弹塑性力学-屈服条件
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弹塑性力学
ij 0 橡皮和铁盒之间无摩擦力 1 2 q, 3 q max 1 3 (1 2 ) q 1 2 2(1 )
ME6011 弹性塑性力学 21
3-3 3 3 Tresca和Mises屈服条件
研究塑性变形和作用力之间的关系及在塑性变形后 物体内部应力分布规律的学科称为塑性力学。 塑性力学问题的特点（4点） 应力与应变之间的关系（本构关系）是非线性的， 其非线性性质与具体材料有关； 应力与应变之间没有一一对应的关系，它与加载 历史有关； 在变形体中有弹性变形区 和塑性变形区，而在求 解问题时需要找出弹性区和塑性区的分界线；
xy yz
zx
xy
G
1 2 E 1 2 0 0 E
yz zxG NhomakorabeaG
1 1 1 2 [ x 0 ] x 0 [(1 ) x ] 0 E E E ex 应变偏量分量 sx 1 2G 应力偏量分量
ME6011 弹性塑性力学
9
不考虑材料强化性质
考虑材料强化性质
①理想弹塑性模型
E s ( s ) 韧性 ( s ) 材料
②线性强化弹塑性模型
( s ) E s E ( s ) ( s )
双线性强化模型
力学问题中各量间关系
ME6011 弹性塑性力学 3
• 本构关系
–反映应力应变之间的联系 映 –材料的固有特性：每一种材料，应力、应变有 着固有的关系 –广义Hook定律：线性 –增量理论：非线性，应变与应力状态和变形历 增量理论 非线性 应变与应力状态和变形历 史有关，研究应力和应变增强之间的关系
E
厚壁圆筒__弹塑性力学知识
2. 弹塑性阶段： （1） 弹性区：r r b
(1 )a 2 pe u E (b 2 a 2 ) b2 r (1 2 )r
a2 pe 1 2 2 b
ss
内半径为r ，外半径为b，在 r = r 处承受内压的厚壁筒
sq r
r rb
sq
p
r
sq r
a p
b
sq r
r b2 p a2 1 2 s s 1 l n 2 2 a b a r 2 2 2 s r a p b s 1 2 2 2 2 2 b b a r
通解：
s r C1 C2 r 2
s q C1 C2 r 2
一、弹性分析
2. 解答
通解：
s r C1 C2 r 2
s q C1 C2 r 2
er
1 1 C1 1 C 2 r 2 E 1 1 C1 1 C 2 r 2 eq E 1 1 C1r 1 C 2 r 1 u E 1 2 2 C1 2 a p b p2 1 2 b a a 2b 2 p2 p1 C2 2 2 b a
u
e
rr
u
p
rr
(1 ) r 2s s 2 2 C b ( 1 2 ) r 2 Eb 2
(1 ) r 2s s 2 2 u b ( 1 2 ) r 2 Eb 2 r
=1/2
3 r 2s s u 4 Er ul ue b2 2 a
弹性极限状态:
a p1
弹塑性力学-第五章+屈服准则v1
?总应变能u等于体积变化位能uv与形状变化位能uf之和uuuuuvuf弹性与塑性?由弹性理论单位体积变形位能等于应力分量与相应的应变分量乘积之和的一半主坐标系中1u??????????321000000tij??????????321000000tij233221152米塞斯屈服准则52米塞斯屈服准则521米塞斯屈服准则522米塞斯屈服准则的物理意义??由广义虎克定律弹性与塑性力学基础力学基础第五章屈服准则与塑性应力应变关系第五章屈服准则与塑性应力应变关系弹性与塑性13211?e133112222?e式中为泊松系数于是可得e12133?e2131223211??eu2133?221133221232221?e52米塞斯屈服准则52米塞斯屈服准则521米塞斯屈服准则522米塞斯屈服准则的物理意义??单位体积变化位能uv确定弹性与塑性力学基础力学基础第五章屈服准则与塑性应力应变关系第五章屈服准则与塑性应力应变关系取应力球张量及应变球张量弹性与塑性??????????????m0000????????m0000由此得???mmt0???????mmt0mmmmmmmmvu2321311321m3321m52米塞斯屈服准则52米塞斯屈服准则521米塞斯屈服准则522米塞斯屈服准则的物理意义??单位体积变化位能uv确定弹性与塑性力学基础力学基础第五章屈服准则与塑性应力应变关系第五章屈服准则与塑性应力应变关系将应力表示应变的虎克定律公式代入上式弹性与塑性331232133e1??em因此23132132121??e21321321231323?euv261232123213?e52米塞斯屈服准则52米塞斯屈服准则521米塞斯屈服准则522米塞斯屈服准则的物理意义??单位体积形状变化位能uf确定弹性与塑性力学基础力学基础第五章屈服准则与塑性应力应变关系第五章屈服准则与塑性应力应变关系弹性与塑性vfuuu?222e1133221232221?e化简可得5826123212321??e63e61133221232221?223212321?61213232221???euf52米塞斯屈服准则52米塞斯屈服准则521米塞斯屈服准则522米塞斯屈服准则物理意义??对比式54与式58弹性与塑性力学基础力学基础第五章屈服准则与塑性应力应变关系第五章屈服准则与塑性应力应变关系545858弹性与塑性2s2132322212???1222???
弹塑性力学10-6梁模型计算圆板和环板的塑形极限载荷(精)
r
o b
解：
o
z
r
b r a
z
a
m= 2Mp
2rM r 2 r b M p
2 r b r b 2rrq 2bq r b 2bq
b r b r 2b Mr 1 M p q r 6r
2
2
2
3
r
o
解：
o
z
r
r a
a
z
2rM r 2rM p r r 2rq 2 3
m= 2Mp
qr 2 Mr M p 6
Mr
r a
qa2 M p M p M 支圆板：
Mr
r a
0
ql 6
Mp a2
例题2：半径为 a 的简支环板，内半径为 b ，受均布载荷 q 作用，圆板单 位塑性极限弯矩为： Mp ，求塑性极限载荷。 2rq q
i 1
ai bi
( n 2) 2n 2 n
Pl M P cota i cot b i
i 1
n
正多边形（集中力作用在板中心）： a i b i
( n 2) 2n 2 n
Pl M P 2 tan
i 1
n
n
Pl 2nM P tan
r
o b
解：
o
b c a
z
a
m= 2Mp
z
2 r b M p brc 2rM r 2 r b M p P r c c r a
Mr
r a
0
Pl
2 a b M p ac
弹塑性力学-15 屈服理论
●应力空间
3 P(1, 2 , 3 )
以应力分量为坐标轴—空间坐标系
主应力空间：主应力分量为坐标轴
2 1
●应力路径 一点应力状态的变化：应力点 在应力空间的运动轨迹来描述
应力空间既非几何空间又非物理空间
15.1 屈服理论分析
3. 屈服条件的一般形式
材料屈服与否取决于其所受 的应力状态和材料特性参数
S
等倾线
L P
2
一点的应力矢量 OP 1e1 2e2 3e3
15.1 屈服理论分析
2. 屈服条件的一般形式
3 QL
OP 1e1 2e2 3e3
P
n
1 3
e1
1 3
e2
1 3 e3
平面 o S
2
1
OQ OP n
1 3
(1
2
3
)
15.1 屈服理论分析
3. 屈服条件的一般形式
3. 屈服条件的一般形式
由于
f (1, 2 , 3, k) 0
I1 ii x y z 1 2 3 3 m
I2
x y
y z
z x
2 xy
2 yz
2 zx
1 2 2 3 31
I3
x
y
z
2 xy
yz
zx
x
2 yz
y
2 zx
z
2 xy
1 2 3
15.1 屈服理论分析
怎样建立屈服理论？
●根据屈服现象与机制，提出理论假设； ●基于理论假设建构屈服模型，即给出包含 屈服参数的理论公式； ●根据简单条件下的屈服试验结果，确定其 中的屈服参数； ●通过复杂应力状态下的屈服试验结果，对 理论进行检验。
塑性力学第五章(2)-简单的弹塑性问题(二)
σs
E
不变， ，保持 ε s不变，再加扭矩至 γ s =
τs
G
γ 同时拉扭进入塑性状态， 不变， （3）同时拉扭进入塑性状态，保持 ε 不变，到
ε s ,γ s
求应力分量
σ ,τ = ?
τ σ
Mises条件： 条件： 条件
σ 2 + 3τ 2 = σ s2
τ
σ
3
s
B
C A
O
σ
σ
s
γ
ε = σs
E =
应变分量（体积不可压缩）： 应变分量（体积不可压缩）：
σ
1 de z = d ε , de r = deθ = − d ε 2
d γ zθ = d γ
γ θr = γ rz = 0
塑性功增量： 塑性功增量：
dW d = sij deij
= s z de z + s r de r + sθ deθ + τ θz d γ θz + τ θr d γ θr + τ rz d γ rz
th
σs
σs
σ =
ch
σs
3G γ
σs
γ =
σs
3G
⇒
σ = 0 .648 σ s , τ = 0 .439 σ s
（2）先扭后拉 ）
γ
σs
3G
τ
B C
σ
3
A
s
B
C A
O
σs
3G
ε
O
σ
σ
s
dγ = 0
dW d = σ d ε + τd γ = σ d ε
3Gd ε = dσ 1−
弹塑性力学——精选推荐
弹塑性⼒学应⼒应变关系应⼒应变都是物体受到外界载荷产⽣的响应。
物体由于受到外界载荷后，在物体内部各部分之间要产⽣互相之间的⼒的作⽤，由于受到⼒的作⽤就会产⽣相应的变形；或者由于变形引起相应的⼒的作⽤。
则⼀定材料的物体其产⽣的应⼒和应变也必然存在⼀定的关系。
在⼒学上由于平衡⽅程仅建⽴了⼒学参数（应⼒分量与外⼒分量）之间的关系，⽽⼏何⽅程也仅建⽴了运动学参数（位移分量与应变分量）之间的连系。
所以平衡⽅程与⼏何⽅程是两类完全相互独⽴的⽅程，它们之间还缺乏必要的联系，这种联系即应⼒和应变之间的关系。
有了可变形材料应⼒和应变之间关系和⼒学参数及运动学参数即可分析具体的⼒学问题。
由平衡⽅程和⼏何⽅程加上⼀组反映材料应⼒和应变之间关系的⽅程就可求解具体的⼒学问题。
这样的⼀组⽅程即所谓的本构⽅程。
讨论应⼒和应变之间的关系即可变为⼀定的材料建⽴合适的本构⽅程。
⼀．典型应⼒-应变关系图1-1 典型应⼒-应变曲线1）弹性阶段（OC段）该弹性阶段为初始弹性阶段OC（严格讲应该为CA’）,包括：线性弹性分阶段OA段，⾮线性弹性阶段AB段和初始屈服阶段BC 段。
该阶段应⼒和应变满⾜线性关系，⽐例常数即弹性模量或杨⽒模量，记作：εσE =，即在应⼒-应变曲线的初始部分（⼩应变阶段），许多材料都服从全量型胡克定律。
2）塑性阶段（CDEF 段）CDE 段为强化阶段，在此阶段如图1中所⽰，应⼒超过屈服极限，应变超过⽐例极限后，要使应变再增加，所需的应⼒必须在超出⽐例极限后继续增加，这⼀现象称为应变硬化。
CDE 段的强化阶段在E 点达到应⼒的最⾼点，荷载达到最⼤值，相应的应⼒值称为材料的强度极限（ultimate strength ），并⽤σb 表⽰。
超过强度极限后应变变⼤应⼒却下降，直到最后试件断裂。
这⼀阶段试件截⾯积的减⼩不是在整个试件长度范围发⽣，⽽是试件的⼀个局部区域截⾯积急剧减⼩。
这⼀现象称为“颈缩”（necking ）。
弹塑性力学应力应变关系
我所认识的应力和应变关系在这之前我认识了应力和应变的概念、性质以及从静力学和几何学的角度出发所得到的平衡方程和几何方程。
但是平衡方程仅反映了应力分量和外力分量的关系；几何方程仅建立了位移分量和应变分量的关系。
而谈到应力与应变的关系，对于可变形固体，在弹塑性力学中，在外力的作用下，其将发生变形。
变形分为两个阶段，弹性阶段和塑性阶段。
在弹性阶段，发生的弹性变形可以完全恢复，它是一个可逆过程。
此时，应力与应变的关系是一一对应的，是单值函数关系。
而在塑性阶段，所发生的塑性变形是不可以恢复的，是不可逆过程。
相对应的，塑性阶段的应力应变的关系是非线性关系，不存在一一对应的关系。
我所认识的应力和应变的关系就是本构关系。
本构关系也称为物理关系，它反应的是可变形材料的固有属性，实质上是一组联系力学参数和运动参数的方程式，也就是我们所说的本构方程。
在说应力与应变的关系之前，先说一下本构关系的相关影响因素，包括材料、环境、加载类型、以及加载速度。
即，),,(T t f εσ=。
另外，有各种各样的本构系，比如：弹性本构关系、塑性本构关系、粘弹性本构关系、粘塑性本构关系、各向同性本构关系、各向同性本构关系等等。
简单情况的本构关系：应力和应变的关系包括弹性和塑性的应力应变关系。
我们所说的是线性弹性体的应力应变关系，又分为简单应力状态和复杂应力状态。
在简单拉伸情况下，理想弹性材料的应力和应变的关系很简单，就是材料力学中的胡克定律： 。
而在塑性阶段，应力应变之间不再是简单的胡克定律，而是 。
另外，简单拉伸情况下的卸载定律是 。
在后继弹性阶段，也就是卸载后重新加载的材料会继续发生新的塑性变形，在此时的屈服称为后继屈服，相应的屈服点称为后继屈服点。
初始屈服和后继屈服的不同是：第一，应力的数值不一样，后继屈服的应力值更大；第二，屈服点的个数不一样。
初始屈服点只有一个，而后继屈服点会有好多个，则其对应的应力值也会有很多个。
最后，在卸载全部载荷后进行反向加载比如说把拉伸改成压缩，此时会产生Bauschinger 效应。
第三章 屈服准则
• 这一章研究材料的屈服. 我们已经知道,对于单向拉伸情况比 较简单,只有一个应力,实验可以得到应力应变的曲线, 应力应 变关系是一目了然. 但对于复杂应力状态, 材料在什么情况下 屈服这就不太好说了.这章的Tresca屈服条件和Mises屈服条件 就是解决这个问题的.
• 下一章来解决材料屈服后的应力应变的本构关系.
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
1. 屈服
物体受到荷载作用后，
随着荷载增大，由弹性状
态到塑性状态的这种过渡，
叫做屈服。
加载路径
2. 屈服条件
屈服点
物体内某一点开始产 生塑性应变时，应力或应 变所必需满足的条件，叫 做屈服条件。
only twist
Twist and extension
著名的Taylor和Quinney铜管拉扭 屈服试验(1931)
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
3. 屈服函数
一般情况下，屈服条件 与应力、应变、时间、温度 等有关，而且是它们的函数， 这个函数F称为屈服函数。
在不考虑时间效应(如应 变率)和温度的条件下：
在不考虑应力主轴旋转 情况下，可以用三个主应力 分量或应力不变量表示：
F( ij ,ij ,t,T ) 0
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
第三章 屈服准则
(yield criteria)
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
塑性模型三要素
屈服条件 流动法则
硬化规律
判断何时 达到屈服
屈服后塑性应变 增量的方向，也 即各分量的比值
决定给定的应力 增量引起的塑性 应变增量大小
弹塑性计算分 析的首要条件
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
这条曲线如图所示的红色曲线. 如果一个应力状态在这条曲线
• 下一章来解决材料屈服后的应力应变的本构关系.
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
1. 屈服
物体受到荷载作用后，
随着荷载增大，由弹性状
态到塑性状态的这种过渡，
叫做屈服。
加载路径
2. 屈服条件
屈服点
物体内某一点开始产 生塑性应变时，应力或应 变所必需满足的条件，叫 做屈服条件。
only twist
Twist and extension
著名的Taylor和Quinney铜管拉扭 屈服试验(1931)
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
3. 屈服函数
一般情况下，屈服条件 与应力、应变、时间、温度 等有关，而且是它们的函数， 这个函数F称为屈服函数。
在不考虑时间效应(如应 变率)和温度的条件下：
在不考虑应力主轴旋转 情况下，可以用三个主应力 分量或应力不变量表示：
F( ij ,ij ,t,T ) 0
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
第三章 屈服准则
(yield criteria)
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
塑性模型三要素
屈服条件 流动法则
硬化规律
判断何时 达到屈服
屈服后塑性应变 增量的方向，也 即各分量的比值
决定给定的应力 增量引起的塑性 应变增量大小
弹塑性计算分 析的首要条件
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
这条曲线如图所示的红色曲线. 如果一个应力状态在这条曲线
工程塑性力学-屈服准则
Mohr-Coulomb 准则
Drucker-Prager 准则
Rankine 准则
1876 年，Rankine提出：一点的最大主应力 达到拉伸强度时，材料发生拉伸破坏。 用于确定脆性材料是否会发生拉伸破坏。 可用来判断混凝土拉伸开裂的起因。 屈服面：拉伸破坏面
1
max(1 , 2 , 3 ) ft ft 由简单拉伸试验确定。
2
那么Tresca准则变为：
xx yy 2 xy k 2
2
即
xx
yy 4
2 2 xy
2 s
上式分别代入yy = -s , 0, s，得到xx-xy 平面 上的屈服轨迹。
xy
xx
Mises 屈服准则
轴向拉伸试验：
1 s , 2 3 0
1 3 s , 2 0
s k 2
k s
纯剪试验：薄壁圆筒扭转试验
1 s s 2
s 与 s 均可由试验测定，常用钢材的试验 结果与上式不完全符合，说明Tresca屈服准则 是近似正确的。
Tresca准则是分段线性的，简化计算；适用 于主方向已知且不变的情况下；
Mises 、 Tresca 准则分别对应于材料力学中 的第三、第四强度理论。
例3：闭端薄壁圆筒受内压 p 的作用，理想 塑性材料，屈服极限为s = 245 GPa。 用Mises、Tresca准则求最大许可的内压 p。 解：首先确定危险 点的应力状态（远离 封头的筒身位置）：
Drucker-Prager 准则
1952 年提出，是对 Mises 准则的修正，它考 虑了静水压力对屈服的影响：
弹塑性力学与有限元-屈服总则和弹塑性应力-应变关系
静水压力部分对塑性变形的影响可忽略，故屈服条件也可用主偏 量应力或其不变量表示：
f(S1，S2，S3) 0 f(J1，J2，J3) 0 f(J2，J3) 0 (6.4)
《弹塑性力学与有限元》
屈服总则和弹塑性应力-应变关系
屈服总则定义
➢ 应力空间和主应力空间
为讨论方便，在此引入应力空间的概念，所谓应力空间就是以应力 为坐标轴的空间。显然应力空间是一个六维空间，空间中的每一个点 都代表一个应力状态，应力的变化在应力空间中将会给出一条曲线， 称为应力路径，根据不同应力路径所进行的实验，可以定出从弹性阶 段进入塑性阶段的各个界限，即屈服点。把这些点连接起来就形成了 一个曲面（超曲面）称为屈服面，而描述这个屈服面的数学表达式称 为屈服函数或屈服条件。对于各向同性材料，屈服条件不应与坐标轴 的选取有关，因此屈服条件可以在主应力空间中表示.
《弹塑性力学与有限元》
屈服总则和弹塑性应力-应变关系
屈服总则定义
➢ 应力空间和主应力空间 L直线：主应力空间中过原点并与坐标轴成等角的直线。
其方程为 s1 s2 s3 显然，
L直线上的点代表物体中承受静 水应力的点的状态，这样的应力 状态将不产生塑性变形。
s1
s3
L直线
s2
《弹塑性力学与有限元》
《弹塑性力学与有限元》
屈服总则和弹塑性应力-应变关系
屈服总则定义
➢ 屈服曲线的方程
屈服曲面是一个等截面
柱面，其母线平行于L直线
，并且此柱面垂直于π平面 。屈服曲线：屈服曲面与π 平面相交所得的一条封闭曲 线，或称屈服轨迹。
屈服曲面
s 3 L(s1 s 2 s3)
平面
屈服曲线
o
s2
塑性力学课件 第三章 屈服条件
理想塑性材料：进入塑性阶段以后，在应 力空间中代表应力状态的点均位于屈服曲面 f（σij）= C上。由于没有强化现象，应力状态 变化时，尽管塑性变形还可以不断增长，而屈 服函数的值却不再增长。即不可能有df＞0的情 况出现。代表应力状态的点只能在屈服面上移 动，这时有df = 0，属于加载；当代表应力状态 的点移向屈服面以内时，df＜0，属于卸载。即 df＜0，卸载 （3—34） df = 0，加载 由实验结果得知，加载及中性变载时产生 新的塑性变形，卸载及时不产生新的塑性变形， 其各应力分量与各应变分量的改变服从弹性规 律。
§3.5 Mises屈服条件
Tresca屈服条件完全忽视了居于中间大 小的主应力对材料屈服的影响，这是和实际 有出入的。 Mises用Tresca屈服条件的屈服轨迹正六 边形ABCDEF的外接园作为屈服轨迹。 2 由（3—23）式知圆的半径为 σs，
3
2 2 圆的方程为： R2 = s 3
（3—25）
简单加载定理：对小变形的受力物体，满足 下列三个条件即可保证物体内所有各点都处于简 单加载（充分条件）： （1）物体上所有外加荷载（包括表面力和体 积力）成比例增长。如有位移边界条件，只能是 零位移边界条件； （2）应力强度和应变强度呈幂关系 i A in ; 1 （3）材料不可压缩，即泊松比μ= 。
S
s
2
二、各主应力不按大小顺序排列时的 Tresca屈服条件 （3—16）可改写为： σmax－σmin =σs （3—19） （3—19）等价于下式中至少有一个式子成立： 1 3 s 0 0 3 s 1 1 2 s 0 （3—20） 1 2 s 0 2 3 s 0 2 3 s 0
弹塑性力学第七章屈服条件
其他领域中的屈服条件应用
生物医学
在生物医学领域，如人体骨骼、牙齿等组织 的力学性能分析中，需要考虑材料的屈服条 件。
能源工程
在核能、太阳能等能源工程领域，相关设备的材料 选择和设计需要考虑其屈服条件。
环境工程
在环境工程领域，如土压力、岩石压力等问 题的分析中，需要利用屈服条件来评估结构 的稳定性和安全性。
20世纪初，德国科学家R.Von Mises 提出Von Mises屈服条件，成为弹塑 性力学中最为广泛应用的屈服条件之 一。
现代屈服条件的进展
随着计算机技术和数值计算方法的不 断发展，现代屈服条件的研究更加深 入和广泛。
目前，研究者们正在探索更加精确和 实用的屈服条件，以适应各种复杂材 料和工程应用的需求。
弹塑性力学的重要性在于，许多工程结构和材料在承受外力 时，其变形行为既不是完全弹性也不是完全塑性，而是介于 两者之间。因此，理解弹塑性行为对于准确预测结构的响应 和保证工程安全至关重要。
屈服条件的概述
屈服条件是弹塑性力学中的一个基本概念，它描述了材料在应力达到某一特定值时开始发生屈服（即 塑性变形）的条件。
07 总结与展望
总结
屈服条件的定义与分类
总结了屈服条件的定义，以及按不同标准分类的屈服条件类型， 如按材料性质、应力状态等。
屈服条件的物理意义
解释了屈服条件在材料力学行为中的物理意义，包括材料内部的微 观结构变化、应力分布等。
屈服条件的应用场景
列举了屈服条件在不同工程领域中的应用，如结构稳定性分析、材 料强度设计等。
混合阶段中，应力-应变关系表现为非线性，材料同时具有弹性和 塑性行为。
加载和卸载路径的影响
在混合阶段，材料的响应不仅取决于当前的应力状态，还受到之前 加载和卸载路径的影响。
工程弹塑性力学
J2 s2 或m ax3ss(T(rM esicsae)s) (3.30)
3.7 加载条件和加载曲面
3.7 加载条件和加载曲面
概念： 应力强化： 在简单拉压时，经过塑性变形后，屈服应力提高的现象
拉伸塑性变形，使压缩屈服应力降低(Bauschinger效 交叉效应： 应),并且还影响剪切屈服应力等的现象。
1
2 2
2k 2k
1 2 k
p 3
(正六边形柱面)
2 2
k
1 2
1
ko 2
k
2
k
平面应力的Tresca屈服线
Tresca屈服条件的完整表达式
( 1 2 ) 2 4 2 ( 2 3 ) 2 4 2 ( 3 1 ) 2 4 2 0 4 ( J 2 ') 3 2 7 ( J 3 ') 2 3 6 2 ( J 2 ') 2 9 6 4 J 2 ' 6 4 6 0
F(S1,S2,S3)0
F(J1',J2' ,J3' )0
由于J1' 0
F(J2' ,J3' )0
知识点回顾
主应力空间
(以主应力1,2,3为坐标轴而构成的应力空间)
2
L直线
静水应力矢量
N
p平面 O
P
1
Q
任一应力状态
主偏量应力矢量
3
O P 1 i2j3 k
O Ps1is2js3k(ijk)
O QO N
总在p平面上 与1,2,3轴的夹角相等 (3.10)
L直线：
在主应力空间内，过原点且和三个坐标
轴夹角相等的直线。方程： 123
p平面：
屈服条件与破坏条件
4、破坏条件
定义： 塑性力学中的破坏：某单元体进入无限塑性（流动）状态。
真正破坏：整个物体不能承载。
①某单元进入流动状态不等于物体破坏；破坏不是针对一个单元的。 ②塑性力学某单元处于流动状态，并非某单元破坏，如理想塑性状 态。 三种材料的破坏状态：
①理想塑性：屈服即破坏
②硬化材料：屈服的最终应力状态 F ( ij ) =从C1增大到C2 ③软化材料：屈服的残余应力状态 F ( ij ) =从C1降到C2
2 m
1 m k
2
0
g ( )
（1）一次式时 —— 莫尔一库仑条件（ ＝0）
1 m k 0
g ( )
cos( / 6 ) sin( / 6 ) sin / cos sin sin /
1 2 1
2
( 13 12 ( 13 12 ) k ),
( 13 23 ( 13 23 ) k )
ij
i 2
j
sin ,
k 2 cos
3．4．4辛克唯兹一潘德条件
J2 F ( m ) h g ( ) J2
2
或
F Βιβλιοθήκη 2 3 3J23/2
sin
Matsuoka的屈服条件的表达式为
或
( 2 3 ) 2 3
2
I1I2 I3
k (常数 )
( 3 1 ) 3 1
2
( 1 2 ) 1 2
2
k (常数 )
谢谢大家！
23 时 1 2 ( 13 23 ) 1 1 ( 1 2 ) 3 k 2 2
塑性力学屈服条件ppt
-- 在单向拉伸或压缩应力状态下，这些 关系可表示为：
弹性阶段：（当
时）
弹塑性阶段：（当
加载 （
），
卸载（
），
时） （非线性关系）
（线性关系）
加载 （ 卸载（
）， ），
（非线性关系） （线性关系）
因为加载和卸载时服从不同的规律，因此，如不指明变形路径 （历史）是不能由应力确定应变（右图）或由应变确定应力（ 左图）
--- 另一方面，要注意所选取的力学模型的数学表达式应该足 够简单，以便在求解具体问题时，不出现过大的数学上的困难。
2.力学模型的要求：[徐; p80] σ
符合材料的实际情况。 数学表达式足够简单。
(1) 理想弹性力学模型
e
弹性变形：应力与应变之间是一种线性关系, 应力
和应变关系的数学表达式:
像软钢一类材料具有明显的屈服阶段， σ -e 曲线在这时
有一个明显的平缓的部分(下左图所示)。 但有些材料(如铝
合金）没有明显的屈服阶段(下右图)。在工程上往往以残余变
形达0.2%时作为塑性变形的开始，其相应的应力 σ0.2 作为材料
的屈服应力.
C
B
D
bH .
0.2
AD H
o o o
态后，如不考虑材料的强化性质，则
εs
e
可得到如图所示的理想弹塑性模型。
E
s
s s
(徐3-9)
(3) 线性强化弹塑性力学模型
当考虑材料的强化性质时，可 采用线性强化弹塑性力学模型 图中有两条直线，OA 和 AB， 其解析表达式为：
E
s E1( s )
弹塑性力学-第4章_本构方程
第四章本构方程在前面的章节中，已经建立了变形体的平衡微分方程和几何方程，分别是从静力学方面和从几何学方面考察了变形体的受力和变形。
但是只有这些方程还不足以解决变形体内的应力和变形问题。
对于变形体，未知变量包括6个应力分量，6个应变分量和3个位移分量，一共有15个未知函数，而平衡方程和几何方程一共是9个，未知函数的个数多于方程数。
因此还必须研究物体的物理性质，即应力与应变之间的关系。
通常称这种关系为变形体的本构方程，或称为物性方程。
塑性本构包括三个方面：1、屈服条件，2、流动法则，3、硬化关系；其中屈服条件：判断何时达到屈服，流动法则：屈服后塑性应变增量的方向，也即各分量的比值，硬化规律：决定给定的应力增量引起的塑性应变增量大小。
以上构成塑性本构关系。
4.1弹性应变能函数变形固体的平衡问题不仅需要运动微分方程、应变—位移方程(即变形几何方程)还需要将应变分量和应力张量分量联系起来，方能给定物体的材料抵抗各种形式变形的规律。
该规律的理论解释需要对分子间力的本质有深入的认识，该分子力力图使固体粒子间保持—定的距离，也就是需要对固体中应力分量和应变分量有深入的认识。
这种作用机理在非常接近稳定状态的气体中己弄清楚，但对于弹性体情况，目前科学技术发展水平还不能解决这一难题。
如要通过实验探求物体内部的应力和应变的关系，则总是从一些量的测量来推理得到，在一般情况下，这些量并非应力或应变的分量(例如平均应变、体积压缩、物体表面一线元的伸长等等)．因此，在现时应力与应变关系主要是通过直接实验建立。
然而该关系中的某些固有的一般特性可以在理沦上加以说朋，如能量守恒定律为应力-应变关系的理论研究提供了基础。
1.1应变能密度假设变形的过程是绝热的，也就是在变形过程中系统没有热的损失，而且假设物体中任意无穷小单元改变其体积和形状所消耗的功与其从未变形状态到最终变形状态的转换方式无关。
这个条件是弹性的另一种定义。
换句话说，就是假设物体粒子互相作用过程中的耗散(非保守)力的作用与保守力的作用相比是可以忽略的。
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3 2
cp = s
若材料强化实验曲线近似为线性，则可表示为
=s+hp 式中h是实验确定的材料常数。
混合强化
• 几何特点： 加载面大小、位置和中心都改变，它是前面两种情况的综合，
• 数学表达： f (ijij) k()= 0
与随动强化不同的是，这里k随加载的历史而变化。 • 说明：
以上关于屈服条件和加载条件的讨论都是在应力空间中进行的。 对应变软化材料来说，应变空间中讨论会更方便些。
B
*
A
s
s
C
反向屈服点
随动（运动）强化
• 几何特点（在应力空间）： 形状和大小不变，中心位置，加载面作刚体移动。
• 物理意义： 材料在强化后为各向异性。
• 数学表示：
f (ijij) k = 0 ij是一个表征加载面中心移动，称为背应力（back stress）
初始屈服面
后继屈服面
Prager随动强化模型
初始屈服面
后继屈服面
O C D
B A
Mises初始屈服条件
J2
2 s
3
0
加载（后继屈服）条件
3J 2 s 0
3J 2 0
3
2
sij
sij
0
( d p )0
函数可通过单轴拉伸下实验曲线确定
单轴下的随动强化
某一个方向上的屈服极限提高，则相反方向上的屈服极限会降低。 由A点加载到B点，屈服应力由原来的s提高到*。B=*>s 再反向加载，当应力达到BC=2s时屈服， 而C<s。
• 单轴情况下
理想塑性材料的加卸载准则
加载 d
卸载?d
• 复杂应力状态下
屈服面
n
卸载?d
d 加载 ij
f(ij)<0
弹性状态
f(ij)=0， f (ij+ dij)= 0 加载
f(ij)=0， f (ij+ dij)<0
卸载
df (ij)可以表达成
df(ij) = f (ij+ dij) f (ij) =
中性变载?d
n
d 加载
卸载?d
ij
加载面
任何一种应力状态都不能位于加载面之外
• 增量前 f (ij，) = 0， • 增量后 f (ij+dij，+d) = 0
• 一致性条件：
f ij
dij
f
d
0
f (ijdij , d f (ij,
内变量的性质
• 随加载过程，内变量不断地增加 • 中性变载或者卸载时，则内变量保持不变
不会出现反向屈服。恢复掉的弹性应变是：
e
=1 E
1 s
因此，C点的应变是 C=Be=9s
（3） = 01 当= (1)s，材料产生反向屈服，当从D点到E点时，产生压缩塑
性应变是
p=
1 D h
18 s
而从C点到E点产生的弹性应变是e = (1+)s，最后的应变是
E= (1+)s18s+9s= (1+10)s
总之：内变量只会增加，不会减少。 且只有产生新的塑性变形时，它才会增加。 是塑性变形的不可逆性所决定的。
等向强化
• 几何特点（在应力空间）： 加载面形状和中心位置都不变，大小变化，形状相似的扩大。
• 物理意义： 假定材料在强化后仍保持各向同性的性质。
• 数学表示： f (ij) k() = 0
f(J2，J3) k() = 0 进一步解释：等向强化可理解为材料某一方向上因加载屈服极限得到提 高，所有其它方向的屈服极限都将因此而得到同等程度的提高。
初始屈服面
后继屈服面
例1-3 简单拉伸下材料的关系曲线用线性强化模型近似表示为
E = s h p
0 s (s / E) s
其中，常数h=E/9。材料质点经历了如下单轴应力历史： = 0 10 1
其中，1= (1+)s，0<<1。试确定线性随动强化模型下的相应应变历史
解： 线性随动强化模型下，其强化条件均可表示为
• 背应力增量应平行于塑性应变增量 dij=c dipj
式中c是材料常数，由试验确定。 • 对于Mises屈服条件，该模型可写成
ij
c
p ij
3 2
sij
c
p ij
sij
c
p ij
s
单轴加载（拉伸或压缩）时
s11=
2 3
s22=s33=
1 3
1p1 p
p 22
p 33
1 2
p
强化模型式简化为：
hp=s
（1） = 0 1 当=s时，材料屈服，当s<<1即从A到B点，产生塑性变形，
B点的总应变为
(p)B
1
s h
91
E
s
9s
B=e+p
=
1 E
p
1 s
9s
110 s
得强化条件为
s=s
1
B
s
A
s
O
C
D
E
1
（2） = 10 当 = 10，材料处于卸载状态。由于<1， 在0 －1之间，
2 3
p ij
ipj
只有在塑性应变增量各分量之间的比例在整个加载过程中始终保持不 变时，两者才能相等
应力状态与屈服面的关系
当应力状态ij处在加载面上 f (ij，) = 0，
再施加增量dij，产生三种情况： （1）加载：dij指向加载面外 （2）中性变载：dij沿着加载面 （3）卸载：dij指向加载面内
f
dij
ij
f nij = ij
是屈服面外法线
加载条件还可以表示为
f(ij)=0 d•n=0 加载 f(ij)=0 d•n<0 卸载
强化材料的加卸载准则
当应力状态处在当前加载面上，再施加应力增量，产生三种情况 （1）加载：应力增量指向加载面外，推动加载面变化，
产生新的塑性变形（同时会产生弹性变形）。 （2）中性变载：应力增量沿着加载面，即与加载面相切，
累积塑性变形 塑性功
d
2 3
dipj
d
p ij
d p
பைடு நூலகம்
d ijdipj dw p
累积塑性应变与等效应变的不同
• 将整个加载过程看作是许许多多的应力增量过程d所组成。
•
将每一个应力增量过程中所产生的塑性应变增量
d
p ij
计算出 d p
然后累加起来，即计算积分 d p
• 等效塑性应变 p
p
(p)＝0
C
*
B
s
A'
p
A
O
E
p
e
复杂应力状态
• 使用一组内变量（=1，2，…，n）描述塑性变形历史， • 后继屈服条件
f (ij，)=0 随塑性变形的发展，不断变化，后继屈服面或加载面也随之改变。 • 定义内变量应该根据材料内部细微结构不可逆的改变， • 通常根据宏观实验结果，引用宏观变量定义内变量
单轴拉伸下的强化
• 随加载，屈服极限会不断提高，称为强化或硬化 • 新的屈服极限：
(s)new = Max history
• 后继屈服条件（也称加载条件） ＝(s)new 处于屈服状态
<(s)new， 处于卸载状态 • Max history 随塑性变形历史单调增长，
Max history ＝(p) • 后继屈服条件即加载条件也可表示为