2015年重庆大学数学分析研考题(精)

重庆大学2015年硕士研究生入学考试试题

科目代码:621 科目名称:数学分析总分:150 分

特别提醒:所有答案一律写在答题纸上,直接写在试题上的不给分。

一、计算(6分/每小题,共24分

(1((

(1

2

2lim 111n n x x

x -→∞

+++ (1x <

(2

(2

1x

xe dx x +⎰

(3

2

sin 1cos x x

dx x

π

+⎰

(4((21

1lim 1n

n k nx k nx k n →∞=+++∑

二、(10分设(f x 在(0,+∞上满足函数方程((2f x f x =,且(0 lim x f x C →=(常数,证明:(f x C ≡,(0,x ∈+∞.

三、(13分若(f x 在(,-∞+∞上可微,且(lim

x f x →∞

=-∞,证明:存在(,ξ∈-∞+∞使得(0f ξ'=.

四、(15分设(,α∈-∞+∞,讨论级数⎪⎭⎫⎝⎛

+∑∞

=n n n n ln 1sin 12

πα

的绝对收敛性与条件收敛性.

五、(13分计算(32sin 2x y z dxdydz Ω

++⎰⎰⎰,Ω由旋转双曲面2221x y z +-=、

平面z H =、z H =-所围成. 六、(15分计算(2

222

axdydz z a dxdy

I x y z ∑

++=++⎰⎰

,其中∑为下半球222

z a x y =---的上侧,0a >. 七、(15分令2

1

sin(

(1xt f t dx x

+∞

=+⎰,证明: (1反常积分关于t 在(,-∞+∞上一致收敛;

(2函数(f t 在(,-∞+∞上连续,且lim (0t f t →+∞

=. 八、(15分函数(f x 为(,-∞+∞上的单调增加有界函数, (1证明:对于任意(0,x

∈-∞+∞,(0

lim x x f x →+存在; (2讨论(lim x f x →-∞

的存在性,并说明理由. 九、(15分讨论(肯定,给出证明;否定,举出反例: (1对无穷限反常积分,平方可积与绝对可积之间的关系; (2对无界函数反常积分,平方可积与绝对可积之间的关系. 十、(15分设11a =,21a =,2123n n n a a a ++=+,1n ≥,

(1证明{}

n a 的通项公式为113(12

n n n a --+-=;

(2求

1

n n n a x ∞

=∑的收敛域与和函数.

一、计算(6分/每小题,共24分(1((

(1

2

2lim 111n n x x

x -→∞

+++ (1x <

解:((

(1

2

2

lim 111n n x x

x -→∞

+++

((((1

2

2211111lim lim

11n n

n n x x x x x x

x

-→∞

→∞

-+++-==--1

=

1x

- (2

(2

1x

xe dx x +⎰

解: (2=1x

xe dx x +⎰((

2

11=1x x e dx x +-+⎰(211x x

e e dx dx x x -++⎰⎰ (('

2111x x e e dx dx x x =-++⎰⎰((

22111x x x e e e dx dx x x x =+-+++⎰⎰1x e c x =++ (3

2

sin 1cos x x

dx x

π

+⎰

解:

2

2220

02

sin sin sin 1cos 1cos 1cos x x x x x x dx dx dx x x x π

π

ππ=++++⎰

⎰⎰对后一积分作代换x t π=-,则

(((((02

222022sin sin sin 11cos 1cos 1cos t t t t x x dx dt dt x t t ππ

ππππππ---=⋅-=++-+⎰⎰⎰ (2

2220

0sin sin arctan cos 21cos 1cos 4 x x x dx dx x x x ππ

π

π

ππ==-=++⎰

⎰ (4((21

1lim 1n

n k nx k nx k n →∞=+++∑

解由不等式

22

2

a b ab +≤可得

((1

122

nx k nx k nx k nx k nx k ++++≤+++≤

+

于是

((211

1111111112n n

n n k k k k k k k x nx k nx k x x n n n n n n n ====⎡+⎤

⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≤+++≤+++ ⎪⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦

∑∑∑∑

由定积分的定义

(1

1101111

lim lim 2n n n n k k k k x x x t dt x n n n n →∞→∞==+⎛⎫⎛⎫+=+=+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑⎰

因此由极限性质,有

((21

11

lim 12n

n k nx k nx k x n

→∞=+++=+∑

二、(10分设(f x 在(0,+∞上满足函数方程((2f x f x =,且(0lim x f x C

→=(常数,证明:(f x C ≡,(0,x ∈+∞.