2021年二阶导数的应用---曲线的凹凸性与拐点

二阶导数的应用曲线的凹凸性与

拐点

欧阳光明（2021.03.07）

教学目标与要求

通过学习，使学生掌握利用二阶导数的符号判定函数在某一区

间上凹凸性的方法，为更好地描绘函数图形打好基础，同时，理解

拐点的定义和意义。

教学重点与难点

教学重点：利用函数的二阶导数判断曲线的凹凸性与拐点。

教学难点：理解拐点的定义和意义。

教学方法与建议证明曲线凹凸性判定定理时，除了利用“拉格朗日中值定理”证明外，还可用“泰勒定理”来证明；如果利用“拉格朗日中值定理”证明，则要配合函数图形来分析讲解如何想到需要两次使用“拉格朗日中值定理”的思路，切忌脱离图形，机械证明，让学生领悟不到思想，摸不着头脑。

在讲函数的凹凸性和曲线拐点的定义时，要强调凹凸性并不是曲线的固有性质，而是函数的性质，与所选的坐标系有关；而拐点是曲线的固有性质，与所选的坐标系无关。

教学过程设计

1. 问题提出与定义

函数的单调性对于描绘函数

图形有很大作用，但仅仅由单

调性还不能准确描绘出函数的

图形。比如，如果在区间

上，，则我们知道

在区间上单调增，但作图

（参见图1）的时候，我们不

能判断它增加的方式（是弧，还是弧），即不能判断曲线的凹凸性，所以研究曲线的凹凸性对于把握函数的性态、作图等是很有必要的！

在图1中，对于上凸的曲线弧，取其上任意两点，不妨取

作割线，我们总会发现不论两点的位置，割线段总位于弧段的下方，这种位置关系可以用不等式

来描述。同理，对于上凹的曲线弧

，总可用不等式来描述。由此，我们想到对曲线的凹凸性做如下定义：凹凸性定义设在区间I上连续，如果对I上任意两点，，恒有

则称在I上的图形是（向上）凹的，简称为凹弧；如果恒有

则称在I上的图形是（向上）凸的，或简称为凸弧。

如果沿曲线从左向右走，则图形是（向上）凸的曲线的几何意义相当于右转弯，图形是（向上）凹的曲线相当于左转弯，而有切线的凹凸弧的分界点正是曲线转向的点，我们把这样的点称为拐点。

2. 凹凸性判定定理的引入

曲线凹凸性的定义自然能判别曲线的凹凸性，但实际使用起来需要取两个点，且两个不等式对于一些表达式较复杂的函数来说判断起来也不容易。因此，我们就想能否用其它方法来判定曲线的凹凸性。函数的单调性能由的符号确定，而对于凹凸性它束手无策，所以我们猜想凹凸性是否和有关？

经过分析，并利用泰勒公式，可证实我们的猜想是正确的，函数图形的凹凸性的确和的符号有关,于是得到了判断曲线凹凸性的定理。

定理 4.3设在上连续, 在内具有二阶连续导数,那么：

（1）若在内>0，则在上的图形是凹的；

（2）若在内<0，则在上的图形是凸的。

3. 判别凹凸性和拐点举例

例1. 判断曲线y x3的凹凸性.

解y3x 2,y6x.由y0, 得x0

因为当x<0时,y<0, 所以曲线在(,0]内为凸的;

因为当x>0时,y>0, 所以曲线在[0,)内为凹的.

例2. 求曲线y2x 33x 22x14的拐点.

解y6x 26x12,.令y0, 得

因为当时,y0;当时,y0,所以点(,

??是曲线的拐点

例??求函数的凹凸区间和拐点．

解：函数的定义域为，

，

且，

令，得．

列表：

（）0

+0－0+

有拐点有拐点

由表可知，当时，曲线有拐点

和，表中表示曲线是凹的，⌒表示曲线

是凸的．函数的图像如图（3）所示.

4. 确定曲线y f(x)的凹凸区间和拐点的步骤:

(1)确定函数y f(x)的定义域;(2)求出在二阶导数

f`(x);

(3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点;

(4)判断或列表判断, 确定出曲线凹凸区间和拐点;

注: 根据具体情况（1）（3）步有时省略.

5 学生黑板练习

练习 1.判定下列曲线的凹凸性及拐点.

（1），（2），（3）。

6.小结

1 在讲授函数单调性时要注意借助几何图形进行直观说明，使导数符号与曲线形态特征相结合，加深对判别法的理解。

2 对于函数凹凸性、拐点，要注意借助几何图形进行直观说明，使导数符号与曲线形态特征相结合，加深对判别法的理解。

作业 P75:1,2,3