数值分析_期末总复习-习题课.

则称近似数xA准确到了n位小数,该数位向左到xA的
第一位非零数字的所有数位叫做该近似数的有效数
位, 有效数位上的数字叫做有效数字.
有效数字的等价定义 用十进制科学计数法（标准浮点数） ，记
x (0.a1 anan1 ) 10k (a1 0, k是整数)，
xA是 x的an1 四舍五入得到的近似数，如果
,
(
x( A) 2
0).
1. 下列各数
都是经过四舍
五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，
并给出其误差限与相对误差限。
解： 有 5 位有效数字，其误差限
，相对
误差限
有 2 位有效数字，
有 5 位有效数字，
例2 设有三个近似数 a 2.31，b 1.93，c 2.24，
它们都有三位有效数字。试计算 p=a+bc 的误差界， 并问 p 的计算结果能有几位有效数字？
xk
1)
(a,b) (2.14)
用通过两点P0, P1的直线 L1(x) 来代替 f (x), 即
f (x) L1(x) x [xk , xk1] y
f (x)
P1
P0
L1( x)
0 xk
xk+1 x
② 抛物线插值： 余项为 R2(x) f (x) L2(x)
f
(
3!
)
(
x
xk
1)
(
x
xk
n
Ln( x） f (xk) l k( x) k0
Rn(x)
f (x) Ln(x)
f (n1) ( ) (n 1)!
n1(
x),
其中lk(x)
n
j0
x xj xk xj
(k 0,1,...n)
jk
显然，如此构造的L(x) 是不超过n次多项式。当n=1时，称为线性插值。当n=2时，
称为抛物线插值。
假定f (xA )与f (xA )的比值不太大,可忽略
(xA )的高阶项,可得计算函数的误差限 ( f (xA )) f '(xA ) (xA )
对多元函数
(uA)
n
|
k 1
f xk
|
x x( A)
k
3.四则运算中误差的传播
设x1, x2为准确值, x1( A) , x2( A)为近似值，则它们进行 加减乘除运算得到的误差限分别为：
解 pA 2.311.93 2.24 6.6332, 于是有误差界
（pA）
（a
A）
（bAc
）
A
（aA） bA （cA） cA （bA）
0.005 0.00（ 5 1.93 2.24） 0.02585
相对误差界
（R pA）
（pA）
pA
0.02586 6.6332
0.39%。
因为（pA） 0.02585 0.5101,
设 x 0.a1a2 ai 10k
如果
R
A
xA
1 （2 a1
1）101n，（1.2.4）
则 xA有 n位有效数字.
相对误差限越小， 有效数字的位数就越多
相对误差限估计 有效数字的位数
误差的传播
1. 对函数的计算
对一元函数 f (x), 自变量 x 的一个近似值为xA，以 f (xA) 近似 f (x),其误差界记作 (f (xA) )
2 0 2
矩阵A的特征值为 1 0, 2 1, 3 3
所以谱半径 A max0,1,3 3
简述题
1. 叙述在数值运算中，误差分析的方法与原则 是什么？
解：数值运算中常用的误差分析的方法有：概 率分析法、向后误差分析法、区间分析法等。
误差分析的原则有：1）要避免除数绝对值远 远小于被除数绝对值的除法；2）要避免两近数 相减；3）要防止大数吃掉小数：4）注意简化 计算步骤，减少运算次数。
第二章-1、插值法 1.了解插值的概念。 2.掌握拉格朗日(Lagrange)插值法及其余项公式。 3.了解均差的概念及基本性质，掌握牛顿插值法。 4.了解差分的概念，会牛顿前插公式、后插公式。 5.会埃尔米特(Hermite)插值及其余项公式。 6.知道高次插值的病态性质,会分段线性插值和分段埃
)
(
x
xk
1)
(a,b) (2.15)
用通过三点P0 , P1, P2抛物线近似代替f (x), 即 f (x) L2 (x) x [xk1, xk1]
( x1( A)
x( A) 2
)
( x1( A) )
(
x( A) 2
),
(
x1(
A)
x( A) 2
)
|
x( A) 1
|
(x2( A) )
|
x( A) 2
|
( x1( A) ),
( x1( A)
/
x( A) 2
)
|
x( A) 1
|
(
x( A) 2
)
|
x( A) 2
|
x( A) 2
|2
|
(
x1(
A)
)
所以, pA=6.6332 能有两位有效数字。
3.下列公式如何才比较准确？
（1）
（2） 解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相 减，故应变换所给公式。 （1）
（2）
4.计算下列矩阵的范数：
5.求矩阵
1 0 1
A
0
1
0
2 0 2
的谱半径.
解
1 0 1
I A 0 1 0 1 3
x xA
1 10kn。 2
则称 xA为x的具有n位有效数字的近似值。
3. 有效数字与相对误差之间的关系
定理1
设 x 0.a1a2 ai 10k
x的近似值xA有n位有效数字，则
R
A
xA
1 101n ; 2a1
（1.2.2）
用有效数字的位数 估计相对误差限
有效数字的位数越多， 相对误差限就越小
定理2
尔米特插值及其误差和收敛性。 7.会三次样条插值,知道其误差和收敛性。
Lagrange插值多项式
设 y f ( x)函数表( xi , f ( xi))(i 0,1, ..., n) ( xi xj , 当i j),
则满足插值条件Ln( xi ) f ( xi )，(i 0,1...n)的插值多项式为
若引入记号n1(x) (x x0 )(x x1)(x xn )
从而Ln (x)可改写成：Ln (x)
n k 0
yk
源自文库
n 1 ( x) (x xk )n1(xk )
特别地，n = 1, 2 时的插值余项 ：
① 线性插值：
余项为 R1(x) f (x) L1(x)
f
(
2!
)
(
x
xk
)
(
x
第1-3章 习题课
(绪论、插值、逼近、数值积分)
一、基本内容及基本要求 第一章、绪论
1. 了解数值分析的研究对象与特点。 2. 了解误差来源与分类,会求有效数字;
会简单误差估计。
3. 了解误差的定性分析及避免误差危害。
有效数字定义1
如果近似数xA的误差限是某一位的半个单位,
即
| x xA | 0.510n ,