20-21第6章第2节 等差数列及其前n项和ppt_38
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第二节等差数列及其前n项和-PPT精品.ppt
有
限
(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
公
司
菜 单 隐藏
2014 · 新课标高考总复习 · 数学（文）
抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知
[疑难关注]
识探究
1．等差数列中的函数特性
悟真题
透析解
题策略
(1)当公差d≠0时，等差数列的通项公式是n的一次函数，当公差d
提素能 高效题
C．20
D．25
提素能
解析：利用等差数列的性质求解．
高效题
组训练
∵{an}是等差数列，∴a2＋a4＝2a3＝1＋5.∴a3＝3. 山
∴S5＝5a12＋a5＝5×22a3＝5a3＝5×3＝15.
东 金 太
答案：B
阳 书
业
有
限
公
司
菜 单 隐藏
2014 · 新课标高考总复习 · 数学（文）
抓主干 双基知 能优化
山
答案：13
东 金
太
阳
书
业
有
限
公
司
菜 单 隐藏
2014 · 新课标高考总复习 · 数学（文）
抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究
悟真题 透析解
考向一 等差数列的判定与证明
题策略
提素能 高效题
[例 1] (2012 年高考陕西卷)已知等比数列{an}的公比 q＝－12.
组训练
(1)若 a3＝14，求数列{an}的前 n 项和；
2014 · 新课标高考总复习 · 数学（文）
抓主干 双基知 能优化
研考向
要点知
识探究
悟真题
第二节 等差数列及其前n项和
等差数列前n项和的性质ppt课件
解析： 方法一：设 an＝a1＋(n－1)d，bn＝b1＋(n－1)e.
取 n＝1，则ab11＝TS11＝12，所以 b1＝2a1.所Βιβλιοθήκη 以Sn Tn＝
na1＋nn－ 2 1d nb1＋nn－ 2 1e
＝
a1＋n－2 1d b1＋n－2 1e
＝
a1＋n2d－d2 2a1＋n2e－2e
＝
3n2＋n 1，
一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求 前110项之和．
由题目可获取以下主要信息： ①S10＝100，S100＝10；②此数列为等差数列． 解答本题可充分利用等差数列前n项和的有关性质解答．
[解题过程] 方法一：设等差数列{an}的公差为 d，前 n 项和为 Sn，则 Sn＝na1＋nn－2 1d.
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S9＝72，则a2＋a4＋a9 ＝________.
解析： 由等差数列的性质S9＝9a5＝72，a5＝8，a2＋a4＋a9 ＝a1＋a5＋a9＝3a5＝24，故填24.
答案： 24
4．(1)等差数列{an}中，a2＋a7＋a12＝24，求 S13. (2)等差数列{an}的公差 d＝12，且 S100＝145， 求 a1＋a3＋a5＋…＋a99. 解析： (1)∵a2＋a12＝a1＋a13＝2a7， 又 a2＋a7＋a12＝24，∴a7＝8. ∴S13＝13a12＋a13＝13×8＝104. (2)∵S100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100) ＝2(a1＋a3＋…＋a99)＋50d＝145， 又 d＝12，∴a1＋a3＋…＋a99＝60.
an＝Sn－Sn－1＝n2－3n＋1－[(n－1)2－3(n－1)＋1] ＝2n－4，
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
几何等领域。
组合数学
等差数列的前n项和公式可以应 用于组合数学中，解决一些组合 问题，如计算组合数的公式等。
数列求和
等差数列的前n项和公式是数列 求和的一种重要方法，可以用于
解决等差数列的求和问题。
在物理中的应用
力学
在物理学中，等差数列的 前n项和公式可以应用于求 解一些力学问题，如计算 多自由度振动的周期等。
简化计算
等差数列的前n项和公式在日常生活 和科学研究中有着广泛的应用，如计 算存款利息、解决生产计划问题等。
对于一些较大的等差数列，使用前n 项和公式可以大大简化计算过程，提 高计算效率。
验证答案
使用前n项和公式可以快速验证一些 等差数列求和问题的答案，确保计算 的准确性。
实例解析
简单实例
例如，一个等差数列1, 4, 7, 10... ，使用前n项和公式可以快速求出
统计学
在统计学中，等差数列的 前n项和公式可以用于计算 平均值、中位数等统计指 标。
信号处理
在信号处理中，等差数列 的前n项和可以用于计算信 号的频谱、滤波等操作。
在计算机科学中的应用
数据结构
在计算机科学中，等差数列的前n项和公式可以应用于一些数据结 构的设计，如数组、链表等。
算法设计
等差数列的前n项和公式可以用于设计一些算法，如排序算法、查 找算法等。
详细描述
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻的项之间的 差是一个固定的值，这个值被称为公差。等差数列的通项公 式为 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项，a_1 是首项 ，d 是公差。
性质
总结词
等差数列具有一些重要的性质，包括对称性、中项性质和等差中项性质等。
组合数学
等差数列的前n项和公式可以应 用于组合数学中，解决一些组合 问题，如计算组合数的公式等。
数列求和
等差数列的前n项和公式是数列 求和的一种重要方法，可以用于
解决等差数列的求和问题。
在物理中的应用
力学
在物理学中，等差数列的 前n项和公式可以应用于求 解一些力学问题，如计算 多自由度振动的周期等。
简化计算
等差数列的前n项和公式在日常生活 和科学研究中有着广泛的应用，如计 算存款利息、解决生产计划问题等。
对于一些较大的等差数列，使用前n 项和公式可以大大简化计算过程，提 高计算效率。
验证答案
使用前n项和公式可以快速验证一些 等差数列求和问题的答案，确保计算 的准确性。
实例解析
简单实例
例如，一个等差数列1, 4, 7, 10... ，使用前n项和公式可以快速求出
统计学
在统计学中，等差数列的 前n项和公式可以用于计算 平均值、中位数等统计指 标。
信号处理
在信号处理中，等差数列 的前n项和可以用于计算信 号的频谱、滤波等操作。
在计算机科学中的应用
数据结构
在计算机科学中，等差数列的前n项和公式可以应用于一些数据结 构的设计，如数组、链表等。
算法设计
等差数列的前n项和公式可以用于设计一些算法，如排序算法、查 找算法等。
详细描述
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻的项之间的 差是一个固定的值，这个值被称为公差。等差数列的通项公 式为 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项，a_1 是首项 ，d 是公差。
性质
总结词
等差数列具有一些重要的性质，包括对称性、中项性质和等差中项性质等。
2021高考数学一轮复习第6章数列第2节等差数列及其前n项和课件文北师大版
又
1 a1
＝1，因此数列
1
an
是首项为1，公差为2的等差数列，所以
a1n＝1＋2(n－1)＝2n－1，
所以an＝2n1－1.]
39
2．在数列{an}中，a1＝2，an是1与anan＋1的等差中项． 求证：数列an－1 1是等差数列，并求{an}的通项公式．
40
[证明] 由题意知2an＝1＋anan＋1， ∴an＋11－1－an－1 1 ＝aan－n＋11－－1aan＋n－1－11 ＝an＋1·ana－n－ana＋n1＋－1 an＋1＝2ana－n－ana＋n1＋－1 an＝1. 又a1＝2，a1－1 1＝1， ∴数列an－1 1是首项为1，公差为1的等差数列．
[答案](1)× (2)√ (3)√ (4)×
12
二、教材改编
1．等差数列11,8,5，…中，－49是它的( )
A．第19项
B．第20项
C．第21项
D．第22项
C [由题意知an＝11＋(n－1)×(－3)＝－3n＋14，令－3n＋14 ＝－49得n＝21，故选C.]
13
2．在等差数列{an}中a1＝14.5，d＝0.7，an＝32，则Sn＝( )
等差中项 2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{an}是 法 等差数列
适合题型
解答题中 证明问题
30
通项公式 an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成 选择、填
法 立⇔{an}是等差数列
空题中的
前n项和公 验证Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整 判定问题
式法 数n都成立⇔{an}是等差数列
4
课前自主回顾
5
1．等差数列的有关概念
等差数列的前n项和PPT教学课件
“倒序相加”法
讲授新课
1. 等差数列的前n项和公式一
讲授新课
1. 等差数列的前n项和公式一
Sn
n(a1an) 2
讲授新课
2. 等差数列的前n项和公式二
讲授新课
2. 等差数列的前n项和公式二
n(n1)d Snn1a 2
讲授新课
2. 等差数列的前n项和公式二
n(n1)d Snn1a 2还可化成 Nhomakorabea 思考:
1. 等差数列中，S10，S20－S10，S30－S20 成等差数列吗？
2. 等差数列前m项和为Sm，则Sm， S2m－Sm，S3m－S2m是等差数列吗？
PPT教学课件
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2020/12/10
25
Snd 2n2(a1d 2)n
讲解范例:
例1. (1)已知等差数列{an}中，a1＝4， S8＝172，求a8和d;
(2)等差数列－10，－6，－2，2， …前多少项的和是54？
讲解范例:
例 2. 2000 年 11 月 14 日教育部下发了《关 于在中小学实施“校校通”工程的通知》.某 市据此提出了实施“校校通”工程的总目标： 从 2001 年起用 10 年的时间，在全市中小 学建成不同标准的校园网. 据测算，2001 年该市用于“校校通”工程的经费为 500 万 元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投 入的资金都比上一年增加 50 万元.那么从 2001 起的未来 10 年内，该市在“校校通” 工程中的总投入是多少？
教师问：“你是如何算出答案的？” 高斯回答说：“因为1+100=101；2+99=101；… 50+51=101，所以101×50=5050”.
讲授新课
1. 等差数列的前n项和公式一
讲授新课
1. 等差数列的前n项和公式一
Sn
n(a1an) 2
讲授新课
2. 等差数列的前n项和公式二
讲授新课
2. 等差数列的前n项和公式二
n(n1)d Snn1a 2
讲授新课
2. 等差数列的前n项和公式二
n(n1)d Snn1a 2还可化成 Nhomakorabea 思考:
1. 等差数列中，S10，S20－S10，S30－S20 成等差数列吗？
2. 等差数列前m项和为Sm，则Sm， S2m－Sm，S3m－S2m是等差数列吗？
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2020/12/10
25
Snd 2n2(a1d 2)n
讲解范例:
例1. (1)已知等差数列{an}中，a1＝4， S8＝172，求a8和d;
(2)等差数列－10，－6，－2，2， …前多少项的和是54？
讲解范例:
例 2. 2000 年 11 月 14 日教育部下发了《关 于在中小学实施“校校通”工程的通知》.某 市据此提出了实施“校校通”工程的总目标： 从 2001 年起用 10 年的时间，在全市中小 学建成不同标准的校园网. 据测算，2001 年该市用于“校校通”工程的经费为 500 万 元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投 入的资金都比上一年增加 50 万元.那么从 2001 起的未来 10 年内，该市在“校校通” 工程中的总投入是多少？
教师问：“你是如何算出答案的？” 高斯回答说：“因为1+100=101；2+99=101；… 50+51=101，所以101×50=5050”.
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =25。
04
第二题答案：16；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有4a + 6d = 12，解得a+d=2，所 以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +4 =16。
感谢您的观看
THANKS
习题答案与解析
进阶习题答案与解析
01
输标02入题
第一题答案：42；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 10d = 25，解得a+d=5， 所以第6项到第10项的和为5a+35d=42。
03
第三题答案：25；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 20d = 80，解得a+4d=8，
第二题答案：18；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有3a + 3d = 15，解得a+d=5，所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +3 =18。
习题答案与解析
• 第三题答案：30；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有5a + 45d = 200，解得a+d=5，所以这个等差数 列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =30。
公式5
$S_n - S_{n-1} = a_n$
公式6
$S_n = S_{n-1} + a_n$
公式之间的联系与区别
联系
公式1、2、3都是求等差数列前n项 和的基本公式，而公式4、5、6则是 基于这些基本公式的推导或变种。
区别
公式1和公式2形式较为简洁，而公式 3则更便于观察等差数列的对称性质。 公式4、5、6则更注重于相邻两项和 之间的关系，可以用于求解某些特定 问题。
04
第二题答案：16；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有4a + 6d = 12，解得a+d=2，所 以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +4 =16。
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习题答案与解析
进阶习题答案与解析
01
输标02入题
第一题答案：42；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 10d = 25，解得a+d=5， 所以第6项到第10项的和为5a+35d=42。
03
第三题答案：25；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 20d = 80，解得a+4d=8，
第二题答案：18；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有3a + 3d = 15，解得a+d=5，所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +3 =18。
习题答案与解析
• 第三题答案：30；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有5a + 45d = 200，解得a+d=5，所以这个等差数 列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =30。
公式5
$S_n - S_{n-1} = a_n$
公式6
$S_n = S_{n-1} + a_n$
公式之间的联系与区别
联系
公式1、2、3都是求等差数列前n项 和的基本公式，而公式4、5、6则是 基于这些基本公式的推导或变种。
区别
公式1和公式2形式较为简洁，而公式 3则更便于观察等差数列的对称性质。 公式4、5、6则更注重于相邻两项和 之间的关系，可以用于求解某些特定 问题。
第二节等差数列及其前n项和课件
若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝
.
解析：设等差数列{an}的公差为d.因为a1＝－2，a2＋ a6＝2，所以－2＋d＋（－2）＋5d＝2，解得d＝1.由等 差数列的前n项和公式，得S10＝10×（－2）＋ 10×（210－1）×1＝25.
答案：25
题组二 易错自纠
常见误区：①等差数列概念中的两个易误点，即同
1.已知数列{an}满足a1＝－23，an＋1＝－3a2na＋n－43（n∈N*）.
（1）证明：数列an＋1 1是等差数列；
（2）求{an}的通项公式.
（1）证明：因为an＋1＋1＝
－2an－3 3an＋4
＋1＝
an＋1 3an＋4
，
所以an＋11＋1＝3aann＋＋14＝3＋an＋1 1，所以an＋11＋1－an＋1 1＝
2.等差数列的有关公式
（1）通项公式：an＝a1＋（n－1）d；an＝am＋
（n－m）d.
（2）前n项和公式：Sn＝na1＋
n（n－1）d 2
＝
n（a1＋an） 2
.
3.等差数列的性质
已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和.
（1）若m，n，p，q，k是正整数，且m＋n＝p＋q＝
2k，则am＋an＝ap＋aq＝2ak.
3，所以an＋1 1是首项为a1＋1 1＝3，公差为3的等差数列.
（2）解：由（1）得an＋1 1＝3n，所以an＝31n－1.
2.已知等差数列的前三项依次为a，4，3a，前n项和
为Sn，且Sk＝110. （1）求a及k的值；
（2）设数列{bn}的通项公式bn＝
Sn n
，证明：数列{bn}
是等差数列，并求其前n项和Tn.
等差数列前n项和性质上课用ppt课件
等差数列的性质应用：
例、已知一个等差数列的总项数为奇数， 且奇数项之和为77，偶数项之和为 66，求中间项及总项数。
解：由 S奇 S偶 中间项
得中间项为11 又由 S奇 S偶 143 得 n 13
等差数列{an}前n项和的性质的应用
例6.两等差数列{an} 、{bn}的前n项和分
别是Sn和Tn,且 Sn 7n 1
13a1+13×6d<0
24 d 3 7
(2)
∵
Sn
na1
1 2
n(n 1)d
1
n(12 2d ) n(n 1)d
2
d n2 (12 5d )n
2
2 5 12
∴Sn图象的对称轴为 n
由(1)知 24 7
d
3
2d
∴Sn有最大值.
由上得 6 5 12 13 即 6 n 13
A.63 B.45 C.36 D.27
例3.在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且
a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=A( )
A.85 B.145 C.110 D.90
等差数列的性质应用：
例4、已知等差数列an 的前10项之和
为140，其中奇数项之和为125 ， 求第6项。
前n项的和分别为Sn和Tn,则
an bn
S2n1 T2 n 1
等差数列的性质应用：
例1、已知一个等差数列前n项和为25， 前2n项的和为100，求前3n项和。
3.等差数列{an}前n项和的性质的应用 例2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若
S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( B)
最新-2021版一轮文数课件：第六章 第二节 等差数列及其前n项和 精品
(2)因为 S5S6＋15＝0， 所以(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0， 即 2a21＋9da1＋10d2＋1＝0， 故(4a1＋9d)2＝d2－8，所以 d2≥8. 故 d 的取值范围为 d≤－2 2或 d≥2 2.
规律方法
1.等差数列的通项公式 an＝a1＋n－1d 及前 n 项和公式
(2)数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，因此， 当 n≥3 时，an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＝4an，① 当 n≥4 时，an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an.② 由①知，an－3＋an－2＝4an－1－(an＋an＋1)，③ an＋2＋an＋3＝4an＋1－(an－1＋an)．④ 将③④代入②，得 an－1＋an＋1＝2an， 其中 n≥4，
1．已知等差数列{an}中，a4＋a6＝10，前 5 项和 S5＝5，则其公 差为___2_____．
解析：由 a4＋a6＝10，得 2a5＝10， 所以 a5＝5.由 S5＝5a3＝5，得 a3＝1， 所以 d＝a5－2 a3＝5－2 1＝2.
2．在等差数列{an}中，a9＋a11＝10，则数列{an}的前 19 项之和 为___9_5____． 解析：由等差数列求和公式得 S19＝19a12＋a19＝19a92＋a11＝19×2 10＝95.
＝4.
5．已知数列{an}是等差数列，若它的前 n 项和 Sn 有最小值， 且aa1110<－1，则使 Sn>0 成立的最小自然数 n 的值为___2_0____．
解析：由已知得，a1<0，d>0，a10<0，a11>0，a1＋a19<0，a10＋ a11>0，∴a1＋a20>0，∴S19<0，S20>0，故 n＝20.
课件5：6.2 等差数列及其前n项和
差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数 列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．
• 2．等差数列的通项公式 • 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的
通项公式是an＝a1＋(n－1)d.
3．等差中项 如果 A＝a＋2 b，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项．
4．等差数列的常用性质
[答案] 6
考向二 等差数列的判定或证明 例 2 (2015·江南十校联考)若数列{an}满足：a1＝23， a2＝2,3(an＋1－2an＋an－1)＝2. (1)证明：数列{an＋1－an}是等差数列； (2)求使a11＋a12＋a13＋…＋a1n＞52成立的最小的正整数 n.
思路点拨 由题设条件构造(an＋1－an)－(an－an－1)的值，并累 加求和．
∴a11＋
1 a2
＋…
＋a1n＝
3[(11－
1 2
)＋
(12－
1 3
)＋
…＋
(1n－
n＋1 1)＝
3·(1－n＋1 1)＞52
∴n＞5
n 的最小值为 6.
拓展提高 等差数列的四个判定方法
(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个 常数．
(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2 后，可递推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－ an－2＝…＝a2－a1，根据定义得出数列{an}为等差数列． (3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p对任意 正整数n恒成立，根据定义判定数列{an}为等差数列．
(1)证明：数列{ann}是等差数列； (2)设 bn＝3n· an，求数列{bn}的前 n 项和 Sn. (1)证明 由已知可得na＋n＋11＝ann＋1，即na＋n＋11－ann＝1，所以 {ann}是以a11＝1 为首项，1 为公差的等差数列．
• 2．等差数列的通项公式 • 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的
通项公式是an＝a1＋(n－1)d.
3．等差中项 如果 A＝a＋2 b，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项．
4．等差数列的常用性质
[答案] 6
考向二 等差数列的判定或证明 例 2 (2015·江南十校联考)若数列{an}满足：a1＝23， a2＝2,3(an＋1－2an＋an－1)＝2. (1)证明：数列{an＋1－an}是等差数列； (2)求使a11＋a12＋a13＋…＋a1n＞52成立的最小的正整数 n.
思路点拨 由题设条件构造(an＋1－an)－(an－an－1)的值，并累 加求和．
∴a11＋
1 a2
＋…
＋a1n＝
3[(11－
1 2
)＋
(12－
1 3
)＋
…＋
(1n－
n＋1 1)＝
3·(1－n＋1 1)＞52
∴n＞5
n 的最小值为 6.
拓展提高 等差数列的四个判定方法
(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个 常数．
(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2 后，可递推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－ an－2＝…＝a2－a1，根据定义得出数列{an}为等差数列． (3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p对任意 正整数n恒成立，根据定义判定数列{an}为等差数列．
(1)证明：数列{ann}是等差数列； (2)设 bn＝3n· an，求数列{bn}的前 n 项和 Sn. (1)证明 由已知可得na＋n＋11＝ann＋1，即na＋n＋11－ann＝1，所以 {ann}是以a11＝1 为首项，1 为公差的等差数列．
等差数列前n项和的性质-PPT文档资料31页
又∵n∈N*，∴n＝10或n＝11时，Sn取最小值．
广东省普宁市第二中学数学组 2019/10/4
高二·必修5·数学
解法 2：同解法 1，由 S9＝S12 得 a1＝－10d
代入aann＝＋1＝a1＋a1＋nn－d≥1>d0≤0 得，－－1100dd＋＋nnd－≥>10d≤0
『变式探究』
1.首项为正数的等差数列{an}，它的前3项和与前11项 和相等，则此数列前________项和最大？
2.等差数列{an} 前n项和Sn中，以S7最大，且|a7|<| a8|， 则使Sn>0的n的最大值为_____．
3.等差数列{an}中，已知|a7|=| a16|=9，且a14=5，则使 an<0的最大自数n=（ ）．
D.10
（2）设{an}为等差数列，Sn 为数列{an}的前 n 项和，已知 S7＝7，S15＝75，Tn 为数列{Snn}的前 n 项和，则 Tn________.
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高二·必修5·数学
『变式探究』
1.已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则有( ) A.a1+a101>0 B.a2+a100<0 C.a3+a99=0 D.a51=51
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高二·必修5·数学
[解析] (1)∵对任意的正整数 n,2 Sn＝an＋1 ①恒成立， 当 n＝1 时，2 a1＝a1＋1，即( a1－1＝an－1＋1.②
①2－②2得4an＝an2－an－12＋2an－2an－1， 即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0. ∵an>0，∴an＋an－1>0， ∴an－an－1＝2， ∴数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列， ∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
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解法 2：同解法 1，由 S9＝S12 得 a1＝－10d
代入aann＝＋1＝a1＋a1＋nn－d≥1>d0≤0 得，－－1100dd＋＋nnd－≥>10d≤0
『变式探究』
1.首项为正数的等差数列{an}，它的前3项和与前11项 和相等，则此数列前________项和最大？
2.等差数列{an} 前n项和Sn中，以S7最大，且|a7|<| a8|， 则使Sn>0的n的最大值为_____．
3.等差数列{an}中，已知|a7|=| a16|=9，且a14=5，则使 an<0的最大自数n=（ ）．
D.10
（2）设{an}为等差数列，Sn 为数列{an}的前 n 项和，已知 S7＝7，S15＝75，Tn 为数列{Snn}的前 n 项和，则 Tn________.
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『变式探究』
1.已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则有( ) A.a1+a101>0 B.a2+a100<0 C.a3+a99=0 D.a51=51
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高二·必修5·数学
[解析] (1)∵对任意的正整数 n,2 Sn＝an＋1 ①恒成立， 当 n＝1 时，2 a1＝a1＋1，即( a1－1＝an－1＋1.②
①2－②2得4an＝an2－an－12＋2an－2an－1， 即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0. ∵an>0，∴an＋an－1>0， ∴an－an－1＝2， ∴数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列， ∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
第六章§6.2 等差数列及其前n项和课件
题组三 易错自纠
5.(多选)设{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5<S6，S6＝S7>S8，
则下列结论正确的是
√A.d<0
C.S9>S5
√B.a7＝0 √D.S6与S7均为Sn的最大值
解析 S6＝S5＋a6>S5， 则a6>0，S7＝S6＋a7＝S6， 则a7＝0， 则d＝a7－a6<0，S8＝S7＋a8<S7，a8<0， 则a9<0， 又a6＋a8＝a5＋a9＝2a7＝0， ∴S5>S9， 由a7＝0，a6>0知S6，S7是Sn中的最大值. 从而ABD均正确.
解析 ∵a4＋a8＝20，
∴a1＋3d＋a1＋7d＝20，
即a1＋5d＝10，
①
a7＝a1＋6d＝12，
②
②－①得d＝2.
4.已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a3＝2，且S6＝30，则S9＝ __1_2_6____.
解析 由已知可得a21a＋1＋2d5＝d＝2，10， 解得ad1＝＝6－. 10， ∴S9＝9a1＋9×2 8d＝－90＋36×6＝126.
(2)等差中项
a＋b
若三个数，a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝ 2 .
2.等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝ a1＋(n－1)d .
(2)前n项和公式：Sn＝ na1＋nn－ 2 1d
na1＋an 或Sn＝ 2
.
3.等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋ (n－m)d (n，m∈N*). (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 ak＋al＝am＋an . (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是 公差为 md 的等差数列.
等差数列前n项和ppt
高斯的算法是： 首项与末项的和：1+100=101， 第2 项与倒数第2 项的和：2+99=101， 第3 项与倒数第3项的和：3+98=101， …… 第50项与倒数第50项的和： 50+51=101， 于是所求的和是：100*50=5050
变式1 1 + 2 + 3 + … + 99 + 100 + 101=?
即 ：（首项+末项）*项数 / 2
（1）.1+3+5+。。。+（2n-1）
n2
n（n+1）
(2).2+4+6+。。。+2n
上面习题的答案在以后会经常用到
巩固练习
例：在等差数列{an}中，
（1）a3= -2，a8=12，求S10 （2）a1=14.5，d=0.7，an=32，求Sn
解：（1）a1+a10 = a3+a8 = 10
（2）. 等差树列的性质
若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq. （其中m，n，p，q均为正整数）
引入新课
例：现有一个摆放铅笔的V形架，共100层，已知V形架的每上一层比 下一层多摆放一支铅笔，最顶层摆放了100支铅笔 。 问：这个V形架上摆放了多少 支铅笔？
这是一个什么问题？ 1 + 2 + 3 +···+ 100 = ？
S 10 ( a 1 a 10 ) 10 2 10 10 2 50
（2）由等差数列的通项公式，得 14.5+(n-1)0.7=32 n=26
S 26 (14 . 5 32 ) 26 2 604 . 5
变式1 1 + 2 + 3 + … + 99 + 100 + 101=?
即 ：（首项+末项）*项数 / 2
（1）.1+3+5+。。。+（2n-1）
n2
n（n+1）
(2).2+4+6+。。。+2n
上面习题的答案在以后会经常用到
巩固练习
例：在等差数列{an}中，
（1）a3= -2，a8=12，求S10 （2）a1=14.5，d=0.7，an=32，求Sn
解：（1）a1+a10 = a3+a8 = 10
（2）. 等差树列的性质
若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq. （其中m，n，p，q均为正整数）
引入新课
例：现有一个摆放铅笔的V形架，共100层，已知V形架的每上一层比 下一层多摆放一支铅笔，最顶层摆放了100支铅笔 。 问：这个V形架上摆放了多少 支铅笔？
这是一个什么问题？ 1 + 2 + 3 +···+ 100 = ？
S 10 ( a 1 a 10 ) 10 2 10 10 2 50
（2）由等差数列的通项公式，得 14.5+(n-1)0.7=32 n=26
S 26 (14 . 5 32 ) 26 2 604 . 5
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主
回 顾
________．
课 后
487
[依题意得，该数列的首项为－8，公差为 5，所以 a100＝－
限 时
集
课 堂
8＋99×5＝487.]
训
考
点
探
究
返 首 页
16
课
4．某剧场有 20 排座位，后一排比前一排多 2 个座位，最后一排
前
自 有 60 个座位，则剧场总共的座位数为________．
主
回 顾
课 a1，d，n，an，Sn 五个量，可“知三求二”．
考
点 探
于 n 的二次函数．
究
返 首 页
7
课
前
自
主
回 顾
4．等差数列的前 n 项和的最值
课 后
在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则
Sn
存在最大值；若
a1<0，d>0，
限 时
集
课 堂
则 Sn 存在最小值．
训
考
点
探
究
返 首 页
8
[常用结论]
课
前 自
等差数列的常用性质
主
回 顾
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).
前
自 为 m2d．
主
回
课
顾
(5)若{an}，{bn}均为等差数列且其前
n
项和为
Sn，Tn，则abnn＝TS22nn－－11．
后 限
时
课 堂 考
(6)若{an}是等差数列，则Snn也是等差数列，其首项与{an}的首项
集 训
点
探 究
相同，公差是{an}的公差的12.
返 首 页
10
课
(7)若等差数列{an}的项数为偶数 2n，则
前
自 主
①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
回
课
顾
②S 偶－S 奇＝nd，SS奇偶＝aan＋n 1.
后 限 时
集
课 堂
(8)若等差数列{an}的项数为奇数 2n＋1，则
训
考
点 探 究
①S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；②SS偶奇＝n＋n 1.
返 首 页
11
课 前
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
返 首 页
13
2．设数列{an}是等差数列，其前 n 项和为 Sn，若 a6＝2 且 S5＝30，
课 则 S8 等于( )
前
自 主
A．31 B．32 C．33 D．34
回 顾
B [设数列{an}的公差为 d，
课 后
法一：由 S5＝5a3＝30 得 a3＝6，
限
时
课
又 a6＝2，
集 训
堂 考 点
∴S8＝8（a12＋a8）＝8（a32＋a6）
时 集
课
训
堂 考 点 探 究
an＋1－an＝d (n∈N*)，d 为常数． (2)等差中项：数列 a，A，b 成等差数列的充要条件是
A＝a＋2 b
，
其中 A 叫做 a，b 的等差中项．
返
首
页
5
课
前
自
主 回
2．等差数列的有关公式
课
顾
(1)通项公式：an＝ a1＋(n－1)d ．
后 限
时
课 堂
(2)前 n 项和公式：Sn＝na1＋n（n－ 2 1）d＝n（a1＋ 2 an）.
3
课
前
自
主 回 顾
课前自主回 顾
课 后
限
时
集
课
训
堂
考
点
探
究
返 首 页
4
课 前
1．等差数列
自
主 回
(1)定义：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一 课
顾 项的差等于 同一个常数 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数 后 限
叫做等差数列的 公差 ，公差通常用字母 d 表示．数学语言表示为
首
页
17
课
前
自
主 回 顾
课堂 考点探究
课 后
限
时
集
课
训
堂
考
点
探
究
返 首 页
18
考点 1 等差数列基本量的运算
课
前
自
解决等差数列运算问题的思想方法
主
回 顾
(1)方程思想：等差数列的基本量为首项 a1 和公差 d，通常利用已
课 后
知条件及通项公式或前 n 项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含 限 时
820
[设第 n 排的座位数为 an(n∈N*)，数列{an}为等差数列，其
课 后
限
公差 d＝2，则 an＝a1＋(n－1)d＝a1＋2(n－1).由已知 a20＝60，得 60 时 集
课 堂 考 点
＝a1＋2×(20－1)，解得 a1＝22，则剧场总共的座位数为20（a12＋a20）
训
探
究 ＝20×（222＋60）＝820.] 返
集 训
考
点
探
究
返 首 页
6
课
前
3．等差数列的通项公式及前 n 项和公式与函数的关系
自
主 回
(1)当 d≠0 时，等差数列{an}的通项公式 an＝dn＋(a1－d)是关于 d 课
顾
后
的一次函数．
限
时
课 堂
(2)当 d≠0 时，等差数列{an}的前 n 项和 Sn＝d2n2＋a1－d2n 是关
集 训
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
返
首
页
12
课 前
二、教材改编
自
主 回
1．等差数列{an}中，a4＋a8＝10，a10＝6，则公差 d 等于( ) 课
顾
A．14
B．12
C．2
D．－12
后 限 时
集
课 堂
A [∵a4＋a8＝2a6＝10，∴a6＝5，
训
考
点 探 究
又 a10＝6，∴公差 d＝a1100－－a66＝6－4 5＝14.故选 A.]
自
主
(1)若一个数列从第 2 项起每一项与它的前一项的差都是常数，则
回
课
顾 这个数列是等差数列．
( )后
限
(2)等差数列{an}的单调性是由公差 )数列{an}为等差数列的充要条件是对任意 n∈N＋，都有 2an＋1 训
考 点
＝an＋an＋2.
()
探 究
(4)等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数． ( )
第六章 数列
第二节 等差数列及其前n项和
2
课
前
自
主 回
[考点要求] 1.理解等差数列的概念．2.掌握等差数列的通项公式 课
顾
与前 n 项和公式．3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并
后 限
能用等差数列的有关知识解决相应的问题．4.了解等差数列与一次函
时 集
课
训
堂 考
数的关系．
点
探
究
返 首 页
探
究
＝8（62＋2）＝32.
返
首
页
14
课
a1＋5d＝2，
前 自 主 回
法二：由5a1＋5×2 4d＝30，
课
顾
得a1＝236，
课 堂 考
d＝－43．
后 限 时 集 训
点 探 究
∴S8＝8a1＋8×2 7d＝8×236－28×43＝32.]
返 首 页
15
课
前 自
3．已知等差数列－8，－3，2，7，…，则该数列的第 100 项为
课 后
(2)若{an}为等差数列，且
m＋n＝p＋q，则
am＋an＝ap＋aq(m，n，
限 时
集
课 堂
p，q∈N*).
训
考
点
(3)若{an}是等差数列，公差为 d，则 ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈
探
究 N*)是公差为 md 的等差数列．
返 首 页
9
课
(4)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差数列，公差