人教版高二数学必修五：课时作业5有答案

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人教版数学高二B版必修5课时作业数列

课时作业(五) 数列A 组(限时：10分钟)1．下列叙述正确的是( )A ．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列B ．数列0,1,2,3，…可以表示为{n }C ．数列0,1,0,1，…是常数列D ．数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫n n ＋1是递增数列解析：数列中的项是有序的，故A 错；B 中通项为{n －1}；C 中数列为摆动数列，故选D.答案：D2．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图)．则第7个三角形数是( )A ．27B ．28C ．29D ．30解析：由已知从第二项起，每一项与前一项的差是这一项的项数，即a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，以此规律得a 6－a 5＝6，∴a 7－a 6＝7.∴a 7＝7＋a 6＝7＋6＋a 5＝13＋15＝28. 答案：B3．0，－1,0,1,0，－1,0,1，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝(－1)n ＋12B ．a n＝cos n π2 C ．a n ＝cos (n ＋1)π2 D ．a n ＝cos (n ＋2)π2解析：将n ＝1,2,3,4分别代入验证，可得B 正确．答案：B4．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，则10－3是此数列的第________项．解析：a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，令n ＝9，则a 9＝10－9＝10－3.答案：95．已知数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫9n 2－9n ＋29n 2－1， (1)求这个数列的第10项；。

高中数学必修五课时作业 [整书][全套]

§1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理(一)基础过关1.在△ABC中，BC＝a＝5，AC＝b＝3，则sin A∶sin B的值是()A.53 B.35C.37 D.57解析sin Asin B＝ab＝53.答案 A2.在△ABC中，A＞B，则下列不等式中不一定正确的是()A.sin A＞sin BB.cos A＜cos BC.sin 2A＞sin 2BD.cos 2A＜cos 2B解析A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B，A正确.由于(0，π)上，y＝cos x单调递减，∴cos A＜cos B，B正确.∵sin A＞sin B＞0，∴sin2A＞sin2B，1－2sin2A<1－2sin2B，∴cos 2A＜cos 2B，D正确.答案 C3.在△ABC 中，若a ＝2，b ＝23，A ＝30°，则B 为( ) A.60° B.60°或120° C.30°D.30°或150°解析由正弦定理可知a sin A ＝bsin B ，∴sin B ＝b sin A a ＝23×122＝32， ∵B ∈(0°，180°)， ∴B ＝60°或120°，故选B. 答案 B4.在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3c ，则bc ＝________. 解析在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3c ，由正弦定理可得：a sin A ＝csin C ，3c sin 2π3＝c sin C ，sin C ＝12，由于c <a ，且C ∈(0，π).故C ＝π6，则B ＝π－2π3－π6＝π6.三角形是等腰三角形，B ＝C ，则b ＝c ，则b c ＝1. 答案 15．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________．解析由正弦定理可得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ⇒cos B ＝12⇒B ＝π3. 答案 π36.在△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，已知A ＝45°，B ＝30°，c ＝10，解三角形.解因为A ＋B ＋C ＝180°，所以C ＝105°.所以sin C ＝sin 105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝6＋24. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得a ＝sin A sin C ·c ＝10(3－1)， b ＝c sin B sin C ＝10sin 30°sin 105°＝5(6－2).所以C ＝105°，a ＝10(3－1)，b ＝5(6－2). 7.在△ABC 中，a ＝1，b ＝3，A ＝30°，求边c 的长. 解由a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝32. ∵a ＜b ，∴B ＞A ＝30°， ∴B 为60°或120°.当B ＝60°时，C ＝180°－60°－30°＝90°. 此时，c ＝a 2＋b 2＝1＋3＝2.当B ＝120°时，C ＝180°－120°－30°＝30°. 此时，c ＝a ＝1. 综上知c ＝1或2.能力提升8.在△ABC 中，已知B ＝60°，最大边与最小边的比为3＋12，则三角形的最大角为( ) A.60° B.75° C.90°D.115°解析不妨设a 为最大边，c 为最小边，由题意有a c ＝sin A sin C ＝3＋12，即sin Asin （120°－A ）＝3＋12.整理得(3－3)sin A ＝(3＋3)cos A . ∴tan A ＝2＋3，又∵A ∈(0°，120°)，∴A ＝75°，故选B. 答案 B9.在△ABC 中，a ＝4，b ＝52，5cos(B ＋C )＋3＝0，则角B 的大小为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.56π解析由5cos(B ＋C )＋3＝0得cos A ＝35， ∴A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin A ＝45，由正弦定理得445＝52sin B ，∴sin B ＝12.又∵a ＞b ，∴A ＞B ，且A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴B 必为锐角，∴B ＝π6. 答案 A10.在单位圆上有三点A ，B ，C ，设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，则a sin A ＋b2sin B ＋2csin C＝________. 解析 ∵△ABC 的外接圆直径为2R ＝2， ∴a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ＝2，∴a sin A ＋b 2sin B ＋2csin C ＝2＋1＋4＝7. 答案 711.锐角三角形的内角分别是A ，B ，C ，并且A ＞B .则sin A ＋sin B 和cos A ＋cos B 的大小关系为________.解析在锐角三角形中，∵A ＋B ＞π2，∴A ＞π2－B ，函数y ＝sin x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，则有sin A ＞sin (π2－B )，即sin A ＞cos B ，同理sin B ＞cos A ，故sin A ＋sin B ＞cos A ＋cos B.答案 sin A ＋sin B ＞cos A ＋cos B12.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B ＝π3，cos A ＝45，b ＝ 3. (1)求sin C 的值； (2)求a 的值.解 (1)∵B ＝π3，cos A ＝45， ∴C ＝2π3－A ，sin A ＝35，∴sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝32cos A ＋12sin A ＝3＋4310.(2)由(1)，知sin A ＝35，又B ＝π3，b ＝3，∴由正弦定理，得a ＝b sin Asin B ＝3×35sin π3＝65. 创新突破13.在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，B ＝2A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值.解 (1)因为a ＝3，b ＝26，B ＝2A .所以在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即3sin A ＝26sin 2A . 所以2sin A cos A sin A ＝263.故cos A＝63.(2)由(1)知cos A＝6 3，所以sin A＝1－cos2A＝33.又因为B＝2A，所以cos B＝2cos2A－1＝13.所以sin B＝1－cos2B＝223.在△ABC中，sin C＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝539.所以c＝a sin Csin A＝5.1.1.2.2 正、余弦定理解三角形一课一练一. 选择题1．在∆ABC 中，acosA =bcosB =ccosC ，则∆ABC 一定是（）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形2. 在∆ABC 中，若sin 2A +sin 2B <sin 2C ，则∆ABC 的形状是（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定3. 在∆ABC 中，a =80，b =100，A =30°，则角B 的解的个数是（） A ．0 个 B ．1 个 C ．2 个 D ．不能确定4. 在∆ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若acosA =bsinB ，则 sinAcosA + cos 2B =（）A ．−12B ．12C ．−1D ．15. 在∆ABC 中，AB =3，AC =2，BC =√10 ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（） A ．−32B ．−23C ．23D ．326. 已知∆ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =c =√6+√2，且 A =75°，则b =（）A ．2B ．4+2√3C ．4−2√3D ．√6−√2 二. 填空题7. 在∆ABC 中，b =50√3，c =150，B =30°，则边长a =_____________.8. 若x 、x +1、x +2是钝角三角形的三边长，则实数x 的取值范围是_____________.9. 设∆ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cosA =35，cosB =513，b =3，则c = _____________.三. 解答题10. 在△ABC 中，已知 b =3，c =3√3，B =30°，解此三角形.11．在∆ABC 中，已知︒=120A ，7=a ，8=+c b ，求b ，c .12．在∆ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . （1）若sin (A +π6)=2cosA ，求 A 的值；（2）若cosA =13，b =3c ，求sinC 的值；一课一练参考答案一. 选择题 1．【答案】D【解析】由a cosA =b cosB =c cosC 和正弦定理a sinA =b sinB =csinC 得 tanA =tanB =tanC 故选D. 2.【答案】C 3.【答案】C【解析】∵ bsinA =100×sin30°=50 ∴ bsinA < a <b ∴ 该三角形有两组解，故选C.4.【答案】D【解析】由acosA =bsinB 及正弦定理得sinAcosA =sin 2B ，所以sinAcosA +cos 2B = sin 2B +cos 2B =1，故选D. 5.【答案】D【解析】由余弦定理得cosA =AC 2+AB 2−BC 22AC∙AC=22+32−√1022×2×3=14，所以AB⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosA =3×2×14=32，故选D. 6.【答案】A【解析】由题意，A =C =75°，所以B =30°，由正弦定理得b =asinA ∙sinB =√6+√2√6+√24×12=2，故选A.二. 填空题7.【答案】a =100√3 或 a =50√3【解析】由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB 得(50√3)2=a 2+1502−2a ×150×cos30°，即a 2−150√3a +15000=0，解得a =100√3 或 a =50√3.8.【答案】1<x <3【解析】由题意知 x +2 所对的角为钝角，所以 x 2+(x +1)2−(x +2)2<0，解得−1<x <3，又由x +(x +1)>x +2 解得x >1，所以x 的取值范围是1<x <3 9.【答案】145【解析】由题设知sinA =45，sinB =1213，所以sinC =sin (A +B )=sinAcosB +cosAsinB =5665，再由正弦定理得c =b sinB ∙sinC =145.三. 解答题10.【解析】方法1）由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB 得32=a 2+(3√3)2−2a ×3√3×cos30°，整理得 a 2−9a +18=0，解得a =3 或 a =6.当a=3时，A=B=30°∴C=120°；当a=6 时，由正弦定理得sinA=asinBb =6×123=1∴A=90°，C=60°方法2）由正弦定理得sinC=csinBb =3√3×123=√32∵0°<C<180°且由c>b得C>B∴C=60° 或 C=120°当C=60°时，A=90°∴a=√b2+c2=6当C=120° 时，A=B=30°，a=b=311．【解析】由(b+c)2=b2+c2+2bc=64得 b2+c2=64−2bc 由a2=b2+c2−2bccosA得49=64−2bc+bc，即 bc=15又b+c=8∴b=3，c=5或b=5，c=312．【解析】（1）由题设知sinAcosπ6+cosAsinπ6=2cosA，即sinA=√3cosA∴cosA≠0，tanA=√3又0<A<π A=π3（2）由cosA=13，b=3c 和余弦定理a2=b2+c2−2bccosA得a2=b2−c2∴∆ABC是直角三角形，且B=π2∴sinC=cosA=131.2.1 解三角形应用举例（一）测量距离的问题一课一练一．选择题1. 如图，为了测量障碍物两侧A ，B 间的的距离，给定下列四组数据，测量时能用到的数据是（）A ．α，a ，bB ．α，β，aC ．a ，b ，γD ．α，β，b2．两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( ) A ．a km B.3a km C.2a km D ．2a km3. 我军在海上有A 、B 两个小岛相距10海里，敌军在C 岛，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，为提高炮弹命中率，须知道B 岛和C 岛间的距离，你作为我方士兵，计算B 、C 间的距离是（） A ．10√3 海里 B ．10√63海里 C ． 5√2 海里 D ． 5√6 海里4．一船向正北航行，看见正西方向有相距10n mlie 的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时( )A ．5n mlieB ．53n mlieC ．10n mlieD ．103n mlie 5．如图所示为起重机装置示意图．支杆BC ＝10 m ，吊杆AC ＝15 m ，吊索AB ＝519 m ，起吊的货物与岸的距离AD 为( )A ．30 m B.1523 m C ．153m D ．45m6．飞机沿水平方向飞行，在A 处测得正前下方地面目标C 的俯角为30°，向前飞行10 000m到达B 处，此时测得正前下方目标C 的俯角为75°，这时飞机与地面目标的水平距离为 ( )A ．2 500(3－1)mB ．5 0002mC ．4 000mD ．4 0002m 二．填空题7．为了测量河的宽度，在一侧岸边选定两点A 、B ，对岸有一标记物C ，测得∠CAB =30°， ∠CBA =75°，AB =120m ，则河的宽度是_____________.8. 两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于10km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东30°，灯塔B 在观察站C 南偏东60°，则A 、B 之间的距离为_____________.9．某海岛周围38n mile 有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30n mile后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船________触礁危险（填“有”或“无”）．三．解答题10．如图，一艘船以40 n mile/h的速度向正北航行.在A处看灯塔S在船的北偏东15°的方向，30 min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东60°的方向，已知距离此灯塔6 n mile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续一直沿正北方向航行吗？11．如图，我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知CD＝6 000 m．∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目标出现于地面B处时测得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°.求炮兵阵地到目标的距离．(结果保留根号)12．海上某货轮在A处看灯塔B，在货轮北偏东75°，距离为126n mile；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为83n mile；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B的方位角为120°.求：(1) A处与D处的距离；(2) 灯塔C与D处之间的距离．一课一练参考答案一．选择题1.【答案】C2．【答案】B【解析】∠ACB＝120°，AC＝BC＝a，由余弦定理可得AB＝3a(km)．3.【答案】D4．【答案】C【解析】如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，∴∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10，在Rt △ABC 中，求得AB ＝5 ∴这艘船的速度是50.5＝10(n mlie/h)． 5．【答案】D【解析】在△ABC 中，AC ＝15 m ，AB ＝519 m ，BC ＝10 m ，由余弦定理得cos ∠ACB ＝AC 2＋BC 2－AB 22×AC×BC ＝152＋102－51922×15×10＝－12∴sin ∠ACB ＝32.又∠ACB ＋∠ACD ＝180°， ∴sin ∠ACD ＝sin ∠ACB ＝32.在Rt △ACD 中，AD ＝AC sin ∠ACD ＝15×32＝1532(m)．故选D 6．【答案】A【解析】示意图如图，∠BAC ＝30°，∠DBC ＝75°，∴∠ACB ＝45°，AB ＝10 000.由正弦定理，得10 000sin45°＝BC sin30°，又cos75°＝BDBC，∴BD ＝10 000·sin30°sin45°·cos75°＝2 500(3－1)(m)．二．填空题 7．【答案】60m8.【答案】10√2 km9．【答案】无触礁的危险【解析】如图所示，由题意在△ABC 中，AB ＝30，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝135°，∴∠ACB ＝15°，由正弦定理，得BC ＝ABsin ∠BAC sin ∠ACB ＝30sin30°sin15°＝156－24＝15(6＋2)．在Rt △BDC 中，CD ＝22BC ＝15(3＋1)>38.∴ 此船无触礁的危险．三．解答题10．【解析】在∆ASB 中，∠BAS =15°，∠ASB =60°−15°=45°，AB =20 (n mile)由正弦定理得 SB =ABsin ∠BAS sin ∠ASB=20sin15°sin45°=10(√3−1)(n mile)设点 S 到直线AB 的距离为d ,则d =SB ∙sin60°=15−5√3≈6.34(n mile)∵ d >6 n mile ∴ 这艘船可以继续一直沿正北方向航行.11．【解析】在△ACD 中，∠CAD ＝60°，AD ＝CD·sin45°sin60°＝63CD .在△BCD 中，∠CBD ＝135°，BD ＝CD·sin30°sin135°＝22CD ，∠ADB ＝90°.在Rt △ABD 中，AB ＝AD 2＋BD 2＝426CD ＝1 00042(m)．∴ 炮兵阵地到目标的距离为1 00042 m.12．【解析】由题意，画出示意图，如图所示．(1)在△ABD 中，由已知∠ADB ＝60°，则B ＝45°.由正弦定理，得AD ＝ABsin45°sin60°＝24(n mile)(2) 在△ADC 中，由余弦定理，得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ×AC cos30°＝242＋(83)2－2×24×83×32＝(83)2，∴CD ＝83(n mile)∴ A 处与D 处之间距离为24n mile ，灯塔C 与D 处之间的距离为83n mile.1.2.2 解三角形应用举例之（Ⅱ）测量高度、角度的问题一课一练一.选择题1．某次测量中，A 在B 的北偏东55°，则B 在A 的( )A ．北偏西35°B ．北偏东55°C ．南偏西35°D ．南偏西55° 2．某工程中要将一长为100 m 倾斜角为75°的斜坡，改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长( )3. 若某人在点A 测得金字塔顶端仰角为30°，此人往金字塔方向走了80米到达点B ，测得金字塔顶端的仰角为45°，则金字塔的高度最接近于(忽略人的身高) ( ) A ．110米 B ．112米 C ．220米 D ．224米4．在地面上点D 处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A 与底部B 的仰角分别为 60°和30°，已知建筑物底部高出地面D 点20m ，则建筑物高度为( ) A ．20m B ．30m C ．40m D ．60m5．从某电视塔的正东方向的A 处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B 处，测得塔顶仰角为45°，A 、B 间距离是35 m ，则此电视塔的高度是( )A ．521mB ．10m C.4 90013m D ．35m6．一轮船从A 点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B ，又从B 沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C ，若此轮船从A 点直接沿直线行驶至海岛C ，则此船沿( )方向行驶( )海里至海岛C ( ) A ．北偏东60°；10 2 B ．北偏东40°，10 3 C ．北偏东30°，10 3 D ．北偏东20°，10 2 二.填空题7．在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为θ，由此点向塔沿直线行走30米，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔前进10√3米，又测得塔顶的仰角为4θ，则塔高是__________米．8．学校里有一棵树，甲同学在A 地测得树尖的仰角为45°，乙同学在B 地测得树尖的仰角为30°，量得AB ＝AC ＝10m 树根部为C (A 、B 、C 在同一水平面上)，则∠ACB ＝________.9．甲船在A 处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a 海里，乙船向正北行驶．若甲船速度是乙船的3倍，则甲船应取方向______才能追上乙船，追上时甲船行驶了_________海里．三.解答题10．如下图所示，两点C 、D 与烟囱底部在同一水平直线上，在点C 1、D 1，利用高为1.5 m的测角仪器，测得烟囱的仰角分别是α＝45°和β＝60°，C、D间的距离是12 m，计算烟囱的高AB.(精确到0.01 m)11. 如下图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，求建筑物的高度.12. 如下图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12n mile，渔船乙以10n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2h追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sinα的值．一课一练一.选择题1．【答案】D【解析】根据题意和方向角的概念画出草图，如下图所示．α＝55°，则β＝α＝55°.所以B 在A的南偏西55°.故应选D.2．【答案】A【解析】如下图，由条件知，AD＝100sin75°＝100sin(45°＋30°)＝100(sin45°cos30°＋cos45°sin30°)＝25(6＋2)，CD＝100cos75°＝25(6－2)，BD＝ADtan30°＝256＋233＝25(32＋6)．∴BC＝BD－CD＝25(32＋6)－25(6－2)＝1002(m)．3.【答案】A【解析】设金字塔高CD＝h米．如下图，在Rt△BCD中，∠DBC＝45°，所以BC＝2CD＝2h米．在△ABC中，由正弦定理得ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC，∴80sin15°＝2hsin30°∴2h ＝80×126－24＝1606＋24＝40(6＋2)，∴h ＝40(3＋1)米≈40×(1.73＋1)米＝109.2(米)．故选A. 4．【答案】C【解析】设O 为塔顶在地面的射影，在Rt △BOD 中，∠ODB ＝30°，OB ＝20，BD ＝40，OD ＝203，在Rt △AOD 中，OA ＝OD ·tan60°＝60，∴AB ＝OA －OB ＝40. 5．【答案】A【解析】作出如下示意图，设塔高OC 为h m ，在Rt △AOC 中，OA ＝h cot60°＝33h ，OB ＝h . AB ＝35，∠AOB ＝150°，由余弦定理得352＝(33h )2＋h 2－2×33h ·h cos150°，解得h ＝521.6．【答案】B【解析】由已知得在△ABC 中∠ABC ＝180°－70°＋10°＝120°，AB ＝BC ＝10，故∠BAC ＝30°，所以从A 到C 的航向为北偏东70°－30°＝40°，由余弦定理得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC＝102＋102－2×10×10×⎝⎛⎭⎫－12＝300，所以AC ＝10 3. 二.填空题 7．【答案】15【解析】作出示意图如下图所示，由题意知∠ABC ＝θ，∠ACD ＝2θ，∠ADE ＝4θ， AC ＝BC ＝30米，AD ＝CD ＝103米．在△ACD 中，cos2θ＝12AC CD ＝15103＝32，所以sin2θ＝12.在Rt △ACE 中，AE ＝AC sin2θ＝30×12＝15(米)．8．【答案】30°【解析】如下图，AC ＝10，∠DAC ＝45°，∴DC ＝10，∵∠DBC ＝30°，∴BC ＝103， cos ∠ACB ＝102＋1032－1022×10×103＝32，∴∠ACB ＝30°. 9．【答案】北偏东30° 3a【解析】如下图所示，设在C 点甲船追上乙船，乙到C 地用的时间为t ，乙船的速度为v ，则BC ＝tv ，AC ＝3tv ，∠B ＝120°，由正弦定理知BC sin ∠CAB ＝ACsin B，所以1sin ∠CAB ＝3sin120°，即sin ∠CAB ＝12，所以∠CAB ＝30°，∠ACB ＝30°，所以BC ＝AB ＝a ，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos120°＝a 2＋a 2－2a 2·⎝⎛⎭⎫－12＝3a 2，所以AC ＝3a .三.解答题 10．【解析】在△BC 1D 1中，∠BD 1C 1＝120°，∠C 1BD 1＝15°.由正弦定理C 1D 1sin ∠C 1BD 1＝BC 1sin ∠BD 1C 1，∴BC 1＝12sin120°sin15°＝182＋66，∴A 1B ＝22BC 1＝18＋63，则AB ＝A 1B ＋AA 1≈29.89(m)．11.【解析】设建筑物的高度为h ，由题图知，P A ＝2h ，PB ＝2h ，PC ＝233h ，∴在△PBA 中，由余弦定理，得cos ∠PBA ＝602＋2h 2－4h 22×60×2h，①在△PBC 中，由余弦定理，得cos ∠PBC ＝602＋2h 2－43h 22×60×2h.②∵∠PBA ＋∠PBC ＝180°， ∴cos ∠PBA ＋cos ∠PBC ＝0.③由①②③，解得h ＝306或h ＝－306(舍去)，即建筑物的高度为306m.12.【解析】(1) 在△ABC 中，∠BAC ＝180°－60°＝120°，AB ＝12，AC ＝10×2＝20，∠BAC ＝α. 由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784.解得BC ＝28.所以渔船甲的速度为BC2＝14n mile/h.(2) 在△ABC 中，因为AB ＝12，∠BAC ＝120°，BC ＝28，∠BCA ＝α，由正弦定理，得AB sin α＝BC sin120°，即sin α＝AB sin120°BC ＝12×3228＝3314.1.2.3 解三角形应用举例之（四）三角形中的计算问题一课一练一．选择题1．在∆ABC 中，若sin A a ＝cos Bb，则角B 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°2．在∆ABC 中，a =2bcosC ，则该三角形一定是（）A ．等腰∆B ．直角∆C ．等腰直角∆D ．等腰或Rt ∆ 3．在∆ABC 中，AB =3，BC =√13，AC =4，则边AC 上的高为（）A ．3√22B ．3√32C ．32D ．3√34．已知锐角∆ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°5．在∆ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，当∆ABC 的面积等于32时，sin C 等于( )A.32B.12C.33D.346．在钝角三角形ABC 中，若sin A <sin B <sin C ，则( )A ．cos A ·cos C > 0B ．cos B ·cosC > 0 C ．cos A ·cos B > 0D ．cos A ·cos B ·cos C > 0 二．填空题7．在∆ABC 中，三边分别为a ，b ，c ，且S ∆ABC =a 2+b 2−c 24，那么C = _________.8．半径为1的圆内接∆ABC 的面积为14，则abc = ______________.9．已知在∆ABC 中，B =30°，b =6，c =6√3，则∆ABC 的面积为_______________. 三．解答题10．在∆ABC 中，已知 AB⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BC ⃗⃗⃗⃗⃗ . (1) 求证：tanB =3tanA ；(2) 若cosC =√55，求A 值的.11. 已知非等边∆ABC 的外接圆半径长为2，最大边长BC =2√3. （1）求角 A 的大小；（2）求sinB +sinC 的取值范围.12．在∆ABC 中，sin(C －A )＝1，sin B ＝13.(1)求sin A 的值；(2)设AC ＝6，求∆ABC 的面积．一课一练一．选择题 1．【答案】B【解析】由正弦定理知sin A a ＝sin B b ，∵ sin A b ＝cos B b， ∴sin B ＝cos B ，又0°<B <180°，∴B ＝45°.2．【答案】A【解析】由 a =2bcosC 及正弦定理得 sinA =2sinBcosC又 A =π−(B +C) ∴ sinA =sin (B +C )=sinBcosC +cosBsinC∴ 再由sinA =2sinBcosC 得 sin (B −C )=0又 −π<B −C <π ∴ B −C =0，即B =C∴ 该三角形是等腰三角形，故选A. 3．【答案】B【解析】由余弦定理cosA =AB 2+AC 2−BC 22AB∙AC =12，∴ sinA =√32 ∴h =AB ∙sinA =3√32 4．【答案】B【解析】∵ 33＝12×4×3sin C ∴ sin C ＝32，∵ ∆ABC 为锐角三角形 ∴ C ＝60°，故选B.5．【答案】B【解析】由正弦定理得S △ABC ＝12·AB ·BC ·sin B ＝32AB ＝32，∴AB ＝1，∴AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1＋4－4×12＝3，∴AC ＝3，再由正弦定理，得1sin C ＝3sin π3，∴sin C ＝12.6．【答案】C【解析】由正弦定理得，a <b <c ∴ 角C 是最大角∴ 角C 为钝角 ∴ cos C <0，cos A >0，cos B >0.二．填空题 7．【答案】45°【解析】由三角形面积公式得12absinC =a 2+b 2−c 24∴ sinC =a 2+b 2−c 22ab=cosC又 0<C <π ∴ C =π48．【答案】1【解析】由三角形面积公式得12absinC =14，即absinC =12，两边同乘以c 得abcsinC =c 2∴ abc =c 2sinC=R =19．【解析】9√3或18√3【解析】由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2ac ∙cosB 得a 2−18a +72=0 解得a =6或a =12当a =6时，S ∆ABC =12acsinB =9√3；当a =12时，S ∆ABC =12acsinB =18√3.三．解答题 10．【解析】(1) 设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c则由 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BC⃗⃗⃗⃗⃗ 得 cb ∙cosA =3ca ∙cosB ，即b ∙cosA =3a ∙cosB ，由正弦定理得sinBcosA =3sinAcosB ，两边同除以cosAcosB 得 tanB =3tanA .(2) ∵ ∆ABC 中，A +C =π−B∴ tan (A +C)=−tanB ，即 tanA+tanC1−tanA∙tanB =−3tanA 又 cosC =√55，0<C <π ∴ tanC =2∴ tanA+21−2tanA =−3tanA ，整理得 3tan 2A −2tanA −1=0，解得tanA =1或tanA =−13又由(1)知tanA >0 ∴ tanA =1 ∴ A =π4 .11. 【解析】（1）由正弦定理BCsinA =4，即sinA =BC4=√32∵ BC 为最大边长，∆ABC 为非等边三角形 ∴ 60°<A <180° ∴ A =120°（2）sinB +sinC =sinB +sin (60°−C )=12sinB +√32cos =sin (B +60°) ∵ 0°<B <60° ∴ 60°<B +60°<120° ∴√32<sinB +sinC ≤1∴ sinB +sinC 的取值范围是(√32,1].12．【解析】(1) 由sin(C －A )＝1，－π<C －A <π，知C ＝A ＋π2.又 A ＋B ＋C ＝π ∴ 2A ＋B ＝π2，即2A ＝π2－B,0<A <π4.∴ cos2A ＝sin B ，即1－2sin 2A ＝13，sin A ＝33.(2) 由(1)得cos A ＝63.又由正弦定理，得BC ＝AC sin Asin B＝3 2.∴ S △ABC ＝12·AC ·BC ·sin C ＝12AC ·BC ·cos A ＝3 2.2.1.1 数列的概念一课一练一. 选择题1. 已知数列 31=-+n n a a ，则数列}{n a 是（）A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列2．已知a n ＝n (n ＋1)，以下四个数中，哪个是数列{a n }中的一项( )A ．18B ．21C ．25D ．303．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n －1n ＋1，那么这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列 4．数列1，－3，5，－7，…，a n ，… 中的第n 项可以为( )A ．2n －1B ．(－1)n (1－2n )C ．(－1)n (2n －1)D ．(－1)n (2n ＋1)5．若数列的前4项分别为2,0,2,0，则这个数列的第n 项不可能是( )A ．1＋(－1)n ＋1 B ．1－cos n πC ．2sin 2n π2D ．1＋(－1)n －1＋(n －1)(n －2)6. 已知数列2，5，22，11，…，则25可能是这个数列的( )A ．第6项B ．第7项C ．第10项D ．第11项二. 填空题7. 在横线上填上适当的数：8. 根据下列5个图形及相应点的个数n 的变化规律，试猜测个第6个图中有_______个点.9. 观察下面数列的特点，用适当的数填空：（1）－12×1，12×2，( )，12×4，－12×5；（2）12，－12，38，( )，532，( )；（3）3，8，15，（），35，48. 三. 解答题10．已知数列{a n }中，a n ＝nn ＋1，判断数列{a n }的增减性．一课一练一. 选择题 1.【答案】A 2．【答案】D【解析】依次令n (n ＋1)＝18,21,25和30检验．有正整数解的便是，知选D. 3．【答案】A 4．【答案】B【解析】当n ＝1时，a 1＝1排除C 、D ；当n ＝2时，a 2＝－3排除A ，故选B. 5．【答案】D 6.【答案】B【解析】该数列可改写为：2，5，8，11，可见每一项都含有根号．且被开方数后一项比前一项多3，又25＝20 ∴ 应是11后的第3项，即第7项，选B. 二. 填空题 7.【答案】24【解析】该数列可改写为：1×3，2×4，3×5，__________，5×7，6×8. 因而，该数列的一个通项公式为n(n +2)，因而第4项为4×6=24. 8.【答案】n 2−n +1【解析】第n 个图形有n 个分支，去掉最中间的一个点，每支有n -1个点，因而，第n 个图中点的个数为:n (n −1)+1=n 2−n +1.9.【答案】（1）−12×3 ；（2）−14 （3）24三. 解答题10．【解析】∵ a n ＝nn ＋1，a n ＋1＝n ＋1n ＋2∴ a n ＋1－a n ＝n ＋1n ＋2－n n ＋1＝(n+1)2−n(n+2)(n+2)(n+1)=1(n+2)(n+1).又n ∈N * ∴ n ＋2>0，n ＋1>0 ∴ 1(n+2)(n+1)>0 ∴ a n ＋1>a n . ∴ 数列{a n }是递增数列．2.1.2 数列的简单表示法一课一练一.选择题1．下面四个结论：① 数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3…，n })上的函数． ② 数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点． ③ 数列的项数是无限的．④ 数列通项的表示式是唯一的．其中正确的是( )A ．①②B ．①②③C ．②③D ．①②③④2．若数列的前4项分别为2,0,2,0，则这个数列的通项公式不能是( )A ．a n ＝1＋(－1)n ＋1 B ．a n ＝1－cos n πC ．a n ＝2sin 2n π2D ．a n ＝1＋(－1)n －1＋(n －1)(n －2)3．函数f (x )满足f (1)＝1，f (n ＋1)＝f (n )＋3 (n ∈N *)，则f (n )是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．不能确定4．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n －1(n ∈N *)，则a 1000＝( )A ．1B ．1999C ．1000D ．－15．已知数列{a n }对任意的p 、q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10等于( )A ．－165B ．－33C ．－30D ．－216．对任意的a 1∈(0,1)，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列满足a n ＋1>a n (n ∈N *)，则函数y ＝f (x ) 的图象是( )A ．图象AB ．图象BC ．图象CD ．图象D 二. 填空题7．数列8，88，888，8888，…，88 ⋯8⏞ 第n 项,共n 个8，…的通项公式为__________．8．已知数列{a n }满足a 1＝－2，a n ＋1＝2＋2a n1－a n，则a 6＝__________.9. 已知数列{a n }中，a 1＝1， a n ＋1＝－a n ，则a 2014=_________. 三.解答题10．写出下列数列的一个通项公式．(1) −12，15，−110，117，⋯ ；(2) 13，115，135，163，⋯ ；(3) 1，√22，12，√24，14⋯ .（4）1，1+3，1+3+5，1+3+5+7，⋯11. 已知数列 2，74，2，⋯ 的通项公式为a n =an 2+b cn.(1) 求这个数列的通项公式；(2) 判断6是不是这个数列中的项？12．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4.(1)求数列{a n }中有多少项是负数？(2)当n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．一课一练参考答案一. 选择题 1．【答案】A【解析】数列的项数可以是有限的也可以是无限的．数列通项的表示式可以不惟一．例如数列1,0，－1,0,1,0，－1,0…的通项可以是a n ＝sin n π2，也可以是a n ＝cos n ＋3π2等等．2．【答案】D【解析】当n ＝1时，D 不满足，故选D. 3．【答案】A【解析】∵ f (n ＋1)－f (n )＝3(n ∈N *) ∴ f (2)>f (1)，f (3)>f (2)，f (4)>f (3)，…，f (n ＋1)>f (n )，…， ∴ f (n )是递增数列．4．【答案】A【解析】a 1＝1，a 2＝2×1－1＝1，a 3＝2×1－1＝1，a 4＝2×1－1＝1，…，可知a n ＝1(n ∈N *)．5．【答案】C【解析】∵对任意p 、q ∈N *都有a p ＋q ＝a p ＋a q . ∴a 10＝a 8＋a 2＝a 4＋a 4＋a 2＝5a 2＝－30. 6．【答案】A【解析】据题意，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列{a n }，满足a n ＋1>a n ，即该函数y ＝f (x )的图象上任一点(x ，y )都满足y >x ，结合图象，只有A 满足，故选A.二. 填空题7．【答案】a n ＝89(10n －1)8．【答案】－143【解析】a n ＋1＝2＋2a n 1－a n ＝21－a n ，a 1＝－2，∴ a 2＝21－a 1＝23，a 3＝21－a 2＝6，a 4＝－25，a 5＝107，a 6＝－143.9.【答案】−1【解析】由题意a 1＝1，a 2＝－a 1＝－1，a 3＝－a 2＝1，a 4＝－a 3＝－1，……，a 2014=−1. 三. 解答题10．【解析】(1) 该数列可改写为−11+1，12+1，−13+1，14+1，⋯∴ 该数列的通项公式为 a n =(−1)n42+1(2) 该数列可改写为11×3，13×5，15×7，17×9，⋯∴ 该数列的通项公式为 a n =1(2n−1)(2n+1)=14n 2−1；(3) 该数列可改写为20，2−12，2−1，2−32，2−2，⋯∴ 该数列的通项公式为 a n =2−n−12.11.【解析】(1) ∵ 数列的前三项分别为2，74，2，且a n =an 2+b cn∴ { a+bc =24a+b2c =29a+b 3c=2，解得{a =1b =3c =2，∴ 这个数列的通项公式为 a n =n 2+32n(2) 令n 2+32n=6，整理得n 2−12n +3=0，解得n =6±√33，不是正整数∴ 6不是这个数列中的项.12．【解析】(1) 令a n ＝n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4，∵ n ∈N ＋ ∴ n ＝2，3∴ 数列{a n }中有两项是负数．(2) a n ＝n 2－5n ＋4＝(n －52)2－94，∴ 当n ＝2或3时，a n 取得最小值，最小值为－2.2.2.1.1 等差数列（一）等差数列的概念与通项公式一课一练一．选择题1. 已知数列3,9,15，……，3(2n －1)，……那么81是它的第几项( )A ．12B ．13C ．14D ．152．若数列{a n }的通项公式为a n ＝－n ＋5，则此数列是( )A ．公差为－1的等差数列B ．公差为5的等差数列C ．首项为5的等差数列D ．公差为n 的等差数列 3．等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，它的项数是( )A ．92B ．47C ．46D ．454．若a ≠b ，两个等差数列a ，x 1，x 2，b 与a ，y 1，y 2，y 3，b 的公差分别为d 1，d 2，则d 1d 2等于( ) A.32 B.23 C.43 D.345．等差数列的首项为125，且从第10项开始为比1大的项，则公差d 的取值范围是( )A ．d > 875B ．d < 325 C.875 < d < 325 D.875 < d ≤ 3256．设等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 是( )A ．48B ．49C ．50D ．51 二．填空题7．一个直角三角形三边长a 、b 、c 成等差数列，面积为12，则它的周长为__________． 8．等差数列的第3项是7，第11项是－1，则它的第7项是________． 9. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．三．解答题10．已知等差数列{a n }中，a 15＝33，a 61＝217.（1）求该数列的通项公式；（2）判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？11．若已知1，x ，y,10成等差数列，求x 、y 的值．12．某地区1997年底沙漠面积为9×105 hm 2. 地质工作者为了解这个地区沙漠面积的变化根据上表所给信息进行预测.(1) 如果不采取任何措施，到2010年年底，这个地区的沙漠面积将大约变成多少hm 2？ (2) 如果从2003年初开始，采取植树造林等措施，每年改造8000 hm 2沙漠，但沙漠面积仍按原有速度增加，那么到哪一年年底，这个地区的沙漠面积将小于8×105hm 2.一课一练参考答案一．选择题 1.【答案】C【解析】a n ＝3(2n －1)＝6n －3，由6n －3＝81，得n ＝14. 2．【答案】A【解析】∵ a n ＝－n ＋5，∴ a n ＋1－a n ＝[－(n ＋1)＋5]－(－n ＋5)＝－1，∴ {a n }是公差d ＝－1的等差数列．3．【答案】C【解析】由条件a 1＝1，d ＝－1－1＝－2，∴ a n ＝1＋(n －1)·(－2)＝－2n ＋3，由－89＝－2n ＋3得n ＝46.4．【答案】C【解析】由题意，得b ＝a ＋3d 1＝a ＋4d 2 ∴ d 1＝b －a 3，d 2＝b －a4，∴ d 1d 2＝b －a 3·4b －a ＝435．【答案】D【解析】由题意⎩⎨⎧a 10>1a 9≤1∴⎩⎨⎧125＋9d >1125＋8d ≤1 ∴875 < d ≤ 325.6．【答案】C【解析】a 1＝13，a 2＋a 5＝2a 1＋5d ＝23＋5d ＝4，∴ d ＝23，又a n ＝a 1＋(n －1)d ＝13＋23(n －1)＝33，∴ n ＝50.二．填空题 7．【答案】12 2【解析】由条件知b 一定不是斜边，设c 为斜边，则⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c12ab ＝12a 2＋b 2＝c2，解得b ＝42，a ＝32，c ＝5 2 ∴ a ＋b ＋c ＝122．8．【答案】3【解析】设首项为a 1，公差为d ，由a 3＝7，a 11＝－1得，a 1＋2d ＝7，a 1＋10d ＝－1，所以a 1＝9，d ＝－1，则a 7＝3.9. 【答案】6766【解析】设此等差数列为{a n }，公差为d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3a 7＋a 8＋a 9＝4，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝33a 1＋21d ＝4，得⎩⎨⎧a 1＝1322d ＝766∴ a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝6766.三．解答题10．【解析】（1）设首项为a 1，公差为d ，则由已知得{a 1+(15−1)d =33a 1+(61−1)d =217，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－23d ＝4∴ a n ＝－23＋(n －1)×4＝4n －27（2）令 a n ＝153，即4n －27＝153，得n ＝45∈N *∴ 153是所给数列的第45项．11．【解析】由已知，x 是1和y 的等差中项，y 是x 和10的等差中项∴ 2x ＝1＋y ………… ① 2y ＝2x ＋10 ………… ② 由①、②解得x ＝4，y ＝7 ∴ x 、y 的值分别为4， 7.12．【解析】（1）从表中数据看，它们基本上是一个等差数列，公差 d 约为2000， ∴ 到2010年底，沙漠面积比原有面积的增加数为a 2010=a 2002+8d =0.26×105 又原有沙漠面积9×105 hm 2 ∴ 如果不采取任何措施，到2010年底，这个地区的沙漠面积将大约变成9.26×105 hm 2 （2）设经过n 年，这个地区的沙漠面积将小于8×105hm 2.由(1)知，到2002年年底，该地区的沙漠面积为9.1×105又由题意，采取植树造林措施后，沙漠面积积仍成等差数列变化，且公差约为−6000 ，所以，经过n 年后，沙漠面积变为9.1×105+n ×(−6000)=9.1×105−0.06×105n令9.1×105−0.06×105n <8×105，得n >553又 n ∈N ∗，所以n 的最小值为19，所以到2021年年底，这个地区的沙漠面积将小于8×105hm 2.2.2.2 等差数列（二）等差数列的基本性质一课一练一．选择题1．等差数列{a n }中，已知a 3＝10，a 8＝－20，则公差d 等于 ( )A ．3B ．－6 C ． 4D ．－3 2．在等差数列{a n }中，已知a 4＝2，a 8＝14，则a 15等于 ( )A ．32B ．－32C ．35D ．－353．等差数列{a n }中，a 6＋a 9＝16，a 4＝1，则a 11＝( )A ．64B ．30C ．31D ．154．数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝0且数列{1a n ＋1}是等差数列，则a 4等于()A.12B.13C.14D.165．在a 和b 之间插入n 个数构成一个等差数列，则其公差为( )A.b －a nB.a －b n ＋1C.b －a n ＋1D.b －a n －16. 若关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0和x 2－x ＋b ＝0(a ≠b )的4个根可组成首项为14的等差数列，则a ＋b 的值为( ) A.38 B.1124 C.1324 D.3172 二．填空题7．在等差数列{a n }中，已知a m ＋n ＝A ，a m －n ＝B ，，则a m ＝__________. 8．在等差数列{a n }中，a 18＝95，a 32＝123，a n ＝199，则n ＝________. 9．在等差数列{a n }中，若a 3＝7，a 5＝a 2 + 6，则a 6 ＝________. 三．解答题10．已知{a n }是递增数列，若a 2＋a 4＝16，a 1·a 5＝28，求通项a n ．11．已知三个数成等差数列，它们的和为9，它们的平方和为35，试求这三个数．12．四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．一课一练参考答案一．选择题 1．【答案】B【解析】由等差数列的性质，得a 8－a 3＝(8－3)d ＝5d ，所以d ＝－20－105＝－6.2．【答案】C【解析】由a 8－a 4＝(8－4)d ＝4d ，得d ＝3，所以a 15＝a 8＋(15－8)d ＝14＋7×3＝35. 3．【答案】D【解析】解法一：∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 6＋a 9＝16a 4＝1∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋13d ＝16a 1＋3d ＝1∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5d ＝2∴a 11＝a 1＋10d ＝15.解法二：∵6＋9＝4＋11，∴a 4＋a 11＝a 6＋a 9＝16，∴a 11＝15. 4．【答案】A【解析】令b n ＝1a n ＋1，则b 2＝1a 2＋1＝13，b 6＝1a 6＋1＝1，由条件知{b n }是等差数列，∴b 6－b 2＝(6－2)d ＝4d ＝23，∴d ＝16，∴b 4＝b 2＋2d ＝13＋2×16＝23，∵b 4＝1a 4＋1，∴a 4＝12.5．【答案】C【解析】∵a 1＝a ，a n ＋2＝b ∴公差d ＝a n ＋2－a 1n ＋2－1＝b －an ＋1.6.【答案】D【解析】 ∵ 两个方程中，每个方程的两个根的和都为1∴ 必有一个方程的根为14和34，不妨设方程x 2－x ＋a ＝0的根为 14 和 34，则 14为等差数列的首项，34为等差数列4项中的某一项，又 x 2－x ＋b ＝0的两根和为1，且两根为等差数列中的后3项中的两项，∴ 只有 34为第4项，才能满足中间两项之和为1的条件，∴ 四根的排列顺序为 14，512，712，34 ∴ a ＋b ＝14×34＋512×712＝3172.二．填空题7．【答案】12(A ＋B )【解析】∵m －n ，m ，m ＋n 成等差数列，又{a n }是等差数列．∴a m －n ，a m ，a m ＋n 成等差数列，∴2a m ＝a m －n ＋a m ＋n ＝A ＋B ，∴a m ＝12(A ＋B )．8．【答案】70【解析】∵ a 32－a 18＝(32－18)d ＝123－95 ∴ d ＝2又a 18＝a 1＋17d ＝95 ∴ a 1＝61∴ a n ＝a 1＋(n －1)d ＝61＋2(n －1)＝199 ∴ n ＝70.9．【答案】13【解析】由a 5＝a 2 + 6 得3d ＝6 ，从而a 6 ＝a 3 +3d ＝13 三．解答题10．【解析】∵a 2＋a 4＝a 1＋a 5＝16，∴由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 5＝16a 1·a 5＝28，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2a 5＝14或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14a 5＝2.又等差数列{a n }是递增数列 ∴ a 1＝2，a 5＝14. ∴ d ＝a 5－a 15－1＝124＝3∴ a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋3(n －1)＝3n －1. 11．【解析】设这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，根据题意，得{(a −d )+a +(a +d )=9(a +d)2+a 2+(a −d)2=35，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3d ＝±2.∴这三个数为1,3,5或5,3,1. 【注】等差数列的常见设法(1) 若三个数成等差数列，可设为a －d ，a ，a ＋d ；(2) 若五个数成等差数列，可设为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ； (3) 若四个数成等差数列，可设为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d .12．四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．【解析】设四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则由题意得，(a －3d )2＋(a －d )2＋(a ＋d )2＋(a ＋3d )2＝94，即2a 2＋10d 2＝47…………①又(a －3d )(a ＋3d )＝(a －d )(a ＋d )－18，即8d 2＝18，解得d ＝±32，代入①得a ＝±72，∴ 所求四数为8，5，2，－1或1，－2，－5，－8或－1，2，5，8或－8，－5，－2，1.。

人教版高中数学必修五课后习题答案

人教版高中数学必修五课后习题答案
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人教版高中数学必修五课后习题答案。

高中数学人教版必修课时作业：作业5

答案－4 19
解析由 f(x＋1)＝x(x＋3)＝(x＋1)2＋(x＋1)－2，得 f(x)＝x2＋x－2＝(x＋2)2－ 4，所以 f(x) 9
的最小值是－4. 13.求函数 y＝x2－12x＋20 当自变量 x 在下列范围内取值时的最值，并求此函数取最值时的
x 值，
(1)x∈R； (2)x∈[1，8]； (3)x∈[－1，1].
解析 (1)y＝(x－6)2－16，显然对称轴 x＝6，故 ymin＝－16，无最大值. (2)当 x＝6 时，ymin＝－16.当 x＝1 时，ymax＝9.
2
(3)当 x＝1 时，ymin＝9.当 x＝－1 时，ymax＝33. 14.求函数 y＝|x＋1|＋（x－2）2的最小值.
答案 3
解析将原函数 y＝|x＋1|＋（x－2）2化为
课时作业(十五)
1.函数 y＝ax＋1(a<0)在区间[0，2]上的最大值、最小值分别是( )
A.1，2a＋1
B.2a＋1，1
C.1＋a，1
D.1，1＋a
答案 A
2.函数 y＝－x2＋2x－1 在[0，3]上的最小值为( )
A.0
B.－4
C.－1
D.以上都不对
答案 B
3.函数 f(x)＝x2＋3x＋2 在区间(－5，5)上的最大值、最小值分别为( )
{ ) －2x＋1
y＝ 3
（（x －≤ － 1＜1）x ≤，2），
2x－1 （x＞2）.
由函数的图像知 y 的最小值为 3.
►重点班·选做题
15.求函数 y＝x＋x 1(－4≤x≤－2)的最大值和最小值.
解析方法一：设－4≤x1<x2≤－2，
x1－x2
∵f(x1)－f(x2)＝

人教新课标版数学高二B版必修5课时作业均值不等式的应用

一、选择题1．下列函数中，最小值为4的函数是()A．y＝x＋4x B．y＝sin x＋4sin xC．y＝e x＋4e－x D．y＝log3x＋log x81【解析】A中，x符号不定，排除A；B中，当sin x＝2时取“＝”，不可能，∴排除B；C中，e x＝2时取“＝”，故选C；D中，log3x符号不定，∴排除D.【答案】 C2．(2013·济南高二检测)已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝1a＋4b的最小值是()A.72B．4C.92D．5【解析】∵a＋b＝2，∴y＝1a＋4b＝a＋b2a＋2a＋2bb＝12＋b2a＋2ab＋2≥52＋2b2a·2ab＝92，当且仅当b2a＝2ab且a＋b＝2，取“＝”．【答案】 C3．(2013·德州高二检测)某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则()A．x＝a＋b2B．x≤a＋b2C．x>a＋b2D．x≥a＋b2【解析】由条件知A(1＋a)(1＋b)＝A(1＋x)2，∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)≤(1＋a)＋(1＋b)26，＋∞) B．当且仅当－log 2x ＝5－log 2x ，即(log 2x )2＝5，亦即x ＝2－5时，等号成立．【答案】 2－2 5 7．(2013·苏州高二检测)函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A在直线mx ＋ny －1＝0(mn >0)上，则1m ＋1n 的最小值为________．【解析】由题意知A (1,1)，∴m ＋n ＝1，∴1m ＋1n ＝(1m ＋1n )(m ＋n )＝2＋n m ＋m n ≥4，当且仅当m ＝n 时“＝”成立．【答案】 48．某校要建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，池底和池壁的造价每平方米分别为240元和160元，那么水池的最低总造价为________元．【解析】设底面的长为x m ，宽为y m ，水池总造价为z 元，根据题意，有2xy ＝8，∴xy ＝4，且z ＝240×82＋160·(2×2x ＋2×2y )＝120×8＋640(x ＋y )≥120×8＋1 280xy＝120×8＋1 280×2＝3 520.【答案】 3 520三、解答题9．(2013·锦州高二检测)设x >－1，求y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值．【解】 ∵x >－1，∴x ＋1>0，设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1，于是有y＝(t＋4)(t＋1)t＝t2＋5t＋4t＝t＋4t＋5≥2 t·4t＋5＝9.当且仅当t＝4t，即t＝2时取等号，此时x＝1. ∴当x＝1时，函数取得最小值是9.10．已知正常数a，b和正变数x，y，满足a＋b＝10，ax＋by＝1，x＋y的最小值是18，求a，b的值．【解】x＋y＝(x＋y)(ax＋by)＝a＋b＋bxy＋ayx≥a＋b＋2ab＝(a＋b)2，∴(a＋b)2＝18.又∵a＋b＝10，∴a＝2，b＝8或a＝8，b＝2.11．(2013·临沂高二检测)某开发商用9 000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2 000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4 000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．(1)若该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数y＝f(x)的表达式(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用)；(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建多少层？【解】(1)由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为：4 000×2 000＝8 000 000(元)＝800(万元)，从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多：100×2 000＝200 000(元)＝20(万元)，写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20为公差的等差数列，所以函数表达式为：y＝f(x)＝800x＋x(x－1)2×20＋9 000＝10x2＋790x＋9 000(x∈N*)．(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为：g(x)＝f(x)2 000x×10 000＝5(10x2＋790x＋9 000)x＝50(x＋900x＋79)≥50×(2900＋79)＝6 950(元)．当且仅当x＝900x，即x＝30时等号成立．∴该写字楼应建30层.。

高中数学人教版必修5课后习题答案[电子档]

..高中数学必修5课后习题答案..下载可编辑..第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法练习（P31） 1、2、前5项分别是：1,0,1,0,1--.3、例1（1）1(2,)1(21,)n n m m N na n m m N n⎧-=∈⎪⎪=⎨⎪=-∈⎪⎩**；（2）2(2,)0(21,)n n m m N a n m m N ⎧=∈⎪=⎨=-∈⎪⎩**说明：此题是通项公式不唯一的题目，鼓励学生说出各种可能的表达形式，并举出其他可能的通项公式表达形式不唯一的例子.4、（1）1()21n a n Z n +=∈-；（2）(1)()2n n a n Z n +-=∈；（3）121()2n n a n Z +-=∈ 习题2.1 A 组（P33）1、（1）2,3,5,7,11,13,17,19；（2）2,6,22,3,10,23,14,15,4,32；（3）1,1.7,1.73,1.732,…1.732050； 2,1.8,1.74,1.733,…,1.732051.2、（1）11111,,,,491625；（2）2,5,10,17,26--.3、（1）（1），4-，9，（16-），25，（36-），49； 12(1)n n a n +=-；（2）1，2，（3），2，5，（6），7； n a n =.4、（1）1,3,13,53,2132；（2）141,5,,,5454--.5、对应的答案分别是：（1）16,21；54n a n =-；（2）10,13；32n a n =-；（3）24,35；22n a n n =+. 6、15,21,28； 1n n a a n -=+.习题2.1 B 组（P34）1、前5项是1,9,73,585,4681.n 1 2 … 5 … 12 … n n a 21 33 … 69 … 153 … 3(34)n +该数列的递推公式是：1118,1n n a a a +=+=.通项公式是：817n n a -=.2、110(10.72)10.072a =⨯+=﹪； 2210(10.72)10.144518a =⨯+=﹪； 3310(10.72)10.217559a =⨯+=﹪； 10(10.72)n n a =⨯+﹪. 3、（1）1,2,3,5,8；（2）358132,,,,2358.2.2 等差数列练习（P39）1、表格第一行依次应填：0.5，15.5，3.75；表格第二行依次应填：15，11-，24-.2、152(1)213n a n n =+-=+，1033a =.3、4n c n =4、（1）是，首项是11m a a md +=+，公差不变，仍为d ；（2）是，首项是1a ，公差2d ；（3）仍然是等差数列；首项是716a a d =+；公差为7d . 5、（1）因为5375a a a a -=-，所以5372a a a =+. 同理有5192a a a =+也成立；（2）112(1)n n n a a a n -+=+>成立；2(0)n n k n k a a a n k -+=+>>也成立.习题2.2 A 组（P40）1、（1）29n a =；（2）10n =；（3）3d =；（4）110a =.2、略.3、60︒.4、2℃；11-℃；37-℃.5、（1）9.8s t =；（2）588 cm ，5 s.习题2.2 B 组（P40）1、（1）从表中的数据看，基本上是一个等差数列，公差约为2000，52010200280.2610a a d =+=⨯ 再加上原有的沙化面积5910⨯，答案为59.2610⨯；（2）2021年底，沙化面积开始小于52810 hm ⨯.2、略.2.3 等差数列的前n 项和练习（P45） 1、（1）88-；（2）604.5.2、59,11265,112n n a n n ⎧=⎪⎪=⎨+⎪>⎪⎩3、元素个数是30，元素和为900.习题2.3 A 组（P46）1、（1）(1)n n +；（2）2n ；（3）180个，和为98550；（4）900个，和为494550.2、（1）将120,54,999n n a a S ===代入1()2n n n a a S +=，并解得27n =；将120,54,27n a a n ===代入1(1)n a a n d =+-，并解得1713d =.（2）将1,37,6293n d n S ===代入1(1)n a a n d =+-，1()2n n n a a S +=，得111237()6292n n a a a a =+⎧⎪⎨+=⎪⎩；解这个方程组，得111,23n a a ==.（3）将151,,566n a d S ==-=-代入1(1)2n n n S na d -=+，并解得15n =；将151,,1566a d n ==-=代入1(1)n a a n d =+-，得32n a =-.（4）将2,15,10n d n a ===-代入1(1)n a a n d =+-，并解得138a =-；将138,10,15n a a n =-=-=代入1()2n n n a a S +=，得360n S =-. 3、44.5510⨯m. 4、4.5、这些数的通项公式：7(1)2n -+，项数是14，和为665.6、1472.习题2.3 B 组（P46）1、每个月的维修费实际上是呈等差数列的. 代入等差数列前n 项和公式，求出5年内的总共的维修费，即再加上购买费，除以天数即可. 答案：292元.2、本题的解法有很多，可以直接代入公式化简，但是这种比较繁琐. 现提供2个证明方法供参考. （1）由 61615S a d =+，1211266S a d =+，18118153S a d =+ 可得61812126()2()S S S S S +-=-.（2）1261212126()()S S a a a a a a -=+++-+++L L 7812a a a =+++L126(6)(6)(6)a d a d a d =++++++L 126()36a a a d =++++L 636S d =+同样可得：1812672S S S d -=+，因此61812126()2()S S S S S +-=-.3、（1）首先求出最后一辆车出发的时间4时20分；所以到下午6时，最后一辆车行驶了1小时40分.（2）先求出15辆车总共的行驶时间，第一辆车共行驶4小时，以后车辆行驶时间依次递减，最后一辆行驶1小时40分. 各辆车的行驶时间呈等差数列分布，代入前n 项和公式，这个车队所有车的行驶时间为2418531522S +=⨯= h. 乘以车速60 km/h ，得行驶总路程为2550 km. 4、数列1(1)n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的通项公式为111(1)1n a n n n n ==-++ 所以111111111()()()()1122334111n nS n n n n =-+-+-++-=-=+++L 类似地，我们可以求出通项公式为1111()()n a n n k k n n k==-++的数列的前n 项和. 2.4 等比数列练习（P52） 1、2、由题意可知，每一轮被感染的计算机台数构成一个首项为180a =，公比为20q =的等比数列，则第5轮被感染的计算机台数5a 为 447518020 1.2810a a q ==⨯=⨯.3、（1）将数列{}n a 中的前k 项去掉，剩余的数列为12,,k k a a ++L . 令,1,2,k i b a i +==L ，则数列12,,k k a a ++L 可视为12,,b b L . 因为11(1)i k i i k ib a q i b a ++++==≥，所以，{}n b 是等比数列，即12,,k k a a ++L 是等比数列. （2）{}n a 中的所有奇数列是135,,,a a a L ，则235211321(1)k k a a aq k a a a +-=====L L ≥. 所以，数列135,,,a a a L 是以1a 为首项，2q 为公比的等比数列. （3）{}n a 中每隔10项取出一项组成的数列是11223,,,a a a L ，1a 3a 5a 7aq2 4 8 16 2或2-50 20.080.00320.2则1112231111121110(1)k k a a a q k a a a +-=====L L ≥ 所以，数列11223,,,a a a L 是以1a 为首项，11q 为公比的等比数列.猜想：在数列{}n a 中每隔m （m 是一个正整数）取出一项，组成一个新的数列，这个数列是以1a 为首项，1m q +为公比的等比数列.4、（1）设{}n a 的公比为q ，则24228511()a a q a q ==，而262837111a a a q a q a q ⋅=⋅= 所以2537a a a =⋅，同理2519a a a =⋅ （2）用上面的方法不难证明211(1)nn n a a a n -+=⋅>. 由此得出，n a 是1n a -和1n a +的等比中项. 同理：可证明，2(0)nn k n k a a a n k -+=⋅>>. 由此得出，n a 是n k a -和n k a +的等比中项(0)n k >>. 5、（1）设n 年后这辆车的价值为n a ，则13.5(110)n n a =-﹪. （2）4413.5(110)88573a =-≈﹪（元）. 用满4年后卖掉这辆车，能得到约88573元. 习题2.4 A 组（P53）1、（1）可由341a a q =，得11a =-，6671(1)(3)729a a q ==-⨯-=-. 也可由671a a q =，341a a q =，得337427(3)729a a q ==⨯-=-（2）由131188a q a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得12723a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，或12723a q =-⎧⎪⎨=-⎪⎩（3）由416146a q a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得232q =，862291173692a a q a q q a q ==⋅==⨯=还可由579,,a a a 也成等比数列，即2759a a a =，得22795694a a a ===.（4）由411311156a q a a q a q ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩L L L L ①②①的两边分别除以②的两边，得2152q q +=，由此解得12q =或2q =.当12q =时，116a =-. 此时2314a a q ==-. 当2q =时，11a =. 此时2314a a q ==. 2、设n 年后，需退耕n a ，则{}n a 是一个等比数列，其中18(110),0.1a q =+=﹪.那么2005年需退耕5551(1)8(110)13a a q =+=+≈﹪（万公顷） 3、若{}n a 是各项均为正数的等比数列，则首项1a 和公比q 都是正数. 由11n n a a q-=，得111(1)22111()n n n n a a qa qa q ---===.那么数列{}n a 是以1a 为首项，12q 为公比的等比数列.4、这张报纸的厚度为0.05 mm ，对折一次后厚度为0.05×2 mm ，再对折后厚度为0.05×22 mm ，再对折后厚度为0.05×32 mm. 设00.05a =，对折n 次后报纸的厚度为n a ，则{}n a 是一个等比数列，公比2q =. 对折50次后，报纸的厚度为505050131000.052 5.6310 mm 5.6310 m a a q ==⨯≈⨯=⨯这时报纸的厚度已经超出了地球和月球的平均距离（约83.8410 m ⨯），所以能够在地球和月球之间建一座桥.5、设年平均增长率为1,105q a =，n 年后空气质量为良的天数为n a ，则{}n a 是一个等比数列. 由3240a =，得2231(1)105(1)240a a q q =+=+=，解得24010.51105q =-≈ 6、由已知条件知，,2a bA G ab +==，且22()0222a b a b ab a b A G ab ++---=-==≥ 所以有A G ≥，等号成立的条件是a b =. 而,a b 是互异正数，所以一定有A G >.7、（1）2±；（2）22()ab a b ±+. 8、（1）27，81；（2）80，40，20，10.习题2.4 B 组（P54）1、证明：由等比数列通项公式，得11m m a a q -=，11n n a a q -=，其中1,0a q ≠所以 1111m m n m n n a a q q a a q---== 2、（1）设生物体死亡时，体内每克组织中的碳14的原子核数为1个单位，年衰变率为q ，n 年后的残留量为n a ，则{}n a 是一个等比数列. 由碳14的半衰期为5730则 57305730112n a a qq===，解得157301()0.9998792q =≈ （2）设动物约在距今n 年前死亡，由0.6n a =，得10.9998790.6n n a a q ===.解得 4221n ≈，所以动物约在距今4221年前死亡.3、在等差数列1，2，3，…中，有7108917a a a a +==+，1040203050a a a a +==+ 由此可以猜想，在等差数列{}n a 中若*(,,,)k s p q k s p q N +=+∈，则k s p q a a a a +=+. 从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题：由等差数列{}n a 的图象，可以看出k p a k a p =，s q a sa q=根据等式的性质，有k s p q a a k sa a p q++=++，所以k s p q a a a a +=+. 猜想对于等比数列{}n a ，类似的性质为：若*(,,,)k s p q k s p q N +=+∈，则k s p q a a a a ⋅=⋅.2.5 等比数列的前n 项和练习（P58） 1、（1）6616(1)3(12)189112a q S q --===--. （2）1112.7()9190311451()3n n a a q S q----===----. 2、设这个等比数列的公比为q所以 101256710()()S a a a a a a =+++++++L L 555S q S =+55(1)q S =+50= 同理 1015105S S q S =+. 因为 510S =，所以由①得 5101051416S q q S =-=⇒= 代入②，得1015105501610210S S q S =+=+⨯=.3、该市近10年每年的国内生产总值构成一个等比数列，首项12000a =，公比 1.1q =设近10年的国内生产总值是10S ，则10102000(1 1.1)31874.81 1.1S -=≈-（亿元）习题2.5 A 组（P61）1、（1）由34164641a q a ===--，解得4q =-，所以144164(4)5111(4)a a q S q ---⨯-===---. a sa q a pa ksq p kOna n （第3题）（2）因为2131233(1)S a a a a q q --=++=++，所以2113q q --++=，即2210q q --=解这个方程，得1q =或12q =-. 当1q =时，132a =；当12q =-时，16a =.2、这5年的产值是一个以1138 1.1151.8a =⨯=为首项， 1.1q =为公比的等比数列所以5515(1)151.8(1 1.1)926.75411 1.1a q S q -⨯-==≈--（万元） 3、（1）第1个正方形的面积为42cm ，第2个正方形的面积为22cm ，…，这是一个以14a =为首项，12q =为公比的等比数列所以第10个正方形的面积为99710114()22a a q -==⨯=（2cm ）（2）这10个正方形的面积和为77110101422821112a a qS q---⨯-===---（2cm ）4、（1）当1a =时，2(1)(1)(2)()12(1)2n n na a a n n --+-++-=-----=-L L 当1a ≠时，22(1)(2)()()(12)n n a a a n a a a n -+-++-=+++-+++L L L(1)(1)12n a a n n a -+=-- （2）1212(235)(435)(35)2(12)3(555)n n n n -------⨯+-⨯+-⨯=+++-+++L L11(1)5(15)323(1)(15)2154n nn n n n ----+-⨯-⨯=+---（3）设21123n n S x x nx -=++++L ……① 则 212(1)n n n xS x x n x nx -=+++-+L ……②①－②得，21(1)1n n n x S x x x nx --=++++-L ……③当1x =时，(1)1232n n n S n +=++++=L ；当1x ≠时，由③得，21(1)1n n n x nx S x x -=--- 5、（1）第10次着地时，经过的路程为91002(50251002)-++++⨯L1291911002100(222)2(12)100200299.61 (m)12------=+⨯+++-=+⨯≈-L （2）设第n 次着地时，经过的路程为293.75 m ，则1(1)12(1)12(12)1002100(222)100200293.7512n n ---------+⨯+++=+⨯=-L所以130********.75n --⨯=，解得120.03125n -=，所以15n -=-，则6n = 6、证明：因为396,,S S S 成等差数列，所以公比1q ≠，且9362S S S =+即，936111(1)(1)(1)2111a q a q a q q q q---⨯=+--- 于是，9362q q q =+，即6321q q =+ 上式两边同乘以1a q ，得741112a q a q a q =+ 即，8252a a a =+，故285,,a a a 成等差数列习题2.5 B 组（P62）1、证明：11111()(1())1n n n n n n n n n bb b a b a a a b b a a b a a a b a+++---+++=+++==--L L2、证明：因为7714789141277()S S a a a q a a a q S -=+++=+++=L L 141421141516211277()S S a a a q a a a q S -=+++=+++=L L 所以71472114,,S S S --成等比数列3、（1）环保部门每年对废旧物资的回收量构成一个等比数列，首项为1100a =，公比为 1.2q =. 所以，2010年能回收的废旧物资为89100 1.2430a =⨯≈（t ）（2）从2002年到2010年底，能回收的废旧物资为9919(1)100(1 1.2)208011 1.2a q S q --==≈--（t ）可节约的土地为165048320⨯=（2m ）4、（1）依教育储蓄的方式，应按照整存争取定期储蓄存款利率计息，免征利息税，且若每月固定存入a 元，连续存n 个月，计算利息的公式为()2a na n+⨯月利率.因为整存整取定期储蓄存款年利率为2.52﹪，月利率为0.21﹪故到期3年时一次可支取本息共(505036)360.2118001869.932+⨯⨯⨯+=﹪（元）若连续存6年，应按五年期整存整取定期储蓄存款利率计息，具体计算略. （2）略.（3）每月存50元，连续存3年按照“零存整取”的方式，年利率为1.89﹪，且需支付20﹪的利息税所以到期3年时一次可支取本息共1841.96元，比教育储蓄的方式少收益27.97元.（4）设每月应存入x 元，由教育储蓄的计算公式得36(36)0.2136100002x x x +⨯+=﹪解得267.39x ≈（元），即每月应存入267.39（元）（5）（6）（7）（8）略5、设每年应存入x 万元，则2004年初存入的钱到2010年底利和为7(12)x +﹪，2005年初存入的钱到2010年底利和为6(12)x +﹪，……，2010年初存入的钱到2010年底利和为(12)x +﹪. 根据题意，76(12)(12)(12)40x x x ++++++=L ﹪﹪﹪ 根据等比数列前n 项和公式，得7(12)(1 1.02)401 1.02x +-=-﹪，解得52498x ≈（元）故，每年大约应存入52498元第二章复习参考题A 组（P67）1、（1）B ；（2）B ；（3）B ；（4）A .2、（1）212n n n a -=；（2）12(1)(21)1(2)n n n a n +--=+；（3）7(101)9n n a =-；（4）1(1)n n a =+-或1cos n a n π=+.3、4、如果,,a b c 成等差数列，则5b =；如果,,a b c 成等比数列，则1b =，或1-.5、n a 按顺序输出的值为：12，36，108，324，972. 86093436sum =.6、81381.9(10.13)1396.3⨯+≈﹪（万） 7、从12月20日到次年的1月1日，共13天. 每天领取的奖品价值呈等差数列分布.110,100d a ==. 由1(1)2n n n S a n d -=+得：1313121001310208020002S ⨯=⨯+⨯=>.所以第二种领奖方式获奖者受益更多. 8、因为28374652a a a a a a a +=+=+=所以34567285450()2a a a a a a a +++++==+，则28180a a +=.9、容易得到101010,1012002n n na n S +==⨯=，得15n =.10、212212()()()n n n n S a a a a nd a nd a nd ++=+++=++++++L L 2121()n a a a n nd S n d =++++⨯=+L32122312(2)(2)(2)n n n n S a a a a nd a nd a nd ++=+++=++++++L L 2121()22n a a a n nd S n d =++++⨯=+L 容易验证2132S S S =+. 所以，123,,S S S 也是等差数列，公差为2n d . 11、221(1)(1)4(1)221a f x x x x x =+=+-++=-- 223(1)(1)4(1)267a f x x x x x =-=---+=-+ 因为{}n a 是等差数列，所以123,,a a a 也是等差数列. 所以，2132a a a =+. 即，20286x x =-+. 解得1x =或3x =. 当1x =时，1232,0,2a a a =-==. 由此可求出24n a n =-. 当3x =时，1232,0,2a a a ===-. 由此可求出42n a n =-.第二章复习参考题B 组（P68）1、（1）B ；（2）D .2、（1）不成等差数列. 可以从图象上解释. ,,a b c 成等差，则通项公式为y pn q =+的形式，且,,a b c 位于同一直线上，而111,,a b c 的通项公式却是1y pn q =+的形式，111,,a b c不可能在同一直线上，因此肯定不是等差数列.（2）成等比数列. 因为,,a b c 成等比，有2b ac =. 又由于,,a b c 非零，两边同时取倒数，则有21111b ac a c==⨯. 所以，111,,a b c也成等比数列.3、体积分数：60.033(125)0.126⨯+≈﹪，质量分数：60.05(125)0.191⨯+≈﹪. 4、设工作时间为n ，三种付费方式的前n 项和分别为,,n n n A B C . 第一种付费方式为常数列；第二种付费方式为首项是4，公差也为4的等差数列；第三种付费方式为首项是0.4，公比为2的等比数列. 则38n A n =，2(1)44222n n n B n n n -=+⨯=+， 0.4(12)0.4(21)12n n n C -==--. 下面考察,,n n n A B C 看出10n <时，380.4(21)n n >-. 因此，当工作时间小于10天时，选用第一种付费方式. 10n ≥时，,n n n n A C B C ≤≤因此，当工作时间大于10天时，选用第三种付费方式.5、第一星期选择A 种菜的人数为n ，即1a n =，选择B 种菜的人数为500a -. 所以有以下关系式：2118030a a b =⨯+⨯﹪﹪3228030a a b =⨯+⨯﹪﹪……118030n n b a a b --=⨯+⨯﹪﹪500n n a b +=所以111502n n a a -=+，115003502n n n b a a -=-=-如果1300a =，则2300a =，3300a =，…，10300a = 6、解：由1223n n n a a a --=+得 1123()n n n n a a a a ---+=+以及1123(3)n n n n a a a a ----=--所以221213()37n n n n a a a a ---+=+=⨯，221213(1)(3)(1)13n n n n a a a a ----=--=-⨯. 由以上两式得，11437(1)13n n n a --=⨯+-⨯所以，数列的通项公式是11137(1)134n n n a --⎡⎤=⨯+-⨯⎣⎦ 7、设这家牛奶厂每年应扣除x 万元消费基金2002年底剩余资金是1000(150)x +-﹪2003年底剩余资金是2[1000(150)](150)1000(150)(150)x x x x +-+-=+-+-﹪﹪﹪﹪ ……5年后达到资金 54321000(150)(150)(150)(150)(150)2000x x x x +-+-+-+-+=﹪﹪﹪﹪﹪ 解得 459x ≈（万元）第三章不等式3.1 不等关系与不等式练习（P74）1、（1）0a b +≥；（2）4h ≤；（3）(10)(10)3504L W L W ++=⎧⎨>⎩.2、这给两位数是57.3、（1）>；（2）<；（3）>；（4）<；习题3.1 A 组（P75）1、略.2、（1）3274+<；（2）710314+>+.3、证明：因为20,04x x >>，所以21104x x x ++>+>因为22(1)(1)02x x +>+>，所以112xx +>+4、设A 型号帐篷有x 个，则B 型号帐篷有(5)x +个，050448054853(5)484(4)48x x x x x x >⎧⎪+>⎪⎪<⎪⎨<-<⎪⎪+<⎪+⎪⎩≥5、设方案的期限为n 年时，方案B 的投入不少于方案A 的投入.所以，(1)5105002n n n -+⨯≥ 即，2100n ≥.习题3.1 B 组（P75）1、（1）因为222259(56)30x x x x x ++-++=+>，所以2225956x x x x ++>++ （2）因为222(3)(2)(4)(69)(68)10x x x x x x x ----=-+--+=>所以2(3)(2)(4)x x x ->--（3）因为322(1)(1)(1)0x x x x x --+=-+>，所以321x x x >-+（4）因为22222212(1)1222(1)(1)10x y x y x y x y x y ++-+-=++-+-=-+-+> 所以2212(1)x y x y ++>+-2、证明：因为0,0a b c d >>>>，所以0ac bd >>又因为0cd >，所以10cd>于是0a bd c>>，所以a b d c > 3、设安排甲种货箱x 节，乙种货箱y 节，总运费为z .所以 352515301535115050x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪+=⎩≥≥ 所以28x ≥，且30x ≤所以 2822x y =⎧⎨=⎩，或2921x y =⎧⎨=⎩，或3020x y =⎧⎨=⎩所以共有三种方案，方案一安排甲种货箱28节，乙种货箱22节；方案二安排甲种货箱29节，乙种货箱21节；方案三安排甲种货箱30节，乙种货箱20节. 当3020x y =⎧⎨=⎩时，总运费0.5300.82031z =⨯+⨯=（万元），此时运费较少. 3.2 一元二次不等式及其解法练习（P80） 1、（1）1013x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤≤；（2）R ；（3）{}2x x ≠；（4）12x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭；（5）31,2x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或；（6）54,43x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或；（7）503x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.2、（1）使2362y x x =-+的值等于0的x 的集合是331,133⎧⎫⎪⎪-+⎨⎬⎪⎪⎩⎭；使2362y x x =-+的值大于0的x 的集合为331,133x x x ⎧⎫⎪⎪<->+⎨⎬⎪⎪⎩⎭或；使2362y x x =-+的值小于0的x 的集合是331133x x ⎧⎫⎪⎪-<<+⎨⎬⎪⎪⎩⎭. （2）使225y x =-的值等于0的x 的集合{}5,5-；使225y x =-的值大于0的x 的集合为{}55x x -<<；使225y x =-的值小于0的x 的集合是{}5,5x x x <->或. （3）因为抛物线2+610y x x =+的开口方向向上，且与x 轴无交点所以使2+610y x x =+的等于0的集合为∅；使2+610y x x =+的小于0的集合为∅；使2+610y x x =+的大于0的集合为R. （4）使231212y x x =-+-的值等于0的x 的集合为{}2；使231212y x x =-+-的值大于0的x 的集合为∅；使231212y x x =-+-的值小于0的x 的集合为{}2x x ≠.习题3.2 A 组（P80）1、（1）35,22x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或；（2）131322x x ⎧⎫⎪⎪-<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭；（3）{}2,5x x x <->或；（4）{}09x x <<.2、（1）解2490x x -+≥，因为200∆=-<，方程2490x x -+=无实数根所以不等式的解集是R ，所以249y x x =-+的定义域是R. （2）解2212180x x -+-≥，即2(3)0x -≤，所以3x = 所以221218y x x =-+-的定义域是{}3x x = 3、{}322,322m m m <-->-+或； 4、R.5、设能够在抛出点2 m 以上的位置最多停留t 秒.依题意，20122v t gt ->，即212 4.92t t ->. 这里0t >. 所以t 最大为2（精确到秒）答：能够在抛出点2 m 以上的位置最多停留2秒. 6、设每盏台灯售价x 元，则15[302(15)]400x x x ⎧⎨-->⎩≥. 即1520x <≤.所以售价{}1520x x x ∈<≤习题3.2 B 组（P81）1、（1）55255222x x ⎧⎫-+⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭；（2）{}37x x <<；（3）∅；（4）113x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 2、由22(1)40m m ∆=--<，整理，得23210m m +->，因为方程23210m m +-=有两个实数根1-和13，所以11m <-，或213m >，m 的取值范围是11,3m m m ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或.3、使函数213()324f x x x =--的值大于0的解集为42423,322x x x ⎧⎫⎪⎪<-<+⎨⎬⎪⎪⎩⎭或. 4、设风暴中心坐标为(,)a b ，则3002a =，所以22(3002)450b +<，即150150b -<< 而300215015(221)13.7202-=-≈（h ），3001520=. 所以，经过约13.7小时码头将受到风暴的影响，影响时间为15小时.3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题练习（P86）1、B .2、D .3、B .4、分析：把已知条件用下表表示：工序所需时间/分钟收益/元打磨着色上漆桌子A 10 6 6 40桌子B 5 12 9 30 工作最长时间 450 480 450解：设家具厂每天生产A 类桌子x 张，B 类桌子y 张.对于A 类桌子，x 张桌子需要打磨10x min ，着色6x min ，上漆6x min 对于B 类桌子，y 张桌子需要打磨5y min ，着色12y min ，上漆9y min 而打磨工人每天最长工作时间是450min ，所以有105450x y +≤. 类似地，612480x y +≤，69450x y +≤ 在实际问题中，0,0x y ≥≥；所以，题目中包含的限制条件为 1054506124806945000x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤≥≥练习（P91）1、（1）目标函数为2z x y =+，可行域如图所示，作出直线2y x z =-+，可知z 要取最大值，即直线经过点C 时，解方程组11x y y +=⎧⎨=-⎩得(2,1)C -，所以，max 222(1)3z x y =+=⨯+-=...（2）目标函数为35z x y =+，可行域如图所示，作出直线35z x y =+可知，直线经过点B 时，Z 取得最大值. 直线经过点A 时，Z 取得最小值. 解方程组 153y x x y =+⎧⎨-=⎩，和15315y x x y =+⎧⎨+=⎩可得点(2,1)A --和点(1.5,2.5)B .所以max 3 1.55 2.517z =⨯+⨯=，min 3(2)5(1)11z =⨯-+⨯-=-2、设每月生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，每月收入为z 元，目标函数为30002000z x y =+，需要满足的条件是 2400250000x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥，作直线30002000z x y =+，当直线经过点A 时，z 取得最大值. 解方程组 24002500x y x y +=⎧⎨+=⎩可得点(200,100)A ，z 的最大值为800000元.习题3.3 A 组（P93）1、画图求解二元一次不等式：（1）2x y +≤；（2）22x y ->；（3）2y -≤；（4）3x ≥y=x x+y=1CBA -1O1yx5x +3y=15x -5y=3y=x+1yx15B3AO（1）（2）（第1题）（第2题）xyA500200400250Oy=2x -2y xO1-11yx22Oxy321Oxy -2O2、3、分析：将所给信息下表表示：每次播放时间/分广告时间/分收视观众/万连续剧甲 80 1 60 连续剧乙 40 1 20 播放最长时间 320 最少广告时间 6解：设每周播放连续剧甲x 次，播放连续剧乙y 次，收视率为z . 目标函数为6020z x y =+，所以，题目中包含的限制条件为8040320600x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≥≥≥可行域如图. 解方程组80403206x y x y +⎧⎨+⎩==得点M 的坐标为(2,4)，所以max 6020200z x y =+=（万）答：电视台每周应播放连续剧甲2次，播放连续剧乙4次，才能获得最高的收视率. 4、设每周生产空调器x 台，彩电y 台，则生产冰箱120x y --台，产值为z . 则，目标函数为432(120)2240z x y x y x y =++--=++ 所以，题目中包含的限制条件为111(120)402341202000x y x y x y x y ⎧++--⎪⎪⎪--⎨⎪⎪⎪⎩≤≥≥≥即，312010000x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥ 可行域如图，解方程组3120100x y x y +⎧⎨+⎩==y=x 3+1y=x+2y=4-x -1-15424O 1（第2题）yx586O1（第3题）y=120-3xy=100-xxy12010010040MO得点M 的坐标为(10,90)，所以max 2240350z x y =++=（千元）答：每周应生产空调器10台，彩电90台，冰箱20台，才能使产值最高，最高产值是350千元.习题3.3 B 组（P93）1、画出二元一次不等式组 231223600x y x y x y +⎧⎪+>-⎪⎨⎪⎪⎩≤≥≥，所表示的区域如右图2、画出(21)(3)0x y x y +--+>表示的区域.3、设甲粮库要向A 镇运送大米x 吨、向B 镇运送大米y 吨，总运费为z . 则乙粮库要向A 镇运送大米(70)x -吨、向B 镇运送大米(110)y -吨，目标函数（总运费）为 122025101512(70)208(110)609030200z x y x y x y =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯-=++.所以，题目中包含的限制条件为 100(70)(110)800700x y x y x y +⎧⎪-+-⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≤≤≥.所以当70,30x y ==时，总运费最省 min 37100z =（元）y=-2-23xy=4-23xyx-3-22564O1（第1题）y=12-x 2y=x+3yx-2-33O1（第2题）所以当0,100x y ==时，总运费最不合理 max 39200z =（元）使国家造成不该有的损失2100元.答：甲粮库要向A 镇运送大米70吨，向B 镇运送大米30吨，乙粮库要向A 镇运送大米0吨，向B 镇运送大米80吨，此时总运费最省，为37100元. 最不合理的调运方案是要向A 镇运送大米0吨，向B 镇运送大米100吨，乙粮库要向A 镇运送大米70吨，向B 镇运送大米10吨，此时总运费为39200元，使国家造成损失2100元.3.4 基本不等式2a bab +≤练习（P100）1、因为0x >，所以1122x x x x+⨯=≥当且仅当1x x =时，即1x =时取等号，所以当1x =时，即1x x+的值最小，最小值是2. 2、设两条直角边的长分别为,a b ，0,a >且0b >，因为直角三角形的面积等于50.即 1502ab =，所以 2210020a b ab +==≥，当且仅当10a b ==时取等号.答：当两条直角边的长均为10时，两条直角边的和最小，最小值是20. 3、设矩形的长与宽分别为a cm ，b cm. 0a >，0b > 因为周长等于20，所以10a b +=所以 2210()()2522a b S ab +===≤，当且仅当5a b ==时取等号.答：当矩形的长与宽均为5时，面积最大. 4、设底面的长与宽分别为a m ，b m. 0a >，0b >因为体积等于323m ，高2m ，所以底面积为162m ，即16ab =所以用纸面积是 222324()3242323264S ab bc ac a b ab =++=+++=+=≥ 当且仅当4a b ==时取等号答：当底面的长与宽均为4米时，用纸最少.习题3.4 A 组（P100）1、（1）设两个正数为,a b ，则0,0a b >>，且36ab =所以 223612a b ab +==≥，当且仅当6a b ==时取等号. 答：当这两个正数均为6时，它们的和最小.（2）设两个正数为,a b ，依题意0,0a b >>，且18a b +=所以2218()()8122a b ab +==≤，当且仅当9a b ==时取等号.答：当这两个正数均为9时，它们的积最大. 2、设矩形的长为x m ，宽为y m ，菜园的面积为S 2m . 则230x y +=，S x y =⨯由基本不等式与不等式的性质，可得211219002252()222242x y S x y +=⨯⨯=⨯=≤. 当2x y =，即1515,2x y ==时，菜园的面积最大，最大面积是22522m .3、设矩形的长和宽分别为x 和y ，圆柱的侧面积为z ，因为2()36x y +=，即18x y +=. 所以222()1622x y z x y πππ+=⨯⨯⨯=≤，当x y =时，即长和宽均为9时，圆柱的侧面积最大. 4、设房屋底面长为x m ，宽为y m ，总造价为z 元，则12xy =，12y x= 12360031200680058004800580023600124800580034600z y x x x⨯=⨯+⨯+=++⨯⨯+=≥ 当且仅当1236004800x x⨯=时，即3x =时，z 有最小值，最低总造价为34600元. 习题3.4 B 组（P101）1、设矩形的长AB 为x ，由矩形()ABCD AB AD >的周长为24，可知，宽12AB x =-. 设PC a =，则DP x a =-所以 222(12)()x x a a -+-=，可得21272x x a x -+=，1272x DP x a x-=-=.所以ADP ∆的面积 211272187272(12)66[()18]2x x x S x x x x x--+-=-=⨯=⨯-++由基本不等式与不等式的性质 6[27218]6(18122)108722S ⨯-+=⨯-=-≤当72x x=，即62x =m 时，ADP ∆的面积最大，最大面积是(108722)-2m . 2、过点C 作CD AB ⊥，交AB 延长线于点D .设BCD α∠=，ACB β∠=，CD x =.在BCD ∆中，tan b c x α-=. 在ACD ∆中，tan()a cxαβ-+= 则tan()tan tan tan[()]1tan()tan αβαβαβααβα+-=+-=++⋅()()1a c b ca b x x a c b c a c b c x x x x----==----+⋅+()()2()()2a b a ba cbc a c b c x x--=----⋅≤当且仅当()()a cbc x x--=，即()()x a c b c =--时，tan β取得最大，从而视角也最大.第三章复习参考题A 组（P103）1、511212537+<+. 2、化简得{}23A x x =-<<，{}4,2B x x x =<->或，所以{}23A B x x =<<I3、当0k <时，一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，即二次函数2328y kx kx =+-在x 轴下方，234(2)()08k k ∆=--<，解之得：30k -<<.当0k >时，二次函数2328y kx kx =+-开口朝上一元二次不等式23208kx kx +-<不可能对一切实数x 都成立，所以，30k -<<. 4、不等式组438000x y x y ++>⎧⎪<⎨⎪<⎩表示的平面区域的整点坐标是(1,1)--.5、设每天派出A 型车x 辆，B 型车y 辆，成本为z .所以 070494860360x y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≤≤≤≤≤≥，目标函数为160252z x y =+把160252z x y =+变形为40163252y x z =-+，得到斜率为4063-，在y 轴上的截距为1252z ，随z 变化的一族平行直线. 在可行域的整点中，点(5,2)M 使得z 取得最小值. 所以每天派出A 型车5辆，B 型车2辆，成本最小，最低成本为1304元.6、设扇形的半径是x ，扇形的弧长为y ，因为 12S xy =扇形的周长为 2224Z x y xy S =+=≥当2x y =，即x S =，2y S =时，Z 可以取得最小值，最小值为4S . 7、设扇形的半径是x ，扇形的弧长为y ，因为2P x y =+扇形的面积为221112(2)()244216x y P Z xy x y +===≤ 当2x y =，即4P x =，2P y =时，Z 可以取得最大值，半径为4P 时扇形面积最大值为216P .8、设汽车的运输成本为y ， 2()s say bv a sbv v v=+⨯=+当sasbv v=时，即a v b =且a cb ≤时，y 有最小值. 22sa say sbv sbv s ab v v=+⨯=≥，最小值为2s ab . 当a cb >时，由函数sa y sbv v =+的单调性可知，vc =时y 有最小值，最小值为sa sbc c+. 第三章复习参考题B 组（P103）1、D2、（1）32264x x x x ⎧⎫<--<<>⎨⎬⎩⎭或或（2）231334x x x x ⎧⎫-<>⎨⎬⎩⎭或或≤≤3、1m =4、设生产裤子x 条，裙子y 条，收益为z .则目标函数为2040z x y =+，所以约束条件为 10210600x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤≥≥5、因为22x y +是区域内的点到原点的距离的平方所以，当240330x y x y -+=⎧⎨--=⎩即2,3A A x y ==时，22x y +的最大值为13.当4525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，22x y +最小，最小值是45.6、按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为1p ，购n kg ，第二次购物时的价格为2p ，仍购n kg ，按这种策略购物时两次购物的平均价格为121222p n p n p p n ++=. 若按第二种策略购物，第一次花m 元钱，能购1m p kg 物品，第二次仍花m 元钱，能购2m p kg 物品，两次购物的平均价格为12122211m m m p p p p =++ x+y=62x+y=10x+y=10yx1010656O（第4题）xy12L 1L 3L 2AB C （第5题）比较两次购物的平均价格：221212121212121212121222()4()011222()2()p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p +++---=-==++++≥ 所以，第一种策略的平均价格高于第二种策略的平均价格，因而，用第二种策略比较经济. 一般地，如果是n 次购买同一种物品，用第二种策略购买比较经济.。

新人教版高中数学必修5全册同步课时作业含解析答案

新人教版高中数学必修5全册同步课时作业（含解析答案）目录课时作业1 正弦定理第1课时课时作业2 正弦定理第2课时课时作业3 余弦定理课时作业4 正、余弦定理习题课课时作业5 应用举例第1课时课时作业6 应用举例第2课时）正、余弦定理的综合应用课时作业7 数列的概念与简单表示法课时作业8 数列的性质和递推公式课时作业9 等差数列第1课时课时作业10 等差数列第2课时课时作业11 等差数列第3课时课时作业12 等差数列的前n项和第1课时课时作业13 等差数列的前n项和第2课时课时作业14 等差数列的前n项和第3课时课时作业15 等比数列第1课时课时作业16 等比数列第2课时课时作业17 等比数列的前n项和第1课时课时作业18 等比数列的前n项和第2课时课时作业19 专题研究一数列通项的求法课时作业20 专题研究二特殊数列求和方法课时作业21 专题研究三数列的实际应用课时作业22 不等关系与不等式课时作业23 一元二次不等式及其解法第1课时课时作业24 一元二次不等式及其解法第2课时课时作业25 二元一次不等式组）表示的平面区域课时作业26 简单的线性规划问题第1课时课时作业27 简单的线性规划问题第2课时课时作业28 简单的线性规划问题课时作业29 基本不等式 ab≤a＋b2 第1课时课时作业30 基本不等式 ab≤a＋b2 第2课时课时作业31 基本不等式1课时作业32 基本不等式2课时作业1 正弦定理（第1课时）1．在△ABC 中，下列等式中总能成立的是( ) A ．a sin A ＝b sin B B ．b sin C ＝c sin A C ．ab sin C ＝bc sin B D ．ab sin C ＝bc sin A答案 D2．在△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( ) A.3＋1 B ．23＋1 C ．2 6 D ．2＋2 3答案 C3．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 为( ) A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰三角形答案 A4．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb，则∠B 的值为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 B解析 ∵sin A a ＝sin B b ，∴cos B b ＝sin B b，∴cos B ＝sin B ，从而tan B ＝1，又0°<B <180°，∴B ＝45°.5．(2013·湖南)在△ABC 中，若3a ＝2b sin A ，则B 为( ) A.π3B.π6C.π3或23π D.π6或56π 答案 C解析由3a ＝2b sin A ，得3sin A ＝2sin B ·sin A . ∴sin B ＝32.∴B ＝π3或2π3. 6．在△ABC 中，A ∶B ∶C ＝4∶1∶1，则a ∶b ∶c 为( ) A ．3∶1∶1 B ．2∶1∶1 C.2∶1∶1 D.3∶1∶1答案 D解析由已知得A ＝120°，B ＝C ＝30°，根据正弦定理的变形形式，得a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶1∶1. 7．以下关于正弦定理的叙述或变形中错误．．的是( ) A ．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C B ．在△ABC 中，a ＝b ⇔sin2A ＝sin2BC ．在△ABC 中，a sin A ＝b ＋c sin B ＋sin CD ．在△ABC 中，正弦值较大的角所对的边也较大答案 B解析对于B 项，当a ＝b 时，sin A ＝sin B 且cos A ＝cos B ，∴sin2A ＝sin2B ，但是反过来若sin2A ＝sin2B .2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.不一定a ＝b ，∴B 选项错误．8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于( )A ．120°B ．105°C ．90°D ．75°答案 A9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．答案π6解析由sin B ＋cos B ＝2sin(B ＋π4)＝2，得sin(B ＋π4)＝1，所以B ＝π4.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝2·si nπ42＝12，所以A ＝π6或5π6(舍去)． 10．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin A ＝________.答案 12解析由A ＋C ＝2B ，且A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝60°，由正弦定理，得3sin60°＝1sin A ，∴sin A ＝12.11．(2012·福建)在△ABC 中，已知∠BAC ＝60°，∠ABC ＝45°，BC ＝3，则AC ＝________.答案 2解析如图所示，由正弦定理，得AC sin B ＝BC sin A ，即AC sin45°＝3sin60°，即AC22＝332，故AC ＝ 2. 12．(2012·北京)在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，∠A ＝π3，则∠C 的大小为________．答案π2解析由正弦定理，得a sin ∠A ＝bsin ∠B .从而332＝3sin ∠B，即sin ∠B ＝12.∴∠B ＝30°或∠B ＝150°.由a >b 可知∠B ＝150°不合题意，∴∠B ＝30°. ∴∠C ＝180°－60°－30°＝90°.13．已知三角形的两角分别是45°、60°，它们夹边的长是1，则最小边长为________．答案3－114．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.答案10215．△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，则a (sin C －sin B )＋b (sin A －sin C )＋c (sin B －sin A )＝________.答案 0解析 ∵a sin A ＝bsin B ，∴a sin B ＝b sin A .同理可得a sin C ＝c sin A 且b sin C ＝c sin B .∴原式＝0.16．已知在△ABC 中，c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a 、b 和B . 答案 a ＝10 2 b ＝5(6＋2) B ＝105°17．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，求a 的值．答案2解析由正弦定理，得6sin120°＝2sin C ，∴sin C ＝12.又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°. ∴△ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.18．已知在△ABC 中，∠A ＝45°，a ＝2，c ＝6，解此三角形．解析由正弦定理a sin A ＝csin C ，得 sin C ＝62sin45°＝62×22＝32. 因为∠A ＝45°，c >a ，所以∠C ＝60°或120°. 所以∠B ＝180°－60°－45°＝75° 或∠B ＝180°－120°－45°＝15°. 又因为b ＝a sin Bsin A，所以b ＝3＋1或3－1. 综上，∠C ＝60°，∠B ＝75°，b ＝3＋1 或∠C ＝120°，∠B ＝15°，b ＝3－1. ►重点班·选作题19．下列判断中正确的是( )A ．当a ＝4，b ＝5，A ＝30°时，三角形有一解B ．当a ＝5，b ＝4，A ＝60°时，三角形有两解C ．当a ＝3，b ＝2，B ＝120°时，三角形有一解D ．当a ＝322，b ＝6，A ＝60°时，三角形有一解答案 D20．△ABC 的外接圆半径为R ，C ＝60°，则a ＋bR的取值范围是( ) A ．[3，23] B ．[3，23) C ．(3，23] D ．(3，23)答案 C课时作业2 正弦定理（第2课时）1．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则这个三角形一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形答案 A2．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，且B ＝30°，则△ABC 的面积等于( ) A.32B.34C.32或 3 D.34或32 答案 D3．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( ) A ．－223B.223 C ．－63D.63答案 D解析依题意得0°<B <60°，a sin A ＝b sin B ，sin B ＝b sin A a ＝33，cos B ＝1－sin 2B ＝63，选D.4．(2013·山东)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( ) A ．2 3 B ．2 C. 2 D ．1答案 B解析由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得1sin A ＝3sin B.又∵B ＝2A ，∴1sin A ＝3sin2A ＝32sin A cos A .∴cos A ＝32，∴∠A ＝30°，∴∠B ＝60°，∠C ＝90°. ∴c ＝12＋32＝2.5．(2013·陕西)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定答案 B解析 ∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A .又∵sin A >0，∴sin A ＝1，∴A ＝π2，故△ABC 为直角三角形．6．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知A ＝60°，a ＝3，b ＝1，则c 等于( )A ．1B ．2 C.3－1 D. 3答案 B7．已知△ABC 的面积为32，且b ＝2，c ＝3，则( )A ．A ＝30°B ．A ＝60°C ．A ＝30°或150°D ．A ＝60°或120° 答案 D8．已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( )A ．1B ．2 C.12 D ．4 答案 A9．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B 等于( ) A ．45°或135° B ．60° C ．45° D ．135° 答案 C10．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度为________．答案 211．△ABC 中，若a cos A 2＝b cos B 2＝ccos C 2，则△ABC 的形状是________．答案等边三角形12．在△ABC 中，lg(sin A ＋sin C )＝2lgsin B －lg(sin C －sin A )，则该三角形的形状是________．答案直角三角形解析由已知条件lg(sin A ＋sin C )＋lg(sin C －sin A )＝lgsin 2B ， ∴sin 2C －sin 2A ＝sin 2B ，由正弦定理，可得c 2＝a 2＋b 2. 故三角形为直角三角形．13．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，B ＝π3，cos A ＝45，b ＝ 3.(1)求sin C 的值； (2)求△ABC 的面积．答案 (1)3＋4310 (2)36＋935014．在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cosC ，试判断三角形的形状．解析由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)．将原等式化为8R 2sin 2B sin 2C ＝8R 2sin B sin C cos B cos C .∵sin B ·sin C ≠0，∴sin B sin C ＝cos B cos C . 即cos(B ＋C )＝0.∴B ＋C ＝90°，即A ＝90°. 故△ABC 为直角三角形．15．在△ABC 中，求证：cos2A a 2－cos2B b 2＝1a 2－1b2.证明 ∵左边＝1－2sin 2A a 2－1－2sin 2Bb2＝1a 2－1b 2－2(sin 2A a 2－sin 2B b2)，由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ，∴sin 2A a 2－sin 2Bb2＝0.∴原式成立． ►重点班·选作题16．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，边长c 的取值范围是( )A ．(152，＋∞)B ．(10，＋∞)C ．(0,10)D ．(0，403]答案 D17．(2012·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B＝5cos C .(1)求tan C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．解析 (1)因为0<A <π，cos A ＝23，得sin A ＝1－cos 2A ＝53. 又5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C ，所以tan C ＝ 5. (2)由tan C ＝5，得sin C ＝56，cos C ＝16.于是sin B ＝5cos C ＝56.由a ＝2及正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝ 3.设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ac sin B ＝52.1．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，∠C ＝2π3，则a ＝________.答案 1解析在△ABC 中，由正弦定理，得1sin B＝3sin2π3，解得sin B ＝12，因为b <c ，故角B 为锐角，所以B ＝π6，则A ＝π6.再由正弦定理或等腰三角形性质可得a ＝1.课时作业3 余弦定理1．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin B sinC ＋sin 2C ，则A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°答案 C解析由正弦定理，得a 2＝b 2＋bc ＋c 2，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12.∴A ＝120°.2．若a ，b ，c 是△ABC 的三边，且c a 2＋b2>1，则△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形答案 D 解析 ∵c a 2＋b2>1，即a 2＋b 2<c 2，a 2＋b 2－c 2<0，于是cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0.∴∠C 为钝角，即得△ABC 为钝角三角形．3．边长5、7、8的三角形的最大角与最小角的和是( ) A ．90° B ．120° C ．135° D ．150°答案 B解析设中间的角大小为B ，由余弦定理，求得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝52＋82－722×5×8＝12.而0<B <π，∴B ＝π3.∴最大角与最小角的和是π－π3＝2π3＝120°.4．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 2答案 D5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案 A解析由sin C ＝23sin B ，可得c ＝23b ，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝－3bc ＋c 22bc ＝32，于是A ＝30°，故选A.6．在△ABC 中，已知a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，则这个三角形最大角的外角是( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°答案 B解析 ∵a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，∴可令a ＝3x ，b ＝5x ，c ＝7x (x >0)，显然c 边最大．∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9x 2＋25x 2－49x 22·3x ·5x ＝－12.∴C ＝120°，∴其外角为60°.7．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3 C.π6或5π6D.π3或2π3答案 D解析本题考查边角关系中余弦定理的应用．解斜三角形问题的关键是充分挖掘题中边角特征，选择合理的定理求解．因此(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，所以由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，得sin B ＝32，选D. 8．在△ABC 中，已知a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形答案 B解析由a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ·b 2＋a 2－c 22ab，化简得a 4＋2a 2b 2＋b 4＝c 4，即(a 2＋b 2)2＝c 4.∴a 2＋b 2＝c 2或a 2＋b 2＝－c 2(舍去)．故△ABC 是直角三角形．9．若将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度确定答案 A10．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则A ＝________. 答案 30°11．(2012·湖北)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________.答案2π3解析 ∵由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，整理可得，a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝－ab 2ab ＝－12，∴C ＝2π3. 12．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C ，B ＝π3且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．答案3解析在△ABD 中，B ＝π3，BD ＝2，AB ＝1，则AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos π3＝3.所以AD ＝ 3.13．在△ABC 中，三个角A ，B ，C 的对边边长分别为a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C 的值为________．答案612解析由余弦定理可得bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C ＝b 2＋c 2－a 22＋c 2＋a 2－b 22＋a 2＋b 2－c 22＝a 2＋b 2＋c 22＝32＋42＋622＝612.14．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知b 2＝ac ，且a 2－c 2＝ac －bc ，求∠A 的大小及b sin Bc的值．解析 ∵b 2＝ac ，又a 2－c 2＝ac －bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc .在△ABC 中，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴∠A ＝60°.在△ABC 中，由正弦定理，得sin B ＝b sin Aa. ∵b 2＝ac ，∠A ＝60°，∴b sin B c ＝b 2sin60°ca ＝sin60°＝32.故∠A ＝60°，b sin Bc 的值为32. 15．已知锐角三角形ABC 中，边a 、b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，角A 、B 满足2sin(A ＋B )－3＝0，求角C 的度数，边c 的长度及△ABC 的面积．解析由2sin(A ＋B )－3＝0，得sin(A ＋B )＝32. ∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B ＝120°，∴C ＝60°. ∵a 、b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根， ∴a ＋b ＝23，ab ＝2.∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝12－6＝6. ∴c ＝6，S △ABC ＝12ab sin C ＝12·2·32＝32.►重点班·选作题16．设△ABC 三边长分别为15,19,23，现将三边长各减去x 后，得一钝角三角形，则x 的范围为________．答案 (3,11)解析由两边之和大于第三边，得 15－x ＋19－x >23－x ，∴x <11. ① 又因得到的三角形为钝角三角形， ∴(15－x )2＋(19－x )2<(23－x )2.即x 2－22x ＋57<0，(x －3)(x －19)<0,3<x <19.② 由①、②可得3<x <11.17．在△ABC 中，已知c 4－2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0，求角C . 解析 ∵c 4－2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0， ∴[c 2－(a 2＋b 2)]2－a 2b 2＝0，∴c 2－(a 2＋b 2)＝±ab .∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝±12，∴C ＝120°或C ＝60°.1．已知△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，所对的三边分别为a 、b 、c ，若三角形ABC 的面积为S ＝a 2－(b －c )2，则tan A2等于________．答案 14解析本题考查余弦定理和解三角形等．由S ＝12bc sin A ，又S ＝a 2－b 2－c 2＋2bc ，由余弦定理知a 2－b 2－c 2＝－2bc ·cos A ⇒12bc sin A ＝－2bc cos A ＋2bc ⇒sin A ＝4(1－cos A )⇒2sin A 2cos A 2＝4×2sin 2A 2⇒tan A 2＝14. 2．在△ABC 中，A 、B 、C 满足A ＋C ＝2B ，且最大角与最小角的对边之比为(3＋1)∶2，求A 、B 、C 的度数．解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＝60°.不妨设最大角为A ，则最小角为C . 由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得 (b c)2＝(a c)2＋1－2·a c·cos B . 将a c ＝3＋12及cos B ＝12代入，得b c ＝62. ∴sin B sin C ＝62，∴sin C ＝22.∵c <b ，∴C ＝45°，∴A ＝75°. 3．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，设f (x )＝a 2x 2－(a 2－b 2)x －4c 2. (1)若f (1)＝0且B －C ＝π3，求角C 的大小；(2)若f (2)＝0，求角C 的取值范围．解析 (1)∵f (1)＝0，∴a 2－(a 2－b 2)－4c 2＝0. ∴b 2＝4c 2，∴b ＝2c .∴sin B ＝2sin C . 又B －C ＝π3，∴sin(C ＋π3)＝2sin C .∴sin C ·cos π3＋cos C ·sin π3＝2sin C .∴32sin C －32cos C ＝0，∴sin(C －π6)＝0. 又－π6<C －π6<5π6，∴C ＝π6.(2)若f (2)＝0，则4a 2－2(a 2－b 2)－4c 2＝0.∴a 2＋b 2＝2c 2，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝c 22ab.又a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴a 2＋b 2≥2ab . 即2c 2＝a 2＋b 2≥2ab ，∴ab ≤c 2. ∴cos C ≥12，∴0<C ≤π3.课时作业4 正、余弦定理习题课1．在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝44°，则此三角形的情况为( ) A ．无解 B ．两解C ．一解D ．解的个数不确定答案 B2．若△ABC 的内角A 、B 、C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B 等于( ) A.154 B.34 C.31516D.1116 答案 D3．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形答案 C解析方法一在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝180°. ∴C ＝180°－(A ＋B )，∴sin C ＝sin(A ＋B )． ∴已知条件可化为2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )． ∴sin(A －B )＝0.又－π<A －B <π，∴A －B ＝0，∴A ＝B .∴△ABC 为等腰三角形．方法二运用正、余弦定理将角的三角函数式化为边的等式．2·a 2＋c 2－b 22ac ·a 2R ＝c 2R.整理，得a 2－b 2＝0，∴a ＝b .∴△ABC 为等腰三角形．4．在三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且a >b >c ，若a 2<b 2＋c 2，则∠A 的取值范围是( )A ．(π2，π)B ．(π4，π2)C ．(π3，π2)D ．(0，π2)答案 C解析 ∵a 2<b 2＋c 2，∴b 2＋c 2－a 2>0.∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc>0.∴A <90°.又∵a 边最大，∴A 角最大．∵A ＋B ＋C ＝180°，∴3A >180°. ∴A >60°，∴60°<A <90°.5．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．6∶5∶4B ．7∶5∶3C ．3∶5∶7D ．4∶5∶6答案 B解析设b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ，a ＋b ＝6k (k >0)，从而解出a ＝72k ，b ＝52k ，c ＝32k ，∴a ∶b ∶c ＝7∶5∶3.由正弦定理，得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3.6．在△ABC 中，A ∶B ＝1∶2，C 的平分线CD 把三角形面积分为3∶2两部分，则cos A ＝( )A.13 B.12 C.34 D ．0答案 C 解析∵CD 是∠C 的平分线，∴S △ACD S △BCD ＝12AC ·CD sinC 212BC ·CD sin C 2＝AC BC ＝sin B sin A ＝32. ∵B ＝2A ，∴sin B sin A ＝sin2A sin A ＝2cos A ＝32.∴cos A ＝34.7．在钝角△ABC 中，a ＝1，b ＝2，则最大边c 的取值范围是( ) A ．1<c <3B ．2<c<3C.5<c <3 D ．22<c <3答案 C8．三角形三边长为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2(a >0，b >0)，则最大角为________．答案 120°9．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．答案310．已知△ABC 的面积为23，BC ＝5，A ＝60°，则△ABC 的周长是________．答案 1211．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的外接圆半径为________．答案8155解析 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝122＋122－622×12×12＝78，∴sin A ＝1－cos 2A ＝158. ∴2R ＝asin A ，R ＝a 2sin A ＝8155. 12．已知△ABC 中，∠A ＝60°，最大边和最小边的长是方程3x 2－27x ＋32＝0的两实根，那么BC 边长等于________．答案 7解析 ∵A ＝60°，所求为BC 边的长，而BC 即为角A 的对边，∴BC 边既非最大边也非最小边．不妨设最大边长为x 1，最小边长为x 2，由题意得：x 1＋x 2＝9，x 1x 2＝323. 由余弦定理，得BC 2＝x 21＋x 22－2x 1x 2cos A ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2－2x 1x 2cos A ＝92－2×323－2×323×cos60°＝49.∴BC ＝7.13．在△ABC 中，已知BC ＝8，AC ＝5，三角形面积为12，则cos2C ＝________. 答案725解析由题意得S △ABC ＝12·AC ·BC ·sin C ＝12，即12×8×5×sin C ＝12，则sin C ＝35. cos2C ＝1－2sin 2C ＝1－2×(35)2＝725.14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若b ＝a cos C 且△ABC 的最大边长为12，最小角的正弦值为13.(1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积．解析 (1)∵b ＝a cos C ，由正弦定理，得sin B ＝sin A cos C . 由A ＋B ＋C ＝π，得sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )． ∴sin(A ＋C )＝sin A cos C .∴sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C . ∴cos A sin C ＝0.∵0<A <π，0<C <π，∴sin C >0. ∴cos A ＝0，∴A ＝π2.∴△ABC 为直角三角形． (2)∵△ABC 的最大边长为12，由第(1)问知，斜边a ＝12. 又∵△ABC 的最小角的正弦值为13，∴Rt △ABC 中最短直角边长为12×13＝4.另一直角边长为122－42＝8 2. ∴S △ABC ＝12×4×82＝16 2.15．(2013·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23.(1)求b 的值；(2)求sin(2B －π3)的值．解析 (1)在△ABC 中，由a sin A ＝bsin B，可得b sin A ＝a sin B .又由b sin A ＝3c sin B ，可得a ＝3c ，又a ＝3，故c ＝1. 由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，cos B ＝23，可得b ＝ 6.(2)由cos B ＝23，得sin B ＝53，进而得cos2B ＝2cos 2B －1＝－19，sin2B ＝2sin B cos B ＝459.所以sin(2B －π3)＝sin2B cos π3－cos2B sin π3＝45＋318.课时作业5 应用举例（第1课时）1．若P在Q的北偏东44°50′，则Q在P的( )A．东偏北45°10′B．东偏北45°50′C．南偏西44°50′ D．西偏南45°50′答案 C2．在某次测量中，在A处测得同一方向的B点的仰角为60°，C点的俯角为70°，则∠BAC等于( )A．10° B．50°C．120° D．130°答案 D3．一只船速为2 3 米/秒的小船在水流速度为2米/秒的河水中行驶，假设两岸平行，要想使过河时间最短，则实际行驶方向与水流方向的夹角为( )A．120° B．90°C．60° D．30°答案 B4．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距( )A．10 3 m B．100 3 mC．2030 m D．30 m答案 D解析设炮台顶部为A，两条船分别为B、C，炮台底部为D，可知∠BAD＝45°，∠CAD ＝60°，∠BDC＝30°，AD＝30.分别在Rt△ADB，Rt△ADC中，求得DB＝30，DC＝30 3.在△DBC中，由余弦定理，得BC2＝DB2＋DC2－2DB·DC cos30°，解得BC＝30.5．某人向正东方向走x km后，他向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好 3 km，那么x的值为( )A. 3 B．2 3C．23或 3 D．3答案 C6．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )A．a km B.3a kmC.2a km D．2a km答案 B7．海上有A、B、C三个小岛，已知A、B相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C的距离是( )A．10 3 海里 B.1063海里C．5 2 海里D．5 6 海里答案 D8.如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC 的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算A、B两点的距离为( ) A．50 2 m B．50 3 mC．25 2 m D.2522m答案 A9．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时( )A．5 海里B．5 3 海里C．10 海里D．10 3 海里答案 D10．已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为2 km，船B在灯塔C西偏北25°且到C的距离为 3 km，则A，B两船的距离为( )A．2 3 km B．3 2 kmC.15 kmD.13 km答案 D11．一船以24 km/h的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见灯塔在船的北偏东65°方向上，则船在点B 时与灯塔S 的距离是________km.(精确到0.1 km)答案 5.212．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A ，B ，望对岸的标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则河的宽度是________m.答案 6013．已知船在A 处测得它的南偏东30°的海面上有一灯塔C ，船以每小时30海里的速度向东南方向航行半小时后到达B 点，在B 处看到灯塔在船的正西方向，问这时船和灯塔相距________海里．答案563－1214．A 、B 是海平面上的两个点，相距800 m ，在A 点测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 是点C 到水平面的垂足，求山高CD .解析如图，由于CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°，所以CD ＝AD . 因此，只需在△ABD 中求出AD 即可．在△ABD 中，∠BDA ＝180°－45°－120°＝15°. 由AB sin15°＝ADsin45°，得AD ＝AB ·sin45°sin15°＝800×226－24＝800(3＋1)(m)．∵CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°， ∴CD ＝AD ＝800(3＋1)≈2 186(m)．答：山高CD 为2 186 m.15．如图所示，海中小岛A 周围38海里内有暗礁，一船正向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东30°，航行30海里后，在C 处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？思路分析船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A 到直线BC 的距离与38海里的大小，于是我们只要先求出AC 或AB 的大小，再计算出A 到BC 的距离，将它与38海里比较大小即可．解析在△ABC 中，BC ＝30，B ＝30°，∠ACB ＝135°， ∴∠BAC ＝15°.由正弦定理BC sin A ＝AC sin B ，即30sin15°＝AC sin30°.∴AC ＝60cos15°＝60cos(45°－30°)＝60(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝15(6＋2)． ∴A 到BC 的距离d ＝AC sin45°＝15(3＋1)≈40.98海里>38海里，所以继续向南航行，没有触礁危险．1．一船以4 km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h ，则经过 3 h 后，该船实际航行为( )A ．215 kmB ．6 km C.84 km D ．8 km答案 B 2.如图，为了测量正在海面匀速行驶的某航船的速度，在海岸上选取距离1千米的两个观察点C 、D ，在某天10∶00观察到该航船在A 处，此时测得∠ADC ＝30°，2分钟后该船行驶至B 处，此时测得∠ACB ＝60°，∠BCD ＝45°，∠ADB ＝60°，则船速为________(千米/分钟)．答案64解析在△BCD 中，∠BDC ＝30°＋60°＝90°，CD ＝1，∠BCD ＝45°， ∴BC ＝ 2.在△ACD 中，∠CAD ＝180°－(60°＋45°＋30°)＝45°， ∴CDsin45°＝AC sin30°，AC ＝22.在△ABC 中，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC ×cos60°＝32，∴AB ＝62，∴船速为622＝64 千米/分钟．3.如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距20 3 海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？答案救船到达D 点需要1小时．解析由题意知AB ＝5(3＋3)(海里)，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°. 在△DAB 中，由正弦定理，得DB sin ∠DAB ＝ABsin ∠ADB.∴DB ＝AB ·sin∠DAB sin ∠ADB ＝53＋3·sin45°sin105°＝53＋3·sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝533＋13＋12＝103(海里)．又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝203(海里)，在△DBC 中，由余弦定理，得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos∠DBC＝300＋1 200－2×103×203×12＝900.∴CD ＝30(海里)，则需要的时间t ＝3030＝1(小时)．答：救援船到达D 点需要1小时． 4.如图所示，a是海面上一条南北向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B、C分别在A的正东方20 km处和54 km处．某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8 s后监测点A、20 s后监测点C相继收到这一信号．在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.(1)设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离．(结果精确到0.01 km)答案(1)PB＝x－12 km，PC＝18＋x km 132 7(2)17.71 km课时作业6 应用举例（第2课时）正、余弦定理的综合应用1．已知方程x 2sin A ＋2x sin B ＋sin C ＝0有重根，则△ABC 的三边a 、b 、c 满足关系式( ) A ．b ＝ac B ．b 2＝ac C ．a ＝b ＝c D ．c ＝ab答案 B解析由Δ＝0，得4sin 2B －4sin A sinC ＝0，结合正弦定理得b 2＝ac . 2．在△ABC 中，已知A ＝30°，且3a ＝3b ＝12，则c 的值为( ) A ．4 B ．8 C ．4或8 D ．无解答案 C解析由3a ＝3b ＝12，得a ＝4，b ＝43，利用正弦定理可得B 为60°或120°，从而解出c 的值．3．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积S △ABC ＝32，则边BC 的长为( ) A. 3 B ．3 C.7 D ．7答案 A 解析由S △ABC ＝32，得12AB ·AC sin A ＝32. 即12×2AC ×32＝32，∴AC ＝1，由余弦定理，得 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝22＋12－2×2×1×12＝3.∴BC ＝ 3.4．在△ABC 中，2a cos B ＝c ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形答案 A解析方法一由余弦定理，得2a a 2＋c 2－b 22ac＝c .所以a 2＋c 2－b 2＝c 2.则a ＝b .则△ABC是等腰三角形．方法二由正弦定理，得2×2R sin A cos B ＝2R sin C ，即2sin A cos B ＝sin C .又sin(A ＋B )＋sin(A －B )＝2sin A cos B ，所以sin(A ＋B )＋sin(A －B )＝sin C .又A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin C .所以sin(A －B )＝0.又0<A <π，0<B <π，则－π<A －B <π.所以有A ＝B ，则△ABC 是等腰三角形．讲评方法一是转化为三角形的边的关系，利用代数运算获得三角形的关系式；方法二是转化为三角形的角的关系，利用三角函数知识获得了三角形的角的关系．方法二中，如果没有想到等式sin(A ＋B )＋sin(A －B )＝2sin A cos B ，那么就会陷入困境．由于受三角函数知识的限制，提倡将已知条件等式转化为边的关系来判断三角形的形状．5．(2013·安徽)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝( )A.π3 B.2π3 C.3π4D.5π6答案 B解析 ∵3sin A ＝5sin B ，∴3a ＝5b .① 又b ＋c ＝2a ，②∴由①②可得，a ＝53b ，c ＝73b .∴cos C ＝b 2＋a 2－c 22ab＝b 2＋53b 2－73b 22×53b 2＝－12.∴C ＝23π.6．已知锐角三角形的边长分别是3,5，x ，则x 的取值范围是( ) A ．1<x < 5 B ．4<x <30 C ．1<x <4 D ．4<x <34答案 D解析若5最大，则32＋x 2－52>0，得x >4. 若x 最大，则32＋52－x 2>0，得0<x <34. 又2<x <8，则4<x <34.7．在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ＝2∶1，c 2＝b 2＋2bc ，则三内角A 、B 、C 的度数依次是________．答案 45°、30°、105°解析 ∵a ＝2b ，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A . ∴2b 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又∵c 2＝b 2＋2bc ， ∴cos A ＝22，A ＝45°，sin B ＝12，B ＝30°，∴C ＝105°.8．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A ＝______.答案33解析由正弦定理，得(3sin B －sin C )cos A ＝sin A cos C . 化简得3sin B cos A ＝sin(A ＋C )． ∵0<sin B ≤1，∴cos A ＝33. 9．设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a ＝2b sin A . (1)求B 的大小；(2)若a ＝33，c ＝5，求b .解析 (1)由a ＝2b sin A ，得sin A ＝2sin B sin A ，所以sin B ＝12.由△ABC 为锐角三角形，得B ＝π6.(2)根据余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2a cos B ＝27＋25－45＝7，所以b ＝7.10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解析 (1)由已知，根据正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc . 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A . 故cos A ＝－12，又A ∈(0，π)，故A ＝120°.(2)由(1)得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C . 又sin B ＋sin C ＝1，得sin B ＝sin C ＝12.因为0°<B <90°，0°<C <90°，故B ＝C . 所以△ABC 是等腰的钝角三角形．11．在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长．解析在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理，得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝100＋36－1962×10×6＝－12.∴∠ADC ＝120°，∠ADB ＝60°.在△ABD 中，AD ＝10，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°，由正弦定理，得AB sin ∠ADB ＝ADsin B. ∴AB ＝AD ·sin∠ADB sin B ＝10sin60°sin45°＝10×3222＝5 6.12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，满足S ＝34(a 2＋b 2－c 2)． (1)求角C 的大小；(2)求sin A ＋sin B 的最大值．解析 (1)由题意可知12ab sin C ＝34·2ab cos C ，所以tan C ＝ 3.因为0<C <π，所以C ＝π3.(2)由已知sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin(π－C －A ) ＝sin A ＋sin(2π3－A )＝sin A ＋32cos A ＋12sin A＝3sin(A ＋π6)≤ 3.当△ABC 为正三角形时取等号，所以sin A ＋sin B 的最大值是 3.13．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)求sin B ＋sin C 的最大值．解析 (1)由已知，根据正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .故cos A ＝－12，A ＝120°.(2)由(1)，得sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin(60°－B ) ＝32cos B ＋12sin B ＝sin(60°＋B )．故当B ＝30°时，sin B ＋sin C 取得最大值1. ►重点班·选作题14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos2C ＝－14.(1)求sin C 的值；(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长．解析 (1)因为cos2C ＝1－2sin 2C ＝－14，及0<C <π，所以sin C ＝104.(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，由正弦定理a sin A ＝csin C，得c ＝4.由cos2C ＝2cos 2C －1＝－14，及0<C <π得cos C ＝±64.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得b 2±6b －12＝0，解得b ＝6或2 6.所以⎩⎨⎧b ＝6，c ＝4.或⎩⎨⎧b ＝26，c ＝4.1．(2013·辽宁)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则∠B ＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6答案 A解析根据正弦定理，得a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b 等价于sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，即sin(A ＋C )＝12.又a >b ，∴∠A ＋∠C ＝5π6，∴∠B ＝π6.故选A 项．2．(2012·北京)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.答案 4解析由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4＋7－b 2－b 22×2×7－b ＝－14，解得b ＝4.3．(2011·湖北)设△ABC 的内角，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________.答案2π3解析 ∵由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，整理，可得a 2＋b 2－c 2＝－ab .∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－ab 2ab ＝－12，∴C ＝2π3.4．(2013·北京)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A . (1)求cos A 的值； (2)若c 的值．解析 (1)因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理，得3sin A ＝26sin2A. 所以2sin A cos A sin A ＝263.故cos A ＝63.(2)由(1)知，cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝1－cos 2B ＝223. 在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539.所以c ＝a sin Csin A＝5.5．(2013·江西)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．解析 (1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A cos B ＝0，即有sin A sin B －3sin A cos B ＝0.因为sin A ≠0，所以sin B －3cos B ＝0.又cos B ≠0，所以tan B ＝3，又0<B <π，所以B ＝π3.(2)由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 因为a ＋c ＝1，cos B ＝12，所以b 2＝3(a －12)2＋14.又0<a <1，于是有14≤b 2<1，即12≤b <1.6．(2013·四川)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A －B2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35，(1)求cos A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影．解析 (1)由2cos2A －B2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35，得[cos(A －B )＋1]cos B －sin(A －B )sin B －cos B ＝－35，即cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35.则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35.(2)由cos A ＝－35，0<A <π，得sin A ＝45.由正弦定理，有a sin A ＝b sin B ，所以，sin B ＝b sin A a ＝22.由题知a >b ，则A >B ，故B ＝π4. 根据余弦定理，有(42)2＝52＋c 2－2×5c ×(－35)，解得c ＝1或c ＝－7(舍去)．。

高中数学课时作业5(含解析)新人教A版选修23

【金版新学案】2014-2015学年高二数学课时作业5（含解析）新人教A版选修2-3一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列问题(1)从1,3,5,9中任取两个数相加，所得不同的和；(2)从1,3,5,9中任取两个数相除，所得不同的商；(3)从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加不同的两项活动．其中是组合问题的有( )A．0个B．1个C．2个D．3个解析：(1)取出的元素与顺序无关，是组合问题，(2)(3)与顺序有关，是排列问题，故选B.答案： B2．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有( )A．140种B．84种C．70种D．35种解析：可分两类：第一类甲型1台、乙型2台，有C14·C25＝4×10＝40(种)取法，第二类甲型2台、乙型1台，有C24·C15＝6×5＝30(种)取法，∴共有70种不同取法．故选C.答案： C3．方程C x14＝C2x－414的解为( )A．4 B．14C ．4或6D ．14或2解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x －42x －4≤14x ≤14或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14－2x －42x －4≤14x ≤14，解得x ＝4或6.故选C. 答案： C4．某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案的种数有( )A ．35B ．70C ．210D ．105解析：先从7人中选出3人有C 37＝35种情况，再对选出的3人相互调整座位，共有2种情况，故不同的调整方案种数为2C 37＝70.故选B.答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)解析：从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有C 410＝210(种)分法．答案： 2106．若对任意的x ∈A ，则x ∈1A，就称A 是“具有伙伴关系”的集合．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，13，12，1，2，3，4 的所有非空子集中，“具有伙伴关系”的集合的个数为__________．解析：具有伙伴关系的元素组有－1；1；12，2；13，3；共4组，所以集合M 的所有非空子集中，具有伙伴关系的非空集合中的元素，可以是具有伙伴关系的元素组中的任一组、二组、三组、四组，又集合中的元素是无序的，因此，所求集合的个数为C 14＋C 24＋C 34＋C 44＝15.答案： 15三、解答题(每小题10分，共20分)7．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有多少种？解析：可分为两种情况：(1)画册2本，集邮册2本，则不同的赠送方法有C 24＝4×32＝6种．(2)画册1本，集邮册3本，则不同的赠送方法有C14＝4种．∴共有6＋4＝10种．8．(1)化简C23＋C24＋…＋C22 011；(2)计算C37＋C47＋C58＋C69.解析：(1)原式＝C33＋C23＋C24＋…＋C22 011－1＝C34＋C24＋…＋C22 011－1＝…＝C32 011＋C22 011－1＝C32 012－1.(2)原式＝C48＋C58＋C69＝C59＋C69＝C610＝C410＝210.(10分)某区有7条南北向街道，5条东西向街道．(如图)(1)图中有多少个矩形？(2)从A点走向B点最短的走法有多少种？解析：(1)在7条南北向街道中任选2条，5条南北向街道中任选2条，这样4条线可组成一个矩形，故可组成矩形有C27·C25＝210(个)．(2)每条东西向的街道被分成6段，每条南北向街道被分成4段，从A到B最短的走法，无论怎样走，一定至少包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的)，共有C610＝C410＝210(种)走法．。