2021年二阶导数的应用---曲线的凹凸性与拐点
2021年考研数学二真题及答案
2021年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每题4分，共32分。
以下每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
） (1)以下反常积分中收敛的是 (A)∫√x+∞2xx (B)∫xxx+∞2xx(C)∫1xxxx+∞2xx (D) ∫xx x+∞2xx 【答案】D 。
【解析】题干中给出4个反常积分，别离判定敛散性即可取得正确答案。
∫√x+2=2√x |2+∞=+∞；∫xxxx+∞2xx =∫xxx +∞2x (xxx )=12(xxx )2|2+∞=+∞；∫1xxxx+∞2xx =∫1xxx+∞2x (xxx )=ln (xxx )|2+∞=+∞； ∫xxx +∞2xx=−∫x +∞2xx −x=−xx−x|2+∞+∫x −x +∞2xx=2x−2−x−x |2+∞=3x −2，因此(D)是收敛的。
综上所述，此题正确答案是D 。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数x (x )=lim x →0(1+xxx x x )x 2x在(-∞,+∞)内(A)连续 (B)有可去中断点 (C)有跳跃中断点 (D)有无穷中断点 【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有x(x)=limx→0(1+xxx xx)x2x=x lim x→0x 2x(1+xxx xx−1)=e x limx→0xxxxx=x x(x≠0),x(x)在x=0处无概念，且limx→0x(x)=limx→0x x=1,因此x=0是x(x)的可去中断点，选B。
综上所述，此题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、持续—两个重要极限(3)设函数x(x)={x αcos1xβ,x>0，0,x≤0(α>0,x>0).假设x′(x)在x=0处连续，则(A)α−β>1(B)0<α−β≤1(C)α−β>2(D)0<x−β≤2【答案】A【解析】易求出x′(x)={xx α−1cos1xβ+βxα−β−1sin1xβ,x>0，0,x≤0再有x+′(0)=limx→0+x(x)−x(0)x=limx→0+xα−1cos1xβ={0, α>1,不存在，α≤1，x−′(0)=0于是，x′(0)存在⟺α>1，现在x′(0)=0.当α>1时，limx→0xα−1cos1xβ=0，lim x→0βxα−β−1sin1xβ={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，x′(x)在x=0持续⟺α−β>1。
3-3曲线的凹凸性与拐点
教学目标及要求
1、了解凹凸、拐点等概念； 了解凹凸、拐点等概念； 掌握用二阶导数判别曲线凹凸的方法， 2、掌握用二阶导数判别曲线凹凸的方法，会 求曲线的拐点* 求曲线的拐点* .
若函数f(x) 在(a,b)内，曲线总在它每一点切线 内 定义 若函数 ∪ 的上方，则称曲线在( 记为“ )内为凹 的上方，则称曲线在(a,b)内为凹的（记为“ ”） ； 若曲线f(x)总在它每一点切线的下方，则称此曲线在 总在它每一点切线的下方， 若曲线 总在它每一点切线的下方 记为“ （a,b）内为凸的（记为“ ”）； ）内为凸 ∩ 凹与凸的分界点称为曲线的拐点 凹与凸的分界点称为曲线的拐点. 拐点 y y
′ 不存在的点 ； ′ (2) 求出二阶导数 f ′(x) 为零及 f ′(x)
（3）判定上述点两侧， ′(x)是否异号 如果 f ′(x)在 x 的 ）判定上述点两侧， ′ 是否异号.如果 ′ f 两侧异号，则 (x, f (x)) 为曲线 为曲线y=f(x)的拐点 如果 f ′(x) 在 的拐点.如果 ′ 两侧异号， 的拐点 的两侧同号， 不为曲线 的拐点. 的拐点 x的两侧同号，则 (x, f (x)) 不为曲线y=f(x)的拐点 拐点是平面中的点，有两个坐标； 注 意 ⑴拐点是平面中的点，有两个坐标； ⑵并非所有满足二阶导数等于零和不存在的点都是拐 还要验证相应点左右两边二阶导数的符号. 点，还要验证相应点左右两边二阶导数的符号
∪
∩ −
′ ′ =(x3)′ =3x2, y′ =(3x2)′ =6x. y
因此当x<0时， ′ <0 ，可知曲线 y= x3为凸的 时 y′ 为凸的. 因此当
y′ >0 ，可知曲线 y= x3 为凹的. 当x>0时， ′ 时 为凹的
微积分第二版课件第四节曲线的凹凸性与拐点
o
x
1
从而知点(0,0)为曲线弧 y x3的拐点.
由此可以看到曲线的拐点可能在二阶导数为零 的点以及不可导处取得.
例 求曲线 y x3 与 y 3 x 的拐点.
解 所给曲线在 (,) 内为连续曲线弧.由于
y (x3) 3x2 , y (3x2 ) 6x.
y
当x<0时，y 0 , y x3为凸的. 当x>0时，y 0 , y x3为凹的.
在I内是凸的.
几何特征是凹曲线位于弦线下侧，凸曲线位于弦 线的上侧.
问题观察：观察曲线的凹凸方向与曲线的切线间 的位置关系.
y y=f (x)
y y=f (x)
o
x
o
x
凹曲线在切线的上侧，随 凸曲线在切线的下侧，随
着x的增大，切线斜率随之 着x的增大，切线斜率随之
增大，即 f (x) 0
增大，即 f (x) 0
0 拐点
(1/ 5,0) 0
+
不存在
凹
非拐点
(0,)
+ 凹
曲线在(,1/ 5) 为凸的. 在(1/ 5,) 内为凹的.
拐点为点(1/
5,
f
(1/
5))
(1/
5,1.2
1
25 3
).
当 a 0时, 曲线为凹的. 当a 0 时,曲线为凸的.
例 判定曲线弧 y x arctan x 的凹凸性.
解 所给曲线在 (,)内为连续曲线弧.由于
y
arctan
x
1
x x
2
,
y
1
1 x
2
(1 x2 ) x 2x (1 x2 )2
2 (1 x2 )2
函数的凹凸性ppt课件
② f (x1 x2 ) f (x1 ) f (x2 ) ；
③ f (x1 ) f (x2 ) 0; x1 x2
④ f ( x1 x2 ) f (x1 ) f (x2 ) .
2
2
当 f (x) lg x 时，上述结论中正确结论的序号
是
.
9
10
【详解】
对于①②可以用 f (x) lg x
f
(x ) 故函数 2
f
(x) 是
凹函数。
14
（2）由 f (x) 1 1 f (x) 1 1 ax2 x 1 ①
ax2 x 1
当
x
0时， a R ，当
x (0,1]时①即 ax2x恒成立1
a 即
a
1
x2 1
1
x 1
(1 1)2 x2
(1 1)2 1
1 4
恒成立，当
2
2
作
DC
x
轴交
f
(x)
于
D（
x1
2
x2
,
yD )
D
在
f (x)
上
有
：
yD
f
( x1
2
x2
)
yC
f (x1) f (x2 ) 故④不正确 2
11
点评:本题主要考查了 f (x) lg x 函数运算性质以及直
线斜率应用,题目较综合.判断④不正确也可直接利 用函数图象的上凸性作结论.
12
定 义 在 R 上 的 函 数 f (x) 满 足 ： 如 果 对 任 意 x , x R 都 有 12
f
(
x 1
x 2
)
1
f (x ) f (x ) 则称函数 f (x) 是 R 上的凹函数，已知二次函
求曲线凹凸区间和拐点的步骤
求曲线凹凸区间和拐点的步骤嘿，朋友们！今天咱来聊聊求曲线凹凸区间和拐点那些事儿。
你看啊，这曲线就像人生的道路，有起有伏。
那凹凸区间呢，就像是路上的坑坑洼洼或者小山坡。
而拐点呢，就好比是人生的转折点呀！
要找到这些凹凸区间和拐点，咱得一步步来。
先得求出函数的二阶导数，这二阶导数就像是个探测仪。
它能告诉我们曲线是向上凸还是向下凸。
比如说，二阶导数大于零，那曲线就是向下凸的，就好像一个碗口朝下的碗；要是二阶导数小于零呢，曲线就是向上凸的，像个反过来的碗。
这多形象啊！
然后呢，咱就根据二阶导数的正负情况来划分凹凸区间。
这就像是给曲线分块，每一块都有它独特的“性格”。
在这个过程中，可得细心点儿，别像马大哈似的。
万一弄错了，那可就闹笑话啦！就好比你走在路上，把上坡当成下坡，那不就栽跟头啦！
找到这些区间后，再看看二阶导数等于零或者不存在的点，这些点就有可能是拐点。
但可别以为这些点一定就是拐点哦，还得像侦探一样仔细考察考察它们两边的凹凸性是不是不一样。
你说这是不是挺有趣的？就跟玩游戏似的，一步步探索，一点点发现。
咱再举个例子吧，就像解方程似的。
把一个具体的函数拿过来，按照步骤一步步操作，看着曲线的凹凸变化，感受着数学的奇妙。
总之啊，求曲线凹凸区间和拐点虽然有点小麻烦，但只要咱有耐心，一步一步来，肯定能搞得清清楚楚。
这不仅能让我们更深入地理解函数，还能让我们感受到数学的魅力呢！所以啊，大家别怕麻烦，大胆去尝试，去探索，相信你们一定能掌握这个有趣的知识！。
高数课件-曲线的凹凸性与拐点
4.5.1 曲线的凹凸性 4.5.2 拐点
17-<#>
2021-10-3
前面讨论了函数的单调性和极值．从几何上讲，单调性 反映的是曲线的升降，极值反映的曲线的“峰值”或“谷底”．
单从单调性和极值来研究曲线是不够的．
比如当函数 f x 在某区间单调增加时，其方式是多样的
(见图4-4-6)．具体表现在曲线弯曲的方向不同，有凸有凹．曲 线的这种性态称为凹凸性．
设 f ( x)在(a, b)内二阶可导，且 f ( x0 ) 0 ， 其中 x0 (a, b)，则( x0 , f ( x0 ))是否一定为 曲线 f ( x)的拐点？举例说明.
f
(x0 )
f (1)(x1
x0 )
f (xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ )
1 2
(
x2
x1) f (1) ，
f
(x2 )
f
(x0 )
f
(2 )(x2
x0 )
f
(x0 )
1 2 (x2
x1)
f
(2 ) ．
17-1
续证
2021-10-3
两式相加，从而有
f
(x1)
f
( x2 )
2f
(x0)
x2
2
x1 [
故 0，f 0是曲线 y f x的拐点.选（C）.
17-1
例
f x x x n 假定 ( )在 = 0處具有直到 階的連續導數，且
f ( x0 ) f ( x0 ) f (n1)( x0 ) 0,但 f (n)( x0 ) 0
n 這裏 為奇數>3，
则( x0 , f ( x0 ))是拐点
高等数学导数应用二凹凸拐点图形PPT课件
从而, 点 (x0, f (x0 )) 为曲线 y f (x) 的拐点 .
你能由以上的几个定理归纳出 求曲线拐点的步骤吗？
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求拐点一般步骤
求曲线 y f (x) 拐点的一般步骤 : (1) 求 f (x) 的定义域 (或确定讨论区间 ) ; (2) 计算 f (x) , f (x) , (如需要可求出 f (x)) ; (3) 求拐点可疑点 : 使 f (x) 0 的点和 f (x) 不存在的点 ; (4) 根据定理判别可疑点是 否确为拐点 .
且仅在孤立点处出现 f (x) 0 .
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于是 f (x) (x0 , x0x ) , f (x) (x0 x, x0 ) , 故 f (x) 在 x x0 处取极小值, 从而必有 f (x0 ) ( f (x)) xx0 0 .
使 f (x) 0 及 f (x) 不存在的点 ,
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定理 ( 判别拐点的充分条件 )
设 f (x) C( I ) , f (x) 在 U(x0 ) (x0 I )内三阶可导. 若 f (x0 ) 0 , 且 f (x0 ) 0 , 则
点 (x0 , f (x0 )) 为曲线 y f (x) 的拐点 .
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证 由于 f (x0 ) 0 , 故不妨设 f (x0 ) 0 .
成立 , 则称曲线
y f (x) 在区间 I 上是凹的 ;
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例1
分析立方抛物线 y x3 的凹凸性.
分析
f ( x1 x2 ) x13 3x12 x2 3x1x22 x23
2
8
1( 2
f
(x1)
f
(x2 ))
二阶导数的应用---曲线的凹凸性与拐点
二阶导数的应用曲线的凹凸性与拐点之袁州冬雪创作讲授方针与要求通过学习，使学生掌握操纵二阶导数的符号断定函数在某一区间上凹凸性的方法，为更好地描画函数图形打好基础，同时，懂得拐点的定义和意义.讲授重点与难点讲授重点：操纵函数的二阶导数断定曲线的凹凸性与拐点.讲授难点：懂得拐点的定义和意义.讲授方法与建议证明曲线凹凸性断定定理时，除了操纵“拉格朗日中值定理”证明外，还可用“泰勒定理”来证明；如果操纵“拉格朗日中值定理”证明，则要配合函数图形来分析讲解如何想到需要两次使用“拉格朗日中值定理”的思路，切忌脱离图形，机械证明，让学生贯通不到思想，摸不着头脑.在讲函数的凹凸性和曲线拐点的定义时，要强调凹凸性其实不是曲线的固有性质，而是函数的性质，与所选的坐标系有关；而拐点是曲线的固有性质，与所选的坐标系无关.讲授过程设计1. 问题提出与定义函数的单调性对于描画函数图形有很大作用，但仅仅由单调性还不克不及准确描画出函数的图形.比方，如果在区间上，，则我们知道在区间上单调增，但作图（拜见图1）的时候，我们不克不及断定它增加的方式（是弧，还是弧），即不克不及断定曲线的凹凸性，所以研究曲线的凹凸性对于掌控函数的性态、作图等是很有需要的！在图1中，对于上凸的曲线弧，取其上任意两点，无妨取作割线，我们总会发现不管两点的位置，割线段总位于弧段的下方，这种位置关系可以用不等式.来描绘同理，对于上凹的曲线弧，总可用不等式来描绘.由此，我们想到对曲线的凹凸性做如下定义：凹凸性定义设在区间I上持续，如果对I上任意两点，，恒有则称在I上的图形是（向上）凹的，简称为凹弧；如果恒有则称在I上的图形是（向上）凸的，或简称为凸弧.如果沿曲线从左向右走，则图形是（向上）凸的曲线的几何意义相当于右转弯，图形是（向上）凹的曲线相当于左转弯，而有切线的凹凸弧的分界点正是曲线转向的点，我们把这样的点称为拐点.2. 凹凸性断定定理的引入曲线凹凸性的定义自然能辨别曲线的凹凸性，但实际使用起来需要取两个点，且两个不等式对于一些表达式较复杂的函数来讲断定起来也不容易.因此，我们就想可否用其它方法来断定曲线的凹凸性.函数的单调性能由的符号确定，而对于凹凸性它束手无策，所以我们猜测凹凸性是否和有关？颠末分析，并操纵泰勒公式，可证实我们的猜测是正确的，函数图形的凹凸性的确和的符号有关,于是得到了断定曲线凹凸性的定理.在上持续, 在内具有二阶持续导数,那末：（1）若在内>0，则在上的图形是凹的；（2）若在内<0，则在上的图形是凸的.3. 辨别凹凸性和拐点举例例1. 断定曲线y x3的凹凸性.解y3x 2,y6x.由y0, 得x0因为当x<0时,y<0, 所以曲线在(,0]内为凸的;因为当x>0时,y>0, 所以曲线在[0,)内为凹的.例2. 求曲线y2x 33x 22x14的拐点.解y6x 26x12,.令y0, 得因为当时,y0;当时,y0,所以点(,??是曲线的拐点例??求函数的凹凸区间和拐点．解：函数的定义域为，，且，令，得．列表：（）0+0－0+有拐点有拐点由表可知，当时，曲线有拐点和，表中暗示曲线是凹的，⌒暗示曲线是凸的．函数的图像如图（3）所示.4. 确定曲线y f(x)的凹凸区间和拐点的步调:(1)确定函数y f(x)的定义域;(2)求出在二阶导数f`(x);(3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点;(4)断定或列表断定, 确定出曲线凹凸区间和拐点;注: 根据详细情况（1）（3）步有时省略.5 学生黑板操练操练 1.断定下列曲线的凹凸性及拐点.（1），（2），（3）.6.小结1 在讲授函数单调性时要注意借助几何图形停止直观说明，使导数符号与曲线形态特征相连系，加深对辨别法的懂得.2 对于函数凹凸性、拐点，要注意借助几何图形停止直观说明，使导数符号与曲线形态特征相连系，加深对辨别法的懂得.作业 P75:1,2,3。
导数的应用于曲线的凹凸性
导数的应用于曲线的凹凸性导数是微积分中的一个重要概念，用于描述一个函数的变化率。
在数学中，凹凸性是一个函数的重要特征，它描述了函数的曲线在不同区间的凹凸情况。
导数可以帮助我们判断一个函数在某个区间的凹凸性质，从而深入理解函数的性质和行为。
在微积分中，我们首先要了解什么是凹凸性。
一个函数的凹凸性可以通过它的二阶导数来判断。
一个函数的二阶导数正数表示函数是凹的，负数则表示函数是凸的。
凹函数的曲线呈现下凹状，而凸函数的曲线则呈现上凸状。
那么，如何通过导数判断一个函数的凹凸性呢？我们先来看看一阶导数的应用。
一阶导数表示了函数在某一点的变化率，可以通过它来判断函数在该点的增减性。
如果一个函数在某点的一阶导数为正，说明函数在该点是递增的；如果一阶导数为负，则函数在该点是递减的。
如果一个函数的一阶导数在某个区间内递增，那么该函数在该区间内是凹的；如果一阶导数在某个区间内递减，那么该函数在该区间内是凸的。
举个例子，我们来考虑函数f(x)=x^2。
首先，求一阶导数f'(x)。
根据求导法则，我们可以得到f'(x)=2x。
根据一阶导数的正负性，我们可以得知函数f(x)=x^2在整个实数轴上是递增的，即一阶导数f'(x)大于零。
然后，我们来考察函数f(x)=x^2的二阶导数f''(x)。
根据求导法则，我们可以得到f''(x)=2。
因为f''(x)为正数，说明函数f(x)=x^2是凹的。
在整个实数轴上，函数f(x)=x^2的曲线呈现出下凹的形状。
通过这个例子，我们可以看出一阶导数和二阶导数在判断函数的凹凸性时的应用。
一阶导数帮助我们判断函数在某个区间内的增减性，从而判断该区间内函数的凹凸性；而二阶导数则直接判断函数的凹凸性。
接下来，让我们来看一些其他函数的凹凸性质。
1. 函数f(x)=x^3在整个实数轴上是凹的。
我们可以通过一阶导数和二阶导数的方法来判断。
曲线的凹凸性与拐点
y
a<0
o
b 3a
x
二、曲线的拐点及其求法
定义2 连续曲线的凹段与凸段的分界点叫做曲线 的拐点.
注意: 由于拐点是曲线凹凸的分界点, 所以拐点左右两侧
近旁f ( x )必然异号.因此, 曲线拐点( x0 , f ( x0 ))的横坐标x0 , 只可能是使f ( x ) 0的点或f ( x )不存在的点.
当a>0时, y 0 ,抛物线开口向上,曲线是凹的. 当a<0时, y 0 ,抛物线开口向下,曲线是凸的. y
a>0
o x
y o
a<0 x
例2 讨论三次函数 y ax3 bx2 cx d 在定义域内的凹凸性. 解：函数的定义域为 (,)
2
b y 3ax 2bx c y 6ax 2b 6a x 3a b 令 y 0 ，得 x 3a 当a>0时,如下表
一阶和二阶导数 , 若在 (a , b) 内 (1) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在[a , b] 上的图形是凹的 ; ( 2) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在[a , b] 上的图形是凸的 .
说明：（1）曲线凹凸的判定图形解释
y
y f (x )
A
B
y
y f ( x)
B
A
o
a
b
x
o
a
f ( x ) 递增
y 0
f ( x ) 递减
b x y 0
（2）为熟练掌握凹凸性的判定，介绍淋雨法则： +
y Βιβλιοθήκη 0, >y 0,
例1 利用二阶导数验证二次函数 y ax bx c
高等数学-曲线的凹凸性及拐点
曲线的凹凸性和拐点的判别
例3 求曲线 =
解
3
的凹凸区间和拐点.
定义域为(−∞, +∞).
′
=
1
3
3 2
,
″
=−
2
39Leabharlann 2. = 0时， ′ ，′′都不存在.
+
凹
0
凸
由表可知，曲线的凹区间为(−∞, 0) ，凸区间为(0， + ∞)，
曲线的拐点为 (0,0).
9
″ () = 12 2 − 30 + 12 = 6(2 − 1)( − 2)，
令 ″ ()
= 0，得1 =
+
凹
1
，2
2
0
= 2.
凸
0
+
凹
1
由表可知，曲线的凹区间为(−∞, )和(2, +∞)，凸区间为
2
1
1 7
( , 2)，曲线的拐点为( , )和(2, −5).
2
2 16
8
02
微分中值定理及导数的应用
第6讲
曲线的凹凸性及拐点
本节内容
01 曲线的凹凸性和拐点的定义
02 曲线的凹凸性和拐点的判别
2
01 曲线的凹凸性和拐点的定义
定义3.2
设函数 = ()在开区间(, )内可导，在该
区间内如果曲线位于其任何一点切线的上方，
那么称此曲线在区间(, )内是凹的，区间
区间(, )内具有二阶导数.
（1）在(, )内，若 ″ () > 0，那么曲线 = ()在
[, ]上是凹的.
（2）在(, )内，若 ″ () < 0，那么曲线 = ()在
求函数的凹凸区间及拐点的步骤
求函数的凹凸区间及拐点的步骤一、概念解析在数学中，我们经常会遇到求函数的凹凸区间及拐点的问题。
这涉及到了函数的二阶导数，以及函数图像的变化规律。
下面我将按照从简到繁的方式，逐步探讨这一主题。
1. 凹凸性的概念我们需要了解什么是函数的凹凸性。
对于函数f(x)，若在区间I上满足f''(x)>0（f''(x)表示f(x)的二阶导数），则称函数f(x)在I上是凹的；若在区间I上满足f''(x)<0，则称函数f(x)在I上是凸的。
2. 拐点的概念另外，拐点指的是函数图像上的一个特殊点，该点对应的二阶导数f''(x)发生变号的点。
二、步骤探究接下来，我们将讨论求函数的凹凸区间及拐点的具体步骤。
我将结合具体的例子来说明每一步的操作方法，以便你能更深入地理解。
1. 求导数我们需要求出函数f(x)的一阶和二阶导数，分别记为f'(x)和f''(x)。
这一步是求凹凸区间及拐点的基础。
2. 解方程f''(x)=0在区间I上，我们需要解方程f''(x)=0，找出f(x)的二阶导数为0的点。
这些点就是函数可能存在拐点的位置。
3. 列出数表我们需要列出f''(x)的变号区间，并通过数表的形式进行展示。
在这一步，我们可以通过选取区间内的特定点，代入f''(x)的值，来判断函数的凹凸性。
4. 确定凹凸区间及拐点根据数表中f''(x)的正负情况，我们可以确定函数f(x)的凹凸区间，并找出拐点的具体位置。
这样，我们就完成了求函数的凹凸区间及拐点的步骤。
三、总结回顾通过以上步骤，我们可以比较清晰地了解了如何求函数的凹凸区间及拐点。
在实际应用中，我们可以通过这些步骤，快速、准确地分析函数的凹凸性质，从而更好地理解函数的图像特征。
个人观点：求函数的凹凸区间及拐点是数学中的重要问题，它不仅有着重要的理论意义，也在实际问题的解决中发挥着重要作用。
二阶导数的应用
4
2 n n
2 n 1
2 ! 4 ! ∴f(0)＝0，f'(0)＝1，f"(0)＝-1!，f"'(x)＝2!
的速度都比lnx趋于＋∞的速度快。
e1111
2!
n!
例4.20 求函数f(x)＝sinx在x＝0点的泰勒展开式 解：∵f'(x)＝cosx，f"(x)＝-sinx，f"'(x)＝-cosx
f(4)(x)＝sinx，… ∴f(0)＝0，f'(0)＝1，f"(0)＝0，f"'(x)＝－1
f(4)(0)＝0，… f(2n－1)(0)＝(－1)n－1，f(2n)(0)＝0 于是，sinx在x＝0点的泰勒展开式为：
一个比较复杂的函数，这样将会带来很大的方便。 一般地说，多项式函数是最简单的函数。
那么 我们怎样把一个函数近似地化为多项式函数呢?
[定理4.8] 设f(x)在x＝0点及其附近有直到n＋1阶的连续导
数，那么
f(x ) f( 0 ) f'( 0 )x f" 2 ( ! 0 )x 2 f(n n ) ! ( 0 )x n R n (x )
例4.23 求极限 lim1cosx
x x0
2
解：当x→0时原式是0 型的不定式，用罗必塔法那么
0
有lx i0m 1x c2ox slx i0m s2ixxn1 2
例4.24
求极限
x3 3x2 lxim1 x3 x2 x1
解：当x→1时原式是0 型的不定式，用罗必塔法那么
《曲线的凹凸与拐点》课件
contents
目录
• 曲线凹凸的定义与性质 • 判断曲线凹凸的方法 • 曲线的拐点及其性质 • 曲线凹凸与拐点的应用 • 总结与思考
01
曲线凹凸的定义与性质
凹凸的定义
凹函数
对于曲线上的任意两点$x_1$和 $x_2$（$x_1 < x_2$），如果函 数值$f(x_1) > f(x_2)$，则称该函 数为凹函数。
通过学习更多的函数曲线，加深对 凹凸性和拐点的理解。
探索应用领域
了解曲线凹凸性和拐点在实际问题 中的应用，如物理学、工程学等。
对实际应用的展望
工程设计
在工程设计中，了解曲线的凹凸 性和拐点有助于优化设计，如桥 梁、建筑等结构的稳定性分析。
数据分析
在数据分析中，可以利用曲线凹 凸性和拐点的知识，对数据进行
凸函数
对于曲线上的任意两点$x_1$和 $x_2$（$x_1 < x_2$），如果函 数值$f(x_1) < f(x_2)$，则称该函 数为凸函数。
凹凸的性质
01
凹函数的图像呈下凹状，凸函数 的图像呈上凸状。
02
在凹函数中，中点的函数值小于 两端点的函数值；在凸函数中， 中点的函数值大于两端点的函数 值。
凸函数的定义
对于函数$f(x)$在区间$[a,b]$上，如果对任意$x_1, x_2$（$x_1 < x_2$）都有 $f(x_1) - f(x_2) > frac{f(x_1) + f(x_2)}{2} (x_1 - x_2)$，则称$f(x)$在区间 $[a,b]$上为凸函数。
凹凸的判断方法
计算二阶导数
拐点的连续性判定
若函数在拐点处的一阶导 数存在且二阶导数改变符 号，则该点为拐点的充分 必要条件是该点连续。
高等数学函数的单调性和凹凸性
)
均为拐点
.
27
例8 讨论 y ? ( x的? 1凹)3 凸x 2性及拐点 .
y
解： y??
5
2
x3
?
2
?1
x 3,
3
3
· ? 1 5
o
2
5
1
x
y???
10
?1
x3
?
2
?
x
4
3
?
9
9
2(5 x ? 1)
4
,
9x 3
令y??? 0解得
x
?
?
1 ;
当x
?
0时 ,
y?不? 存在 .
现列表如下：
5
x
( ??
2
x1 ? ?1 ? x0
x0 ? ? 2 ? x2
这说明
在 I 内单调递减 . f ?(?1 ) ? f ?(?2 )
20
例 5 判断曲线 y ? ln x 的凹凸性 .
解 函数y ? ln x的定义域为(0, ? ? )
y???
?
1
x2
.
y?? 1 , x
在定义域内y??? 0,
故曲线y ? x4 在(0 , ? ? )上是凸的 .
y
y? f (x)
y
y ? f (x)
o x1
x2 x
图形上任意弧段位于
所张弦的下方。
o x1
x2 x
图形上任意弧段位于
所张弦的上方。
16
定义 1 设函数
在区间 I 上连续 ,
(1) 若恒有
图形是 凹的 ; (2) 若恒有
图形是 凸的 .
二阶导数
π
例4.25
lim 2 求极限 x → +∞
arctgx 1 x
0 解：当x→∞时原式是 0
型的不定式，用罗必塔法则有
1 arctgx 2 x2 lim 2 = lim 1 + x = lim =1 2 x → +∞ x → +∞ x → +∞ 1 + x 1 1 2 x x
π
2. 不定式 [定理4.10] 如果当x→a时函数f(x)、g(x)都趋向于无穷大，在点 a的某一邻域内(点a除外)，f'(x)、g'(x)均存在，g'(x)≠0
4.7 函数图象的描绘 利用函数的一、二阶导数的性质，我们可以较准 确地用描点法描绘函数的图象。 一般步骤为： ⑴ 确定函数的定义域、奇偶性、周期性，求出函 数图象和两坐标轴的交点； ⑵ 计算f’(x)，令f’(x)＝0求出f(x)的驻点、极值 点和增减区间； ⑶ 计算f“(x)，令f”(x)＝0求出f(x)的拐点和凹凸 区间； ⑷ 计算驻点、拐点处的函数值； ⑸ 列表，描绘函数的图象。
三、高阶导数的应用
4.8 用多项式近似表达函数──泰勒公式 如果我们能用一个简单的函数来近似地表示 一个比较复杂的函数，这样将会带来很大的方便。 一般地说，多项式函数是最简单的函数。那么 我们怎样把一个函数近似地化为多项式函数呢?
[定理4.8] 设f(x)在x＝0点及其附近有直到n＋1阶的连续导 数，那么
例4.27 证明当a＞0时， ln x ＝0 lim α x → +∞ x 证明：根据罗必塔法则
cosmx m lnsin mx sinmx = lim m cosmxsinnx = m lim sinnx = 1 lim = lim + x→0 ln sin nx x→0+ cosnx n x→0+ n cosnxsin mx n x→0+ cosmx sinnx
二阶导数与凹凸性的关系
二阶导数与凹凸性的关系二阶导数反映的是斜率变化的快慢，表现在函数的图像上就是函数的凹凸性。
f′′(x)>0，开口向上，函数为凹函数，f′′(x)<0，开口向下，函数为凸函数。
凸凹性的直观理解：设函数y=f(x)在区间I上是连续的。
如果函数的曲线在其上任意一点的切线之上，则称其在区间I上是凹的；如果一个函数的曲线在其上任何一点的正切线以下，那么它在区间i内是凸的。
设f(x)在[a,b]上连续，在（a,b)内具有一阶和二阶导数，那么，若在（a,b)内f''(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的；若在（a,b)内f’‘(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。
判断函数极大值以及极小值：结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。
当一阶导数等于0，而二阶导数大于0时，为极小值点。
当一阶导数等于0，而二阶导数小于0时，为极大值点；当一阶导数和二阶导数都等于0时为驻点。
f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2) ，即V型，为“凸向原点”，或“下凸”（也可说上凹），（有的简称凸有的简称凹）f(λx1+(1-λ)x2)>=λf(x1)+(1-λ)f(x2) ，即A型，为“凹向原点”，或“上凸”（下凹），（同样有的简称凹有的简称凸）二阶导数，是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。
一般的，函数y=f(x)的导数y'=f'(x)仍然是x的函数，则y'=f'(x)的导数叫作函数y=f(x)的二阶导数。
在二维环境下，就是通常所说的平面直角坐标系中，可以通过画图直观地看出一条二维曲线是凸还是凹，当然它也对应一个解析表示形式，就是那个不等式。
但是，在多维情况下，图形是画不出来的，这就没法从直观上理解“凹”和“凸“的含义了，只能通过表达当然n维的表达式比二维的肯定要复杂，但是，不管是从图形上直观理解还是从表达式上理解，都是描述的同一个客观事实。
二阶导数几何意义
二阶导数几何意义
二阶导数是对函数的曲率进行描述的数学工具。
在几何意义上，二阶导数表示了函数曲线的弯曲程度。
具体来说，二阶导数的正负号可以告诉我们曲线的凸性和凹性，而二阶导数的数值大小则可以告诉我们曲线的弯曲程度，即曲率的大小。
在二阶导数的几何意义中，还有一个重要的概念，即拐点。
拐点是指曲线从凸性转变为凹性，或从凹性转变为凸性的点。
在拐点处，二阶导数为零，这表示曲线的弯曲程度达到了最大值或最小值。
因此，拐点是曲线弯曲程度变化最为剧烈的地方，也是曲线形态变化的一个重要标志。
总之，二阶导数的几何意义与曲线的弯曲程度、凸凹性以及拐点等几何特征密切相关，对于理解曲线的形态和特性具有重要的作用。
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二阶导数的应用曲线的凹凸性与
拐点
欧阳光明（2021.03.07）
教学目标与要求
通过学习，使学生掌握利用二阶导数的符号判定函数在某一区
间上凹凸性的方法，为更好地描绘函数图形打好基础，同时，理解
拐点的定义和意义。
教学重点与难点
教学重点：利用函数的二阶导数判断曲线的凹凸性与拐点。
教学难点：理解拐点的定义和意义。
教学方法与建议证明曲线凹凸性判定定理时，除了利用“拉格朗日中值定理”证明外，还可用“泰勒定理”来证明；如果利用“拉格朗日中值定理”证明，则要配合函数图形来分析讲解如何想到需要两次使用“拉格朗日中值定理”的思路，切忌脱离图形，机械证明，让学生领悟不到思想，摸不着头脑。
在讲函数的凹凸性和曲线拐点的定义时，要强调凹凸性并不是曲线的固有性质，而是函数的性质，与所选的坐标系有关；而拐点是曲线的固有性质，与所选的坐标系无关。
教学过程设计
1. 问题提出与定义
函数的单调性对于描绘函数
图形有很大作用，但仅仅由单
调性还不能准确描绘出函数的
图形。
比如，如果在区间
上，，则我们知道
在区间上单调增，但作图
（参见图1）的时候，我们不
能判断它增加的方式（是弧，还是弧），即不能判断曲线的凹凸性，所以研究曲线的凹凸性对于把握函数的性态、作图等是很有必要的！
在图1中，对于上凸的曲线弧，取其上任意两点，不妨取
作割线，我们总会发现不论两点的位置，割线段总位于弧段的下方，这种位置关系可以用不等式
来描述。
同理，对于上凹的曲线弧
，总可用不等式来描述。
由此，我们想到对曲线的凹凸性做如下定义：凹凸性定义设在区间I上连续，如果对I上任意两点，，恒有
则称在I上的图形是（向上）凹的，简称为凹弧；如果恒有
则称在I上的图形是（向上）凸的，或简称为凸弧。
如果沿曲线从左向右走，则图形是（向上）凸的曲线的几何意义相当于右转弯，图形是（向上）凹的曲线相当于左转弯，而有切线的凹凸弧的分界点正是曲线转向的点，我们把这样的点称为拐点。
2. 凹凸性判定定理的引入
曲线凹凸性的定义自然能判别曲线的凹凸性，但实际使用起来需要取两个点，且两个不等式对于一些表达式较复杂的函数来说判断起来也不容易。
因此，我们就想能否用其它方法来判定曲线的凹凸性。
函数的单调性能由的符号确定，而对于凹凸性它束手无策，所以我们猜想凹凸性是否和有关？
经过分析，并利用泰勒公式，可证实我们的猜想是正确的，函数图形的凹凸性的确和的符号有关,于是得到了判断曲线凹凸性的定理。
定理 4.3设在上连续, 在内具有二阶连续导数,那么：
（1）若在内>0，则在上的图形是凹的；
（2）若在内<0，则在上的图形是凸的。
3. 判别凹凸性和拐点举例
例1. 判断曲线y x3的凹凸性.
解y3x 2,y6x.由y0, 得x0
因为当x<0时,y<0, 所以曲线在(,0]内为凸的;
因为当x>0时,y>0, 所以曲线在[0,)内为凹的.
例2. 求曲线y2x 33x 22x14的拐点.
解y6x 26x12,.令y0, 得
因为当时,y0;当时,y0,所以点(,
??是曲线的拐点
例??求函数的凹凸区间和拐点．
解：函数的定义域为，
，
且，
令，得．
列表：
（）0
+0－0+
有拐点有拐点
由表可知，当时，曲线有拐点
和，表中表示曲线是凹的，⌒表示曲线
是凸的．函数的图像如图（3）所示.
4. 确定曲线y f(x)的凹凸区间和拐点的步骤:
(1)确定函数y f(x)的定义域;(2)求出在二阶导数
f`(x);
(3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点;
(4)判断或列表判断, 确定出曲线凹凸区间和拐点;
注: 根据具体情况（1）（3）步有时省略.
5 学生黑板练习
练习 1.判定下列曲线的凹凸性及拐点.
（1），（2），（3）。
6.小结
1 在讲授函数单调性时要注意借助几何图形进行直观说明，使导数符号与曲线形态特征相结合，加深对判别法的理解。
2 对于函数凹凸性、拐点，要注意借助几何图形进行直观说明，使导数符号与曲线形态特征相结合，加深对判别法的理解。
作业 P75:1,2,3。