4.07 连续时间LTI系统的稳定性
系统的时域分析 线性时不变系统的描述及特点 连续时间LTI系统的响应
y x (t ) K1e 2t K 2 e 3t
y(0)=yx(0)=K1+K2=1 y' (0)= y'x(0)= 2K13K2 =3
解得 K1= 6，K2= 5
y x (t ) 6e 2t 5e 3t , t 0
18
[例] 已知某线性时不变系统的动态方程式为: y" (t)+4y ' (t) +4y (t) = 2f ' (t )+3f(t), t>0 系统的初始状态为y(0) = 2，y'(0) = 1， 求系统的零输入响应yx(t)。 解: 系统的特征方程为 系统的特征根为
2t
Be
4t
1 y (0) A B 1 3 解得 A=5/2，B= 11/6 1 y ' (0) 2 A 4 B 2 3
5 2t 11 4t 1 t y(t ) e e e , t 0 2 6 3
12
1 t e 3
系统的几个概念：
9
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y" (t ) 6 y' (t ) 8 y(t ) f (t ), t 0
初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号f (t)=et u(t)， 求系统的完全响应y(t)。
解:
(1) 求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t) = 0的齐次解yh(t)
11
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y" (t ) 6 y' (t ) 8 y(t ) f (t ), t 0
信号与系统连续时间LTI系统的稳定性
Bode图分析法，通过绘 制系统开环幅频特性和 相频特性曲线，观察幅 值裕度和相位裕度来判
断系统稳定性。
观察系统闭环频率响应 的极点分布，若所有极 点都位于复平面的左半
平面，则系统稳定。
复数域分析法
通过求解系统特征方程，得到系统特征根，若所有特征根都具有负实部， 则系统稳定。
利用Routh-Hurwitz稳定性判据，构造Routh表或Hurwitz行列式，判断 系统特征方程根的性质，从而判断系统稳定性。
时变系统稳定性
时变系统的稳定性分析比时不变系统更为复杂。 未来研究可以关注时变连续时间LTI系统的稳定性 问题，发展适用于时变系统的稳定性理论和方法 。
跨学科应用
连续时间LTI系统的稳定性理论在通信、控制、信 号处理等领域具有广泛应用。未来可以探索将稳 定性理论应用于其他相关领域，如生物医学、经 济学等，以推动跨学科的发展。
仿真验证
利用控制系统仿真软件，对控制系统进行仿真验证，观察系统在不同条件下的响应及稳定性表现。同时， 通过调整控制器参数，优化系统性能。
07 总结与展望
研究成果总结
稳定性分析方法
通过对连续时间LTI系统的稳定性进行深入研究，总结了多种有效的分析方法，包括频域 法、时域法和复平面法等。这些方法为系统稳定性的判断提供了有力工具。
劳斯-赫尔维茨判据适用于系统特征方程系数均 为实数的情况，对于复数系数，则需要通过一 些变换转化为实数形式。
奈奎斯特稳定判据
奈奎斯特稳定判据是基于系统频率响应的稳定性判据，通过绘制系统开环频率响应的奈 奎斯特图，观察其包围临界点（-1,j0）的情况来判断系统稳定性。
若奈奎斯特图不包围临界点（-1,j0），则系统稳定；若包围一次，则系统有一个不稳 定根；若包围多次，则系统有多个不稳定根。
LTI系统的稳定性及冲激响应分析
南京林业大学课程设计说明书学院(系）：机械电子工程学院专业：测控技术与仪器学生姓名：焦冬学号：080307109课程设计题目：LTI系统的稳定性及冲激响应分析指导老师：郭迎庆完成日期：2012 年1 月1号一、本次课程设计应达到的目的：熟练应用Matlab语言中的Simulink工具箱对LTI系统的建模、仿真和分析。
二、课程设计课题任务的内容和要求（包括原始数据、技术参数、设计要求等）LTI系统的模拟框图（如图）（1）根据系统的模拟框图写出该系统输入输出的微分方程设输入为U(S),输出为Y（s）,则系统输入输出的微分方程为：{U（s）+K*Y(s)} * s / (s^2+4s+4) = Y（s）→Y(s) = {s*U(s) / (s^2+4s+4) } / {1- K*s/(s^2+4s+4)}（2）求解系统的传递函数H（s）系统的传递函数H（s）= s/{(s+2)^2-Ks}（3）确定使系统稳定的K的取值，并用matlab语言绘制K=-1时该系统的零极点图对于线性系统来说，如果一个连续系统的所有极点都位于左s半平面，则该系统是稳定的。
对于连续系统来说，如果一个系统的全部极点都位于单位圆内，则系统可以被认为是稳定的。
由此可见，线性系统的稳定性取决于系统的极点在根平面的位置。
当特征方程的根均为负实根或实部为负的共轭复根时系统稳定。
因此，当传递函数H（s）的所有极点都位于平面的做伴平面时，系统处于稳定状态，所以，K 的取值范围是： 0 ≤ K < 4当K= - 1 时， H(s)=s / (s+1)(s+4)num=[1 0];den=conv([1 1],[1 4]);H=tf(num,den)Transfer function:s-------------s^2 + 5 s + 4[z,p,k]=zpkdata(H,'v')z =p =-4-1k =1pzmap(H)-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.50-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81Pole-Zero MapReal Axis I m a g i n a r y A x i s（4）应用matlab中的simulink工具箱建立该系统模型（5）当K= - 1时，在simulink环节中求解系统的激励分别为2δ（t）-δ(t-2)、3δ（t-1）-δ(t-1)时系统的响应，并将两个激励下的响应曲线绘制在同一幅图上。
信号与系统实验报告实验三连续时间LTI系统的频域分析报告
. .实验三 连续时间LTI 系统的频域分析一、实验目的1、掌握系统频率响应特性的概念及其物理意义；2、掌握系统频率响应特性的计算方法和特性曲线的绘制方法，理解具有不同频率响应特性的滤波器对信号的滤波作用；3、学习和掌握幅度特性、相位特性以及群延时的物理意义；4、掌握用MATLAB 语言进行系统频响特性分析的方法。
基本要求：掌握LTI 连续和离散时间系统的频域数学模型和频域数学模型的MATLAB 描述方法，深刻理解LTI 系统的频率响应特性的物理意义，理解滤波和滤波器的概念，掌握利用MATLAB 计算和绘制LTI 系统频率响应特性曲线中的编程。
二、实验原理及方法1 连续时间LTI 系统的频率响应所谓频率特性，也称为频率响应特性，简称频率响应（Frequency response ），是指系统在正弦信号激励下的稳态响应随频率变化的情况，包括响应的幅度随频率的变化情况和响应的相位随频率的变化情况两个方面。
上图中x(t)、y(t)分别为系统的时域激励信号和响应信号，h(t)是系统的单位冲激响应，它们三者之间的关系为：)(*)()(t h t x t y =，由傅里叶变换的时域卷积定理可得到：)()()(ωωωj H j X j Y =3.1或者： )()()(ωωωj X j Y j H =3.2)(ωj H 为系统的频域数学模型，它实际上就是系统的单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。
即⎰∞∞--=dt e t h j H tj ωω)()( 3.3 由于H(j )实际上是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换，如果h(t)是收敛的，或者说是绝对可积（Absolutly integrabel ）的话，那么H(j )一定存在，而且H(j )通常是复数，连续时间LTI 系统的时域及频域分析图系统LTI )(t h )(ωj H )(t y )(ωj X )(ωj Y )(t x坐标形式：)()()(ωϕωωj ej H j H = 3.4上式中，)j (ωH 称为幅度频率相应（Magnitude response ），反映信号经过系统之后，信号各频率分量的幅度发生变化的情况，)(ωϕ称为相位特性（Phase response ），反映信号经过系统后，信号各频率分量在相位上发生变换的情况。
实验三连续时间LTI系统的时域分析实验报告
实验三连续时间LTI系统的时域分析实验报告一、实验目的通过实验三的设计和实现，达到如下目的：1、了解连续时间LTI（线性时不变）系统的性质和概念；2、在时域内对连续时间LTI系统进行分析和研究；3、通过实验的设计和实现，了解连续时间LTI系统的传递函数、共轭-对称性质、单位冲激响应等重要性质。
二、实验原理在常见的线性连续时间系统中，我们知道采用差分方程的形式可以很好地表示出该系统的性质和特点。
但是，在本实验中，我们可以采用微分方程的形式来进行相关的研究。
设系统的输入为 x(t)，输出为 y(t)，系统的微分方程为：其中，a0、a1、…、an、b0、b1、…、bm为系统的系数，diff^n(x(t))和diff^m(y(t))分别是输入信号和输出信号对时间t的n阶和m阶导数，也可以记为x^(n)(t)和y^(m)(t)。
系统的单位冲激响应函数 h(t)=dy/dx| x(t)=δ(t),则有：其中，h^(i)(t)表示h(t)的第i阶导数定义系统的传递函数为：H(s)=Y(s)/X(s)在时域内，系统的输出y(t)可以表示为：其中，Laplace^-1[·]函数表示Laplace逆变换，即进行s域到t域的转化。
三、实验步骤1、在Simulink中，构建连续时间LTI系统模型，其中系统的微分方程为：y(t)=0.1*x(t)-y(t)+10*dx/dt2、对系统进行单位冲激响应测试，绘制出系统的单位冲激响应函数h(t)；4、在S函数中实现系统单位冲激响应函数h(t)的微分方程，并使用ODE45框图绘制出系统单位冲激响应函数h(t)在t=0~10s之间的图像；6、利用数据记录栏，记录系统在不同的参数下的变化曲线、阶跃响应函数u(t)和单位冲激响应函数h(t)的变化规律。
四、实验数据分析1、单位冲激响应测试那么，当输入信号为单位冲激函数δ(t)时，根据系统的微分方程，可以得知输出信号的形式为：即单位冲激响应函数h(t)为一个包含了单位冲激函数δ(t)在内的导数项序列。
信号与系统复习题(含答案)
.试题一一． 选择题（共10题，20分） 1、n j n j een x )34()32(][ππ+=，该序列是 。
A.非周期序列B.周期3=NC.周期8/3=ND. 周期24=N2、一连续时间系统y(t)= x(sint)，该系统是 。
A.因果时不变B.因果时变C.非因果时不变D.非因果时变 3、一连续时间LTI 系统的单位冲激响应)2()(4-=-t u e t h t ，该系统是 。
A.因果稳定B.因果不稳定C.非因果稳定D. 非因果不稳定4、若周期信号x[n]是实信号和奇信号，则其傅立叶级数系数a k 是 。
A.实且偶B.实且为奇C.纯虚且偶D. 纯虚且奇 5、一信号x(t)的傅立叶变换⎩⎨⎧><=2||02||1)(ωωω，，j X ，则x(t)为 。
A. t t 22sinB. tt π2sin C. t t 44sin D.t t π4sin6、一周期信号∑∞-∞=-=n n t t x )5()(δ，其傅立叶变换)(ωj X 为 。
A. ∑∞-∞=-k k )52(52πωδπ B. ∑∞-∞=-k k )52(25πωδπC. ∑∞-∞=-k k )10(10πωδπD. ∑∞-∞=-k k)10(101πωδπ7、一实信号x[n]的傅立叶变换为)(ωj e X ，则x[n]奇部的傅立叶变换为 。
A.)}(Re{ωj e X j B. )}(Re{ωj e XC. )}(Im{ωj e X j D. )}(Im{ωj e X8、一信号x(t)的最高频率为500Hz ，则利用冲激串采样得到的采样信号x(nT)能唯一表示出原信号的最大采样周期为 。
A. 500B. 1000C. 0.05D. 0.001 9、一信号x(t)的有理拉普拉斯共有两个极点s=－3和s=－5，若)()(4t x e t g t =，其傅立叶变换)(ωj G 收敛，则x(t)是 。
A. 左边B. 右边C. 双边D. 不确定10、一系统函数1}Re{1)(->+=s s e s H s，，该系统是 。
§4.07 连续时间LTI系统的稳定性
不满足，则响应无界。
信号与系统
一．系统稳定性的定义
由系统函数的极点分布可以判断连续时间、因果LTI系统系统稳定性
（1）当 H(s) 的所有极点全部位于平面的左半平面，不包含虚轴，
则系统是稳定的。
（2）当H(s)在平面虚轴上有一阶极点，其余所有极点全部位于
平面的左半平面，则系统是临界稳定的。
（3）当H(s)含有右半平面的极点或虚轴上有二阶或二阶以上
1
u1
K
u3 1
1F
u2
（2）为使电路系统稳定，求 K 值范围
（3）欲使电路临界稳定，求 K 值以及此时电路的冲激响应h ( t )
信号与系统
二．系统稳定性的判断
1F
解：（1）对节点U3列写节点方程
1
u1
K
u3 1
u2
U1(s) U3(s) U3(s) U3(s) U2(s)
1F
所以系统的冲激响应为
H (s)
3 s2 1
h(t) L1 H (s) 3sin(t)u(t)
h(t)dt
信号与系统
一．系统稳定性的定义
充分性：设激励 x(t) 有界，即 x(t) M ，容易验证响应也有界，即
y(t) x(t )h( ) d x(t ) h( ) d
M h(t)dt
必要性：构造一有界激励，可以验证，若冲激响应绝对可积的条件
的极点时，系统是不稳定的。
信号与系统
二．系统稳定性的判断
三阶以下系统稳定的判定 假设系统函数分母多项式的最高项系数为1
D(s) sn an1sn1 L a1s a0
(完整word版)连续时间LTI系统的复频域分析 (2)(word文档良心出品)
实验报告连续时间LTI系统的复频域分析专业：电子信息科学与技术班级：电子10-1班学号：学生：指导教师：完成时间：2012年6月20日实验六：连续时间LTI 系统的复频域分析一、实验目的1、掌握拉普拉斯变换的物理意义、基本性质及应用。
2、掌握用拉普拉斯变换求解连续时间LTI 系统的时域响应。
3、掌握系统函数的概念，掌握系统函数的零、极点分布（零、极点图）与系统的稳定性、时域特性等之间的相互关系。
4、掌握用MATLAB 对系统进行变换域分析的常用函数及编程方法。
二．验内容及步骤1. 将绘制零极点图的扩展splane 为文函数文件splane 以件名存盘。
解：程序如下：function splane(num,den) p = roots(den); q =roots(num);p = p'; q = q';x = max(abs([p q])); % Determine the range of real-axis x = x+1;y = x;plot([-x x],[0 0],':');hold on; % Draw the real-axis plot([0 0],[-y y],':');hold on; % Draw the imaginary-axis plot(real(p),imag(p),'x');hold on; % Draw the poles plot(real(q),imag(q),'o');hold on; % Draw the zeros title('zero-pole plot');xlabel('Real Part');ylabel('Imaginal Part')axis([-x x -y y]); % Determinethe display-range2. 运行程序Relation_ft_lt ，观察拉普拉斯变换与傅里叶变换之间的关系。
实验7 连续时间LTI系统的频
带通滤波器的相频特性
2
1
0
-1
-2
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15Hale Waihona Puke 20(rad/s)
()|
二、连续时间LTI系统的频域分析
实验原理：
连续LTI系统的频域分析方法，也成为傅里叶变换 分析方法，该方法是基于信号频谱分析的概念，讨 论信号作用于线性系统时在频域中求解响应的方法。 傅里叶分析法的关键是求取系统的频率响应。傅里 叶分析法主要用来分析系统的频率响应特性，或分 析输出信号的频谱，也可用来求解正弦信号作用下 的正弦稳态响应。
H (w)
Y (w) X (w)
(
jw)3
13( jw) 7 10( jw)2 8(
jw)
5
y(t) 10y(t) 8y(t) 5y(t) 13x(t) 7x(t)
clf w = -3*pi:0.01:3*pi ; b = [13 7] ; a = [1 10 8 5] ; H = freqs(b,a,w) ; subplot(2,1,1) plot(w,abs(H)) ; grid on ; xlabel('\omega(rad/s)'); ylabel('|H(\omega)|') ; title('H(w)的幅频特性');
H (w) Y (w)
RC
X (w) ( jw)2 jw 1
RC LC
clf
w = -6*pi:0.01:6*pi ;
b = [1 0] ;
a = [1 1 100] ;
H = freqs(b,a,w) ;
带通滤波器的幅频特性 1
实验三连续时间LTI系统的时域分析报告
实验三 连续时间LTI 系统的时域分析一、实验目的1．学会用MATLAB 求解连续系统的零状态响应； 2. 学会用MATLAB 求解冲激响应及阶跃响应； 3．学会用MATLAB 实现连续信号卷积的方法；二、实验原理1．连续时间系统零状态响应的数值计算我们知道，LTI 连续系统可用如下所示的线性常系数微分方程来描述，()()0()()NMi j i j i j a yt b f t ===∑∑在MATLAB 中，控制系统工具箱提供了一个用于求解零初始条件微分方程数值解的函数lsim 。
其调用格式y=lsim(sys,f,t)式中，t 表示计算系统响应的抽样点向量，f 是系统输入信号向量，sys 是LTI 系统模型，用来表示微分方程，差分方程或状态方程。
其调用格式sys=tf(b,a)式中，b 和a 分别是微分方程的右端和左端系数向量。
例如，对于以下方程:''''''''''''32103210()()()()()()()()a y t a y t a y t a y t b f t b f t b f t b f t +++=+++可用32103210[,,,];[,,,];a a a a a b b b b b == (,)sys tf b a = 获得其LTI 模型。
注意，如果微分方程的左端或右端表达式中有缺项，则其向量a 或b 中的对应元素应为零，不能省略不写，否则出错。
例3-1 已知某LTI 系统的微分方程为 y’’(t)+ 2y’(t)+100y(t)=f(t)其中，'(0)(0)0,()10sin(2)y y f t t π===，求系统的输出y(t). 解：显然，这是一个求系统零状态响应的问题。
其MATLAB 计算程序如下： ts=0;te=5;dt=0.01; sys=tf([1],[1,2,100]); t=ts:dt:te; f=10*sin(2*pi*t); y=lsim(sys,f,t); plot(t,y);xlabel('Time(sec)'); ylabel('y(t)');2．连续时间系统冲激响应和阶跃响应的求解在MATLAB 中，对于连续LTI 系统的冲激响应和阶跃响应，可分别用控制系统工具箱提供的函数impluse 和step 来求解。
因果LTI 连续时间系统的稳定性判定_信号与系统分析_[共2页]
![因果LTI 连续时间系统的稳定性判定_信号与系统分析_[共2页]](https://img.taocdn.com/s3/m/30f65ecba300a6c30d229f70.png)
第4章 连续时间信号与LTI 连续时间系统的复频域分析
139 2321()3212s H s s s s s +=
=−++++ 用积分器表示系统函数
()H s =1121s s −−++1
121()()12s H s H s s −−−=++ 分别作子系统()1111122()11s s H s s s −−−−==+−−、()
11
211()1212s s H s s s −−−−−−==+−−的直接实现形式模拟图，分别如图4.4.6（a ）
、4.4.6（b ）所示，并联图4.4.6（a ）、4.4.6（b ）所示模拟图，得到图4.4.6（c ）所示的该系统的并联形式模拟图。
图4.4.6 [例4.4.3]图
4.5 LTI 连续时间系统的零极图、稳定性及因果性
4.5.1 LTI 连续时间系统的零极图分析
设LTI 连续时间系统系统函数式（4.3.3）为 11101110()()()
M M M M N N N b s b s b s b N s H s s a s a s a D s −−−−++++==++++ （4.5.1） 定义系统函数()H s 的零点i ξ为lim ()0i s H s ξ=→，即()H s 分子多项式()0N s =的根；系统函数
()H s 的极点k p 为lim ()k
s p H s →→∞，即()H s 分母多项式()0D s =的根。
求出系统函数()H s 的零点i ξ、极点k p (12,12)i M k N == 、
、、、、、，分别用符号“○”及“×”表示，绘于复平面上，若遇重根在其旁边标明重数，就得到了LTI 连续时间系统的。
信号与系统
《信号与系统》第一章知识点梳理1. 两种基本类型的信号：连续时间信号(t)、离散时间信号[n]。
2. 信号能量与功率：（1）连续时间信号：能量：E=⎰2t 1t 2t x ）（dt ，功率：P=12Et t -（2）离散时间信号：能量：E=[]22n 1n n n ∑=x ，功率：P=112E+-n n（3）三种重要的信号：①具有有限的总能量，平均功率为零；②具有平均功率有限，总能量无限大； ③具有无限大的平均功率和总能量。
3. 自变量的变换：（1）时移；（2）时间反转；（3）尺度变换。
4. 周期信号：（1）连续时间信号：x(t)=x(t+T) 其中最小正值T 称为x （t ）的基波周期To 。
x(t)=C,基波周期无意义，对于任意的T 来说x(t)都是周期。
一个信号x(t)不是周期的就是非周期的。
（2）离散时间信号：x[n]=x[n+N] 其中最小正值N 就是他的基波周期No 。
5.偶信号与奇信号：偶信号：x （-t ）=x(t);x[-n]=x[n] 奇信号：x(-t)=-x(t);x[-n]=-x[n] 任何信号都可以分解为两个信号之和εu{})]()([21)(t x t x t x -+=(偶部)和Od{x(t)}=)]()([21t x t x --（奇部）5. 连续时间复指数信号x(t)=C ate （其中C 和a 一般为复数）。
其中实指数信号C 和a 都为实数。
周期复指数信号a 是纯虚数x(t)=tjw 0etjw 0e=)(0eT t jw +。
基波周期00w 2π=T 。
正弦信号：x(t)=Acos(φ+t w 0)。
t jw j t jw j e e A e e A t w A 0022)cos(0--+=+φφφ 欧拉关系：tjw 0e=t w j t w 00sin cos + Acos(φ+t w 0)=ARe{)(0φ+t w j e};Asin(φ+t w 0)=AIm{)(0φ+t w j e};周期复指数信号具有有限平均功率P=1，总能量无限大。
罗斯阵列
X
第 10 页
例： 已知三个线性连续系统的系统函数分别为
s +2 H1(s) = 4 3 2 s + 2s + 3s +5 2s +1 H2(s) = 5 s + 3s4 − 2s3 −3s2 + 2s +1 s +1 H3(s) = 3 s + 2s2 + 3s + 2
判断三个系统是否为稳定系统。 判断三个系统是否为稳定系统。
X
A (s) = s + 2s + 3s + 2 3
3 2
1 2
3 2
罗斯阵列为
c2 c0 d2 d0
X
第 12 页
−1 c2 = =2 2 2 2 −1 d2 = =2 2 2 0 2 2
13
10 −1 c0 = =0 2 2 0 −1 d0 = =0 2 0 0 2 0
因为A 系数的罗斯阵列第一列元素全大于零 系数的罗斯阵列第一列元素全大于零， 因为 3(s)系数的罗斯阵列第一列元素全大于零，所 对应的系统为稳定系统。 以根据 准则， 以根据R-H准则，H3(s)对应的系统为稳定系统。 准则 对应的系统为稳定系统
≤ Mf ∫ h(τ ) dτ
−∞ ∞
若 h(t) dt ≤ M, ∫
−∞
∞
∞
则 yf (t) ≤ Mf M 即 f (t)有 ， y 界
, −1 h(t) < 0 , 则 f (−t) = 取 1 , h(t) ≥ 0
界 必要性： 必要性：若∫−∞ h(t) dt无 , 有 (−t)h(t) = h(t) f
单 入 单 出 统 而 输 － 输 系 ， 态 间 述 是 于 状 空 描 则 基 多 入 多 出 统 描 输 － 输 系 的 述
实验五 连续时间LTI系统的复频域分析
实验五 连续时间LTI 系统的复频域分析一、实验目的1、掌握拉普拉斯变换的物理意义、基本性质及应用；2、掌握用拉普拉斯变换求解连续时间LTI 系统的时域响应；3、掌握用MA TLAB 对系统进行变换域分析的常用函数及编程方法。
基本要求：掌握拉普拉斯变换及其基本性质，掌握应用拉普拉斯变换求解系统的微分方程，能够自己编写程序完成对系统时域响应的求解。
二、实验原理及方法1、连续时间LTI 系统的复频域描述拉普拉斯变换（The Laplace transform ）主要用于系统分析。
描述系统的另一种数学模型就是建立在拉普拉斯变换基础上的“系统函数（System Function ）”——H(s)：[][])()()()()(t x L s X t y L s Y s H 换系统激励信号的拉氏变换系统冲击响应的拉氏变→→=5.1系统函数)(s H 的实质就是系统单位冲激响应（Impulse Response ）)(t h 的拉普拉斯变换。
因此，系统函数也可以定义为：⎰∞∞--=dt e t h s H st)()( 5.2 所以，系统函数)(s H 的一些特点是和系统的时域响应)(t h 的特点相对应的。
在教材中，我们求系统函数的方法，除了按照拉氏变换的定义式的方法之外，更常用的是根据描述系统的线性常系数微分方程（Linear Constant-Coefficient Defrential Equation ），经过拉氏变换之后得到系统函数)(s H 。
假设描述一个连续时间LTI 系统的线性常系数微分方程为：∑∑===M k kk k Nk k k k dt t x d b dt t y d a 00)()( 5.3 对式4.3两边做拉普拉斯变换，则有∑∑===Mk kkN k k ks X sb s Y s a 0)()(即 ∑∑====Nk kkMk kks asb s X s Y s H 00)()()( 5.4式5.4告诉我们，对于一个能够用线性常系数微分方程描述的连续时间LTI 系统，它的系统函数是一个关于复变量s 的有理多项式的分式，其分子和分母的多项式系数与系统微分方程左右两端的系数是对应的。
连续LTI时间系统的频域分析及S域分析
实验报告 连续LTI 时间系统的频域分析及S 域分析一、实验目的1. 了解傅里叶变换、傅里叶逆变换的实现方式，以及傅立叶变换的时移特性、傅立叶变换的频移特性的实现方式；2. 了解拉普拉斯变换的相关分析及实现方式，了解连续系统零极点图的绘制方式及利用零极点图判断系统的稳定性。
二、实验内容1. 了解如何采用函数fourier()对时域信号进行傅里叶变换，以及如何采用函数ifourier()对频域信号进行傅里叶反变换；2. 了解傅里叶变换的数值计算方法，以及信号频谱图；3. 了解傅里叶变换的时移特性、频移特性的实现方法；4. 了解连续信号拉普拉斯变换及拉普拉斯逆变换的实现形式；5. 了解连续LTI 系统的系统函数零极点图的画法，并从零极点图判断系统的稳定性。
三、实验验证1.求下式的傅立叶变换，t2e )t (f -=。
程序如下： syms tfourier(exp(-2*abs(t))) 输出结果如下： ans =4/(4+w^2) 或者如下： syms t vfourier(exp(-2*abs(t)),t,v) 输出结果如下：ans =4/(4+v^2)2.试求下列信号的拉普拉斯变换，采用符号分析方法。
（1）0),0()(1>-=t t t t f δ（2）)sin()(2bt et f at-=程序如下：syms t s a bsyms t0 positive %限定为正 f1=sym('Dirac(t-t0)') f2=exp(-a*t)*sin(b*t) fs1=laplace(f1,t,s) fs2=laplace(f2,t,s) 结果如下： fs1 =exp(-t0*s)四、实验题目1.试求下列信号的傅里叶变换的数学表达式。
2.试画出信号)()(3t et f tε-=的频谱图，并画出信号)4(-t f 以及信号tj et f 4)(-的频谱图。
程序清单及频谱图如下图所示r=0.02;t=-5:r:5;w=-2*pi:4*pi/500:2*pi; ft1=exp(-3*t).*heaviside(t); Fw1=r*ft1.*exp(-i*t.*w); subplot(3,3,1) plot(t,ft1) gridaxis([-1,3,0,1]) title('f(t)') xlabel('t') ylabel('f(t)') subplot(3,3,4) plot(w,abs(Fw1)) gridaxis([-1,3,0,0.02]) xlabel('w') ylabel('F(jw)') subplot(3,3,7)plot(w,angle(Fw1)*180/pi) gridaxis([-1,7,-200,200]) xlabel('w') ylabel('度')（3） )()(t e t f tε-=syms tfourier(exp(-t)* heaviside(t)) ans =1/(1+i*w)（4） )()(t t f δ''=syms tfourier(diff(dirac(t),t,2)) ans =-w^2（1） )1()1()(--+=t t t f εεsyms tfourier(heaviside(t+1)-heaviside(t-1)) ans =2/w*sin(w) （2） )()(3t et f tε-=syms tfourier(exp(-3*t)* heaviside(t)) ans =1/(3+i*w)ft2=exp(-3*(t-4)).*heaviside(t-4);Fw2=r*ft2.*exp(-j*t.*w);subplot(3,3,2)plot(t,ft2)gridaxis([3,6,0,1])xlabel('t')title('f(t-4)')subplot(3,3,5)plot(w,abs(Fw2))gridaxis([4,7,0,0.02])xlabel('w')subplot(3,3,8)plot(w,angle(Fw2)*180/pi)gridaxis([4,7,-200,200])xlabel('w')ft3=exp(-3*t).*heaviside(t).*exp(-j*4*t); Fw3=r*ft3.*exp(-j*t.*w);subplot(3,3,3)plot(t,ft3)gridaxis([-1,2,-0.2,1])xlabel('t')title('f(t)*exp(-j*4*t)')subplot(3,3,6)plot(w,abs(Fw3))gridaxis([-1,3,0,0.02])xlabel('w')subplot(3,3,9)plot(w,angle(Fw3)*180/pi)gridaxis([-1,7,-200,200])xlabel('w')3.已知某连续LTI 系统的系统函数为：532823)(2342++++++=s s s s s s s H ，试用Matlab 求出系统的零极点，并绘出零极点分布图，同时判断系统的稳定性。
§4.7 连续时间LTI系统的稳定性
U2 (s) K = 2 U1(s) s + (3− K)s +1
二．系统稳定性的判断
H(s) = U2 (s) K = 2 U1(s) s + (3− K)s +1
（2） ）
显然， 显然，系统稳定条件为 （3）临界稳定时， = 3 这时 ）临界稳定时， K ， 所以系统的冲激响应为
−1
K <3
H(s) = 3 s2 +1
K >0
即
并且
6×5 > K
0 < K < 30
二．系统稳定性的判断
求电路系统的： 例： 求电路系统的：
1F u1
U (s) （1）系统函数 H(s) = 2 ） U1(s)
（2）为使电路系统稳定，求 K 值范围 ）为使电路系统稳定，
（3）欲使电路临界稳定，求 K 值以及此时电路的冲激响应h ( t ) ）欲使电路临界稳定，
K C(s) K s(s +1 s +5) )( H(s) = = = K R(s) 1+ s(s +1 s +5) + K )( )( s(s +1 s +5)
二．系统稳定性的判断
H(s) = C(s) K = 3 R(s) s +6s2 +5s + K
由系统函数可知， 由系统函数可知，系统属于 3 阶，所以系统稳定要满足的条件为
二．系统稳定性的判断
三阶以下系统稳定的判定 假设系统函数分母多项式的最高项系数为1 假设系统函数分母多项式的最高项系数为
D(s) = sn + an−1sn−1 +⋯+ a1s + a0
信号与系统连续时间LTI系统时域分析教材
信号与系统连续时间LTI系统时域分析教材尊敬的读者，在学习信号与系统时域分析，特别是连续时间线性时不变（LTI）系统方面，我理解教材的重要性。
在本文中，我将简要介绍信号与系统连续时间LTI系统的时域分析内容。
时域分析是研究信号在时间轴上的变化如何影响系统响应的一种方法。
在连续时间LTI系统中，我们主要关注信号的时间变化如何影响系统的输出。
时域分析的目标是通过观察系统的输入与输出信号之间的关系，从而推断系统功能。
首先，我们需要了解连续时间信号的概念。
信号可以是任何与时间相关的量，例如声音、电压等。
连续时间信号可以用一个连续的实变量表示，通常用时间t表示。
我们可以通过绘制信号的图形来直观地了解其特点和行为。
接下来，我们需要探讨系统的概念。
系统是对信号进行处理或变换的工具。
在连续时间LTI系统中，输入信号与输出信号之间存在线性关系，并且系统的性质不随时间变化而改变。
连续时间LTI系统的输入输出关系可以用微分方程或差分方程表示。
通过求解这些方程，我们可以获得系统的输出信号。
在时域分析中，我们主要关注系统的单位冲激响应。
单位冲激是一个在时间上非常短暂、幅度为1的信号。
通过将单位冲激信号输入到系统中，并观察系统的输出，我们可以得到系统的单位冲激响应。
单位冲激响应是系统的重要特性之一，它包含了系统对于各种输入信号的响应信息。
通过卷积运算，我们可以将输入信号与单位冲激响应进行卷积，从而得到系统的输出信号。
卷积运算表示了输入信号对于单位冲激的加权和，因此可以视为系统对不同时间的输入信号的加权响应。
时域分析还涉及到系统的稳定性和因果性。
稳定性指的是当输入信号有界时，系统的输出是否也有界。
因果性则指的是当输入信号在某一时刻发生变化时，系统的输出是否立即响应。
最后，时域分析还包括激励与响应之间的关系。
通过将系统的输入信号与单位冲激响应进行卷积，我们可以得到系统对于任何输入信号的响应。
这可以帮助我们了解系统对不同频率和幅度的输入信号的处理方式。
4.07 连续时间LTI系统的稳定性
§4.7 连续时间LTI 系统的稳定性
信号与系统
一．系统稳定性的定义
系统稳定定义为任何有界的输入将引起有界的输出，简称BIBO稳定
（Bounded Input Bounded Output）
连续时间LTI系统为因果系统的充要条件为
h(t ) 0, t 0
连续时间、因果LTI系统稳定的充要条件是冲激响应绝对可积，即
信号与系统
二．系统稳定性的判断
C (s) K H ( s) 3 R ( s ) s 6 s 2 5s K
由系统函数可知，系统属于 3 阶，所以系统稳定要满足的条件为
K 0
即
并且
65 K
0 K 30
信号与系统
二．系统稳定性的判断
1F u1
例： 求电路系统的：
U (s) （1）系统函数 H ( s ) 2 U1 ( s )
信号与系统
一．系统稳定性的定义
由系统函数的极点分布可以判断连续时间、因果LTI系统系统稳定性
（1）当 H(s) 的所有极点全部位于平面的左半平面，不包含虚轴，
则系统是稳定的。 （2）当H(s)在平面虚轴上有一阶极点，其余所有极点全部位于 平面的左半平面，则系统是临界稳定的。
（3）当H(s)含有右半平面的极点或虚轴上有二阶或二阶以上
D(s) s 2 as b 只要参数满足 a 0, b 0
即为稳定。 a
（2）二阶系统
0
或
b0
且
属于为临界稳定。 必须满足条件
（3）三阶系统
D(s) s3 as 2 bs c
a 0, b 0, c 0
ab c 系统才是稳定的
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例：设系统方框图如图所示，求
（1）系统函数H(s) （2）系统稳定，参数K满足的条件
R(s)
1 s
K ( s 1)( s 5)
C (s)
解： 由Mason公式可以很容易求得系统函数为
K C (s) K s ( s 1)( s 5) H ( s) K R( s) 1 s( s 1)( s 5) K s( s 1)( s 5)
（ 2）
显然，系统稳定条件为 （3）临界稳定时， K
K 3
3 s2 1
3，这时 H ( s )
所以系统的冲激响应为
h(t ) L1 H (s) 3sin(t )u(t )
D(s) s 2 as b 只要参数满足 a 0, b 0
即为稳定。 a
（2）二阶系统
0
或
b0
且
属于为临界稳定。 必须满足条件
（3）三阶系统
D(s) s3 as 2 bs c
a 0, b 0, c 0
ab c 系统才是稳定的
信号与系统
二．系统稳定性的判断
h(t ) dt
信号与系统
一．系统稳定性的定义
x(t ) M
充分性：设激励 x(t) 有界，即
，容易验证响应也有界，即
y (t )
x(t )h( ) d
x(t ) h( ) d
M
h(t )dt
必要性：构造一有界激励，可以验证，若冲激响应绝对可积的条件 不满足，则响应无界。
信号与系统
一．系统稳定性的定义
由系统函数的极点分布可以判断连续时间、因果LTI系统系统稳定性
（1）当 H(s) 的所有极点全部位于平面的左半平面，不包含虚轴，
则系统是稳定的。 （2）当H(s)在平面虚轴上有一阶极H(s)含有右半平面的极点或虚轴上有二阶或二阶以上
同时有
1 U 2 ( s) K s U 3 ( s) 1 1 s
由上述两方程容易求得
H ( s)
U 2 ( s) K 2 U 1 ( s ) s (3 K ) s 1
信号与系统
二．系统稳定性的判断
H ( s) U 2 ( s) K 2 U 1 ( s ) s (3 K ) s 1
信号与系统
二．系统稳定性的判断
C (s) K H ( s) 3 R ( s ) s 6 s 2 5s K
由系统函数可知，系统属于 3 阶，所以系统稳定要满足的条件为
K 0
即
并且
65 K
0 K 30
信号与系统
二．系统稳定性的判断
1F u1
例： 求电路系统的：
U (s) （1）系统函数 H ( s ) 2 U1 ( s )
（2）为使电路系统稳定，求 K 值范围
1
u3 1
K 1F
u2
（3）欲使电路临界稳定，求 K 值以及此时电路的冲激响应h ( t )
信号与系统
二．系统稳定性的判断
1F
解：（1）对节点U3列写节点方程
u1
1
u3 1
K 1F
u2
U1 ( s ) U 3 ( s ) U 3 ( s ) U 3 ( s ) U 2 ( s ) 1 1 1 1 s s
信号与系统
§4.7 连续时间LTI 系统的稳定性
信号与系统
一．系统稳定性的定义
系统稳定定义为任何有界的输入将引起有界的输出，简称BIBO稳定
（Bounded Input Bounded Output）
连续时间LTI系统为因果系统的充要条件为
h(t ) 0, t 0
连续时间、因果LTI系统稳定的充要条件是冲激响应绝对可积，即
的极点时，系统是不稳定的。
信号与系统
二．系统稳定性的判断
三阶以下系统稳定的判定
假设系统函数分母多项式的最高项系数为1
D( s) s n an1s n1
（1）一阶系统
a1s a0
D(s) s a0 ，显然只要参数满足 a0 0 即为稳定。a 0 为临界稳定。 0