换元积分法(第一类换元法)
3.3第一类换元积分法
§3.3 第一类换元积分法教学目的：使学生理解第一类换元积分法，掌握第一类换元积分法的一般步骤及其应用。
重点：第一类类换元积分法及其应用 难点：第一类类换元积分法及其应用教学过程：一、问题的提出不定积分的概念较为简单，但从计算上讲是较为繁杂的，如同数学中一般逆运算比正运算困难一样，不定积分作为微分运算的逆运算，其难易程度却相差甚远，若把求导数比喻为将一根绳子打结，求不定积分则是解结，解结显然比打结难，有时甚至解不开。
而且利用直接积分法所能计算的不定积分是非常有限的，因此，有必要进一步研究不定积分的其它计算方法，由复合函数的求导法则可推得一种十分重要的积分方法——换元积分法（通常简称换元法）。
该法可分为两类，即第一类和第二类换元法。
本节将介绍第一类换元法。
二、第一类换元积分法（凑微分法）我们将把复合函数的求导法反过来用于求不定积分，即利用变量代换的方法将所要求的不定积分变为基本积分表中所已有的形式或原函数为已知的其他形式来求函数的不定积分，这种方法称为换元积分法。
下面先介绍第一类换元积分法。
定理 设)(u f 具有原函数，)(x u ϕ=可导，则有换元公式⎰⎰=='⋅)(])([)()]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ证明 设)(u f 具有原函数)(u F ，即)(u F '=)(u f ，⎰du u f )(=Cu F +)(.又因为u 是关于x 的可导函数)(x u ϕ=,所以有⎰⎰⎰+==='⋅C x F x dF x d x f dx x x f )]([)]([)]([)]([)()]([ϕϕϕϕϕϕ又)(])([x u du u f ϕ=⎰)(])([x u C u F ϕ=+=C x F +=)]([ϕ从而推得⎰⎰=='⋅)(])([)()]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ 证毕推论 若 ⎰dx x f )(=C x F +)(成立，则⎰du u f )(=Cu F +)(.也成立，其中u 为x 的任一可导函数该推论表明：在基本的积分公式中，把自变量x 换为u 的任一可导函数后，公式仍成立，这就大大的扩大了公式的使用范围。
高等数学-4_2换元法
（2） tan x d x
3
解(1): 原式 sec2 x sec2 x d x
(tan
(tan
1 3
3
2
x 1) sec x d x
2
2
x 1) d (tan x )
tan x tan x C
sec x d x d (tanx )
2
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例7. （1）
sec
2
x x
dx
2
（2）
xd
dx x (1 x )
解 (1) 原式 = (2) 原式 =
2
sec
x 2tan x 2
x c
1 d x
2
(1 x ) d
1
1 (
x)
2
2arctan
1 x d x 2d
x c
2 a x b)
x
x
x
1 e x e (1 ) dx x 1 e x e dx dx x 1 e
x
(1 e ) e
dx
e d x de
x
x
d (e 1 )
x
x ln(1 e x ) C
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结1 x
1 2
x
d(
1 2
2
x ) 2e
1
1 2
x
c
（4）
dx
2
1 d( 1 3 x )
（1 3 x )
医学高等数学课件 第3-1不定积分的第一类换元积分法
——第一类换元积分法
第一类换元法
定理. 公式
设 f (u) 有原函数 , u g(x)可导, 则有换元
f (u)du u g(x)
即
f [g(x)] g(x)dx f (g(x))d g(x)
(也称换元法 , 凑微分法)
例1.求 cos 5xdx
解:
cos 5xdx
)
ln(1 ex ) C
ln(1 ex ) ln[ex (ex 1)] 两法结果一样
例8. 求 sin2 xdx
解:
sin2
xdx
1
cos 2
2xdx
1dx 2
1 4
cos
2xd
(2x)
1 x 1 sin 2x C 24
sin3 xdx sin2 x sin xdx (1 cos2 x)d cos x
cos x 1 cos3 x C 3
例9.求 sec6xdx.
解: 原式 = (tan2 x 1)2dsetacn2 xdx
(tan4 x 2 tan2 x 1) dtan x
1 tan5 x 2 tan3 x tan x C
5
3
例10. 求
解: 原式 = sin 4 x cos2 x cos x dx sin 4 x(1 sin 2 x) d sin x
1. 真分式 P(x) (即n m) Q(x)
(1) Q(x)的因式(x a)n,
P(x) 可拆分为 A1
Q( x)
xa
(x
A2 a)2
(x
An a)n
;
(2) Q(x)的因式(x2 px q)n, ( p2 4q 0)
可拆分为 A1x B1 x2 px q
4.2 换元积分法
解：
(1)
a2
1
x2
dx
1 a
1 a2
1
1(ax1)21da(xax22)dx
1 a
arctan
x a
C
用类似的方法还可以求得
1 a2
x2
dx
arcsin
x a
C．
4.2.1 第一换元积分法 4.第一换元积分法的常见类型
例4
求不定积分 (2)
dx a2 x2
4.2.1 第一换元积分法 2.第一换元积分法
计算过程
f
[ ( x)] ( x)dx
凑微分
f
[ ( x)]d ( x)
令 ( x)u
积分
回代
f (u)du F (u) C F ((x)) C
利用复合函数求导公式，可以验证以上公式的正确性．
用这种方法的计算程序是：先“凑”微分式，再作变量置换。 我们将这类求不定积分的方法称为第一类换元积分法，也称凑微 分法。
4.2.1 第一换元积分法 3.第一换元积分公式的应用
例1 求下列不定积分
(1)
dx x 1
解： 令 x 1 u 则 dx du，于是
dx x 1
du u
ln u C
同理可得:
(2)
dx 1 x
ln
1
x
C
(3)
dx 1 x
2
1 x C
再将u x 1 代回，得
(2)
ln x x
dx
解：
(2)
第一换元积分法(凑微分法)
=
13 (3x +1)2 ( x + 2) + C. 5
由以上二例可以看出： 由以上二例可以看出：被积函数中含有被开方因式 可以消去根号， 为一次式的根式n ax + b 时,令n ax + b = t 可以消去根号， 从而求得积分． 从而求得积分．下面重点讨论被积函数含有被开方因式 为二次式的根式的情况． 为二次式的根式的情况．
x
∫ f (u)du = ∫ dF(u) =F(u) + C.
这个定理非常重要， 这个定理非常重要， 它表明： 它表明： 在基本积分公式中， 在基本积分公式中， 后公式仍成立． 自变量x换成任一可微函数u = ϕ(x)后公式仍成立． 这就大大扩充了基本积分公式的使用范围． 这就大大扩充了基本积分公式的使用范围．应用这一 结论，上述例题引用的方法, 结论，上述例题引用的方法, 可一般化为下列计算程 序： 令u = ϕ(x) 凑微分 ∫ f [ϕ(x)]ϕ′(x)dx ∫ f [ϕ(x)]dϕ(x)
1− (2x −1)
d(2x −1)
2
= arcsin(2x −1) + C.
二、第二换元积分法
第一换元积分方法是选择新的积分变量 u = ϕ( x), 但 x 对有些被积函数则需要作相反方式的换元， 对有些被积函数则需要作相反方式的换元， 即令 = ϕ(t ), 作为新积分变量，才能积出结果， 把 t 作为新积分变量，才能积出结果，即 x = ϕ (t )
例９
解 于是
1+ x 为了消去根式， 为了消去根式，可令 x = t 2 (t > 0), 则 dx = 2tdt.
求∫
x
dx.
t t2 ∫1+ x dx = ∫1+ t 2tdt = 2∫1+ t dt x
课件：2 第一换元积分法(1)
1du u
1 ln u C 2
1 ln 3 2x C.
2
1
(1)
f (ax b)dx a
d(ax b)
例3 计算
x(1
1 2ln
x
dx. )
解
x(1
1 2
ln
dx x)
1
1 2ln
d x
(ln
x)
1 2
1
1 2ln
d x
(1
2ln
x)
u 1 2 ln x
1 2
1 du u
1 2
1 [ln x a ln x a ] C 2a
1 ln x a C. 2a x a
例8 计算
1
1 e
x
dx.
解
1
1 e
x dx
1
ex 1
e ex
x
dx
1
1
e
x
e
x
dx
ex
dx 1 e xdx
dx
1
1 e
x
d
(1
e
x
)
x ln(1 e x ) C.
(11) f (ex ) exdx f (ex )dex
dx
1 sin2
x
dx
cos sin2
x x
dx
1 sin2
x
dx
1 sin2
x
d (sin
x)
cot x 1 C. sin x
例12 计算 sin2 x cos5 xdx.
解 sin2 x cos5 xdx sin 2 x cos4 xd (sin x )
sin2 x (1 sin2 x)2d(sin x)
第一类换元积分法
dx dx 1 arctan x c . 20 . arcsin x c . 21 . 2 2 2 a a a x2 a a x dx x a 1 22 . 2 ln c . 2 2a x a x a
dx ax 1 23 . 2 ln c . 2 2a a x a x
例11. 求
dln x 1 d(1 2 ln x) 解: 原式 = 1 2 ln x 2 1 2 ln x
例12. 求
e3
x
x
dx .
3 x
x
解: 原式 = 2 e
2 3 e 3
2 3 x d x e d(3 x ) 3 C
被积函数中含有三角函数的例子 例13 求三角函数的不定积分
ln cos x cot xdx ? sin x sin x
ln sin x C
sec2 x 1 d tan x dx d x tan x ln tan x c 例 16 . sin x cos x tan x 1 sin2 x cos2 x sinx cos x dx sinx cos x dx (tan x cot x )dx ln cos x ln sin x C ln tan x C 1 1 x 例16ln tan x c . 例 17 . csc x dx d dx x cos x 2 2 sin x sin 2 2 2 sin 2 x 1 cos x x 2 tan csc x cot x . 2 2 sin x cos x sin x 2 2 csc x dx ln csc x cot x c . (新公式)
第一类换元法
原式=
x
2
1 2 1 ( ) x
例4. 求
想到公式
解:
1 dx 2 x 2 a 1 ( a )
dx 1 x2
1 1 x d ( ) 2 x a 1 ( a ) a
arctan x C
考虑求
例5. 求
解:
a
dx 1 (
x 2 a)
d( ) 1 (
x 2 a)
解法2
e d(1 e ) dx x 1 e 1 e x ln(1 e x ) C
x
x
ln(1 e x ) ln[e x (e x 1)] 两法结果一样
例9. 求 解:
sin
2
2
xdx
1 cos 2 x sin xdx dx 2 1 1 dx cos 2 xd (2 x) 2 4 1 1 x sin 2 x C 2 4
第一节 换元积分法
一、第一类换元积分法
二、第二类换元积分法
主讲：唐辉成
基本思路
设 F (u ) f (u ) , 可导, 则有
dF [ g ( x)] f [ g ( x)] g ( x)dx
F[ g ( x)] C F (u ) C
f (u )du
令u g ( x)
u g ( x)
u g ( x)
第一类换元法
一、第一类换元法
定理.
公式
设 f (u ) 有原函数 , u g ( x) 可导, 则有换元
f (u )du
即
u g ( x)
f [ g ( x)] g ( x)dx f ( g ( x))d g ( x)
高数4.2
2
其中C 1=C−ln a ．
例 23 求 ∫ 例21
dx x −a
2 2
x (a>0)．
解 当 x>a 时，设 x=a sec t (0<t< 那么
π
2
t
)，
a
x 2 − a 2 = a 2 sec 2 t − a 2 = a sec 2 t − 1 =a tan t ， 于是
∫
a sec t tan t =∫ dt = ∫ sec tdt = ln |sec t + tan t |+C ． 2 2 a tan t x −a
§4．2 换元积分法 ．
一、第一类换元法 二、第二类换元法 三、积分公式小结
一、第一类换元法
定理1 设f(u)具有原函数，u=ϕ(x)可导，则有换元公式
∫
f[ϕ(x)]ϕ′(x)dx = dx
∫
f[ϕ(x)]dϕ(x)= [ )
∫
f(u)d u]u = ϕ(x) ．
根据得
∫
cot x dx=ln|sin x|+C ．
熟练之后，不必再写出变量代换．
例6 例6
∫
1 a2 + x2
dx =
1 a2
∫
1 x = arctan +C ． a a x x x x ch dx =a ch d = a sh +C ． 例7 例7 a a a a 1 例8 dx (a>0)． 例8 求 a2 − x2 1 1 1 1 x dx = 解 dx = d 2 2 a a a2 − x2 x x 1− 1− a a x = arc sin +C ． a
补充公式：
换元积分法
tan 2tdt (sec2t - 1)dt tan t - t C
x sect
2
1 cos t
1 cost , x
1 t arccos , x
1 原式 x - 1 - arccos C x
练习：
2、三角代换：被积函数型如→
(1) a 2 x 2 , 设x a sin t ; (3) x 2 a 2 , 设x a sect. (2) a 2 x 2 , 设x a tan t ;
例1：求 4 - x 2 dx
解：设x 2 sin t , 则 4 - x 2 4 - 4 sin 2 t
4(1 sin 2 t ) 2 cost
dx d (2 sin t ) (2 sin t)' dt 2 costdt
原式 2 cos t 2 cos tdt
2t sin 2t C x x 4 - x2 sin t , t arcsin , 又 cos t 2 2 2
解：设x 3 tan t , 则 x 2 9
dx d (3 tan t ) (3 tan t)' dt 3 sec2 tdt
原式 1 3 sec2 tdt 3 sect
sectdt
ln sect tan t C
x tan t , 3
sect
cosudu 求结果 sin u C
分析本例被积函数的特点：
sin x 2 C
1、被积函数能看做两函数的乘积; 2、其一为复合函数；
3、其二能看做复合函数的中间变量的导数。
此题的解法被称作第一换元法，又叫凑微分法。用公式表示为：
§4.2-换元积分法(第一类换元法)
§ 4.2 -换元积分法（第一类换元§ 4.2 换元积分法I 授课题目§ 4.2 换元积分法(第一类换元法)n 教学目的与要求：1. 理解第一类换元法的基本思想，它实际上是 复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微 分"，d (x) (x)dx.2. 掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第 一类换元积分法求有关不定积分. 皿教学重点与难点：重点：第一换元法的思想，难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积 分.W 讲授内容：一、第一类换元积分法设f(u)具有原函数F(u)， f(u)du F(u) C .若u 是中间变 量，u (x)，(x)可微，则根据复合函数求导法则，有所以根据不定积分的定义可得:dF( (x))dxd£du du dxf(u)乎 dxf[ (x)] (x)。
f[ (X)] (x)dx F[ (x)] C u (x)F[u] C [ f(u)du]以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有f[ (x)] (x)]dx u (x)[ f (u)du] F u C F (x) C .以上就是第一换元积分法。
从以上可以看出，虽然f[ (x)] (x)dx是一个整体记号，但是被积表达式中的dx可当作变量x的微分来对待从而上式中的(x)dx可以看成是(x)的微分，通过换兀u(X)，应用到被积表达式中就得到(x)dx du .定理1设f(u)具有原函数F(u) , u (x)可导，du (x)dx , 则f[ (x) (x)dx f(u)du F(u) C F[ (x)] C (1)如何应用公式(1)，在求不定积分积分g(x)dx时如果被积函数g(x)可以化为一个复合函数与它内函数的导函数的积的形式f[ (x)] (x)的形式那么g(x)dx f[ (x)] (x)dx (x) u[ f(u)du] F(u) C u (x)F[ (x)] C.所以第一换元积分法体现了“凑”的思想•把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积f[ (x)] (x)来.例 1 求3e3x dx角军3e3x dx e3x3dx= e3x(3x) dx，可设中间变量u 3x，du d (3x) 3dx 3dx du，1 5 1 63dx 二一(3x 2) d(3x 2)(3x 2) 3183 2x^^以^^ e 3xdxe 3x 3dxe u du e u C e 3x C .首先观察被积函数的复合函数是什么样的， 看是否有它的内函数的导数，若没有就去凑。
第一类换元积分法
例4 求
2 x 1dx .
解
1 2 x 1dx 2 x 1d ( 2 x 1) 2
1 ( 2 x 1) d ( 2 x 1) 2
1 2
1 ( 2 x 1) 2 C 3
1 1 ( 2 x 1) 1 2 1 23
1 1 2
例5 求
tan 3 x(1 tan 2 x )d (tan x )
(sec 2 x 1) sec 3 xd (sec x )
1 dx. 例17 求 x 1 e 1 1 ex ex dx dx 解 x x 1 e 1 e x x e e dx dx dx 1 x x 1 e 1 e 1 dx d (1 e x ) x 1 e
§4-3
换元积分法（一） 第一类换元积分法 （凑微分法）
复习:不定积分定义,性质和公式
1. F ( x ) f ( x )
f ( x )dx F ( x ) C
2. [k1 f ( x ) k 2 g( x )]dx k1 f ( x )dx k 2 g( x )dx
解
1 1 1 3 2 xdx 2 3 2 x d (3 2 x ) 1 1 1 1 du ln u C ln 3 2 x C . 2 2 2 u
1 一般地 f (ax b)dx [ f ( u)du]uax b a 1 即d (ax b) adx故dx d (ax b) a
f [ ( x )] ( x)dx [ f (u)du]
F [ ( x )] C
实际上 [F [ ( x )] C ] F (u) ( x ) f [ ( x )] ( x )
微积分第一类换元法
定理1
u 设 f (u) 具有原函数， ( x ) 可导，
则有换元公式
f [ ( x )] ( x )dx [ f (u)du]u ( x )
第一类换元公式（凑微分法） 说明: 使用此公式的关键在于将
g( x )dx
1 2 a
例10 解
1 求 x 2 a 2 dx.
1 1 1 原式 ( x a x a )dx 2a
1 xa ln C. 2a x a
令：u ( x) x a 可以吗？
2 2
1 a 2 x 2 dx ?
例11 求 解
tan xdx
解
1 dx 2 2 ( x 1) 2
1 dx 用 2 2 x a 1 xa ln C 2a x a
1 d ( x 1) 2 2 ( x 1) 2
1 x 1 1 ( x 1) 2 C. ln C ln 4 x3 4 ( x 1) 2
ln csc x cot x C.
类似地可推出
sec xdx ln sec x tan x C.
基 本 积 分 表
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
1 1 xa (21) 2 dx ln C; 2 x a 2a x a 1 x (22) dx arcsin C. a a2 x2
化为
f [ ( x)] ( x)dx f [ ( x)]d [ ( x)].
例1 求
e dx
5x
1 解 令u 5x, 则du 5dx, 从而dx du , 5
高数-换元积分法
ln csc x cot x C.
（使用了三角函数恒等变形）
类似地可推出 sec xdx ln sec x tan x C.
dx a x
ln
|
a
x
|
C ,
dx a x
ln
|
a
x
|
C
例10 求 csc xdx.
解（二）
csc
xdx
1 sin
x
dx
sin x sin2 x
dx
1
1 cos2
24
24
1 ln 24
x6 x6 4
c
(14)
a
2
1
x2dx
1 a
arctan
x a
c
.
(15)
dx a2 x2
arcsin x c a
(a 0)
积 分
(16)
dx a2 x2
1 ln a x c 2a a x
(a 0)
公
(或）
dx x2 a2
1 ln x a c 2a x a
u = (x) 下，转化为右边的积分来计算。
• 如何用公式（1）来求不定积分？关键是寻找
适当的变量代换 u = (x) , 这要根据具体问题
具体分析。
例1 求 sin 2xdx.
解（一）
sin
2
xdx
1 2
sin
2
xd
(2
x)
1 2
sin
udu
1 cos u C 1 cos 2x C;
t
2
,
2
x3 4 x2dx 2sin t 3 4 4sin2 t 2cos tdt
第一类换元积分法与第二类换元积分法
第一类换元积分法与第二类换元积分法
第一类换元积分法和第二类换元积分法都是求解不定积分的方法，但它们在应用和具体操作上有所不同。
第一类换元积分法也叫凑微分法，它适用于两个式子相乘的形式，是复合函数求导的逆运算。
其核心思想是通过寻找新的变量，将复杂的积分转化为容易计算的积分，从而得到原函数的表达式。
这种方法主要依赖于对复合函数的求导和微分的理解。
第二类换元积分法则是通过变量代换，将积分化为积分。
这种方法主要用于处理包含根式的积分，或者需要消去根式的积分。
它的核心思想是选择适当的变换公式，将原函数中的积分变量替换为新的函数，同时将dx也替换为新的函数的导数乘以dx。
这种方法需要一定的技巧和经验，因为选择正确的变换公式和反函数代回去都需要一定的数学素养。
总的来说，第一类换元积分法和第二类换元积分法都是通过不同的方式将不定积分问题转化为容易解决的问题，从而得到原函数的表达式。
这两种方法都有其特定的应用场景和优势，需要根据具体问题选择合适的方法。
第一类换元积分法
第一类换元积分法第一类换元积分法是一种常用的积分计算方法，它可以用来解决复杂的数学问题。
本文将介绍第一类换元积分法的定义、性质以及应用，以加深读者对这种积分计算方法的理解。
一、第一类换元积分法的定义第一类换元积分法是一种积分计算方法，它可以用来解决复杂多元数学问题。
其定义是：当一个函数f(x)在某一区间上有一定的变换关系，即f(x)可以表示为f(x) = g(u)，那么，该函数在该区间上的积分可以表示为：$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{c}^{d}g(u)du$$二、第一类换元积分法的性质第一类换元积分法有两个重要的性质：（1）对称性：当一个函数f(x)的变换关系可以表示为f(x) = g(u)，其中x与u的变换关系是对称的，即x = h(u)，那么该函数积分的变换关系也是对称的，即：$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{c}^{d}g(u)du$$（2）结果一致性：当一个函数f(x)的变换关系可以表示为f(x) = g(u)，其中x与u 的变换关系不对称，即x = h(u)，那么该函数积分的变换关系也是一致的，即：$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{c}^{d}g(u)du$$三、第一类换元积分法的应用第一类换元积分法的应用非常广泛，可以用来解决复杂的数学问题。
它的应用可以分为以下几类：（1）解方程：第一类换元积分法可以用来解决含有复杂项的多元方程；（2）求积分：第一类换元积分法可以帮助计算复杂函数的积分；（3）求极限：有时候，函数的极限可以通过第一类换元积分法来求解；（4）求微分：第一类换元积分法也可以用来求解复杂函数的微分。
四、结论综上所述，第一类换元积分法是一种常用的积分计算方法，它具有对称性和结果一致性的性质，并且可以用来解决复杂的数学问题。
因此，它在数学领域的应用十分广泛，深受广大学者的青睐。
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§4.2 换元积分法 Ⅰ 授课题目 §4.2 换元积分法（第一类换元法） Ⅱ 教学目的与要求：理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微分”，dx x x d )()(ϕ'=ϕ .掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分. Ⅲ 教学重点与难点： 重点：第一换元法的思想，难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分. Ⅳ 讲授内容：一、第一类换元积分法 设)(u f 具有原函数)(u F ，()()f u du F u C =+⎰.若u 是中间变量，()u x ϕ=，()x ϕ可微，则根据复合函数求导法则，有(())()[()]()dF x dF du duf u f x x dx du dx dxϕϕϕ'===。
所以根据不定积分的定义可得：()[()]()[()][][()]u x f x x dx F x C F u C f u du ϕϕϕϕ='=++=⎰⎰ 以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有[][]()[()]()][()]()u x f x x dx f u du F u C F x C ϕϕϕϕ='=+=+⎰⎰.以上就是第一换元积分法。
从以上可以看出，虽然[()]()f x x dx ϕϕ'⎰是一个整体记号，但是被积表达式中的dx 可当作变量x 的微分来对待从而上式中的()x dx ϕ'可以看成是()x ϕ的微分，通过换元()u x ϕ=，应用到被积表达式中就得到()x dx du ϕ'=.定理1 设)(u f 具有原函数)(u F ，)(x u ϕ=可导，dx x du )(ϕ'=，则[()()()()[()]f x x dx f u du F u C F x C ϕϕϕ'==+=+⎰⎰ (1)如何应用公式(1)，在求不定积分积分()g x dx ⎰时如果被积函数g(x)可以化为一个复合函数与它内函数的导函数的积的形式[()]()f x x ϕϕ'的形式 那么()()[()]()[()]x u g x dx f x x dx f u du ϕϕϕ='=⎰⎰⎰()()[()]u x F u C F x C ϕϕ==++.所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积[()]()f x x ϕϕ'来.例1 求33x e dx ⎰解33333=3x x x e dx e dx e x dx '=⎰⎰⎰()，可设中间变量x u 3=，dx x d du 3)3(== 3dx du ∴=，所以有3333x x u u x e dx e dx e du e C e C ===+=+⎰⎰⎰.首先观察被积函数的复合函数是什么样的，然后看是否有它的内函数的导数，若没有就去凑。
例2 ⎰xdx 2cos解11cos 2cos 22=cos 2(2)22xdx x dx x x dx '=⋅⋅⎰⎰⎰令x u 2=，显然dx du 2=，则1cos 2cos 222xdx x dx =⋅⎰⎰111cos sin sin 2222udu u C x C ==+=+⎰.在比较熟练后，我们可以将设中间变量()u x ϕ=的过程省略，从而使运算更加简洁。
例3⎰-dx x 5)23(解 如将5)23(-x 展开是很费力的，不如把23-x 作为中间变量，dx x d 3)23(=- ，5556111(32)=(32)3=(32)(32)(32)3318x dx x dx x d x x C --⋅--=-+⎰⎰⎰. 例4 132dx x +⎰111111=2=(32)ln |32|322322322dx dx d x x C x x x ⋅+=+++++⎰⎰⎰. 例522xxe dx ⎰2222222()x x x xxe dx e x dx e dx e C '===+⎰⎰⎰例6 求⎰1(22x =--⎰⎰2211)(1)22x dx x '=--=--33222211211(1)2233x u C x Cu--=-⨯+=--=+.二、掌握几种典型的“凑微分”的方法1()dx d ax ba=+；11()n nx dx d x bn-=+；)(xx eddxe=；1(ln)dx d xx=；1()lnx xa dx d aa=；)(sincos xdxdx=；)(cossin xdxdx-=；)(tansec2xdxdx=；2csc(cot)xdx d x=-；)(sectansec xdxdxx=；)(arcsin12xdxdx=-；)(arctan12xdxdx=+。
三、利用第一换元积分法法计算有关函数的不定积分计算有关函数的不定积分时，需要先把被积函数变形转化，再利用第一换元积分法计算.例7 求⎰xdx2sin解2111sin(1cos2)cos2222xdx x dx dx xdx=-=-⎰⎰⎰⎰11(cos2)2sin22424x xx dx x C=-⋅=-+⎰.（此题利用三角函数中的降幂扩角公式）例8求⎰-22xadx)0(>a解()arcsinx xCa a===+.利用dxnxxd nn1)(-=，有如下例题例9 求⎰dxxx21sin解dxxxd21)1(-=221sin1111(sin)()(sin)()x dx dx dxx x x x x'∴=--=-⎰⎰⎰111sin()cosd Cx x x=-=+⎰例10求⎰dx e e x x cos解C e e d e dx e ex x x x x+=⎰⎰sin )(cos cos ＝.利用dx e e d xx=)(，adx a a d xxln )(= 例11 求⎰-+x x e e dx习题 4-2:2(30)解 C e e de dx e e e e dx x x xx x xx +=+=+=+⎰⎰⎰-arctan 1)(1)(22. 例12 求⎰+1x e dx解 111111+-=+-+=+x xxx x x e e e e e eC e x e e d x dx e e dx e dx x x x x x x ++-=++-=+-=+∴⎰⎰⎰⎰)1ln(1)1(11.例13 求dx xxx⎰+946 解 263()64239491()124x xxx x xx x xdx dx dx ==+++⎰⎰⎰ 211313[()]arctan()32ln3ln 223ln 1()22x x x d C ==+-⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰.此题利用adx a a d xxln )(= 下面几个例题利用dx xx d 1)(ln = 例14 求⎰x x dx ln解111(ln )ln ln ln ln ln dx dx d x x C x x x x x ===+⎰⎰⎰.又如习题 4-2:2（16）ln ln ln dxx x x ⋅⋅⎰;解 111=ln ln ln ln ln ln dx dxx x x x x x ⋅⋅⋅⋅⎰⎰11ln ln ln ln d x x x=⋅⎰1ln ln ln |ln ln |ln ln d x x C x ==+⎰.例15 求dx x x ⎰+4)5ln 2(1解 44112(2ln 5)(2ln 5)2x dx x dx x x +=+⎰⎰ 4511(2ln 5)(2ln 5)(2ln 5)210x d x x C =++=++⎰.第一次课可以讲到这里.被积函数是分母是二次函数,分子是常数或一次函数的有理分式函数的不定积分的求法 (例16～例22六个例题) 例16求⎰+22x a dx)0(>a 分子是常数，分母是二次二项式，没有一次项.解2222111()dx dx x a x a a =++⎰⎰2111()arctan 1()x xd C x a a a a a==++⎰. 例17⎰++41292x x dx被积函数分母是一个完全平方式解2211=391243(32)dx dx x x x ⋅+++⎰⎰2111(32)3(32)3(32)d x C x x =+=-+++⎰. 被积函数分母是一个完全平方式，被积函数化为22111=()()()dx d ax b ax b a ax b +++⎰⎰例18⎰++17442x x dx分子是常数，分母是二次三项式，不是完全平方式解 2221121441716(21)161()4dx dx dx x x x x ==++++++⎰⎰⎰ 2112111()tan()21848241()4x x d arc C x +==++++⎰被积函数分母是二次三项式且不可以分解因式，不是完全平方式时可以把分母配方化为2()ax b c ++的形式， 然后利用21arctan 1dx x C x =++⎰练习：求2125dx x x -+⎰（第一换元积分法分）解 2225(1)4x x x -+=-+，222111=1(25)(144(12dx dx dx x x x x =--+-++⎰⎰⎰）） 211111==arctan 122221(2x x d C x --+-+⎰）例19 求⎰--122x x dx分子是常数，分母是二次三项式且可以分解因式解211111()12(3)(4)743x x x x x x ==---+--+ 2111()12743dx dx x x x x ∴=----+⎰⎰11117473dx dx x x =--+⎰⎰ 1111(4)(3)7473d x d x x x =--+-+⎰⎰ 1114ln |4|ln |3|ln ||x x x C C -=--++=+.被积函数分母是二次三项式且可以分解因式，被积函数可以用裂项法转化为两个简单分式的差.11[]()()()()c c x a x b a b x a x b =------例20求⎰+dx x x21 分子是一次多项式，分母是二次多项式解 xdx x d 2)1(2=+2212121x x dx dx x x ∴=++⎰⎰222111(1)ln(1)212d x x C x =+=+++⎰. 例21求⎰++dx x x x1022解 2(210)(22)d x x x dx ++=+，则1022222110222++-+⋅=++x x x x x x2212222102210x x dx dx x x x x +-∴=++++⎰⎰221221222102210x dx dx x x x x +=-++++⎰⎰222221(210)11ln(210)22102102(1)9d x x dx x x dx x x x x x ++=-=++-++++++⎰⎰⎰22111ln(210)129()13x x dx x =++-++⎰2111ln(210)arctan233x x x C +=++-+. 被积函数分子是一次多项式，分母是二次多项式时，首先把分子凑成分母的导数. 下面几个例题利用三角函数的微分公式：xdx x d cos )(sin =；xdx x d sin )(cos -=；xdx x d 2sec )(tan =；2()csc d cotx xdx =-例22 求⎰xdx tan（化切为弦）解sin sin tan =cos cos x x xdx dx dx x x --⎰⎰⎰＝ 1=(cos )ln cos cos d x x C x-=-+⎰ 例23 求⎰xdx 3tan 解322sin tan tan (sec 1)tan sec cos xxdx x x dx x xdx dx x=-=-⎰⎰⎰⎰ 211tan (tan )(cos )tan ln cos cos 2xd x d x x x C x =+=++⎰⎰例24 求csc xdx ⎰222tan 21cos 112csc =sin 22sin cos sin2222cos2x sec x xx xdx dx dx dx d x x x x x ==⎰⎰⎰⎰⎰＝ 1tanln |tan |22tan 2x xd C x ==+⎰. 因为 22sin 2sin 2sin 222cos 2sin cos 2221cos tan csc cot sin 2sin xxxx x xx x x x x x -=====-. 所以csc ln |tan |ln |csc cot |2x xdx C x x C =+=-+⎰. 此题用三角万能公式代换也可以22112tan csc 2sin 21x tt xdx dx dt x t t +=⋅=+⎰⎰⎰＝1ln ||ln |tan |2x dt t C C t =+=+⎰. 例25 求s c e xdx ⎰解22211s c s c()()cos sin()e xdx dx dx e x d x x x πππ===+++⎰⎰⎰⎰ 22ln |csc()cot()|ln |s c tan |x x C e x x C ππ=+-++=++. s c ln |s c tan |e xdx e x x C =++⎰例26 求cos3cos 2x xdx ⋅⎰（利用三角函数积化和差公式） 和差化积公式 积化和差2sin 2sin 2cos cos 2cos 2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+-=--+=+-+=--+=+； )]cos()[cos(21sin sin )]cos()[cos(21cos cos )]sin()[sin(21sin cos )]sin()[sin(21cos sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα--+-=-++=--+=-++=解 根据三角函数的积化和差公式：1cos3cos 2(cos5cos )2x x x x ⋅=+1cos3cos 2cos5cos 2x xdx x xdx ⋅=+⎰⎰ 1111cos55cos sin 5sin 102102xd x xdx x x C =+=++⎰⎰. 由以上例题可以看出，第一换元积分法是一种非常灵活的计算方法，始终贯穿着“凑微分”思想，因此学生应熟悉这些基本例题。