沪教版高二年级第一学期领航者第七章7.6归纳—猜想—论证

沪教版高二年级第一学期领航者第七章7.6归纳—猜想—论证学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．观察下列等式：211=，2132+=，21353++=，213574+++=，可以猜想：()13521n +++⋅⋅⋅+-=______.2．在数列{}n a 中，已知11a =，22a =.若()1223,n n n a a a n n *--=-≥∈N ，则3a =______，4a =______，5a =______，进而猜想n a =______. 3．根据下列各式的规律：==归纳猜想用(),2n n n *∈≥N 表示的等式为______.4．计算前几项：1，234++，34567++++，⋅⋅⋅等各项的值，可以猜想第n 个式子为______. 5．若()33xf x x =+，11x =，()1n n x f x -=，分别计算2x ，3x ，4x ，进而猜想n x =______.二、单选题6．猜测()24441111921n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅-⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭-⎢⎥⎣⎦对n N ∈且1n ≥成立的一个表达式为（ ） A ．2n n+-B ．2121n n +- C ．2121n n +-- D ．11n n +-- 7．证明命题2n <n 的取值范围为（ ）A ．1n >B ．2n >C ．15n >D ．16n >8．猜测使2n a n >对任意正整数n 恒成立的最小正整数a 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5三、解答题9．（1）分别计算数列1-，13-+，135-+-，1357-+-+各项的值； （2）根据（1）的计算猜想()()1357121nn a n =-+-+-⋅⋅⋅+--的表达式；（3）用数学归纳法证明你的猜想.10．已知数列{}n a 满足112a =，()112,21n nn a a n n a *--=≥∈+N . （1）求2a 、3a ，4a ；（2）猜想出通项公式n a ，并用数学归纳法加以证明. 11．已知()()()()()()11111,121231f n g n f f f n n f n =+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-⎡⎤⎣⎦-. （1）写出()2g ，()3g ，()4g 的值； （2）归纳()g n 的值，并用数学归纳法加以证明.12．已知数列{}n a 满足()21n a n n =+，是否存在等差数列{}n b ，使1212n n a b b n b =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅对一切正整数n 都成立？请证明你的结论.参考答案1．2n 【解析】 【分析】由题意结合所给的等式进行归纳猜想即可. 【详解】观察所给的等式可得，等式的右侧结果为：22221,2,3,4,，据此可猜想第n 个等式当左侧为()13521n +++⋅⋅⋅+-时右侧为2n . 故答案为：2n ． 【点睛】本题主要考查类比推理与归纳的方法，属于中等题. 2．3 4 5 n 【分析】由题意首先计算345,,a a a 的值，据此猜测n a 的值即可. 【详解】由题意可得：32122213a a a =-=⨯-=，43222324a a a =-=⨯-=，54322435a a a =-=⨯-=，据此可猜想n a n =. 故答案为3,4,5，n ． 【点睛】本题主要考查类比推理与归纳猜想，属于中等题.3．= 【分析】由题意利用所给式子的规律确定用n 表示的等式即可. 【详解】 观察所给的等式，对于等式左侧：若根号外部为n ，则根号内分子部分为n ，分母部分为21n -， 对于等式右侧：第一项为n ，第二项的分子部分为n ，分母部分为21n -，据此可得用(),2n n n *∈≥N 表示的等式为=.故答案为：=． 【点睛】本题主要考查归纳推理的方法，属于基础题. 4．()()()213221n n n n +++⋅⋅⋅+-=- 【分析】首先计算所给的算式的值，然后猜想第n 个式子即可. 【详解】计算题中所给的算式的值：()21211=⨯-，()22349221++==⨯-，()23456725231++++==⨯-，据此可猜想第n 个式子为()()()213221n n n n +++⋅⋅⋅+-=-. 故答案为：()()()213221n n n n +++⋅⋅⋅+-=-． 【点睛】归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法． 5．32n + 【分析】首先利用所给的关系式计算2x ，3x ，4x 的值，然后猜想n x 的值即可. 【详解】由题意可得：()()213133113422x f x f ⨯=====++，()323333343453234x f x f ⨯⎛⎫===== ⎪+⎝⎭+， ()433333353464235x f x f ⨯⎛⎫===== ⎪+⎝⎭+，且3112=+， 据此可猜想：32n x n =+. 故答案为：32n +．【点睛】本题主要考查归纳推理的方法，递推关系及其应用，函数值的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 6．C 【分析】由题意分别令1,2n n ==考查所给的选项是否符合题意，排除错误选项即可确定满足题意的表达式. 【详解】当1n =时，()244441111319121n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅-=-=-⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭-⎢⎥⎣⎦， 考查所给的选项，当1n =时，221213,3,32121n n n n n n +++-=-=-=---，而11n n +--无意义，据此可排除BD 选项，当2n =时，()2444445111111919321n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅-=--=-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎢⎥⎣⎦， 考查选项AC ，当2n =时，22152,213n n n n ++-=--=--， 据此可排除A 选项， 故选：C . 【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，排除法解选择题的技巧等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 7．D由题意结合选项利用特殊值排除错误选项即可确定自然数n 的取值范围. 【详解】注意到当16n =时，2221616n ====，不满足2n <据此可排除选项ABC . 故选：D . 【点睛】本题主要考查排除法解选择题的方法，属于基础题. 8．B 【分析】由题意结合选项利用特殊值排除选项A ，然后利用数学归纳法证明选项B 正确即可. 【详解】注意到当2,4a n ==时，2n a n >不成立，则2a =不合题意， 当3a =时，不等式即23n n >， 当1n =时，不等式即31>， 当2n =时，不等式即94>，下面用数学归纳法证明该式对于*,3n N n ∈≥成立， 当3n =时，不等式即279>，明显成立， 假设()*3,n k k k N=≥∈时不等式成立，即23kk >,则当1n k =+时，123333k k k +=⋅>， 而()()222*31221k k k k k N-+=--∈，结合二次函数的性质可知，当2k >时，22221222210k k -->⨯-⨯->，故当*3,k k N ≥∈时，()()2222310,31k k k k -+>>+.综上可得，23n n >对任意的n 均成立. 则最小正整数a 的值为3. 故选B .本题主要考查数学归纳法的应用，排除法处理选择题的技巧等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．（1）1-，2，3-，4；（2）()1nn a n =-；（3）证明见解析. 【分析】(1)由题意计算所给的各项的值即可； (2)结合(1)中的结果即可猜想n a 的表达式；(3)利用数学归纳法分别证明当1n =和2n ≥时命题成立即可证得(2)中的猜想. 【详解】（1）由已知计算可得：11-=-，132-+=，1353-+-=-， 13574-+-+=，（2）根据（1）的计算猜想()()()13571211nnn a n n =-+-+-⋅⋅⋅+--=-.（3）下面用数学归纳法证明：()()()135791211nnn n -+-+-+⋯+--=-.①当n =1时，由(1)得原式成立； ②假设当n =k 时，原式成立， 即()()()135791211kkk k -+-+-+⋯+--=-，那么，当n =k +1时，()()()()1135********kk k k +-+-+-+⋯+--+-+()()()11121kk k k +=-+-+()()1121k k k +=--++()()111k k +=-+，故n =k +1时，原式也成立，由①②知()()()135791211nnn n -+-+-+⋯+--=-对*n N ∈都成立．1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n ＝n 0的n 0不一定为1，而是根据题目要求选择合适的起始值．第(2)步，证明n ＝k ＋1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法. 10．（1）214a =，316a =，418a =；（2）12n a n=，证明见解析. 【分析】(1)由题意利用递推关系式即可求得2a 、3a ，4a 的值；(2)结合(1)中的结果首先猜想数列的通项公式，然后利用数学归纳法进行证明即可. 【详解】(1)由题意可得：1211121214212a a a ===+⨯+，2321141216214a a a ===+⨯+， 3431161218216a a a ===+⨯+； (2)结合(1)的结果可猜想数列的通项公式为：12n a n=，下面用数学归纳法进行证明：当1n =时，111212a ==⨯满足题意， 假设n k =时假设成立，即12k a k=，则当1n k =+时，()111212121212k k k a k a a k k+===++⨯+， 则1n k =+时等号也成立， 综上可得，12n a n=对任意的*n N ∈都成立. 【点睛】本题主要考查数列中的递推关系，归纳推理的方法，数学归纳法的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．（1）()22g =，()33g =，()44g =；（2）()g n n =，证明见解析. 【分析】(1)由题意结合所给的条件首先求得()()()2,3,4f f f 的值，然后求解()2g ，()3g ，()4g 的值即可；(2)结合(1)中的结果首先猜想()g n 的值，然后用数学归纳法加以证明即可. 【详解】 (1)由题意可得： f (1)=1，13(2)122f =+=，1111(3)1236f =++=，11125(4)123412f =+++=. 1(2)(1)2(2)1g f f ∴=⨯=-，1(3)[(1)(2)]3(3)1g f f f =+=-，1(4)[(1)(2)(3)]4(4)1g f f f f =++=-.(2)由(1)猜想g (n )=n (n ⩾2). 下面利用数学归纳法证明： ①当n =2时，猜想成立；②假设当*,)2(n k k N k =∈时，g (k )=k . 即1()[(1)(2)(1)]()1g k f f f k k f k =++⋯+-=-，∴f (1)+f (2)+…+f (k −1)=kf (k )−k ， 则当n =k +1时，1(1)[(1)(2)()](1)1g k f f f k f k +=++⋯++-1[(1)()]1()11k f k k f k k =⋅+-+-+=k +1，因此当n =k +1时，命题g (k +1)=k +1成立. 综上可得：*n N ∀∈，g (n )=n (n ⩾2)成立. 【点睛】本题主要考查递推关系的应用，归纳推理的应用，数学归纳法的证明方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12．存在，31n b n =+，证明见解析. 【分析】由题意，首先令n =1,2,3来猜想数列的通项公式，然后利用先猜后证的方法证明猜想的通项公式成立即可. 【详解】假设存在等差数列{b n },使1212n n a b b n b =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅对一切正整数n 都成立. 当n =1,2,3时,1121231234;182;48123a b a b b a b b b ====+==⋅+⋅+. 联立解得1234,7,10b b b ===. ∴公差d =7−4=3， ∴b n =4+3(n −1)=3n +1. ∴nb n =3n 2+n .以下验证猜想的正确性：()22212123(1)122n b b n b n n n +++⋯++⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=⨯ (1)(21)(1)362n n n n n +++=⨯+2(1)n n =+n a =∴存在等差数列{b n },其通项公式为b n =3n +1,使1212n n a b b n b =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅对一切正整数n 都成立. 【点睛】本题主要考查等差数列的应用，先猜后证的应用，递推关系的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。