2015年重庆大学数学分析研考题(精)
2015考研数学高数真题解析
2015考研数学高数真题解析[摘要]2015年考研结束后，凯程考研不断的为大家整理各类真题，按题型、考点、科目等进行剖析，希望能帮助大家更好的复习！2014年12月28日凯程考研数学教研组第一时间解析了2015考研数学(一)(二)(三)真题，今年的试题难度和去年相比差不多，出题的方向和题目的类型完全在预料之中。
没有偏题怪题，也没有计算量特别大的题目，完全按照考试大纲的要求，只要考生有比较扎实的基本功，复习比较全面，是比较容易拿到高分的。
相信同学们都能做的不错。
证明题是研究生考试几乎每年必考的内容，今年考研数学(一)(三)证明题与以往不同，之前经常考到的是有关中值等式的证明或不等式的证明等等，而今年的证明题是导数公式的证明，题目如下以上是这道证明题的解题过程，这道题也是咱们同济大学第六版高等数学上册教材88页的原定理，所以同学们在预习课本的时候，一定要重视定理、公式、法则、性质等的证明，近几年考研真题都有考过原定理的证明，比如08年考了边上限函数导数的证明，09年考查了拉格朗日中值定理的证明。
所以对于2016届考研的学子来说，一定要重视书中定理、公式、法则、性质等的证明。
在此对准备2016年考试的考生来说，复习安排应注意以下方面：首先，注重基本概念、基本原理的理解，弄懂、弄通教材，打一个坚实的数学基础，书本上每一个概念、每一个原理都要理解到位。
象今年考查的导数的运算法则，就是教材上的一个定理，选择题和部分填空题也是考查基本概念和基本原理，基础知识的考查占有相当大的比例，切不可开始就看复习资料而放弃课本的复习。
其次，注重公式的记忆，方法的掌握和应用。
填空题部分和一部分大题难度不大，需要能够理解原理，熟悉公式，灵活运用方法。
基础复习阶段非常重要，只要掌握好基础，对于后期题型的训练和方法的掌握都有很大的帮助，只有打好基础才能做题达到游刃有余。
再次，注重综合问题、实际问题，这部分内容是强化阶段重点关注的问题和需要培养的能力，需要大家练习一定量的问题，以达到巩固概念方法和原理、提高所学知识解决问题能力的目的。
(NEW)重庆大学物理学院601高等数学历年考研真题汇编
2007年重庆大学631高等数学1考 研真题
2006年重庆大学330高等数学（含 线性代数）考研真题
2005年重庆大学331高等数学（含 线性代数）考研真题
2004年重庆大学331高等数学（含 线性代数）考研真题
2003年重庆大学331高等考研 真题
2014年重庆大学601高等数学考研 真题
2013年重庆大学601高等数学考研 真题
2012年重庆大学601高等数学考研 真题
2009年重庆大学369高等数学考研 真题
2008年重庆大学619高等数学1考 研真题
目 录
2015年重庆大学601高等数学考研真题 2014年重庆大学601高等数学考研真题 2013年重庆大学601高等数学考研真题 2012年重庆大学601高等数学考研真题 2009年重庆大学369高等数学考研真题 2008年重庆大学619高等数学1考研真题 2007年重庆大学631高等数学1考研真题 2006年重庆大学330高等数学（含线性代数）考研真题 2005年重庆大学331高等数学（含线性代数）考研真题 2004年重庆大学331高等数学（含线性代数）考研真题 2003年重庆大学331高等数学（含线性代数）考研真题
2015年重庆理工大学818高等代数考研真题硕士学位研究生入学考试试
重庆理工大学硕士研究生试题专用纸
重庆理工大学2015年攻读硕士学位研究生入学考试试
题
学院名称：数学与统计学院 学科、专业名称：应用数学,统计学 考试科目（代码）：高等代数(818) A 卷 （试题共 4 页） 注意：1.所有试题的答案均写在专用的答题纸上，写在试题纸上一律无效。
2.试题附在考卷内交回。
一. 填空题(共5小题，每题 3 分,共 15 分)
1.实数域上的不可约多项式的次数至多为 次。
2.设3阶方阵，为3阶非零矩阵且，则 。
3.设向量，且可由线性表示，则。
4.设3阶方阵的三个特征值分别为1,-1,0，则 。
5.若实对称方阵与合同，则二次型的规范形为 。
二. 单项选择题(共5小题,每题 3 分,共 15 分)
1．设为5阶方阵且，为的伴随矩阵，则( )
(A). 0 (B).1 (C).2 (D).3
第1页 R 12331943A t -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭B AB O =t =(2,0,1),(0,1,1),(1,0,)k αβγ===γ,αβk =A 23A I -=A 100020004B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
123(,,)T f x x x x Ax =A =2A 秩*A A *=A 秩。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题精品解析(重庆卷)
更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年2015年高考重庆卷理数试题解析（精编版）（解析版）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ={}1,2,3,B ={}2,3，则 （ ）A 、A =B B 、A ⋂B =∅C 、A ØBD 、B ØA 【答案】D【考点定位】本题考查子集的概念，考查学生对基础知识的掌握程度.2．在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a = （ ）A 、-1B 、0C 、1D 、6 【答案】B【考点定位】本题属于数列的问题，考查等差数列的通项公式与等差数列的性质.3．重庆市2013年各月的平均气温（oC ）数据的茎叶图如下：0891258200338312则这组数据的中位数是 （ ）A 、19B 、20C 、21.5D 、23 【答案】B .【考点定位】本题考查茎叶图的认识，考查中位数的概念.4．“1x>”是“12 log(2)0x+<”的（）A、充要条件B、充分不必要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件【答案】B【考点定位】充分必要条件.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A、13π+ B、23π+C、123π+ D、223π+【答案】A【考点定位】组合体的体积.更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年【名师点晴】本题涉及到三视图的认知，要求学生能由三视图画出几何体的直观图，从而分析出它是哪些基本几何体的组合，应用相应的体积公式求出几何体的体积，关键是画出直观图，本题考查了学生的空间想象能力和运算求解能力.6．若非零向量a，b满足|a|=223|b|，且（a-b）⊥（3a+2b），则a与b的夹角为（）A、4πB、2πC、34πD、π【答案】A【考点定位】向量的夹角.7．执行如题（7）图所示的程序框图，若输入K的值为8，则判断框图可填入的条件是（）A、s≤34B、s≤56C、s≤1112D、s≤1524更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年【答案】C【解析】由程序框图，k的值依次为0，2，4，6，8，因此11111 24612S=++=（此时6k=）还必须计算一次，因此可填1112s≤，选C.【考点定位】程序框图.8．已知直线l：x+ay-1=0（a∈R）是圆C：224210x y x y+--+=的对称轴.过点A（-4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|= （）A、2B、42C、6D、210【答案】C【考点定位】直线与圆的位置关系.更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年9．若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=- （ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 【答案】C 【解析】【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.10．设双曲线22221x y a b-=（a >0,b >0）的右焦点为1，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ,C 两点，过B ,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离小于22a a b ++，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 （ ）A 、(1,0)(0,1)-UB 、(,1)(1,)-∞-+∞UC 、(2,0)2)-UD 、(,2)2,)-∞+∞U 【答案】A【考点定位】双曲线的性质.二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11．设复数a+bi（a，b∈R）的模为3，则（a+bi）（a-bi）=________.【答案】3【考点定位】复数的运算.12．532xx⎛+⎪⎝⎭的展开式中8x的系数是________(用数字作答).【答案】5 2更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年【考点定位】二项式定理13．在V ABC中，B=120o，AB=2，A的角平分线AD=3,则AC=_______.【答案】6【考点定位】解三角形（正弦定理，余弦定理）考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.14．如图，圆O的弦AB，C D相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA=6，AE=9，PC=3，CE:ED=2:1，则BE=_______.【答案】2更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年【考点定位】相交弦定理，切割线定理.15．已知直线l 的参数方程为11x ty t=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为235cos 24(0,)44ππρθρθ=><<，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为_______. 【答案】(2,)π【考点定位】参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化.16．若函数()12f x x x a =++-的最小值为5，则实数a =_______. 【答案】4a =或6a =-更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年【考点定位】绝对值的性质，分段函数.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2015真题及解析
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)试题解析一、选择题:18小题,每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中 ，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸..指定位置上.⑴设：■是数列，下列命题中不正确的是 ()(A) 若 lim x n: -a,则 lim X=lim X=n _i :n L :n _ac(B)若 lim x 2n二lim X 2n 1 二 a ,贝U lim X n二 an ；:n t: n _sc (C) 若 lim x n= 二a ,则lim X 3n =lim X 3nan ;:n L :n _sc1(D) 若 lim X 3n =limX3n 1=a ,则 lim x n= an _$ : n :【答案】(D)【解析】答案为D,本题考查数列极限与子列极限的关系•数列Xn —• a n 、：：：= 对任意的子列：Xn k "匀有Xn k —• a k —• ■■' ；■,所以A 、B 、C 正确；D 错(D 选项缺少X 3n 2的敛散性)，故选D(2)设函数f X 在-:：，V 内连续，其2阶导函数「X 的图形如 右图所示则曲线y = f X 的拐点个数为()(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3【答案】(C)【解析】根据拐点的必要条件，拐点可能是「(x)不存在的点或f (X ^Q 的点处产生.所以y = f (x)有三个点可能是拐点，根据拐点的定义，即凹凸性改变的点；二阶导函数 「(X)符号发生改变的点即为拐点•所以从图可知，拐点个数为2,故选 C.(3)设D・；［X , y x 2• y 2咗2x,x 2• y 2乞2yf ，函数f X,y 在D 上连续,则f x,y dxdy =()D2cos2sin •二(A)/dA 。
f r cos’r si" rdr 亠！2dj f r cos’r sin^ rdr42sin 2cos T 1(B) 04犷 0 f rcosdrsin^ rdr 亠 引二。
陈纪修《数学分析》(第2版)(下册)名校考研真题-Euclid空间上的极限和连续(圣才出品)
第11章Euclid空间上的极限和连续一、判断题1．若f（x，y）在D内对x和y都是连续的，则f（x，y）对（x，y）∈D为二元连续函数．[重庆大学研]【答案】错【解析】举反例：，很明显但是不存在，如果选取路径y=kx趋于0，有不唯一．二、填空题（1）函数的定义域是______，它是______区域；（2）函数的定义域是______；（3）函数的定义域是______；（4）二元函数的定义域是______；（5）函数的定义域是______．[西安交通大学研]【答案】（1）（2）（3）椭圆与抛物线所围的区域；（4）（5）三、解答题1．设f（x）为定义在上的连续函数，α是任意实数，有证明：E是开集，F是闭集．[江苏大学2006研]证明：对任意的，有．因为f（x）在上连续，所以由连续函数的局部保号性知，存在的一个邻域使得当时有，从而，故E是开集．设为F 的任意一个聚点，则存在F中的点列使得．由于f（x）在上连续，所以，又，从而，即，故F是闭集．2．求．[南京大学研、厦门大学研、山东科技大学研]解：方法一由于令，有所以方法二由于，，所以，故有3．设f（x，y）在[a，b]×[c，d]上连续，证明：在[c，d]上连续．[南京理工大学研、华东师范大学研]证明：反证法．假设g（y）在某点处不连续，则存在及点列，使得因为f（x，y）在[a，b]×[c，d]上连续，故在[a，b]×[c，d]上一致连续．于是对，存在δ＞0，当时恒有．特别当时，即．固定y，让x在[a，b]上变化，取最大值，可得即时，．因为，所以对δ＞0，存在N ＞0，当n＞N时有，从而有，这与一开始得到的不等式矛盾，结论得证．4．设，为有界闭集，试证：开集W、V，使得A证明：A、B为有界闭集．[四川大学研]令显然W、V为开集．5．设试讨论下面三种极限：[南京工学院研]解：由于在y=0和x=0的函数极限不存在，故在（0，0）点的两个累次极限都不存在．6．设f（x，y是区域D：|x|≤1，|y|≤1上的有界k次齐次函数（k≥1），问极限是否存在？若存在，试求其值．[南京大学研]解：令x=rcosθ，y=rsinθ．由于f（x，y）是区域D上的有界k次齐次函数7．设二元函数f(x,y)在正方形区域[0，1]×[0，1]上连续．记J=[0，1]．（1）试比较的大小并证明之；（2）给出并证明使等式成立的（你认为最好的）充分条件．[浙江大学研]解：（1），有上式对于任意的x都成立，则由y的任意性可知（2）若，使下面证明上面条件为充分条件显然8．设为n维欧氏空间，A是的非空子集，定义x到A的距离为证明：上的一致连续函数．[南京大学研] 证明：有对使故对时，即上的一致连续函数．9．[暨南大学2013研] 解：设，则。
(NEW)重庆大学数学与统计学院《432统计学》[专业硕士]历年考研真题汇编
![(NEW)重庆大学数学与统计学院《432统计学》[专业硕士]历年考研真题汇编](https://img.taocdn.com/s3/m/4c529ddd6529647d272852b5.png)
B．统计量是一个数值，为假设检验服务 C．不含参数的样本函数或即便含参数但参数的值是已知的 D．统计量是含样本的函数，其中可能含有未知参数 【答案】D 【解析】统计量是样本的函数，不依赖于任何未知参数，其中不可能含 有任何未知参数。由样本构造具体的统计量，实际上是对样本所含的总 体信息按某种要求进行加工处理，把分散在样本中的信息集中到统计量 的取值上，不同的统计推断问题要求构造不同的统计量。
11 在假设检验中，下列有关显著水平α和P值的正确说法是（ ）。
A．α给出了观测数据与原假设之间不一致的精确度量，P值是实际观测 到的数据与原假设H0之间一致程度的一个概率值； B．α是犯第一类错误的上限控制值，提供检验结论可靠性的一个大致范
10 设H0为原假设，H1为备选假设。在进行假设检验时，下列说法正确 的是（ ）。
A．只有当原假设被拒绝时，我们才会犯第一类错误，只有在原假设未 被拒绝时，我们才会犯第二类错误；
B．有可能两类错误都不犯；
C．不管样本容量的大小，都不可能使得犯两类错误的概率减小，因为 犯两类错误的概率α和β是确定的；
B．（60，80）这个区间可能包含也可能不包含全班同学平均考试成绩 的真值；
C．如果做了100次抽样，大概有95次找到的区间包含真值，有5次找到 的区间不包含真值；
D．有95%的区间包含总体参数的真值，有5%的区间可能不包含总体参 数的真值。
【答案】C
【解析】由95%的置信区间指用同样方法构造的总体参数的多个区间 中，有95%的区间包含该总体参数，即在100个样本构造的总体参数的 100个置信区间中，有95个的区间包含了总体参数的真值。而对于一个 特定的区间来说，它是否包含参数的真值的概率为0或1。
2015考研数学线性代数真题解析
2015考研数学线性代数真题解析[摘要]2015年考研结束后，凯程考研不断的为大家整理各类真题，按题型、考点、科目等进行剖析，希望能帮助大家更好的复习！2015考研刚刚结束，在这里首先祝福各位考生金榜题名!根据今年考研真题，凯程考研数学名师李擂为2016考研的学子介绍一下真题中线性代数的出题特点，以便大家在接下来的复习中能够更好的把握线性代数的复习方法。
从真题上可以看出，对基本概念、基本性质和基本方法的考查才是考研数学的重点。
下面以真题中的几道题目为例，例如：数学三第13题，考查的内容就是特征值的基本运算性质，如果考生能够掌握特征值之积等于行列式的值，那么该题很容易求解;数学三第5题，考查的内容是非齐次线性方程组解的判定，如果考生能够清楚的知道非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件为r(A)=r(A,b)针对以上特点，老师建议各位2016考研的学子在进行线性代数复习时，一定要注重基本概念、基本性质和基本方法的复习。
很多考生由于对这些基础内容掌握不够牢固，理解不够透彻，导致许多失分现象，这一点在线性代数这个模块上体现的更加明显。
比如，线性代数中经常涉及到的基本概念，余子式，代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩(矩阵、向量组、二次型)，等价(矩阵、向量组)，线性表示，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，特征值与特征向量，矩阵相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定矩阵与正定二次型，合同变换与合同矩阵等等，这些概念必须理解清楚。
对于线性代数中的基本运算，行列式的计算(数值型、抽象型)，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关性的判定，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量，判断矩阵是否可以相似对角化，求相似对角矩阵，用正交变换法化实对称矩阵为对角矩阵，用正交变换化二次型为标准形等等。
一定要注意总结这些基本运算的运算方法。
2015年度普通高等学校招生全国统一考试理科数学(重庆卷)(含答案解析全解析)
2015年普通高等学校招生全国统一考试重庆理科数学数学试题卷(理工农医类)共4页.满分150分.考试时间120分钟.注意事项:1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时,必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回.特别提醒:14、15、16三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015重庆,理1)已知集合A={1,2,3},B={2,3},则()A.A=BB.A∩B=⌀C.A⫋BD.B⫋A答案:D解析:因为A={1,2,3},B={2,3},所以B⫋A.2.(2015重庆,理2)在等差数列{a n}中,若a2=4,a4=2,则a6=()A.-1B.0C.1D.6答案:B解析:因为{a n}是等差数列,所以2a4=a2+a6,于是a6=2a4-a2=2×2-4=0.3.(2015重庆,理3)重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下:则这组数据的中位数是()A.19B.20C.21.5D.23答案:B解析:由茎叶图可知,这组数据的中位数为20+202=20.4.(2015重庆,理4)“x>1”是“lo g12(x+2)<0”的()A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件答案:B解析:由lo g12(x+2)<0可得x+2>1,即x>-1,而{x|x>1}⫋{x|x>-1},所以“x>1”是“lo g12(x+2)<0”的充分不必要条件.5.(2015重庆,理5)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A .13+π B .23+π C .13+2π D .23+2π 答案:A解析:由三视图可知,该几何体是一个组合体,其左边是一个三棱锥,底面是等腰直角三角形(斜边长等于2),高为1,所以体积V 1=13×12×2×1×1=13;其右边是一个半圆柱,底面半径为1,高为2,所以体积V 2=π·12·2·12=π,所以该几何体的体积V=V 1+V 2=13+π.6.(2015重庆,理6)若非零向量a ,b 满足|a|=2√23|b|,且(a-b )⊥(3a+2b ),则a 与b 的夹角为( )A .π4B .π2C .3π4D .π答案:A解析:由(a-b )⊥(3a+2b )知(a-b )·(3a+2b )=0,即3|a|2-a ·b-2|b|2=0.设a 与b 的夹角为θ,所以3|a|2-|a||b|cos θ-2|b|2=0,即3·(2√23|b|)2-2√23|b|2cos θ-2|b|2=0,整理,得cos θ=√22,故θ=π4.7.(2015重庆,理7)执行如图所示的程序框图,若输出k 的值为8,则判断框内可填入的条件是( )A .s ≤34B .s ≤56C .s ≤1112D .s ≤2524答案:C解析:由程序框图可知,程序执行过程如下: s=0,k=0,满足条件;k=2,s=12,满足条件;k=4,s=34,满足条件;k=6,s=1112,满足条件;k=8,s=2524,这时应不满足条件,才能输出k=8,故判断框内的条件是s ≤1112. 8.(2015重庆,理8)已知直线l :x+ay-1=0(a ∈R)是圆C :x 2+y 2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A (-4,a )作圆C 的一条切线,切点为B ,则|AB|=( ) A .2 B .4√2C .6D .2√10答案:C解析:依题意,直线l 经过圆C 的圆心(2,1),因此2+a-1=0,所以a=-1,因此点A 的坐标为(-4,-1).又圆C 的半径r=2,由△ABC 为直角三角形可得|AB|=√|AC|2-r 2.又|AC|=2√10,所以|AB|=√(2√10)2-22=6. 9.(2015重庆,理9)若tan α=2tan π5,则cos (α-3π10)sin (α-π5)=( )A .1B .2C .3D .4解析:因为tan α=2tan π5,所以cos (α-3π10)sin (α-π5)=sin (α-3π10+π2)sin (α-π5)=sin (α+π5)sin (α-π5)=sinαcos π5+cosαsin π5sinαcos π5-cosαsin π5=tanα+tan π5tanα-tan π5=3tan π5tan π5=3.10.(2015重庆,理10)设双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F ,右顶点为A ,过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ,C 两点,过B ,C 分别作AC ,AB 的垂线,两垂线交于点D.若D 到直线BC 的距离小于a+√a 2+b 2,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( ) A .(-1,0)∪(0,1) B .(-∞,-1)∪(1,+∞) C .(-√2,0)∪(0,√2) D .(-∞,-√2)∪(√2,+∞)答案:A解析:设双曲线半焦距为c ,则F (c ,0),A (a ,0),不妨设点B 在点F 的上方,点C 在点F 的下方,则B (c,b 2a ),C (c,-b 2a ).由于k AC =0−(-b2a )a -c =b 2a(a -c),且AC ⊥BD ,则k BD =-a(a -c)b2,于是直线BD 的方程为y-b 2a =-a(a -c)b 2(x-c ),由双曲线的对称性知AC 的垂线BD 与AB 的垂线CD 关于x 轴对称,所以两垂线的交点D 在x 轴上,于是x D =(-b 2a )×[-b 2a(a -c)]+c=b4a 2(a -c)+c ,从而D 到直线BC 的距离为c-x D =-b4a 2(a -c),由已知得-b4a 2(a -c)<a+√a 2+b 2,即-b 4a 2(a -c)<a+c , 所以b 4<a 2(c-a )(c+a ),即b 4<a 2b2,b2a 2<1, 从而0<b a<1.而双曲线渐近线斜率k=±b a, 所以k ∈(-1,0)∪(0,1).二、填空题:本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.把答案填写在答题卡相应位置上. 11.(2015重庆,理11)设复数a+b i(a ,b ∈R)的模为√3,则(a+b i)(a-b i)= . 答案:3解析:因为复数a+b i 的模为√3,所以√a 2+b 2=√3,即a 2+b 2=3.于是(a+b i)(a-b i)=a 2-(b i)2=a 2+b 2=3. 12.(2015重庆,理12)(x 32x)5的展开式中x 8的系数是 (用数字作答).答案:52解析:展开式的通项公式T r+1=C 5r·(x 3)5-r ·(2√x)r =C 5r ·2-r ·x 15−72r(r=0,1,2,…,5). 令15-72r=8,得r=2,于是展开式中x 8项的系数是C 52·2-2=52.13.(2015重庆,理13)在△ABC 中,B=120°,AB=√2,A 的角平分线AD=√3,则AC= .解析:如图所示,在△ABD 中,由正弦定理得AD sinB =ABsin ∠ADB ,即√3sin120°=√2sin ∠ADB, 所以sin ∠ADB=√22,从而∠ADB=45°, 则∠BAD=∠DAC=15°, 所以∠ACB=30°,∠BAC=30°,所以△BAC 是等腰三角形,BC=AB=√2. 由余弦定理得AC=√AB 2+BC 2-2·AB ·BC ·cos120° =√(√2)2+(√2)2-2×√2×√2·(-12) =√6.考生注意:14、15、16三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分. 14.(2015重庆,理14)如图,圆O 的弦AB ,CD 相交于点E ,过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ,若PA=6,AE=9,PC=3,CE ∶ED=2∶1,则BE= . 答案:2解析:因为PA 是圆的切线,所以有PA 2=PC ·PD ,于是PD=PA 2PC =623=12, 因此CD=PD-PC=9.又因为CE ∶ED=2∶1,所以CE=6,ED=3. 又由相交弦定理可得AE ·BE=CE ·ED , 所以BE=6×39=2. 15.(2015重庆,理15)已知直线l 的参数方程为{x =−1+t,y =1+t (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ=4(ρ>0,3π4<θ<5π4),则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为 .答案:(2,π)解析:由{x =−1+t,y =1+t可得直线l 的普通方程为y=x+2.又ρ2cos 2θ=4可化为ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=4,即(ρcos θ)2-(ρsin θ)2=4, 所以x 2-y 2=4,即曲线C 的直角坐标方程是x 2-y 2=4.由{y =x +2,x 2-y 2=4可解得{x =−2,y =0,即直线l 与曲线C 的交点坐标为(-2,0).又因为ρ>0,3π4<θ<5π4,所以ρ=2,θ=π,即交点的极坐标是(2,π).16.(2015重庆,理16)若函数f (x )=|x+1|+2|x-a|的最小值为5,则实数a= . 答案:-6或4 解析:当a ≤-1时,f (x )=|x+1|+2|x-a|={-3x +2a -1,x <a,x -2a -1,a ≤x ≤−1,3x -2a +1,x >−1,所以f (x )在(-∞,a )上单调递减,在(a ,+∞)上单调递增, 则f (x )在x=a 处取得最小值f (a )=-a-1, 由-a-1=5得a=-6,符合a ≤-1; 当a>-1时,f (x )=|x+1|+2|x-a|={-3x +2a -1,x <−1,-x +2a +1,−1≤x ≤a,3x -2a +1,x >a.所以f (x )在(-∞,a )上单调递减,在(a ,+∞)上单调递增, 则f (x )在x=a 处取最小值f (a )=a+1, 由a+1=5,得a=4,符合a>-1. 综上,实数a 的值为-6或4.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分13分,(1)小问5分,(2)小问8分)(2015重庆,理17)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个. (1)求三种粽子各取到1个的概率;(2)设X 表示取到的豆沙粽个数,求X 的分布列与数学期望.解:(1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”,则由古典概型的概率计算公式有P (A )=C 21C 31C 51C 103=14. (2)X 的所有可能值为0,1,2,且P (X=0)=C 83C 103=715, P (X=1)=C 21C 82C 103=715, P (X=2)=C 22C 81C 103=115.综上知,X 的分布列为故E (X )=0×715+1×715+2×115=35(个).18.(本小题满分13分,(1)小问7分,(2)小问6分)(2015重庆,理18)已知函数f (x )=sin (π2-x)sin x-√3cos 2x.(1)求f (x )的最小正周期和最大值; (2)讨论f (x )在[π6,2π3]上的单调性.解:(1)f (x )=sin (π2-x)sin x-√3cos 2x=cos x sin x-√32(1+cos 2x )=12sin 2x-√32cos 2x-√32=sin (2x -π3)-√32, 因此f (x )的最小正周期为π,最大值为2−√32. (2)当x ∈[π6,2π3]时,0≤2x-π3≤π,从而当0≤2x-π3≤π2,即π6≤x ≤5π12时,f (x )单调递增, 当π2≤2x-π3≤π,即5π12≤x ≤2π3时,f (x )单调递减.综上可知,f (x )在[π6,5π12]上单调递增;在[5π12,2π3]上单调递减.19.(本小题满分13分,(1)小问4分,(2)小问9分)(2015重庆,理19)如图,三棱锥P-ABC 中,PC ⊥平面ABC ,PC=3,∠ACB=π2.D ,E 分别为线段AB ,BC 上的点,且CD=DE=√2,CE=2EB=2.(1)证明:DE ⊥平面PCD ; (2)求二面角A-PD-C 的余弦值.(1)证明:由PC ⊥平面ABC ,DE ⊂平面ABC ,故PC ⊥DE.由CE=2,CD=DE=√2得△CDE 为等腰直角三角形,故CD ⊥DE.由PC ∩CD=C ,DE 垂直于平面PCD 内两条相交直线,故DE ⊥平面PCD. (2)解:由(1)知,△CDE 为等腰直角三角形,∠DCE=π4.如图,过D 作DF 垂直CE 于F ,易知DF=FC=FE=1, 又已知EB=1,故FB=2. 由∠ACB=π2得DF ∥AC ,DF AC =FB BC =23,故AC=32DF=32.以C 为坐标原点,分别以CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CP⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系,则C (0,0,0),P (0,0,3),A (32,0,0),E (0,2,0),D (1,1,0),ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,0),DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,3),DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,-1,0).设平面PAD 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1),由n 1·DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 1·DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{-x 1-y 1+3z 1=0,12x 1-y 1=0,故可取n 1=(2,1,1).由(1)可知DE ⊥平面PCD ,故平面PCD 的法向量n 2可取为ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即n 2=(1,-1,0). 从而法向量n 1,n 2的夹角的余弦值为 cos <n 1,n 2>=n 1·n 2|n 1|·|n 2|=√36,故所求二面角A-PD-C 的余弦值为√36. 20.(本小题满分12分,(1)小问7分,(2)小问5分) (2015重庆,理20)设函数f (x )=3x 2+axe x(a ∈R). (1)若f (x )在x=0处取得极值,确定a 的值,并求此时曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程; (2)若f (x )在[3,+∞)上为减函数,求a 的取值范围. 解:(1)对f (x )求导得f'(x )=(6x+a)e x -(3x 2+ax)e x (e x )2=-3x 2+(6−a)x+ae x . 因为f (x )在x=0处取得极值,所以f'(0)=0,即a=0. 当a=0时,f (x )=3x 2e x ,f'(x )=-3x 2+6xe x, 故f (1)=3e ,f'(1)=3e ,从而f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y-3e =3e(x-1),化简得3x-e y=0. (2)由(1)知f'(x )=-3x 2+(6−a)x+ae x.令g (x )=-3x 2+(6-a )x+a , 由g (x )=0解得x 1=6−a -√a 2+366,x 2=6−a+√a 2+366. 当x<x 1时,g (x )<0,即f'(x )<0,故f (x )为减函数; 当x 1<x<x 2时,g (x )>0,即f'(x )>0,故f (x )为增函数;当x>x 2时,g (x )<0,即f'(x )<0,故f (x )为减函数. 由f (x )在[3,+∞)上为减函数,知x 2=6−a+√a 2+366≤3,解得a ≥-92,故a 的取值范围为[-92,+∞).21.(本小题满分12分,(1)小问5分,(2)小问7分) (2015重庆,理21)如图,椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 2的直线交椭圆于P ,Q 两点,且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|=2+√2,|PF 2|=2-√2,求椭圆的标准方程; (2)若|PF 1|=|PQ|,求椭圆的离心率e.解:(1)由椭圆的定义,2a=|PF 1|+|PF 2|=(2+√2)+(2-√2)=4,故a=2.设椭圆的半焦距为c ,由已知PF 1⊥PF 2,因此2c=|F 1F 2|=√|PF 1|2+|PF 2|2=√(2+√2)2+(2−√2)2=2√3, 即c=√3,从而b=√a 2-c 2=1. 故所求椭圆的标准方程为x 24+y 2=1.(2)解法一:如图,设点P (x 0,y 0)在椭圆上,且PF 1⊥PF 2,则x 02a 2+y 02b 2=1,x 02+y 02=c 2, 求得x 0=±a c √a 2-2b 2,y 0=±b 2c. 由|PF 1|=|PQ|>|PF 2|得x 0>0, 从而|PF 1|2=(a √a 2-2b2c+c)2+b4c 2=2(a 2-b 2)+2a √a 2-2b 2=(a+√a 2-2b 2)2. 由椭圆的定义,|PF 1|+|PF 2|=2a ,|QF 1|+|QF 2|=2a. 从而由|PF 1|=|PQ|=|PF 2|+|QF 2|, 有|QF 1|=4a-2|PF 1|.又由PF 1⊥PF 2,|PF 1|=|PQ|,知|QF 1|=√2|PF 1|, 因此(2+√2)|PF 1|=4a , 即(2+√2)(a+√a 2-2b 2)=4a , 于是(2+√2)(1+√2e 2-1)=4, 解得e=√12[1+(2+√21)2]=√6-√3. 解法二:如解法一中的图,由椭圆的定义,|PF 1|+|PF 2|=2a ,|QF 1|+|QF 2|=2a. 从而由|PF 1|=|PQ|=|PF 2|+|QF 2|,有|QF 1|=4a-2|PF 1|. 又由PF 1⊥PQ ,|PF 1|=|PQ|,知|QF 1|=√2|PF 1|, 因此,4a-2|PF 1|=√2|PF 1|,得|PF 1|=2(2-√2)a ,从而|PF 2|=2a-|PF 1|=2a-2(2-√2)a=2(√2-1)a. 由PF 1⊥PF 2,知|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=(2c )2, 因此e=c a =√|PF 1|2+|PF 2|22a=√(2-√2)2+(√2-1)2=√9−6√2=√6-√3. 22.(本小题满分12分,(1)小问4分,(2)小问8分)(2015重庆,理22)在数列{a n }中,a 1=3,a n+1a n +λa n+1+μa n 2=0(n ∈N +).(1)若λ=0,μ=-2,求数列{a n }的通项公式; (2)若λ=1k 0(k 0∈N +,k 0≥2),μ=-1,证明:2+13k 0+1<a k 0+1<2+12k 0+1. 解:(1)由λ=0,μ=-2,有a n+1a n =2a n 2(n ∈N +).若存在某个n 0∈N +,使得a n 0=0,则由上述递推公式易得a n 0-1=0. 重复上述过程可得a 1=0,此与a 1=3矛盾,所以对任意n ∈N +,a n ≠0. 从而a n+1=2a n (n ∈N +),即{a n }是一个公比q=2的等比数列. 故a n =a 1q n-1=3·2n-1.(2)由λ=1k 0,μ=-1,数列{a n }的递推关系式变为a n+1a n +1k 0a n+1-a n 2=0,变形为a n+1(a n +1k 0)=a n 2(n ∈N +).由上式及a 1=3>0,归纳可得 3=a 1>a 2>...>a n >a n+1> 0因为a n+1=a n2a n +1k 0=a n 2-1k 02+1k2a n +1k 0=a n -1k 0+1k 0·1k 0a n +1, 所以对n=1,2,…,k 0求和得a k 0+1=a 1+(a 2-a 1)+…+(a k 0+1-a k 0)=a 1-k 0·1k 0+1k 0·(1k0a 1+1+1k 0a 2+1+…+1k 0a k 0+1)>2+1k 0·(13k0+1+13k 0+1+⋯+13k 0+1⏟ k 0个)=2+13k 0+1.另一方面,由上已证的不等式知a 1>a 2>…>a k 0>a k 0+1>2,得 a k 0+1=a 1-k 0·1k 0+1k 0·(1k 0a 1+1+1k 0a 2+1+…+1k 0a k 0+1)<2+1k 0·(12k0+1+12k 0+1+⋯+12k 0+1⏟ k 0个)=2+12k 0+1.综上,2+13k 0+1<a k 0+1<2+12k 0+1.。
伍胜健《数学分析》(第2册)配套题库-名校考研真题(广义积分)
第8章广义积分一、判断题1．f（x）在[0，＋∞）上非负连续，n是正整数，若存在，则收敛．[重庆大学研]【答案】对【解析】由存在知，对任意的ε＞0，存在N∈N，当m＞n＞N时，有由于f（x）非负，取A=N+1，则当时，有，因此本题正确．二、解答题1．设f（x）是[1，+∞）上的可微函数，且当时f（x）单调下降趋于零．若积分收敛，证明：积分收敛．[北京大学、哈尔滨工业大学研] 证明：当x≥1时，f（x）≥0，否则，存在c≥1，f（c）＜0，那么，这与矛盾．再证事实上由积分中值定理，对充分大的A，有①①式左端当时，极限为零．故此即②现对任何A1，A2＞1，考察积分③由②及的收敛性，则对，当A1，A2＞A时，有从而由③有由柯西准则知收敛．2．讨论反常积分的敛散性．[复旦大学研]解：当p≥1时，对一切，有，而发散，故发散，从而发散．当p＜1时，对一切，有而收敛，所以收敛，又p＞0，存在，故收敛．∴当0＜p＜1时，收敛．3．设m、n为自然数，求[北京师范大学研]解：记则注意到，所以4．已知求（α＞β＞0）．[中山大学研] 解：原式5．求[南京农业大学研]解：做变量替换，则6．已知积分，计算[上海理工大学研]解：由分部积分知7．设f（x）在[a，＋∞）上连续，且收敛，证明：存在，满足条件[浙江大学研]证明：因为收敛，所以对任意的ε＞0，存在G＞0，当时，有．考虑利用积分中值定理有，令，易见，且当n＞G时，所以8．f（x）在任何有限区间上Riemann可积，且收敛，证明：[浙江大学研]证明：因为收敛，所以对任意的ε＞0，存在G＞0，使得，而f（x）在任何有限区间上Riemann可积，所以对上述的ε＞0，存在N＞0，当n＞N时成立．故对ε＞0，存在N ＞0，当n＞N时，有所以9．讨论的收敛性．[复旦大学研]解：由于所以当0＜p＜1时，收敛；当p≥1时，发散．同理由于所以当0＜q＜1时，收敛；当q≥1时，发散．故当0＜p＜1、0＜q＜1时收敛，其他情况都发散．10．讨论反常积分的敛散性，其中p、q、r均大于零．[复旦大学研]解：由于从而，故当0＜r＜1时，收敛；当r≥1时，发散．在0＜r＜1的前提下，易知当且仅当p＞1或p=1且q＞1时收敛．故当且仅当0＜r＜1且p＞1或0＜r＜1且p=1且q＞1时，收敛．。
2015年考研数学二真题及答案
2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x 2dx (B)∫lnxx +∞2dx (C)∫1xlnx +∞2dx (D) ∫xe x+∞2dx【答案】D 。
【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。
∫√x +∞2=2√x|2+∞=+∞；∫lnx x+∞2dx =∫lnx +∞2d(lnx)=12(lnx)2|2+∞=+∞；∫1xlnx+∞2dx =∫1lnx+∞2d(lnx)=ln (lnx)|2+∞=+∞； ∫x e x +∞2dx =−∫x +∞2de −x =−xe −x |2+∞+∫e −x +∞2dx =2e −2−e −x |2+∞=3e −2， 因此(D)是收敛的。
综上所述，本题正确答案是D 。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0(1+sin t x)x2t 在(-∞,+∞)内(A)连续(B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x)x 2t=elim t→0x 2t(1+sin t x −1)=ex limt→0sintt=e x (x ≠0),f (x )在x =0处无定义，且lim x→0f (x )=lim x→0e x =1,所以 x =0是f (x )的可去间断点，选B 。
综上所述，本题正确答案是B 。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数f (x )={x αcos 1x β,x >0，0,x ≤0(α>0,β>0).若f ′(x )在x =0处连续，则(A)α−β>1(B)0<α−β≤1(C)α−β>2 (D)0<α−β≤2 【答案】A 【解析】易求出f′(x )={αxα−1cos 1x β+βx α−β−1sin 1xβ,x >0，0,x ≤0 再有 f +′(0)=lim x→0+f (x )−f (0)x=lim x→0+x α−1cos1x β={0, α>1,不存在，α≤1，f −′(0)=0于是，f ′(0)存在⟺α>1，此时f ′(0)=0. 当α>1时，lim x→0x α−1cos1x β=0，lim x→0βxα−β−1sin1x β={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，f′(x)在x=0连续⟺α−β>1。
硕士研究生入学考试试题重庆理工大学2015年818高等代数
重庆理工大学2015年攻读硕士学位研究生入学考试试题学院名称：数学与统计学院 学科、专业名称：应用数学,统计学 考试科目（代码）：（试题共 4 页） 一. 填空题(共5小题，每题 3 分,共 15 分)1.实数域R 上的不可约多项式的次数至多为 次。
2.设3阶方阵12331943A t -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，B 为3阶非零矩阵且AB O =，则t = 。
3.设向量(2,0,1),(0,1,1),(1k αβγ===，且γ可由,αβ线性表示，则k = 。
4.设3阶方阵A 的三个特征值分别为1,-1,0，则23A I -= 。
5.若实对称方阵A 与100020004B -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭合同，则二次型123(,,)T f x x x x Ax =的规范形为 。
二. 单项选择题(共5小题,每题 3 分,共 15 分)1．设A 为5阶方阵且=2A 秩，*A 为A 的伴随矩阵，则*=A 秩( )(A). 0 (B).1 (C).2 (D).3第1页2.设m n A ⨯的秩为2n -，123,,ξξξ是非齐次线性方程组Ax b =的3个线性无关的解向量，则Ax b =的通解为( )(A). 1122231()()k k ξξξξξ-+++，其中12,k k 为任意常数； (B). 1122122()()k k ξξξξξ-+++，其中12,k k 为任意常数； (C). 1122133()()k k ξξξξξ-+++，其中12,k k 为任意常数； (D). 1122231()()k k ξξξξξ-+-+，其中12,k k 为任意常数。
3.设n 阶方阵A ，B 均可逆且AB BA =，则下列结论( )错误。
(A). 11A B BA --= (B). 1111A B B A ----= (C). 11AB B A --= (D). 11BA AB --=4.设有n 维向量组1234,,,αααα，其中123,,ααα线性无关，124,,ααα线性相关，则( )(A). 1α可由234,,ααα线性表示 (B). 2α可由134,,ααα线性表示 (C). 3α可由124,,ααα线性表示 (D). 4α可由123,,ααα线性表示 5. 若A 为实对称矩阵，则下列结论不正确的是( ) (A). A 有n 个不同的特征值 (B). A 有n 个线性无关的特征向量 (C). A 一定可以对角化 (D). A 的属于不同特征值的特征向量正交第2页三. ( 14 分)求证，在[]F x 中，((),())1f x g x =当且仅当存在不可约多项式()p x ，使得()(()())p x f x g x +且()()()p x f x g x 。
重庆大学数学分析2004-2011年考研真题+高等代数2003-2010年考研真题
二阶可导，且 f (a) = f (b) = 0, 证明：至少存在一点ξ ∈ (a,b),使得f ′′(ξ ) < 0 。 十一、（12 分）设函数 f (x) 在 [0,+∞]可微， f ′(x)在[0,+∞)单调增加、无上界，证明：广义积
∫ 分
+∞
0 1+
1 f2
(
dx x)
收敛。
∫ 十二、（12 分）证明：含参广义积分 F (α ) = +∞ α e−αx2 dx 在区间 (0,+∞)上，1）有连续的导函 0
B = (β1 + β n , β1 + β 2 , β 2 + β3 ,⋯, β n−1 + β n ) 的行列式的值。 3．证明题 (1) 设V1,V2 是 R n 中的两个非平凡子空间，证明在 R n 中存在向量 α 使得
α ∉V1,α ∉V2 ，并在 R3 中举例说明此结论。
(2) 设 e1, e2 ,⋯, en 是 n 维 线 性 空 间 Vn 的 一 组 基 ， 对 任 意 n 个 向 量 α1,α 2 ,⋯,α n ∈Vn ，证明存在唯一的线性变换T 使得T (ei ) = αi ,i = 1,2,⋯, n 。
(2) 设 e1, e2 ,⋯, e5 是 5 维 Euclid 空 间 R5 的 一 组 标 准 正 交 基 ，
VL(α1,α 2 ,α3 ) ，其中α1 = e2 + e3 ，α 2 = −e1 + e2 + e4 ，α3 = 4e1 − 5e2 + e5 ，求V1 的
一组标准正交基。
⎡ 1 1 −1⎤
。
⎡1 1 −1⎤
(3) 设 A = ⎢⎢0
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题解析
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题解析戴又发一、选择题 共8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选选项前的字母填在答题纸指定位置上． （1） 下列反常积分收敛的是（ ）（A ）dx x⎰+∞21（B ）dx x x ⎰+∞2ln （C ）dx x x ⎰+∞2ln 1 （D ）dx e x x ⎰+∞2 【解析】22222331lim 3)1(lim lim --+∞→--+∞→+∞→+∞=+-=++-==⎰⎰e e e e t e dx e x dx ex t t t t t x t x ． 故选D ．（2）函数tx t x t x f 2sin 1lim )(⎪⎭⎫⎝⎛+=+∞→ 在),(+∞-∞内 （ ） （A ）连续 （B ）有可去间断点 （C ）有跳跃间断点 （D ）有无穷间断点【解析】ttx t x t tx t x t x t x f sin sin sin 1lim sin 1lim )(2⨯+∞→+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+=，当0≠x 时，由e x t tx t =⎪⎭⎫⎝⎛++∞→sin sin 1lim ，x ttx t =+∞→sin lim，得x e x f =)(， 故函数在),(+∞-∞内有可去间断点，故选B ．（3）设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,00,1cos )(x x xx x f α)0,0(>>βα，若)(x f '在0=x 处连续，则（ ） （A ）1>-βα （B ）10≤-<βα （C ）2>-βα （D ）20≤-<βα 【解析】显然0<x 时0)(='x f ，当0>x 时111sin 1cos)(---⋅+='ββαβαβαx xx x x x f ββαβαβαxx x x 1sin 1cos11---+=，由0,0>>βα，)(x f '在0=x 处连续，有01,01>-->-βαα， 所以1>-βα，故选A ．（4）设函数)(x f 在),(+∞-∞内连续，其2阶导数)(x f ''的图形如右图所示，则曲线)(x f y =的拐点个数为（ ）（A ） 0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【解析】若函数)(x f 的2阶导数存在，那么使函数2的阶导数)(x f ''为零，且三阶导数不为零的点是函数)(x f 的拐点，当2阶导数不存在时，只要在某点处的2阶导数改变符号，该点就是拐点，显然)(x f y =的拐点个数为2，故选C ． （5）设函数),(v u f 满足22),(y x xy y x f -=+，则11==∂∂v u uf 与11==∂∂v u vf 依次是（ ）（A ）21，0 （B ）0，21 （C ）21-，0 （D ）0，21-【解析】记 x y v y x u =+=, ，得v uvy v u x +=+=1,1，于是22)1()1(),(),(v uv v u v u f x y y x f +-+==+，所以222)1(2)1(2v uv v u u f +-+=∂∂，011=∂∂==v u uf ；3222232)1(2)1(2)1(2v v u v vu v u v f +++-+-=∂∂，2141214111-=+--=∂∂==v u uf，故选Ｄ．（6）设D 是第一象限中的曲线14,12==xy xy 与直线x y x y 3,==围成的平面区域，函数),(y x f 在D 上连续，则⎰⎰=Ddxdy y x f ),(（ ）（A ）⎰⎰θθππθθθ2sin 12sin 2134)sin ,cos (rdr r r f d（B ）⎰⎰θθππθθθ2sin 12sin 2134)sin ,cos (rdr r r f d（C ）⎰⎰θθππθθθ2sin 12sin 2134)sin ,cos (dr r r f d（D ）⎰⎰θθππθθθ2sin 12sin 2134)sin ,cos (dr r r f d【解析】记 θθsin ,cos r y r x ==，区域D 可表示为，θθ2sin 212sin 1≤≤r ，34πθπ≤≤，θrdrd dxdy =，于是 ⎰⎰=Ddxdy y x f ),(⎰⎰θθππθθθ2sin 12sin 2134)sin ,cos (rdr r r f d ，故选Ｂ．(7)设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛24121111a a ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21d d b ，若集合{}2,1=Ω，则线性方程组b Ax =有无穷多解的充分必要条件为（ ）（A ）Ω∉Ω∉d a , （B ）Ω∈Ω∉d a , （C ）Ω∉Ω∈d a , （D ）Ω∈Ω∈d a ,【解析】由方程组b Ax =有无穷多解，得3)()(<=A r A r ， 而当0)12)(2)(1(=---=a a A 时，2,1==a a ，当1=a 时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23000101011111030101011111411211111222d d d d d d d A 3)(<A r ，所以1=d 或2=d ．当2=a 时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23000111011111330111011114412211111222d d d d d d d A 3)(<r ，所以1=d 或2=d ．故选Ｄ．（8）设二次型),,(321x x x f 在正交变换PY X =下的标准型为2322212y y y -+，其中),,(321e e e P =，若),,(231e e e Q -=，则),,(321x x x f 在正交变换QY X =下的标准型为（ ）（A ）2322212y y y +- （B ）2322212y y y -+ （C ）2322212y y y -- （D ）2322212y y y ++ 【解析】设二次型对应的矩阵为A ，由),,(321x x x f 经正交变换PY X =化为标准型2322212y y y -+，得 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-1121AP P ，其中),,(321e e e P =，又因为),,(231e e e Q -=，于是有 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-1121AQ Q ， 所以),,(321x x x f 在正交变换QY X =下的标准型为2322212y y y +-．故选Ａ．二、填空题：9~14每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上．（9）设⎩⎨⎧+==33arctan t t y t x ，则==122t dx y d ．【解析】233t dt dy += ，211t dt dx +=， 363)1)(33(2422++=++=t t t t dx dy ，22232322)1(12)1)((12111212)(t t t t t t t t dt dx dt dx dy d dxy d +=++=++==． 所以==122t dx y d 48．（10）函数x x x f 2)(2⋅=在0=x 处的n 阶导数为=)0()(n f .【解析】因为)2ln 2(22ln 222)(22x x x x x f x x x +=⋅+⋅='，0)0(='f ；))2(ln 2ln 42(22ln )2ln 2(2)2ln 22(2)(222x x x x x x f x x x ++=+++=''，222)0(0=⋅=''=x x f ；2ln ))2(ln 2ln 42(2))2(ln 22ln 4(2)(222x x x x f x x ++++='''))2(l n )2(l n 62ln 6(2322x x x ++=，2ln 62ln 62)0(0=⋅='''=x xf ； 2ln ))2(ln )2(ln 62ln 6(2))2(ln 2)2(ln 6(2)(32232)4(x x x x f x x ++++=))2(ln ))2(ln 8)2(ln 12(24232x x x ++=，202)4()2(ln 12)2(ln 122)0(=⋅==x x f ；202)()2)(ln 1()2)(ln 1(2)0(-=--=-⋅=n x n x n n n n n f ．（11）设函数)(x f 连续，由方程⎰=2)()(x dt t xf x ϕ，若5)1(,1)1(='=ϕϕ，则=)1(f ． 【解析】由⎰⎰==22)()()(x x dt t f x dt t xf x ϕ，得)(2)()(202x f x x dt t f x x ⋅⋅+='⎰ϕ，又5)1(2)()1(1=+='⎰f dt t f ϕ，1)()1(10==⎰dt t f ϕ，所以2)1(=f ．（12）设函数)(x y y =是微分方程02=-'+''y y y 的解，且在0=x 处)(x y 取得极值3，则=)(x y ．【解析】由022=-+λλ，得2,1-==λλ，于是微分方程的特解为x x e C e C y 221-+=，由022)0(21221=-=-='-C C eC e C y xx，3)0(21=+=C C y ，得1,221==C C ，所以x x e e x y 22)(-+=．(13)若函数),(y x z z =由方程132=+++xyz e z y x 确定，则=)0,0(dz．【解析】由dy yzdx x z dz ∂∂+∂∂=， 方程132=+++xyz e z y x 两边对x 求导，0)31(32=+∂∂+∂∂+++yz xzxy x z e z y x ， 代入0,0==y 得310-=∂∂=x xz；方程132=+++xyz e z y x 两边对y 求导，0)32(32=+∂∂+∂∂+++xz yzxy y z e z y x ， 代入0,0==y 得32-=∂∂=y yz；所以dy dx dz3231)0,0(--=．(14)设三阶矩阵A 的特征值为1,2,2-，E A A B +-=2,其中E 为3阶单位矩阵，则行列式=B ．【解析】由矩阵A 的特征值为1,2,2-， 且E A A B +-=2,可知矩阵B 的特征值为1,7,3，所以21=B ．三、解答题：15～23小题，共94分。
重庆大学数学与统计学院621数学分析历年考研真题汇编含部分答案【圣才出品】
2014 年重庆大学 621 数学分析考研真题
2013 年重庆大学 621 数学分析考研真题
2011 年重庆大学 618 数学分析考研真题
2012 年重庆大学 621 数学分析考研真题
2010 年重庆大学 618 数学分析考研真题
D
第二部分 证明题（共 80 分）
八、（18 分）写出极限 lim f (x) 存在（有限）的柯西收敛法则及其否定叙述，并据此证明下述结论： x
（1）极限 lim cos x 存在（有限）； x x
（2）极限 lim sin x 不存在。 x
九、（12 分）叙述函数 f (x) 闭区间 a, b上可积的定义，并据此证明函数
f
( x)在点x k
1 处不可微k
k
2,3,4, ，在区间 0,1内的其它点处皆可微。
2005 年重庆大学 330 数学分析考研真题
2004 年重庆大学 330 数学分析考研真题
2003 年重庆大学 330 数学分析考研真题
重庆大学 2003 年数学分析试卷
一、是非题（24 分）
1．
p
2009 年重庆大学 618 数学分析考研真题及详解
2008 年重庆大学 618 数学分析考研真题
2007 年重庆大学 630 数学分析考研真题
2006 年重庆大学 329 数学分析考研真题
科目代码：329 科目名称：数学分析 特别提醒考生： 答题一律做在答题纸上(包括填空题、选择题、改错题等)，直接做在试题上按零分计。
5．定义 f (x) 在[a, b] 上可积时，必须先假定 f (x) 在[a, b] 上有界（1）
6．设 f (x) 在[a, b] 上可积，则 f (x) 在[a, b] 上的连续点有无限多个（0）
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
重庆大学2015年硕士研究生入学考试试题科目代码:621 科目名称:数学分析总分:150 分特别提醒:所有答案一律写在答题纸上,直接写在试题上的不给分。
一、计算(6分/每小题,共24分(1(((122lim 111n n x xx -→∞+++ (1x <(2(21xxe dx x +⎰(32sin 1cos x xdx xπ+⎰(4((211lim 1nn k nx k nx k n →∞=+++∑二、(10分设(f x 在(0,+∞上满足函数方程((2f x f x =,且(0 lim x f x C →=(常数,证明:(f x C ≡,(0,x ∈+∞.三、(13分若(f x 在(,-∞+∞上可微,且(limx f x →∞=-∞,证明:存在(,ξ∈-∞+∞使得(0f ξ'=.四、(15分设(,α∈-∞+∞,讨论级数⎪⎭⎫⎝⎛+∑∞=n n n n ln 1sin 12πα的绝对收敛性与条件收敛性.五、(13分计算(32sin 2x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰,Ω由旋转双曲面2221x y z +-=、平面z H =、z H =-所围成. 六、(15分计算(2222axdydz z a dxdyI x y z ∑++=++⎰⎰,其中∑为下半球222z a x y =---的上侧,0a >. 七、(15分令21sin((1xt f t dx x+∞=+⎰,证明: (1反常积分关于t 在(,-∞+∞上一致收敛;(2函数(f t 在(,-∞+∞上连续,且lim (0t f t →+∞=. 八、(15分函数(f x 为(,-∞+∞上的单调增加有界函数, (1证明:对于任意(0,x∈-∞+∞,(0lim x x f x →+存在; (2讨论(lim x f x →-∞的存在性,并说明理由. 九、(15分讨论(肯定,给出证明;否定,举出反例: (1对无穷限反常积分,平方可积与绝对可积之间的关系; (2对无界函数反常积分,平方可积与绝对可积之间的关系. 十、(15分设11a =,21a =,2123n n n a a a ++=+,1n ≥,(1证明{}n a 的通项公式为113(12n n n a --+-=;(2求1n n n a x ∞=∑的收敛域与和函数.一、计算(6分/每小题,共24分(1(((122lim 111n n x xx -→∞+++ (1x <解:(((122lim 111n n x xx -→∞+++((((122211111lim lim11n nn n x x x x x xx-→∞→∞-+++-==--1=1x- (2(21xxe dx x +⎰解: (2=1xxe dx x +⎰((211=1x x e dx x +-+⎰(211x xe e dx dx x x -++⎰⎰ (('2111x x e e dx dx x x =-++⎰⎰((22111x x x e e e dx dx x x x =+-+++⎰⎰1x e c x =++ (32sin 1cos x xdx xπ+⎰解:2222002sin sin sin 1cos 1cos 1cos x x x x x x dx dx dx x x x ππππ=++++⎰⎰⎰对后一积分作代换x t π=-,则(((((02222022sin sin sin 11cos 1cos 1cos t t t t x x dx dt dt x t t ππππππππ---=⋅-=++-+⎰⎰⎰ (222200sin sin arctan cos 21cos 1cos 4 x x x dx dx x x x ππππππ==-=++⎰⎰ (4((211lim 1nn k nx k nx k n →∞=+++∑解由不等式222a b ab +≤可得((1122nx k nx k nx k nx k nx k ++++≤+++≤+于是((2111111111112n nn n k k k k k k k x nx k nx k x x n n n n n n n ====⎡+⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≤+++≤+++ ⎪⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑由定积分的定义(11101111lim lim 2n n n n k k k k x x x t dt x n n n n →∞→∞==+⎛⎫⎛⎫+=+=+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑⎰因此由极限性质,有((2111lim 12nn k nx k nx k x n→∞=+++=+∑二、(10分设(f x 在(0,+∞上满足函数方程((2f x f x =,且(0lim x f x C→=(常数,证明:(f x C ≡,(0,x ∈+∞.证,0(0+∞∈∀x ,利用((2f x f x =得(2x f x f ⎛⎫=⎪⎝⎭,(002n x f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,由于 (00lim lim 2n n x x f f x C →∞→⎛⎫== ⎪⎝⎭得到(f x C ≡,(0,x ∈+∞.三、(13分若(f x 在(,-∞+∞上可微,且(lim x f x →∞=-∞,证明:存在(,ξ∈-∞+∞使得(0f ξ'=.证明:由(lim x f x →∞=-∞,对于(01G f =+,0,X x X ∃>∀>,有((01f x f <--又(f x 在(,-∞+∞上连续,所以(f x 在[],X X -上连续.由闭区间上连续函数的最值定理,(f x 在[],X X -上存在最大值M .即[](,,x X X f x M ∀∈-≤[]0,X X ∈-,当然(0f M ≤.又x X ∀>,有(((010f x f f M <--<≤ 即((,,x f x M ∀∈-∞+∞≤.得证.四、(15分设(,α∈-∞+∞,讨论级数⎪⎭⎫⎝⎛+∑∞=n n n n ln 1sin 12πα的绝对收敛性与条件收敛性.解:由(nn n nln 1sin1ln 1sin -=⎪⎭⎫⎝⎛+π 当1>α时,111sin ln n n n n ααπ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭,而∑∞=1 1n n α收敛,所以⎪⎭⎫⎝⎛+∑∞=n n n n ln 1sin 12πα绝对收敛当10≤≤α时,11sin ln n n n απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭~n n ln 1α,而∑∞=2ln 1n nn α发散且(n n n n n n ln 1sin 11ln 1sin 1ααπ-=⎪⎭⎫⎝⎛+,n n ln 1sin 1α单减趋于0, 所以⎪⎭⎫⎝⎛+∑∞=n n nn ln 1sin 12πα条件收敛当0<α时,+∞→⎪⎭⎫⎝⎛+n n n ln 1sin 1πα,所以⎪⎭⎫⎝⎛+∑∞=n n n n ln 1sin 12πα发散五、(13分计算(32sin 2x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰,Ω由旋转双曲面2221x y z +-=、平面z H =、z H =-所围成.解:Ω关于yoz 面对称,所以3sin 0xdxdydz Ω=⎰⎰⎰;Ω关于xoz 面对称,所以0ydxdydz Ω=⎰⎰⎰; 又Ω关于xoy 面对称,所以(2x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰1222z dxdydz z dxdydz ΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中({}1,,0x y z z Ω=∈Ω≥向坐标轴z 轴进行投影:0z H ≤≤,222:x 1z D y z +≤+,所以(2x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰(122222221zHHD z dxdydz z dz dxdy z z dz πΩ===+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 53253H H π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭六、(15分计算(2222axdydz z a dxdyI x y z ∑++=++⎰⎰,其中∑为下半球222 z a x y =---的上侧,0a >. 解. 直接分块积分1I =222axdydz x y z∑++⎰⎰,(22222z a dxdyI x y z∑+=++⎰⎰1I =22222212yzD a xdydz axdydz a y z dydz a x y z ∑∑==---++⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中yz D 为yoz 平面上的半圆2 22,0y z a z +≤≤ 利用极坐标,得其中 Dxy 为xoy 平面上的圆域用极坐标，得因此七、（15 分）令证明：（1）反常积分关于 t 在上一致收敛；（2）函数 f (t 在上连续，且证明：（1）因为，而收敛，故由 M-判别法可知在上一致收敛。
（2）因为在上连续，且在上一致收敛，故 f (t 在上连续。
对任意，因为使得对，有在上一致收敛，故存在 X>1 ，又根据黎曼引理，，即0 ，使得对，有从而根据(*和(**，对，有于是。
第 6 页共 9 页八、（15 分）函数为上的单调增加有界函数，（1）证明：对于任意，存在；（2）讨论的存在性，并说明理由解：函数 f 为上的单调增加有界函数，函数在 x0 处存在左右导数.且，为上的单调增加有界函数，当然在单调增加有界，所以 f 在存在下确界，记为由下确界定义，，有又在单调增加，取，则当，有即 lim f类似可证在无穷远处有，函数为上的单调增加有界函数，当然在上存在下确界，记为，由下确界定义，有，，有由在上的单调增加，，，当时，有即类似可证九、（15 分）讨论（肯定，给出证明；否定，举出反例）：（1）对无穷限反常积分，平方可积与绝对可积之间的关系；（2）对无界函数反常积分，平方可积与绝对可积之间的关系. 解（1）收敛不能保证绝对收敛，例如：第 7 页共 9 页，则 4收敛，但不是绝对收敛的；绝对收敛不能保证收敛，例如：（2）由其他，则绝对收敛，但发散。
，可知收敛保证绝对收敛； 2 b 但绝对收敛不能保证收敛，例如：b 1 x ，则绝对收敛，但发散. 十、（15 分）设1，，，，（1）证明的通项公式为； 2 （2）求的收敛域与和函数解因，故，于是由 n 为偶数时，，，，将它们相加可解出由 n 为奇数时，，，2 ，将它们相加也可解出3 ，收敛半径当时，，发散当时，，第 8 页共 9 页发散 1 1 所以收敛域为第 9 页共 9 页。