5.1 数的整除特征及其应用
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答：每盒办公文具盒344.08元。
例5
小红买了7支铅笔、5支圆珠笔、8本笔记本和 12块橡皮，总共用去4元5角。已知铅笔8分一 支，圆珠笔3角6分一支。问售货员的账有没有 算错？
可以先计算出买铅笔和圆珠笔用去多少钱。 为了避免出现小数，我们把单位统一化为 分计算。
例5
小红买了7支铅笔、5支圆珠笔、8本笔记本和 12块橡皮，总共用去4元5角。已知铅笔8分一 支，圆珠笔3角6分一支。问售货员的账有没有 算错？
8（或125）的倍数的特征：
末三位数能被8（或125）整除 11的倍数的特征：
奇数位与偶数位上数字之和的差（以大减小）是11的倍数。 7（11或13）的倍数的特征：
这个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数的差 （以大减小）能被7、11、13整除。
例1
有一个四位数 3AA1 ，它能被9整除，那么A 是几？
例1
有一个四位数 3AA1 ，它能被9整除，那么A 是几？
能被9整除的数的特征：这个四位数各个数位上 的数字之和是9的倍数。
例1
Leabharlann Baidu
有一个四位数 3AA1 ，它能被9整除，那么A 是几？
（1）若和为9
A=(9－3－1)÷2=2.5 ×
（2）若和为18
A=(18－3－1)÷2=7 √
（3）若和为27
A=(27－3－1)÷2=11.5 ×
例4
小李为公司买了28盒价格相同的办公文具盒，
发票因被水浸湿，只能看清963○.2○元，李 老师只知道○的数字是相同的，请问每盒办公
文具盒多少元？
例4
小李为公司买了28盒价格相同的办公文具盒，
发票因被水浸湿，只能看清963○.2○元，李 老师只知道○的数字是相同的，请问每盒办公
文具盒多少元？
4的倍数特征：这个多位数的末两位数能被4整除；
111111÷13=8547
222222÷13=17094
即6个1能被13整除，6个2能被13整除。
能被11整除的数的特征：奇数位与偶数位上数字 之和的差（以大减小）是11的倍数。
例3
已知一个五位数
是55的倍数，
写出所有符合题意的五位数。
（1）个位数字是0
□9 691□0
0+9+□-(1+6)=□9 +2
是11的倍数
例3
已知一个五位数
是55的倍数，
写出所有符合题意的五位数。
（2）个位数字是5
□4 691□5
例2
五位数 94○3○ 中的○内填什么数字，才能被3
和5同时整除，请把这些数写出来。
（1）个位数字是0
94○2 3○0 9+4+3+0=16
94○5 3○0 94○8 3○0
例2
五位数 94○3○ 中的○内填什么数字，才能被3
和5同时整除，请把这些数写出来。
（2）个位数字是5
94○0 3○5
94○3 3○5 94○6 3○5 94○9 3○5
答：售货员的账算错了。
例6
下面这199位数
（其中1和2各有
99个）能被13整除，那么中间方格内应填什
么数？
例6
下面这199位数
（其中1和2各有
99个）能被13整除，那么中间方格内应填什
么数？
能被13整除的数的特征：这个多位数的末三位 数与末三位以前的数字所组成的数的差（以大减小） 是13的倍数。
（2）○=4
963424
（3）○=8
963828
963－20=943
不是7的倍数
943÷7=134……5 ○≠0
963－424=539 539÷7=77
是7的倍数 ○=4
963－828=135 不是7的倍数 135÷7=19……2 ○≠8
综上所述，可知 ○=4
9634.24÷28=344.08（元）
是55的倍数，
写出所有符合题意的五位数。
我们没有学过能被55整除的数的特征，但根 据条件：□691□是55的倍数，55=5×11，所 以这个数能同时被5和11整除。
例3
已知一个五位数
是55的倍数，
写出所有符合题意的五位数。
例3
已知一个五位数
是55的倍数，
写出所有符合题意的五位数。
能被5整除的数的特征：这个五位数的个位数字 是0、5。
4元5角=450分 3角6分=36分
7支铅笔和5支圆珠笔的总价钱为： 8×7+36×5=236（分）
8本笔记本和12块橡皮的总价钱为： 450－236=214（分）
因为8和12都是4的倍数，所以8本笔记本和12块 橡皮的总价钱也是4的倍数。
214，末两位数不是4的倍数 因为214不是4的倍数，所以售货员的账算错了。
博易新思维数学
五年级春季拓展版
问题情境
第1讲
数的整除特征 及其应用
首先，回忆一下下面这些数的倍数特征吧！
2的倍数的特征： 个位上是0、2、4、6、8的数
5的倍数的特征： 个位上是0或5的数
3（或9）的倍数的特征： 各个数位上的数字之和是3（或9）的倍数
4（或25）的倍数的特征： 末两位数能被4（或25）整除
7的倍数特征：这个多位数的末三位数与末三位以 前的数字所组成的数的差（以大减小）能被7整除。
例4
小李为公司买了28盒价格相同的办公文具盒，
发票因被水浸湿，只能看清963○.2○元，李 老师只知道○的数字是相同的，请问每盒办公
文具盒多少元？
963○2○
是4的倍数
○=0、4、8
（1）○=0
963020
9+4+3+5=21
例2
五位数 94○3○ 中的○内填什么数字，才能被3
和5同时整除，请把这些数写出来。
答：这些数是94230、94530、94830、 94035、94335、94635、94935。
小结
解题时，应尽量先从容易判断的数位上 着手考虑，以便节省推理和试验的时间。
例3
已知一个五位数
5+9+□-(1+6)=□4 +7
是11的倍数
答：符合题意的五位数有96910、46915。
例4
小李为公司买了28盒价格相同的办公文具盒，
发票因被水浸湿，只能看清963○.2○元，李 老师只知道○的数字是相同的，请问每盒办公
文具盒多少元？
可以先把963○.2○元化成963○2○分，小数转 化为整数，而总价应该是28的倍数，28=4×7， 我们可用4和7的倍数的特征来解决 。
答：A是7。
例2
五位数 94○3○ 中的○内填什么数字，才能被3
和5同时整除，请把这些数写出来。
例2
五位数 94○3○ 中的○内填什么数字，才能被3
和5同时整除，请把这些数写出来。
能被3整除的数的特征：这个五位数各个数位上 的数字之和是3的倍数。
能被5整除的数的特征：这个五位数的个位数字 是0、5。
例5
小红买了7支铅笔、5支圆珠笔、8本笔记本和 12块橡皮，总共用去4元5角。已知铅笔8分一 支，圆珠笔3角6分一支。问售货员的账有没有 算错？
可以先计算出买铅笔和圆珠笔用去多少钱。 为了避免出现小数，我们把单位统一化为 分计算。
例5
小红买了7支铅笔、5支圆珠笔、8本笔记本和 12块橡皮，总共用去4元5角。已知铅笔8分一 支，圆珠笔3角6分一支。问售货员的账有没有 算错？
8（或125）的倍数的特征：
末三位数能被8（或125）整除 11的倍数的特征：
奇数位与偶数位上数字之和的差（以大减小）是11的倍数。 7（11或13）的倍数的特征：
这个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数的差 （以大减小）能被7、11、13整除。
例1
有一个四位数 3AA1 ，它能被9整除，那么A 是几？
例1
有一个四位数 3AA1 ，它能被9整除，那么A 是几？
能被9整除的数的特征：这个四位数各个数位上 的数字之和是9的倍数。
例1
Leabharlann Baidu
有一个四位数 3AA1 ，它能被9整除，那么A 是几？
（1）若和为9
A=(9－3－1)÷2=2.5 ×
（2）若和为18
A=(18－3－1)÷2=7 √
（3）若和为27
A=(27－3－1)÷2=11.5 ×
例4
小李为公司买了28盒价格相同的办公文具盒，
发票因被水浸湿，只能看清963○.2○元，李 老师只知道○的数字是相同的，请问每盒办公
文具盒多少元？
例4
小李为公司买了28盒价格相同的办公文具盒，
发票因被水浸湿，只能看清963○.2○元，李 老师只知道○的数字是相同的，请问每盒办公
文具盒多少元？
4的倍数特征：这个多位数的末两位数能被4整除；
111111÷13=8547
222222÷13=17094
即6个1能被13整除，6个2能被13整除。
能被11整除的数的特征：奇数位与偶数位上数字 之和的差（以大减小）是11的倍数。
例3
已知一个五位数
是55的倍数，
写出所有符合题意的五位数。
（1）个位数字是0
□9 691□0
0+9+□-(1+6)=□9 +2
是11的倍数
例3
已知一个五位数
是55的倍数，
写出所有符合题意的五位数。
（2）个位数字是5
□4 691□5
例2
五位数 94○3○ 中的○内填什么数字，才能被3
和5同时整除，请把这些数写出来。
（1）个位数字是0
94○2 3○0 9+4+3+0=16
94○5 3○0 94○8 3○0
例2
五位数 94○3○ 中的○内填什么数字，才能被3
和5同时整除，请把这些数写出来。
（2）个位数字是5
94○0 3○5
94○3 3○5 94○6 3○5 94○9 3○5
答：售货员的账算错了。
例6
下面这199位数
（其中1和2各有
99个）能被13整除，那么中间方格内应填什
么数？
例6
下面这199位数
（其中1和2各有
99个）能被13整除，那么中间方格内应填什
么数？
能被13整除的数的特征：这个多位数的末三位 数与末三位以前的数字所组成的数的差（以大减小） 是13的倍数。
（2）○=4
963424
（3）○=8
963828
963－20=943
不是7的倍数
943÷7=134……5 ○≠0
963－424=539 539÷7=77
是7的倍数 ○=4
963－828=135 不是7的倍数 135÷7=19……2 ○≠8
综上所述，可知 ○=4
9634.24÷28=344.08（元）
是55的倍数，
写出所有符合题意的五位数。
我们没有学过能被55整除的数的特征，但根 据条件：□691□是55的倍数，55=5×11，所 以这个数能同时被5和11整除。
例3
已知一个五位数
是55的倍数，
写出所有符合题意的五位数。
例3
已知一个五位数
是55的倍数，
写出所有符合题意的五位数。
能被5整除的数的特征：这个五位数的个位数字 是0、5。
4元5角=450分 3角6分=36分
7支铅笔和5支圆珠笔的总价钱为： 8×7+36×5=236（分）
8本笔记本和12块橡皮的总价钱为： 450－236=214（分）
因为8和12都是4的倍数，所以8本笔记本和12块 橡皮的总价钱也是4的倍数。
214，末两位数不是4的倍数 因为214不是4的倍数，所以售货员的账算错了。
博易新思维数学
五年级春季拓展版
问题情境
第1讲
数的整除特征 及其应用
首先，回忆一下下面这些数的倍数特征吧！
2的倍数的特征： 个位上是0、2、4、6、8的数
5的倍数的特征： 个位上是0或5的数
3（或9）的倍数的特征： 各个数位上的数字之和是3（或9）的倍数
4（或25）的倍数的特征： 末两位数能被4（或25）整除
7的倍数特征：这个多位数的末三位数与末三位以 前的数字所组成的数的差（以大减小）能被7整除。
例4
小李为公司买了28盒价格相同的办公文具盒，
发票因被水浸湿，只能看清963○.2○元，李 老师只知道○的数字是相同的，请问每盒办公
文具盒多少元？
963○2○
是4的倍数
○=0、4、8
（1）○=0
963020
9+4+3+5=21
例2
五位数 94○3○ 中的○内填什么数字，才能被3
和5同时整除，请把这些数写出来。
答：这些数是94230、94530、94830、 94035、94335、94635、94935。
小结
解题时，应尽量先从容易判断的数位上 着手考虑，以便节省推理和试验的时间。
例3
已知一个五位数
5+9+□-(1+6)=□4 +7
是11的倍数
答：符合题意的五位数有96910、46915。
例4
小李为公司买了28盒价格相同的办公文具盒，
发票因被水浸湿，只能看清963○.2○元，李 老师只知道○的数字是相同的，请问每盒办公
文具盒多少元？
可以先把963○.2○元化成963○2○分，小数转 化为整数，而总价应该是28的倍数，28=4×7， 我们可用4和7的倍数的特征来解决 。
答：A是7。
例2
五位数 94○3○ 中的○内填什么数字，才能被3
和5同时整除，请把这些数写出来。
例2
五位数 94○3○ 中的○内填什么数字，才能被3
和5同时整除，请把这些数写出来。
能被3整除的数的特征：这个五位数各个数位上 的数字之和是3的倍数。
能被5整除的数的特征：这个五位数的个位数字 是0、5。