南京工业大学线性代数第4章

A
2 3 4
5 1 9
2 r22r1 0
4 4
r3 r4
3r1 4 r1
0 0
1 7 1
8 r37r2 0
5 8
r4 r2
0 0
1 0 0
8
61 0
可得r(A)=3,而n=3,故齐次方程组只有零解
x1 0, x2 0, x3 0
例2 求下列齐次线性方程组的基础解系及通解
1
k
1
k
1 1 k k 2
当矩阵A及其增广矩阵的秩都等于3,即当|A|≠0
时,方程组有唯一解.
k 11
由于 A 1 k 1 (k 1) 2 (k 2) ,
11k
所以当k ≠1且k ≠-2时,方程组有唯一解.
1 11 D1 k k 1 (k 1)2(k 1)
k2 1 k
k11 D2 1 k 1 (k 1)2,
1
(A
|
b)
1 2 5
1 1 2 5
1 1 0 3
0 1 1 4
0 2 2 8
| | | |
0 1
r2 r1 1 0
14
r3 r4
2r1 5r1
0 0
1 0 0 0
1 2 2 8
0 1 1 4
0 2 2 8
| | | |
0 1 14
r3 r2
1 0
r4 4r2 1
2 r2
0 0
齐次线性方程组的基础解系
为了研究齐次线性方程组的解的结构，先讨 论它的解的性质。
定理2 若X1X2是齐次线性方程组AX=0的两个解
向量，则k1X1+k2X2(k1k2为任意常数)也是它的
解向量。
证： X1X2是齐次方程组AX=0的两个解向量，则
A(k1 X1 k2 X 2 ) k1 AX1 k2 AX 2 k10 k2 0 0 故k1X1+k2X2是AX=0的解向量。
3 0
1 7
r3 3r1 r4 r1
0 0
2 2 4
7 7 14
4
4 8
r3 r2 1
0
r4 2r2
1 2
r2
0
0
1 1 0 0
5 7
2 0
0
1
2
0
0
r1 r2
1
0 0 0
0
1 0 0
3
2 7
2 0
0
1
2 0 0
可见,r(A)=2<4，所以方程组有无穷多个解，
x1 x2 5 x3 x4 0
x1 x2 2 x3 3 3 x1 x2 8 x3
x4 x4
0 0
x1 3 x2 9 x3 7 x4 0
解: 对系数矩阵A进行初等行变换，把它化为 阶梯形矩阵
1 1 5 1 r2 r1 1 1 5 1
A
1 13
1 1 3
2 8 9
knr Xnr是 AX = 0的通解.
例1 判别非齐次线性方程组
x1 x2 x3
0
x1 x2 2x1 2
x2
x3
x4 2x5 1 x4 2x5 1
5x1 5x2 3x3 4x4 8x5 4
是否有解，若有解，求其通解.
解: 对增广矩阵（A , b)进行初等行变换化为
第四章 线性方程组
第一节 齐次线性方程组 第二节 非齐次线性方程组
基本概念：m个方程、n个未知数的一般线 性方程组为
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1
a22 x2
a2n xn b2
(1)
am1x1 am2 x2 amn xn bm
a11 a12 ... a1n
{ X | X k1 X1 ks X s;k1, k2 , , ks为任意实数}
下面证明存在非零解的齐次线性方程组必有 基础解系：
定理3 设A是m×n矩阵。若r(A)=r<n,则齐次线
性方程组AX=0存在基础解系，且基础解系含有 n-r个解向量。
证：由于r(A)=r<n，则A可以通过一系列初等
且基础解系中含有n-r=2个解向量。
原方程组的同解方程组为
x1
3 2
x3
x4
x2
7 2
x3
2 x4
x3、x4为自由未知量，令
x3 x4
1 0
,
0 1
代入同解方程组得到非自由未知量
x1 x2
3 2 7 2
,
1 2
于是得基础解系为
3 2
若有非零解,继续将行阶梯形化为行简化阶 梯形矩阵,则可求出方程组的全部解(通解).
例3 设A、B分别是m×n和n×s矩阵，且AB=0,
证明：r(A)+r(B)≤n
证 将B按列分块为 B (B1, B2,, Bs ) .由
AB ( AB1, AB2 , , ABs ) 0
得 ABj 0, j 1, 2, , s
7 2
,
01
x1
3 2
x3
x4
x
2
7 2
x3
2 x4
x3 x3
x4
x4
1
2
0
1
所以原方程组的通解为
x1 x2 x3 x4
k1
3
2
7
2
01
k2
1
2
0
1
其中 k1, k2 为任意常数。
齐次方程组求解的一般方法:
用矩阵初等行变换将系数矩阵化成行阶梯形 矩阵,根据系数矩阵的秩可判断原方程组是否有 非零解.
齐次方程组（2）的任一解向量X都可表示为
r1,r2,,n 的线性组合，从而说明它们是齐次
线性方程组的一个基础解系, (3)式称为其通解.
例1 求解下列齐次线性方程组
x1 2x2 3x3 0
32xx11
5x2 x2 4
2x3 x3 0
0
4x1 9x2 4x3 0
解:
1 2 3 1 2 3 1 2 3
b1
x1
设A
=
a21
...
a22 ...
... ...
a2n ...
,
b
b2
...
,
X
x2
...
am1
am 2
...
amn
bm
xn
A称为线性方程组（1）的系数矩阵 .
a11 a12
记
(
A
|
b)
a21
a22
am1 am2
a1n | b1
a2n |
b2
|
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱk3
1 0
1
0
1
其中 k1, k2 , k3 可取任意实数.
例2 k 取何值时,线性方程组
kx1x1kxx22
x3 x3
1 k
x1
x2
kx3
k2
(1)有唯一解? (2)无解? (3)无穷多解?
解 (1) k 1 1
A
1
k
1
1 1 k
k 1 1 1
( A, b)
行变换化为阶梯形矩阵A1。不失一般性，可设
1 0
0 1
0 0
c1r 1 c2 r 1
c1n c2n
A1 0
01
crr 1
crn
0
0
0
0
0
0 0 0 0 0
容易知道，AX=0与A1X=0是同解方程组。 矩阵A1所对应的方程组为A1X=0，即
x1
即B的每一列都是AX=0的解向量，
而AX=0的基础解系含n-r(A)个线性无关的 解向量，即AX=0的任何一组解向量中至多含 n-r(A)个线性无关的解向量。因此，
r(B) r(B1, B2 , , Bs ) n r( A)
即
r( A) r(B) n
证毕。
第二节 非齐次线性方程组
以m×n矩阵A为系数矩阵的非齐次线性方 程组AX = b可以表示为一个向量等式
xn
0
0
1
用X表示上式的左端的向量，
用r1,r2,,n 表示右端的(n-r)个n维向量，
并让自由未知量任意取值 xr1 kr1, xr2 kr2 ,, xn kn
则上式可表示为
X kr1 r1 kr 2 r2 knn (3)
由于 r1,r2,,n 线性无关,又由（3）可知
1 0 0 0
1 1 0 0
0 1
2 0
0
0 1 0 0
| | | |
0 1
2
r1 r2
1 0
0
0
0
0
1
0 0 0
0
1 0 0
1 2 1
2 0
0
1 |
1| 0| 0|
1
2
1 2
0
0
r(A,b)=r(A)=2方程组有解，AX = b的同解方程为
取 x2
x4
x1
x3
x2
c1,r1xr1 c1n xn 0
x2
c2,r1xr1 c2n xn 0
xr cr,r1xr1 crn xn 0
进一步可表示为
x1 c1r 1xr 1 c1r 2 xr 2
c1n xn
xr xr
crr 1 1 xr 1
xr
1
crr 2 xr 2
crn xn
x4 x5
1
1
0 ,
0
0
1
2
0 1
2
0
1
0
1,
2
0
1
0
1
0
1
0
于是AX=b的通解为
x1 x2 x3 x4 x5
1
2 0 1 2 0
0
k1
1 1
0
0
0
k2
1 0
1
2
定义1 设X1,X2, … ,Xs是AX=0的解向量，如果 （1） X1,X2, … ,Xs是线性无关； （2）AX=0的任一个解向量可由X1,X2, … ,Xs线 性表示。 则称X1,X2, … ,Xs是AX=0的一个基础解系。
齐次线性方程组AX=0的基础解系并不唯一，但 如果找到它的一个基础解系，则它的全部解为
1
2 1
2
x4 x4
x5 x5
1
2 1
2
x5 0 , 得AX = b的一个特解
X0
1
2 0 1
2
AX = 0的同解方程为
0
0
x1
x3
x2
1
2 1
2
x4 x4
x5 x5
为自由未知量，令
x2 1 0 0 x4 0, 1, 0
x5 0 0 1
1
，
代入同解方程得
1 2 1 2
r1 r2
0 3 3 3,
0 0 0 3
可得 r(A) = 2，r(A,b) = 3，故方程组无解.
(2)
am1x1 am2 x2 amn xn 0
即AX=0
若把A按列分块A (1,2,,n ),它就可以表示
为向量等式
x11 x22 xnn 0
因此，方程组（2）有非零解的充要条件是向量组
1,2,,n 线性相关，从而 r( A) r(1,2 , ,n ) n
于是有：
齐次线性方程组非零解存在定理
0
1
,
2
1
0
1
1
0
1
0
1
1
x4
x4
或
1
0
0
0 , 1, 1
x5
x5
0
2
0
0 0 1
或：AX = b的同解方程为
x1
x2
x3
x4
x5
1 2 0 1 2 0
0
x2 x2
1 2
x4
x5
基础解系
1 2 x4 x5
特解
x11 x22 xnn b
定理1 对于非齐次线性方程组AX = b，下列条 件等价：
（1）AX = b有解（或相容）； （2）b可以由A的列向量线性表示； （3）增广矩阵(A, b)的秩等于系数矩阵A的秩.
定理2 若AX = b有解，则其全部解为 X X0 X
其中X0 是 AX= b的一个特解，X k1 X1 k2 X2
amn | bm
(A|b)称为线性方程组(1)的增广矩阵，则方程
组可写成 AX=b
当b=0时, 称(1)为齐次线性方程组； 当b≠0时,称(1)为非齐次线性方程组。
第一节 齐次线性方程组
对于以m×n矩阵A为系数的齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a21x1 a22 x2 a2n xn 0
1 k2 k
k1 1 D3 1 k k (k 1)2(k 1)2,
1 1 k2
x1
k k
1 2
,
x2
k
1
2
,
x3
(k 1)2 k2
(2) 当k =-2时,
2 1 1 1 0 3 3 3
r3 r2 r1
(A,b) 1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 2 4 r12r2 0 0 0 3
x1 x3
01,
2 1
2
,
11
1
1
1
2
0
1
0
所以AX= 0的基础解系为：
0 0
,
1
,
2
1
0
0
1 0
1
或：AX = 0的同解方程为
1
x1
x2
x3
x2
1 2
x4
x5
基础解系
x2
1
2 x4 x5
1
1
0 ,
0
0
1
2
定理1 设A是m×n矩阵。则齐次方程组AX=0有 非零解的充要条件是 r(A)<n。
定理1的等价命题是：齐次方程组AX=0只有零
解的充要条件是r(A)=n。
推论1 当A为n阶方阵时，AX=0有非零解的充 要条件是|A|=0,它只有零解的充要条件是|A|≠0
证明 由Crammer 法则可得，略。 推论2 若齐次方程组AX=0的方程的个数少于未 知量的个数，则它必有非零解。
xn xn
自由未知量
写成向量形式,即
x1
c1,r1
c1,r2
c1n
x2
c2,r1
c2,r2
c2n
xr xr 1
xr 1
cr ,r 1
1
xr
2
cr,r 0
2
xn
crn 0
xr2
0
1
0