第一讲整数与整除的基本性质(一)

第一讲 整数与整除的基本性质（一）
一、整数
基本知识：
关于自然数：1、有最小的自然数1；2、自然数的个数是无限的，不存在最大的自然数；3、两个自然数的和与积仍是自然数；4、两个自然数的差与商不一定是自然数。

关于整数：1整数的个数是无限的，既没有最小的整数，也没有最大的整数；2、两个整数的和、差、积仍是整数，两个整数的商不一定是整数。

十进制整数的表示方法
正整数可以用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字中的一个或若干个组成一个排列表示，如67表示7106+⨯,四位数1254可以写成410510210123+⨯+⨯+⨯,同样地用字母表示的两位数ab b a +⨯=10,三位数f e d def +⨯+⨯=10102, n 位整数表示为121a a a a n n n --，（其中a i
是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的某个数字，i= n , n – 1,…,2,1,其中a n 0≠）并且
.10101211121a a a a a a a n n n n n n n ++⋅+⋅=----- 经典例题：
例1、用0、1、2、...、9这10个数字组成两个三位数和一个四位数，每个数字只用一次，要求它们的和是一个奇数，并且尽可能地小，那么这两个三位数及这个四位数的和是（ ）
)A 1995 )B 1683 )C 1579 )D 1401
解：为使和最小，四位数的千位应该是1，百位上的数为0，两个三位数上的百位应分别为2和3；若三个数十位上的数分别是4、5、6，则个位上的数分别是7、8、9，但7+8+9=18是个偶数，这与其和为奇数矛盾，故应调整为三个十位上的数应安排为4、5、7，个位分别为6、8、9，6+8+9为奇数，1046+258+379=1683，选 )B
例2、一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去2-，仍得原数，这个两位数是（ ）
)A 26 )B 28 )C 36 )D 38
解：设这个两位数为ab ，由题意，得b a b a +=++102)(3，
227+=∴b a 即 )1(27+=b a 由于)1(2+b 为偶数，∴a 必须为偶数，排
除)),D C 又由于)1(+b 是7的倍数，故选)A
（此题也可以直接来解)1(+b 是7的倍数，故有6=b 返回有2=a ）
例3、一个两位数，加上2以后和的各数字之和只有原数字和的一半，这个两位数是
_____________。

（91年“缙云杯”初中数学邀请赛） 解：设这个两位数为ab ，由于原数加上2后和的各数字之和比原数各数之和小，所以加上2后发生了进位，由题意，得)(2
110)2(1b a b a +=-+++，14=+∴b a ，又由于2+b 后有进位，98==∴b b 或同时对应的a 分别为6与5，∴这两个数为68或59。

例4、一个四位数与它的四个数字之和等于1991，这个四位数是_____________。

（91年南昌市初中数学竞赛题）
解： 四个数位上的数字之和最多不会超过36，∴这个四位数的千位和百位数字分别是1和9，故设这个四位数为n m ++101900，∴199191101900=++++++n m n m ，整理得81211=+n m ，又90,90≤≤≤≤n m 且为整数，.2,7==∴n m ∴这个四位数为1972。

例5、若三位数与组成该三位数的各位数字之和的比值为M （如三位数234，则4
32234++=M ），求M 的最大值和最小值。

解：设这个三位数c b a abc ++=10100，c b a c b c b a c b a M +++-=++++=
999010010100， 显然09990≥+++c
b a
c b ，当其值为0时，即0==c b 时，M 最大，其值为1000100=-=M ，当c
b a
c b +++9990最大时，M 最小，即1,9===a c b 时，M 最小为19
199191790100=- 二、能被一个数整除的数的特征
基础知识：1、能被2或5整除的数，它的末位数字能被2或5整除
2、能被4或25整除的数，它的最后两位数能被4或25整除。

3、能被8或125整除的数，它的最后三位数能被8或125整除。

4、能被3或9整除的数，它的各数位上的数字之和能被3或9整除。

5、能被11整除的数，它的奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差是11的倍数。

6、0能被任何非零整数整数，1±能整除任何整数。

要判断某数能否被一个合数整除，只须将这个合数分解成两个互质的约数的乘积，若这个整数能分别被这两个约数整除，则这个数能被这个合数整除。

经典例题：
例6、能被11整除的最小九位数是多少？
解：若某数可被11整除，则其奇数位数字之和与偶数位数字之和的差位11的倍数，要这样的数最小，首先取1，十位取1，其余数位取0，即所求数为100000010。

例7、一个四位数能被9整除，去掉末位数字后所得的三位数恰是4的倍数，求这样的四位数中最大的一个。

解：要求这样的四位数中最大的一个，因而设这个四位数为cd 99，要使c 99为4的倍数，且要最大，故6=c 。

cd 99 要能被9整除，d d c +=+∴6能被9整除，故3=d 例8、两个三位,abc def 的和def abc +能被37整除，证明：六位数abcdef 也能被37整除。

（第八届“祖冲之杯”数学邀请赛试题） 证明：)(|37def abc + ，m bcd abc 37=+∴ )(为整数m
又def abc abcdef +⨯=1000
def abc abc ++⨯=999
而3739999⨯⨯=，
m abc abcdef 372737+⨯⨯=∴
)27(37m abc +⨯=
abcdef |37∴
例9、已知一个七位自然数42762xy 是99的倍数（其中y x ,是0到9中的某个数字），试求124950++y x 的值，简写出求解过程。

（第八届“希望杯”全国数学邀请赛初一试题） 题难：分析42762xy 是99的倍数，而99119⨯=，故42762xy 分别是9和11的倍数 由被9，11数整除的数的特点而解此题。

解：42762|99xy ，且42752|9xy ∴42762|11xy
y x y x +++=++++++∴31872426是9的倍数，
即m y x 93=++（m 为自然数） 90,90≤≤≤≤y x ，
2133≤++≤∴y x 。

93=++∴y x ，或183=++y x
6=+∴y x 或15=+y x
42762|11xy ，)]22()746[(|11++-+++∴y x
即 )13(|11y x -+ 故y x -+2是11的倍数
又99≤-≤-y x ，即1127≤-+≤-y x
92=--=-∴y x y x 或 y x y x -+∴与同奇偶，
⎩⎨⎧=-=+⎩⎨⎧-=-=+∴9
1526y x y x y x y x 或 ⎩
⎨⎧==∴42y x 或 ⎩
⎨⎧==312y x （不合题意，舍去） ⎩⎨⎧==∴4
2y x 199714242950124950=+⨯+⨯=++∴y x
备选题：
A 类：
1、 设六位数b a 1527是4的倍数，且它被11除的余数是5，求a+b 的值. （六位数b a 1527是4的倍数，有|4b 7，故2=b 或6；又 它被11除的余数是5 易得1）、当6=b ，|1115271a ，812175+=---++a a 是11的倍数，故3=a
2）、当2=b ，11|15267a ，172165+=---++a a 是11的倍数，无解。

）
2、 如果个六位数y 19x 19能被33整除，这样的六位数共有多少个？
（易得)1991(|11y x ---++，及)(|11y x - y x = )1991(|3y x +++++，及)2(|3++y x 易得解
2==y x 或5==y x 或8==y x 故有3组，分别为192192、195195、198198。

3、 求一个四位数，它等于抹去它的首位数字后剩下的三位数的3倍减去42。

（423-⨯=bcd abcd 整理得2110100500-++=d c b a 得1=d 代入得1,5,2===a b c ）
4、d c b a ，，，是数0到9的数字，1989=+++a ab abc abcd ，______,=a .___________________,,__________===d c b （“缙云杯”初中数学邀请赛试题）
5、一个五位数x x 974能被3整除，它的最末两位数字组成的数x 7能被6整除，求这个五位数。

B 类：
1、 如果十位数59911995xy 能被99整除，其中y x 、是未知数，则
________________,==y x 。

（第七届“五羊杯”初中数学竞赛初一试题）。