弹塑性力学-屈服条件

初始屈服面
后继屈服面
例1-3 简单拉伸下材料的关系曲线用线性强化模型近似表示为
E = s h p
0 s (s / E) s
其中，常数h=E/9。材料质点经历了如下单轴应力历史： = 0 10 1
其中，1= (1+)s，0<<1。试确定线性随动强化模型下的相应应变历史
解： 线性随动强化模型下，其强化条件均可表示为
2 3
p ij
ipj
只有在塑性应变增量各分量之间的比例在整个加载过程中始终保持不 变时，两者才能相等
应力状态与屈服面的关系
当应力状态ij处在加载面上 f (ij，) = 0，
再施加增量dij，产生三种情况： （1）加载：dij指向加载面外 （2）中性变载：dij沿着加载面 （3）卸载：dij指向加载面内
不会出现反向屈服。恢复掉的弹性应变是：
e
=1 E
1 s
因此，C点的应变是 C=Be=9s
（3） = 01 当= (1)s，材料产生反向屈服，当从D点到E点时，产生压缩塑
性应变是
p=
1 D h
18 s
而从C点到E点产生的弹性应变是e = (1+)s，最后的应变是
E= (1+)s18s+9s= (1+10)s
单轴拉伸下的强化
• 随加载，屈服极限会不断提高，称为强化或硬化 • 新的屈服极限：
(s)new = Max history
• 后继屈服条件（也称加载条件） ＝(s)new 处于屈服状态
<(s)new， 处于卸载状态 • Max history 随塑性变形历史单调增长，
Max history ＝(p) • 后继屈服条件即加载条件也可表示为
累积塑性变形 塑性功
d
2 3
dipj
d
p ij
d p
d ijdipj dw p
累积塑性应变与等效应变的不同
• 将整个加载过程看作是许许多多的应力增量过程d所组成。
•
将每一个应力增量过程中所产生的塑性应变增量
d
p ij
计算出 d p
然后累加起来，即计算积分 d p
• 等效塑性应变 p
p
• 背应力增量应平行于塑性应变增量 dij=c dipj
式中c是材料常数，由试验确定。 • 对于Mises屈服条件，该模型可写成
ij
c
p ij
3 2
sij
c
p ij
sij
c
p ij
s
单轴加载（拉伸或压缩）时
s11=
2 3
s22=s33=
1 3
1p1 p
p 22
p 33
1 2
p
强化模型式简化为：
(p)＝0
C
*
B
s
A'
p
A
O
E
p
e
复杂应力状态
• 使用一组内变量（=1，2，…，n）描述塑性变形历史， • 后继屈服条件
f (ij，)=0 随塑性变形的发展，不断变化，后继屈服面或加载面也随之改变。 • 定义内变量应该根据材料内部细微结构不可逆的改变， • 通常根据宏观实验结果，引用宏观变量定义内变量
初始屈服面
后继屈服面
O C D
B A
Mises初始屈服条件
J2
2 s
3
0
加载（后继屈服）条件
3J 2 s 0
3J 2 0
3
2
sij
sij
0
( d p )0
函数可通过单轴拉伸下实验曲线确定
单轴下的随动强化
某一个方向上的屈服极限提高，则相反方向上的屈服极限会降低。 由A点加载到B点，屈服应力由原来的s提高到*。B=*>s 再反向加载，当应力达到BC=2s时屈服， 而C<s。
hp=s
（1） = 0 1 当=s时，材料屈服，当s<<1即从A到B点，产生塑性变形，
B点的总应变为
(p)B
1
s h
91
E
s
9s
B=e+p
=
1 E
p
1 s
9s
110 s
得强化条件为
s=s
1
B
s
A
s
O
C
D
E
1
（2） = 10 当 = 10，材料处于卸载状态。由于<1， 在0 －1之间，
• 单轴情况下
理想塑性材料的加卸载准则
加载 d
卸载?d
• 复杂应力状态下
屈服面
n
卸载?d
d 加载 ij
f(ij)<0
弹性状态
f(ij)=0， f (ij+ dij)= 0 加载
f(ij)=0， f (ij+ dij)<0
卸载
df (ij)可以表达成
df(ij) = f (ij+ dij) f (ij) =
中性变载?d
n
d 加载
卸载?d
ij
加载面
任何一种应力状态都不能位于加载面之外
• 增量前 f (ij，) = 0， • 增量后 f (ij+dij，+d) = 0
• 一致性条件：
f ij
dij
f
d
0
f (ijdij , d f (ij,
内变量的性质
• 随加载过程，内变量不断地增加 • 中性变载或者卸载时，则内变量保持不变
3 2
cp = s
若材料强化实验曲线近似为线性，则可表示为
=s+hp 式中h是实验确定的材料常数。
混合强化
• 几何特点： 加载面大小、位置和中心都改变，它是前面两种情况的综合，
• 数学表达： f (ijij) k()= 0
与随动强化不同的是，这里k随加载的历史而变化。 • 说明：
以上关于屈服条件和加载条件的讨论都是在应力空间中进行的。 对应变软化材料来说，应变空间中讨论会更方便些。
总之：内变量只会增加，不会减少。 且只有产生新的塑性变形时，它才会增加。 是塑性变形的不可逆性所决定的。
等向强化
• 几何特点（在应力空间）： 加载面形状和中心位置都不变，大小变化，形状相似的扩大。
• 物理意义： 假定材料在强化后仍保持各向同性的性质。
• 数学表示： f (ij) k() = 0
f(J2，J3) k() = 0 进一步解释：等向强化可理解为材料某一方向上因加载屈服极限得到提 高，所有其它方向的屈服极限都将因此而得到同等程度的提高。
f
dij
ij
f nij = ij
是屈服面外法线
加载条件还可以表示为
f(ij)=0 d•n=0 加载 f(ij)=0 d•n<0 卸载
强化材料的加卸载准则
当应力状态处在当前加载面上，再施加应力增量，产生三种情况 （1）加载：应力增量指向加载面外，推动加载面变化，
产生新的塑性变形（同时会产生弹性变形）。 （2）中性变载：应力增量沿着加载面，即与加载面相切，
B
*Βιβλιοθήκη Baidu
A
s
s
C
反向屈服点
随动（运动）强化
• 几何特点（在应力空间）： 形状和大小不变，中心位置，加载面作刚体移动。
• 物理意义： 材料在强化后为各向异性。
• 数学表示：
f (ijij) k = 0 ij是一个表征加载面中心移动，称为背应力（back stress）
初始屈服面
后继屈服面
Prager随动强化模型