初三奥数专题训练：图形中线段长度的求解问题(含提示、解析)

合集下载

最新九年级数学中考复习：几何探究题--线段问题含答案

12．已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90，点D是BC的中点，作正方形DEFG使点A、C分别在DG和DE上，连接AE，BG．
（1）猜想线段AE和BG的关系，请直接写出你的结论；
（2）将正方形DEFG绕点D顺时针方向旋转一定角度后（旋转角大于0°，小于或等于360°），如图2，判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．
问题探究：
（1）如图1，若、都是直角，把绕点A逆时针旋转90°至，使AB与AD重合，则 ______度，线段BE、DF和EF之间的数量关系为______；
问题再探：
（2）如图2，若、都不是直角，但满足，线段BE、DF和EF之间的数量关系是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（1）如图1，求∠BDC的度数（用含α的式子表示）．
（2）如图2，当α＝60°时，过点D作BD的垂线与直线l交于点E，求证：AE＝BD；
（3）如图3，当α＝90°时，记直线l与CD的交点为F，连接．将直线l绕点A旋转，当线段BF的长取得最大值时，直接写出tan∠FBC的值．．
17．（1）发现问题：如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点F为BC上一点，以BF为边作正方形BFED，点E在AB上，若AC＝BC＝2，BF＝，则＝；
②当点D到直线BC的距离等于2时，DG的长为；
③当以点A、C、D、B为顶点的四边形时矩形时，点P在线段DG上，且∠CPG与∠A互余，连接CP，则直线CP与AB所夹锐角的正切值为．
11．有公共顶点A的正方形ABCD与正方形AEGF按如图1所示放置，点E，F分别在边AB和AD上，DE，M是BF的中点
【观察猜想】
(2)如图2，点D在AC左侧且在点A上方，连接BE交CD于点M，F为BE上一点，连接DF，过点F作FG∥AC交BC延长线于点G，连接GM，EG，AD．若∠EDF+∠EBG＝∠DEB，GM＝BM．求证：AD＝EF．

中考数学复习考点知识专题讲解---求线段长度问题的一般方法

中考数学复习考点知识专题讲解求线段长度问题的一般方法求线段长度问题是初中几何中常见的题型之一，笔者就此类问题作了一些思考与归纳，供大家参考.一、将求线段长的问题转化到直角三角形中求解例1：如图1，在Rt ABC ，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，6AC =，8BC =，求CD 的长.解析：由勾股定理，得10AB =再由三角形的面积公式，得11681022ABCS CD =⨯⨯=⨯⨯ 于是得 4.8CD =.例2：如图2，在ABC 中，30A ∠=︒，1tan 3B =，BC =AB 的长.解析：作CD AB ⊥于点D ，这样就构造了两个Rt .在Rt BCD 中，1tan 3CD B DB ==，3DB CD ∴= 由勾股定理，得1CD =，3BD =.在Rt ACD 中，AD =3AB =.例3：如图3，在平面直角坐标系中，⊙A 与y 轴相切于原点O ，平行于x 轴的直线交⊙A 于两点M ，N .若点M 的坐标是(4,2)--，求点N 的坐标.解析：如图3，作AE MN ⊥于点E , 连AM ，AN ，则构造了两个直角三角形Rt AME ，Rt ANE . 不妨设AO AM R ==，易得2222(4)R R =+-2.5R ∴=，4 2.5 1.5EN Em ==-=， 2.5 1.51NF ∴=-=从而点N 的坐标为(1,2)--.例4：如图4，点E 、O 、C 在半径为5的⊙A 上，BE 是⊙A 上的一条弦，4cos 5OBE ∠=，30OEB ∠=︒，求BC 的长解析：连EC ，由条件，有四个直角三角形，分别是OEC ，OEF ，EBC ，FBC .∵90COE ∠=︒，∴EC 为⊙A 的直径，∴90CBE ∠=︒,又OCE OBE ∠=∠,∴4cos cos 5OCE OBE ∠=∠=,在Rt OEC中，易知8OE=,OC=，6在Rt OEF中，30OE=,∠=︒，6OEB得23∴=-=-,FC OC OFOF=.823又30OEB OCB∠=∠=︒,故在Rt FBC中，由边角关系，得433BC=-.说明：上述几例是将此线段置于某直角三角形之中，然后利用直角三角形的相关知识加以求解.值得注意的是，构造的直角三角形要与题目中的已知条件相互关联，才能使问题化繁为简，迅速求解.二、将求线段长的问题转化到相似三角形中求解例5：如图5，梯形ABCD中，//AB CD=，E、F分别AB CD，且2是的AB，BC的中点，EF与BD相交于点M.(1)求证: EDM FBM; (2)若BD=，求BM的长.9解析：(1)由题意，易得四边形BCDE是平行四边形.于是，有//BC DE，∴EDM FBM(2)由EDM FBM ，得BM FB DM DE = 1122BF BC DE ∴==，192BM BM ∴=-，3BM ∴=.例6：如图6，矩形ABCD 中，5AD =，7AB =，点E 为DC 上一个动点，把ADE 沿AE 折叠，当点D 的对应点'D 落在ABC ∠的平分线上时，求DE 的长.解析：过点'D 作'D M AB ⊥于点M ，并反向延长交DC 于N .由题意，得'45MBD ∠=︒，设'D M BM x ==，7AM x ∴=-在'Rt AD M 中，有22(7)25x x +-=,解得13x =，24x =.'52D N x ∴=-=，或1.易知''ED N D AM ，'254ED ∴=，或'153ED =. 5'2ED ED ∴==，或53. 例7：如图7，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，点D 在AB 上，DE BE ⊥于点E ，6AD =，AE =(1)判断直线AC 与DBE 的外接圆的位置关系，并说明理由;(2)求BC 的长.解析：(1)由90,DEB DB ∠=︒为DBE ∆外接圆的直径.设DBE ∆外接圆的圆心为O ，连OE ，易知12OE BD =. ,12OE OB =∴∠=∠.又13,23,//OE BC ∠=∠∴∠=∠∴.,BC AC OE AC ⊥∴⊥,故直线AC 与DBE ∆的外接圆相切.(2)易知453590,∠+∠=∠+∠=︒43∴∠=∠,又因13,41∠=∠∴∠=∠.,A A AEDABE ∠=∠∴∆∆, 2AE AD AB ∴=⋅. 由6,62AD AE ==，得12AB =,进而得6,03BD E ==.由//OE BC ，有AEO ACB ∆∆,39,,412EO AO BC BC AB BC ∴=∴=∴=. 说明：上述几例是将该线段作为某三角形的一边，然后想方设法找一个三角形使之与该线段所在的三角形相似，借用“相似三角形对应边成比例”得到简易方程，进而求解.三、利用条件，构造方程(组)求线段长例8：(1)如图8，周长为68的矩形ABCD 被分成7个全等的矩形，求矩形ABCD 的面积.解析：设矩形的宽与长分别为,x y则有25334y x x y =⎧⎨+=⎩，解之得410x y =⎧⎨=⎩.故7280ABCD S xy ==矩形.例9：如图9, ⊙O 是ABC ∆的内切圆，与三边,,AB BC CA 分别相切于点,,D E F ，若5,6,7AB BC AC ===，求,,AD BE CF 的长.解析：由切线长定理，可设,AD AF x BD BE y ====，CE CF z ==.由题意得567x y y z x z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解之得324x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩.故3,2,4AD BE CF ===.例10：如图10，李明同学在东西走向的滨海大道A 处，测得江中灯塔P 在北偏东60°方向上;他向东走了400米至B 处，测的灯塔P 在北偏东30°方向上.求灯塔P 到滨海路距离.解析：作PD AB ⊥于点D .设,,,,,PAD PBD PD x BD y AD z αβ∠=∠====AB =a .在Rt PAD ∆与Rt PBD ∆中，有,tan tan x x z y αβ==, 于是tan tan x x z y a αβ-=-=, tan tan tan tan x a αββα⋅∴=⋅-. 这里30,60,400a αβ=︒=︒=，代入得2003x =.例11：如图11，在Rt ABO ∆中，90,3,4,AOB OB OA C ∠=︒==是OA 上一点，且1AC =，点P 在BC 上，⊙P 与,AO AB 都相切.求⊙P 的半径.解析：设⊙P 的半径为r ，⊙P 分别与,AO AB 相切于,M N ，连结,PM PN . 由条件易知PN PM CM r ===，32,2,1BC PC r AN AM r ====+， 5(1)4BN r r =-+=-，322BP r =-.在Rt PBN ∆中，有222(4)(322)r r r +-=-，解得12r =.说明：上述几例是根据题中条件，通过设未知量构造方程(组)加以求解的.通过设未知量构造方程(组)求解，常常会使复杂问题简单化，其思路清晰，易于学生接受.11/ 11。

初中几何问题中线段长度的求解技巧探究

解法探究２０２３年１１月下半月㊀㊀㊀初中几何问题中线段长度的求解技巧探究◉江苏省无锡市东林中学㊀卢晓雨㊀㊀摘要:平面几何是初中数学知识中重要的一部分,线段长度的变化影响着图形的大小㊁形状．考查线段长度的形式多种多样,相关的问题也都十分灵活．求线段长度的基本方法有等面积法㊁利用勾股定理㊁利用相似等．本文中结合不同例题,具体分析解答求线段长度问题常见的解题思路．关键词:平面几何;线段长度;解法思路㊀㊀求线段的长度是初中几何的基础问题．解这类题目要综合考虑线段的位置关系,通过题干信息的提取,采用合适的方式进行求解．１利用等面积法等面积法是指用不同方式表示同一平面图形的面积,通过面积的相互转化或面积与边㊁角关系的互相转化,而使问题得到解决的方法．对于三角形而言,就是指利用三角形的面积自身相等的性质,或根据等高(底)的两个三角形的面积之比等于对应底边(对应高)的比等进行解题的一种方法．利用等面积法解题具有便捷㊁快速的特点．解题思路大致为:①根据已知条件通过面积的相互转化或面积与边㊁角关系的互相转化,用不同方式表示同一三角形的面积;②通过题中已知条件进行运算即可求出所求线段长度[１]．具体解题思路和步骤如以下例题所示．图１例１㊀如图１,在R t әA B C 中,øC ＝９０ʎ,A C ＝４,B C ＝３,C D 是斜边A B 上的高,求C D 的长度．分析:首先根据题中已知条件,可知在一个直角三角形中øC ＝９０ʎ,以及A C 和B C 的长度,从而可求得A B的长,又根据C D 是斜边A B 上的高,通过面积与边㊁角关系的互相转化,最后进行运算即可求出所求C D 长度．解:ȵøC ＝９０ʎ,A C ＝４,B C ＝３,ʑA B ＝５．又C D 为斜边A B 上的高,ʑS әA B C ＝A C B C ＝A B C D ．ʑ４ˑ３＝５C D ．ʑC D ＝１２５．例２㊀如图２,已知әA B C 中,A D 是әA B C 的图２中线,A D ＝４,B C ＝６,A C ＝５,P 是A B 边上的一点﹐且әP B D 是以B P 为底的等腰三角形,求线段A P 的长度．分析:首先根据题中已知条件,可得A D ʅB C ．再根据面积相等可得DH 长度．同理,可得B H 长度．最后根据等腰三角形的三线合一性质,得到PH ＝H B ,求出P B 长度,从而求出线段A P 长度．解:过D 作DH ʅA B ,垂足为H ．ȵA C ２＝A D ２＋C D ２,ʑøA D C ＝９０ʎ．ʑA D ʅB C ．在әA B D 中,根据面积相等可得１２A B DH ＝１２B D A D ．ʑDH ＝B D A D A B ＝１２５．在R t әB DH 中,求得B H ＝B D ２－DH ２＝９５．根据等腰三角形的三线合一性质,得PH ＝H B ,A B ＝A C ＝５．ʑP B ＝２B H ＝１８５．故线段A P ＝７５．２利用勾股定理已知直角三角形的两直角边长分别为a ,b ,斜边长为c ,则a ２＋b ２＝c ２．因此,在直角三角形中,已知任意两边长,可求第三边长．构造出直角三角形,用勾股定理建立方程求线段长度的解题思路大致为:①根据已知条件构造直角三角形;②利用勾股定理建立方８７２０２３年１１月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀程;③通过计算求出所求线段长度[２]．具体解题思路和步骤如以下例题所示．图３例３㊀如图３,在R t әA B C 中,øC ＝９０ʎ,A C ＝４,B C ＝３,C D 是斜边A B 上的高,求C D 的长度．分析:首先根据题中已知条件,可知在一个直角三角形中,øC ＝９０ʎ,以及A C 和B C 的长度,从而可求得A B的长．再设B D ＝x ,表示出A D ．又因为C D 是斜边A B 上的高,最后利用勾股定理建立方程,通过计算即可求出所求线段C D 的长度．解:ȵøC ＝９０ʎ,A C ＝４,B C ＝３,ʑA B ＝５．设B D ＝x ,则A D ＝５－x ．ȵC D 为斜边A B 上的高,ʑ在R t әA D C 与R t әB D C 中,有C D ２＝A C ２－A D ２＝B C ２－B D ２．ʑ４２－(５－x )２＝３２－x ２．ʑx ＝９５．ʑC D ＝３２＋(９５)２＝１２５．图４例４㊀如图４,在әA B C中,øC ＝９０ʎ,A D ,B E 是әA B C 的两条中线,B E ＝２１０,A D ＝５,求A B 的长．分析:首先根据题中已知条件,设C E ＝x ,C D ＝y ,再表示出A C 和B C ,最后利用勾股定理建立方程,通过计算即可求出所求线段A B 的长度．解:设C E ＝x ,C D ＝y ,ʑA C ＝２x ,B C ＝２y ．ȵB E ＝２１０,A D ＝５,øC ＝９０ʎ,ʑ在R t әA C D 与R t әB C E 中,有(２x )２＋y ２＝２５,(２y )２＋x ２＝４０．ʑx ２＋y ２＝１３．ʑA B ２＝A C ２＋B C ２＝４x ２＋４y ２＝５２．ʑA B ＝２１３．３利用相似利用相似求线段长度是根据边角关系发现相似三角形的模型,从而通过运算得到所求线段长度．解题思路大致为:①根据已知条件构造出相似三角形;②设相应线段为x ,建立方程;③通过计算即可求出所求线段长度．具体解题思路和步骤如以下例题所示．图５例５㊀如图５,R t әA B C 中,øA B C ＝９０ʎ,A B ＝３,B C ＝４,R t әM P N 中,øM P N ＝９０ʎ,点P 在A C 上,P M 交A B 于点E ,P N交B C 于点F ,当P E ＝２P F 时,求线段A P 的长度．分析:如图６,作P Q ʅA B 于点Q ,P R ʅB C 于点R ．由әQ P E ʐәR P F ,推出P Q P R ＝P EP F＝２,可得P Q ＝２P R ＝２B Q ．由P Q ʊB C ,可得A Q ʒQ P ʒA P ＝A B ʒB C ʒA C ．设P Q ＝４x ,则可表示出A Q ,A P ,B Q ,进而求出x 即可求出所求线段长度．图６解:如图６,作P Q ʅA B 于点Q ,P R ʅB C 于点R ,则øP Q B ＝øQ B R ＝øB R P ＝９０ʎ．ʑ四边形P Q B R 是矩形．ʑøQ P R ＝９０ʎ＝øM P N ．ʑøQ P E ＝øR P F ．ʑәQ P E ʐәR P F ．ʑP Q P R ＝P E P F＝２．ʑP Q ＝２P R ＝２B Q ．ȵP Q ʊB C ,ʑA Q ʒQ P ʒA P ＝A B ʒB C ʒA C ＝３ʒ４ʒ５．设P Q ＝４x ,则A Q ＝３x ,A P ＝５x ,B Q ＝２x ．ʑ２x ＋３x ＝３．ʑx ＝３５．ʑA P ＝５x ＝３．根据上述不同的求线段长度例题的分析,可以得到求线段长度的基本方法有等面积法㊁利用勾股定理以及利用相似等．针对不同类型问题,采取相应的解题方法进行解答．在解题过程中,应加强对问题条件的分析应用,借助已知条件和相关性质去灵活解答,以此提高解题效率．同时,也希望同学们谨记各方法的注意事项,记住各方法的适用条件,在考试中灵活加以运用,避免出现错误．参考文献:[１]程长宾．求线段长度最值的常用方法[J ]．初中数学教与学,２０１２(２３):２４Ｇ２６．[２]李丹．连结两中点所得线段长度问题的求解策略[J ]．初中数学教与学,２０１７(１７):２３Ｇ２５．Z ９７。

线段的长度练习题

线段的长度练习题1. 练习题一：已知线段AB的两个端点A(2, 3)和B(5, 7)，求线段AB的长度。

解析：根据两点间距离公式，线段AB的长度可以计算如下：AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)= √((5 - 2)^2 + (7 - 3)^2)= √(3^2 + 4^2)= √(9 + 16)= √25= 5因此，线段AB的长度为5。

2. 练习题二：点A(4, -1)和点B(-2, 6)分别是线段CD的两个端点，若线段CD的长度为10，求线段AB的长度。

解析：设线段AB的长度为x，则根据两点间距离公式：x = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)其中，x1 = 4, y1 = -1，x2 = -2, y2 = 6。

根据已知条件，线段CD的长度为10，则根据两点间距离公式：10 = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)= √(((-2) - 4)^2 + (6 - (-1))^2)= √((-6)^2 + 7^2)= √(36 + 49)= √85因此，线段AB的长度为√85。

3. 练习题三：已知线段EF的两个端点E(-3, 2)和F(1, 5)，线段EF 与x轴的夹角为30度，求线段EF的长度。

解析：首先，根据线段EF的两个端点E(-3, 2)和F(1, 5)可以计算斜率。

斜率k = (y2 - y1)/(x2 - x1)= (5 - 2)/(1 - (-3))= 3/4由于线段EF与x轴的夹角为30度，而直线的斜率k与角度θ之间有如下关系：k = tanθ因此，tanθ = 3/4，则角度θ为arctan(3/4)。

根据三角函数的性质，sinθ = y/线段EF的长度，cosθ = x/线段EF 的长度，其中x = EF的长度，y = EF的长度* sinθ。

将上述关系代入线段EF的斜率公式，得到：tan(arctan(3/4)) = (EF的长度 * sin(arctan(3/4)))/EF的长度3/4 = (EF的长度 * 3/5)/EF的长度解上述方程，得到：1 = EF的长度 * 3/5EF的长度 = 5/3因此，线段EF的长度为5/3。

2024年中考复习-11 几何图形中求线段,线段和,面积等最值问题(4题型)(解析版)

抢分秘籍11几何图形中求线段，线段和，面积等最值问题（压轴通关）目录【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略【误区点拨】点拨常见的易错点【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）几何图形中求线段、线段和、面积最值题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。

每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。

1．从考点频率看，几何图形中的性质综合问题，是高频考点、也是必考点。

2．从题型角度看，以解答题的最后一题或最后二题为主，分值12分左右，着实不少！题型一线段最值问题【例1】（2024·四川成都·一模）如图1，在四边形ABFE 中，90F ∠=︒，点C 为线段EF 上一点，使得AC BC ⊥，24AC BC ==，此时BF CF =，连接BE ，BE AE ⊥，且AE BE =．(1)求CE 的长度；(2)如图2，点D 为线段AC 上一动点（点D 不与A ，C 重合），连接BD ，以BD 为斜边向右侧作等腰直角三角形BGD ．①当DG AB ∥时，试求AD 的长度；②如图3，点H 为AB 的中点，连接HG ，试问HG 是否存在最小值，如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．DC =，即可得出DM GF =，证明DMG GFB ≌，进而证明G 在EF 上，根据已知条件证明D 在EB 上，然后解直角三角形，即可求解；②如图所示，过点H 作HP EF ⊥于点P ，连接EH ，由①可得G 在EF 上运动，当HG EF ⊥时，HG 取得最小值，即,G P 重合时，HP 的长即为HG 的最小值，由①可得103AT =，求得sin 10ETA ∠=，根据45HEF ETA α∠=+︒=∠，即可求解．【详解】（1）解：如图所示，取AB 的中点H ，连接,EH HC ，∵BF CF =，90F ∠=︒，∴45BCF ∠=︒，BC =，又∵AC BC⊥∴45ECA ∠=︒∵AE BE =，BE AE⊥∴45EBA ∠=︒∴45ECA ABE ∠=∠=︒∴FEB CAB∠=∠∵24AC BC ==，∴2BC =∴BF CF ==∴1tan 2CB CAB AC ∠==∴1tan tan 2FB FEB CAB EF ∠==∠=∴12BF EF =∴EF =∴CE EF CF =-=（2）①如图所示，过点D 作DM EF ⊥于点M ，过点D 作DN AB ⊥于点N，由（1）可得45ACE ABE ∠=∠=︒∴CDM V 是等腰直角三角形，∴CD =，∵,CBF DBG 都是等腰直角三角形，∴CB DB BF BG =∴BD BG BC BF=又∵DBG CBF∠=∠∴DBC GBF∠=∠∴DBC GBF∽∴DC DB GF GB==∴DC =∴DM GF=在,DMG GFB 中，DM GF DMG F DG BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DMG GFB≌∴MGD FBG∠=∠∵90FBG FGB ∠+∠=︒∴90MGD FGB ∠+∠=︒又∵90DGB ∠=︒∴180MGF ∠=︒∴G 在EF 上，∵DG AB ∥，90DGB ∠=︒∴90GBA ∠=︒∵45,45ABE DBG ABD∠=︒∠=︒=∠∴D 在EB 上，∵1tan 2CAB ∠=，∴12DN AN =，则AD ==∵,45DN AB ABE ⊥∠=︒∴DN DB=∴3AB DN =，∵4AC =，2CB =∴AB =∴133DN AB ==，∴103AD ==，②如图所示，过点H 作HP EF ⊥于点P ，连接EH ，由①可得G 在EF 上运动，∴当HG EF ⊥时，HG 取得最小值，即,G P 重合时，HP 的长即为HG 的最小值，设,AC EB 交于点T ，即与①中点D 重合，由①可得103AT =∵AB =∴AE =，12EH AB ==∴sin 10103AE ETA AT ∠==设FEB CAB α∠=∠=则45HEF ETA α∠=+︒=∠，在Rt PEH △中，sin sin 102PH HEF EH ETA EH =∠⨯=∠⨯=⨯．【点睛】证明G 点在EF 上是解题的关键．本题考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解直角三角形.【例2】（2024·天津红桥·一模）在平面直角坐标系中，点()0,0O ，()2,0A，(2,B )，C ，D 分别为OA ，OB 的中点．以点O 为中心，逆时针旋转OCD ，得OC D '' ，点C ，D 的对应点分别为点C '，D ¢．(1)填空∶如图①，当点D ¢落在y 轴上时，点D ¢的坐标为_____，点C '的坐标为______；(2)如图②，当点C '落在OB 上时，求点D ¢的坐标和BD '的长；(3)若M 为C D ''的中点，求BM 的最大值和最小值(直接写出结果即可)．()，D为OB中点，B2,23()∴，D1,3()22132OD∴=+=，∵以点O为中心，逆时针旋转由（1）知60AOB ∠=︒，30GD O '∴∠=︒，112OG OD '∴==，D G '()1,3D ∴'-，()2,23B ，∵C ，D 分别为OA ，OB 的中点，此时M 在BO 的延长线上，()2,23B ，()222234OB ∴=+=，742BM OB OM ∴=+=+；即BM 最大值为742+；此时M 在线段OB 上，BM BM ∴最小值为427-；综上所述，BM 最大值为1．（2024·山东济宁·模拟预测）已知，四边形ABCD 是正方形，DEF 绕点D 旋转（DE AB <），90EDF ∠=︒，DE DF =，连接AE CF ，．(1)如图1，求证：ADE CDF ≅ ；(2)直线AE 与CF 相交于点G ．①如图2，BM AG ⊥于点M ，⊥BN CF 于点N ，求证：四边形BMGN 是正方形；②如图3，连接BG ，若6AB =，3DE =，直接写出在DEF 旋转的过程中，线段BG 长度的最小值为．【详解】（1）证明：四边形ABCD 是正方形，AD DC ∴=，90ADC ∠=︒，DE DF = ，90EDF ∠=︒，ADC EDF ∴∠=∠，ADE CDF \Ð=Ð，在ADE V 和CDF 中，DA DC ADE CDF DE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，SAS ADE CDF ∴（） ≌．（2）解：①证明：如图2中，设AG 与CD 相交于点P ，90ADP ∠=︒ ，90DAP DPA ∴∠+∠=︒，ADE CDF ≅ ，DAE DCF ∴∠=∠，DPA GPC ∠∠= ，90DAE DPA GPC GCP ∠∠∠∠∴+=+=︒，90PGN ∠∴=︒，BM AG ⊥ ，BN GN ⊥，∴四边形BMGN 是矩形，90MBN ∴∠=︒，四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴=，90ABC MBN ∠∠==︒，ABM CBN ∴∠=∠，又90AMB BNC ∠∠==︒ ，AMB CNB ∴≅ ，MB NB ∴=，∴矩形BMGN 是正方形；∵DAH BAM ∠+∠=∠∴DAH ABM ∠=∠，又∵AD BA =，DHA ∠∴AMB DHA ≌△△，BM AH ∴=，222AH AD DH =- ，DH ∴最大时，AH 最小，即点(1)若AC AB AD BC >⊥，，当点E 在线段AC 上时，AD BE ，交于点F ，点F 为BE 中点．①如图1，若37BF BD AD ===，，求AE 的长度；②如图2，点G 为线段AF 上一点，连接GE 并延长交BC 的延长线于点H ．若点E 为GH 中点，602BAC DAC EBC ∠=︒∠=∠，，求证：12AG DF AB +=．(2)如图3，若360AC AB BAC ︒==∠=，．当点E 在线段AC 的延长线上时，连接DE ，将DCE △沿DC 所在直线翻折至ABC 所在平面内得到DCM △，连接AM ，当AM 取得最小值时，ABC 内存在点K ，使得ABK CAK ∠=∠，当KE 取得最小值时，请直接写出2AK 的值．AD BC EG AD ⊥⊥ ，，90BDF ∴∠=︒，EGF ∠=BDF EGF ∴∠=∠，在Rt BDF △中，90BDF ∠=(22DF BF BD ∴=-=AD BC ⊥ ，90ADC ∴∠=︒，点E 为GH 的中点，GE HE ∴=，在AGE 和KHE △中，12AE KE =⎧⎪∠=∠⎨，由题意可知：160∠=︒，AC 30CAM ∴∠=︒，1322CM AC ∴==，32CE CM ∴==，（1）如图①，在ABC 中，点M ，N 分别是AB ，AC 的中点，若BC =MN 的长为__________．问题探究：（2）如图②，在正方形ABCD 中，6AD =，点E 为AD 上的靠近点A 的三等分点，点F 为AB 上的动点，将AEF △折叠，点A 的对应点为点G ，求CG 的最小值．问题解决：（3）如图③，某地要规划一个五边形艺术中心ABCDE ，已知120ABC ∠=︒，60BCD ∠=︒，40m AB AE ==，80m BC CD ==，点C 处为参观入口，DE 的中点P 处规划为“优秀”作品展台，求点C 与点P 之间的最小距离．∵点E为AD上的靠近点∴11633 AE AD==⨯在Rt EDC中，EC 根据折叠的性质，EG（1）如图1，点D 为ABC 的边BC 上一点，连接2,,3BD AD BDA BAC AB ∠=∠=，若ABD △的面积为4，则ACD 的面积为______；【问题探究】（2）如图2，在矩形ABCD 中，6,5AB BC ==，在射线BC 和射线CD 上分别取点E F 、，使得65BE CF =，连接AE BF 、相交于点P ，连接CP ，求CP 的最小值；【问题解决】（3）如图3，菱形ABCD 是某社区的一块空地，经测量，120AB =米，60ABC ∠=︒．社区管委会计划对该空地进行重新规划利用，在射线AD 上取一点E ，沿BE CE 、修两条小路，并在小路BE 上取点H ，将CH 段铺设成某种具有较高观赏价值的休闲通道（通道宽度忽略不计），根据设计要求，BHC BCE ∠=∠，为了节省铺设成本，要求休闲通道CH 的长度尽可能小，问CH 的长度是否存在最小值？若存在，求出CH 长度的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）5；（2）343-；（3）存在，最小值为403米【分析】（1）证明C ABD BA ∽△△，利用相似三角形的性质得到994CBA ABD S S == ，即可得到ACD 的面积；（2）证明ABE BCF ∽△△，进一步得到90APB ∠=︒，则证明点P 在矩形ABCD 内部以AB 为直径的O 上运动，连接,OP OC ，OC 交O 于点P '，进一求出3,34OP OP OB OC '====，则343CP OC OP ''=-=-，由CP OC OP ≥-，即可得到CP 的最小值；（3）证明,CBH EBC ∽得到2BC BE BH =⋅，则2AB BE BH =⋅，再证明,ABH EBA ∽得到120AHB EAB ∠=∠=︒，证明点H 在O 的劣弧 AB 上运动，求得90OBC ∠=︒，进一步求得403OH AO BO ===米，勾股定理可得803OC =米，记OC 与O 相交于点H '，则403OH OH '==米，求出403CH OC OH ''=-=米，由403CH OC OH '≥-=米，即可得到答案．【详解】（1）解：∵,BDA BAC ∠=∠B B ∠=∠，∴C ABD BA ∽△△，∴2439ABDCBA S BD S AB ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，∴994CBA ABD S S == ，∴ACD 的面积为945CBA ABD S S -=-= ，故答案为：5（2）∵四边形ABCD 是矩形，∴90ABE BCF ∠=∠=︒，∵65BE CF =，6,5AB BC ==，∴65BE AB CF BC ==，∴ABE BCF ∽△△，∴BAE CBF ∠=∠，∵90CBF ABP ∠+∠=︒∴90BAE ABP ∠+∠=︒∴()18090APB BAE ABP ∠=︒-∠+∠=︒∴点P 在矩形ABCD 内部以AB 为直径的O 上运动，则1602BM AM AB ===米，题型二线段和的最小值问题【例1】（2024·四川达州·模拟预测）【问题发现】（1）如图1，在OAB 中，3OB =，若将OAB 绕点O 逆时针旋转120︒得OA B ''，连接BB '，则BB '=________．【问题探究】（2）如图2，已知ABC 是边长为BC 为边向外作等边BCD △，P 为ABC 内一点，连接AP BP CP ，，，将BPC △绕点C 逆时针旋转60︒，得DQC △，求PA PB PC ++的最小值；【实际应用】（3）如图3，在长方形ABCD 中，边1020AB AD ==，，P 是BC 边上一动点，Q 为ADP △内的任意一点，是否存在一点P 和一点Q ，使得AQ DQ PQ ++有最小值？若存在，请求出此时PQ 的长，若不存在，请说明理由．在OAB 中，3OB =，将 120BOB '∴∠=︒，OB OB '==OBB OB B ''∴∠=∠，OBB OB B B OB '''∠+∠+∠=PA PB PC PA ∴++=+∴当点D、Q、P、A⊥连接AD，作DE AC∠=∠=︒DCB BCA60本题主要考查了等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于利用旋转构造等边三角形，从而把三条不在一条直线的线段之和的问题，转换成几点共线求线段的最值问题是解题的关键．【例2】（2024·贵州毕节·一模）在学习了《图形的平移与旋转》后，数学兴趣小组用一个等边三角形继续进是边长为2的等边三角形．行探究．已知ABC(1)【动手操作】如图1，若D为线段BC上靠近点B的三等分点，将线段AD绕点A逆时针旋转60︒得到线段AE，连接CE，则CE的长为________；(2)【探究应用】如图2,D 为ABC 内一点，将线段AD 绕点A 逆时针旋转60︒得到线段AE ，连接CE ，若,,B D E 三点共线，求证：EB 平分AEC ∠；(3)【拓展提升】如图3，若D 是线段BC 上的动点，将线段AD 绕点D 顺时针旋转60︒得到线段DE ，连接CE ．请求出点D 在运动过程中，DEC 的周长的最小值．（3）由ABD ACE ≌△△，得CE BD =，可得DEC 的周长BC DE =+，而DE AD =，知AD 的最小时，DEC 的周长最小，此时AD BC ⊥，即可求得答案．∵ABD ACE ≌△△，∴CE BD =，∴DEC 的周长DE CE =+∴当点D 在线段BC 上时，∵DEC 为等边三角形，1．（2024·陕西·二模）在平面直角坐标系中，A 为y 轴正半轴上一点，B 为x 轴正半轴上一点，且4OA OB ==，连接AB ．(1)如图1，C 为线段AB 上一点，连接OC ，将OC 绕点O 逆时针旋转90︒得到OD ，连接AD ，求AC AD +的值．(2)如图2，当点C 在x 轴上，点D 位于第二象限时，90ADC ∠=︒，且AD CD =，E 为AB 的中点，连接DE ，试探究线段AD DE +是否存在最小值？若存在，求出AD DE +的最小值；若不存在，请说明理由．又90AOB ∠=︒，∴四边形DMON 是矩形，∴90MDN ∠=︒，大值和最小值分别是______和______；（2）如图2，在矩形ABCD 中，4AB =，6AD =，点P 在AD 上，点Q 在BC 上，且AP CQ =，连接CP 、QD ，求PC QD +最小时AP 的长；（3）如图3，在ABCD Y 中，10AB =，20AD =，点D 到AB 的距离为，动点E 、F 在AD 边上运动，始终保持3EF =，在BC 边上有一个直径为BM 的半圆O ，连接AM 与半圆O 交于点N ，连接CE 、FN ，求CE EF FN ++的最小值．如图，当点P 在AO 的延长线上时，此时PA 的最大值为：PO OA +故答案为：11；3；（2）延长BA 至点B '，使AB ∵在矩形ABCD 中，4AB =，∴DAB BAP CBA '∠=∠=∠=∠∴DA 垂直平分BB '，∴PB PB '=，（3）如图，过点F 作FG EC ∥，交BC OG '，NO ，∵在ABCD Y 中，10AB =，20AD =，点∴AD BC ∥，即EF CG ∥，BC AD =∴四边形EFGC 是平行四边形，∴3GC EF ==，FG EC =，【点睛】本题考查圆的基本性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，对称的性质，勾股定理，三角形三边关系定理，两点之间线段最短等知识点．灵活运用所学知识、弄清题意并作出适当辅助线是解题的关键．3．（2024·陕西西安·三模）【问题提出】（1）如图①，AB 为半圆O 的直径，点P 为半圆O 的 AB 上一点，BC 切半圆O 于点B ，若10AB =，12BC =，则CP 的最小值为；【问题探究】（2）如图②，在矩形ABCD 中，3AB =，5BC =，点P 为矩形ABCD 内一点，连接PB 、PC ，若矩形ABCD 的面积是PBC 面积的3倍，求PB PC +的最小值；【问题解决】（3）如图③，平面图形ABCDEF 为某校园内的一片空地，经测量，AB BC ===60B ∠︒，150BAF BCD ∠=∠=︒，DE DC ⊥，20CD =米，劣弧 EF所对的圆心角为90︒， EF 所在圆的圆心在AF 的延长线上，10AF =米．某天活动课上，九（1）班的同学准备在这块空地上玩游戏，每位同学在游戏开始前，在BC 上选取一点P ，在弧 EF上选取一点Q ，并在点P 和点Q 处各插上一面小旗，从点A 出发，先到点P 处拔下小旗，再到点Q 处拔下小旗，用时最短者获胜．已知晓雯和晓静的跑步速度相同，要使用时最短，则所跑的总路程()AP PQ +应最短，问AP PQ +是否存在最小值？若存在，请你求出AP PQ +的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）8；（2）41；（3）AP PQ +存在最小值，最小值为()20310m -．【分析】（1）连接OC 交O 于点1P ，则1CP是CP 的最小值，求出1CP 的长即可，（2）过点P 作PH BC ⊥于点H ，作EF BC ∥，连接BC '，BP C P '+的最小值，即为BC '的长度，求出BC '即可，（3）连接AC ，作点A 关于BC 的对称点A '，连接PA '，A Q '，AA '，过A '作A N ED '⊥，分别交ED 、AC 的延长线于点N 、M ，分别延长AF ，DE 交于点O ，连接OQ ，OA '，当A Q '取得最小值时，AP PQ +的值最小，即A Q ''的长，求出A Q ''即可．解：（1）如图，连接OC 交O 于点1P ，连接OP ，点P 为半圆O 的AB上一点，∴当点P 与点1P 不重合时，CP OC OP >-，当点P 与点1P 重合时，1CP CP OC OP ==-，CP OC OP ∴≥-，CP ∴的最小值OC OP =-，BC 切半圆O 于点B ，90ABC ∴∠=︒，152OB OP AB === ，12BC =，2212513OC ∴=+=，CP ∴的最小值1358OC OP =-=-=，故答案为：8．（2）过P 作PH BC ⊥，如图，矩形ABCD 的面积是13553PBC S ∴=⨯⨯= 2PH ∴=，60ABC ∠=︒ ，AB BC ==ABC ∴ 是等边三角形，60BAC BCA ∴∠=∠=︒，150BAF BCD ∠=∠=︒ ，DE ACD MCD CAO ∴∠=∠=∠=AA M '∴ 和OA N '△都是直角三角形，四边形,E G分别作,,⊥⊥与EF交于点F，连接CF．EF AD FG AB FG特例感知（1）以下结论中正确的序号有______；ED CF BG为边围成的三角形不是直①四边形AGFE是矩形；②矩形ABCD与四边形AGFE位似；③以,,角三角形；类比发现（2）如图2，将图1中的四边形AGFE绕着点A旋转，连接BG，观察CF与BG之间的数量关系和位置关系，并证明你的发现；拓展应用（3）连接CE ，当CE 的长度最大时，①求BG 的长度；②连接,,AC AF CF ，若在ACF △内存在一点P ，使CP AP ++的值最小，求CP AP ++的最小值．∴HF DE =，CH BG =∴CHF 是直角三角形，∵四边形ABCD 是矩形，∴43AB CD ==，AD =∴228AC AB BC =+=，则由（2）知，90CEF ∠=︒，∵2247CF CE EF =+=∴3221BG CF ==；根据旋转，可得30PAF KAL ∠=∠=∴3KL PF =，过P 作PS AK ⊥于S ，则12PS AP =∴32KS AK AS AP =-=，则tan ∠题型三面积的最小值问题【例1】（新考法，拓视野）（2024·陕西西安·一模）【问题提出】（1）如图1，已知在边长为5的等边ABC 中，点D 在边BC 上，3BD =，连接AD ，则ACD 的面积为；【问题探究】（2）如图2，已知在边长为6的正方形ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在边CD 上，且45EAF ∠=︒，若5EF =，求AEF △的面积；【问题解决】（3）如图3是某座城市廷康大道的一部分，因自来水抢修在4AB =米，AD =ABCD 区域内开挖一个AEF △的工作面，其中B 、F 分别在BC CD 、边上（不与B 、C 、D 重合），且60EAF ∠=︒，为了减少对该路段的拥堵影响，要求AEF △面积最小，那么是否存在一个面积最小的AEF △？若存在，请求出AEF △面积的最小值；若不存在，请说明理由．（2）如图所示，延长∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD D =，∠∴ABG ADF ≌∴AG AF DAF =，∠（3）把ADF △绕点A ∴33AG AF FAG =，∠∵60EAF ∠=︒，∴30EAG ∠=︒，本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，旋转的性质，解直角三角形，正方形的性质，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，通过作出辅助线构造直角三角形，全等三角形是解题的关键．【例2】（2024·陕西西安·二模）图形旋转是解决几何问题的一种重要方法．如图1，正方形ABCD 中，E F 、分别在边AB BC 、上，且45EDF ∠=︒，连接EF ，试探究AE CF EF 、、之间的数量关系．解决这个问题可将ADE V 绕点D 逆时针旋转90︒到CDH △的位置（易得出点H 在BC 的延长线上），进一步证明DEF 与DHF △全等，即可解决问题．(1)如图1，正方形ABCD 中，45,3,2EDF AE CF ∠=︒==，则EF =______；(2)如图2，正方形ABCD 中，若30EDF ∠=︒，过点E 作EM BC ∥交DF 于M 点，请计算AE CF +与EM 的比值，写出解答过程；(3)如图3，若60EDF ∠=︒，正方形ABCD 的边长8AB =，试探究DEF 面积的最小值．,,,D F H G 四点共圆；进而可得30FHG ∠=，根据13tan 30AE CF CH CF FH EM GH GH ++====︒，即可求解；（3）过点E 作EK CD ⊥于K ，交DF 于M ，作FT EK ⊥于T ，得出4DEF S EM = ，进而根据（2）的方法得出3EM GH FH ==，根据FC AE CH ==时，面积最小，得出32163OF =-，即可求解．【详解】（1）解：∵将ADE V 绕点D 逆时针旋转90︒，∴90DCH A DCB ∠=∠=︒=∠，DH DE HDC EDA=∠=∠，∴点H 在BC 的延长线上，∵四边形ABCD 是正方形∴90ADC ∠=︒，∵45EDF ∠=︒，∴45HDF CDH FDC ADE FDC EDF∠=∠+∠=∠+∠=︒=∠又∵DF DF =，∴DEF ()SAS DHF ≌，∴235EF FH FC CH FC AE ==+=+=+=，故答案为：5．（2）解：将ADE V ，DEM △绕点D 逆时针旋转90︒，得,DCH DHG∴,AED CHD DEM DHG ∠=∠∠=∠，∵EM BC ∥，则EM AB ⊥，∴90AEM ∠=︒，∴90CHG CHD DHG AED DEM AEM ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，∵30EDF ∠=︒，EM BC ∥则EM AD ∥，∴ADE CDH ∠=∠，30GDH MDE ∠=∠=︒，∵EM BC ∥，∴EMF DFC ∠=∠，∴180EMD EMF EMD DFC ∠+∠=∠+∠=︒，即180DFC DGH ∠+∠=︒，∴,,,D F H G 四点共圆；∴30GFH GDH ∠=∠=︒，又30FHG ∠=︒∴1tan 30AE CF CH CF FH EM GH GH ++====︒（3）如图，过点E 作EK CD ⊥于K ，交DF 于M ，作FT EK ⊥于T ，90FTK TKC BCD ∠=∠=∠=︒∴四边形CFTK 是矩形，FT CK∴=8DK CK DK FT ∴+=+=111()4222DEF EMD EMF S S S DK EM FT EM DK FH EM ∴=+=⋅+⋅=+= 同（2）将ADE V ，DEM △绕点D 逆时针旋转90︒，得,DCH DHG ，可得60GFH EDM ∠=∠=︒，EM GH=∵2220-+=≥，∴FH x y =+≥当且仅当x y =时取得等于号，此时FC AE CH ==，设,,,D F H G 的圆心为O ，∵DC FH ⊥，FC CH =，∴DC 经过点O ，∴OF OD =，sin 602OC OF OF =︒=∵8OD OC +=即82OF +=解得：32OF =-∴232FH FC OF ===-∴48GH ==-，∴()44448192DEF S EM GH ===-=- ，即DEF 面积的最小为192-．【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质、全等三角形的判定与性质、四点共圆等知识，解直角三角形，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．1．（2023·陕西西安·一模）问题发现（1）在ABC 中，2AB =，60C ∠=︒，则ABC 面积的最大值为；（2）如图1，在四边形ABCD 中，6AB AD ==，90BCD BAD ∠=∠=︒，8AC =，求BC CD +的值．问题解决（3）有一个直径为60cm 的圆形配件O ，如图2所示．现需在该配件上切割出一个四边形孔洞OABC ，要求60O B ∠=∠=︒，OA OC =，并使切割出的四边形孔洞OABC 的面积尽可能小．试问，是否存在符合要求的面积最小的四边形OABC ？若存在，请求出四边形OABC 面积的最小值及此时OA 的长；若不存在，请说明理由．∴当点C 在C '的位置，即∴C A C B ''=，BD =∴ABC '△是等边三角形，∴2C B AB '==，∴B ADE ∠=∠，BAC ∠∵6AB AD ==，BCD ∠∴180B ADC ∠+∠=︒，∵180ADE ADC ∠+∠=∵60AOC ∠=︒，OA OC =∴将AOB 绕O 点顺时针旋转∴60BOE ∠=︒，OE OB =∴BOE △是等边三角形，∴160302BE OB ==⨯=，（1）如图①，已知ABC 是面积为AD 是BAC ∠的平分线，则AB 的长为______．问题探究：（2）如图②，在ABC 中，90C ∠=︒，AC BC =，4AB =，点D 为AB 的中点，点E ，F 分别在边AC ，BC 上，且90EDF ∠=︒．证明：DE DF =．问题解决：（3）如图③，李叔叔准备在一块空地上修建一个矩形花园ABCD ，然后将其分割种植三种不同的花卉．按照他的分割方案，点P ，Q 分别在AD ，BC 上，连接PQ 、PB 、PC ，60BPC ∠=︒，E 、F 分别在PB 、PC 上，连接QE 、QF ，QE QF =，120EQF ∠=︒，其中四边形PEQF 种植玫瑰，ABP 和PCD 种植郁金香，剩下的区域种植康乃馨，根据实际需要，要求种植玫瑰的四边形PEQF 的面积为2，为了节约成本，矩形花园ABCD 的面积是否存在最小值？若存在，请求出矩形ABCD 的最小面积，若不存在，请说明理由．当PQ BC ⊥时，矩形ABCD 的面积最小，根据2ABCD PEQF S S =四边形四边形，即可求解．【详解】解：（1）∵ABC 是面积为AD 是BAC ∠的平分线，∴12BD CD AB ==设ABC 的边长为a∴2AD a =∴2112224ABC S BC AD a a a =�创=∴24a =解得：4a =，故答案为：4．（2）如图所示，连接CD，∵在ABC 中，90C ∠=︒，AC BC =，4AB =，点D 为AB 的中点，∴CD AD =，90ADC ∠=︒，45A DCF ∠=∠=︒又∵90EDF ∠=︒∴ADE ADC CDE EDF EDC CDF∠=∠-∠=∠-∠=∠在,ADE CDF △△中，45A DCF ADE CDF AD CD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADE CDFV V ≌∴DE DF =；（3）如图所示，∵60BPC ∠=︒，120EQF ∠=︒，∴36060120180PFQ PEQ ∠+∠=︒-︒-︒=︒将QFP △绕点Q 逆时针旋转120︒，得到EQG ，∴,,P E G 三点共线，∴四边形PEQF 的面积等于PQG ，又∵120,PQG PQ GQ ∠=︒=，∴30QPG QGP ∠=∠=︒过点Q 作QN PG ⊥于点N ，则12QN PQ =设PQ b =，则1,22NQ b PN b ==∴2PG PN ==∴21112224PQG S PG NQ b b =⨯=⨯⨯=∵四边形PEQF 的面积为∴16b =，即16PQ =,如图所示，作QM PM ⊥于点M ，∵30EPQ FPQ ∠=∠=︒，QM PM ⊥，QN PG ⊥，则QN QM =，在,ENQ FMQ 中，QN QM EQ FQ=⎧⎨=⎩∴()HL ENQ FMQ ≌，同理可得PNQ PMQ≌则2PNQPEQF S S = 四边形∴PEQF PNQM S S =四边形四边形，作点Q 关于PE 的对称点T ，连接PT ，则PTQ 是等边三角形，则PTQ S = ，如图所示，依题意，当PQ BC ⊥时，矩形ABCD 的面积最小，此时,E F 与,N M 重合，，∴22128ABCD PEQF S S ==⨯四边形四边形∴矩形ABCD 的最小面积为2【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，综合运用以上知识是解题的关键．3．（2024·陕西榆林·二模）（1）如图1，AB CD ∥，1,2AB CD ==，AD ，BC 交于点E ，若4=AD ，则AE =；（2）如图2，矩形ABCD 内接于O ，2,AB BC ==，点P 在 AD 上运动，求PBC 的面积的最大值；（3）为了提高居民的生活品质，市政部门计划把一块边长为120米的正方形荒地ABCD (如图3)改造成一个户外休闲区，计划在边AD ，BC 上分别取点P ，Q ，修建一条笔直的通道PQ ，要求2CQ AP =，过点B 作BE PQ ⊥于点E ，在点E 处修建一个应急处理中心，再修建三条笔直的道路BE CE DE ，，，并计划在CDE 内种植花卉，DEP 内修建老年活动区，BCE 内修建休息区，在四边形ABEP 内修建儿童游乐园．问种植花卉的CDE 的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．∵四边形ABCD 是矩形，90ABC ∴∠=︒，AC ∴是O 的直径．在Rt ABC △中，tan BC BAC AB∠=60BPC BAC ∴∠=∠=︒过点O 作OE BC ⊥，垂足为E ，延长连接P B P C ₂，₂，此时P BC ₂的面积最大．理由：在 AD 上任意另取一点P。

求线段的长短的专题训练

求线段的长短的专题训练一．解答题（共30小题）1．如图，点C是线段AB上一点，点M、N、P分别是线段AC，BC，AB的中点．（1）若AB=10cm，则MN=cm；（2）若AC=3cm，CP=1cm，求线段PN的长．2．如图，点C在线段AB上，AC=6cm，MB=10cm，点M、N分别为AC、BC的中点．（1）求线段BC、MN的长；（2）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC=bcm，M、N分别是线段AC、BC的中点，求MN的长度．3．如图，D是AB的中点，E是BC的中点，BE=AC=3cm，求线段DE的长．4．已知线段AB=14cm，C为线段AB上任一点，D是AC的中点，E是CB的中点，求DE的长度．5．如图，C 为线段AB的中点，N为线段CB的中点，CN=1cm．求线段CB、线段AC、线段AB的长．6．已知，如图，B，C两点把线段AD分成2：5：3三部分，M为AD的中点，BM=6cm，求CM和AD的长．7．如图所示，点C、D为线段AB的三等分点，点E为线段AC的中点，若ED=9，求线段AB的长度．8．如图，M是线段AC中点，点B在线段AC上，且AB=4cm，BC=2AB，求线段MC和线段BM的长．9．已知：如图，B、C是线段AD上两点，且AB：BC：CD=2：4：3，M是AD的中点，CD=6cm，求线段MC的长．10．如图所示，已知C、D是线段AB上的两个点，M、N分别为AC、BD的中点．（1）若AB=10cm，CD=4cm，求AC+BD的长及M、N的距离．（2）如果AB=a，CD=b，用含a、b的式子表示MN的长．11．如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD=8cm，BD=2cm．（1）图中共有多少条线段？（2）求AC的长．（3）若点E在直线AD上，且EA=3cm，求BE的长．12．已知线段AB=10cm，点C是直线AB上一点，BC=4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，求线段MN 的长．13．如图，C为线段AB的中点，线段AB=12cm，CD=2cm．求线段DB的长．14．已知线段AB=8cm，点C是直线AB上一点，线段BC=3cm，D、E分别是线段AB与线段CB的中点，求线段DE的长度．15．如图，已知线段AB和CD的公共部分为BD，且BD=AB=CD，线段AB、CD的中点E、F之间距离是20，求AB、CD的长．16．如图，点B是线段AC上一点，且AC=12，BC=4．（1）求线段AB的长；（2）如果点O是线段AC的中点，求线段OB的长．17．已知线段AC=8cm，点B是线段AC的中点，点D是线段BC的中点，求线段AD的长．18．如图所示，线段AB=8cm，E为线段AB的中点，点C为线段EB上一点，且EC=3cm，点D为线段AC的中点，求线段DE的长度．19．如图，已知AB=7，BC=3，点D为线段AC的中点，求线段DB的长度．20．如图，已知点M是线段AB的中点，点N在线段MB上，MN=AM，若MN=3cm，求线段AB 和线段NB的长．21．如图，已知M是线段AB的中点，N在AB上，MN=AM，若MN=2m，求AB的长．22．如图，线段AC=6cm，线段BC=15cm，点M 是AC的中点，在BC上取一点N，使得CN=BC，求MN的长．23．如图，点C是线段AB上一点，M、N分别是AB、CB的中点，AC=8cm，NB=5cm，求线段MN 的长．24．如图所示，C、D是线段AB上的两点，已知AB=4BC，AB=3AD，AB=12cm，求线段CD、BD 的长．25．如图，点C是线段AB上，AC=10cm，CB=8cm，M，N分别是AC，BC的中点．（1）求线段MN的长．（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB=acm，其他条件不变，不用计算你猜出MN的长度吗？（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC=acm，M，N仍分别为AC，BC的中点，你还能猜出线段MN的长度吗？（4）由此题你发现了怎样的规律？26．将线段AB延长至C，使BC=AB，延长BC 至点D，使CD=BC，延长CD至点E，使DE=CD，若CE=8cm．（1）求AB的长度；（2）如果点M是线段AB中点，点N是线段AE 中点，求MN的长度．27．如图，已知线段AB=32，C为线段AB上一点，且AC=BC，E为线段BC的中点，F为线段AB 的中点，求线段EF的长．28．如图，C、D两点将线段AB分成2：3：4三部分，E为线段AB的中点，CB=14cm，求：（1）线段AB的长；（2）线段ED的长．29．如图，线段AC=6，线段BC=16，点M是AC 的中点，在线段CB上取一点N，使得CN=NB，求MN的长．30．如图，已知线段AB=20，点C在线段AB上，且AC：CB=2：3，点D是线段CB的中点，求线段CD的长．求线段的长短的专题训练参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2016春•威海期末）如图，点C是线段AB上一点，点M、N、P分别是线段AC，BC，AB的中点．（1）若AB=10cm，则MN=5cm；（2）若AC=3cm，CP=1cm，求线段PN的长．【解答】解：（1）∵M 、N分别是AC、BC的中点，∴MC=AC，CN=BCMN=MC+CN=．故填：5．（2）∵AC=3，CP=1，∴AP=AC+CP=4，∵P是线段AB 的中点，∴AB=2AP=8∴CB=AB ﹣AC=5，∵N是线段CB的中点，CN=CB=，∴PN=CN﹣CP=．2．（2016春•郴州期末）如图，点C在线段AB上，AC=6cm，MB=10cm，点M、N分别为AC、BC的中点．（1）求线段BC、MN的长；（2）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC=bcm，M、N分别是线段AC、BC的中点，求MN的长度．【解答】解：（1）∵AC=6cm，M是AC的中点，∴AM=MC=AC=3cm，∵MB=10cm，∴BC=MB﹣MC=7cm，∵N为BC的中点，∴CN=BC=3.5cm，∴MN=MC+CN=6.5cm；（2）如图，∵M是AC中点，N是BC中点，∴MC=AC，NC=BC ，∵AC﹣BC=bcm，∴MN=MC﹣NC=AC﹣BC=（AC﹣BC）=b（cm）．3．（2016秋•东营期中）如图，D是AB的中点，E 是BC的中点，BE=AC=3cm，求线段DE的长．【解答】解：∵BE=AC=3cm，∴AC=15cm，∵D是AB的中点，E 是BC的中点，∴DB=AB，BE=BC，∴DE=DB+BE=AB+BC=AC=15cm=7.5cm，即DE=7.5cm．4．（2016春•高青县期中）已知线段AB=14cm，C 为线段AB上任一点，D是AC的中点，E是CB 的中点，求DE的长度．【解答】解：如图，由D是AC的中点，E是CB的中点，得DC=AC，CE=CB．由线段的和差，得DE=DC+CE=（DC+CE）=×14=7cm，DE的长度为7cm．5．（2016秋•高密市校级月考）如图，C为线段AB 的中点，N为线段CB的中点，CN=1cm．求线段CB、线段AC、线段AB的长．【解答】解：∵N为线段CB的中点，CN=1cm，∴CB=2CN=2cm．∵C为线段AB的中点，∴AC=CB=2cm．∴AB=2AC=4cm．6．（2015秋•故城县期末）已知，如图，B，C两点把线段AD分成2：5：3三部分，M为AD的中点，BM=6cm，求CM和AD的长．【解答】解：设AB=2xcm，BC=5xcm，CD=3xcm 所以AD=AB+BC+CD=10xcm因为M是AD的中点所以AM=MD=AD=5xcm所以BM=AM﹣AB=5x﹣2x=3xcm因为BM=6 cm，所以3x=6，x=2故CM=MD﹣CD=5x﹣3x=2x=2×2=4cm，AD=10x=10×2=20 cm．7．（2015秋•阜阳期末）如图所示，点C、D为线段AB的三等分点，点E为线段AC的中点，若ED=9，求线段AB的长度．【解答】解：∵C、D为线段AB的三等分点，∴AC=CD=DB（1分）又∵点E为AC的中点，则AE=EC=AC（2分）∴CD+EC=DB+AE（3分）∵ED=EC+CD=9（4分）∴DB+AE=EC+CD=ED=9，则AB=2ED=18．（6分）8．（2015秋•沛县期末）如图，M是线段AC中点，点B在线段AC上，且AB=4cm，BC=2AB，求线段MC和线段BM的长．【解答】解：∵AB=4cm，BC=2AB，∴BC=8cm，∴AC=AB+BC=4+8=12cm，∵M是线段AC中点，∴MC=AM=AC=6cm，∴BM=AM﹣AB=6﹣4=2cm．9．（2015秋•重庆期末）已知：如图，B、C是线段AD上两点，且AB：BC：CD=2：4：3，M是AD 的中点，CD=6cm，求线段MC的长．【解答】解：由AB：BC：CD=2：4：3，设AB=2xcm，BC=4xcm，CD=3xcm，…1分则CD=3x=6，解得x=2．…2分因此，AD=AB+BC+CD=2x+4x+3x=18（cm）． (4)分因为点M是AD的中点，所以DM=AD=×18=9（cm）．…6分MC=DM﹣CD=9﹣6=3（cm）．…7分10．（2015秋•石柱县期末）如图所示，已知C、D 是线段AB上的两个点，M、N分别为AC、BD的中点．（1）若AB=10cm，CD=4cm，求AC+BD的长及M、N的距离．（2）如果AB=a，CD=b，用含a、b的式子表示MN的长．【解答】解：（1）∵AB=10cm，CD=4cm，∴AC+BD=AB﹣CD=10﹣4=6cm，∵M、N分别为AC、BD的中点，∴AM+BN=AC +BD=（AC+BD）=3cm，∴MN=AB﹣（AM+BN）=10﹣3=7cm；（2）根据（1）的结论，AM+BN=AC +BD=（AC+BD）=（a﹣b），∴MN=AB﹣（AM+BN）=a ﹣（a﹣b）=（a+b）．11．（2015秋•亭湖区期末）如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD=8cm，BD=2cm．（1）图中共有多少条线段？（2）求AC的长．（3）若点E在直线AD上，且EA=3cm，求BE的长．【解答】解：（1）图中共有6条线段；（2）∵点B为CD的中点．∴CD=2BD．∵BD=2cm，∴CD=4cm．∵AC=AD﹣CD且AD=8cm，CD=4cm，∴AC=4cm；（3）当E在点A的左边时，则BE=BA+EA且BA=6cm，EA=3cm，∴BE=9cm当E在点A的右边时，则BE=AB﹣EA且AB=6cm，EA=3cm，∴BE=3cm．12．（2015秋•昆明校级期末）已知线段AB=10cm，点C是直线AB上一点，BC=4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，求线段MN的长．【解答】解：①当点C在线段AB上时，则MN=MC+CN=AC +BC=5cm；②当点C在线段AB的延长线上时，MN=MC﹣CN=AC ﹣BC=7﹣2=5cm．13．（2015秋•衡阳校级期末）如图，C为线段AB 的中点，线段AB=12cm，CD=2cm．求线段DB的长．【解答】解：∵C为线段AB的中点，线段AB=12cm，∴BC=AB=6cm，∴DB=BC﹣CD=6﹣2=4cm．故线段DB的长为4cm．14．（2015秋•江门校级期末）已知线段AB=8cm，点C是直线AB上一点，线段BC=3cm，D、E分别是线段AB与线段CB的中点，求线段DE的长度．【解答】解：（1）如图1，，8÷2﹣3÷2=4﹣1.5=2.5（cm）所以线段DE的长度是2.5cm．（2）如图2，，8÷2+3÷2=4+1.5=5.5（cm）所以线段DE的长度是5.5cm．综上，可得线段DE的长度是2.5cm或5.5cm．15．（2015秋•双城市期末）如图，已知线段AB和CD的公共部分为BD，且BD=AB=CD，线段AB、CD的中点E、F之间距离是20，求AB、CD 的长．【解答】解：设BD=x，则AB=3x，CD=4x．∵点E、点F分别为AB、CD的中点，∴AE=AB=1.5x，CF=CD=2x，AC=AB+CD﹣BD=3x+4x﹣x=6x．∴EF=AC﹣AE﹣CF=6x﹣1.5x﹣2x=2.5x．∵EF=20，∴2.5x=20，解得：x=8．∴AB=3x=24，CD=4x=32．16．（2015秋•南安市期末）如图，点B是线段AC 上一点，且AC=12，BC=4．（1）求线段AB的长；（2）如果点O是线段AC的中点，求线段OB的长．【解答】解：（1）由线段的和差，得AB=AC﹣BC=12﹣4=8；（2）由点O是线段AC的中点，得OC=AC=×12=6，由线段的和差，得OB=OC﹣BC=6﹣4=2．17．（2015秋•荔湾区期末）已知线段AC=8cm，点B是线段AC的中点，点D是线段BC的中点，求线段AD的长．【解答】解：因为AC=8cm，B是线段AC的中点，D是线段BC的中点，所以AB=BC==4cm（2分）所以CD==2cm（3分）所以AD=AC﹣CD=8﹣2=6cm．（5分）答：线段AD的长为6cm．（6分）18．（2015秋•文安县期末）如图所示，线段AB=8cm，E为线段AB的中点，点C为线段EB上一点，且EC=3cm，点D为线段AC的中点，求线段DE的长度．【解答】解：∵线段AB=8cm，E为线段AB的中点，∴BE=AB=4cm，∴BC=BE﹣EC=4﹣3=1cm，∴AC=AB﹣BC=8﹣1=7cm，∵点D为线段AC的中点，∴CD==3.5cm，∴DE=CD﹣EC=3.5﹣3=0.5cm．19．（2015秋•浦口区校级期末）如图，已知AB=7，BC=3，点D为线段AC的中点，求线段DB的长度．【解答】解：由线段的和差，得AC=AB+BC=7+3=10．由D为线段AC的中点，得AD=AC=×10=5．由线段的和差，得DB=AB﹣AD=7﹣5=2，线段DB的长度为2．20．（2015秋•曲阜市期末）如图，已知点M是线段AB的中点，点N在线段MB上，MN=AM，若MN=3cm，求线段AB和线段NB的长．【解答】解：∵MN=AM，且MN=3cm，∴AM=5cm．又∵点M为线段AB的中点∴AM=BM=AB，∴AB=10cm．又∵NB=BM﹣MN，∴NB=2cm．21．（2015秋•邵阳校级期末）如图，已知M是线段AB的中点，N在AB上，MN=AM，若MN=2m，求AB的长．【解答】解：∵MN=AM，MN=2m，∴AM=5cm，∵M是线段AB的中点，∴AB=2AM=10cm，即AB的长是10cm22．（2015秋•浦城县期末）如图，线段AC=6cm，线段BC=15cm，点M是AC的中点，在BC上取一点N，使得CN=BC，求MN的长．【解答】解：∵M是AC的中点，∴MC=AC=×6=3cm，∵CN=BC，∴CN=×15=5cm，∴MN=MC+NC=3+5=8cm．23．（2015秋•曹县期末）如图，点C是线段AB上一点，M、N分别是AB、CB的中点，AC=8cm，NB=5cm，求线段MN的长．【解答】解：∵N是CB的中点，NB=5cm，∴BC=2BN=10cm，∵AC=8cm，∴AB=AC+BC=18cm，∵M是AB的中点，∴BM=AB=9cm，∴MN=BM﹣BN=4cm．24．（2015秋•冠县期末）如图所示，C、D是线段AB上的两点，已知AB=4BC，AB=3AD，AB=12cm，求线段CD、BD的长．【解答】解：∵AB=4BC，AB=3AD，AB=12cm，∴AD=AB=4cm，BC=AB=3cm，CD=AB﹣AD﹣BC=12﹣4﹣3=5cm，BD=AB﹣AD=12﹣4=8cm，答：线段CD、BD的长分别是5cm、8cm．25．（2015秋•永新县期末）如图，点C是线段AB 上，AC=10cm，CB=8cm，M，N分别是AC，BC 的中点．（1）求线段MN的长．（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB=acm，其他条件不变，不用计算你猜出MN的长度吗？（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC=acm，M，N仍分别为AC，BC的中点，你还能猜出线段MN的长度吗？（4）由此题你发现了怎样的规律？【解答】解：（1）MN=MC+CN=AC +CB=×10+×8=5+4=9cm．答：线段MN的长为9cm．（2）MN=MC+CN=AC +CB=（AC+CB）=cm．（3）如图，MN=AC﹣AM﹣NC=AC ﹣AC ﹣BC=（AC﹣BC）=cm．（4）当C点在AB线段上时，AC+BC=AB，当C点在AB延长线上时，AC﹣BC=AB，故找到规律，MN的长度与C点的位置无关，只与AB的长度有关．26．（2015秋•湖南校级期末）将线段AB延长至C，使BC=AB，延长BC至点D，使CD=BC，延长CD至点E，使DE=CD，若CE=8cm．（1）求AB的长度；（2）如果点M是线段AB中点，点N是线段AE 中点，求MN的长度．【解答】解：如图：，设DE=x，由BC=AB，延长BC至点D，使CD=BC，延长CD至点E，使DE=CD，得CD=3x，BC=9x，AB=27x．由线段的和差，得CE=BC+DE=4x，DE=8，解得x=2，AB=27x=54；（2）由线段的和差，得AE=AB+BC+CD+DE=27x+9x+3x+x=40x=80，由点M是线段AB中点，点N是线段AE中点，得AM=AB=×54=27，AN=AE=×80=40，由线段的和差，得MN=AN﹣AM=40﹣27=13．27．（2015秋•宁城县期末）如图，已知线段AB=32，C为线段AB上一点，且AC=BC，E为线段BC 的中点，F为线段AB的中点，求线段EF的长．【解答】解：∵F为线段AB的中点，∴BF=AB=16，∵AC=BC，∴BC=AB=24，∵E为线段BC的中点，∴BE=12，∴EF=BF﹣BE=16﹣12=4．28．（2015秋•越秀区期末）如图，C、D两点将线段AB分成2：3：4三部分，E为线段AB的中点，CB=14cm，求：（1）线段AB的长；（2）线段ED的长．【解答】解：（1）设AC=2x，则CD=3x，DB=4x，∵CB=CD+DB，∴3x+4x=14，解得，x=2，∴AB=AC+CD+DB=18cm；（2）∵E为线段AB的中点，∴EB=AB=9cm，∴ED=EB﹣DB=1cm．29．（2015秋•长乐市期末）如图，线段AC=6，线段BC=16，点M是AC的中点，在线段CB上取一点N，使得CN=NB，求MN的长．【解答】解：∵点M是AC的中点，∴MC=AC=3，∵CN=NB，∴CN=BC=4，∴MN=MC+CN=7．30．（2015秋•安阳县期末）如图，已知线段AB=20，点C在线段AB上，且AC：CB=2：3，点D是线段CB的中点，求线段CD的长．【解答】解：按比例分配：AC=20×=8，BC=20×=12．由D是BC的中点，得CD=BC=6．第11页（共11页）。

线段的计算专题训练(王老师整理)

4、已知数轴上有顺次三点A, B, C。其中A的坐标为-20.C点坐标为40，一电子蚂蚁甲从C点出发，以每秒2个单位的速度向左移动。
（1）当电子蚂蚁走到BC的中点D处时，它离A,B两处的距离之和是多少？
（2）这只电子蚂蚁甲由D点走到BA的中点E处时，需要几秒钟？
（3）当电子蚂蚁甲从E点返回时，另一只电子蚂蚁乙同时从点C出发，向左移动，速度为秒3个单位长度，如果两只电子蚂蚁相遇时离B点5个单位长度，求B点的坐标
3、如图，已知AB=20，C为AB的中点，D为CB上一点，E为BD的中点，且EB=3，求CD的长。
4、如图，C、D、E将线段分成2：3：4：5四部分，M、P、Q、N分别是线段AC、CD、DE、EB的中点，且MN=21，求PQ的长。
5、如图，延长线段AB到C，使BC=2AB，若AC=6cm，且AD=DB，
2、已知数轴上两点A、B对应的数分别为—1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x。
⑴若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；
⑵数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为5？若存在，请求出x的值。若不存在，请说明理由？
⑶当点P以每分钟一个单位长度的速度从O点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度向左运动，点B一每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P点到点A、点B的距离相等？
三、动态问题
1、如图，直线AB上有一点P，点M、N分别为线段PA、PB的中点，AB=14.
(1)若点P在线段AB上，且AP=8，求线段MN的长度。
(2)若点P在直线AB上，使说明线段MN的长度与点P在AB上的位置无关
(3)如图，若点C为线段AB的中点，点P在线段AB的延长线上，下列结论：
① 的值不变；② 的值不变。请选择一个正确的结论并其值。

专题精讲_求线段长度及角度问题

4. 分类讨论图形的多样性，注意所求结果的完整性例 4. 在直线 l 上取 A，B 两点，使 AB=10 厘米，再在 l 上取一点 C，使 AC=2 厘米，M， N 分别是 AB，AC 中点．求 MN 的长度
5.求线段长度取值范围例 5 将长为 10 厘米的一条线段用任意方式分成 5 小段，以这 5 小段为边可以围成一个五边形．问其中最长的一段的取值范围．
小结此类问题规律小结 ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________ 二角度类 1 角度的位置起，顺时针方向转多少度时，分钟与时针第一次重合
3. 根据图形及已知条件，利用解方程的方法求解例 3. 如图 3，一条直线上顺次有 A、B、C、D 四点，且 C 为 AD 的中点， BC AB 求 BC 是 AB 的多少倍？
1 AD ， 4
练习`3 如图 C、D、E 将线段 AB 分成 2：3：4：5 四部分，M、P、Q、N 分别是 AC、CD、DE、 EB 的中点，且 MN＝21，求 PQ 的长。
（3）在线段 AB 上画出 3 个点，这时图中共有几条线段？（4）猜一猜，当在线段 AB 上画出 n 个点时，图中共有多少条线段？ 5 如图，在四边形 ABCD 中，AB=3，BC=4，CD=9，AD=a，则（）A、a≥16； B、a＜2； C、2＜a＜16； D、a=16；
6 AOC 90 ,OC、OE 在直线 AB 的上方（1）OF 平分 COE , OD平分BOE , 求DOF （2）若 OE 绕 O 点在 AB 上方旋转， AOF BOD 的大小是否变化？

线段长度计算练习题和答案解析(方程,分类讨论,中点的概念)

下面是线段长度计算的相应练习题(包括方程，分类讨论，中点的概念，比例等)。

有兴趣的同学可以做一做。

①两根木条，一根长12厘米，另一根长16厘米，把它们的一端重合放在同一条直线上，此时两根木条中点的距离是多少。

②下列选项中A，B，C三点在一条直线上的是( )。

A：AB=2.4米，AC=2.1米，BC=4.3米B：AB=2.4米，AC=2.4米，BC=2.4米C：AB=4.2米，AC=2.4米，BC=2.4米D：AB=2.4米，AC=4.7米，BC=2.3米③如图，点M是AC的中点，点N是BC的中点，若AB=a，BC=b，则MN的长是( )。

A: a/2 B: (a+b)/2 C: (a-b)/2 D: (2a-b)/2④如图，M，N是线段AB上两点，已知AM：BM=2:7，AN：BN=3:5，若MN=22，求AB的值。

⑤如图，点M是AB的中点，点N是CD的中点，若AD=12，BC=3，求MN的长。

⑥如图，已知AG=10，BF=7，CE=4。

从A到G这7个点共可以组成21个线段，它们的长度和是多少。

需要PDF打印版的可以找刘老师（shenyangmath）领取，有任何疑问或建议也可以联系刘老师，谢谢大家的支持。

以下是答案与解析，解题方法多种多样，仅供大家参考。

①答案：14cm或2cm解析：分情况讨论，一种是(12+16)÷2=14；另一种是(16-12)÷2=2②答案：D解析：因为2.4+2.3=4.7，所以A，B，C三点在一条直线上，B在A与C 之间。

③答案：A解析：MN=MC-NC=(AC-BC)/2=a/2所以答案是A。

可知MN长度与b无关。

④答案：144解析：设AB长为x，所以AM=2x/9，AN=3x/8。

根据MN=AN-AM则有方程3x/8 - 2x/9 = 22解得x=144⑤答案：7.5解析：MB+CN=(AB+CD)÷2=(AD-BC)÷2=9÷2=4.5所以MN=MB+CN+BC=4.5+3=7.5⑥答案：96解析：21个线段的和，其中AB与FG被计算了6次(根据乘法原理包含AB 的线段个数：1×6=6)BC与EF被计算了10次(2×5=10)；CD与DE被计算了12次(3×4=12) AB+FG=10-7=3；BC+EF=7-4=3；CD+DE=4所以3×6+3×10+4×12=96线段长度的计算，线段间的关系是几何的基础，在今后初中几何题里是极其关键的(例如三角形全等最关键的就是找对应线段相等与角相等)，希望大家能够把基础打好。

人教版九年级数学上册《圆中的求线段长度的相关计算》必考题型专项分类专题练习

《圆中的求线段长度的相关计算》必考经典题型专项分类专题练习（专题分类练习+详细解析）题型一：垂径定理中的线段长度计算1. 如图,四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形,顶点P在MN⏜上,且不与M,N重合,当P点在MN⏜上移动时,矩形PAOB的形状、大小随之变化,则PA2+PB2的值( )A.逐渐变大B.逐渐变小C.不变D.不能确定2. 如图,AB是☉O的直径,AB=6,OD⊥AB,弧BC为30°,P是直径AB上的点,则PD+PC的最小值是________.3. ☉O过等边△ABC的各个顶点,且AB=2,则☉O的半径为( )A.1B.√3C.2√33D.√324. 如图,点A,N在半圆O上,四边形ABOC,DNMO均为矩形,BC=a,MD=b,则a,b的关系为( )A.a>bB.a=bC.a<bD.a≤b5. 已知,如图,☉O的弦AB,CD相交于点P,PO平分∠APD.求证:AB=CD.题型二：和圆周角、圆心角相关的线段长度计算1. 如图,在☉O中,弦AC=2√3,点B是圆上一点,且∠ABC=45°,则☉O的半径R=________.2. 如图所示,☉O的两条弦AB,CD交于点P,连接AC,BD,若S△ACP ∶S△DBP=16∶9,则AC∶BD=________.3. 如图,小正方形的边长均为1,则∠1的正切值为( )A.15B.14C.13D.124. 如图,☉O的半径为4,△ABC是☉O的内接三角形,连接OB,OC,若∠BAC和∠BOC互补,则弦BC的长度为( )A.3√3B.4√3C.5√3D.6√35. 正方形ABCD的四个顶点都在☉O上,点E是☉O上的一点.(1)如图①,若点E在AB⏜上,点F是DE上的一点,DF=BE.求证:△ADF≌△ABE.(2)在(1)的条件下,小明还发现线段DE,BE,AE之间满足等量关系:DE-BE=√2AE.请你说明理由.(3)如图②,若点E在AD⏜上.写出线段DE,BE,AE之间的等量关系.(不必证明)题型三：和切线有关的线段长度计算1. 如图,一圆内切于四边形ABCD,且BC=10,AD=7,则四边形的周长为( )A.32B.34C.36D.383.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=6,以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC,BC相切于点D,E.则AD为( )A.2.5B.1.6C.1.5D.13. 如图,小敏家厨房一墙角处有一自来水管,装修时为了美观,准备用木板从AB 处将水管密封起来,互相垂直的两墙面与水管分别相切于D,E两点,经测量发现AD和BE的长恰是方程x2-25x+150=0的两根(单位:cm),则该自来水管的半径为________cm.4. 如图,已知:射线PO与☉O交于A,B两点,PC,PD分别切☉O于点C,D.(1)请写出两个不同类型的正确结论.(2)若CD=12,tan∠CPO=1,求PO的长.2题型四：扇形、多边形中的线段长度计算1. 已知正六边形的边长为2,则它的内切圆的半径为( )A.1B.√3C.2D.2√32. 粉笔是校园中最常见的必备品.现有一盒刚打开的六角形粉笔,总支数为50支.如图是它的横截面(矩形ABCD),已知每支粉笔的直径为12mm,由此估算矩形ABCD的周长约为________mm.⏜的中点,连接BM,CM.3. 如图,正方形ABCD内接于☉O,M为AD(1)求证:BM=CM.⏜的长.(2)当☉O的半径为2时,求BM4. 如图,已知等边△ABC内接于☉O,BD为☉O内接正十二边形的一边,CD=5√2cm,求☉O的半径R.《圆中的求线段长度的相关计算》必考经典题型专项分类专题练习（专题分类练习+详细解析）（解析版）题型一：垂径定理中的线段长度计算⏜上,且不与M,N重合, 1. 如图,四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形,顶点P在MN⏜上移动时,矩形PAOB的形状、大小随之变化,则PA2+PB2的值( ) 当P点在MNA.逐渐变大B.逐渐变小C.不变D.不能确定【解析】选C.连接OP,∵在直角三角形PAB中,AB2=PA2+PB2,又∵在矩形PAOB 中,OP=AB, ∴PA 2+PB 2=AB 2=OP 2.2. 如图,AB 是☉O 的直径,AB=6,OD ⊥AB,弧BC 为30°,P 是直径AB 上的点,则PD+PC 的最小值是________.【解析】作C 点关于AB 的对称点C ′,连接DC ′交AB 于P 点,过D 点作直径DE,连接EC ′,如图, ∴BC⏜=BC′⏜=30°,PC=PC ′, ∴DC ′是PD+PC 的最小值.又∵弧EC ′的度数=90°-30°=60°,∴∠D=30°, 而DE=AB=6,在Rt △DEC ′中,EC ′=12DE=3, DC ′=√3EC ′=3√3.即PD+PC 的最小值是3√3.答案:3√33. ☉O 过等边△ABC 的各个顶点,且AB=2,则☉O 的半径为 ( )A.1B.√3C.2√33D.√32【解析】选C.连接OB,OC,过点O 作OD ⊥BC 于点D. ∵△ABC 为等边三角形, ∴AB=BC=AC,∴AB⏜=BC ⏜=AC ⏜, ∴∠BOC 为120°. 又OD ⊥BC,OB=OC,∴∠COD=60°,∠COD=30°,CD=12BC=1, ∴cos ∠OCD=CDOC , ∴OC=CD cos∠OCD =√32=2√33. 4. 如图,点A,N 在半圆O 上,四边形ABOC,DNMO 均为矩形,BC=a,MD=b,则a,b 的关系为 ( )A.a>bB.a=bC.a<bD.a ≤b【解析】选B.连接ON,OA,如图,∵点A,N在半圆上,∴ON=OA,∵四边形ABOC,DNMO均为矩形,∴ON=MD,OA=BC,∴BC=MD,即a=b.5. 已知,如图,☉O的弦AB,CD相交于点P,PO平分∠APD.求证:AB=CD.【证明】过点O作OM⊥AB于点M,ON⊥CD于点N.∵PO平分∠APD,OM⊥AB,ON⊥CD.∴OM=ON,连接OA,OD,在Rt△AOM中,AM=√OA2−OM2,在Rt△DON中,DN=√OD2−ON2,又∵OA=OD,OM=ON,∴AM=DN,∴2AM=2DN,即AB=CD.题型二：和圆周角、圆心角相关的线段长度计算1. 如图,在☉O中,弦AC=2√3,点B是圆上一点,且∠ABC=45°,则☉O的半径R=________.【解析】∵∠ABC=45°,∴∠AOC=90°,∵OA=OC=R,∴R2+R2=(2√3)2,解得R=√6. 答案:√62. 如图所示,☉O的两条弦AB,CD交于点P,连接AC,BD,若S△ACP ∶S△DBP=16∶9,则AC∶BD=________.【解析】由题干图可知∠C=∠B,∠A=∠D, ∴△ACP∽△DBP,∴S△ACPS△DBP =(ACBD)2,即(ACBD)2=169,∴AC∶BD=4∶3.答案:4∶33. 如图,小正方形的边长均为1,则∠1的正切值为( )A.15B.14C.13D.12【解析】选D.如图,∵∠1=∠2,∴tan∠1=tan∠2=12.4. 如图,☉O的半径为4,△ABC是☉O的内接三角形,连接OB,OC,若∠BAC和∠BOC互补,则弦BC的长度为( )A.3√3B.4√3C.5√3D.6√3BC.【解析】选B.过点O作OD⊥BC于点D,则BD=CD=12∠BOC,∵∠BAC+∠BOC=180°,∠BAC=12∴∠BOC=120°,∠BAC=60°,∴∠BOD=60°.在Rt△BOD中,BD=OBsin60°=2√3,∴BC=4√3.5. 正方形ABCD的四个顶点都在☉O上,点E是☉O上的一点.⏜上,点F是DE上的一点,DF=BE.求证:△ADF≌△ABE.(1)如图①,若点E在AB(2)在(1)的条件下,小明还发现线段DE,BE,AE之间满足等量关系:DE-BE=√2AE.请你说明理由.⏜上.写出线段DE,BE,AE之间的等量关系.(不必证明) (3)如图②,若点E在AD【解析】(1)在正方形ABCD中,AB=AD.⏜,∴∠1=∠2,∵∠1和∠2所对的弧都是AE在△ADF和△ABE中,{AD=AB,∠1=∠2, DF=BE,∴△ADF≌△ABE(SAS).(2)由(1)得△ADF≌△ABE,∴AF=AE,∠3=∠4.在正方形ABCD中,∠BAD=90°,∴∠BAF+∠3=90°,∴∠BAF+∠4=90°,∴∠EAF=90°.∴△EAF是等腰直角三角形.∴EF2=AE2+AF2,∴EF2=2AE2.∴EF=√2AE.∵DE-DF=EF,∴DE-BE=√2AE.(3)BE-DE=√2AE.题型三：和切线有关的线段长度计算1. 如图,一圆内切于四边形ABCD,且BC=10,AD=7,则四边形的周长为( )A.32B.34C.36D.38【解析】选B.如图,根据切线长定理可知,AE=AH,BE=BF,CF=CG,DG=DH.所以AE+DG=AH+DH=AD,BE+CG=BF+CF=BC,所以AB+BC+CD+DA=AE+BE+BC+CG+DG+DA=2AD+2BC=2×7+2×10=34.3.如图,Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AC=4,BC=6,以斜边AB 上的一点O 为圆心所作的半圆分别与AC,BC 相切于点D,E.则AD 为 ( )A.2.5B.1.6C.1.5D.1【解析】选B.连接OD,OE,OC,设OD=r,∵AC,BC 切☉O 于D,E, ∴∠ODC=∠OEC=90°,OD=OE, ∵S △AOC +S △BOC =S △ABC ,即12OD ·AC+12OE ·BC=12BC ·AC,12r ·4+12r ·6=12×6×4,r=2.4,AD=AC-r=1.6.3. 如图,小敏家厨房一墙角处有一自来水管,装修时为了美观,准备用木板从AB 处将水管密封起来,互相垂直的两墙面与水管分别相切于D,E 两点,经测量发现AD 和BE 的长恰是方程x 2-25x+150=0的两根(单位:cm),则该自来水管的半径为________cm.【解析】连接OD,OE.解方程x2-25x+150=0,得x1=10,x2=15,∴设AD=10,BE=15,半径为r,∴AB=AD+BE=25,∴(AD+r)2+(BE+r)2=AB2,即(10+r)2+(15+r)2=252,解得:r=5.答案:54. 如图,已知:射线PO与☉O交于A,B两点,PC,PD分别切☉O于点C,D.(1)请写出两个不同类型的正确结论.(2)若CD=12,tan∠CPO=12,求PO的长.【解析】(1)不同类型的正确结论有:①PC=PD,②∠CPO=∠DPO,③CD⊥BA,④∠CEP=90°,⑤PC2=PA·PB.(2)连接OC,∵PC,PD分别切☉O于点C,D∴PC=PD,∠CPO=∠DPA,∴CD⊥AB,∵CD=12,∴DE=CE=12CD=6.∵tan∠CPO=12,∴在Rt△EPC中,PE=12,∴由勾股定理得CP=6√5,∵PC切☉O于点C,∴∠OCP=90°.在Rt △OPC 中,∵tan ∠CPO=12, ∴OC PC =12,∴OC=3√5, ∴OP=√OC 2+PC 2=15.题型四：扇形、多边形中的线段长度计算1. 已知正六边形的边长为2,则它的内切圆的半径为 ( ) A.1B.√3C.2D.2√3【解析】选B.如图,由正六边形的性质知,三角形AOB 为等边三角形,所以,OA=OB=AB=2,AC=1,由勾股定理,得内切圆半径OC=√3.2. 粉笔是校园中最常见的必备品.现有一盒刚打开的六角形粉笔,总支数为50支.如图是它的横截面(矩形ABCD),已知每支粉笔的直径为12mm,由此估算矩形ABCD 的周长约为________mm.【解析】作B ′M ′∥C ′D ′,C ′M ′⊥B ′M ′于点M ′.粉笔的半径是6mm.则边长是6mm. ∵∠M ′B ′C ′=60°,∴B ′M ′=B ′C ′·cos60°=6×12=3(mm), C ′M ′=B ′C ′sin60°=6×√32=3√3(mm). 则题干图中,AB=CD=11×3√3=33√3(mm). AD=BC=5×6+5×12+3=93(mm).则周长是:2×33√3+2×93=(66√3+186)mm. 答案:(66√3+186)3. 如图,正方形ABCD 内接于☉O,M 为AD ⏜的中点,连接BM,CM. (1)求证:BM=CM.(2)当☉O 的半径为2时,求BM⏜的长.【解析】(1)∵四边形ABCD 是正方形, ∴AB=CD, ∴AB⏜=CD ⏜, ∵M 为AD ⏜的中点, ∴AM ⏜=DM ⏜,∴AB ⏜+AM ⏜=CD ⏜+DM ⏜,即BM⏜=CM ⏜,∴BM=CM.(2)∵☉O 的半径为2, ∴☉O 的周长为4π, ∴BM⏜的长=38×4π=32π.4. 如图,已知等边△ABC 内接于☉O,BD 为☉O 内接正十二边形的一边,CD=5√2cm,求☉O 的半径R.【解析】连接OB,OC,OD,∵等边△ABC 内接于☉O,BD 为内接正十二边形的一边, ∴∠BOC=13×360°=120°,∠BOD=112×360°=30°, ∴∠COD=∠BOC-∠BOD=90°, ∵OC=OD,∴∠OCD=45°,∴OC=CD ·cos 45°=5√2×√22=5(cm). 即☉O 的半径R=5cm.学海迷津：数学学习十大方法1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。

线段问题练习题

线段问题练习题线段问题是数学中的一个重要内容，需要运用线段的性质和相关的定理来解决。

在这篇文章中，我将为大家提供一些线段问题的练习题，通过解答这些问题，帮助大家巩固对线段相关知识的理解。

1.问题一：给定直角坐标系上的两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，求线段AB的长度。

解析：根据两点间距离公式可以求得线段AB的长度。

设直角三角形ABC，其中AB为斜边，则根据勾股定理有：AB²=BC²+AC²。

由于直角三角形ACB的坐标可以通过已知点坐标求得，因此可以计算得出线段AB的长度。

2.问题二：已知直角坐标系上的线段AB的长度l和点A(x1, y1)的坐标，求点B(x2, y2)的坐标。

解析：设A(x1, y1)和B(x2, y2)，则根据两点间距离公式有：l =√((x2-x1)²+(y2-y1)²)。

由此可以得到一个方程，通过解这个方程可以求解点B的坐标。

3.问题三：已知直角坐标系上的线段AB的中点M的坐标和点A(x1, y1)的坐标，求点B(x2, y2)的坐标。

解析：设A(x1, y1)和B(x2, y2)，M的坐标为M(xm, ym)。

由于M是AB的中点，可以得到以下两个方程：(x1+x2)/2 = xm 和 (y1+y2)/2 = ym。

通过解这个方程组，可以求解点B的坐标。

4.问题四：在正方形ABCD中，已知点E为线段AB的中点，求线段CE的长度。

解析：由于E是AB的中点，可以得知CE与AE和BC平行，根据平行线的性质有：CE = AB。

5.问题五：已知线段AB与原点O之间的距离为d，求线段AB的长度。

解析：设线段AB的长度为l，根据两点间距离公式有：l = √(x²+y²)。

由于AB与原点O之间的距离为d，可以得到一个方程：d = √(x²+y²)。

通过解这个方程，可以求解线段AB的长度。

通过以上几个练习题，我们可以加深对线段问题相关知识的理解和掌握。

2021中考数学专题复习线段长度最值问题专题训练3(附答案详解)

B. 1C. *2021中考数学专题复习线段长度最值问题专题训练3 （附答案详解）1.如图，矩形ABCD 中，BC = 2迈,AB = 4y/2，点P 是对角线AC 上的一动点,以为直角边作等腰（英中ZPBQ = 90。

）,则P0的最小值是（）A •学 B.晋 C. 275 D. 2価2.如图，在 RtA ABC 中，ZC = 90% AC = 8, BC = 6, P 为 AC 边上的一动点,以阳，E4为边构造平行四边形APBQ.则对角线P0的最小值为（）3•如图，是半圆。

的直径，A3 = 5cm, AC = 4cm.£>是弧BC 上的一个动点（含端点B,不含端点C ）,连接AD,过点C 作CE 丄AD 于E ，连接处，在点D 移动的过程中，处的取值范国是（）A. y/13-2<BE<-B. VF3-2< J?E<3 9L 9 C ・一 <BE<3 D ・ V13 一一 <BE<3 55 4. 如图，在菱形ABCD 中，ZABC = 60°, = b 点P 是这个菱形内部或边上的一点，若以点P, B, C 为顶点的三角形是等腰三角形，则P, D （P, D 两点不重合）两点间的最短距离为（）A. 4B. 6C. 8D. 1025.如图，在R仏ABC中，ZACB = 90：BC = AC = 2,点M是AC边上一点，连接BM,以CM为直径的OO交于3M点N•则线段AN的最小值为（）A. 1 B・血+ 1 C・品一迈 D・75-16.如图，F为正方形ABCD的边CD上一动点，43 = 2,连接BF，过A作AH丄BF交BC于H ,交BF于G ,连接CG,当CG为最小值时，CH的长为（）D. 3 + ^/57.如图，等边ZBC的边AB = S. D是AB上一点，BD = 3. P是AC边上一动点,将AADP沿直线DP折叠，A的对应点为A',则CA的长度最小值是（）A. 4、/J — 6 B・ 2 C・4、/?一2点D・38.已知点£）与点A（&0）, 3（2,8）, C（亿一d + 2）是一平行四边形的四个顶点，则CD 长的最小值是（）A. 10B. 8>/2C. 7血D. 99.如图，在等腰直角MBC中，斜边的长度为8,以AC为直径作圆，点P为半圆上的动点，连接BP ,取BP的中点M ,则CM的最小值为（）10. 问题背景：如图1,两条相等的线段AB ，CD 交于点0, Z4OC = 60。

类型之一探究线段长度、图形周长问题(含最值问题)

3
25
3
25
如答图，作点( , − )关于轴的对称点′(− , − )，连接
2
4
2
4
′交轴于点.
在 = 2 − 3 − 4中，
令 = 0，得 2 − 3 − 4 = 0，
解得 = 4或 = −1，∴ (4,0).
第1题答图
返回目录
类型之一探究线段长度、图形周长问题（含最值问题）
（2）是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作//轴交抛
物线于点，作 ⊥ 于点，求 +
5
的最大值及此时点的坐标.
2
解：如答图，延长交轴于点，过点作//轴交于点.
第2题答图
返回目录
类型之一探究线段长度、图形周长问题（含最值问题）
1
2
5
2
1
2
5
2
在 = 2 − − 3中，令 = 0,得0 = 2 − − 3，
解得1 = −1，2 = 6，∴ (6,0).
当 = 0时， = −3，∴ (0, −3)，
∴ = 32 + 62 = 3 5，
∴ sin∠ =

=
6
3 5
=
2 5
.
5
∵ //轴，∴ ∠ = ∠，
∴ 直线的函数解析式为 = − 3．
设点(, 2 − 2 − 3)，则(, − 3)，
3
2
9
4
= − 3 − ( 2 − 2 − 3) = −( − )2 + ．
∵ −1 < 0,
3
2
∴ 当 = 时，的值最大，此时
3
2
3
2
9

专题2.5 勾股定理与线段长(压轴题专项讲练)(浙教版)(解析版)

专题2.5 勾股定理与线段长【典例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F．（1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长度；（2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得BD＝5，由勾股定理计算可得AD的长，由等腰直角三角形性质得DF＝5，最后由线段的差可得结论；（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△CHB≌△AEF（SAS），得AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，由等腰三角形三线合一的性质得EF＝FH，最后由勾股定理和等量代换可得结论．解：（1）如图1，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵BC＝10，∴BD＝5，Rt△ABD中，∵AB＝13，∴AD=12，Rt△BDF中，∵∠CBE＝45°，∴△BDF是等腰直角三角形，∴DF＝BD＝5，∴AF＝AD﹣DF＝12﹣5＝7；（2）证明：如图2，在BF 上取一点H ，使BH ＝EF ，连接CF 、CH ，在△CHB 和△AEF 中，∵BH =EF ∠CBH =∠AFE =45°BC =AF，∴△CHB ≌△AEF （SAS ），∴AE ＝CH ，∠AEF ＝∠BHC ，∴∠CEF ＝∠CHE ，∴CE ＝CH ，∵BD ＝CD ，FD ⊥BC ，∴CF ＝BF ，∴∠CFD ＝∠BFD ＝45°，∴∠CFB ＝90°，∴EF ＝FH ，Rt △CFH 中，由勾股定理得：CF 2+FH 2＝CH 2，∴BF 2+EF 2＝AE 2．1．（2021秋•泗阳县期末）已知直角三角形的两条边长分别是3和4，那么这个三角形的第三条边的长为（）A ．5B ．25CD ．5【思路点拨】分两种情况：当3和4都是直角边时；当4是斜边长时；分别利用勾股定理计算出第三边长即可．【解题过程】解：当3和45；当4=故选：D ．2．（2021秋•苏州期末）如图，数轴上点A 表示的数是﹣1，点B 表示的数是1，BC ＝1，∠ABC ＝90°，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，与数轴交于原点右侧的点P ，则点P 表示的数是（）A1B2C1D．2―【思路点拨】首先根据勾股定理求出AC长，再根据圆的半径相等可知AP＝AC，即可得出答案．【解题过程】解：∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°，∴AC∵以A为圆心，AC为半径作弧交数轴于点P，∴AP＝AC∴点P表示的数是﹣1+故选：A．3．（2021秋•莲池区期末）如图，作Rt△ABC，∠C＝90°，BC＝2AC；以A为圆心，AC长为半径画弧，交斜边AB于点D；以B为圆心，以BD长为半径画弧，交BC于点E．若BC＝6，则CE＝（）A．9﹣B．6C．―3D．―1【思路点拨】根据题意勾股定理求出AB的长，由AD＝AC得出BD，再根据BE＝BD，即可求出CE的长．【解题过程】解：∵BC＝2AC，BC＝6，∴AC＝3，由勾股定理得AB=∵AC＝AD，∴BD＝AB﹣AD＝3，∵BE＝BD，∴CE＝BC﹣BE＝6﹣（―3）＝9﹣故选：A．4．（2021秋•盐田区校级期末）如图，在2×2的网格中，有一个格点△ABC，若每个小正方形的边长为1，则△ABC的边AB上的高为（）A B C D．1【思路点拨】如图，过点C作CD⊥AB于D，首先利用勾股定理求得AB的长度，然后利用等面积法求得CD的长度．【解题过程】解：如图，过点C作CD⊥AB于D，在直角△ABE中，∠AEB＝90°，AE＝1，BE＝2，则由勾股定理知，AB=由12AE•BC=12AB•CD知，CD=AE⋅BCAB=1×15．故选：B．5．（2021秋•渝中区校级期末）在△ABC中，AB＝10，AC＝17，BC边上的高AD＝8，则△ABC的面积为（）A．72B．84C．36 或84D．72 或84【思路点拨】由勾股定理分别求出BD和CD，分AD在三角形的内部和AD在三角形的外部两种情况，由三角形面积公式计算即可．【解题过程】解：在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD==6，在Rt△ACD中，由勾股定理得：CD=15，分两种情况：①如图1，当AD在△ABC的内部时，BC＝15+6＝21，则△ABC的面积=12BC×AD=12×21×8＝84；②如图2，当AD在△ABC的外部时，BC＝15﹣6＝9，则△ABC的面积=12BC×AD=12×9×8＝36；综上所述，△ABC的面积为36或84，故选：C．6．（2021秋•南京期末）如图，在△ABC中，AB＝20，AC＝15，BC＝7，则点A到BC的距离是．【思路点拨】过A作AD⊥BC交BC的延长线于D，根据勾股定理即可得到结论．【解题过程】解：过A作AD⊥BC交BC的延长线于D，∴∠D＝90°，∴AB2﹣BD2＝AD2＝AC2﹣CD2，∵AB＝20，AC＝15，BC＝7，∴202﹣（7+CD）2＝152﹣CD2，∴CD＝9，∴AD=12，∴点A到BC的距离是12，故答案为：12．7．（2021秋•乾县期末）如图，四边形ABCD中，AC⊥BD于O，AB＝6，BC＝8，CD＝10，则AD ＝．【思路点拨】利用勾股定理得到：AO2+BO2＝62，CO2+BO2＝82，DO2+CO2＝102，将三个等式相加，求得AO2+DO2的值即可．【解题过程】解：∵AC⊥BD，∴由勾股定理得到：AO2+BO2＝62①，CO2+BO2＝82②，DO2+CO2＝102③，由①+②+③得：AO2+DO2+2（CO2+BO2）＝62+82+102，即AO2+DO2+2×82＝62+82+102，∴AO2+DO2＝72，∴AD2＝72，∴AD＝故答案为：8．（2021秋•新吴区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，△ABC的两条角平分线AD、BE相交于点O，连接CO，则CO的长为．【思路点拨】过O作OM⊥BC于M，OP⊥AB于P，ON⊥AC于N，根据角平分线的想知道的OM＝ON，推出OC平分∠ACB，得到△OCM是等腰直角三角形，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论．【解题过程】解：过O作OM⊥BC于M，OP⊥AB于P，ON⊥AC于N，∵AD和BE是△ABC的角平分线，∴OP＝OM，ON＝OP，∴OM＝ON，∴OC平分∠ACB，∵∠ACB＝90°，∴∠ACO＝∠BCO＝45°，∴△OCM是等腰直角三角形，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB=10，∴S△ABC=12AC•BC=12×（AB+AC+BC）•OM，∴6×8＝（10+6+8）×OM，∴OM＝2，∴OC=故答案为：9．（2021秋•徐汇区期末）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，若Rt△ABC是“好玩三角形”，则AB＝．【思路点拨】分两种情形：分别是AC上的中线BD＝AC，BC上的中线AE＝BC，分别画出图形，利用勾股定理解决问题即可．【解题过程】解：如图，当AC上的中线BD＝AC时，∵AC＝2，∴BD＝2，CD＝1，在Rt△BDC中，由勾股定理得，BC在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB=当BC上的中线AE＝BC时，设CE＝x，则AE＝BC＝2x，在Rt △ACE 中，由勾股定理得，x 2+22＝（2x ）2，∵x ＞0，∴x∴BC在Rt △ABC 中，由勾股定理得，AB =∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故不符合题意，10．（2021秋•鼓楼区期末）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝15，AC ＝20，AD ⊥BC ，垂足为D ．求AD ，BD 的长．【思路点拨】先根据勾股定理求出BC 的长，再利用三角形面积公式得出12AB •AC =12BC •AD ，然后即可求出AD ．【解题过程】解：∵∠BAC ＝90°，AB ＝15，AC ＝20，∴BC 25，∵S △ABC =12AB •AC =12BC •AD ，∴AB •AC ＝BC •AD ，∴15×20＝25AD ，∴AD ＝12；∵AD ⊥BC ，∴BD =9．11．（2020秋•宝山区校级期末）如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，∠BCD ＝120°，AB ＝1，BC =CD ＝2，求AD 的长．【思路点拨】在直角三角形ABC 中勾股定理求出AC 的长度，在直角三角形ACD 中利用勾股定理求出AD 的长即可．【解题过程】解：如图，连接AC ，∵∠ABC ＝90°，AB ＝1，BC =∴AC ==2．∴AB =12AC ．又∵∠BCD ＝120°，∴∠ACD ＝120°﹣30°＝90°．∵CD ＝2，∴AD AD ＝12．（2021秋•靖江市校级期中）如图，在△ABC 中，AB ＝25，BC ＝28，AC ＝17，求△ABC 的面积．【思路点拨】过点A作AD⊥BC于D，根据勾股定理列式求出BD，再根据勾股定理求出AD，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解题过程】解：过点A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，AB2﹣BD2＝AD2，在Rt△ACD中，AC2﹣CD2＝AD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即252﹣BD2＝172﹣（28﹣BD）2，解得：BD＝20，∴AD15，∴S△ABC=12×28×15＝210．13．（2021春•铁西区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝135°，BC＝6，点D为AB的中点，连接DC，若DC⊥BC，求AB的长．【思路点拨】取AC的中点E，连接DE，构造三角形中位线和等腰直角△EDC，则ED=12BC＝3，ED＝DC；在直角△BCD中，利用勾股定理来求AB的长度．【解题过程】解：如图，取AC的中点E，连接DE，∵点D为AB的中点，BC＝6，∴DE∥BC，且DE=12BC＝3．∵DC⊥BC，∴DC⊥DE．∵∠ACB＝135°，∠DCB＝90°，∴∠DCE ＝135°﹣90°＝45°．∴∠DEC ＝∠DCE ＝45°．∴DE ＝DC ＝3．在直角△BCD 中，由勾股定理知：BD =∴AB ＝2BD ＝14．（2021秋•新吴区期末）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AC ＝2，AB 的中垂线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ．延长DE 交BC 的延长线于点F ，连接AF ．（1）求AD 的长；（2）求AF 的长．【思路点拨】（1）根据勾股定理得到AB =AD =12AB =（2）根据线段垂直平分线的性质得到BF ＝AF ，根据勾股定理即可得到结论．【解题过程】解：（1）在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AC ＝2，∴AB =∵AB 的中垂线DE 交AB 于点D ，∴AD =12AB （2）∵DF 是线段AB 的垂直平分线，∴BF ＝AF ，∴CF ＝BF ﹣BC ＝AF ﹣1，∵∠ACF ＝90°，∴CF 2+AC 2＝AF 2，∴（AF ﹣1）2+22＝AF 2，∴AF =52，故AF 的长为52．15．（2021秋•门头沟区期末）已知，如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，过D 作DE ∥AC 交AB 于E ．（1）求证：AE ＝DE ；（2）如果AC ＝3，AD =AE 的长．【思路点拨】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可；（2）过点D 作DF ⊥AB 于F ，根据勾股定理和全等三角形的判定和性质解答即可．【解题过程】（1）证明：∵DE ∥AC ，∴∠CAD ＝∠ADE ，∵AD 平分∠BAC ，∴∠CAD ＝∠EAD ．∴∠EAD ＝∠ADE ．∴AE ＝DE ；（2）解：过点D 作DF ⊥AB 于F ．∵∠C ＝90°，AC ＝3，AD =在Rt △ACD 中，由勾股定理得 AC 2+DC 2＝AD 2．∴DC =∵AD 平分∠BAC ，∴DF＝DC=又∵AD＝AD，∠C＝∠AFD＝90°，∴Rt△DAC≌Rt△DAF（HL）．∴AF＝AC＝3，∴Rt△DEF中，由勾股定理得EF2+DF2＝DE2．设AE＝x，则DE＝x，EF＝3﹣x，∴(3―x)22=x2，∴x＝2．∴AE＝2．16．（2021秋•石景山区期末）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6．AD平分∠CAB交BC 于点D．（1）求BC的长；（2）求CD的长．【思路点拨】（1）根据勾股定理解答即可；（2）根据AAS证明△AED和△ACD全等，进而利用全等三角形的性质和勾股定理解答即可．【解题过程】解：（1）在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，由勾股定理得：BC==8．（2）过点D作DE⊥AB于点E，如图．∴∠DEA＝90°＝∠C（垂直定义）．∵AD平分∠CAB（已知），∴∠1＝∠2（角平分线定义）．在△AED和△ACD中，∠DEA=∠C∠2=∠1，AD=AD∴△AED≌△ACD（AAS）．∴AE＝AC＝6，DE＝DC（全等三角形的对应边相等）．∴BE＝AB﹣AE＝4．设CD＝x，则DE＝x，DB＝8﹣x．在Rt△DEB中，∠DEB＝90°，由勾股定理，得（8﹣x）2＝x2+42．解得x＝3．即CD＝3．17．（2021春•歙县月考）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝12，∠A＝60°，∠D＝150°，已知四边形的周长为42，求四边形ABCD的面积．【思路点拨】连接BD，易证△ABD是等边三角形，△BCD是直角三角形，因而只要求出CD与BD的长就可以求出结果．【解题过程】解：连接BD，作DE⊥AB于E，∵AB ＝AD ＝12，∠A ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∠ADE ＝30°，∴AE ＝BE =12AB ＝6，∠ADB ＝60°，在Rt △ADE 中，AD 2＝AE 2+DE 2，∴DE =∴S △ABD =12AB •DE =12×∵∠ADC ＝150°，∴∠CDB ＝∠ADC ﹣∠ADB ＝150°﹣60°＝90°，∴△BCD 是直角三角形，又∵四边形的周长为42，∴CD +BC ＝42﹣AD ﹣AB ＝42﹣12﹣12＝18，设CD ＝x ，则BC ＝18﹣x ，在Rt △ADE 中，BC 2＝CD 2+BD 2，∴122+x 2＝（18﹣x ）2，解得x ＝5，∴S △BDC =12×12×5＝30，∴S 四边形ABCD ＝S △ABD +S △BDC ＝30．18．（2021秋•如皋市期末）如图，在△ABC 中，AC ＝5，E 为BC 边上一点，且CE ＝1，AE BE ＝4，点F 为AB 边上的动点，连接EF ．（1）求AB 的长；（2）当△BEF 为等腰三角形时，求AF 的长．【思路点拨】（1）证出∠ACE ＝90°，由勾股定理可求出答案；（2）分三种情况，由勾股定理可求出答案．【解题过程】解：（1）∵AC＝5，CE＝1，AE∴AC2+CE2＝26，AE2＝26，∴AC2+CE2＝AE2，∴∠ACE＝90°，∵BC＝CE+BE＝5，AC＝5，∴AB==（2）①当BF＝BE＝4时，AF＝AB﹣BF＝―4；②如图，当BF＝EF时，有∠FEB＝∠B＝45°，∴∠BFE＝90°，BF＝EF，设BF＝EF＝x，∵BF2+EF2＝BE2，∴x2+x2＝42，∴x＝∴AF＝AB﹣BF＝―③如图，当BE＝EF时，有∠EFB＝∠B＝45°，∴∠BEF＝90°，EF＝BE＝4，∴BF∴AF＝AB﹣BF＝―综上所述，AF的长为―4或19．（2021秋•南阳期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．（1）求BC边的长；（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．【思路点拨】（1）直接根据勾股定理求出BC的长度；（2）当△ABP为直角三角形时，分两种情况：①当∠APB为直角时，②当∠BAP为直角时，分别求出此时的t值即可；（3）当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．【解题过程】解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16，∴BC＝4（cm）；（2）由题意知BP＝tcm，①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4cm，即t＝4；②当∠BAP为直角时，BP＝tcm，CP＝（t﹣4）cm，AC＝3cm，在Rt△ACP中，AP2＝32+（t﹣4）2，在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，即：52+[32+（t﹣4）2]＝t2，解得：t=25 4，故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t=25 4；（3）如图，①当AB＝BP时，t＝5；②当AB＝AP时，BP＝2BC＝8cm，t＝8；③当BP＝AP时，AP＝BP＝tcm，CP＝（4﹣t）cm，AC＝3cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，所以t2＝32+（4﹣t）2，解得：t=25 8，综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t=25 8．20．（2021秋•永春县期末）如图△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5．（1）求AB的长；（2）若动点P从点C开始以每秒1个单位的速度，按C→A→B的路径运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，△BCP为等腰三角形？【思路点拨】（1）由勾股定理即可得出答案；（2）分情况讨论，由等腰三角形的判定与性质分别求解即可．【解题过程】解：（1）∵∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB==13，∴AB的长为13；（2）当点P在AC上时，CP＝CB＝5，t＝5（s）；当点P在AB上时，分三种情况：①当BP＝BC＝5，如图1所示：则AP＝13﹣5＝8，t＝12+8＝20（s）；②当CP＝CB＝5时，过点C作CM⊥AB于M，如图2所示：则BM＝PM=12 BP，∵12AC•BC=12AB•CM，∴CM=AC⋅BCAB=12×513=6013，在Rt△BCM中，由勾股定理得：BM=25 13，∴BP＝2BM=50 13，∴AP＝13―5013=11913，∴t＝12+11913=27513（s）；③当PC＝PB时，如图3所示：则∠B＝∠BCP，∵∠B+∠A＝90°，∠BCP+∠ACP＝90°，∴∠A＝∠ACP，∴AP＝PC，∴AP＝PB=12AB=132，∴t＝12+132=372（s）；综上所述，当t＝5s或20s或27513s或372s时，△BCP为等腰三角形．。

九年级数学下册中考专题线段长度的计算方法人教版

4.用相似三角形知识求线段长度
例已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于D、 E，连接ED.若ED＝EC. (1)求证：AB＝AC； (2)若AB＝4，BC＝2，求CD的长．
(1)证明：∵ED＝EC，∴∠C＝∠EDC ∵四边形ABED内接于⊙O. ∴∠ABE＋∠ADE＝180° 又∠EDC＋∠ADE＝180° ∴∠ABE＝∠EDC ∴∠ABE＝∠C ∴AB＝AC.
∵接OBDD⊥. AC，OD经过圆心O，∴AD＝CD，∴PA＝PC，在△OAP和△OCP中，
(1)求证：AB＝AC；
又∠EDC＋∠ADE＝°
(1)证明：∵ED＝EC，∴∠C＝∠EDC
∴∠ABE＋∠ADE＝180°
用锐角三角函数知识求线段长
用勾股定理求线段长度：
1.用勾股定理求线段长度：
例1：直角三角形两边为3和4，则第三边长
在△OAP和△OCP中，PA PC
OP OP
∴△OAP≌△OCP(SSS)，∴∠OCP＝∠OAP
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°.∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC ∴PC是⊙O的切线．
(2)∵OB＝OC，∠OBC＝60°， ∴△OBC是等边三角形， ∴∠COB＝60°， ∵AB＝10， ∴OC＝5，由(1)知∠OCF＝90°， ∴CF＝OCtan ∠COB＝5 3 .
△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O
交AC边于点D，过点C作CF∥AB，与过例已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于D、E，连接ED.
在△OAP和△OCP中，中考专题------线段长度的计算方法
点B的切线交于点F，连接BD. 用勾股定理求线段长度：
天才是由于对事业的热爱感而发展起来的，简直可以说天才。桐山万里丹山路，雄风清于老风声

九级数学上册专题训练八线段的计算

专题训练(八) 线段的计算——教材P128练习T3的变式与应用教材母题：(教材P 128练习T 3)如图，点D 是线段AB 的中点，C 是线段AD 的中点，若AB ＝4 cm ，求线段CD 的长度．【解答】因为点D 是线段AB 的中点，AB ＝4 cm ，所以AD ＝12AB ＝12×4＝2(cm )．因为C 是线段AD 的中点，所以CD ＝12AD ＝12×2＝1(cm )．【方法归纳】结合图形，将待求线段长转化为已知线段的和、差形式．若题目中出现线段的中点，常利用线段中点的性质，结合线段的和、差、倍、分关系求解．同时应注意题目中若没有图形，或点的位置关系不确定时，常需要分类讨论，确保答案的完整性．1．如图，线段AB ＝22 cm ，C 是线段AB 上一点，且AC ＝14 cm ，O 是AB 的中点，求线段OC 的长度．解：因为点O 是线段AB 的中点，AB ＝22 cm ，所以AO ＝12AB ＝11 cm .所以OC ＝AC －AO ＝14－11＝3(cm )．2．如图，已知C 是AB 的中点，D 是AC 的中点，E 是BC 的中点．(1)若DE ＝9 cm ，求AB 的长； (2)若CE ＝5 cm ，求DB 的长．解：(1)因为D 是AC 的中点，E 是BC 的中点，所以AC ＝2CD ，BC ＝2CE.所以AB ＝AC ＋BC ＝2DE ＝18 cm . (2)因为E 是BC 的中点，所以BC ＝2CE ＝10 cm .因为C 是AB 的中点，D 是AC 的中点，所以DC ＝12AC ＝12BC ＝5 cm .所以DB ＝DC ＋BC ＝5＋10＝15(cm )．3．如图，B ，C 两点把线段AD 分成2∶5∶3三部分，M 为AD 的中点，BM ＝6 cm ，求CM 和AD 的长．解：设AB ＝2x cm ，BC ＝5x cm ，CD ＝3x cm ，所以AD ＝AB ＋BC ＋CD ＝10x cm . 因为M 是AD 的中点，所以AM ＝MD ＝12AD ＝5x cm .所以BM ＝AM －AB ＝5x －2x ＝3x(cm )．因为BM ＝6 cm ，所以3x ＝6，x ＝2.故CM ＝MD －CD ＝5x －3x ＝2x ＝2×2＝4(cm )， AD ＝10x ＝10×2＝20(cm )．4．如图，线段AB ＝1 cm ，延长AB 到C ，使得BC ＝32AB ，反向延长AB 到D ，使得BD ＝2BC ，在线段CD 上有一点P ，且AP ＝2 cm .(1)请按题目要求画出线段CD ，并在图中标出点P 的位置； (2)求出线段CP 的长度．解：(1)线段CD 和点P 的位置如图1、2所示．(2)因为AB ＝1 cm ，所以BC ＝32AB ＝32 cm .所以BD ＝2BC ＝3 cm .当点P 在点A 的右边时，CP ＝AB ＋BC －AP ＝12cm ；当点P 在点A 的左边时，点P 与点D 重合，CP ＝BD ＋BC ＝92cm .。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

图形中线段长度的求解问题(含提示、解析)1、如图，在△ABC 中，AB ＝2AC ，AD 是角平分线，E 是BC 边的中点，EF ⊥AD 于点F ，CG ⊥AD 于点G ，若tan ∠CAD=43，AB ＝20，求线段EF 的长.2、如图，在△ABC 中，tan ∠ACB=3，点D 、E 在BC 边上，∠DAE ＝21∠BAC ，∠ACB＝∠DAE ＋∠B ，点F 在线段AE 的延长线上，AF ＝AD ，若CD ＝4，CF ＝2，求AC边的长.A G FB E DC A F BDE C3、如图在△ABC 中，∠A=30°，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，BD=CE=BC ，点F 在BC 边上，DF 与BE 交于点G 。

若BG=1，∠BDF=21∠ACB ，求EG 的长.4、如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，角平分线BD 、CE 交于点F ，若BC ＝3CD ，BF ＝2，求BC 边的长.C A E BF DCA DB FEG5、如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AC ＝6，点D 是AB 的中点，DE//BC ，点F 为BC 上一动点，连接AF 交DG 于E ，∠AEC 恰好为90°，连接CE ，当DE ＝2时，求线段AB 的长.6、如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的中线，点F 在线段 AD 上，点F 在CD 延长线上，AE ＝DF ，连接CE 、BF ，若∠AEC ＝∠DFB ，AC ＝23，DF ＝3-1，求线段CE 的长.CA E D BA B F C G D E7、如图，在等边△ABC 中，D 为AB 边上一点，连接CD ，在CD 上取一点E ，连接BE ，∠BED ＝60°，若CE ＝5，△ACD 的面积为4335，求线段DB 的长.8、如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＋∠C ＝120°，AB ＝10，CD ＝6.M 为 BC 中点，N 为AD 中点，求MN 的长.AB CFDEB MC A N D思路提示及解析：1、如图，在△ABC 中，AB ＝2AC ，AD 是角平分线，E 是BC 边的中点，EF ⊥AD 于点F ，CG ⊥AD 于点G ，若tan ∠CAD=43，AB ＝20，求线段EF 的长.思路提示：要求线段EF 的长，就要利用条件得到的EF 与CG 的平行关系。

易得CG 的长，ED 、CD 的长要结合E 是BC 中点及AD 平分∠BAC 综合求得。

解析：∵AB ＝2AC ，AB ＝20，∴AC ＝10.∵CG ⊥AD ，tan ∠CAD=43，∴CG=54AC ＝8.∵EF ⊥AD ， ∴EF ∥CG ，∴ED :CD=EF :CG ，∴EF=ED·CG/CD .∵AD 平分∠BAC ， ∴BD :DC=AB :AC ＝2:1，即(BE+ED):DC=2.∵E 是BC 边的中点，∴BE=CE ， ∴(CD+2ED):CD=2，∴CD=2ED ， ∴EF=0.5CG=4.2、如图，在△ABC 中，tan ∠ACB=3，点D 、E 在BC 边上，∠DAE ＝21∠BAC ，∠ACB＝∠DAE ＋∠B ，点F 在线段AE 的延长线上，AF ＝AD ，若CD ＝4，CF ＝2，求AC 边的长.思路提示：从AF ＝AD ，∠DAE ＝21∠BAC 入手，构造全等三角形，进而得等腰三角形，最后由tan ∠ACB=3可得AC 的长. 解析：如图，在∠DAE 内作∠DAP ＝∠FAC .∵∠DAE ＝21∠BAC=∠DAB+∠CAE ，∴∠BAP ＝∠DAE .∵∠ACB ＝∠DAE ＋∠B ，又∵∠APC ＝∠BAP ＋∠B ， ∴∠APC ＝∠ACB ，∴AP ＝AC . ∵∠DAP ＝∠FAC ，AD ＝AF ， ∴△ADP ≌△AFC ，∴PD=CF=2.∵CD ＝4，∴CP=2. 作AH ⊥PC 于点H ，则HC=21PC=1.∵tan ∠ACB=3，∴Rt △AHC 中，AC=10.3、如图在△ABC 中，∠A=30°，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，BD=CE=BC ，点F 在BC 边上，DF 与BE 交于点G 。

若BG=1，∠BDF=21∠ACB ，求EG 的长.AG B E D CAFB D EC P H思路提示：要求出EG 的长，已知BG=1，就要想法求出EB .根据BD=BC ，结合∠BDF=21∠ACB ，可构造三角形全等.此题的一个关键在由已知可求出∠BGF=60°.解析：设∠BDF=x °，则由∠BDF=21∠ACB 得∠BCE=2x °. ∵CE=BC ，∴∠CEB=(90-x )°.∵∠A=30°，∴∠ABE=∠CEB -∠A=(60-x )°，∴∠BGF=∠ABE+∠BDF=60°.过点B 作BH ⊥DF 于点H ， ∵BG=1，∴BH=BG·sin60°=23. 过点C 作CP ⊥BE 于点P ，则∠BCP=21∠ACB=∠BDF ，BP=21BE .∵∠BPC=∠BDH=90°，BC=BD ， ∴△BPC ≌△BHD ， ∴BP=BH=23，∴BE=2BH=3，故EG=BE -BG=3-1. 4、如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，角平分线BD 、CE 交于点F ，若BC ＝3CD ，BF ＝2，求BC 边的长.思路提示：先由“∠A ＝60°，角平分线BD 、CE 交于点F ”可求出∠CFB=2∠A=120°；结合BC ＝3CD ，得到DF=31BF=32；在CB 上截取CG=CD ，易证△CDF ≌△CGF ，进而得GF=DF=32，∠GFB=60°；过点G 作GH ⊥BF 于点H ，可得GH=33，FH=31，进而得BH=35，BG=372，BC=7。

解析：∵∠A ＝60°，角平分线BD 、CE 交于点F ， ∴∠FCB+∠FBC=21(∠ACB+∠ABC)=21(180°-∠A)=60°∴∠CFD=60°，∠CFB=120°.∵CF 平分∠BCD 且BC ＝3CD ，BF ＝2，∴DF=31BF=32.如图，在CB 上截取CG=CD ，连接FG .∵在△CDF 和△CGF 中，CG=CD ，∠DCF=∠GCF ，CF=CF ， ∴△CDF ≌△CGF ，∴GF=DF=32，∠CFG=60°.进而得∠GFH=60°.GHCA DB F E GH PCF D过点G 作GH ⊥BF 于点H ，则在Rt △GHF 中，GH=GF·sin ∠GFH=332332=⨯，FH=21FG=31，进而得BH=BF -FH=35.在Rt △GHB 中，BG=22GH BH +=372，故BC=23BG=7. 【补充】此题在求出GF 、GH 、∠GFH 后，也可在△GFB 中用“余弦定理”求BG . 即BG 2=FG 2+BF 2-2FG·BF·cos ∠GFH=9282123222)32(22=⨯⨯⨯-+.5、如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AC ＝6，点D 是AB 的中点，DE//BC ，点F 为BC 上一动点，连接AF 交DG 于E ，∠AEC 恰好为90°，连接CE ，当DE ＝2时，求线段AB 的长.思路提示：根据条件，逐步求出EG=AG=GC=21AC=3，BC=2DG=10，最后，根据勾股定理，得AB=8。

解析：∵点D 是AB 的中点，DE//BC ，即DG//BC ，∴DG 是BC 的中位线，∴AG=GC=21AC=3.∵∠AEC=90°，∴EG=21AC=3.∴DG=DE+EG=2+3=5，∴BC=2DG=10.在Rt △GHB 中，AB=22AC B C -=8.6、如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的中线，点F 在线段 AD 上，点F 在CD 延长线上，AE ＝DF ，连接CE 、BF ，若∠AEC ＝∠DFB ，AC ＝23，DF ＝3-1，求线段CE 的长.思路提示：在DA 上截取DG=DF ，连结CG ，可证△CDG ≌△BDF ，再证△CDG ≌△CAE ，则AD=AC=23；过点C 作CH ⊥AD 于点H ，可得EH=1，CH=3，故CE=10。

解析：如图，在DA 上截取DG=DF ，连结CG.∵∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的中线， ∴CD=AD=BD.∵在△CDG 和△BDF 中，CD=BD ，∠CDG=∠BDF ，DG=DF ， ∴△CDG ≌△BDF ，∴CG=BF ，∠DGC=∠DFB.∵∠AEC ＝∠DFB ，∴∠AEC ＝∠DGC ， ∴∠HEC ＝∠HGC ，∴EC ＝GC.A GD E C A E HG D B∵AE ＝DF ，∴AE ＝DG . 在△CAE 和△CDG 中，∵EC ＝GC ，∠AEC ＝∠DGC ，AE ＝DG ， ∴△CAE ≌△CDG ，∴CA=CD. ∵CD=AD ，∴AD=AC ＝23.∵DF ＝3-1，即AE ＝DG ＝3-1，∴EG=2. 过点C 作CH ⊥AD 于点H ，则EH=21EG=1. ∵CH=AC·sin ∠A=2332⨯=3， ∴CE=22CH EH +=10.7、如图，在等边△ABC 中，D 为AB 边上一点，连接CD ，在CD 上取一点E ，连接BE ，∠BED ＝60°，若CE ＝5，△ACD 的面积为4335，求线段DB 的长. 思路提示：先证△CDA ≌△BFC ，可得CD ＝BF ，S △CBF ＝S △ACD ＝4335；由∠CEF ＝∠BED ＝60°，CE ＝5，得以BF 为底，△CBF 的高为235，则BF ＝7，即CD ＝7，则DE ＝2；易得△BDE ∽△CDB ，则BD 2＝DE·CD ＝14，故BD ＝14。

解析：∵等边△ABC 中，∠ACB ＝60°，即∠ACD+∠ECB ＝60°，又∵∠BED ＝60°，即∠CBF+∠ECB ＝60°， ∴∠ACD=∠CBF.在△CDA 和△BFC 中，∵∠CAD ＝∠BCF ，CA ＝BC ，∠ACD=∠CBF ，∴△CDA ≌△BFC ，∴CD ＝BF ，S △CBF ＝S △ACD ＝4335. 过点C 作CH ⊥BF 于点H ， ∵∠CEH ＝∠BED ＝60°，CE ＝5， ∴CH=5×23=235. ∴BF ＝23543352÷⨯＝7，即CD ＝7，则DE ＝2. AB CF DEH∵∠CBD ＝∠BED ，∠BDC ＝∠EDB ， ∴△BDE ∽△CDB ， ∴BD :CD=DE :BD ，∴BD 2＝DE·CD ＝14，故BD ＝14.8、如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＋∠C ＝120°，AB ＝10，CD ＝6.M 为 BC 中点，N 为AD 中点，则MN 的长为 .思路提示：先平移AB 、CD ，交于点N ，可得两个平行四边形和两边长为10、6，夹角为60°的三角形。