第三章 刚体和流体的运动
第三章流体运动学
机械工程学院
第三章 流体运动学
研究内容：流体运动的位移、速度、加速度和转速等随时间和 空间坐标的变化规律，不涉及力的具体作用问题。但从中得出 的结论，将作为流体动力学的研究奠定基础。
第1节 研究流体运动的两种方法
第2节 流体运动学的基本概念 第3节 流体运行的连续方程 第4节 相邻点运动描述――流体微团的运动分析
特点：流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函数，而且 还与时间有关。
即：
（） 0 t
3.2 基本概念
二、均匀流动与非均匀流动
1. 均匀流动
流场中各流动参量与空间无关，也即流场中沿流程的每一个断面 上的相应点的流速不变。位不变
v v ( x, y, z, t ) p p( x, y, z, t ) ( x, y, z, t )
由于空间观察点（x,y,z）是固定的，当某个质点
从一个观察点运动到另外一个观察点时，质点位移是 时间t的函数。故质点中的（x,y,z,t）中的x,y,z不是 独立的变量，是时间的函数：
x x (t ) y y (t ) z z (t )
所以，速度场的描述式：
u x u x {x（t） , y（t） , z（t） , t} u y u y {x（t） , y（t） , z（t） , t} u z u z {x（t） , y（t） , z（t） , t}
v2
s1
s2
v1
折点
v2
s
强调的是空间连续质点而不是某单个质点
1. 定义 流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动。 v v ( x) 一维流动 v v ( x, y ) 二维流动 v v ( x, y , z ) 三维流动
第三章刚体和流体的运动(3)
M
o
m r u
解 分析可知,以棒和小球组成 的系统的角动量守恒。 由于碰撞前棒处于静止状态，所以 碰撞前系统的角动量就是小球的角 动 lmu ;
l
l
由于碰撞后小球以速度v 回跳，棒获得的角速度为 ，所以碰撞后系统的角 ω 动量为
1 2 lmv + Ml ω 3
由角动量守恒定律得
1 2 lmu = lmv + Ml ω 3
AG环 = 6mgR
Jω 2 AG = 2 AG杆 = 2mgR
mL2 4mR 2 转动惯量： 转动惯量： J 杆 = = 3 3 mR 2 19mR 2 2 平行轴定理： 平行轴定理： J 环 = + m ⋅ (3R) = 2 2
J = J杆 + J环
代入数据，可解得：
ω = 9.82rad / s
要保证小球回跳v
< 0，则必须保证 M > 3m。
北京师范大学珠海分校 工程技术学院
3 流体的运动
在公寓楼里养的猫常喜 欢在窗台上睡觉。 欢在窗台上睡觉。如果一只 猫不慎从七层或八层楼以上 掉到人行道上， 掉到人行道上，那它受伤的 程度是随着高度的增加而减 小的。（甚至有一只猫从32 。（甚至有一只猫从 小的。（甚至有一只猫从32 层高楼上落下只有胸部和一 颗牙受点轻伤的记录） 颗牙受点轻伤的记录） 危险是如何随着高度增 加而减小的呢？ 加而减小的呢？
一个高度为H的圆筒形烟囱由于基部损坏而倒下。烟囱可以当做细杆处理，令烟 囱与竖直方向成角度θ，重力加速度为g。求（1）烟囱的角速率，（2）烟囱顶 端的径向加速度和切向加速度。 定轴转动定律（ 解：定轴转动定律（转动中的牛顿第二定律） 定轴转动定律 转动中的牛顿第二定律）
流体力学课件 第3章流体运动的基本原理
u u (x, y,z, t )
17
二、流场描述
1、迹线：某一质点在某一时段内的运动轨迹曲线。
例： 烟火、火箭、流星、子弹等轨迹线。。。。。
（1）拉格朗日法迹线方程
x x（a，b，c，t） y y（a，b，c，t）
z z（a，b，c，t）
消去参数t并给定（a，b，c）即得相应质点的迹线方 程。
说明：
*（a,b,c）=const, t为变数，可得某个指定质点在任意时刻
所处的位臵，上式即迹线方程； *（a,b,c）为变数,对应时刻 t可以得出某一瞬间不同质点 在空间的分布情况。
3、拉格朗日法的速度与加速度方程
（ 1） 流速方 程
x ux ； t y uy ； t z uz t 均为（a，b，c，t）的函数。
第三章 流体运动的基本原理
静止只是流体的一种特殊的存在形态，运动 或流动是流体更为普遍的存在形态，也更能反映 流体的本质特征。 本章主要讨论流体的运动特征（速度、加速 度等）和流体运动的描述方法，流体连续性方程、 动量守恒及能量守恒方程是研究流体运动的基础。
1
第一节、流体运动的描述方法
一、拉格朗日法（lj）
18
（2）欧拉法迹线方程 若质点P在时间dt内从A点运
Z
A
B
动到B点，则质点移动速度为：
u dr dt
O
Y
得迹线方程:
dx dy dz dt ux uy uz
2、流线
表示某一瞬时流体各点流动 趋势的曲线，其上任一点的切线 方向与该点流速方向重合。即同 一时刻不同质点的速度方向线。
根据行列式的性质，有：
22
流线微分方程
dx dy dz u x u y uz
3.1刚体的转动定律
2.角位移 (angular displacement) 描写刚体位置变化的物理量。
角坐标的增量：
称为刚体的角位移 3.角速度 (angular velocity) 描写刚体转动快慢和方向 的物理量。 d lim 角速度 t 0 t dt
M ij 0
j
rj
m j
Fej
M
j
ej
( m r )
2 j j
Fij
上式左端为刚体所受外力的合外力矩，以 M 表 示；右端求和符号内的量与转动状态无关，称为刚 体转动惯量，以J 表示。于是得到
d M J J dt
刚体定轴 转动定律
定义转动惯量 转动定律
2
2
该点的切向加速度和法向加速度(线量)
π 2 2 at r 0.2 ( )m s 0.105 m s 6 2 2 2 2 an r 0.2 (4 π) m s 31.6 m s
例2 在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕 垂直其横截面通过中心的轴转动 . 开始时，它的角速 度 0 0 ，经300s 后，其转速达到 18000r·min-1 . 已知转子的角加速度与时间成正比 . 问在这段时间内， 转子转过多少转？ d ct ，积分 解 由题意，令 ct，即
R
y
v2
p
P
v1
x
方向：满足右手定则，沿刚体转动方向右旋大拇指指向。
角速度是矢量，但对于刚体定轴 转动角速度的方向只有两个，在表 示角速度时只用角速度的正负数值 就可表示角速度的方向，不必用矢 量表示。
刚体上任一质元的速度表示为： v r , v r 3.角加速度 (angular acceleration) d lim t 0 t dt
刚体与流体
第三章 刚体和流体P.1§3-1刚体及其运动规律刚体：物体上任意两点 之间的距离保持不变 在力的作用下不发生形 变的物体。
P.23-1-1 刚体的运动平动： 刚体在运动过程 中，其上任意两点的 连线始终保持平行。
注：可以用质点动力学的方法来处理刚体的平 动问题。
P.3转动：刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。
这种运动称为刚体的转动。
这条直线称为转轴。
定轴转动： 转轴固定不动的转动。
定点转动： 转轴上一点相对于参考系 静止，转轴方向随时间不 断变化。
例如陀螺和雷达天线。
P.4P.53-1-2刚体对定轴的角动量zv viv质元：组成物体的微颗粒元质元对O点的角动量为ωv v v Li = Ri × (mi vi )Li = mi Ri v iv Li 沿转轴Oz的投影为Liz = Li cos(v Lixv riγOmiv Riyπ2− γ ) = mi Ri vi sin γ = mi ri vi = mi ri 2ωP.6刚体对Oz轴的角动量为Lz = ∑ Liz = ∑ mi ri 2ω = (∑ mi ri 2 )ωi i i令J z = ∑mi rii2kg⋅ m2J z 为刚体对 Oz 轴的转动惯量比较：Lz = J z ωp = mvP.7转动惯量的定义式：J = ∑ mi rii2连续体的转动惯量：J = ∫ r dm2 V转动惯量的物理意义：反映刚体转动惯性的量度 转动惯量仅取决于刚体本身的性质，即与刚体 的质量、质量分布以及转轴的位置有关。
P.8转动惯量的计算J ＝ ∑ m i ri 2i若质量连续分布 J = r 2 dm∫在（SI）中，J 的单位：kgm2dm为质量元，简称质元。
其计算方法如下：质量为线分布 质量为面分布 质量为体分布dm = λ dlλ为质量的线密度。
σ为质量的面密度。
ρ为质量的体密度。
dm = σ dsdm = ρ dV面分布线分布体分布P.9对于质量连续分布的刚体：J = ∫ r dm = ∫ r ρdV2 2 V V（体质量分布） （面质量分布） （线质量分布）J = ∫ r dm = ∫ r σdS2 2 S SJ = ∫ r dm = ∫ r λdl2 2 L LP.10例的细棒绕一端的转动惯量。
3-1 刚体及其运动规律
第三章 刚体的运动
转过的圈数 N 75 π 37.5 r
2π 2π
（2）t 6s时，飞轮的角速度
0
t
(5π
π 6
6)rad
s1
4π
rad
s1
（3）t 6s时，飞轮边缘上一点的线速度大小
v r 0.2 4π m s2 2.5 m s2
该点的切向加速度和法向加速度
at
r
0.2 (
π)m s2 6
0.105
m s2
an r 2 0.2 (4π)m s2 31.6 m s2
3 – 1 刚体及其运动规律
二 刚体的定轴转动定律
1）单个质点 m与转轴
刚性连接
Ft mat mr
M Z rF sin rFt mr 2
M Z mr 2
质量2元）受刚外体力Fi e
x，内力
Fi in
M
物体 B上。滑轮与绳索间没有滑动，且滑轮与轴承间 的摩擦力可略去不计。问：
A mA
C
mC
（1） 两物体的线加 速度为多少？水平和 竖直两段绳索的张力 各为多少？
mB B
（2） 物体 B 从静止
落下距离 y 时，其
速率是多少？
刚体平动 质点运动
3 – 1 刚体及其运动规律
第三章 刚体的运动
转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运 动. 转动又分定轴转动和非定轴转动 .
刚体的平面运动 .
3 – 1 刚体及其运动规律
第三章 刚体的运动
+ 刚体的一般运动 质心的平动 绕质心的转动
3 – 1 刚体及其运动规律
第三章 刚体的运动
2 刚体定轴转动的描述——四个角量
第三章 流体的运动(幻)
二、 稳定流动
研究流体运动通常有两种方法： 拉格朗日法——以流体的各个质元为 研究对象，根据牛顿定律研究每个质 元的运动状态随时间的变化。
5
欧拉法——研究各个时刻在流体流经过 的空间每一个点上流体质元的运动速度 的分布。
1、 稳定流动
流体在流动过程中的任一时刻，流体所占 据的空间中的每一个点都具有一定的流速， 其函数表达式为υ（x，y，z，t）。
Sυ是单位时间内通过任一截面S的
流体体积，常称为体积流量。
所以上式又称体积流量守恒定律。
13
对于不可压缩的流体来说，不仅质 量流量守恒，体积流量也是守恒的。 体积流量又可简称为流量，用Q来表示 Q=Sυ Q —— 指单位时间内通过流管中任一截 面的流体体积，其单位为（m3·-1）。 s
四、血流速度分布
1 1 2 2 p1 1 gh P2 2 2 2
则液体从小孔处流出的速度 为：
2 2 gh
与其从高度为h处自由下落时的速度 相等。上式就称为“托里折利公式”。
33
第三节 粘性流体的流动 一、 层流和湍流
粘性——实际流体在流动过程中总 是具有内摩擦力，表现出粘滞性， 简称粘性。因而它在流动过程中需 要克服内摩擦力作功而消耗能量。 粘性流体在运动时主要具有层流、湍 流和过渡流动三种运动形态。
2 gh
30
3、体位对血压的影响
若流体在等截面管中流动，若 其流速不变，由 伯努利方程得
P gh1 P2 gh2 1
P +ρgh = 常量
结论：高处的压强较小，而低处的 压强则较大。
31
压强与高度间的关系，可用来解释体 位因素对血压的影响。
32
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飞轮转过的角度：
飞轮转过的转数： （2）由转动定律：
. ，可得拉力：
拉力矩的功为：
.
（3）当 t 10s 时，飞轮的角速度：
点的速度：
，则有：
t 10s 时，飞轮边缘的法向加速度：
t 10s 时，飞轮边缘的切向加速度：
总加速度大小：
uur 由于 an at ，因此总加速度方向几乎与 an 相同.
，飞轮边缘一
3-2 飞轮的质量为 60 kg，直径为 0.50 m，转速为 1 000 r/min，现要求在 5 s 内 使其制动，求制动力 F.假定闸瓦与飞轮之间的摩擦因数 μ=0.4，飞轮的质量全部分布在轮 的外周上，尺寸如图 3.1 所示.
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2．刚体的自由度 决定一个系统在空间的位置所需要的独立坐标的数目称为该系统的自由度。对于刚体 来说，最多有 6 个自由度，其中 3 个是平动自由度，3 个是转动自由度（其中 2 个是表示 转动轴的方向的坐标，剩余一个则表示绕转动轴转过的角度）。
二、力矩，转动惯量，定轴转动定律 在讨论质点的运动时，我们首先引入位移、速度、加速度等运动学量，然后引入力这
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个动力学量，最后通过运动定律将二者联系起来。同样在研究刚体的转动时，也需要相应
的运动学量、动力学量以及运动方程。
1．运动学量
定轴转动中，有三个运动学量，即转过的角位移 θ ，角速度矢量 ω ，角加速度 α 。
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第 3 章 刚体和流体的运动
3.1 复习笔记
一、刚体、刚体的运动 1．刚体模型及其运动 由牛顿运动定律和守恒定律可以方便地得到质点的运动，但对于质点系的研究，特别 是分布连续的质点系，分别对每个质点求解很不方便。可以利用一些物理模型将问题简化， 刚体和理想流体就属于此类模型。 刚体是一种特殊的质点系，无论它在多大外力的作用下，其大小和形状都保持不变， 亦即系统内两质点间的距离不变。刚体两种简单的运动形式是平动和转动，在平动中，各 个质点在同一段时间通过相同的位移，且具有相同的速度和加速度；在转动中，各个质点 都绕同一直线运动。如果转轴是固定不动的，就叫做定轴转动。
大学物理1教学大纲
《大学物理Ⅰ》教学大纲课程名称：大学物理Ⅰ课程编号：课程类别：专业基础课/必修课学时/学分：60学时/3学分开设学期：第二学期开设单位：物理与机电工程学院适用专业：电气工程及其自动化说明一、课程性质与说明1．课程性质专业基础课/必修课2．课程说明物理学的研究对象具有极大的普遍性，它的基本理论渗透在自然科学的一切领域，广泛地应用于生产技术的各个部门，它是自然科学和工程技术的基础，也是许多高新技术发展的源泉和先导。
因此，《大学物理》课程是理工科各专业学生的一门重要必修基础课。
以物理学为基础的大学物理课程主要包括：力学、振动和波动、热学、电磁学、光学、狭义相对论基础、量子物理基础等基础知识，以及它们在现代科学技术中的应用等。
通过大学物理课程的教学，应为学生进一步学习打下坚实的物理基础。
在教学过程中，要注意培养学生树立科学的自然观和辨证唯物主义世界观，培养学生科学思维和分析解决问题的能力，以及学生的探索精神与创新意识。
二、教学目标1. 学习和理解物理学观察、分析和解决问题的思想方法，培养、提高学生的科学素质,激发对科学的求知欲望及创新精神。
2. 系统地掌握必要的物理学基础知识及其基本规律,能运用经典物理学的理论对力、热、电、磁、光等学科的基本问题作初步的解释、分析和处理。
3. 对物理学的基本概念、基本理论、基本方法能够有比较全面和系统的认识和正确的理解，将微积分知识具体地、灵活地应用于物理问题之中，培养学生分析、解决实际问题的能力，并为后继课程的学习作必要的知识准备。
4. 了解各种理想物理模型，并能够根据物理概念、问题的性质和需要，抓住主要因素，略去次要因素，对所研究的对象进行合理的简化。
5. 了解近代物理学的有关基础知识。
三、学时分配表建议本课程以课堂讲授为主，采用启发式教学法。
教学中可充分利用录像、演示实验及多媒体等手段。
为加强学生对所学内容的理解，掌握解题方法、技巧，教师应推荐相应的参考书，课后留作业，按时辅导答疑。
《水力学》课件——第三章 流体运动学
是否是接
均匀流 否
？
渐变流
流线虽不平行，但夹角较小； 流线虽有弯曲，但曲率较小。
急变流
流线间夹角较大； 流线弯曲的曲率较大。
• 渐变流和急变流是工程意义上对流动是否符合均匀流条件的
划分，两者之间没有明显的、确定的界限，需要根据实际情况
来判定
急变流示意图
五. 流动按空间维数的分类
一维流动 二维流动 三维流动
• 根据流线的定
• 在非恒定流情况下，流
义，可以推断：除
线一般会随时间变化。在
非流速为零或无穷
恒定流情况下，流线不随
大处，流线不能相
时间变，流体质点将沿着
交，也不能转折。
流线走，迹线与流线重
合。
• 迹线和流线最基本的差别是：迹线是同一流
体质点在不同时刻的位移曲线，与拉格朗日观
点对应，而流线是同一时刻、不同流体质点速
• 由确定的流体质点组成
的集合称为系统。系统在 运动过程中，其空间位 置、体积、形状都会随时 间变化，但与外界无质量 交换。
• 有流体流过的固定不变
的空间区域称为控制 体，其边界叫控制面。 不同的时间控制体将被 不同的系统所占据。
• 通过流场中某曲面 A 的流速通量
u nd A
A
称为流量，记为 Q ，它的物理意 义是单位时间穿过该曲面的流体 体积，所以也称为体积流量，单 位为 m3/s .
n A
dA
u
• u n d A 称为质量流量，记为Qm，单位为 kg/s . 流量计算
A
公式中，曲面 A 的法线指向应予明确，指向相反，流量将反
s s — 空间曲线坐标
元流是严格的一维流动，空间曲线坐标 s 沿着流线。
第三章流体的运动
2
第一节 理想流体的定常流动
一、理想流体
实际流体 ——具有粘性和可压缩的流体。
理想流体 —— 绝对不可压缩、完全没有粘 性的流体。
二、 定常流动
研究流体的运动的两种方法： (1)拉格朗日法 —— 以流体的各个质元为研 究对象，根据牛顿定律研究每个流体质元的 运动状态随时间的变化。
1
2 gh
25
26
图(b)是测量气体的流速，设液体的密度为 ，压强计中两液面的高度差为ｈ， 则 P2 P 1 gh ，因此
1 2 1 gh 2
故
1
2 gh
27
４、虹吸管
虹吸管是用来从不能倾斜的 容器中排出液体的装置。
（1）流体流速
视液体为理想流体，且排水管均匀，对容器内 液面A和管口D，应用伯努利方程得：
d F d F S 也可以写成： S dx dx
令τ=F/S，它表示作用在单位面积上与流体层 相切的内摩擦力，叫做切应力。
35
位移bb 与垂距ab之比叫做切应变， bb td 用来表示，即： ab tg d 。 切应变对时间的变化率叫做切变率，
表示，即 以 因此
5
流体做定常流动时流线的特点：由于空间各点 的流速不随时间变化，则流线的形状保持不变， 此时流线与流体粒子的运动轨迹相重合。
流管——在稳定流动的流体中划出一个小截面 S1，并且通过它的周边各点作出许多流线，由 这些流线所组成的管状体就称为流管。
6
三、 连续性方程
流量——单位时间内通过某一流管内任意横 截面的流体的体积。 流量用Q来表示,其单位为（m3· s-1）。
高二物理竞赛力矩转动惯量定轴转动定律PPT(课件)
§3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律
目录
第一章 力和运动
第二章 运动的守恒量和守恒定律
第三章 刚体和流体的运动
第四章 相对§论3-1基刚础体模型及其运动 第五章 气体§动3-2理力论矩 转动惯量 定轴转动定律 第六章 热力§学3-3基定础轴转动中的功能关系
第七章 静止§电3-4荷定的轴电转场动刚体的角动量定理和角动量守恒定律
J
T1 T2
T1' T2'
m
a r
a m2 m1 g M r / r
m2
m1
1 2
m
m1 参考：P117、P35
mr
a m2
T1
T2
T1
T2
m1
a
a
G1
m2
G2
27
例题 3-4 dm r d dr e m e R2
解: 阻力矩：M rdmg g rr d dr e
v
推导：
切向加速度 向心加速度
a dv d r dr
dt dt
dt
9
例题
0 t 2 n t 0
0t
1t2
2
2
N
v r sin 90
at r an 2r
0
O
an r
v
a
at
10
例题
d (at bt 3 ct 4 ) a 3bt 2 4ct 3
dt
d d (a 3bt2 4ct3 ) 6bt 12ct2
定轴转动定律
1
J 15 6 第九章 电磁感应 电磁场理论
总质量相同，质量分别离轴越远，J 越大。
F 平行转轴的力不产生转动效果，
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四、定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律 1．刚体的角动量 设刚体绕 z 轴转动，则刚体绕定轴的角动量为
2．定轴转动刚体的角动量定理 （1）角动量定理的微分形式 刚体所受到的对某给定轴的总外力矩等于刚体对该轴的角动量的时间变化率．
二、力矩 转动惯量 定轴转动定律 1．力矩 力矩是指力的作用点相对给定点的位矢 r 与力 F 的矢积．对于定轴转动，r 是力作用点 相对于转动轴的位矢． （1）力 F 对 O 点的力矩 M0
M0＝r×F
（2）力 F 对转轴 Oz 的力矩
图 3-1 力矩
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4．转动惯量 （1）转动惯量的定义 转动惯量是转动中惯性大小的量度，且
（2）转动惯量的积分形式
积分式中 dm 是质元的质量，r 是质元到转轴的距离． （3）平行轴定理 刚体对任一转轴的转动惯量等于刚体对通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量 JC 加上 刚体质量与两轴间距离 h 的二次方的乘积． （4）刚体转动惯量大小的决定因素
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第 3 章 刚体和流体的运动
3.1 复习笔记
一、刚体模型及其运动 1．力学分析方法 对物体复杂运动的研究，一般的力学分析方法可归纳为： （1）突出主要矛盾，撇开次要因素，建立理想模型； （2）将质点系化整为零，以质点或质元为研究对象，作为突破口； （3）根据受力情况，正确地画出受力图； （4）根据已知条件或初始条件，选用所需的基本原理、定律，列出方程式； （5）根据要求，求解方程，统一变量，积零为整，用积分法求出结果； （6）讨论分析所得结果，检验是否正确． 2．刚体 刚体是一种特殊的质点系，无论在多大外力的作用下，系统内任意两质点间的距离始终 保持不变． 3．平动和转动 （1）平动 平动是指当刚体运动时，刚体内任何一条给定的直线，在运动中方向始终保持不变的运 动． 在平动中，各个质点在同一段时间内位移相同，且具有相同的速度和加速度． （2）转动
第三章：流体运动学
欧拉型连续方程式的积分形式，物理意义是：单位时间内控制体内流体质量的增减，等于同一时间内进出控制面的流体质量净通量。
使用高斯定理，将其面积分变为体积分：
第一项的微分符号移入积分号内得
所以得：
积分域τ是任取的，必有：
上式即欧拉型连续方程的微分形式。
§３-４流体微团运动的分析
流体微团的运动比较复杂，具有平移，转动，变形运动。微团的运动速度也相应地由平移速度、变形速度和转动角速度所组成。
过水断面：流管的垂直截面，
流量：每秒钟通过过水断面的体积。
微小流管的流量积分：
平均流速：
用实验方法量出体积流量Ｑ，除以σ得平均流速Ｕ。
五、条纹线
举例烟囱的流动来说明。
轨迹线、流线、条纹线这三条线中，流线最为重要。
§３-３连续性方程式
连续性方程式：质量守恒定律在流体力学中的表达式。
一、一元运动的连续性方程式
§３-２几个基本概念
一、定常运动与非定常运动
定常运动：任意固定空间点处所有物理量均不随时间而变化的流动，反之称为非定常运动。
对于定常运动，所有的物理量不随时间而变化，仅是空间坐标（ｘ，y，ｚ）的函数：
ｖｘ＝ｖｘ（ｘ，ｙ，ｚ）
ｖｙ＝ｖｙ（ｘ，ｙ，ｚ）
ｖｚ＝ｖｚ（ｘ，ｙ，ｚ）
ｐ＝ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）
ρ＝ρ（ｘ，ｙ，ｚ）
３）质点的加速度
４）由质点一般运动规律
可求得拉格朗日变数ａ与ｂ的表达式为
代回拉格朗日法表示的速度表达式，得欧拉法表示的速度表达式：
欧拉法表示的加速度：
应用欧拉法研究流体运动，又有两种处理方法。一种是在流场空间取一微元体（如六面体），分析流体通过该微元体时流体微团的运动规律，建立流体运动时各种微分方程式。因此这种方法叫微分法。另一种方法是在流场中取一有限的任意形状的固定控制体（其边界封闭曲面称为控制面），分析流体通过该控制体时的运动规律，建立流体运动时各种整体关系式（即积分方程式），这种方法叫控制体方法，或称积分方法。
高二物理竞赛理想流体模型定常流动伯努利方程课件
实际流体的运动规律
2. 定常流动的连续性方程 测流量的文特利流量计如图所示。
当Re>1500时，湍流；
(流体运动学)
流体内任何一点的压强大小只与位置有关。
设在某一时刻，这段流体在a1a2位置，经过极短时间 t后，这段流体达到b1b2位置。
3. 伯努利方程 (理想流体动力学) 实际的流体都可压缩、有粘性(相邻层之间存在内摩擦力)。
2) 室内空气给地板的作用力有多大？ 对没志气的人，路程显得远;对没有银钱的人，城镇显得远。
三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。
一个人如果胸无大志，既使再有壮丽的举动也称不上是伟人。
mg (V ) g 解： 志不真则心不热，心不热则功不贤。
人若有志，万事可为。
治天下者必先立其志。
(1.21kg / m ) 并以非天神 下仙为才己能任烧。陶器，有志的人总可以学得精手艺。3 3.5 4.2 2.4m3 9.8m / s2 418N
mgh1 )
m
(
1 2
v2 2
gh2 )
(1 2
v12
gh1
)
a2 b2
v2 h2 p2 S2
19
伯努利方程
在流动过程中，外力对这段流体所作的功。
因理想流体没有粘性，管壁对它没有摩擦力。管壁对这段流体的 作用力垂直于它的流动方向，因而不作功。 故流动过程中，除了重力之外，只有在它前后的流体对它作功。 在它后面的流体推它前进，这个作用力作正功； 在它前面的流体阻碍它前进，这个作用力作负功。
• 流体的粘性
– 是其阻止剪切变形或角变形运动的一种量度。 – 如, 粘性大，内聚性大，感到“粘稠”
5
如何描述流体的属性？
沧海可填山可移，男儿志气当如斯。
刚体转动和流体运动
刚体转动和流体运动平动 刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同. 转动 刚体中所有点都绕某一直线作圆周运动. 力F 对转轴的力矩M =r ×F刚体内各质点间的作用力对转轴的合内力矩为零 M = M ij =0由质点i 的切向运动方程F it +F it ′=Δm i ɑit 知F it r i +F it ′r i =Δm i r i 2α所以 F it r i + F it ′r i = (Δm i r i 2)α又 F it ′r i =0 所以 F it r i = (Δm i r i 2)α 转动惯量J= Δm i r i 2对于质量连续分布的物体J= r 2dm转动定律刚体绕定轴转动时,刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比,与刚体的转动惯量成反比. M =J α细棒(转动轴通过中心与棒垂直)J=ml 212圆柱体(转动轴沿几何轴)J=mR 22薄圆环(转动轴沿几何轴)J=mR 2圆筒(转动轴沿几何轴) J=m2(R 12−R 22)球体(转动轴沿几何轴) J=2m R 25细棒(转动轴通过棒的一端与棒垂直)J=m l 23平行轴定理J=J c +md 2 角动量L =r ×p =m r ×v 由F =d(m v )dt知r ×F =r ×ddt (m v )又ddt (r ×m v )=r ×ddt (m v )+d rdt ×m v d rdt ×v =v ×v =0 所以r ×F =ddt (r ×m v )作用于质点的合力对参考点O 的力矩,等于质点对该点O 的角动量随时间的变化率 M=d Ldt冲量矩M dt质点的角动量定理 对同一参考系O,质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量.M dt t2t 1=L 2-L 1 质点的角动量守恒定律当质点所受对参考系O 的合力矩为零时,质点对参考点O 的角动量为一常矢量. L= r ×m v 为常矢量(M =0)由d L=M dt= J αdt 知 d L = J αdt=J αdt 所以L =J ω角动量定理 当转轴给定时,作用在物体上的冲量矩等于角动量的增量.M dt t2t 1=J 2ω2-J 1ω1角动量守恒定律如果物体所受的合外力矩等于零,或者不受外力矩的作用,物体的角动量保持不变. J ω为常矢量力矩做功 刚体在外力矩的作用下绕定轴转动而发生角位移. dW=Mdθ W= Md θ力矩的功率P=dW dt =M d θdt =Mω由12Δm i v i 2=12Δm i r i 2ω2知∑i12Δm i r i 2ω2=12(∑iΔm i r i 2)ω2转动动能E k =12J ω2由dW=Jαdθ=J d ωdtdθ= J d θdtdω=Jωdω知W= dW=J ωd ωω2ω1=12J ω22-12J ω12刚体绕定轴转动的动能定理 合外力矩对绕定轴转动的刚体所做的功等于刚体转动动能的增量.W=E k2-E k1刚体的平面平行运动动能等于质心的平动动能与刚体绕质心的转动动能之和.E k =12mv c 2+12J c ω2流体连续性方程ΔS 1v 1=ΔS 2v 2 伯努利方程ρv 122+ρg h 1+p 1=ρv 222+ρg h 2+p 2 洛伦兹速度变换式 u x =u x ′+v x1+u x ′′v ′c2高速运动时 质量m=m 0(1−v 2c2)12动量p=m 0v(1−v 2c2)12动能E k =m 0c 21(1−v 2c2)12−1质量与能量的关系E=mc 2。
医用物理习题集(第三章 流体的运动)
第三章 流体的运动一．目的要求：1.掌握理想流体和稳定流动的概念，连续性方程和伯努利方程的物理意义并熟练应用，掌握粘滞定律和泊肃叶定律的意义和应用。
2.理解粘性流体伯努利方程的物理意义，层流和湍流，雷诺数，斯托克斯定律及应用。
二．要点：1．理想流体是流体的理想模型。
绝对不可压缩和没有内摩擦力（即没有粘滞性）的流体称为理想流体。
2．连续性方程2211v S v S Q ==是绝对不可压缩的流体稳定流动时体积流量守恒的数学表述，是质量流量守恒在绝对不可压缩的流体稳定流动时的特例。
3．伯努利方程从能量的角度研究流体的运动规律，是流体动力学基本方程，其适用条件是：理想流体、稳定流动。
对同一流管中的各截面或同一流线上的各点都有：常量=++gh v P ρρ221该方程是理想液体作稳定流动时的功能关系。
要掌握在各种条件下，该方程的具体应用。
4．实际液体流动时由于具有内摩擦力f 形成层流，各液层间速度差异的程度用速度梯度dxdv 来描述。
牛顿层流关系式dx dvS f η=给出了内摩擦力与速度梯度的关系，同时也给出粘度dxdvS f⋅=η的物理意义。
要注意η取决于液体本身的性质并与温度有关。
5．流体发生湍流时所消耗的能量比层流多，雷诺数ηρvrR e =可帮助我们判断在什么情况下容易产生湍流。
6．泊肃叶定律给出了实际液体在水平均匀细圆管中稳定流动时，流量或某一截面处平均流速与管径、管长、管两端压强差、液体粘度之间的关系。
fR P L P s L P R Q ∆=∆=∆=ηπηπ8824 或 L Ps L P R v ηπη882∆=∆= 流阻4288RLS L R f πηπη==，其串联、并联规律与电学中电阻的串联并联规律对应。
并应注意流管半径的微小变化会引起流阻的很大变化。
实际液体在水平均匀细圆管中稳定流动时，是分层流动，流速v 沿管径方向呈抛物线分布：)(22214r R LP P v --=η。
在管轴处)0(=r ，速度取得最大值：2214R LP P v η-=max ，在管壁处)(R r =，速度取得最小值0 。
力学中的刚体的运动和流体力学
力学中的刚体的运动和流体力学在力学中，刚体是指其形状和大小保持不变的物体。
刚体运动和流体力学是力学领域中研究的两个重要方面。
本文将对刚体的运动和流体力学进行探讨。
一、刚体的运动刚体的运动可以分为平动和转动两种形式。
平动是指刚体的所有点同时以相同的速度和方向移动；转动是指刚体围绕固定轴线旋转。
1. 平动刚体的平动可以根据速度和加速度的方向分为直线运动和曲线运动。
直线运动是刚体沿着直线轨迹运动。
根据牛顿第一定律，刚体在没有受到外力的情况下会保持匀速直线运动，或者保持静止。
曲线运动是刚体沿着弯曲轨迹运动。
在曲线运动中，刚体的速度和加速度的方向都会发生改变。
曲线运动可以通过分析刚体所受的合力来进行研究。
2. 转动刚体的转动可以分为绕固定点的转动和绕固定轴线的转动。
绕固定点的转动是指刚体围绕某一点旋转。
刚体的转动可以通过研究转动惯量和力矩来进行分析。
绕固定轴线的转动是指刚体在围绕某一轴线旋转。
在绕轴线转动中，刚体的角速度和角加速度是相同的，且方向与转动方向一致。
二、流体力学流体力学是研究流体运动和流体力的学科。
流体可以分为液体和气体两种形式。
液体是一种不能保持形状的流体，而气体是一种可以自由流动的流体。
1. 流体运动流体运动可以分为定常流和非定常流。
定常流是指流体在一段时间内速度和流线分布不发生变化的流动；非定常流则是流体速度和流线分布随时间变化的流动。
在流体运动中，我们可以分析流体的速度场和压力场来研究流体的运动特性。
2. 流体力流体力是指流体对物体施加的力，它由压力力和剪切力组成。
压力力是流体压力差在物体表面上产生的力。
它是垂直于物体表面的力，大小与物体表面单位面积内的压力差成正比。
剪切力是流体剪切应力在物体表面上产生的力。
它是平行于物体表面的力，大小与流体的剪切应力成正比。
三、刚体运动和流体力学的联系刚体运动和流体力学在理论和实践中存在许多联系和应用。
在空气动力学中，研究了刚体在空气中的运动规律，包括飞机、导弹等物体的飞行稳定性与控制。
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对于成对的内力，对同一转轴的力矩之和为零，则
F i ri sin i 0
i
2 F r sin ( m r i i i i i ) i i
总外力矩Mz 称为刚体对转轴的转动惯量。
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d M z J J dt
刚体定轴转动定律：刚体在做定轴转动时，刚体的角 加速度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动 惯量成反比。
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说明
ml mh 2 12
dx
例题3-2、试求质量为m 、半径为R 的匀质圆盘对垂 直于平面且过中心轴的转动惯量.
解： 取质量元为圆环
J r 2dm
m
dr
R
o r
l
r 2rdr l
R 2 0
2l r dr
3 0
R
1 4 1 R l mR 2 2 2
1 1
2 2
系统对该轴的角动量为
Lz J ii
i
且系统满足角动量定理: M dLz d z
dt
J ii dt i
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三、定轴转动刚体的角动量守恒定律
定轴转动角动量定理：
当 即
时， 有 (常量)
定轴转动角动量守恒定律：物体在定轴转动中，当 对转轴的合外力矩为零时，物体对转轴的角动量保 持不变。 适用于刚体、非刚体和物体系。
Fi sin i Fisin i mi ait mi ri 2 Fr i i sin i Fr i i sin i mi ri
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对刚体内各个质点的相应式子，相加得
2 Fi ri sin i Fi ri sin i ( mi ri ) i i i
x dx l/2
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(2)
A
m 2 (3) J B x l / 2 h l dx 2
l / 2 h
1 2 ml 3
x
l
h A
dx
B O
l
x
（1）转动惯量因转轴位置不同而变，必须指 明是关于某轴的转动惯量。 （ 2） 平行轴定理: 刚体对任一转轴的转动惯量 J 等 于对通过质心的平行转轴的转动惯量 JC 加上刚体质 量 m 乘以两平行转轴间距离 h 的平方。
刚性细棒： 3平动自由度 + 2个转动自由度 物体有几个自由度，它的运动定律就归结为几个独立 的方程。
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§3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律
一、力矩
F 对O点的力矩： M 0 r F
M 0 r F1 r F2
对转动无贡献 对转动有贡献
说明 1、只有垂直转轴的外力分量才产生沿转轴方向的力 矩Mz ，而平行于转轴的外力分量产生的力矩 Mxy 则 被轴承上支承力的力矩所抵消。
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角量： 角位移
线量与角量的关系：
d 角速度 dt d 角加速度
dt
匀角加速转动： 匀加速直线运动：
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三、自由度
自由度就是决定系统在空间的位置所需要的独立坐 标的数目。 质点： (x, y, z) i=3 C(x,y,z)
做直线运动的质点： 1个自由度 做平面运动的质点： 2个自由度
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例题3-3 求质量 m 半径 R 的 (1) 均质圆环， (2) 均质 圆盘对通过直径的转轴的转动惯量。
解：(1) 圆环： r dm
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(2) 圆盘：
O r dr d m
可见，转动惯量与刚体的质量分布有关。
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例题3-4 物体：m1、m2(>m1)， 定滑轮：m、r，受摩 擦阻力矩为Mr。轻绳不能伸长，无相对滑动。求物体 的加速度和绳的张力。 解：由于考虑滑轮的质量和所受 的摩擦阻力矩，
做空间运动的质点： 3个自由度
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自由运动刚体： 随质心的平动 + 绕过质心轴的转动 自由刚体有 6个自由度： 确定质心位置 3个平动自由度 (x, y, z) 确定过质心轴位置 2个转动自由度 ( ， ) 确定定轴转动角位置 1个转动自由度 ( ) 平动刚体： 3个平动自由度 定轴转动刚体：1个转动自由度
比较
平动： 线动量 转动：
mv
角动量
dv 平动定律 F ma m 转动定律 M z J J d dt dt 转动惯量是刚体转动惯性大小的量度。
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J
四、转动惯量
定义： 刚体为质量连续体时： （ r 为质元dm到转轴的距离） 转动惯量取决于刚体本身的性质，即刚体的形状、 大小、质量分布以及转轴的位置。 单位( SI )：
第三章 刚体和流体的运动
本章教学目的及要求
1、了解刚体模型。 2、了解刚体的转动惯量。 3、掌握刚体定轴转动定律及其应用。 4、了解刚体定轴转动的功能关系、角动量定理 及角动量守恒定律。
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§3-1 刚体模型及其运动 一、刚体
刚体：既考虑物体的质量， 又考虑形状和大小，但 忽略其形变的物体模型。 刚体是一个特殊的质点系，在外力作用下，系统内任 意两点间的距离始终保持不变。
2
1
在啮合过程中，摩擦力矩做功，所以机械能不守恒， 部分机械能将转化为热能。损失的机械能为：
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例题3-9 一质量为M 、半径为R 的匀质圆盘形滑轮， 可绕一无摩擦的水平轴转动. 圆盘上绕有轻绳，绳子 一端固定在滑轮上，另一端悬挂一质量为m 的物体， 问物体由静止落下h 高度时,物体的速率为多少？ 解法一:用牛顿第二运动定律及转动 定律求解。 对物体m用牛顿第二运动定律得
2 、转动 如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线做圆周运 动，这种运动就叫做转动，这一直线就叫做转轴。 如果转轴是固定不动的，就叫做定轴转动。 如：门、 窗的转动等。 可以证明，刚体的一般运动可看作是平动和转动的 叠加 。 如：车轮的滚动。
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定轴转动时，刚体上各点都绕同一固定转轴做 不同半径的圆周运动。 在同一时间内，各点转过的圆弧长度不同，但 在相同时间内转过的角度相同，称为角位移，它可 以用来描述整个刚体的转动。 做定轴转动时，刚体内各点具 有相同的角量，包括角位移、角速 度和角加速度。但不同位置的质点 具有不同的线量，包括位移、速度 和加速度。
r
问题中包括平动和转动。
FT1 m1 g m1a m2 g FT2 m2 a FT2 r FT1r M r J
轮不打滑： 联立方程，可解得 FT1 ，FT2，a， 。 此装置称阿特伍德机——可用于测量重力加速度 g
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例题3-5 一半径为R，质量为m均质圆盘，平放在粗糙 的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦因数为 ，令圆盘 最初以角速度 0 绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问 它经过多少时间才停止转动？ 解： 把圆盘分成许多环形 质元，每个质元的质量 dm=reddr ， e 是 盘 的 厚 度，质元所受到的阻力矩 为 rdmg 。 圆盘所受阻力矩为
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1. 刚体( J 不变)的角动量守恒 若 M=0，则 J =常量，而刚体的 J 不变，故 的大小，方向保持不变。 如：直立旋转陀螺不倒。
o
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2. 非刚体( J 可变)的角动量守恒
当 J 增大， 就减小，当 J 减小， 就增大。 如：芭蕾舞、花样滑冰、跳水中的转动等。
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2π R 2
3 2 t 0 2 1 μg dt R dω 0 3 2 ω0
dt
3 R t 0 4 g
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§3-3 定轴转动中的功能关系 一、力矩的功
说明 1. 平行于定轴的外力对质元不做功。 2. 由于刚体内两质元的相对距离不变，内力做 功之和为零。
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设作用在质元mi上的外力
位于转动平面内。
合外力对刚体做的元功：
刚体受到的总外力矩 刚体从 0 转到 ，所有外力做的总功为： 力对刚体所做的功用力矩与角位移乘积的积分表示， 叫做力矩的功。
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二、刚体的转动动能
刚体转动时的动能，是组成刚体的各个质点动能之和。
刚体对转轴的转动惯量J
刚体的转动动能：刚体因转动而具有的动能。
3. 物体系的角动量守恒
若系统由几个物体组成，当系统受到的外力对 轴的力矩的矢量和为零，则系统的总角动量守恒：
如：直升机机尾加侧向旋叶，是为防止机身的反转。
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例题3-8 摩擦离合器 飞轮1：J1、 1 摩擦轮2： J2、 静止，两轮沿轴向结合，求结合后两轮达到的共同角 速度。
2 1
解：两轮对共同转轴的角动量守恒
解： A O C B
(1)水平位置
方向： 垂直于 转动面向里
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(2)垂直位置
A
C O
B
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§3-4 定轴转动刚体的角动量定理和 角动量守恒定律 一、刚体的角动量
质元
mi
对O 点的角动量为
Li Ri mi vi 因 vi Ri ，所以 Li 的大小为
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三、定轴转动的动能 时，外力矩所做 元功为 ：
d M J J dt
d dA Md J dt Jd dt
则总外力矩对刚体所做功为
刚体定轴转动的动能定理 ： 总外力矩对刚体所做的功 等于刚体转动动能的增量。
线速度和角速度之间的矢量关系 ：
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三、定轴转动定律
对刚体中任一质量元 mi
受外力
Fi
和内力
Fi
应用牛顿第二定律，可得