信号与系统第1章总结

第一章：信号与系统的基本概念

1.1 信号的基本概念

一、什么是信号

信号是信息的表现形式。例如，光信号、声信号和电信号等。

二、信号的分类

1、确定性信号和随机信号

()f t 确定性信号有确定的函数表达式

2、周期信号和非周期信号

f(t)=f(t+kT) k=1,2,3...周期信号

3、连续时间信号和非连续时间信号

时间t 连续的是连续时间信号，时间变量t 只取特定值的为离散时间信号

4、有始信号和无始信号

0t t <若，0()0,f t t =为起始点

三、典型的连续时间信号

1、正旋信号

21()cos(),,,2f t A wt T f w f w T πϕπ=+===

AM

FM

PM A w ϕ不为常数，调幅信号不为常数，调频信号不为常数，调相信号

欧拉公式：

cos 2

sin 2j j e e j j e

e j

θθ

θθθ

θ-+--=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩=

2、指数信号

为实数αα,)(t ke t f =

3、复指数信号（一种数学模型）

(),st f t ke s jw δ==+

4、抽样信号

sin (),a t

s t t t =-∞<<∞

性质1、偶函数，随着t 的增大，幅值减小

0sin 2()lim 1a x t

t t →==性质：t=0,s

3sin 0,1, 2...t t k k π=⇒==±±性质：过零点

1.2 信号的运算

一、信号的时域变换

1、平移（时移）

000()()

()()()()f t f t t f t f t t f t f t t =±→-→+右移，左移

2、反转

以纵轴为中心，左右反转

()()f t f t =-

)(t f )(t f

t t

3、展缩

{011,()(),a a f t f at <<>=，扩展压缩

二、信号的相加、相乘、微分和积分

1、相加：对应点相加

2、相乘：主要用于信号的截取

3、微分：

)(t f )(t f '

t t 4∞、积分：指(-,0)上积分

t

-(),f d t ττ∞⎰为变量

t<0()0

t 1()t>1()1t t t f d f d t

f d ττττττ-∞-∞-∞=<<==⎰⎰⎰当时，当0时，当时，

1.3 奇异信号----------------------------------------------------一种数学模型

信号的取值或导数出现了奇异值（极大），趋于无穷

一、单位阶跃信号

{0,01,0()t t t ε<>=

)(t ε

t

因果信号

{0,0(),0()()t f t t f t t ε<>=

二、单位冲击信号----------------也是一种数学模型

作用时间极短，但幅值极大

{()0,0()1,1t t t dt δδ+∞-∞=∀≠=⎰即冲激强度为

性质1：抽样性

0000001.()()(0)()

2.()()(0)()

3.()()(0)()(0)

4.()()()()()t t t t f t t f t f t t t f t t f t t d f t d f f t t t d f t t t d f t δδδδδδδδ+∞+∞-∞-∞+∞+∞-∞-∞=-=-==-=-=⎰⎰⎰⎰

性质2：卷积特性

1212()()()()()f t f t f t f f t d τττ+∞-∞=*=-⎰

0005.()()()()()

6.()()()()()f t t f t d f t f t t t f t t d f t t ττδτδτδτδτ+∞

-∞+∞

-∞*=-=*-=--=-⎰⎰

注：一个信号与冲激信号的卷积就是信号本身

三、阶跃、冲激信号的关系 {0,01,0()()()

()t t t d t d t t dt δττεεδ<-∞>===⎧⎰⎨⎩

注：阶跃信号求导即为冲激信号

1.4 信号分解为冲激信号的叠加

1.5系统及分类

一、分类

1.连续时间系统：微分方程

离散时间系统：差分方程

2.线性系统：叠加性、齐次性

f(t)→系统→y(t) kf(t)→系统 →ky(t)

f1(t)+f2(t)→系统→y1(t)+y2(t)

当齐次和叠加只要有一个不满足则是非线性的

3.因果系统：响应不早于激励

非因果系统

4.时变系统

是不变系统：输入输出都做相应的变化，并不随时间变化

二、线性时不变系统（LTI 系统）

性质1：线性、齐次性、叠加性

Yzi(t):零输入响应，外部激励为0，仅在初始状态作用下的响应 Yzs(t):零状态响应，仅在外部激励作用下的响应

性质2：是不变性

性质3：微分、积分性

f(t)→系统→y(t)

()y ()f t t ''→→系统

t -()()t

f t dt y t dt

-∞∞→→⎰⎰系统 性质4：因果性