1.2 媒质分界面条件和边界条件

1.2 媒质分界面衔接条件和边界条件

1.2.1 媒质分界面衔接条件

在求解电磁场问题时，必然要用不同媒质分界面上场矢量的衔接条件，已学过的有 电场： ()012=-⨯E E n

()

σ=-⋅12D D n

磁场： ()

S J H H n =-⨯12

(

)

012=-⋅

B B n

电流场 (恒定电场)： ()

012=-⨯E E n

(

)

012=-⋅J J n

下面进一步分析媒质分界面上场矢量发生突变的一般情况。

1. 面散度场源可能引起场量法向分量的突变

在电场中，存在散度场源)(r b D

==⋅∇ρ。设电场中两种媒质之间存在一个过渡层，媒质电磁特性参数由1ε、1μ、1γ连续变化为2ε、2μ、2γ，厚度h 很小，取h 为一扁盒圆柱面的高，ρ为过渡层内体自由电荷密度。图示规定向。

由高斯通量定理

()

⎰⎰∆=⋅⋅∇=∆-⋅=∆⋅+∆⋅=⋅V

S s h dV D s D D n s D s D s d D ρ

121

122

h D D n ρ=-⋅)(12

讨论：

(1) 若ρ为有限值，则当0→h ，即媒质参数

发生跃变时，扁盒内的电荷量q ∆=0→h ρ

()

012=-⋅D D n

⇒ n n D D 12=

(2) 若当0→h 时，q ∆保持定值不变，即0→h ，ρ不断增大，使h ρ保持定值，定义它为面自由电荷密度

)(lim 0

h h ρσ→=

2ε 1ε

上面的边界条件式变为：

)(lim )(lim )(0

12D h h D D n h h

⋅∇==-⋅→→ρ

即D

的法向分量突变，也可用标量电位表示为

()σϕεϕε-=∇-∇⋅1122n

推广到一般矢量场F

中，成为一普遍性边界面衔接条件

()

)(lim )(lim 0

012F h hb F F n h h

⋅∇==-⋅→→ 称上述极限突变值为面散度源，可知“矢量场的面散度源可能引起场的法向分量改变，无散场的法向分量一定连续(如果没有偶极矩)”。 2. 面旋度源可能引起场矢量切向分量的突变

设磁场中两种媒质间存在一过渡层，其厚h 很小。跨分界面作狭窄矩形闭合曲线l ，

其长边为l ∆，宽边为h ，且n 、 t 和n

'呈右旋关系n n t ⨯'=。由斯托克斯定理

()

s d r c s d F l d F l S S ⋅=⋅⨯∇=⋅⎰⎰⎰)( 有

1122d l H l H l H l

∆⋅+∆⋅=⋅⎰

()

l

h n r c s r c s

H l t H H S

S

∆'⋅=⋅=

⋅⨯∇=∆⋅-=⎰

⎰

∆∆

)()()(d d 12

h

r c n H H n n H H n n H H t )()()

()()(

⋅'=-⨯⋅'=-⋅⨯'=-⋅121212

0])()([12=--⨯⋅'h r c H H n n

因l 回路的任意性，上式成立，在h →0时，必有

)]([lim )]

([lim )]([lim )(00

012t

D J h H h r c h H H n h h h ∂∂+=⨯∇==-⨯→→→

式中D

以及t D ∂∂ 总是有限的，0→h ，

0→∂∂t D h 。以两种形式分析： (1) 若J

为有限值，0→J

h

0)(12=-⨯H H n

t t H H 21=

(2) 若0→h 过程中，l 所围面积s ∆中通过的电流总量不变，J h

趋于一定值，电流

ε

n

区压缩成为薄片，定义它为自由面电流密度

)(lim 0

J h J h S

→=

有

S J H H n =-⨯)(12

导致的H

切向分量突变的突变值S J 称为面旋度源。

对任意矢量场F

，可推广得到普遍应用公式：

)]([lim )]([lim )(0

012F h r c h F F n h h

⨯∇==-⨯→→ 可用判断矢量场F

在媒质分界面上的场量切线分量是否突变。得：“面旋度源可能引起场

矢量切向分量突变，无旋场的切向分量一定连续(如果没有偶极矩存在)” 1.2.2边界条件

上述分析表明：场源的某种分布对不同媒质分界面上场矢量的连续性产生重要的影响，而且场源的分布也是确定域内场量的前提。根据唯一性定理，场的唯一确定，还有赖于给定场域适合的边界约束条件，而这种条件也等价于一定分布的场源。下面就对一、二类边界条件分别进行讨论。

1. 第二类边界条件等价于一个单层源

(1) 在电场中，如果媒质分界面上存在有面自由电荷密度，则分界面衔接条件为

σ=-⋅)(12D D n

或

σϕεϕε=∇-∇⋅)(2211n

如果在所求场域1V 边界以外场强均为零(例如导体区域)，即02=∇ϕ

则

σϕεϕε=∂∂=∇⋅n

n 1111

σ-=⋅1D n

如图所示，说明S 面上有负电荷存在。所以这样的第二类边界条件，就相当于在场域边界上有一层自由电荷。也即是说第二类边界条件等价于面自由电荷密

度。

(2) 在磁场计算中，若存在磁化体，由Maxwell 方程组计算磁化体产生的磁场

2

2