2017年高考理科数学北京卷(含详细答案)

边上一点 2 2,1 ，则 cos 2 2 ，又 2 21, 关于 y 轴对称的点 2 2,1 在角 的终边上， 3
所以 sin
13,cos
22 3
,
此时
cBiblioteka Baidus
cos
cos
sin
sin
22 3
2 2 3
1 3
1 3
7 9
.当角
为第二象限时，可
取其终边上一点
值为
5 3
.故选
C．
【考点】程序框图 4．【答案】D
【解析】不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，是以点 A(1,1),（B 3，3）（,C3，1）为顶点的三角形
及其内部.
当直线： z x 2y 经过点 B 时， x 2y 取得最大值，所以 z 3 23 9 ，故选 D. max
【考点】二元一次不等式组所表示的平面区域、困解法求最值
()
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
7.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为
A. 3 2
B. 2 3
C. 2 2
D.2
8.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361,而可观测宇宙中普通物质的原
M 子总数 N 约为 1080.则下列各数中与 N 最接近的
12．【答案】 7 9
【解析】解法一 因为角 α 与角 β 的终边关于 y 轴对称，所以 2k ， k∈Z ，所以
cos(
)
cos(2k
2 )
cos 2
(1
2sin
2
)
1
2
(1)2 3
7 9
.
解法二 因为sin = 1 0 ，所以角 为第一象限角或第二象限角，当角 为第一象限角时，可取其终 3
(n
n n n 1 1 2 2 n n
1,2,3 ) ,其中 max x
,
x
,,
x
表示 x
,x
,,
x
这
s 个数中最大的数.
(1)若 a
n ,b
12n12s
2n 1,求 c , c , c
的值,并证明c
是等差数列；
nn123n
(2)证明：或者对任意正数 M
,存在正整数 m,当 n≥m 时,
c nn
11．【答案】1
【解析】将圆的极坐标方程化为直角坐标方程为 x2 y2 2x 4y 4 0 ，即（x 1）2 （y 2）2 1，圆
心为（1，2），半径 r 1.因为点 （1，） 到圆心的距离 d （11）2 （0 2）2 2 1，所以点 P 在圆 外，所以 AP 的最小值为 d r 21 1.
5．【答案】A 【解析】因为
f (x ) x 13 x ，( 且) 定 义 域 为 R 3
，所以
f (
x)
x
1 3
3
x
(
x
11 3x (
)
x
= x ( x)3
增)
3，f即函数[ f (x3) 是奇函数.又) y ]3x 在 R 上(是
函数，
y
(
1) 3
x
在
R
上是减函数，所以
f ( x) 3x (
()
(参考数据：lg3 0.48)
A.1033 C.1073
B.1053
D.1093 数学试卷 第 2 页（共 26 页）
第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9.若双曲线 x2
y2 m
1 的离心率为
3 ,则实数 m =
.
10. 若 等 差 数 列 {a } 和 等 比 数 列 {b } 满 足 a b –1, a b 8 , 则
M
；或者存在正整数 m
,
使得 c , c , c , 是等差数列.
m m1 m2
19.(本小题 13 分)
已知函数 f (x) ex cosx x .
(1)求曲线 y f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程；
(2)求函数
f
( x)
在区间[0,π ] 上的最大值和最小值. 2
数学试卷 第 7 页（共 26 页）
-------------
---------------绝- 密★启用前
在
北京市 2017 年普通高等学校招生全国统一考试
--------------------
数学
本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.
_
此 第一部分(选择题 共 40 分)
--------------------
_
__
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目
m n ”
可推得“ m n 0 ”；而由“m n 0”，可推得“cos m, n 0”，但不一定推得“m，n 的方向相反”，
从而不一定推得“存在负数 ，使得m n ” 综. 上所述， “存在负数 ，使得m n ”是“ m n 0”
的充分而不必要条件，故选 A. 【考点】充分必要条件与平面向量
7．【答案】B 【解析】由三视图还原为如图所示的四棱锥 A-BCC1B1，
从图中易得最长的棱为 AC AC2 CC 2 (22 22) 22 2 3 ，故选：B.
1
1
【考点】几何体的三视图
8．【答案】D
【解析】因为 lg3361 361 lg3 361 0.48 173，所以 M
PB 上,PD ∥ 平面 MAC , PA PD 6 , AB 4 .
此
(1)求证：M 为 PB 的中点；
------------(-2-)-求---二-- 面PD角 BA 的大小；
__
(3)求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值.
__
__
__
__ __ __
卷 --------------------
人数,求 的分布列和数学期望 E ( )；
(3)试判断这 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差与未服药者指标 y 数据的方差的大 小.(只需写出结论)
数学试卷 第 6 页（共 26 页）
18.(本小题 14 分)
已知抛物线 C：y2 2px过点 P(1,1) .过点(0,12 ) 作直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点
10173 ，则
M N
10173 1080
1093 ，故选 D．
【考点】指数与对数的运算
第二部分
二．填空题
9．【答案】2
【解析】由双曲线的标准方程可知a2 1， b2 m ，所以 a 1， c 1 m ，所以
1 m 3 ，解得 1
m 2.
【考点】考查双曲线的标准方程与离心率.
10．【答案】1
【 解 析 】 设 等 差 数 列 a 的 公 差 为 d ， 等 比 数 列 b 的 公 比 为 q ， 则 a 1 3d 8， 解 得
n
n
4
d 3; b 1 q3 4
8，解得 q
2 .所以 a 1 3 2
2,b 1 (2) 2，所以 2
a 2
b
1.
2
【考点】等差数列与等比数列的通项公式
名 姓
__ _
_
__ _
答 --------------------
_
__
__
__
____
题 --------------------
校
学
业
毕
无
-------------------- 8
A.2
B. 3
2
35
D. 5
C.
效
数学试卷 第 1 页（共 26 页）
x 3，
4.若 x,y 满足 x y 2，则 x + 2y 的最大值为
值 a, b, c 依次为
.
14.三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点 Ai 的横、纵坐 标分别为第 i 名工人上午的工作时间和加工的零件数,点 Bi 的横、纵坐标分别为第 i
名工人下午的工作时间和加工的零件数, i 1,2,3 .
三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
__ __
要求的一项.
__ __
1.若集合 A {x | –2 x 1}, B {x | x –1 或 x 3} ,则 AB
()
___号
生 考
__ __
卷
A.{x | –2 x –1}
--------------------
C.{x | –1 x 1}
B.{x | –2 x 3} D.{x |1 x 3}
1) x 在 R 3
上是增函数.故选 A.
【考点】函数的奇偶性与单调性
6．【答案】A
【解析】因为 m， n是非零向量，所以m n m n cos m, n 0的充要条件是cos m, n 0.因为 0， 则由 m n 可知 m，n 的方向相反， m, n 180 ，所以cos m, n 0，所以“存在负数 ，使得
15.(本小题 13 分)
△ 在
ABC
中,∠A
60
,
c
3 7
a
.
(1)求 sin C 的值；
(2)若 a 7 ,求△ ABC 的面积.
①记 Qi 为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数,则 Q1,Q2,Q3 中最大的是
.
②记 pi 为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数
,则 p , p , p 中最大的 12 3
M,N,过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP,ON 交于点 A,B,其中 O 为原点.
(1)求抛物线 C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段 BM 的中点.
20.(本小题 13 分)
设 a 和 b 是 两 个 等 差 数 列 , 记 c maxb a n, b a n, , b a n
数学试卷 第 8 页（共 26 页）
2017 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学答案解析
第一部分
一、选择题
1．【答案】A
【解析】由集合交集的定义可得 A B=x | 2 x 1，故选 A.
【考点】集合的交运算
2．【答案】B
【解析】因为 z (1 i)(a i) a 1 (1 a)i ，所以它在复平面内对应的点为 (a 1,1 a) ，又此点在第
数学试卷 第 5 页（共 26 页） 效
17.(本小题 13 分) 为了研究一种新药的疗效,选 100 名患者随机分成两组,每组各 50 名,一组服药,另一组 不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标 x和 y 的数据,并制成下图,其中“*表示” 服药者,“+表”示未服药者.
(1)从服药的 50 名患者中随机选出一人,求此人指标 y 的值小于 60 的概率； (2)从图中 A ,B ,C ,D 四人中随机选出两人,记 为选出的两人中指标 x 的值大于 1.7 的
__ _ ___
2.若复数 (1 i)(a i) 在复平面内对应的点在第二象限,则实数 a 的取值范围是( )
A.(–∞,1)
B.(–∞,–1)
__ 上
__ ___ _
-----------------C--.-(1,+∞) 3.执行如图所示的程序框图,输出的 s 值为
D.(–1,+∞)
__
__
__
a2
n
.
b
n
11
4
4
2
11.在极坐标系中,点 A 在圆 2 2cos 4sin 4 0 上,点 P 的坐标为(1,0),则
|AP|的最小值为
.
12.在平面直角坐标系 xOy 中,角 与角 均以 Ox 为始边,它们的终边关于 y 轴对称.
若 sin
1 3
,则 cos( )
.
13.能够说明“设 a,b, c 是任意实数.若 a＞b＞c ,则 a b＞c ”是假命题的一组整数的
二象限，所以
a 1 1 a
0， 0，解得
a
1 ，故选
B．
【考点】复数的乘法及几何意义
3．【答案】C
【解析】运行该程序， k 0, s 1,k 3; k 01 1,s 11 2,k 3;
1
k
11
2, s
21 2
3 2
,
k
3;
k
1 2 3,s
3 2
1
3
53, k 3.
2
输出的
s
y
x，
()
A.1
B.3
C.5
D.9
5.已知函数 f (x) 3x ( 13)x ,则 f (x)
()
A.是奇函数,且在 R 上是增函数
B.是偶函数,且在 R 上是增函数
C.是奇函数,且在 R 上是减函数
C.是偶函数,且在 R 上是减函数
6.设 m, n 为非零向量,则“存在负数 ,使得 m n ”是“ m n 0 ”的
_号_
生 考
__ _
__
__ __
_____ __
上 --------------------
__
______名_______ 姓 __
答 --------------------
___
__
__
___
题
_
--------------------
__
__ _校 学
业
毕 无
--------------------
是
.
数学试卷 第 3 页（共 26 页）
数学试卷 第 4 页（共 26 页）
----------------------------
在 --------------------
16.(本小题 14 分) 如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为正方形,平面 PAD ⊥平面 ABCD ,点 M 在线段
2
2,1
，则cos 2 2 3