第4章 光在波导中的传播

φ1s = arctan
n sin θ − n
2 1 2
2 2
n1 cosθ
φ0 s = arctan
2 n12 sin 2 θ − n0
n1 cosθ
而对于TM波（即电场矢量E平行于纸面的p波），有：
n sin θ − n φ1 p = arctan n cosθ / n1
2 1 2 2 2 2 2
c1 c0
θ c1 = arcsin
θ c 0 = arcsin
n2 n1
n0 n1
由于n2>n0，所以 θ c1 > θ c0 ，当平面波的入射角θ 变化时，波导内 可产生不同的波型。当入射角满足 θ c 0 < θ c1 < θ < 90° 时，入射平 面波在上下界面均产生全反射，此时形成的波称为导波 导波。 导波 当 θ c 0 < θ < θ c1 时，在下界面的全反射条件被破坏； 当 θ < θ c 0 < θ c1 时，上下界面的全反射条件均被破坏。 在这两种情况下均有一部分能量从波导中辐射出去，此时的 辐射模。 波称为辐射模 辐射模 只有导波能将能量集中在波导中导行，在平板型光波导中 只有导波能将能量集中在波导中导行， 导波能将能量集中在波导中导行 即是由导波来传输光能量的。 导波来传输光能量的 即是由导波来传输光能量的。而辐射模却通过界面向外辐射能 是不希望存在的寄生波。 量，是不希望存在的寄生波。
λc (TM 0 ) < λ0 < λc (TE0 )
当n1与n2差别不大时，TE0模和TM0模非常接近，难以分开，此 时仍可认为是单模传输。因此，单模传输的概念并不严格。
●模数量 当单模传输的条件被破坏（如工作波长缩短）时，即出现 多模共存现象。多模共存时的模数量可由特征方程求得 模数量可由特征方程求得： 模数量可由特征方程求得
k 0 n1
β
禁区 0 1 2
k 0 n2
辐射模
图4-3 m=0,1,2时 导波的 β - ω 曲线
ωc 0
ωc1
ωc 2
ω
3. 截止波长 在平板波导中，上下界面之一的全反射条件被破坏，导波即 处于截止状态。由于n1>n2>n0，所以当 θ = θ c1 时导波处于截止 临界状态。特征方程可写成如下形式：
2 n12 − n2 n1
因此截止波长表示为：
λc =
2 2πh n12 − n2
mπ + φ0
对于TE模和TM模，把不同的 φ0 代入上式即可得到相应的截止 波长。显然，各模式的截止波长由波导参数 1、n2、n0和h决 截止波长由波导参数n 截止波长由波导参数 决 与入射光频率无关， 定，与入射光频率无关，它是表示波导本身特征的物理量。 不同的模式有不同的截止波长，模序数越高，截止波长越短。 TE0模和TM0模的截止波长最长。模序数相同的TE模和TM模 的截止波长不同。TE模的截止波长较TM模的长，因而在所 有的波导模式中，TE0模的截止波长最长。 模的截止波长最长。
第四章 光在波导中的传播
光波被约束在确定的介质中传播 时，由这种介质构成的光波通道称 为光学介质波导，或简称为光波导 为光学介质波导，或简称为光波导
光通信的迅速发展， 光通信的迅速发展，促进了对与之有密切联系的光波导技 术的研究。光波导技术是一种以光的电磁场理论为基础， 术的研究。光波导技术是一种以光的电磁场理论为基础，对 光波实施限制和传输的技术。其中， 光波实施限制和传输的技术。其中，介质波导和光纤是两种 最常用和最重要的光波导。下面将以射线理论和电磁场理论 射线理论和电磁场 最常用和最重要的光波导。下面将以射线理论和电磁场理论 分析光波在介质波导和光纤中的传导模式和传播特性， 介质波导和光纤中的传导模式和传播特性 分析光波在介质波导和光纤中的传导模式和传播特性，并介 绍导波光学器件的典型应用。 绍导波光学器件的典型应用。 第一节 光在平板波导中的传播
B
θ
C B
’
’
D
A A
’
C 射线
D 等相面
’
图4-2
平板波导中的平面波
所以B、B’点应有相同的相位，C、C’点也有相同的相位。可见 由B到C和由B’至C’所经历的相位变化之差为 2π 的整数倍。于 是两射线的相位差为：
k0 n1 ( BC − B 'C ' ) − 2φ1 − 2φ0 = 2mπ ,
4. 单模传输与模式数量 由于TE0模的截止波长最长，因而它的传输条件最容易满足。 在波导术语中，把截止波长最长（截止频率最低）的模式叫做 把截止波长最长（ 把截止波长最长 截止频率最低） 基模。平板波导中的TE0模即是基模。如果波导的结构或选择 基模 如果波导的结构或选择 的工作波长只允许TE 模传输，其它模式均截止， 的工作波长只允许 0模传输，其它模式均截止，则称为单模 传输。 传输 ●单模传输的条件是： 单模传输的条件是：
n0 θ x z 图 4-1 h n1 n2 平板波导及其中的射线路径
设在平板波导中，衬底和覆盖层的长度延伸到无穷远，薄膜的 宽度远大于它的厚度。因此，可以认为平板波导中的光波只在 x方向受到限制（见图），并设平板波导的几何结构和折射率 分布沿y方向不变，即折射率分布n(x)只与x有关，相应的模式 也只是x坐标的函数。为简单起见，下面只讨论TE模的场分布 形式。对于TE模，在图4-1所选的坐标系中，它的电磁场分量 H 为 E y 、 x 和 H z 。由于电场与磁场有确定的关系，因此下面 只分析电场Ey。
β = k1z = k0 n1 sin θ
α 2 = k0 n1 sin 2 θ − (n2 / n1 ) 2
α 0 = k0 n1 sin 2 θ − (n0 / n1 ) 2
α 横向相位常数k1x决定导波模式在薄膜内的横向驻波规律，0 和α 2 决定导波在上、下界面的横向衰减规律，即决定了导波模式 传播常数)，它表示 的横向分布图形。β 称为轴向相位常数(或传播常数 传播常数 导波模式的纵向传播规律，是导波的一个重要参数。
2π
λ0
hn1 cosθ = mπ + φ0 + φ1
对一个给定的模式，m是常数。如果工作波长变化，必须调整 平面波的入射角，才能满足特征方程，形成导波。当 时 θ = θ c1，导波转化为辐射模，此时的波长就是该模的截止波 截止波 长，截止波长用 λc 表示。由上式有
λc =
2πhn1 cosθ c1 mπ + φ0 + φ1
（一）
导波与辐射模
最简单的平板型光波导是由沉积在衬底上的一层均匀薄膜 构成（因而又叫做薄膜波导），如图4-1所示，它的折射 率n1 比覆盖层（通常为空气）的折射率n0 及衬底层折射率 n2都高，且n1>n2>n0。设薄膜厚度为h，沿y方向薄膜不受限， 在薄膜与衬底的界面（下界面）上平面波产生全反射的临 θ 界角为 ，而在薄膜与覆盖层的界面（上界面）上平面波 θ 产生全反射的临界角为 ，根据全反射原理，有：
对于定态单色波 定态单色波，其电磁场满足波动方程，若不考虑时间因子， 定态单色波 则波动方程将转化为亥姆霍兹方程。对于TE模，其电场只有沿 y方向的一个分量Ey，并且Ey可以表达为
用射线法讨论平板波导，物理概念清楚、明确， 用射线法讨论平板波导，物理概念清楚、明确， 得出的许多结论不仅对平板波导， 得出的许多结论不仅对平板波导，而且对其它形式的 介质波导也是很有价值的。 介质波导也是很有价值的。但对波导中各模式对应的 电磁场的具体分布形式， 电磁场的具体分布形式，射线法尚不能给出满意的解 答，必须应用电磁场的波动理论结合波导的边界条件 来确定。 来确定。
其中： m = 0,1,2,⋅ ⋅ ⋅ 全反射时相位变化
根据图中的几何关系，上式可变为：
2k0 n1h cosθ − 2φ1 − 2φ0 = 2mπ
式中n1、h是薄膜波导的参数，k0是自由空间的波数，它决定 φ φ 于工作波长， 1 、0 与波导的结构参数n1、n2、n0和入射角有关。 当波导和入射波长给定时，上式是关于未知数 的方程，它 θ 波导的特征方程。 确定了形成导波的入射角的条件，因而叫薄膜波导的特征方程 波导的特征方程 特征方程是讨论导波特性的基础。
由特征方程，波长越大，要求相应模式光波的入射角越小。因 此，截止波长实际上是波导内允许存在的光波的最大波长 截止波长实际上是波导内允许存在的光波的最大波长。 截止波长实际上是波导内允许存在的光波的最大波长
由于下界面处于全反射临界状态，因而不管对TE波还是TM波， 都有，
φ1 = 0
cosθ c1 = 1 − (n2 / n1 ) 2 =
一、平板光波导的射线理论 平板型波导是介质波导中最简单、最基本的结构， 平板型波导是介质波导中最简单、最基本的结构，理论分 析也具有代表性。故本节就平板型波导从射线理论和电磁 析也具有代表性。 故本节就平板型波导从射线理论和电磁 理论两个方面进行分析。 场理论两个方面进行分析。
n0 θ x z 图 4-1 h n1 n2 平板波导及其中的射线路径
从B’到C’，平面波在其传播方向上没有经历过反射，其相位变化 了 k0 n1 B 'C ' ,而从B到C，平面波在B点和C点各经历了一次全反射。 在C点（下界面）全反射时相位变化了 2φ1 ，而在B点（上界面） 全反射时相位变化了 2φ0 ，这里，相位变化都以反射波比入射波 超前计算。根据全反射时相位变化公式，对于TE波（即电场矢 TE波 TE 量E垂直于纸面的s波），有： E
φ 当 φ1 、 0 以s波的表达式代入时，得出模式为TE波；当以p波 波 的表达式代入时，得出模式为TM波。 波
当m=0,1,2,…时，可得到TE0、TM0、TE1、TM1、TE2、TM2… 模。m表示了各模式的特点，称为模序数 模序数。 模序数 各模式的特性可用横向相位常数k1x及以下几个参数表示：
对于给定的模式有确定的θ 值，因而也有确定的轴向相位常 数 β 。但特征方程是超越方程，得不到解析形式的解。 图4-3是根据数值解画出的 β - ω 曲线，它表明了 β 的变化范 k 围及变化规律。 β 不能小于 0 n2 ，否则将会出现辐射模。也不 β 能大于 k0 n1 ，因而对于导波， 是被限制在两条直线所夹的扇 ω 形区域之中的。图中ω c 0 、 ω c1 、 c 2 分别是m=0,1,2时导模的 截止频率。
φ0 p = arctan
2 n12 sin 2 θ − n0 2 n0 cosθ / n1
特征方程中 特征方程 k0 n1 cosθ 是薄膜中波矢量在x方向的分量，它是 薄膜中的横向相位常数，可表示为：
k1x = k0 n1 cosθ
于是特征方程可写为： 2k1x h − 2φ1 − 2φ0 = 2mπ 该式表明，由波导的某点出发，沿波导横向往复一次回到原 处，总的相位变化应是 2π 的整数倍。这使原来的波加强，即 横向谐振条件。 相当于在波导的横向谐振，因而叫做波导的横向谐振条件 横向谐振条件 横向谐振特性是波导导波的一个重要特性。 2．导波的模式 对给定的波导、工作波长和整数m，由特征方程可求出形 成导波的入射角。以该角入射的平面波即形成一个导波模式。
（二）
平板光波导中的导波
1.波的特征方程与横向谐振条件 波的特征方程与横向谐振条件 当平面波的入射角大于临界角时才能形成导波。但在θ > θ c θ 的范围内， 的取值并不是连续的 并不是连续的，只有当入射角满足某些条 并不是连续的 件时，才能在薄膜中形成导波。图4-2表示平板波导中构成导波 的平面波示意图，实线ABCD和A’B’C’D’代表平面波的两条射线。 虚线BB’和CC’则代表向上斜射的平面波的两个波阵面，
2 2h n12 − n2 对于n 的所谓对称平板波导，截止波长为： 对于 2=n0的所谓对称平板波导，截止波长为： λc = m
该式对TE模和TM模都适用，这就是说，对于对称波导，模序 数相同的TE模和TM模具有相同的截止波长 λc 。但是，TE0模 （或TM0模）的截止波长=∞，此时没有截止现象，这是对称 波导的特有性质。
2π m=
λ0
2 h n12 − n2 − φ0
π
与该m对应的模式处于截止状态， 与该 对应的模式处于截止状态，而比它低的模式处于导 对应的模式处于截止状态 行状态。波导中导波模式的数量是TE模和TM模的模式数量之 行状态 和。膜越厚（h越大），n1与n2差别越大，波导中的模式数量 就越多。
二、平板光Biblioteka Baidu导的波动理论