换元积分法(第一类换元法)

§4.2 换元积分法 Ⅰ 授课题目 §4.2 换元积分法（第一类换元法） Ⅱ 教学目的与要求：

理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微分”，

dx x x d )()(ϕ'=ϕ .

掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分. Ⅲ 教学重点与难点： 重点：第一换元法的思想，

难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分. Ⅳ 讲授内容：

一、第一类换元积分法 设)(u f 具有原函数)(u F ，()()f u du F u C =+⎰.若u 是中间变量，()u x ϕ=，()x ϕ可微，则根据

复合函数求导法则，有

(())()[()]()dF x dF du du

f u f x x dx du dx dx

ϕϕϕ'===。

所以根据不定积分的定义可得：

()[()]()[()][][()]u x f x x dx F x C F u C f u du ϕϕϕϕ='=++=⎰⎰ 以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有

[][]()[()]()][()]()u x f x x dx f u du F u C F x C ϕϕϕϕ='=+=+⎰

⎰.

以上就是第一换元积分法。 从以上可以看出，虽然

[()]()f x x dx ϕϕ'⎰是一个整体记号，但是被积表达式中的dx 可当作变量x 的

微分来对待从而上式中的()x dx ϕ'可以看成是()x ϕ的微分，通过换元()u x ϕ=，应用到被积表达式中就得到()x dx du ϕ'=.

定理1 设)(u f 具有原函数)(u F ，)(x u ϕ=可导，dx x du )(ϕ'=，则

[()()()()[()]f x x dx f u du F u C F x C ϕϕϕ'==+=+⎰⎰ (1)

如何应用公式(1)，在求不定积分积分()g x dx ⎰

时

如果被积函数g(x)可以化为一个复合函数与它

内函数的导函数的积的形式[()]()f x x ϕϕ'的形式 那么

()()[()]()[()]x u g x dx f x x dx f u du ϕϕϕ='=⎰⎰⎰

()()[()]u x F u C F x C ϕϕ==++.

所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积

[()]()f x x ϕϕ'来.

例1 求33x e dx ⎰

解

33333=3x x x e dx e dx e x dx '=⎰⎰⎰()，可设中间变量x u 3=，

dx x d du 3)3(== 3dx du ∴=，

所以有3333x x u u x e dx e dx e du e C e C ===+=+⎰⎰⎰

.

首先观察被积函数的复合函数是什么样的，然后看是否有它的内函数的导数，若没有就去凑。 例2 ⎰xdx 2cos

解

11

cos 2cos 22=cos 2(2)22xdx x dx x x dx '=

⋅⋅⎰⎰⎰

令x u 2=，显然dx du 2=，

则1cos 2cos 222xdx x dx =⋅⎰⎰111

cos sin sin 2222

udu u C x C ==+=+⎰.

在比较熟练后，我们可以将设中间变量()u x ϕ=的过程省略，从而使运算更加简洁。 例3

⎰-dx x 5

)

23(

解 如将5

)23(-x 展开是很费力的，不如把23-x 作为中间变量，dx x d 3)23(=- ，

5

556

111(32)=(32)3=(32)(32)(32)3318x dx x dx x d x x C --⋅--=-+⎰

⎰⎰. 例4 1

32dx x +⎰

111111

=2=(32)ln |32|322322322

dx dx d x x C x x x ⋅+=+++++⎰⎰⎰. 例5

2

2x

xe dx ⎰

2

2

2

2

222()x x x x

xe dx e x dx e dx e C '===+⎰⎰⎰

例6 求⎰

1(22

x =--⎰

⎰

2211

)(1)22

x dx x '=-

-=--

33

2

2

22

1121

1(1)

2233

x u C x C

u--=-⨯+=--

=+

.

二、掌握几种典型的“凑微分”的方法

1

()

dx d ax b

a

=+；1

1

()

n n

x dx d x b

n

-=+；)

(x

x e

d

dx

e=；

1

(ln)

dx d x

x

=；

1

()

ln

x x

a dx d a

a

=；)

(sin

cos x

d

xdx=；

)

(cos

sin x

d

xdx-

=；)

(tan

sec2x

d

xdx=；2

csc(cot)

xdx d x

=-；

)

(sec

tan

sec x

d

xdx

x=；)

(arcsin

12

x

d

x

dx

=

-

；)

(arctan

12

x

d

x

dx

=

+

。

三、利用第一换元积分法法计算有关函数的不定积分

计算有关函数的不定积分时，需要先把被积函数变形转化，再利用第一换元积分法计算.例7 求⎰xdx

2

sin

解2

111

sin(1cos2)cos2

22

2

xdx x dx dx xdx

=

-=-

⎰⎰⎰⎰

11

(cos2)2sin2

2424

x x

x dx x C

=-⋅=-+

⎰.（此题利用三角函数中的降幂扩角公式）

例8求⎰

-2

2x

a

dx

)0

(>

a

解()arcsin

x x

C

a a

===+.

利用dx

nx

x

d n

n1

)

(-

=，有如下例题

例9 求⎰dx

x

x

2

1

sin

解dx

x

x

d

2

1

)

1

(-

=

22

1

sin1111

(sin)()(sin)()

x dx dx dx

x x x x x

'

∴=--=-

⎰⎰⎰111

sin()cos

d C

x x x

=-=+

⎰