同理可得CD AB ⊥，2CD =，∵2225PC PD CD =+=，∴PD CD ⊥， ∵ABCD D =，∴PD ⊥平面ABC ；∴PD ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面ABC ；（2）以D 为坐标原点，向量DB ，DC ，DP 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，由题意得(0,0,0)D ，(1,0,0)A -，(0,2,0)C ，(0,0,1)P ，(1,0,0)B ，10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭E ，∵BF FC λ=，∴22,,011AF AB BF λλλλ+⎛⎫=+=⎪++⎝⎭，设()111,,m x y z =是平面ACE 的一个法向量，则00m AE m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，∴1111110220x y z x y ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩，令11y =-，则1122x z =⎧⎨=-⎩，∴(2,1,2)m =--，设()222,,n x y z =是平面AEF 的一个法向量，则00n AE n AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，∴2222210222011x y z x y λλλλ⎧++=⎪⎪⎨+⎪+=⎪++⎩，令2(2)y λ=-+，则22242x z λλ=⎧⎨=-⎩，∴(2,2,42)n λλλ=---，∵二面角A DF P --的大小为45°， ∴22cos 45cos ,||91220m n m n m n λλ︒⋅=<>===-+‖，∴2λ=或23λ=-（舍去）. 【点睛】本题以三棱锥为载体，考查了平面与平面垂直的判定，以及根据已知的二面角值求参，关键点在于如何正确的建立坐标系. 24．（1）证明见解析；（23【分析】（1）记AFBE O =，连接NO ，证明,,AF BE AF NO ⊥⊥即可证明结论；（2）先证明NO ⊥平面ABFE ，再以直线OE 为x 轴，直线OA 为y 轴，直线ON 为z 轴建立空间直角坐标系，求出平面MBE 的法向量()0,1,1n =，再代入点到平面的距离的向量公式计算结果．【详解】（1）证明：记AFBE O =，连接NO ，可知四边形ABFE 是菱形，所以AF BE ⊥，且O 为AF ，BE 的中点，又NF NA =，所以AF NO ⊥，又因为NOBE O =，NO ，BE ⊂平面NEB ，所以AF ⊥平面NEB ，AF ⊂平面AFN ，∴平面AFN ⊥平面NEB .（2）因为23BE =3EO ，四边形DEBF 是平行四边形，∴23NF DF BE === 所以226FO EF EO - 所以226NO NF FO -，所以2229NO EO NE +==，所以NO BE ⊥，又由（1）可知：NO AF ⊥，且AF BE O =，AF ，BE ⊂平面ABFE ，所以NO ⊥平面ABFE ，以直线OE 为x 轴，直线OA 为y 轴，直线ON 为z 轴建立空间直角坐标系，则()6,0A ，()3,0,0B -，)3,0,0E ，()0,6,0F -，(6N ，OM ON NM ON AB =+=+(()63,6,0=+--(3,6,6=-- 所以(3,6,6M --，所以(0,6,6BM =-，()23,0,0BE =，()3,6,0FB =-设(),,n x y z =是平面BEM 的法向量，则0660000230y z x n BM y z n BE x ⎧⎧-+==⎧⋅=⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=⋅==⎩⎪⎪⎩⎩，取1y =，得()0,1,1n =，则点F 到平面BEM 的距离632FB n d n⋅===.【点睛】关键点点睛：本题的第一个关键点是垂直关系的证明，不管证明面面垂直还是证明线面垂直，关键都需转化为证明线线垂直，一般证明线线垂直的方法包含1.矩形，直角三角形等，2.等腰三角形，底边中线，高重合，3.菱形对角线互相垂直，4.线面垂直，线线垂直，第二个关键是点M 的坐标的求解方法. 25．（1）225；（2）22．【分析】（1）根据题意可知OA ，OB ，OP 两两垂直，建立空间直角坐标系，根据题所给的长度可算出面BDM 的法向量和PB 的坐标，再根据线面夹角的向量法，代入公式可得最后答案.（2）根据（1）可知AM 的坐标和面BDM 的一个法向量n 坐标，根据公式n nAM ⋅，即可求出点A 到平面BDM 的距离. 【详解】（1）∵四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥，又OP ⊥面ABCD ，OA ∴，OB ，OP 两两垂直，∴以OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，根据题可知4OA =，3OB =，4OP =，且M 为PC 中点，(4,0,0)A ∴，(0,3,0)B ，(0,3,0)D -，(0,0,4)P ，(4,0,0)C -，(2,0,2)M -， (0,3,4)PB ∴=-，(2,3,2)BM =--，(0,6,0)BD =-，设面BDM 的法向量为(),,n x y z =，00n BM n BD ⎧⋅=∴⎨⋅=⎩，232060x y z y --+=⎧∴⎨-=⎩，0y ∴=，令1x =，则1z =，()1,0,1n ∴=，4cos 5||||2n PB n PB n PB ⋅∴〈⋅〉===⋅，∴直线PB 与平面BDM 所成角的正弦值为5；（2）由（1）可知(6,0,2)AM =-，面BDM 的一个法向量为(1,0,1)n =，∴点A 到平面BDM 的距离4|||cos |||2n AM d AM n AM n ⋅=⋅〈⋅〉=== ∴点A 到平面BDM 的距离为【点睛】方法点睛：（1）求直线PB 与平面BDM 所成角的正弦值用向量法：建立空间直角坐标系、求出PB 和平面BDM 的法向量n 的坐标、根据公式cos ||||n PBn PB n PB ⋅〈⋅〉=⋅求解；（2）求点A 到平面BDM 的距离用向量法：建立空间直角坐标系、在平面BDM 上找一点如M 点、求出AM 的坐标和面BDM 的一个法向量n 坐标、根据公式|||cos |AM n AM ⋅〈⋅〉求解.26．（1）点M 在CE 的中点处，证明见解析；（2）2. 【分析】（1）首先观察图形的特征，确定点M 的位置，之后利用线面平行的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，设出边长，写出点的坐标，利用向量法求得线面角的正弦值. 【详解】（1）点M 在CE 的中点处，证明如下：取BC 中点P ，连接,BP AP ，根据题意，可知//,PM AF PM AF =，所以四边形AFMP 是平行四边形，所以//AP MF ，又因为FM ⊄平面ABCD ，AP ⊂平面ABCD ，所以//MF 平面ABCD ；（2）设1AF AB AD ===，如图建立空间直角坐标系，则有1(1,0,1),(1,1,0),(0,1,),(0,0,0)2D F M B ，所以(0,1,1)DF =-，1(1,1,0),(0,1,)2BF BM ==，设平面BFM 的法向量为(,,)n x y z =，则有00n BF n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即0102x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取1y =，则有1,2x z =-=-，所以平面BFM 的一个法向量为(1,1,2)n =--，所以0cos ,2DF nDF n DF n ⋅+<>===，所以直线DF 与平面BFM 所成角的正弦值2. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，解题思路如下：（1）首先根据图形的特征，判断出点的位置，之后利用线面平行的判定定理证明即可；（2）在证明的过程中，注意线在面外和线在面内的条件；（3）建立空间直角坐标系，求得平面的法向量和直线的方向向量；（4）利用向量所成角的余弦值得到线面角的正弦值.。

高中数学选修2-1第一章《常用逻辑用语》测试题(含答案解析)

一、选择题1．已知命题p ：x ∀∈R ，210x x -+<；命题 q ：x ∃∈R ，23x x >，则下列命题中为真命题的是（） A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝2．下列说法不正确的是（） A ．命题“若a b >，则ac bc >”是真命题 B ．命题“若220a b +=，则,a b 全为0”是真命题C ．命题“若0a =，则0ab =”的否命题是“若0a ≠，则0ab ≠”D ．命题“若0a =，则0ab =”的逆否命题是“若0ab ≠，则0a ≠” 3．下列说法正确的个数是( )①“若4a b +≥，则,a b 中至少有一个不小于2“的逆命题是真命题 ②命题“设,a b ∈R ，若6a b +≠，则3a ≠或3b ≠”是一个真命题 ③“0x R ∃∈，2000x x -<”的否定是“x R ∀∈，20x x ->” ④1a b +>是a b >的一个必要不充分条件 A ．0B ．1C ．2D ．34．下列说法中错误的是（）A ．命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是“01x ∃>，2000x x -≤”.B ．在ABC 中，sin sin cos cos A B A B A B <⇔<⇔>.C ．已知某6个数据的平均数为3，方差为2，现又加入一个新数据3，则此时这7个数的平均数和方差不变.D ．从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则事件“至多一个红球”与“都是红球”互斥且对立.5．已知命题p ：若x y >且y z >，则()()1122log log x y y z -<-，则命题p 的逆否命题及其真假分别为（）A ．若()()1122log log x y y z -≥-，则x y ≤且y z ≤，真B ．若()()1122log log x y y z -≥-，则x y ≤或y z ≤，真C ．若()()1122log log x y y z -≥-，则x y ≤且y z ≤，假D ．若()()1122log log x y y z -≥-，则x y ≤或y z ≤，假6．已知0a b >>，给出下列命题：①1=，则1a b -<； ②若331a b -=，则1a b -<； ③若1a b e e -=，则1a b -<； ④若ln ln 1a b -=，则1a b -<. 其中真命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．47．下列有关命题的说法错误的是（） A ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为假命题B ．命题“如果()()150x x +-=2=”的否命题是真命题C ．若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题D ．若p q ∨为假命题，则p 、q 均为假命题8．已知p ：2+2＝5；q ：3＞2，则下列判断错误的是（） A ．“p ∨q ”为真，“￢q ”为假 B ．“p ∧q ”为假，“￢p ”为真 C ．“p ∧q ”为假，“￢p ”为假 D ．“p ∨q ”为真，“￢p ”为真9．下列判断错误的是（）A ．()0f x '=是0x x =为可导函数()y f x =的极值点的必要不充分条件B ．命题“32,10x x x ∀∈--≤R ”的否定是32,10x x x ∃∈-->RC ．命题“若11x -<<，则21x <”的逆否命题是“若21x >，则1x >或1x <-”D ．若0m >，则方程20x x m +-=有实数根的逆命题是假命题 10．若函数()sin f x x x =，则对a ，,22b ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，不等式()()f a f b >成立的一个充要条件是（） A ．a b >B ．a b <C ．a b >D ．22a b >11．记不等式()()22124x y -+-≤表示的平面区域为D .命题p ：()x y D ∀∈,，28x y +≤；命题q ：(),x y D ∃∈，21x y +≤-.下面给出了四个命题：①p q ∨；②p q ⌝∨；③p q ∧⌝；④p q ⌝∧⌝.这四个命题中，所有真命题的编号是( ) A ．①③B ．②④C ．②③D ．①④12．将函数()sin 3y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移9π个单位长度后，得到函数()f x 的图象，则“6π=ϕ”是“()f x 是偶函数”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题13．若12,[3,4]x x ∀∈∃∈R ，使2211221225x x x x x ax +++-成立，则实数a 的取值范围是______． 14．下列说法中：①命题“对任意的1x >，有21x >”的否定为“存在1x ≤，有21x ≤”；②“对于任意的x D ∈，总有()f x M ≥（M 为常数）”是“函数()y f x =在区间D 上的最小值为M ”的必要不充分条件；③若1x ，()20,x ∈+∞，则函数()log a f x x =满足()()()1212f x f x f x x +=； ④若1x ，2x ∈R ，12x x ≠，则函数()2xf x =满足()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭．所有正确说法的序号______．（把满足条件的序号全部写在横线上）15．若命题“x ∃∈R ，220x x a --<”是假命题，则实数a 的取值范围是______． 16．“14a =”是“对任意的正数x ，均有1ax x +≥”的________条件.17．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}5,0,1,2,3,4k n k n Z k =+∈=.给出如下四个结论：①[]20111∈， ②[]33-∈，③[][][][][]01234Z =⋃⋃⋃⋃，④整数,a b 属于同一类的充要条件是[]0a b -∈. 其中正确的个数是___________ 18．给出下列命题：①命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”； ②“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件；③x R ∃∈命题“，使得210x x +-<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x -->”； ④命题“若x y =，则 sin sin x y =”的逆否命题为真命题其中所有正确命题的序号是________. 19．下列说法：（1）设a ，b 是正实数，则“a ＞b ＞1”是“log 2a ＞log 2b”的充要条件；（2）对于实数a ，b ，c ，如果ac ＞bc ，则a ＞b ；（3）“m=12”是直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直的充分不必要条件；（4）等比数列{a n }的公比为q ，则“a 1＞0且q ＞1”是对任意n ∈N +，都有a n+1＞a n 的充分不必要条件；其中正确的命题有______ 20．给出下列四个命题中：①命题“若x ≥2且y ≥3，则x +y ≥5”为假命题．②命题“若x 2-4x +3=0，则x =3”的逆否命题为：“若x ≠3，则x 2-4x +3≠0”． ③“x ＞1”是“|x |＞0”的充分不必要条件④关于x 的不等式|x +1|+|x -3|≥m 的解集为R ，则m ≤4．其中所有正确命题的序号是______．三、解答题21．设命题p :实数x 满足()(3)0x a x a --<，其中0a >，命题:q 实数x 满足428x ≤≤．（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．22．已知：()2:,21p x R x m x ∀∈>+，0:,q x R ∃∈200210x x m +--=，（1）若q 是真命题，求实数m 的取值范围；（2）若()p q ∧⌝为真命题，求实数m 的取值范围.23．已知p ：2430x x -+<，q ：()()210x m x m m R -++<∈．（1）求不等式2430x x -+<的解集；（2）若q 是p 的必要不充分条件，求m 的取值范围．24．定义：如果存在实数x ，y 使c xa yb =+，那么就说向量c 可由向量a b ，线性表出．给出命题：p ：空间三个非零向量a b c ，，中存在一个向量可由另两个向量线性表出．q ：空间三个非零向量a b c ，，共面．判断p 是q 的什么条件，并证明你的结论． 25．已知集合{}2320A x x x =-+=，{}210B x x ax a =-+-=，{}220C x x mx =-+=.（1）若命题p ：“x B ∀∈，都有x A ∈”为真命题，求实数a 的取值集合；（2）若C ≠∅，且“x A ∈”是“x C ∈”的必要条件，求实数m 的取值集合. 26．已知命题p ：任意2,230x R x mx m ∈-->成立；命题q ：存在2,410x R x mx ∈++<成立.（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题,p q 中恰有一个为真命题，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】分别判断两个命题p ， q 的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．【详解】对于命题p ，取1x =时，10<不成立，故命题p 为假命题，对于命题 q ，1x =-时，23(1)(1)->-成立，故命题 q 为真命题，所以p q ∧为假命题，p q ⌝∧为真命题，p q ∧⌝为假命题，p q ⌝∧⌝为假命题，故选：B 【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的判断，结合条件判断命题p ，q 的真假是解决本题的关键.2．A解析：A 【分析】根据不等式性质，真命题，否命题，逆否命题性质逐一判断各个选项即可．【详解】A 选项，若a b >，当0c ≤时，ac bc >不成立，所以命题为假命题，所以A 不正确B 选项，若220a b +=，则,a b 全为0正确，所以命题为真命题，正确C 选项，否命题否定结论和条件，本选项满足否命题形式，正确D 选项，命题“若0a =，则0ab =”的逆否命题是“若0ab ≠，则0a ≠”满足逆否命题的形式. 所以答案选A 【点睛】本题考查了不等式的性质，真命题的判断，否命题和逆否命题的知识.属于基础题目.3．C解析：C 【解析】对于①，原命题的逆命题为：若,? a b 中至少有一个不小于2，则4a b +≥，而4,?4a b ==-满足,? a b 中至少有一个不小于2，但此时0a b +=，故①是假命题；对于②，此命题的逆否命题为“设,?a b R ∈，若3a =且3b =，则6a b +=”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，故②是真命题；对于③“20000x R x x ∃∈-<，”的否定是“20x R x x ∀∈-≥，”，故③是假命题；对于④，由a b >可推得1a b >-，故④是真命题，故选C ．点睛：本题考查了简易逻辑的判定方法、特称命题的否定等基础知识与基本技能，考查了推理能力与计算能力，属于中档题；四种命题的关系中，互为逆否命题的两个命题真假性相同，当判断原命题的真假比较复杂时，可转化为其逆否命题的真假，充分条件、必要条件的判定相当于判定原命题、逆命题的真假.4．C解析：C 【分析】选项A 根据命题的否定判断，选项B 根据正弦定理及两角和的余弦公式判定即可，选项C 可根据均值及方差的性质判断，选项D 根据互斥事件与对立事件的定义判断即可. 【详解】A 中根据命题的否定可知，命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是“01x ∃>，2000x x -≤”正确；B 中A B <可知a b <，根据正弦定理可得sin sin A B <,同理可知由sin sin A B <可得a b <，可得A B <，即sin sin A B A B <⇔<,因为cos y x =在(0,)x π∈上单调递减，且(0,),(0,)A B ππ∈∈，所以cos cos A B A B <⇔>，故正确；C 中设原数据中方差为2s ，则加入一个新数据3后平均值为63337⨯+=，方差为2226(33)677s s ⨯+-=，故不正确；D 中，事件“至多一个红球”与“都是红球”不能同时发生，而且在一次试验中有且只有一个事件发生，故互斥且对立正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查了命题的否定，三角形中的充要条件，平均值与方差，互斥与对立事件，属于中档题.5．D解析：D 【分析】先根据逆否命题的概念写出命题p 的逆否命题，再举反例说明其真假. 【详解】命题p 的逆否命题为“若()()1122log log x y y z -≥-，则x y ≤或y z ≤”；由于原命题为假（如4x =，3y =，1z =），故其逆否命题也为假，故选：D. 【点睛】本题主要考查命题的逆否命题及其真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.6．B解析：B 【分析】①1=1，然后两边平方，再通过作差法即可得解； ②若331a b -=，则331a b -=，然后利用立方差公式可知23(1)(1)a a a b -++=，再结合0a b >>以及不等式的性质即可判断；③若1abe e -=，则111a b a bb b b e e e e e e-+===+，再利用0b >，得出1b e >，从而求得a be -的范围，进而判断；④取特殊值，a e =，1b =即可判断．【详解】解：①1=，1，所以1a b =++所以11a b -=+，即①错误；若331a b -=，则331a b -=，即23(1)(1)a a a b -++=，因为0a b >>，所以22a b >，所以221a a b ++>，所以1a b -<，即1a b -<，所以②正确；若1a b e e -=，则111a b a bb b b e e ee e e-+===+，因为0b >，所以12a b e e -<<<，所以1a b -<，即③正确；④取a e =，1b =，满足1lna lnb -=，但1a b ->，所以④错误；所以真命题有②③，故选：B ．【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及根据不等式的性质证明不等式、指对运算法则、立方差公式等，考查学生的分析能力和运算能力．7．C解析：C 【分析】写出逆命题和否命题，判断正误，根据或和且的命题真假判断命题真假得到答案. 【详解】逆命题为：若a b <，则22am bm <，当0m =是不成立，故为假命题，A 正确；否命题为：如果()()150x x +-≠2≠，为真命题，B 正确；若p q ∧为假命题，则p 、q 不同时为真，C 错误；若p q ∨为假命题，则p 、q 均为假命题，D 正确；故选：C . 【点睛】本题考查了逆命题和否命题，或和且命题的判断，意在考查学生的推断能力.8．C解析：C【分析】先判定命题p 为假命题，命题q 为真命题，再结合复合命题的真假判定，即可求解. 【详解】由题意，命题:225p +=为假命题，命题:32q >为真命题，所以命题p q ∧为假命题，p ⌝为真命题，命题p q ∨为真命题，q ⌝为假命题，故选：C . 【点睛】本题主要考查了复合命题的真假判定，其中解答中正确判定命题,p q 的真假，熟记复合命题的真假判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.9．C解析：C 【分析】根据必要不充分条件的判断方法，即可得出A 正确；写出原命题的否定命题，即可判断B ；写出原命题的逆否命题，即可判断C ；写出原命题的逆命题，即可判断D. 【详解】对于A ，()0f x '=是0x x =为可导函数()y f x =的极值点的必要不充分条件，故A 正确；对于B ，命题“32,10x x x ∀∈--≤R ”的否定是32,10x x x ∃∈-->R ，故B 正确；对于C ，命题“若11x -<<，则21x <”的逆否命题是“若21x ≥，则1≥x 或1x ≤-”，故C 错误；对于D ，命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实数根”的逆命题是 “若方程20x x m +-=有实数根，则0m >”当方程20x x m +-=有实数根时，140m =+≥，即14m ≥-，所以命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实数根”的逆命题为假命题，故D 正确. 故选：C. 【点睛】（1）从逻辑关系上看，若p q ⇒，但q p ⇒/，则p 是q 的充分不必要条件；若p q ⇒/，但q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件；若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 的充要条件；若p q ⇒/，且q p ⇒/，则p 是q 的既不充分也不必要条件. （2）含有一个量词的命题的否定：一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论；对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定.（3）由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论：将原命题的条件和结论交换，即得原命题的逆命题；将原命题的条件和结论进行否定，作为新命题的条件和结论，即得原命题的否命题．否定命题的条件或结论，关键是否定条件或结论的关键词；先写出原命题的逆命题，再写出逆命题的否命题，即得逆否命题，也可以先写出原命题的否命题，再写出否命题的逆命题，即得逆否命题.10．D解析：D 【分析】先分析函数的奇偶性，由导数得出函数的单调性，利用这两个性质求解．【详解】()sin f x x x =，()sin()sin ()f x x x x x f x -=--==，()f x 是偶函数，()sin cos f x x x x '=+，在02x π≤<时，()0f x '≥，()f x 递增，所以22()()()()f a f b f a f b a b a b >⇔>⇔>⇒>．故选：D. 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，用函数的这两个性质求解不等式．本题还考查了导数与单调性的关系．掌握用导数研究不等式的方法是解题关键．11．B解析：B 【分析】画出平面区域D ，直线28x y +=和直线21x y +=-，根据图像判断出命题p 和命题q 的真假，从而得到答案. 【详解】平面区域为D 满足不等式()()22124x y -+-≤，画出其图像如图所示，再画出直线28x y +=和直线21x y +=-，根据图像可得存在(),x y D ∈，在直线28x y +=的上方，所以命题p ：()x y D ∀∈,，28x y +≤，是假命题，不存在(),x y D ∈，在直线21x y +=-的下方所以命题q ：(),x y D ∃∈，21x y +≤-，是假命题.所以①p q ∨为假命题；②p q ⌝∨为真命题；③p q ∧⌝为假命题；④p q ⌝∧⌝为真命题. 故选：B.【点睛】本题考查判断含有逻辑联结词命题的真假，根据不等式画可行域，判断点是否在可行域内，属于中档题.12．A解析：A 【分析】求出函数()y f x =的解析式，由函数()y f x =为偶函数得出ϕ的表达式，然后利用充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】将函数()sin 3y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移9π个单位长度，得到的图象对应函数的解析式为()sin 3sin 393f x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，若函数()y f x =为偶函数，则()32k k Z ππϕπ+=+∈，解得()6k k Z πϕπ=+∈，当0k =时，6π=ϕ. 因此，“6π=ϕ”是“()y f x =是偶函数”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了利用图象变换求三角函数解析式以及利用三角函数的奇偶性求参数，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题.二、填空题13．【分析】先整理为关于的不等式恒成立求出相应的最值后得不等式在时能成立分离参数整理为求出诉最大值可得结论【详解】由得∴当时取得最小值∴使成立即使成立设设则∴即∴在时是增函数∴在上有∴故答案为：【点睛】解析：(,5]-∞【分析】先整理为关于1x 的不等式恒成立，求出相应的最值后，得不等式222222154x x x ax -+--+-在2[3,4]x ∈时能成立，分离参数整理为223414x a x ≤++，求出223414x x ++诉最大值可得结论．【详解】由2211221225x x x x x ax ≥++-+，得2212122(2)5x x x x ax +-≥-+-， ∴当2112x x =-时，()21212x x x +-取得最小值()22222221211224x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴2[3,4]x ∃∈，使222222154x x x ax -+--+-成立，即2[3,4]x ∃∈，使223414a x x ++成立．设3414t y t=++，设1234t t ≤<≤，则12120,316t t t t -<>， ∴12121212121233()(316)44444t t t t t t y y t t t t ---=+--=0<，即12y y <， ∴3414t y t=++在[3,4]∈时，是增函数． ∴223414x y x =++在[3,4]上有max 5y =，∴5a ≤．故答案为：(,5]-∞．【点睛】思路点睛：本题考查双变量不等式恒成立求参数范围．解题方法是先整理为以1x 为变量的不等式恒成立，又转化为关于2x 的不等式能成立，分离参数后求得函数的最值．14．②③④【分析】①直接利用命题的否定判断；②函数的最小值和必要不充分条件的应用；③对数的运算关系式的应用；④根据基本不等式可得答案；【详解】①命题对任意的有的否定为存在有故①错误；②对于任意的总解析：②③④ 【分析】①直接利用命题的否定判断；②函数的最小值和必要不充分条件的应用； ③对数的运算关系式的应用； ④根据基本不等式可得答案；【详解】①命题“对任意的1x >，有21x >”的否定为“存在1x >，有21x ≤”，故①错误； ②“对于任意的x D ∈，总有()f x M ≥（M 为常数）”由于没有说明0x D ∈()0f x M =，所以“函数()y f x =在区间D 上的最小值为M ”不一定成立；函数()y f x =在区间D 上的最小值为M ，总有()f x M ≥（M 为常数）成立，故②正确；③若1x ，()20,x ∈+∞，则函数()log a f x x =满足()1212log log log a a a x x x x =+，所以()()()1212f x f x f x x +=成立，故③正确；④若1x ，2x ∈R ，12x x ≠，()()1212,33x x f x f x ==，1212232x xx x f ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为()30xf x =>，所以()()1212122322x x f x f x x x f +++⎛⎫>=== ⎪⎝⎭，故④正确．故答案为：②③④.【点睛】本题考查了命题的否定、函数的最小值和充分条件和必要条件的应用、对数的运算关系、不等式比较大小的问题.15．【分析】由题意可知恒成立结合二次函数的性质可求的最小值从而可求出实数的取值范围【详解】原命题否定为真命题即∴因为图象开口向上对称轴为则∴故答案为:【点睛】本题考查了由不等式恒成立求参数的取值范围考查解析：(],1-∞-【分析】由题意可知22a x x ≤-恒成立，结合二次函数的性质可求22x x -的最小值，从而可求出实数a 的取值范围. 【详解】原命题否定，x ∀∈R ，220x x a --≥为真命题，即22a x x ≤-，∴()2min2a x x≤-，因为22y x x =-图象开口向上，对称轴为1x =，则()2min2121x x-=-=-，∴1a ≤-，故答案为: (],1-∞-.本题考查了由不等式恒成立求参数的取值范围，考查了已知命题的真假性求参数的取值范围.本题的关键是由已知得不等式恒成立.16．充分不必要【分析】当时对任意的正数x 均有反过来当对任意的正数x 均有时通过讨论有成立即可判断【详解】当时对任意的正数x 均有当且仅当时等号成立；当对任意的正数x 均有时当时令此时不符合题意；当时显然不满足解析：充分不必要【分析】当14a =时，对任意的正数x ，均有141a x x x x+=+≥，反过来，当对任意的正数x ，均有1a x x +≥时，通过讨论有14a ≥成立，即可判断.【详解】当14a =时，对任意的正数x ，均有141a x x x x +=+≥==，当且仅当12x =时等号成立；当对任意的正数x ，均有1ax x+≥时，当0a <时，令0x =>，此时0ax x+=，不符合题意；当0a =时，1≥x ，显然不满足题意；当0a >时，有1ax x+≥，解得有14a ≥，所以“14a =”是“对任意的正数x ，均有1ax x +≥”的充分不必要条件故答案为：充分不必要【点睛】本题考查了充分性和必要性的判断，属于一般题.17．3【分析】根据2011被5除的余数为1可判断①；将=可判断②；根据整数集就是由被5除所得余数为01234可判断③；令根据类的定理可证明④的真假【详解】①由2011÷5=402…1所以2011∈1故①解析：3根据2011被5除的余数为1，可判断①；将3-=52-+，可判断②；根据整数集就是由被5除所得余数为0，1，2，3，4，可判断③；令115a n m =+，225b n m =+，根据“类”的定理可证明④的真假．【详解】①由2011÷5=402…1，所以2011∈[1]，故①正确； ②由()3512-=⨯-+ 所以[]33-∉，故②错误；③整数集就是由被5除所得余数为0，1，2，3，4的整数构成，③正确； ④假设115a n m =+，225b n m =+，()12125a b n n m m -=-+-，,a b 要是同类. 则 12m m =，即120m m -=，所以[]0a b -∈，反之若[]0a b -∈，即120m m -=，所以12m m =，则,a b 是同类. ④正确；故答案为：3 【点睛】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，正确理解新定义“类”是解答的关键，以及进行简单的合情推理．属中档题．18．④【分析】①根据命题的否命题和原命题之间的关系判断②利用充分条件和必要条件的定义判断③利用特称命题的否定判断④利用逆否命题的等价性进行判断【详解】解：①根据否命题的定义可知命题若则的否命题为若则所以解析：④ 【分析】①根据命题的否命题和原命题之间的关系判断．②利用充分条件和必要条件的定义判断．③利用特称命题的否定判断．④利用逆否命题的等价性进行判断．【详解】解：①根据否命题的定义可知命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x ≠，则1x ≠”，所以①错误．②由2560x x --=得1x =-或6x =，所以②“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，所以②错误．③根据特称命题的否定是全称命题得命题“x R ∃∈，使得210x x +-<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x +-”，所以③错误．④根据逆否命题和原命题为等价命题可知原命题正确，所以命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题，所以④正确．故答案为④．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，以及四种命题的真假关系的判断，比较基础．19．（3）（4）【分析】利用充要条件不等式性质两直线垂直的充要条件等比数列为递增数列的条件逐一判断即可【详解】对于（1）求得所以是的充分不必要条件所以错误对于（2）不成立所以错误对于（3）直线与直线相互解析：（3）（4）【分析】利用充要条件、不等式性质、两直线垂直的充要条件、等比数列为递增数列的条件，逐一判断即可. 【详解】对于（1）22"log log "a b >求得0a b >>，所以"1"a b >>是22"log log "a b >的充分不必要条件，所以错误对于（2）0c <不成立，所以错误对于（3）直线()2310m x my +++=与直线()()2230m x m y -++-=相互垂直，12m =或2m =-，所以正确对于（4）1"0a >且1"q >可以推出对任意n N +∈,都有1n n a a +>，反之不成立，如数列16,8,4,2----，所以正确故答案为（3）（4）【点睛】本题考查了命题真假的判断，涉及到不等式性质、充要条件、等比数列的单调性等知识，属于中档题.20．②③④【分析】命题的判断一一进行判断即可对于①显然为假命题；对于②逆否命题条件和结论都否定正确；对于③若x ＞1则|x|＞0若|x|＞0则x 不一定大于1；对于④f （x ）＝|x+1|+|x ﹣3|表示数轴解析：②③④ 【分析】命题的判断，一一进行判断即可．对于①，显然为假命题；对于②，逆否命题，条件和结论都否定，正确；对于③，若x ＞1，则|x |＞0．若|x |＞0，则x 不一定大于1；对于④，f （x ）＝|x +1|+|x ﹣3|表示数轴上点x 到﹣1和3的距离之和．【详解】对于①，显然为假命题；对于②，逆否命题，条件和结论都否定，正确；对于③，若x ＞1，则|x |＞0．若|x |＞0，则x 不一定大于1；对于④，f （x ）＝|x +1|+|x ﹣3|表示数轴上点x 到﹣1和3的距离之和,最小为4,所以m 4≤.故答案为②③④．【点睛】本题考查命题真假的判断，综合考查了不等式性质及绝对值的意义，属于中档题．三、解答题21．（1）[)2,3；（2）12a <<. 【分析】（1）当1a =时，分别求出p ，q 成立的等价条件，利用p q ∧为真可得x 的取值范围；（2）由题可得q 是p 的充分不必要条件，得Q P ,从而可得a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时，由()()130x x --<，得p :13x <<，由428x ≤≤，得:q 23x ≤≤，由p ∧q 为真，即p ，q 均为真命题，因此x 的取值范围是[)2,3．（2）若￢p 是￢q 的充分不必要条件，可得q 是p 的充分不必要条件，由题可得命题p 对应的集合{}3P x a x a =<<，命题q 对应的集合{}23Q x x =≤≤，所以Q P ，因此2a <且33a <，解得12a <<．即实数a 的取值范围是12a <<. 【点睛】本题考查充分必要条件的定义和应用，考查复合命题的真假判断，考查分析解决问题的能力，属于基础题.22．（1）2m ≥-；（2）2m <-. 【分析】（1）由题意知，q 是真命题等价于方程2210x x m +--=有实根，利用判别式0∆≥即可求解；（2）由题意知，分别求出p 、q ⌝为真命题时实数m 的取值范围，然后再取交集即可. 【详解】（1）因为0:R,q x ∃∈200210x x m +--=为真命题，所以方程2210x x m +--=有实根，所以判别式()4410m ∆=++≥，所以实数m 的取值范围为2m ≥-.（2）()221x m x >+可化为220mx x m -+<，若:R,p x ∀∈()221x m x >+为真命题，则220mx x m -+<对任意的x ∈R 恒成立，当0m =时，不等式可化为20x -<，显然不恒成立；当0m ≠时，有2440m m <⎧⎨-<⎩，1m ∴<-，由（1）知，若q ⌝为真命题，则2m <-，又()p q ∧⌝为真，故p 、q ⌝均为真命题，所以实数m 需满足12m m <-⎧⎨<-⎩，解得2m <-，所以实数m 的取值范围为2m <-. 【点睛】本题考查利用复合命题的真假求参数的取值范围；考查运算求解能力和逻辑思维能力；熟练掌握复合命题的真假判断是求解本题的关键；属于中档题. 23．（1）{}3|1x x <<（2）()3,+∞ 【分析】（1）分解因式得()()130x x --<,进而求解即可；（2）先将命题q 中不等式分解为()()10x m x --<,所以讨论m 与1的大小,当1m 时，不等式()210x m x m -++<的解是1x m <<,由q 是p 的必要不充分条,则2430x x -+<的解集是()210x m x m -++<（1m ）解集的真子集,即可求解,同理讨论当1m <与1m =时的情况.【详解】解：（1）因为2430x x -+<,所以()()130x x --<,所以13x <<, 所求解集为{}|13x x <<.（2）因为q ：()()210x m x m m R -++<∈,则()()10x m x --<当1m 时,不等式()210x m x m -++<的解是1x m <<,因为q 是p 的必要不充分条件,所以2430x x -+<的解集是()210x m x m -++<（1m ）解集的真子集,所以3m >；当1m <时,不等式()210x m x m -++<的解是1m x <<,因为{}{}||131x x x m x <<⋂<<=∅,不合题意；当1m =时,不等式2430x x -+<的解集为∅,不合题意. 综上,m 的取值范围是()3,+∞．【点睛】本题考查含参数的一元二次不等式的解法,考查由充分必要条件求参数的范围,考查运算能力与分类讨论思想.24．充分不必要条件，证明见解析. 【分析】利用给出的定义、向量共面定理即可判断出关系．【详解】p ：空间三个非零向量a ，b ，c 中存在一个向量可由另两个向量线性表出．q ：空间三个非零向量a ，b ，c 共面．p 是q 的充分不必要条件．证明如下：若空间三个非零向量a ，b ，c 中存在一个向量可由另两个向量线性表出，不妨设c xa yb =+,则由向量共面定理知，a ，b ，c 共面，即p q ⇒，反之不成立，例如，三个非零向量a ，b ，c 共面，且//a b ，而c 与a ，b 不共线，则c 无法用a ，b 线性表示． p ∴是q 的充分不必要条件．【点睛】本题考查了向量共线共面定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．25．（1）{2,3}；（2）{3}．【分析】（1）解方程确定集合,A B ，再根据命题p 为真求得a ；（2）题意说明x C ∈是x A ∈的充分条件，由此可求得m 值．【详解】由题意{1,2}A =，（1）2a =时，{1}B =满足题意，2a ≠时，{1,1}B a =-，则∵x B ∀∈，都有x A ∈，∴12a -=，3a =， ∴a 的取值集合是{2,3}；（2）∵“x A ∈”是“x C ∈”的必要条件，∴x C x A ∈⇒∈．若280m ∆=-=，即m =±C =或{C =均不合题意，又C ≠∅，∴0∆>，因此12{,}C x x =，又12,x A x A ∈∈，因此不妨设11x =，22x =，则123m x x =+=．∴m 的取值集合是{3}．【点睛】关键点点睛：本题考查由充分必要条件求参数，解题方法是根据充分条件，必要条件的定义得出集合中元素的性质，从而得出结论．也可由充分必要条件与集合包含之间的关系确定集合的关系，从而得出结论． 26．（1）(3,0)-；（2）(]11,3,0,22⎡⎫⎛⎫-∞--+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭. 【分析】（1）只需24120m m ∆=+<，然后求解m 的取值范围；（2）分p 真q 假、p 假q 真两种情况讨论求解. 【详解】解：（1）若命题p 为真命题，则24120m m ∆=+<，解得30m -<<，故实数m 的取值范围(3,0)-（2）若命题q 为真命题，则21640m ∆=->，解得12m <-或12m > ∵命题,p q 中恰有一个为真命题， ∴命题,p q 一真一假①当p 真q 假时，301122m m -<<⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩，解得：102m -≤<②当p 假q 真时，301122m m m m ≤-≥⎧⎪⎨-⎪⎩或或，解得：3m ≤-或12m >.综上，实数m 的取值范围(]11,3,0,22⎡⎫⎛⎫-∞--+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查根据命题的真假求解参数的取值范围，考查二次不等式恒成立与有解问题，难度一般.。

高中数学选修2-1第一章测试题

第一章综合能力检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．△ABC 中，sin A ＝sin B 是∠A ＝∠B 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] △ABC 中，sin A ＝sin B ⇔A ＝B .2．如果命题“綈(p 或q )”为假命题，则( )A ．p 、q 均为真命题B ．p 、q 均为假命题C ．p 、q 中至少有一个为真命题D ．p 、q 中至多有一个为真命题[答案] C[解析] ∵綈(p 或q )假，∴p 或q 真，∴p 与q 至少一真．3．与命题“若a ∈M ，则b ∉M ”等价的命题是( )A ．若a ∉M ，则b ∉MB ．若b ∉M ，则a ∈MC ．若a ∉M ，则b ∈MD ．若b ∈M ，则a ∉M[答案] D[解析] 即原命题的逆否命题，结论的否定b ∈M 作条件，条件的否定a ∉M 作结论，故选D.4．如果不等式|x －a |<1成立的充分非必要条件是12<x <32，则实数a 的取值范围是( ) A.12<a <32B.12≤a ≤32C ．a >32或a <12D ．a ≥32或a ≤12[答案] B[解析] |x －a |＜1⇔a －1＜x ＜a ＋1由题意知⎝⎛⎭⎫12，32(a －1，a ＋1)则有⎩⎨⎧a －1≤12a ＋1≥32，且等号不同时成立解得12≤a ≤32，故选B.5．设集合U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，A ＝{(x ，y )|2x －y ＋m >0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －n ≤0}，那么点P (2,3)∈A ∩(∁U B )的充要条件是( )A ．m >－1，n <5B ．m <－1，n <5C ．m >－1，n >5D ．m <－1，n >5[答案] A[解析] ∵P ∈A ∩∁U B ，∴P ∈A 且P ∉B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2×2－3＋m >02＋3－n >0， ∴⎩⎨⎧m >－1n <5，故选A. 6．设A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确．．．的是( ) A ．若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面B ．若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线C ．若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ＝BCD ．若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ⊥BC[答案] C7．已知数列{a n }，“对任意的n ∈N *，点P n (n ，a n )都在直线y ＝3x ＋2上”是“{a n }为等差数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 点P n (n ，a n )在直线y ＝3x ＋2上，即有a n ＝3n ＋2，则能推出{a n }是等差数列；但反过来，{a n }是等差数列，a n ＝3n ＋2未必成立，所以是充分不必要条件，故选A.8．(2010·福建文，8)若向量a ＝(x,3)(x ∈R )，则“x ＝4”是“|a |＝5”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件[答案] A[解析] 本题主要考查充分必要条件问题．当x ＝4时，|a |＝42＋32＝5 当|a |＝x 2＋9＝5时，解得x ＝±4.所以“x ＝4”是“|a |＝5”的充分而不必要条件．9．在命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则集合{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”的逆命题，否命题，逆否命题的真假结论是( )A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真[答案] D[解析] 若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，又x ∈R ，则必存在x ，使ax 2＋bx ＋c <0. 故原命题真，其逆否命题也为真，其逆命题为“若{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下．”当a ＝0时，显然为假命题，则其否命题也为假，故选D.10．(09·宁夏海南理)有四个关于三角函数的命题：p 1：∃x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12p 2：∃x 、y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin yp 3：∀x ∈[0，π]，1－cos2x 2＝sin x p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π2其中假命题的是( )A ．p 1，p 4B ．p 2，p 4C ．p 1，p 3D ．p 3，p 4[答案] A [解析] p 1是假命题，∵∀x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝1；p 2是真命题，例如：当x ＝y ＝π2时， sin(x －y )＝sin x －sin y ＝0.p 3是真命题，∵∀x ∈[0，π]，sin x >0，∴1－cos2x 2＝|sin x |＝sin x . p 4是假命题，例如：sin π6＝cos 7π3x ＋y ＝π2. 11．“θ＝2π3”是“tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 解法一：∵θ＝2π3为方程tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ的解， ∴θ＝2π3是tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ成立的充分条件；又∵θ＝8π3也是方程tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ的解， ∴θ＝2π3不是tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ的必要条件，故选A.解法二：∵tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ，∴sin θ＝0或cos θ＝－12， ∴方程tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ的解集为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪θ＝k π或θ＝2k π±23π，k ∈Z ，显然⎩⎨⎧⎭⎬⎫2π3A ，故选A. 12．设a 、b 、c 表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是( )A ．已知c ⊥α，若c ⊥β，则α∥βB ．已知b ⊂β，c 是a 在β内的射影，若b ⊥c ，则b ⊥aC ．已知b ⊂β，若b ⊥α，则β⊥αD ．已知b ⊂α，c ⊄α，若c ∥α，则b ∥c[答案] C[解析] A 的逆命题是：c ⊥α，若α∥β，则c ⊥β，真命题；B 的逆命题是b ⊂β，c 是a 在β内的射影，若b ⊥a ，则b ⊥c .二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．设有两个命题：p ：|x |＋|x －1|≥m 的解集为R ；q ：函数f (x )＝－(7－3m )x 是减函数，若这两个命题中有且只有一个真命题，实数m 的取值范围是________．[答案] 1<m <2[解析] 若p 为真命题，则根据绝对值的几何意义可知m ≤1.若q 为真命题，则7－3m >1，所以m <2，若p 真q 假，则m ∈∅.若p 假q 真，则1<m <2.综上所述，1<m <2.14．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：若函数f (x )＝3＋log 2x 的图象与g (x )的图象关于________对称，则函数g (x )＝________.(注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形)．[答案] 可以填以下几种情形之一：①x 轴，－3－log 2x②y 轴，3＋log 2(－x )③原点，－3－log 2(－x )④直线y ＝x,2x －315．已知p：a＋b≠5，q：a≠2或b≠3，则p是q的________条件．[答案]充分不必要[解析]命题：“如果a＋b≠5，则a≠2或b≠3”的逆否命题为“如果a＝2且b＝3，则a＋b＝5”，显然是真命题．∴p⇒q即有：p是q的充分条件．同理：p不是q的必要条件．∴p是q的充分条件，但不是必要条件．16．(2010·四川文，16)设S为实数集R的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x －y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：①集合S＝{a＋b 3.a，b为整数}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有0∈S；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆C的任意集合T也是封闭集．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)[答案]①②[解析]本题考查根据所给信息解决实际问题的能力，要注意从基本概念，基本公式着手，理解题目中给出的信息是什么．对于①②都正确，对于③，封闭集不一定是无限集，例如当S＝{0}时，S是有限集，对于④不正确，例如当S＝{0}，M是自然数集N时，M不是封闭集．三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)将下列命题改写为“若p，则q”的形式．并判断真假．(1)偶数能被2整除；(2)奇函数的图象关于原点对称；(3)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角不相等．[解析](1)若一个数是偶数，则它能被2整除．真命题．(2)若一个函数是奇函数，则它的图象关于原点对称．真命题．(3)在同圆或等圆中，若两个角是同弧或等弧所对的圆周角，则它们不相等．假命题．18．(本题满分12分)“菱形的对角线互相垂直”，将此命题写成“若p则q”的形式，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并指出其真假．[解析]“若p则q”形式：“若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直”逆命题：“若一个四边形的对角线互相垂直，则它是菱形”，假．否命题：“若一个四边形不是菱形，则它的对角线不垂直”，假．逆否命题：“若一个四边形的对角线不垂直，则它不是菱形”，真．19．(本小题满分12分)已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：|1－x 2|<1.若p 是真命题，q 是假命题，求实数x 的取值范围．[解析] 由lg (x 2－2x －2)≥0得x 2－2x －2≥1，即x 2－2x －3≥0，即(x －3)(x ＋1)≥0，∴x ≥3或x ≤－1.由|1－x 2|<1，－1<1－x 2<1 ∴0<x <4.∵命题q 为假，∴x ≤0或x ≥4，则{x |x ≥3或x ≤－1}∩{x |x ≤0或x ≥4}＝{x |x ≤－1或x ≥4}，∴满足条件的实数x 的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．20．(本小题满分12分)已知p ：x 2－8x －20>0，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．[解析] p ：A ＝{x |x <－2或x >10}，q ：b ＝{x |x <1－a 或x >1＋a ，a >0}如图依题意，p ⇒q ，但q ⇒/ p ，说明A B ，则有⎩⎨⎧ a >01－a ≥－21＋a ≤10且等号不同时成立，解得0<a ≤3∴实数a 的取值范围是0<a ≤321．(本小题满分12分)求使函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图象全在x 轴上方成立的充要条件．[解析] 要使函数f (x )的图象全在x 轴上方的充要条件是：⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋4a －5>0Δ＝16(a －1)2－4(a 2＋4a －5)×3<0，或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a －5＝0a －1＝0 解得1<a <19或a ＝1，故1≤a <19.所以使函数f (x )的图象全在x 轴的上方的充要条件是1≤a <19.22．(本小题满分14分)证明二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的两个零点在点(m,0)的两侧的充要条件是af (m )<0.[解析] 充分性：设Δ＝b 2－4ac ≤0则af (x )＝a 2x 2＋abx ＋ac ＝a 2(x ＋b 2a )2－b 24＋ac ＝a 2(x ＋b 2a )2－14(b 2－4ac )≥0，所以af (m )≥0，这与af (m )<0矛盾，即b 2－4ac >0.故二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)有两个不等的零点，设为x 1，x 2，且x 1<x 2，从而f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)，af (m )＝a 2(m －x 1)(m －x 2)<0，所以x 1<m <x 2.必要性：设x 1，x 2是方程的两个零点，且x <x 2，由题意知x 1<m <x 2，因为f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)，且x 1<m <x 2.∴af (m )＝a 2(m －x 1)(m －x 2)<0，即af (m )<0.综上所述，二次函数f (x )的两个零点在点(m,0)的两侧的充要条件是af (m )<0.。

(易错题)高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》检测题(含答案解析)

一、选择题1．已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，4AB =，3AD =，'5AA =，90BAD ∠=，''60BAA DAA ∠=∠=．则'AC 的长为（）A ．85B ．97C ．12D ．2302．正方体''''ABCD A B C D -棱长为6，点P 在棱AB 上，满足PA PB =，过点P 的直线l 与直线''A D 、'CC 分别交于E 、F 两点，则EF =（） A ．313B ．95C ．18D ．213．如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论:①AN GC ⊥，②CF 与EN 所成的角为60︒,③BD //MN ，④二面角E BC N --的大小为45︒,其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．44．阅读材料：空间直角坐标系O ﹣xyz 中，过点P （x 0，y 0，z 0）且一个法向量为＝（a ，b ，c ）的平面α的方程为a （x ﹣x 0）+b （y ﹣y 0）+c （z ﹣z 0）＝0；过点P （x 0，y 0，z 0）且一个方向向量为d ＝（u ，v ，w ）（uvw≠0）的直线l 的方程为000x x y y z z u v w---==，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面α的方程为x+2y ﹣2z ﹣4＝0，直线l 是两平面3x ﹣2y ﹣7＝0与2y ﹣z+6＝0的交线，则直线l 与平面α所成角的大小为（） A ．arcsin 1414 B ．arcsin 421C ．arcsin51442D ．arcsin123773775．如图：在直棱柱111ABC A B C -中，1AA AB AC ==，AB AC ⊥，,,P Q M 分别是A 1B 1,BC,CC 1的中点，则直线PQ 与AM 所成的角是（）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π6．如图，在正方体1111ABCD A B C D ﹣中，1A H ⊥平面11AB D ，垂足为H ，给出下面结论：①直线1A H 与该正方体各棱所成角相等； ②直线1A H 与该正方体各面所成角相等；③过直线1A H 的平面截该正方体所得截面为平行四边形； ④垂直于直线1A H 的平面截该正方体，所得截面可能为五边形，其中正确结论的序号为（）A ．①③B ．②④C ．①②④D ．①②③7．如图，在大小为45°的二面角A -EF -D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是( )A ．3B ．2C ．1D ．32-8．如图，在空间四边形OABC 中，点E 为BC 中点，点F 在OA 上，且2OF FA =, 则EF 等于（）A ．121+232OA OB OC - B ．211+322OA OB OC -+ C ．111222OA OB OC +- D ．211322OA OB OC -- 9．侧棱长都都相等的四棱锥P ABCD -中，下列结论正确的有（）个①P ABCD -为正四棱锥；②各侧棱与底面所成角都相等； ③各侧面与底面夹角都相等；④四边形ABCD 可能为直角梯形（） A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，在平行六面体1111ABCD A BC D -中，M 为11AC 与11B D 的交点．若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（）A ．11+22+a b c B ．1122a b c -+ C ．1122-++a b c D ．1122+-a b c 11．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，DC ＝2，DA ＝DD 1＝1，点M 、N 分别为A 1D 和CD 1上的动点，若MN ∥平面AA 1C 1C ，则MN 的最小值为（）A 5B ．23C 5D 512．如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 为正方形，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，3AB =，14AA =，P 是侧面11BCC B 内的动点，且1AP BD ⊥，记AP 与平面11BCC B 所成的角为θ，则tan θ的最大值为（）A ．43B ．53C ．2D ．259二、填空题13．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，,M N 分别为1,CC BC 的中点，点P 在直线11A B 上且满足111().A P A B R λλ=∈若平面PMN 与平面ABC 所成的二面角的平面角的大小为45，则实数λ的值为______．14．如图，在矩形ABCD 中，4,2AB AD ==，E 为AB 的中点．将ADE 沿DE 翻折，得到四棱锥1A DEBC -．设1AC 的中点为M ，在翻折过程中，有下列三个命题：①总有BM ∥平面1A DE ； ②线段BM 的长为定值；③存在某个位置，使DE 与1AC 所成的角为90°．其中正确的命题是_______．（写出所有正确命题的序号）15．在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为6的正三角形，SA ＝SB ＝SC ＝15，平面DEFH 分别与AB ，BC ，SC ，SA 交于点D ，E ，F ，H.且D ，E 分别是AB ，BC 的中点，如果直线SB ∥平面DEFH ，那么四边形DEFH 的面积为________．16．正四棱锥S ABCD -的八条棱长都相等，SB 的中点是E ，则异面直线AE ，SD 所成角的余弦为__________．17．已知空间向量(1,0,0)a =，13(,,0)22b =，若空间向量c 满足2c a ⋅=，52c b ⋅=，且对任意,x y R ∈，()()00001(,)c xa yb c x a y b x y R -+≥-+=∈，则c =__________. 18．如图所示，三棱锥O ABC -中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在棱OA 上，且2OM MA =，N 为BC 中点，则MN =__________．（用a ，b ，c 表示）19．若向量()()()1,1,,1,2,1,1,1,1a x b c ===，满足条件()()·22c a b -=-，则x = __________．20．已知平行六面体中，则____．三、解答题21．如图，平面ABCDE ⊥平面CEFG ，四边形CEFG 为正方形，点B 在正方形ACDE 的外部，且5,4AB BC AC ===．（1）证明：AD CF ⊥．（2）求平面BFG 与平面ABCDE 所成锐二面角的余弦值．22．如图所示，在多面体ABCDE 中，//DE AB ，AC BC ⊥，平面DAC ⊥平面ABC ，24BC AC ==，2AB DE =，DA DC =，点F 为BC 的中点．（1）证明：EF ⊥平面ABC ；（2）若直线BE 与平面ABC 所成的角为60︒，求平面DCE 与平面ADC 所成的锐二面角的余弦值．23．在多面体ABCDE 中，平面ACDE ⊥平面ABC ，四边形ACDE 为直角梯形，//CD AE ，AC AE ⊥，AB BC ⊥，1CD =，2AE AC ==，F 为DE 的中点，且点E 满足4EB EG =.（1）证明：//GF 平面ABC .（2）当多面体ABCDE 的体积最大时，求二面角A BE D --的余弦值.24．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，,M N 分别为11,BC B C 的中点，P 为AM 上一点，过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：平面111A AMN EB C F ⊥；（2）设O 为111A B C △的中心，若//AO 平面11EB C F ，且AO AB =，求直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值．25．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，1AB BC CA AA ===，D 为AB 的中点．（1）求证：1//BC 平面1DAC ；（2）求平面1DAC 与平面11AAC C 所成的锐二面角．．．．的余弦值． 26．如图，在多面体EF ABCD -中，AD //BC ，CD //EF ，1AD DC DE ===，2BC EF ==，2CDE CDA π∠=∠=.（1）若M 为EF 中点，求证：CD ⊥BM ；（2）若二面角A DC E --的平面角为3π，求直线AE 与平面EFB 所成角的大小.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】用空间向量基本定理表示出AC '，然后平方后转化为数量积的运算求得．【详解】记a AB =，b AD =，c AA '=，则43cos900a b ⋅=⨯⨯︒=，同理152b c ⋅=，10a c ⋅=，由空间向量加法法则得AC a b c '=++，∴22222()222AC a b c a b c a b b c a c'=++=+++⋅+⋅+⋅222154352210852=+++⨯+⨯=， ∴85AC '=85AC '=．故选：A ．【点睛】方法点睛：本题考查求空间线段长，解题方法是空间向量法，即选取基底，用基底表示出向量，然后利用向量模的平方等于向量的平方转化为向量的数量积进行计算．2．C解析：C 【分析】画图分析可得过P 的直线l 与直线''A D 、'CC 的交点E 、F 在线段''D A 、'C C 的延长线上.再建立空间直角坐标系求解即可. 【详解】画图分析可得过P 的直线l 与直线''A D 、'CC 的交点E 、F 在线段''D A 、'C C 的延长线上.以A 为坐标原点建立如图空间直角坐标系,则设(,0,6)E e ,(6,6,)F f ,(0,3,0)P又,,E P F 共线,则EP PF λ=,故(,3,6)(6,3,)e f λ--=,故6133666e e f f λλλλ-==⎧⎧⎪⎪=⇒=-⎨⎨⎪⎪-==-⎩⎩.故(6,0,6)E -,(6,6,6)F -,则222(12)6(12)18EF =++=.故选：C 【点睛】本题主要考查了利用空间直角坐标系求解共线问题的方法等,属于中等题型.3．C解析：C 【分析】根据题意画出正方体直观图，建立空间直角坐标系，计算0AN GC ⋅=，由此判断①正确.根据线线角的知识，判断②正确.根据线线的位置关系，判断③错误.根据二面角的知识，判断④正确. 【详解】画出正方体的直观图，如下图所示，设正方体边长为2，以,,DA DC DG 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.则()()()()2,0,0,0,2,2,0,0,2,0,2,0A N G C ，所以()()2,2,20,2,20AN GC ⋅=-⋅-=，所以AN GC ⊥，故①正确.由于//EN AC ，所以CF 与EN 所成的角为FCA ∠，而在FAC ∆中，AF FC CA ==，也即FAC ∆是等边三角形，故60FCA ∠=，所以②正确.由于//EN AC ，而AC 与BD 相交，故,BD MN 不平行，③错误.由于,EB BC FB BC ⊥⊥，所以EBF ∠即是二面角E BC N --的平面角.EBF ∆是等腰直角三角形，所以45EBF ∠=，故④正确. 综上所述，正确的命题个数为3个. 故选：C.【点睛】本小题主要考查空间线线、面面的位置关系有关命题的真假性判断，属于中档题.4．B解析：B 【分析】先根据两个平面的方程，求出平面交线的方向向量，结合已知平面的方程确定平面的法向量，然后求解. 【详解】平面α的法向量为n ＝（1，2，﹣2），联立方程组3270260x y y z --=⎧⎨-+=⎩，令x ＝1，得y ＝﹣2，z ＝2，令x ＝3，得y ＝1，z ＝8，故点P （1，﹣2，2）和点Q （3，1，8）为直线l 的两个点，∴PQ ＝（2，3，6）为直线l 的方向向量， ∵44cos ,3721||||PQ n PQ n PQ n ⋅-<>===-⨯ ，∴直线l 与平面α所成角的正弦值为421，【点睛】本题主要考查直线和平面所成角的正弦，属于信息提供题目，理解题中所给的信息是求解关键.5．D解析：D【分析】建立空间直角坐标系，结合直线的方向向量确定异面直线所成的角即可.【详解】以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设2AB =，则()()()()0,0,0,1,0,2,1,1,0,0,2,1A P Q M ，据此可得：()()0,1,2,0,2,1PQ AM =-=，0PQ AM ⋅=，故PQ AM ⊥，即直线PQ 与AM 所成的角是2π. 本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查空间向量的应用，异面直线所成的角的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．D解析：D【解析】【分析】由A 1C ⊥平面AB 1D 1，直线A 1H 与直线A 1C 重合，结合线线角和线面角的定义，可判断①②；由四边形A 1ACC 1为矩形，可判断③；由垂直于直线A 1H 的平面与平面AB 1D 1平行，可判断④．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1H⊥平面AB1D1，垂足为H，连接A1C，可得A1C⊥AB1，A1C⊥AD1，即有A1C⊥平面AB1D1，直线A1H与直线A1C重合，直线A1H与该正方体各棱所成角相等，均为2①正确；直线A1H与该正方体各面所成角相等，均为arctan22，故②正确；过直线A1H的平面截该正方体所得截面为A1ACC1为平行四边形，故③正确；垂直于直线A1H的平面与平面AB1D1平行，截该正方体，所得截面为三角形或六边形，不可能为五边形．故④错误．故选：D．【点睛】本题考查线线角和线面角的求法，以及正方体的截面的形状，考查数形结合思想和空间想象能力，属于中档题．7．D解析：D【分析】由DB ED FE BF=++，利用数量积运算性质展开即可得到答案【详解】BD ED FE BF=++,22222221112 BD BF FE ED BF FE FE ED BF ED∴=+++++=++故32BD=-故选D【点睛】本题是要求空间两点之间的距离，运用空间向量将其表示，然后计算得到结果，较为基础．8．D解析：D【解析】分析：利用向量多边形与三角形法则即可求出，首先分析题中各选项都是由从O出发的三个向量表示的，所以将待求向量用从O出发的向量来表示，之后借助于向量的差向量的特征以及中线向量的特征，求得结果.详解：由题意可得21()32EF OF OE OA OB OC =-=-+ 211322OA OB OC =--，故选D. 点睛：该题考查的是有关空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题. 9．A解析：A【解析】分析：紧扣正四棱锥的概念，即可判定命题的真假.详解：由题意，当四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为一个矩形时，设AC BD O ⋂=且PO ⊥底面ABCD ，此时可得PA PB PC PD ===，而四棱锥此时不是正四棱锥，所以①不正确的，同时各个侧面与底面所成的角也不相等，所以③不正确的；因为四棱锥P ABCD -满足PA PB PC PD ===，所以顶点P 在底面ABCD 内的射影O 为底面ABCD 的外心，而直角梯形ABCD 没有外接圆，所以底面不可能是直角梯形，所以④不正确；设四棱锥P ABCD -满足PA PB PC PD ===，所以顶点P 在底面ABCD 内的射影O 为底面ABCD 的外心，所以各条测量与底面ABCD 的正弦值都相等，所以②正确的，综上，故选A.点睛：本题主要考查了正四棱锥的概念，我们把底面是正方形，且顶点在底面上的射影是底面正方形的中心的四棱锥，叫做正四棱锥，其中紧扣正棱锥的概念是解答的关键. 10．C解析：C【分析】根据空间向量的运算法则，化简得到11122BM AB AD AA =-++，即可求解. 【详解】由题意，根据空间向量的运算法则，可得1111112BM BB B M AA B D =+=+ 1111111111111()()222222AA A D A B AA AD AB AB AD AA a b c =+-=+-=-++=-++. 故选：C.【点睛】在空间向量的线性运算时，要尽可能转化为平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，以及利用三角形的中位线、相似三角形等平面几何的性质，把未知向量转化为已知向量有直接关系的向量来解决.11．A解析：A【分析】先建立空间坐标系，设出(),0,M m m ，()0,22,N n n -+，转化条件得1m n +=，利用函数即可得解.【详解】如图建系，由题意可设(),0,M m m ，()0,22,N n n -+，∴(),22,MN m n n m =---，又 ()10,0,1AA =，()1,2,0AC =-，∴平面11AAC C 的法向量()2,1,0n =，又 //MN 面11AACC ，∴=0MN n ⋅即1m n +=， ∴()()2222222941MN m n n m m m =+-+-=-+，∴MN 最小值为5 故选：A.【点睛】本题考查了空间向量的应用，考查了转化化归和函数思想，属于中档题. 12．B解析：B【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线面角的正切值的最大值.【详解】以1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设(,3,)P x z ，则1(3,3,),(3,3,4)AP x z BD =-=--，11,0AP BD AP BD ⊥∴⋅=，33(3)3340,4x z z x ∴---⨯+=∴=, 22225||(3)6916BP x z x x ∴=-+=-+225488191625255x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， ||5tan ||3AB BP θ∴=， tan θ∴的最大值为53. 故选：B .【点睛】本题主要考查的是线面所成角，解题的关键是找到线面所成角的平面角，是中档题.二、填空题13．【分析】从二面角的大小入手利用空间向量求解【详解】以N 为坐标原点NCNA 所在直线分别为x 轴y 轴建立空间直角坐标系如图则由可得设为平面的一个法向量则即令可得易知平面ABC 的一个法向量为因为平面与平面所解析：2-【分析】从二面角的大小入手，利用空间向量求解.【详解】以N 为坐标原点，NC,NA 所在直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系，如图则()()()()()10,0,0,1,0,1,1,0,0,3,0,3,2N M B A A - ,由111A P A B λ=可得()11111133,2NP NA A P NA A B NA AB λλλλ=+=+=+=-, ()1,0,1NM =,设(),,n x y z =为平面PMN 的一个法向量，则00n NM n NP ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即)03120x z x y z λλ+=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，令1z =-，可得()()321,,131n λλ⎛⎫+=- ⎪ ⎪-⎝⎭，易知平面ABC 的一个法向量为()0,0,1m =. 因为平面PMN 与平面ABC 所成的二面角的平面角的大小为45，所以1cos45n m n m n ⋅︒==，即2n =，所以21211231λλ+⎛⎫++= ⎪-⎝⎭，解得2λ=-. 【点睛】本题主要考查空间向量的应用，利用二面角求解参数.二面角的求解和使用的关键是求解平面的法向量，把二面角转化为向量的夹角问题.14．①②【分析】取D 的中点N 连接MNEN 根据四边形MNEB 为平行四边形判断①②假设DE ⊥C 得出矛盾结论判断③【详解】取D 的中点N 连接MNEN 则MN 为△CD 的中位线∴MN ∥CD 且MN=CD 又E 为矩形ABC解析：①②【分析】取1A D 的中点N ，连接MN ，EN ，根据四边形MNEB 为平行四边形判断①，②，假设DE ⊥1A C 得出矛盾结论判断③．【详解】取1A D 的中点N ，连接MN ，EN ，则MN 为△1A CD 的中位线，∴MN ∥12CD ，且MN=12CD 又E 为矩形ABCD 的边AB 的中点，∴BE ∥12CD ，且BE=12CD ∴MN ∥BE ，且MN=BE 即四边形MNEB 为平行四边形，∴BM ∥EN ，又EN ⊂平面A 1DE ，BM ⊄平面A 1DE ，∴BM ∥平面1A DE ，故①正确；由四边形MNEB 为平行四边形可得BM ＝NE ，而在翻折过程中，NE 的长度保持不变，故BM 的长为定值，故②正确；取DE 的中点O ，连接1A O ，CO ，由1A D ＝1A E 可知1A O ⊥DE ，若DE ⊥1A C ，则DE ⊥平面1A OC ，∴DE ⊥OC ，又∠CDO ＝90°﹣∠ADE ＝45°，∴△OCD 为等腰直角三角形，故而CD 2=OD ，而OD 12=DE 2=，CD ＝4，与CD 2=OD 矛盾，故DE 与1A C 所成的角不可能为90°．故③错误．故答案为①②．【点睛】本题考查命题真假，线面平行的判定，线面垂直的判定与性质，空间想象和推理运算能力，属于中档题．15．【解析】【分析】利用平面可以得到从而为中点同理可得为中点再根据三棱锥为正三棱锥得到故四边形为矩形从而可计算其面积【详解】因为故在底面上的射影为底面三角形的外心又为等边三角形故在底面上的射影为底面三角解析：452【解析】【分析】利用SB 平面DEFH 可以得到DHSB ，从而H 为SA 中点，同理可得F 为SC 中点，再根据三棱锥S ABC -为正三棱锥得到AC SB ⊥，故四边形HDEF 为矩形，从而可计算其面积．【详解】因为SA SB SC ==，故S 在底面上的射影为底面三角形的外心，又ABC ∆为等边三角形，故S 在底面上的射影为底面三角形的中心，所以三棱锥S ABC -为正三棱锥，所以SB AC ⊥．因SB 平面DEFH ，SB ⊂平面ABS ，平面ABS平面DEFH DH =，故SB DH ，因AD DB =，故AH HS =，1,2DH BS DH BS =，同理1,2EF BS EF BS =，故,DH EF DH EF =，所以四边形DEFH 为平行四边形，又由,D E 为中点可得DEAC ，故DH DE ⊥，故四边形DEFH 为矩形．又153,2DE DH ==，故矩形DEFH 的面积为452．【点睛】（1）正三棱锥中，对棱是相互垂直的，且顶点在底面的投影是底面正三角形的中心．（2）通过线面平行可以得到线线平行，注意利用线面平行这个条件时，要合理构建过已知直线的平面（该平面与已知平面有交线）．16．【解析】以正方形的中心为原点平行于的直线为轴平行于的直线为轴为轴建立如图所示空间直角坐标系设四棱锥棱长为则所以∴故异面直线所成角的余弦值为解析：33【解析】以正方形ABCD 的中心O 为原点，平行于AB 的直线为x 轴，平行于AD 的直线为y 轴， SO 为z 轴建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，设四棱锥S ABCD -棱长为2，则(1,1,0)A --，(1,1,0)B -，2)S ，(1,1,0)D -，112,,222E ⎛- ⎝⎭，所以312,22AE ⎛= ⎝⎭，(1,1,2)SD =--，∴311cos,AE SD-+-==故异面直线AE，SD所成角的余弦值为3．17．【分析】设空间向量由已知条件可得的值由对任意得：进而得到答案【详解】解：空间向量设空间向量空间向量又由对任意则故故答案为：【点睛】本题考查的知识点是空间向量的数量积运算空间向量的模属于中档题解析：【分析】设空间向量(),,c m n z=，由已知条件可得m、n的值，由对任意x，y R∈，00|()||()|1c xa yb c x a y b-+-+=得：||1z=，进而得到答案．【详解】解：空间向量(1,0,0)a=，13(,22b=，设空间向量(),,c m n z=，2c a⋅=，52c b⋅=，2m∴=，1522m =2m∴=，3n=，∴空间向量()2,3,c z=，又由对任意x，y R∈，()()001c xa yb c x a y b-+≥-+=，则||1z=，故(22c=+=故答案为：【点睛】本题考查的知识点是空间向量的数量积运算，空间向量的模，属于中档题．18．【解析】解析：211322a b c-++【解析】MN MA AB BN=++11()32OA OB OA BC =+-+ 21()32OA OB OC OB =-++- 211322OA OB OC =-++ 211322a b c =-++． 19．2【解析】因为向量所以则解之得应填答案解析：2【解析】因为向量(1,1,),(1,2,1),(1,1,1)a x b c ===，所以(0,0,1),2(2,4,2)c a x b -=-=，则()(2)222c a b x -⋅=-=-，解之得2x =，应填答案2。

人教版高中数学选修2-1第一章检测题

第1页共4页第2页共4页绝密★启用前高中数学选修2-1第一章检测题试卷副标题考试范围：XXX ；考试时间：100分钟；命题人：XXX题号一二三总分得分1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2. 请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一、单项选择（注释）1、条件x x p =|:|，条件x x q -≥2:，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件充要条件 D ．既不充分又不必要条件2、命题“21,11x x <<<若则-”的逆否命题是（）A.21,1,1x x x ≥≥≤-若则或 B.若11<<-x ，则12<x C.若1x >或1x <-，则12>x D.若1x ≥或1x ≤-，则12≥x 3、下列命题中是全称命题的是（）A ．圆有内接四边形B ．23>C ．23<D ．若三角形的三边长分别为3、4、5，则这个三角形为直角三角形 4、在ABC ∆中，“A B =”是“sin sin A B =”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5、命题“对任意的2,310x R x x ∈-+≤”的否定是（） A.不存在2000,310x R x x ∈-+≤ B.存在2000,310x R x x ∈-+≤C.存在2000,310x R x x ∈-+> D.对任意的2,310x R x x ∈-+> 6、已知命题p ：若(x －1)(x －2)≠0，则x≠1且x≠2；命题q ：存在实数x 0，使2x 0<0.下列选项中为真命题的是( )A ．⌝pB ．qC ．⌝p ∨qD ．⌝q ∧p 7、）下列说法错误的是（）A ．如果命题“⌝p ”与命题“p ∨q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题B ．命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是：“若a ≠0，则ab ≠0”C ．若命题p ：∃x 0∈R ，x 02＋2x 0－3<0，则？p ：∀x ∈R ，x 2＋2x －3≥0D ．“sin θ＝12”是“θ＝30°”的充分不必要条件 8、“1k =-”是“两直线320kx y +-=和(2)70k x y -+-=互相垂直”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件9、在∆ABC 中，a B sin <bAsin 是A ＞B 成立的（） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 10、有下列四个命题：①“若xy=1，则x 、y 互为倒数”的逆命题； ②“面积相等的三角形全等”的否命题； ③“若022=+-m x x 有实根则1≤m ”； ④“若B A B B A ⊆=则, ”的逆否命题．其中真命题个数为（）．3 D ．4评卷人得分二、填空题（注释）11、已知x y R ∈、，那么命题“若x y 、中至少有一个不为0，则220x y +≠.”的逆否命题是 .12、已知命题p ：220R x x ax a ∃∈++≤，，则命题p 的否定是_________；若命题p 为假命题，则实数a 的取值范围是___________．13、已知命题p ：？x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：？x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0，若“p 且q ” 为真命题，则实数a 的取值范围是______________．第3页共4页第4页共4页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………14、给出下列命题：(1)命题：“若b 2－4ac<0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)无实根”的否命题； (2)命题“△ABC 中，AB ＝BC ＝CA ，那么△ABC 为等边三角形”的逆命题； (3)命题“若a>b>0，则>>0”的逆否命题；(4)“若m>1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋(m －3)>0的解集为R ”的逆命题．其中真命题的个数为____________．评卷人得分三、解答题（注释）15、写出下列命题的否定，并判断真假. (1)q:∀x ∈R ，x 不是5x-12=0的根； (2)r:有些质数是奇数； (3)s:∃x ∈R ，|x|＞0.16、设命题p ：“若0a ≥，则20x x a +-=有实根”．（1）试写出命题p 的逆否命题；（2）判断命题p 的逆否命题的真假，并写出判断过程． 17、已知全集U=R ，非空集合{23x A x x -=-＜}0，{()()22B x x a x a =---＜}0. （1）当12a =时，求()U C B A ⋂；（2）命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围.18、已知命题p:(x+1)(x-5)≤0，命题q:m x m +≤≤-11（1）若p 是q 的必要条件，求实数m 的取值范围；（2）若m=5，“p q ∨ ”为真命题，“p q ∧ ”为假命题，求实数x 的取值范围。

人教版高中数学选修2-1 模块综合检测卷试题+答案解析(可下载)

C. 1 3
D. 1 2
2 y2 7.双曲线 x 1 的焦点到渐近线的距离为 4 12 B.2 A.2 3 C. 3 2
D.1
2 y 8.直线 y kx k 1 与椭圆 x 1 的位置关系是 9 4 A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 2 2 y 9.已知椭圆 x 1 ,则以点 M 1, 2 为中点的弦所在直线方程为 12 16 A.3x 8 y 19 0 B.3x 8 y 13 0 C.2 x 3 y 8 0 2 2 2 2 2
B. 如果 x y ，则 x 2 y 2 D. 如果 x y ，则 x 2 y 2 C . x 0,1 D. x 1, 3
2. 不等式 x x 2 0 成立的一个必要不充分条件是
B. x 1,
3.已知 A 、 B 、 C 三点不共线，则下列条件中能使点 M 与点 A 、 B 、 C 一定共面的是 A. OM 3OA 2OB OC B. OM OA OB OC 0 C. MA MB MC 0 D. OM 1 OB OA 1 OC 4 2 2 2 y 4.若方程 x 2 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 a 的取值范围为 a6 a A. a 3 B. a 2 C. a 3 或 a 2 D. a 3 或 6 a 2 2 2 y y 1 上的点 M 到焦点 F1 的距离为 2, N 为 MF1 的中点, 5. 如图，椭圆 x 25 9 M 则 ON ( O 为坐标原点)的值为 N
D
C
A
E
B
21.（12 分）如图所示，抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点 P 1, 2 , A x1 , y1 , B x 2 , y 2 均在抛物线上. （1）求抛物线的方程及其准线方程；（2）当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时,证明:直线 AB 的斜率为定值.

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高二（理科）期末考试数学试题金台高级中学晁群彦一．选择题（每小题5分，满分６0分）１.设n m l ,,均为直线,其中n m ,在平面”“”“,n l m l l a ⊥⊥⊥且是则内α的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件２.对于两个命题：①,1sin 1x R x ∀∈-≤≤， ②22,sin cos 1x R x x ∃∈+>，下列判断正确的是（）。

A. ① 假 ② 真B. ① 真 ② 假C. ① ② 都假D. ① ② 都真３.与椭圆1422=+y x 共焦点且过点(2,1)Q 的双曲线方程是（） A. 1222=-y x B. 1422=-y x C. 1222=-y x D. 13322=-y x ４.已知12,F F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的弦交椭圆与A ,B 两点，则2ABF ∆是正三角形，则椭圆的离心率是（）A2 B 12 C3 D 13５.过抛物线28y x =的焦点作倾斜角为045直线l ，直线l 与抛物线相交与A ，B 两点，则弦AB 的长是（）A 8B 16C 32D 64６.在同一坐标系中，方程)0(0122222>>=+=+b a by ax x b x a 与的曲线大致是（）A ．B ．C ．D ．７.已知椭圆12222=+b y a x (b a >>0) 的两个焦点F 1，F 2，点P 在椭圆上，则12PF F ∆的面积最大值一定是（）A 2a B ab C 22a a b - D 22b a b -８.已知向量b a b a k b a -+-==2),2,0,1(),0,1,1(与且互相垂直,则实数k 的值是( )A ．1B ．51C ． 53D ．57９.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱11A B 的中点，则1A B与1D E所成角的余弦值为（）A ．510B ．1010C ．55D ．105１０.若椭圆x y n m ny mx -=>>=+1)0,0(122与直线交于A ，B 两点,过原点与线段AB 中点的连线的斜率为22，则m n的值是( )2.23.22.292. D C B A１１.过抛物线y x 42=的焦点F 作直线交抛物线于()()222111,,,y x P y x P 两点，若621=+y y ，则21P P 的值为（）A ．5B ．6C ．8D ．10１２.以12422y x -=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（） A.1121622=+y x B. 1161222=+y x C. 141622=+y x D. 二．填空题（每小题４分）１３．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外一点O ，给出下列表达式：y x 31++=其中x ，y 是实数，若点M 与A 、B 、C 四点共面，则x+y=___１４．斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x 的焦点，且与抛物线相交于A,B 两点，则AB等于___１５．若命题P ：“∀x ＞0，0222<--x ax ”是真命题，则实数a 的取值范围是___．１６．已知90AOB ∠=︒，C 为空间中一点，且60AOC BOC ∠=∠=︒，则直线OC 与平面AOB 所成角的正弦值为___．AE y x D CB三．解答题（解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤。

）１７．（本小题满分1４）设命题P ：2",2"x R x x a ∀∈->，命题Q ：2",220"x R x ax a ∃∈++-=；如果“P 或Q ”为真，“P 且Q ”为假，求a 的取值范围。

１８．（1５分）如图①在直角梯形ABCP 中，BC ∥AP ，AB ⊥BC ，CD ⊥AP ，AD=DC=PD=2，E ，F ，G 分别是线段PC 、PD ，BC 的中点，现将ΔPDC 折起，使平面PDC ⊥平面ABCD （如图②）（Ⅰ）求证AP ∥平面EFG ；（Ⅱ）求二面角G-EF-D 的大小；（Ⅲ）在线段PB 上确定一点Q ，使PC ⊥平面ADQ ，试给出证明．１９．(1５分) 如图，金砂公园有一块边长为2的等边△ABC 的边角地，现修成草坪，图中DE 把草坪分成面积相等的两部分，D 在AB 上，E 在AC 上.（Ⅰ）设AD ＝x ，DE ＝y ，求y 关于x 的函数关系式；（Ⅱ）如果DE 是灌溉水管，我们希望它最短，则DE 的位置应在哪里？请予以证明.２０（本小题满分1５分）设21,F F 分别为椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右两个焦点.（Ⅰ）若椭圆C 上的点21,)23,1(F F A 到两点的距离之和等于4，求椭圆C 的方程和焦点坐标；（Ⅱ）设点P 是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点，的最大值求||),21,0(PQ Q 。

２１（本小题满分1５分）如图，设抛物线C ：y x 42=的焦点为F ，),(00y x P 为抛物线上的任一点（其中0x ≠0），过P 点的切线交y 轴于Q 点．（Ⅰ）证明：FQ FP =；（Ⅱ）Q 点关于原点O 的对称点为M ，过M 点作平行于PQ 的直线交抛物线C 于A 、B 两点，若)1(>=λλ，求λ的值．高二（理科）期末考试数学试题参考答案及评分标准一．选择题：ABCCB D CBDB DD二、填空题：１３. １３.8 １４.)4,(-∞ １５详解：由对称性点C 在平面AOB 内的射影D 必在AOB ∠的平分线上作DE OA ⊥于E ，连结CE 则由三垂线定理CE OE ⊥，设1DE =1,2OE OD ⇒==，又60,2COE CE OE OE ∠=⊥⇒=,所以222CD OC OD =-=，因此直线OC 与平面AOB 所成角的正弦值2sin COD ∠=.y ex =三．解答题：１７解：命题P ：2",2"x R x x a ∀∈->即222(1)1x x x a -=-->恒成立1a ⇔<- …………3分命题Q ：2",220"x R x ax a ∃∈++-= 即方程2220x ax a ++-=有实数根∴2(2)4(2)0a a ∆=--≥ 2a ⇔≤-或1a ≥ .…………6分 ∵“P 或Q ”为真，“P 且Q ”为假，∴P 与Q 一真一假 …………8分当P 真Q 假时，21a -<<-；当P 假Q 真时，1a ≥ …………10 ∴a 的取值范围是(2,1)[1,)--+∞ ………1４１８(14分)解法一：（Ⅰ）在图②中 ∵平面PDC ⊥平面ABCD ，AP ⊥CD ∴ PD ⊥CD ，PD ⊥DA ∴PD ⊥平面ABCD如图. 以D 为坐标原点，直线DA 、DC 、DP 分别为yx 、32与z 轴建立空间直角坐标系： …………………1分则()0,0,0D ()0,0,2A ()0,2,2B ()0,2,0C ()2,0,0P ()1,1,0E ()1,0,0F ()0,2,1G()2,0,2-=∴ ()0,1,0-= ()1,2,1-= ………………3分设平面GEF 的法向量),,(z y x =，由法向量的定义得： ⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=-+=⇒⎩⎨⎧=-•=-•⇒⎪⎩⎪⎨⎧=•=•z x y z y x y 00200)1,2,1()z y,x,(0)0,1,0()z y,x,(00不妨设 z=1，则………………………………4分 0210212=⨯+⨯+⨯-=⋅n AP ………………………………5分⊥∴，点P ∉ 平面EFG∴AP ∥平面EFG ………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面GEF 的法向量，因平面EFD 与坐标平面PDC 重合则它的一个法向量为=（1，0，0分设二面角D EF G --为θ.则 …………9分由图形观察二面角D EF G --为锐角，故二面角G-EF-D 的大小为45°。

………10分（Ⅲ）假设在线段PB 上存在一点Q ，使PC ⊥平面ADQ ，∵P 、Q 、D 三点共线，则设t t +-=)1(，又()0,2,2=，()2,0,0= ∴)22,2,2(t t t DQ -=，又()2,0,0= …………11分若PC ⊥平面ADQ ，又)2,2,0(-=PC则210)22(2220)22,2,2()0,2,-2(0)0,0,2()0,2,-2(00=⇒=--⨯⇒⎩⎨⎧=-•=•⇒⎪⎩⎪⎨⎧=•=•t t t t t t DQ PC DA PC …………1５分∴）DB DP DQ +=(21， ………………………………13分故在线段PB 上存在一点Q ，使PC ⊥平面ADQ ，且点Q 为线段PB 的中点。

……1５分解法二：（1）∵EF ∥CD ∥AB ，EG ∥PB ，根据面面平行的判定定理∴平面EFG ∥平面PAB ，又PA ⊂面PAB ，∴AP ∥平面EFG ……………………4分（2）∵平面PDC ⊥平面ABCD ，AD ⊥DC∴AD ⊥平面PCD ，而BC ∥AD ，∴BC ⊥面EFD过C 作CR ⊥EF 交EF 延长线于R 点连GR ，根据三垂线定理知 ∠GRC 即为二面角的平面角，∵GC=CR ，∴∠GRC=45°，故二面角G-EF-D 的大小为45°。

…………………8分（3）Q 点为PB 的中点，取PC 中点M ，则QM ∥BC ，∴QM ⊥PC2221cos =⋅==θ)1,0,1(=n )1,0,1(=在等腰Rt △PDC 中，DM ⊥PC ，∴PC ⊥面ADMQ ……………………1５分１９(14分)解: （1）在△ADE 中，y 2＝x 2＋AE2－2x ·AE·cos60°⇒y 2＝x 2＋AE2－x ·AE,①又S △ADE ＝ S △ABC ＝ · 2＝ x ·AE·sin60°⇒x ·AE ＝2.② ……4分②代入①得y 2＝x 2＋－2（y ＞0）, ∴y ＝………6分又x ≤2，若1x <，，矛盾，所以x ≥1∴y ＝ x ≤2）. ………………………7分（2）如果DE 是水管y =………………10分当且仅当x 2＝24x ，即x ＝2时“＝”成立， …………………………1５分故DE ∥ BC ，且DE ＝2. ………………………………1５分２０解：（Ⅰ）椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到F 1、F 2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2. …….2分又点.1,31)23(21,)23,1(22222===+c b bA 于是得因此在椭圆上 …….4分所以椭圆C 的方程为).0,1(),0,1(,1342122F F y x -=+焦点 …….6分（Ⅱ）设134),,(22=+y x y x P 则22344y x -=∴ …….8分 222222141117||()423434PQ x y y y y y y =+-=-+-+=--+ …….10分5)23(312++-=y …….12分又33≤≤-y 5||,23max =-=∴PQ y 时当 …….1５分２１解：（Ⅰ）证明：由抛物线定义知1||0+=y PF ，2|00x y k x x PQ ='==， 22AE x =>22(x 1212可得PQ 所在直线方程为000()2x y y x x -=-， ∵2004x y =∴得Q 点坐标为(0, 0y -)∴1||0+=y QF ∴ |PF |=|QF |（Ⅱ）设A (x 1, y 1)，B (x 2, y 2)，又M 点坐标为(0, y 0)∴AB 方程为002y x x y +=…….8分。