第31讲 连续系统的状态方程的求解
信号与系统 连续时间LTI系统状态方程的求解解析
c1
e2 t
e
t
信号与系统 二、用时域法求解状态方程
所以得
eA t c0I c1A
2e t e2 t
1 0
0 1
e2t e t
1 0
1 2
e t e2t e t
0
e2 t
信号与系统 二、用时域法求解状态方程
e 例： 给定矩阵 A。求矩阵指数函数
At
A
1 1
1
3
解： 矩阵 A 的特征多项式为
s
1
12
4
3s 1
s
5
4 s 1 s
s s
3s2 s 4
s 12 4
s2 5s 1
s 12 4
4 5 s
1 5 s
19 s 3
5 s
12
5
4 s 23 55
s 12 4
4
4 5 s
1 5 s
x(t
)
y(t)
1 2
1
1(t) 2 (t )
1
x(t
)
系统输入为单位阶跃信号，初始状态
1 λ(0 ) 2
试求矩阵指数函数 eAt 、状态变量 λ(t)与输出 y(t) 。
信号与系统
解：系统的参量矩阵分别为
A
1 1
0 3
，
B
1 0
C
1 2
1
，
D 1
所以
(sI
A)
s
1 0
0 1
d
1
d
1
d m1
dm
1
e t
1
t m1e1 t
d m1
dm1
g
《自动控制原理》线性定常连续系统状态方程的解
2
k!
= P −1IP + P −1 APt + 1 P −1 A2 Pt 2 + + 1 P −1 Ak Pt k +
2
k!
= P −1 (I + At + 1 A2t 2 + + 1 Ak t k + )P = P −1e At P
2
k!
因而式（9-39）成立。
性质10: 两种常见的状态转移矩阵。设 A = diag[1, 2 ,,n ]，
2. 拉普拉斯变换法。将式（9-22）取拉氏变换有
sX (s) = AX (s) + x(0)
则
(sI − A) X (s) = x(0)
X (s) = (sI − A)−1 x(0)
（9-27）
进行拉氏反变换有
x(t) = −1[(sI − A)−1]x(0)
（9-28）
与（9-25）相比有
e At = −1[(sI − A)−1 ]
进行拉氏反变换有 x(t) = −1(sI − A)−1 x(0) + −1[(sI − A)−1 BU (s)]
由拉氏变换卷积定理
−1[F1(s)F2 (s)] =
t
0 f1 (t − ) f2 ( )d
=
t
0 f1 ( ) f2 (t − )d
在此将(sI − A)−1 视为F1 (s)，将BU (s) 视为 F2 (s) ，则有
x(t) = eA(t) x(0) + t eA(t− )Bu( )d 0 t = (t)x(0) + 0 (t − )Bu( )d
结果与式（9－43）相同。上式又可表示为
《状态方程方程》课件
复杂系统中的状态方程
复杂系统中的状态方程概述
复杂系统通常由大量相互作用的元素组成，其行为难以通过单个元素的行为来预测。复杂系统中的状态方程是描述系 统整体行为的重要工具。
复杂系统中的状态方程的数学形式
复杂系统中的状态方程通常由一组相互耦合的非线性微分方程或差分方程表示，描述了系统中各个元素的状态变化以 及它们之间的相互作用。
先确定有限元的划分，然后构 造每个有限元的近似函数，通 过变分原理得到有限元方程。
适用于具有复杂边界条件的偏 微分方程。
03
状态方程的实际应用
在流体力学中的应用
01
流体力学中的状态方程主要用 来描述流体的状态性质，如压 力、温度、密度等之间的关系 。
02
在流体力学中，状态方程是建 立流体动力学模型的基础，对 于流体流动的模拟、分析和优 化具有重要意义。
复杂系统中的状态方程的求解方法
求解复杂系统中的状态方程的方法有多种，如数值模拟、近似解析法、自适应算法等，具体方法的选择 取决于系统的具体形式和求解要求。
05
习题与思考题
基础习题
总结词
巩固知识点
详细描述
基础习题主要针对状态方程的基本概念、公式和计算方法进行练习，旨在帮助学生巩固所学知识点，提高解题能 力和计算准确性。
详细描述
将原方程中的偏微分项用离 散的差分近似，从而将偏微 分方程转化为离散的差分方 程进行求解。
步骤
先确定离散点，然后将原方 程中的偏微分项用离散的差 分近似，得到离散的差分方 程。
应用范围
适用于具有规则网格的偏微 分方程。
有限元法
总结词
详细描述
步骤
应用范围
一种基于变分原理的数值求解 方法
求解系统的状态方程
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载求解系统的状态方程地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容求解系统的状态方程一、实验设备PC计算机，MATLAB软件，控制理论实验台二、实验目的(1)掌握状态转移矩阵的概念。
学会用MATLAB求解状态转移矩阵(2)学习系统齐次、非齐次状态方程求解的方法，计算矩阵指数，求状态响应；(3)通过编程、上机调试，掌握求解系统状态方程的方法，学会绘制输出响应和状态响应曲线；(4)掌握利用MATLAB导出连续状态空间模型的离散化模型的方法。
三、实验原理及相关基础(1)参考教材P99~101“3.8利用MATLAB求解系统的状态方程”(2)MATLAB现代控制理论仿真实验基础（3）控制理论实验台使用指导实验内容(1)求下列系统矩阵A对应的状态转移矩阵（a）（b）代码：syms lambdaA=[lambda 0 0;0 lambda 0;0 0 lambda];syms t;f=expm(A*t)（c）代码：syms t;syms lambda;A=[lambda 0 0 0;0 lambda 1 0;0 0 lambda 1;0 0 0 lambda];f=expm(A*t)(2) 已知系统a) 用MATLAB求状态方程的解析解。
选择时间向量t，绘制系统的状态响应曲线。
观察并记录这些曲线。
（1）代码：A=[0 1; -2 -3];B=[3;0];C=[1 1];D=[0];u=1;syms t;f=expm(A*t);%状态转移矩阵x0=0;s1=f*B*u;s2=int(s1,t,0,t)%状态方程解析解状态曲线：（2）A=[0 1;-2 -3];syms t;f=expm(A*t);X0=[1;0];t=[0:0.5:10];for i=1:length(t);g(i)=double(subs(f(1),t(i)));endplot(t,g)状态转移矩阵syms lambdaA=[lambda 0 0;0 lambda 0;0 0 lambda];syms tf=expm(A*t)b) 计算系统在初始状态作用下状态响应和输出响应的数值解(用函数initial( )), 绘制系统的状态响应曲线和输出响应曲线。
第二章线性定常连续系统状态方程的解
• 准备知识A1
1.利用状态和状态方程来定义系统的线性性 质. • 用符号 u[t0 , ), x(t0 ) x[t0 , ), y[t0 , ) • 表示状态 x(t0 ) 和输入 u[t0 , ) 激励出输出 y (t ) 和状态 x(t )，t t0 ,并称其为输入-状态-输出对.
(3)定理2.每一个基本矩阵 ,对(-∞,∞)中所有的t
而言,是非奇的.
(4)定义2.设 () 是 x A(t ) x(t ) 的任一基本矩
阵,对所有(-∞,∞)中的 (t , t0 )
1 ( t , t ) ( t ) (t0 ) 称 0
是 x A(t ) x(t ) 的状态转移矩阵.
• 定义:一个系统,当且仅当对于任何两个容许 对 1 1 1 1
x (t ), u [t , ) x [t , ), y [t , ) x (t ), u [t , ) x [t , ), y [t , )
0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0
2 所构成的输入---状态--和任何实数1 和 输出对.
x Ax, x(t0 ) x0 , t [t0 , )
• 物理上,零输入响应代表系统状态的自由运动，特
点是响应形态只由系统矩阵所决定，不受外部输
入的影响.
• 定义: [零状态响应]:
线性系统的零状态响应 xox (t ) 定义为只有输
入作用,即 u (t ) 0 而无初始状态作用,即 x0 0
bk t
k
kbk t k 1 bk t k )
• 如果所求的解是方程的真实解，那么上述 方程对任意t都成立，因此使t的幂次项的各 系数相等就可得到:
现代控制理论——状态方程求解
满足矩阵方程
& (t - t0 ) A(t - t0 ), (0) I , t t0
的解阵 (t ) , 称为系统的状态转移矩阵。
齐次状态方程的解：
x t (t t0 ) x t0 , t t0
第三章 状态方程的解
2 状态转移矩阵性质
A t t0
x t0 e
t t0
A t
Bu d
令 t k 1T , t0 kT
则有：
x 轾 + 1)T = e x (kT ) + (k 臌
AT
ò
(k + 1)T A轾 + 1)T - τ (k 臌 e Bu
kT
(τ)dτ
第三章 状态方程的解
第三章 状态方程的解
1 n n n ! 1 t n 0 0 1 n n n ! n t n 0 0
1 n n n ! 2 t n 0 O
e1t
e2t O
解：方法一 近似离散化法
则G I TA
1 1 0.2 1 0 0 0.2 2 3 0.4 0.4 0 1 0 0 H 0.2 1 0.2
第三章 状态方程的解 所以近似离散化状态方程为:
At t 0
解为： x(t ) e x(0) e A(t ) Bu ( )d 更一般的形式：
x(t ) e
A ( t t0 )
x(t0 ) e A(t ) Bu ( )d ,
t0
t
t t0
系统的动态响应由两部分组成：一部分是零 输入响应；另一部分是零状态响应。
连续系统状态方程的求解
y 2 x1 4 x2
2.此系统为并联摸拟系统 2 4 2s 2 H ( s) 2 s 2 s 3 s 5s 6
x1 y [2,4] x2
y' '5 y'6 y 2(u'u)
T 1 1 1
其中（A jk )是以余因子A jk 为元素的矩阵 ， jk ) ( Akj )是它的转置矩阵。 (A
T
2.状态过渡矩阵
令F ( s) 0, 则X ( s) ( s) X (0) z.i.r : x(t ) (t ) x(0) 1 adj( sI A) 1 (t ) L { }, (t ) L [ ( s)] sI A At x(t ) (t ) x(0), (t ) e
1
第i个输出Ri (s)中第j个输入的响应 H ij (s) 其它输入 0 第j个输入E j (s)
3.例(p369,12-18)
解:设回路电流 i (t ) i1 (t ) A 3 i1,i2如图所示:并 1 设元件A两端的 ) 电压为状态变量 (t，电容两端的电压为
2
R1
1 1 2 ' (t ) 1 (t ) 3 (t )(由2， 3，得出） R2 R2 d i1 (t ) i 2 (t ) c 3 (t )(带入1得出） dt d d i1 (t ) c 3 (t ) 2 (t ) dt dt R12 ' (t ) R1C13 ' (t ) 3 (t ) e(t )...4
X (s) [ X (0) BF(s)] (S ) x(t ) L [ (s)]X (0) L [ (s) BF(s)] z.s.r z.i.r
系统的状态方程
第2章 系统的状态空间描述输入输出：可测量，欠全面 §2.1 基本概念 例2.1 密封水箱1()(),y t x t μ=1d [()()]d [()()]d c x u t y t t u t x t t μ⋅=-⋅=-⋅即μ2(m )c 3()(m /s)u t 3()(m /s)y t ()(m )x t11()()()x t x t u t ccμ'=-+.解tt ccx t x u c 001()e()e d τμμττ-⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎰. 若()u t r ≡, 则0()e1e,()ttccx t x r r t μμμμ--⎛⎫=+-⇒→∞ ⎪ ⎪⎝⎭, 若想()x h ∞=, 只要()hu t μ=.例2.2 LRC123()()();i t i t i t =+ ()()()()(LRLCu t v t v t v t v t=+=+ 选1()()C i t v t 和； 则：11()()()1()()()C C C Li t v t u t C v t i t v t R'=-+⎧⎪⎨'⎪=-⎩ 其余2()()/,C i t v t R =()()(),()().L C R C v t u t v t v t v t =-=)(t v C )(t v L L RC)(1t i )(t u )(2t i )(3t i 2.2图1. 系统的状态变量状态变量: 完全表征系统,个数最少的一组变量 未来()x t ：由0()x t 和0t t ≥的()u t 完全确定. 对定常, 常取00t =. 2. 状态向量和状态空间状态向量：12()(),(),()Tn x t x t x t x t =⎡⎤⎣⎦ 状态空间：()x t 取值范围 状态轨线：()x t 的轨迹(无时间轴) 3．几点说明(1) 0()x t 和0(),u t t t ≥决定()x t , 0t t ≥(2) n 阶’微分方程’可引出n 个状态变量, 不唯一. (3) 尽选可测量. 离散系统类似.列写方法：‘微方’,’差方’→状态方程； ‘传函’,’流程图’→状态方程.§2.2 线性连续系统的状态空间模型状态方程 + 输出方程;1．一般形式n 维状态()x t , r 维输入()u t , m维输出()y t ,状态方程 ()()()xt A x t B u t =+ （2.3） 输出方程 ()()()y t C x t D u t =+ （2.4）12()()()()n x t x t x t x t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ , 12()()()()r u t u t u t u t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ , 12()()()()m y t y t y t y t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,111212122212r rn n nr b b b b b b B b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦状态矩阵 输入矩阵2122212nn m m m n c c cc c c C c c c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,111212122212r rm m m r d d d d d d D d d d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 输出矩阵 输入输出矩阵(1)若A 、B 、C 和D 都是常数阵, 则系统是定常的； 否则为时变的；(2)若1r =且1m =,则系统是单变量的;否则是多变量的 简记 {A , B , C , D } 如水箱系统:{}111,,,,,,0A B C D c c μμ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭.如LRC 系统状态方程：1111()()()11()()()C C C i t v t u t L Lv t i t v t C CR ⎧'=-+⎪⎪⎨⎪'=-⎪⎩,输出方程：311()()()C i t i t v t R=-,若1L R C ===,则有[]011,,11,0110A B C D -⎡⎤⎡⎤===-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦.2. 由’微方’ 状态模型 设()(1)()(1)1101n n m m n m m ya ya ya yb u b u----++++=+10b ub u +++ (1)若m =0, 则可(1)123,,,,n n x y x y x y x y-==== ,得 1223(1)1()01121,,,,n n n n n n n xy x x y x x y x x ya x a x a x u ---==⎧⎪==⎪⎪⎨⎪==⎪==----+⎪⎩即1122011010000()00101n n n xx x x u t x a a a x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⋅+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦, []12()10[,,,]Tn y t x x x =⋅.令12()n x x x t x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ,011010000,,00101n A B a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦[]100C =,0D =,则有()()()xt A x t B u t =+ , (2.6)()()y t C x t =.(2.7)例2.3 设5612y y y y u +++=,试写出状态模型. 解 令123,,x y x yx y === ,则 122231231265x x x x x x x x u=⎧⎪=⎨⎪=---+⎩ 所以11223301000010()12651xx x x u t x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⋅+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ,[]123()100x y t x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.(2) 1m n ≤< (设初始条件全为0)拉变 ()()()Y s G s U s =, 即110()()()mm m m Y s b sb sb Ys --=+++ (*) 其中1101()()nn n Ys U s s a sa --=+++对应()(1)110,n n n ya ya ya y u --'++++= 是情形(1), 故取(1)123,,,,n n x y x y x y x y -====可得状态方程. 改写(*)式得1101()()mm m m Ys Y s b sb sb --=+++ (**)由初值性质110(0)lim ()1limlim ()0(0)0s mm s s m m ysY s sY s y b sb sb →∞-→∞→∞-==⋅=⋅=+++同理(1)(0)(0)(0)0m y y y -==== ,故对(**)作逆变换()(1)10m m m m y b yb yb y--=+++ 01121m m b x b x b x +=+++ ,由此得1122011010000()00101n n n xx x x u t x a a a x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⋅+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦, ()[00][,,,,,]01121Ty t bb b x x xx m n m =⋅+(3) 当m n = 传递函数为11100110()()()()n n n n n n n n n b b a s b b a Y s b U s s a s a -----⎡⎤-++-=+⎢⎥+++⎣⎦11100110()()()()n n n n n n nn n b b a sb b a b U s U s s a sa ------++-=++++12()()Y s Y s =+.其中1()()n Y s b U s =,111002110()()()()n n n n n nn n b b a sb b a Y s U s s a sa ------++-=+++ .为情形(2), 故200111112()[,,,]n n n n n Tn y t b b a b b a b b a x x x --=---⎡⎤⎣⎦⋅ ,综合得001111()n n n n n y t b b a b b a b b a --=---⎡⎤⎣⎦12[,,,]Tn n x x x b u ⋅+例2.4 求323y y y u u ''''++=-的状态空间模型. 解 2,1n m ==,1122()()010()()()231x t x t u t x t x t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ , []12()()31()x t y t x t ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦. 注 情形(3)是情形(1)和(2)的推广或说(1)和(2)都是(3)的特例.例2.5 设2y t yu += . 试求状态模型. 解 令12,x y x y== , 则 {1221,2,xx xtx u ==-+ 即112201002xx u x x t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ , 12[10]x y x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.注: 状态矩阵是时变的.2. 传递函数→状态模型传递函数→微分方程→状态模型. 例2.6 设22253()54s s G s s s ++=++,写出其状态模型.解 易得 54253y y y u u ''''''++=++, 由情形(3), 得1122()()010()()()451x t x t u t x t x t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ , []12()()552()()x t y t u t x t ⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦.3. 信号流程图→状态模型 设有下图将1s →⎰, s →t , 得注: 积分器出口是状态变量.⎰5)(t u )(t y +-2⎰++--1x1x 2x2x s15)(s U )(s Y +-2s1++--由前图得112122xx u x x x =-+⎧⎨=-⎩ , 125y x x =-.注 状态模型不唯一. 如由前2图另得2153()11232s G s s s s s -⎛⎫=-= ⎪++++⎝⎭, 改为541/1/()542112/11/s s G s s s ss=-=⋅-++++,等价于下图5)(t u )(t y 2++--⎰1x 1x 2x 2x ⎰4+-易得1122d 25d d 4d x x u tx x u t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩, 12y x x =-, 即2001A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦,54B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,[]11C =-.又有微分方程323y yy u u ++=- ,是(2)的情形,故12212,23,x xx x x u ⎧=⎪⎨=--+⎪⎩ 123y x x =-+ , 对应0123A ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦ ,01B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,[]31C =- . 故原系统可有3种数学模型 4．状态方程 传递函数 作拉变, 并设(0)0x =,则()()()sX s A X s B U s =+, ()()()Y s C X s D U s =+,由(2.18)式得1()()()X s sI A B U s -=-代入(2.19),有()1()()Y s C sI A B D U s -⎡⎤=-+⎣⎦,从而传递函数阵()1()G s C sI A B D -=-+.当1m r ==, ()G s 是传递函数.小结n阶微分方程⇔传递函数⇔状态模型⇔状态流程图。
信号与系统第八章(2) 连续系统状态方程的求解
将有关矩阵代入，得
x1 (t ) x2 (t )
et
0
et et 1 et
et
1
0
et et 0
et
1
1 (t) 0 * (t)
et et et et (t)
(t)
1 2
e3t
(t)
1 6
(5
e3t
)
t0
所以，系统的输出响应为
y(t)
yx (t)
yf
(t)
3 2
e3t
1 6
(5
e3t
)
5 6
(1 2e3t )
t0
例8.3-3一个二阶系统，其状态方程为 x(t) 。Ax(t)
已知
当x(0)
x1 (0) x2 (0)
特征矩阵
0
1 ( 1)( 1)
A的特征根为 1 1,2 1
用成分矩阵法求 e At
可得矩阵指数函数为
e At e1t E1 e2t E2
其中
E1
A 2I 1 2
1 0
1 0
E2
A 1I 2 1
0 0
1 1
0 (t) 0 (t)
1 0
1 1
et e
t
2e
t et 1 e
t
2
3.3 线性时变连续系统状态方程的解 (PPTminimizer)
线性时变连续系统齐次状态方程的解(3/3) 线性时变连续系统齐次状态方程的解
证明 对解表达式x(t)=Φ(t,t0)x(t0)求导,则有 且
ɺ ɺ x (t ) = Φ(t , t0 ) x (t0 ) = A(t )Φ(t , t0 ) x (t0 ) = A(t ) x (t )
ɺ Φ(t , t0 ) = A(t )Φ (t , t0 ) Φ(t0 , t0 ) = I
x(t0)=Φ(t0,t0)x(t0)=x(t0) 说明式x(t)=Φ(t,t0)x(t0)满足齐次状态方程及其初始条件。 根据微分方程解的唯一性，所以它是齐次状态方程的解。 时变系统齐次状态方程的解表示了系统自由运动的特性,也代 表了初始状态x(t0)的转移,其转移特性完全由状态转移矩阵 Φ(t,t0)决定。
t0
τ1
然后按此法继续迭代下去,并将各展开式代入式(3-59),可 得
I + τ 1 A(τ )Φ (τ , t )dτ dτ Φ (t , t0 ) = I + ∫ A(τ 1 ) 2 2 0 2 1 1 )dτ 1 + ∫ A(τ 1 ) ∫
状态转移矩阵的求解(7/7) 状态转移矩阵的求解
上述A(t)和∫A(τ)dτ可交换条件一般较难以检验是否成立。 事实上,根据该可交换条件有
∫ [ A(t ) A(τ ) − A(τ ) A(t )] dτ ≡ 0
t t0
上式对于任意时间变量t和t0都成立的充分必要条件是:对 t t : 于任意的t1和t2,下式成立 A(t1)A(t2)=A(t2)A(t1) 所以,实际上较易于检验的条件可取代A(t)和∫A(τ)dτ可交 换条件,成为时变系统的状态转移矩阵的解可表示为指数 矩阵形式的充分必要条件。
9-4 连续时间系统状态方程的求解
λ1 ( 0− ) 3 = λ1 ( 0− ) 2
试求系统的状态变量。 试求系统的状态变量。 (1)求特征矩阵Φ(s) (1)求特征矩阵
1 0 1 - 2 s −1 2 sI − A = s − 1 4 = −1 s − 4 0 1
−At
−1
d At At At e = Ae = e A dt
(二)用时域方法求解状态方程 1. 求状态方程和输出方程
d λ (t ) = Aλ (t ) + Be(t ) 若已知 dt
(1)
并给定起始状态矢量
λ 1 (0 − ) λ 2 (0 − ) λ (0 − ) = .... λ k (0 − )
具体计算步骤： 具体计算步骤：
求矩阵A的特征值； 求矩阵A的特征值； 将各特征值分别代入式（ ），求系数 将各特征值分别代入式（3），求系数c。 求系数c
第一种情况
A的特征值各不相同，分别为α1, α2,…, αk 的特征值各不相同， 代入式(3)有 代入式(3)有
e = c0 + c1α1 + c2α12 + ...+ ck−1α1k −1 eα2t = c + c α + c α 2 + ...+ c α k−1 0 1 2 2 2 k −1 2 ... 2 k eαk t = c0 + c1α k + c2α k + ...+ ck −1α k −1
At t 0−
为方程的一般解。 为方程的一般解。 求输出方程r 求输出方程r(t) r (t ) = C λ (t ) + De (t )
e At λ (0 ) + t e A (t −τ )B e (τ )d τ + De (t ) =C − ∫0 = Ce At λ (0 − ) + Ce At B + D δ (t ) * e (t )
线性定常连续系统状态方程的解ppt课件
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
引入能描述系统状态转移特性的状态转移矩阵 如下： (t-0)=eA(t-0)
(t-0t)eA(tt0)
因此，有如下关系式
x(t)=(t)x0=(t-t0)x(t0)
重点!
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
2.1 线性定常连续系统状态方程的解
求解状态方程是进行动态系统分析与综合的基 础，是进行定量分析的主要方法。
状态方程求解理论是建立在状态空间上， 以矩阵代数运算来描述的定系数常微分 方程解理论。 而后基于矩阵代数运算的状态方程解理 论引入了状态转移矩阵这一基本概念。
为此，设其解为t的向量幂级数，即
x(t)=b0+b1t+b2t2+…+bktk+…
式中，bk(k=1，2，...)为待定级数展开系数向量。
将所设解代入该向量状态方程x’=Ax，可得
b1+2b2t+3b3t2 +…+kbktk-1+…=A(b0+b1t+b2t2 +…+bktk+…)
如果所设解是方程的真实解，则对任意t，上式 均成立。因此，使t有相同幂次项的各项系数相 等，即可求得
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
本章主要工作
第31讲 连续系统的状态方程的求解
3
s
2
s
3
2
s
2
s
3
s 1
s
2
s
3
则状态变量矩阵为
X(s) Φ(s)x 0 Φ(s)BF(s)
因为 F(s) 0
s4
所以X
s
s
2
1
s
3
s
2
s
3
2
s
2
s
3
s 1
s
2
s
3
3
2
7 s3
10 s2
s
7
3
s
5
2
7e3t (t) 10e2t (t)
x(t)
1 L
uC
(t
)
1 L
f (t)
将
d dt
iL
(t )
R L
iL
(t )
d
dt
uC
(t )
1 C
iL (t)
1 L
uC
(t
)
1 L
f (t)
写为矩阵形式：
d
dt
iL (t)
R L
d dt
uC
(t )
1 C
1 L 0
iL (t)
uC
(t
)
1
L
0
f
(t )
只要知道 iL(t), uC(t)的初始状态及输入 f(t)即可完全确定
•本章导读：
•前面学习的系统分析方法只研究单输入-单输出系统的输出与输入之间的外部特性，而不关 心系统内部状态的变化过程，这种方法称之为输入-输出法或端口法。
•随着现代控制理论的发展和应用，对多输入-多输出的复杂系统，不仅要关心系统的输出， 还要研究系统内部变量的变化规律，才能达到对系统的设计和控制要求。
3线性定常连续系统状态方程的解.ppt
拉氏变换法(1/12)
2．拉氏变换法
• 若将对标量函数拉氏变换的定义扩展到向量 函数和矩阵函数,定义对向量函数和矩阵函数 的拉氏变换为分别对该向量函数和矩阵函数 的各个元素求相应的拉氏变换,那么可利用拉 氏变换及拉氏反变换的方法求解齐次状态方 程的解。
• 对该齐次状态方程x’=Ax,设初始时刻t0=0 且初始状态x(t)=x0,对方程两边取拉氏变换, 可得
拉氏变换法
齐次状态方程的解描述了线性定 常连续系统的自由运动。
➢ 由解的表达式可以看出,系统 自由运动的轨线是由从初始时 刻的初始状态到t时刻的状态 的转移刻划的,如图3-1所示。
x
x(t)=(t)x0
x0
1 (t)
0
t
图3-1 状态转移特性
x2
x(0)
x(t1 )
0
x1
(t1 0)
t1其解为t的向量幂级数,即
x(t)=q0+q1t+q2t2+…+qktk+…
式中,qk(k=1,2,...)为待定级数展开系数向量。 – 将所设解代入该向量状态方程x’=Ax,可得
q1+2q2t+3q3t2 +…+kqktk1+…=A(q0+q1t+q2t2 +…+qktk+…)
– 如果所设解是方程的真实解,则对任意t,上式均
线性定常连续系统状态方程的解
– 下面,将依次分别讨论:
• 齐次状态方程的解 • 线性定常连续系统的状态转移矩阵 • 线性定常连续系统非齐次状态方程的解 • 系统的脉冲响应
线性定常齐次状态方程的解
3.1.1 线性定常齐次状态方程的解
2_状态方程求解ppt课件
（5）
将（5）式代入（1）式
b1 2b2t 3b3t 2 kbkt k1 A(b0 b1t b2t 2 bkt k )
等式两边t 同次幂的系数相等，因此有
b1 Ab0
b2 bk
1 2
1 k
Ab1
Abk
1 2!
1 k!
A2b0 Ak b0
而 b0 x(0)
2
2
s 1 s 2
1
s 1 1
s
1
2
2
s 1 s 2
于是
(t) e At
L
1[sI
A]1
2et 2 et
e2t 2 e2t
et e2t
et
2
e2t
方法4 通过线性变换，计算 (t)
1）矩阵 A 可以经过线性变换成为对角阵，计算 (t)
因为
λ1
P-1 AP Λ
6 线性连续系统方程的离散化 7 线性离散系统的运动分析 8 用MATLAB求解系统方程
2.1 线性定常系统齐次状态方程的解
线性定常系统齐次状态方程为
x(t) Ax(t)
这时系统的输入为零 先考察标量齐次微分方程的幂级数解法
x ax
假设其解为一幂级数
x b0 b1t b2t 2 b3t3 bkt k
则线性定常系统齐次状态方程（1）的解为
x(t) (1 At 1 A2t 2 1 Akt k ) x(0)
记作
2!
k!
eAt 1 At 1 A2t 2 1 Akt k
2!
k!
则 x(t) eAt x(0)
（6） （7）
如果 t0 0 则 x(t) e A(tt0 ) x(t0 )
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
R 1 1 d i ( t ) i ( t ) u ( t ) f (t ) L C dt L L L L d u (t ) 1 i (t ) C L C dt
将
R 1 1 d iL (t ) iL (t ) uC (t ) f (t ) dt L L L 写为矩阵形式： d u (t ) 1 i (t ) C L C dt
则状态变量矩阵为
因为 F( s) 0
X ( s ) Φ ( s ) x 0 Φ ( s )BF ( s )
2 s 2 s 3 3 s 1 2 s 2 s 3
s4 s 2 s 3 所以X s 1 s 2 s 3
第6章 连续与离散系统的状态变量分析
•本章导读：
•与输入-输出法相比，状态变量分析的优点是： •（ 1）能够提供系统内部信息，同时观测并处理多个系统变量，从系统内部研究系统的稳 定性； •（2）状态变量法不仅适用于分析单输入 -单输出的线性时不变系统，也适用于分析非线性、 时变、多输入、多输出系统； •（ 3）状态方程用一阶微分方程组表示，对一阶微分方程组有多种求解方法，且便于用计 算机编程求解，可以处理更加复杂的系统。
y1 t 1 y2 t 0
1 x1 t 1 1 x t 2 1
0 f1 t 0 f t 2
f1 t 0 f t 2 t
起始状态为
x1 0 1 x1 0 0
，输入矩阵为
用拉氏变换法求响应y(t) 和系统函数矩阵H(s) 。
解：
(1)求分解矩阵
1 0 1 2 s 1 sI A s 0 1 0 1 0
2 s 1 2 s 1
零输入响应
零状态响应
1 y t L1 C Φ ( s ) x 0 L CΦ ( s )B D F ( s )
Yf (s)
系统函数矩阵：
CΦ ( s ) B D F(s) 1 1 因此： y t CL Φ ( s ) x 0 L H ( s )F ( s )
第6章 连续与离散系统的状态变量分析
•拉普拉斯变换是傅里叶变换的广义形式，借助拉普拉斯变 换可以： •将描述线性时不变系统的微分方程转换为代数方程， •同时将起始状态和输入信号一起考虑，一举求得全响应。 •S域系统函数的零极点联系了系统的时域和频域特性，并可 直观判断系统的稳定性。
第6章 连续与离散系统的状态变量分析
用拉氏变换法求解状态方程
1 x(t ) Ax(t ) Bf (t ) x2 0 方程 x 0 y (t ) Cx(t ) Df (t ) ，起始条件
x
0
方程两边取拉氏变换:
sX ( s ) x 0 AX ( s ) BF ( s ) Y ( s ) CX ( s ) DF ( s )
a11 1 x x a21 2 an1 xn a12 an 2
c12 c 22 ck 2
• x Ax + Bf y Cx + Df
a22
a1n x1 b11 a2 n x2 b21 ann xn bn1
y1 c11 y c 2 21 y k c k 1
c1n x1 d11 c2 n x 2 d 21 c kn x n d k 1
•本章导读：
•前面学习的系统分析方法只研究单输入-单输出系统的输出与输入之间的外部特性，而不关 心系统内部状态的变化过程，这种方法称之为输入-输出法或端口法。 •随着现代控制理论的发展和应用，对多输入-多输出的复杂系统，不仅要关心系统的输出， 还要研究系统内部变量的变化规律，才能达到对系统的设计和控制要求。 •系统的状态变量分析法就是为了解决这样的问题而提出的。状态变量法又称为内部法，它 以描述系统内部特性的状态变量为分析依据，通过一组状态方程和输出方程，将状态变量 和系统的输入和输出变量联系起来，进而分析系统的外部特性。与输入-输出法相比，状态 变量分析的优点是：（1）能够提供系统内部信息，同时观测并处理多个系统变量，从系统 内部研究系统的稳定性；（2）状态变量法不仅适用于分析单输入 -单输出的线性时不变系 统，也适用于分析非线性、时变、多输入、多输出系统；（3）状态方程用一阶微分方程组 表示，对一阶微分方程组有多种求解方法，且便于用计算机编程求解，可以处理更加复杂 的系统。
第6章 主要内容
6.1 6.2 6.3
连续系统的状态方程的建立 连续系统的状态方程的求解方法 离散系统的状态方程的建立和求解
第 31 讲
连续系统的 状态方程的求解
本章内容
系统的描述 系统的状态方程 状态方程的建立
电路图建立法 模拟图建立法 数学模型或系统函数建立法
状态方程的解：时域、频域
（2）求系统函数矩阵H(s)
H ( s ) CΦ ( s )B D
1 0 1 1 s 1 1 0 2 0 s 1s 1 1 1 s 1 1 1 0 1 0 0
其行列式和伴随矩阵分别为
det sI A ( s 1)( s 1)
s 1 adjsI A 0
s 1 s 1 1 s 1 2
所以分解矩阵(s) 为:
1 adj sI A s 1 Φ s det sI A 0
C
此方法称为状态变量或状态空间分析法； i L ( t ), uC ( t )为状态变量。
本章内容
系统的描述 系统的状态方程 状态方程的建立
电路图建立法 模拟图建立法 数学模型或系统函数建立法
状态方程的解：时域、频域 稳定性判别
对于一个有m个输入，k个输出的n阶线性 微分方程所描述的系统，可以用一组一阶微 分方程（状态方程）和一组代数方程（输出 方程）加以描述，即 :
xn 0
整理得:
sI A X ( s ) x 0 BF ( s )
X ( s ) sI A
1
x 0 sI A
1
BF ( s )
将(sI-A)-1记为(s)，称为分解矩阵或预解矩阵，则：
X( s ) Φ ( s ) x 0 Φ( s )BF ( s ) Y ( s ) C Φ ( s ) x 0 CΦ ( s ) B D F ( s )
H(s)
Yf (s)
零输入响应
零状态响应
例1：已知系统的状态方程和起始条件为
d d t x1 t 1 d x t 1 2 dt -2 x1 t 4 x t 2 ,
x1 0 3 x1 0 2
2 s 1
所以预解矩阵(s)为
s4 adj sI A s 2 s 3 Φ( s ) 1 det sI A s 2 s 3 2 s 2 s 3 s 1 s 2 s 3
解： (1)求(s)
试求系统的状态变量。
2 s 4
1 0 1 - 2 s 1 sI A s 0 1 1 4 1
其行列式和伴随矩阵分别为
s 4 adjsI A 1
det sI A ( s 2)( s 3)
b12 b22 bn 2
d12 d 22 dk2
b1m f1 b2 m f2 bnm f m
d1m f1 d 2m f2 d km f m
10 7 s 3 s 2 7 5 s 3 s 2
7e3t (t ) 10e 2 t (t ) x(t ) 3t 2t 7e (t ) 5e (tபைடு நூலகம்)
例2
已建立状态方程和输出方程为
d d t x1 t 1 d x t 0 2 dt 2 x1 t 0 1 x t 2 1 1 f1 t 0 f2 t
以 uC (t ), iL (t )为变量列方程：
d RiL (t ) L i L (t ) u C (t ) f (t ) dt
f (t )
R
L
C
uC t
uC (t )
1 C
iL (t ) d t 写为:
t
d 1 u C (t ) i L (t ) dt C
因而x(t)的时域表示式为：
x(t ) L1 Φ(s) x 0 L1 Φ(s)BF(s)
零输入分量 零状态分量 y(t)的时域表示式为： 1 y t C L1 Φ ( s ) x 0 L C Φ ( s ) B D F ( s )
系统的描述
1. 输入－输出描述 •主要研究单输入－单输出系统； •着眼于系统的外部特性； •基本模型为系统函数。 2. 状态变量分析法 •产生于20世纪50至60年代； •卡尔曼(R. E. Kalman)引入； •利用状态变量描述系统的内部特性； •多运用于多输入－多输出系统； •用n个状态变量的一阶微分（或差分）方 程组来描述系统 。