第三章-2-最佳平方逼近
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Chebyshev 多项式
在 [-1, 1] 上带权
( x)
1 1 x2
(x) 的正交多项式称为切比雪夫多项式
切比雪夫多项式的表达式
Tn ( x) cosn arccosx
x [-1, 1]，n = 0, 1, 2, …
若令 x cos ,则
Tn ( x) cosn , 0
b
a
x k ( x ) dx，存在且为有限值 (k = 0, 1, 2, … )
(2) 对 [a, b] 上的任意非负连续函数 g(x) ，
若
b
a
g ( x ) ( x ) dx 0 ， 则 g ( x ) 0
则称 (x) 是 [a, b] 上一个权函数
带权内积
设 (x) 是 [a, b] 上的权函数， f(x), g(x) C[a, b]
其中 P0(x) = 1, P1(x) = x，n = 1, 2, …
(4) Pn(x) 在 (-1,1) 内有 n 个不同的零点 (5) 在所有首一n次多项式中，首一n次Legendre多项式在 [-1,1]上与零的平方误差最小
Legendre多项式
P0 ( x ) 1
P1 ( x ) x
T3 ( x) 4 x 3 3 x
T4 ( x) 8 x4 8 x 2 1
T5 ( x) 16x5 20x 3 5 x
Chebyshev多项式图示
Chebyshev 插值
Chebyshev 插值
Q: 为什么？
2k 1 xk cos π 2( n 1)
i 1
n
( x, y) i xi yi 1 x1 y1 2 x2 y2 n xn yn
i 1
1, 2, , n 为正实数
例： C[a, b] 上的内积：
( f , g ) f ( x ) g ( x ) dx
a
b
权 函 数
权函数
(1) 设 (x) 是 [a, b] 上的非负函数，满足
称 (u, v) 为 X 上的内积，定义了内积的线性空间称为内积空间
u, v 正交
(u, v) = 0
内积空间
定理
设 X 是 内积空间，u1, u2, , un X ，定义矩阵
( u1 , u1 ) ( u2 , u1 ) (u , u ) (u , u ) 2 2 G 1 2 ( u1 , un ) ( u2 , un ) ( un , u1 ) ( un , u2 ) ( un , un )
a
b
则称 f(x) 与 g(x) 在 [a, b] 上 带权 (x) 正交
定义 若函数族 0(x), 1(x), , n(x)C[a, b] 满足
jk 0, ( j , k ) ( x ) j ( x ) k ( x )dx a Ak 0, j k 则称 {k(x)} 是 [a, b] 上 带权 (x) 的正交函数族
给定正实数 1,
n i 1
x
2
加权内积
2, , n, 定义
( x, y) i xi yi 1 x1 y1 2 x2 y2 n xn yn
正实数 1,
2, , n 称为加权系数
内 积
例：Cn 上的内积：
加权内积
n
( x, y) xi yi x1 y1 x2 y2 xn yn
在区间[-1,1]上所有最高项系数为1的n次多项式中， ~ Tn ( x) 与零的偏差最小
一个应用：求 f ( x) 2x x 2x 1 在[-1,1]
3 2
上的最佳二次逼近多项式。
Chebyshev多项式
T0 ( x) 1
T1 ( x ) x
T2 ( x ) 2 x 2 1
Legendre 多项式
Legendre 多项式
在 [-1, 1] 上带权
(x)=1 的正交多项式称为 勒让德多项式
记号：P0 , P1 , P2 , ...
1 dn 2 n P0 ( x ) 1, Pn ( x ) n ( x 1) x [-1, 1]，n = 1, 2, … 2 n! dx n
( n 1) (2n)! Pn (x) 的首项 xn 的系数为： 2n(2n 1) n n 2 2 n! 2 ( n !)
n n ! d 2 n P ( x ) ( x 1) 令 n (2n)! dx n ( x ) 是首项系数为 1 的勒让德多项式 则P
n
Legendre 多项式
数值分析及计算软件
第三章
函数逼近与计算
3.3 最 佳 平 方 逼 近 及正交多项式
最佳平方逼近问题：
若存在 Pn* ( x )H n , 使得
|| f ( x) Pn ( x) ||2 inf || f ( x) Pn ( x) ||2 ,
Pn H n
*
Pn* ( x ) 被称为 f ( x )在[a,b]上的最佳平方 逼近多项式。
n1 ( x) ( x n ) n ( x) n n1 ( x)
n = 1, 2, …
( x n , n ) ( n , n ) 其中 0(x)=1, 1(x)=x， n ， n ( , ) ( n , n ) n1 n1
(6) Tn(x) 的首项系数为 2n-1，且 |Tn(x)| 1 (7) T2n(x) 只含偶次幂，T2n+1(x) 只含奇次幂
Chebyshev 多项式
Tn ( x ) (8) 令 Tn ( x ) n1 2
( x ) 为首项系数为 1 的 Chebyshev 多项式。 即 T n
|| u v ||2 || u v ||2 2(|| u ||2 || v ||2 )
2
2
2
2
内
积
例：Rn 上的内积：
导出的范数为
( x, y) xi yi x1 y1 x2 y2 xn yn
i 1
2 1 2 2 2 1/2 n
nຫໍສະໝຸດ Baidu
x x x x
问题: (1) Pn ( x ) 是否存在？ (2) 如何计算？
*
内积空间
定义 设 X 是数域 K (R 或 C) 上的线性空间，对 u, v X
有 K 中的一个数 (u, v) 与之对应，且满足
(1) (v, u) ( u, v) (2) ( u, v ) ( u, v ), K (3) ( u v, w) ( u, w) ( v, w), w X (4) ( u, u) 0 ，等号当且仅当 u = 0 时成立
Chebyshev 多项式
切比雪夫多项式的性质：
(4) Tn(x) 在 (-1,1) 内有 n 个不同的零点:
2k 1 xk cos π 2n
kπ xk cos n
(k = 1, 2, … , n)
(5) Tn(x) 在 [-1, 1] 上有 n+1 个极值点: (k = 0, 1, … , n)
--Gram 矩阵
则 G 非奇异当且仅当 u1, u2, , un 线性无关。
内积空间
内积导出范数:
|| x ||2 ( x, x)
1/ 2
定理（Cauchy-Schwarz） 设 X 是一个内积空间，
对 u, v X 有
(u, v) || u ||2 . || v ||2
定理（平行四边形定律）
b
若所有 Ak=1 ，则称为 标准正交函数族
举 例
例：三角函数系 1， cos x，sin x，sin 2x，cos 2x，… 在 [-, ] 上是带权 (x)=1 的正交函数族。
更多例子：Legendre多项式，Chebyshev多项式 Laguerre多项式，Hermite多项式
正交多项式
勒让德多项式有以下性质：
0, mn 1 (1) 正交性： (Pn , Pm ) Pn ( x )Pm ( x ) dx 2 1 , mn 2n 1
(2) 奇偶性： Pn ( x ) (1)n Pn ( x ) (3) 递推公式：( n 1)Pn1 ( x) (2n 1) x Pn ( x) nPn1 ( x)
( , ) ( , ) ( , ) n n n n n 0
正交函数族
定义 （1） 设 f(x), g(x) C[a, b]， (x) 是 [a, b]
上的权函数，若
( f , g ) ( x ) f ( x ) g ( x )dx 0
性质 5 设 k k 0是 [a, b] 上带权 (x) 的正交多项式
族，则n(x) (n>0) 有n个单重实根，且都位于 区间[a, b] 内。
几类重要的正交多项式 Legendre 多项式 Chebyshev 多项式
第二类 Chebyshev 多项式
Laguerre 多项式 Hermite 多项式
以 Chebyshev 多项式的零点作为插值节点进行插值
定义
jk 0, ( j , k ) ( x ) j ( x ) k ( x )dx a Ak 0, j k k k 0 为在[a, b] 上带权 (x) 正交， 则称
b
设 n(x) 是首项系数不为 0 的 n 次多项式，若
n(x) 为 n 次正交多项式。
性质1 性质2
n ( x)
为首一 n 次多项式。 [a, b] 上带权 (x) 的正交多
是 k k 0
项式族，且
H n span 0 ,1,...,n
性质 3 正交。
n ( x) 与所有次数不高于n-1次的多项式
正交多项式性质
性质 4
此 k k 0 满足如下三项递推公式：
P2 ( x) ( 3 x 2 1) / 2
P3 ( x) (5 x3 3 x) / 2
P4 ( x) ( 35x4 30x 2 3) / 8
P5 ( x) (63x5 70x 3 15x) / 8
Legendre 多项式图示
Chebyshev 多项式
带权内积 导出范数
( f , g ) ( x ) f ( x ) g ( x ) dx
a
b
f
2
b a
( x ) f 2 ( x ) dx
1/2
性质
设 0, 1, , nC[a, b]，则 0, 1, , n 线 性无关当且仅当 det(G) 0，其中 ( 0 , 0 ) ( 0 , 1 ) ( 0 , n ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 1 1 n G G ( 0 , 1 , , n ) 1 0
正交化手续：由线性无关的一组基
n 1
1, x, x ,...,x ,...
2 n
利用如下正交化手续可以构造正交多项式：
n ( x , k ) n 0 ( x) 1, n ( x) x .k ( x), k 1,2,... k 0 (k , k )
正交多项式性质
Chebyshev 多项式
切比雪夫多项式的性质：
(1) 递推公式： Tn1 ( x ) 2 xTn ( x ) Tn1 ( x )
cos(n+1) + cos(n-1) = 2cos cosn x = cos
mn 0, 1 T ( x )T ( x ) n m (Tn , Tm ) dx π / 2, m n 0 (2) 正交性： 2 1 1 x π, mn0 n T ( x ) ( 1) Tn ( x) (3) 奇偶性： n
在 [-1, 1] 上带权
( x)
1 1 x2
(x) 的正交多项式称为切比雪夫多项式
切比雪夫多项式的表达式
Tn ( x) cosn arccosx
x [-1, 1]，n = 0, 1, 2, …
若令 x cos ,则
Tn ( x) cosn , 0
b
a
x k ( x ) dx，存在且为有限值 (k = 0, 1, 2, … )
(2) 对 [a, b] 上的任意非负连续函数 g(x) ，
若
b
a
g ( x ) ( x ) dx 0 ， 则 g ( x ) 0
则称 (x) 是 [a, b] 上一个权函数
带权内积
设 (x) 是 [a, b] 上的权函数， f(x), g(x) C[a, b]
其中 P0(x) = 1, P1(x) = x，n = 1, 2, …
(4) Pn(x) 在 (-1,1) 内有 n 个不同的零点 (5) 在所有首一n次多项式中，首一n次Legendre多项式在 [-1,1]上与零的平方误差最小
Legendre多项式
P0 ( x ) 1
P1 ( x ) x
T3 ( x) 4 x 3 3 x
T4 ( x) 8 x4 8 x 2 1
T5 ( x) 16x5 20x 3 5 x
Chebyshev多项式图示
Chebyshev 插值
Chebyshev 插值
Q: 为什么？
2k 1 xk cos π 2( n 1)
i 1
n
( x, y) i xi yi 1 x1 y1 2 x2 y2 n xn yn
i 1
1, 2, , n 为正实数
例： C[a, b] 上的内积：
( f , g ) f ( x ) g ( x ) dx
a
b
权 函 数
权函数
(1) 设 (x) 是 [a, b] 上的非负函数，满足
称 (u, v) 为 X 上的内积，定义了内积的线性空间称为内积空间
u, v 正交
(u, v) = 0
内积空间
定理
设 X 是 内积空间，u1, u2, , un X ，定义矩阵
( u1 , u1 ) ( u2 , u1 ) (u , u ) (u , u ) 2 2 G 1 2 ( u1 , un ) ( u2 , un ) ( un , u1 ) ( un , u2 ) ( un , un )
a
b
则称 f(x) 与 g(x) 在 [a, b] 上 带权 (x) 正交
定义 若函数族 0(x), 1(x), , n(x)C[a, b] 满足
jk 0, ( j , k ) ( x ) j ( x ) k ( x )dx a Ak 0, j k 则称 {k(x)} 是 [a, b] 上 带权 (x) 的正交函数族
给定正实数 1,
n i 1
x
2
加权内积
2, , n, 定义
( x, y) i xi yi 1 x1 y1 2 x2 y2 n xn yn
正实数 1,
2, , n 称为加权系数
内 积
例：Cn 上的内积：
加权内积
n
( x, y) xi yi x1 y1 x2 y2 xn yn
在区间[-1,1]上所有最高项系数为1的n次多项式中， ~ Tn ( x) 与零的偏差最小
一个应用：求 f ( x) 2x x 2x 1 在[-1,1]
3 2
上的最佳二次逼近多项式。
Chebyshev多项式
T0 ( x) 1
T1 ( x ) x
T2 ( x ) 2 x 2 1
Legendre 多项式
Legendre 多项式
在 [-1, 1] 上带权
(x)=1 的正交多项式称为 勒让德多项式
记号：P0 , P1 , P2 , ...
1 dn 2 n P0 ( x ) 1, Pn ( x ) n ( x 1) x [-1, 1]，n = 1, 2, … 2 n! dx n
( n 1) (2n)! Pn (x) 的首项 xn 的系数为： 2n(2n 1) n n 2 2 n! 2 ( n !)
n n ! d 2 n P ( x ) ( x 1) 令 n (2n)! dx n ( x ) 是首项系数为 1 的勒让德多项式 则P
n
Legendre 多项式
数值分析及计算软件
第三章
函数逼近与计算
3.3 最 佳 平 方 逼 近 及正交多项式
最佳平方逼近问题：
若存在 Pn* ( x )H n , 使得
|| f ( x) Pn ( x) ||2 inf || f ( x) Pn ( x) ||2 ,
Pn H n
*
Pn* ( x ) 被称为 f ( x )在[a,b]上的最佳平方 逼近多项式。
n1 ( x) ( x n ) n ( x) n n1 ( x)
n = 1, 2, …
( x n , n ) ( n , n ) 其中 0(x)=1, 1(x)=x， n ， n ( , ) ( n , n ) n1 n1
(6) Tn(x) 的首项系数为 2n-1，且 |Tn(x)| 1 (7) T2n(x) 只含偶次幂，T2n+1(x) 只含奇次幂
Chebyshev 多项式
Tn ( x ) (8) 令 Tn ( x ) n1 2
( x ) 为首项系数为 1 的 Chebyshev 多项式。 即 T n
|| u v ||2 || u v ||2 2(|| u ||2 || v ||2 )
2
2
2
2
内
积
例：Rn 上的内积：
导出的范数为
( x, y) xi yi x1 y1 x2 y2 xn yn
i 1
2 1 2 2 2 1/2 n
nຫໍສະໝຸດ Baidu
x x x x
问题: (1) Pn ( x ) 是否存在？ (2) 如何计算？
*
内积空间
定义 设 X 是数域 K (R 或 C) 上的线性空间，对 u, v X
有 K 中的一个数 (u, v) 与之对应，且满足
(1) (v, u) ( u, v) (2) ( u, v ) ( u, v ), K (3) ( u v, w) ( u, w) ( v, w), w X (4) ( u, u) 0 ，等号当且仅当 u = 0 时成立
Chebyshev 多项式
切比雪夫多项式的性质：
(4) Tn(x) 在 (-1,1) 内有 n 个不同的零点:
2k 1 xk cos π 2n
kπ xk cos n
(k = 1, 2, … , n)
(5) Tn(x) 在 [-1, 1] 上有 n+1 个极值点: (k = 0, 1, … , n)
--Gram 矩阵
则 G 非奇异当且仅当 u1, u2, , un 线性无关。
内积空间
内积导出范数:
|| x ||2 ( x, x)
1/ 2
定理（Cauchy-Schwarz） 设 X 是一个内积空间，
对 u, v X 有
(u, v) || u ||2 . || v ||2
定理（平行四边形定律）
b
若所有 Ak=1 ，则称为 标准正交函数族
举 例
例：三角函数系 1， cos x，sin x，sin 2x，cos 2x，… 在 [-, ] 上是带权 (x)=1 的正交函数族。
更多例子：Legendre多项式，Chebyshev多项式 Laguerre多项式，Hermite多项式
正交多项式
勒让德多项式有以下性质：
0, mn 1 (1) 正交性： (Pn , Pm ) Pn ( x )Pm ( x ) dx 2 1 , mn 2n 1
(2) 奇偶性： Pn ( x ) (1)n Pn ( x ) (3) 递推公式：( n 1)Pn1 ( x) (2n 1) x Pn ( x) nPn1 ( x)
( , ) ( , ) ( , ) n n n n n 0
正交函数族
定义 （1） 设 f(x), g(x) C[a, b]， (x) 是 [a, b]
上的权函数，若
( f , g ) ( x ) f ( x ) g ( x )dx 0
性质 5 设 k k 0是 [a, b] 上带权 (x) 的正交多项式
族，则n(x) (n>0) 有n个单重实根，且都位于 区间[a, b] 内。
几类重要的正交多项式 Legendre 多项式 Chebyshev 多项式
第二类 Chebyshev 多项式
Laguerre 多项式 Hermite 多项式
以 Chebyshev 多项式的零点作为插值节点进行插值
定义
jk 0, ( j , k ) ( x ) j ( x ) k ( x )dx a Ak 0, j k k k 0 为在[a, b] 上带权 (x) 正交， 则称
b
设 n(x) 是首项系数不为 0 的 n 次多项式，若
n(x) 为 n 次正交多项式。
性质1 性质2
n ( x)
为首一 n 次多项式。 [a, b] 上带权 (x) 的正交多
是 k k 0
项式族，且
H n span 0 ,1,...,n
性质 3 正交。
n ( x) 与所有次数不高于n-1次的多项式
正交多项式性质
性质 4
此 k k 0 满足如下三项递推公式：
P2 ( x) ( 3 x 2 1) / 2
P3 ( x) (5 x3 3 x) / 2
P4 ( x) ( 35x4 30x 2 3) / 8
P5 ( x) (63x5 70x 3 15x) / 8
Legendre 多项式图示
Chebyshev 多项式
带权内积 导出范数
( f , g ) ( x ) f ( x ) g ( x ) dx
a
b
f
2
b a
( x ) f 2 ( x ) dx
1/2
性质
设 0, 1, , nC[a, b]，则 0, 1, , n 线 性无关当且仅当 det(G) 0，其中 ( 0 , 0 ) ( 0 , 1 ) ( 0 , n ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 1 1 n G G ( 0 , 1 , , n ) 1 0
正交化手续：由线性无关的一组基
n 1
1, x, x ,...,x ,...
2 n
利用如下正交化手续可以构造正交多项式：
n ( x , k ) n 0 ( x) 1, n ( x) x .k ( x), k 1,2,... k 0 (k , k )
正交多项式性质
Chebyshev 多项式
切比雪夫多项式的性质：
(1) 递推公式： Tn1 ( x ) 2 xTn ( x ) Tn1 ( x )
cos(n+1) + cos(n-1) = 2cos cosn x = cos
mn 0, 1 T ( x )T ( x ) n m (Tn , Tm ) dx π / 2, m n 0 (2) 正交性： 2 1 1 x π, mn0 n T ( x ) ( 1) Tn ( x) (3) 奇偶性： n