正余弦定理及面积

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余弦定理及三角形面积公式

余弦定理及三角形面积公式关键信息项：1、余弦定理的表述及推导过程2、三角形面积公式的表述及推导过程3、余弦定理与三角形面积公式的关系4、应用余弦定理和三角形面积公式的条件和限制5、示例说明余弦定理和三角形面积公式的实际应用11 余弦定理111 余弦定理表述：对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

即对于三角形ABC，若边 a、b、c 分别对应角 A、B、C，则有：a²＝ b²＋ c² 2bc·cosAb²＝ a²＋ c² 2ac·cosBc²＝ a²＋ b² 2ab·cosC112 推导过程：以三角形 ABC 为例，通过向量的方法进行推导。

设向量 AB ＝ c，向量 AC ＝ b，则向量 BC ＝ a ＝ b c。

则有：a²＝（b c)²＝ b²＋ c² 2b·c因为 b·c ＝｜b|·｜c|·cosA，所以 a²＝ b²＋ c² 2|b|·｜c|·cosA113 作用：可以用于求解三角形的边长、角度等问题。

12 三角形面积公式121 常见的三角形面积公式表述：1、面积＝ 1/2 ×底 ×高2、面积＝√s(s a)（s b)（s c)，其中 s ＝（a ＋ b ＋ c) ／ 2 （海伦公式）122 推导过程：对于“面积＝ 1/2 ×底 ×高”，可以通过作三角形的高来证明。

对于海伦公式，首先根据余弦定理求出角的余弦值，再利用三角函数关系求出正弦值，进而推导得出。

123 作用：可以方便地计算三角形的面积。

13 余弦定理与三角形面积公式的关系131 利用余弦定理可以求出三角形的边长和角度，进而为使用三角形面积公式提供必要的条件。

解三角形(正弦定理、余弦定理、三角形面积公式)

授课人：张凤喜
授课班级：13级1班授课时间：15年12月1日
2019年7月4日9时48分
1
余弦定理、正弦定理和三角形面积公式
夯基释疑
概要
考点突破
考点一考点二
例 1 训练1 例 2 训练2
课堂小结
考点三
例 3 训练3
2019年7月4日9时48分
2
夯基释疑
熟记公式是本节的基本要求。
所以sin A=
3=
3
3
3 2 1
12
12
12
2
因为a b，所以0 ∠A 2 ，则∠A= ，
3
6
因为∠C= 2
63 6
所以S
1 ABC = 2 ab sin C

14 2
3 12 1 12 2
3
2019年7月4日9时48分
19
余弦定理、正弦定理和三角形面积公式
夯基释疑
概要
考点突破
考点一考点二
例 1 训练1 例 2 训练2
课堂小结
考点三
例 3 训练3
2019年7月4日9时48分
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考点突破考点三三角形面积公式的应用
【例3】（2013年高考题）在△ABC中，a 3，b=4，c= 37，则△ABC的面积是 _________ .
解析
a2 b2 c2 9 16 37 1
21
请完成《学海领航课堂训练》
2019年7月4日9时48分
22
SUCCESS
THANK YOU
2019/7/4
5
所以cosA 1 ( 4)2 3 ,
5

正余弦定理、三角形的一些公式

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin A sin B sinC 2R （R为外接圆的半径）变形有: a 2Rsin A b 2Rs inB c 2Rs inC三角形的面积公式:SABC s"A島sin Bb2Rs"C 2R1 1absinC acsin B2 21bcsin A2余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

即变形有:cosA22bccosA b■ 2 2 2b c a2bccosB2accosB2 2 ■ 2a c b2aca2b22abcosC2 ■ 2 2 a b c cosC -2ab判断三角形的形状:2 a2 a2 a b2b2b22 c2 c2 , 2c ,bABC为钝角三角形ABC为直角角三角形2a2 2c ,c a2b2,ABC为锐角三角形三角形中有:ABC中 (1) sin(A⑵若A、B)B、si nCC成等差数列,cos(A两角和差的正余弦公式及两角和差正切公式sin sin cos cos sin cos( cos cos sin sin tantan tan二倍角公式:半角公式: sin 2tan 2tan tan2sin cos2 tan1 tan2aB） cosC ta n（A B）a、b、c成等比数列，则该三角ta nC形为正三角形sincostancos2 cos21 2si n222cos字〈正员磅所在的象限炖件（正负涉在刚沁）sin coscos costan tancos sinsin sin1 tan tansin 2现货原油R6008mxehUmG。

余弦定理公式大全

正弦、余弦定理解斜三角形建构知识结构1．三角形基本公式：（1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,cos2C =sin 2B A +, sin 2C =cos 2B A + （2）面积公式：S=21absinC=21bcsinA=21casinBS= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2cb a ++, r 为内切圆半径)（3）射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A 2．正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===外证明：由三角形面积111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===得sin sin sin a b c A B C==画出三角形的外接圆及直径易得：2sin sin sin a b cR A B C===3．余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA , 222cos 2b c aA bc+-=；证明：如图ΔABC 中，sin ,cos ,cos CH b A AH b A BH c b A ===-22222222sin (cos )2cos a CH BH b A c b A b c bc A=+=+-=+-当A 、B 是钝角时，类似可证。

正弦、余弦定理可用向量方法证明。

要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题． 4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；有三种情况：bsinA<a<b 时有两解；a=bsinA 或a=b 时有解；a<bsinA 时无解。

5．利用余弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。

正余弦定理公式总结

正余弦定理公式总结1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b c R C===A B ． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C++===A +B +A B ． 3、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ． 4、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-．5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222cos 2a b c C ab+-=． 6、设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C =o ； ②若222a b c +>，则90C <o ；③若222a b c +<，则90C >o ．典型综合练习：1.在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，a ＝10，求c2.已知a ，b ，c 是△ABC 三边之长，若满足等式(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，求角C 的大小为3．在△ABC 中，已知sin A cos B ＝sin C ，判断△ABC 为什么三角形4．若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC 为什么三角形5．△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为多少6．在△ABC 中，2b ＝a ＋c ，∠B ＝30°，△ABC 的面积为32，那么b 值为7．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3， A ＋C ＝2B ，求sin A8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，求角A 的大小9．设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，且3b 2＋3c 2－3a 2＝42bc .(1)求sin A 的值；(2)求2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫B ＋C ＋π41－cos 2A 的值．10．已知平面四边形ABCD 中，△BCD 为正三角形，AB ＝AD ＝1，∠BAD ＝θ，记四边形的面积为S .(1)将S 表示为θ的函数， (2)求S 的最大值及此时θ的大小．11.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c B π=，4cos ,35A b ==.（Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）求ABC ∆的面积.12.在ABC ∆中，内角A ，B,C 对边的边长分别是a,b,c ,已知c =2,C =3π. (Ⅰ)若ABC ∆的面积等于3，求a,b ；(Ⅱ)若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.13.在⊿ABC 中，BC=5，AC=3，sinC=2sinA(I) 求AB 的值：(II) 求sin 24A π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值。

利用正余弦定理解决三角形面积问题(典型例题+跟踪训练)【解答题抢分专题】备战2023年高考数学

【解答题抢分专题】备战2023年高考数学解答题典型例题+跟踪训练（新高考通用）专题02利用正余弦定理解决三角形面积问题目录一览一、梳理必备知识二、基础知识过关三、典型例题讲解四、解题技巧实战五、跟踪训练达标六、高考真题衔接1.正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===.（其中R 为ABC ∆外接圆的半径）2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ⇔===（边化角）sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R⇔===（角化边）2.余弦定理：222222222cos 2cos 2cos .2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩⇒2222222222cos ,2cos ,2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩3.三角形面积公式：B ac A bcC ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆=12++为三角形ABC 的内切圆半径一、梳理必备知识4.三角形内角和定理：在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+.【常用结论】①在ABC ∆中，sin sin ;a b A B A B >⇔>⇔>②sin 2sin 2,.2A B A B A B π==+=则或③在三角函数．．．．中，sin sin A B A B >⇔>不成立。

但在三角形．．．中，sin sin A B A B >⇔>成立一、单选题1．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =c =，30B =︒，则ABC 的面积为（）．A．2B ．4C ．2D ．42．已知在ABC 中，4AB =，3AC =，cos 2A =，则ABC 的面积为（）A ．3B ．C ．6D ．3．在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，2,,sin 2sin 3c A B C ===，则ABC 的面积为（）A B ．C ．2D ．4【答案】B【分析】由正弦定理求得24b c ==，利用面积公式进行求解.【详解】由正弦定理得：24b c ==，二、基础知识过关4．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知22230,=︒+-=A b c a ABC 的面积为（）A ．12B C ．1D ．25．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为π3A =，b c +==a （）A ．B ．5C ．8D ．6．在ABC 中，已知3a =，c =60C =︒，则ABC 的面积为（）A B C D3二、填空题7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，b ＝1，1cos 3C =，则△ABC 的面积为______．【答案】38．在ABC 中，设a 、b 、c 分别是三个内角A 、B 、C 所对的边，2b =，1c =，面积12ABC S ∆=，则内角A 的大小为__．9．在△ABC 中，若7a =，3b =，8c =，则△ABC 的面积等于______________．【技巧实战1】1．记ABC 中角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2A B =，32b c =.(1)求tan tan CB；(2)若ABC的周长为5ABC 的面积.2．已知ABC 的内角A 、B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos 1cos 2A +=-．（Ⅰ）求角A 的值．（Ⅱ）若ABC 的面积为()7b c b c +=>，求a 的值．四、解题技巧实战3．ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且有()sin 20C A B +=.(1)求角C ；(2)当4a =，c =时，求ABC 的面积.1．（2022春·广西南宁·高一校考阶段练习）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若222b c a bc +=+，且8bc =，五、跟踪训练达标（1）求角A.（2）求△ABC 的面积.2．（2023·高一单元测试）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin cos a C A ．（1）求角A ．（2）若a =2c =求△ABC 的面积．3．（2023秋·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考期末）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量()cos ,cos m A B = ，(),2n a c b =- ，且//m n．（1）求角A 的大小；（2）若4a b ==，ABC 面积．4．（2022秋·云南楚雄·高二校考阶段练习）已知ABC 角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,ABC 的周长为2,且sin sin A B C +=.(1)求边c 的长;(2)若ABC 的面积为23sin C ,求角C 的度数.5．（2023·全国·高三专题练习）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 2cos a C c A b B +=.（1）求B ；（2）若b =ABC 的面积为ABC 的周长.6．（山西省部分学校2023届高三下学期质量检测试题）已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，()1cos sin c B C +=．(1)求角B 的大小；(2)若2b =，4a c +=，求ABC 的面积．7．（2023·安徽淮北·统考一模）设ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin c C b B C A a a-=-，4b =．(1)求角B 的大小(2)若c =ABC 的面积．8．（广东省广州市2023届高三综合测试（一）数学试题）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知223cos cos 222C A a c b +=.(1)证明：sin sin 2sin A C B +=；(2)若2b =，3AB AC ⋅=uu u r uuu r ，求ABC 的面积.9．（湖北省八市2023届高三下学期3月联考数学试题）在ABC 中，记角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知π2sin 6b A a c ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，且2c =，点D 在线段BC 上.(1)若3π4ADC ∠=，求AD 的长；(2)若2,BD DC ABC = 的面积为sin sin BAD CAD ∠的值.10．（江西省金溪县第一中学2023届高三一轮复习验收考试数学（理）试题）已知在非钝角ABC 中，角,,A B C所对的边分别为1,,,cos sin 2a b c c a B B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)求sin A ；(2)若ABC 的面积为1，且__________（在下面两个条件中任选一个），求ABC 的周长.①2a =；②2a c =.注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.11．（广东省广州市南沙区东涌中学2023届高三上学期期中数学试题）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足()274sincos222A B C -+=，(1)求A ；(2)D 是线段BC 边上的点，若2,3AD BD CD ===，求ABC 的面积..12．（云南省保山市、文山州2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2cos 0b A a B c A ++=．(1)求角A 的大小；(2)若BC 边上的中线23AD =，且ABC S = ABC 的周长．2π由(1)有：2π3A =，所以ABC S △由余弦定理知222a b c bc =++，即1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.（1）若a，b，求ABC的面积；（2）若sin A C=2，求C.六、高考真题衔接2．（2022年全国新高考II 卷数学试题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知12313S S S B -+==．(1)求ABC 的面积；(2)若sin sin 3A C =，求b ．3．（2021年全国新高考II 卷数学试题）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.．（1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．4．（2022年北京市高考数学试题）在ABC 中，sin 2C C =．(1)求C ∠；(2)若6b =，且ABC 的面积为ABC 的周长．25．（2022年浙江省高考数学试题）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知4,cos 5a C ==．(1)求sin A 的值；(2)若11b =，求ABC 的面积．。

微考点：正余弦定理在平面几何中的应用

微考点：正余弦定理在平面几何中的应用【必备知识】1．正弦定理：如图所示，在ABC ∆中，A asin ＝B b sin =Cc sin ＝R 2（其中R 为ABC ∆外接圆半径）． 2．余弦定理：222a b c =+-2cos bc A ；222b c a =+-2cos ca B ；222c a b =+-2cos ab C ．222cos 2b c a A bc +-=；222cos 2c a b B ca +-=；222cos 2a b c C ab+-=．3．面积公式：111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ca B ∆===．4．余弦定理的正弦形式：将2sin a R A =，2sin B R B =，2sin c R C =代入余弦定理，得①222sin sin sin A B C ＝＋－2sin sin cos B C A ； ②222sin sin sin B A C ＝＋－2sin sin cos A C B ；③222sin sin sin C A B ＝＋－2sin sin cos A B C ．【考题示例】技巧一：几何量转化到同一个三角形中利用正余弦定理【例1】（1）【2016年全国卷Ⅲ】在ABC △中，π4B ，BC 边上的高等于13BC ,则sin A （） A ．310B ．1010C ．55D ．31010（2）如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，BD 的垂直平分线过点A ，且满足2CD AB =，25cos 5CAD ∠=，则ADC ∠的大小为＿＿＿＿＿＿．【思维导图】（1）【在ACD ∆中用AD 表示CD →用AD 表示结合勾股定理表示AC →在ABC ∆中利用正弦定理求sin A ；（2）由条件确定出,CD AD 间的比例关系→利用同角三角函数关系求得sin CAD ∠→在ACD ∆中，利用正弦定理求得ADC ∠．【解析】（1）设BC 边上的高线为AD ，则3,2BC AD DC AD ==，所以225AC AD DC AD =+．由正弦定理，知sin sin AC BCB A =，53sin 22AD AD A =，解得310sin 10A =，故选D ．（2）∵BD 的垂直平分线过点A ，∴AB AD =，则22CD AD ==，∴2CDAD=ACD ∆中，()0,CAD ∠π∈，25cos 5CAD ∠=，∴5sin 5CAD ∠=．在ACD ∆中，由正弦定理，sin sin CDDCA A C DD A =∠∠得，∴sin 10sin 10AD DCA DCA CD ∠∠==．∵DCA CAD ∠<∠，∴DCA ∠为锐角，∴310cos 10DCA ∠=，则()2cos cos 2ADC ACD CAD ∠=-∠+∠=-，∴34ADC π∠=．【方法提炼】此类题型主要是将所求几何量与已知的几何量集中某个三角形中，如果这些几何量比较散时，则须通过利用相关的知识和方法将上述几何量转移到同一个三角形中，然后选择正弦定理或余弦定理进行计算．【变式训练】1．如图，在ABC ∆中，点D 在AC 边上，且3AD DC =，7AB =，3ADB π∠=，6C π∠=，则DC 的值为＿＿＿＿＿＿．1．【解析】由题意，知366DBC ADB C πππ∠=∠-∠=-=，故DBC C ∠=∠，DB DC =．设DC x =，则DB x =，3DA x =．在ADB ∆中，由余弦定理2222cos AB DA DB DA DB ADB =+-⋅⋅∠，即()2221732372x x x x x =+-⋅⋅⋅=，解得1x =，1DC =． 2．如图，在ABC ∆中，D 是AB 边上的点，且满足3AD BD =，2AD AC BD BC +=+=，2CD =，则cos A =（）A ．13 B 2 C ．14D ．02．D 【解析】设,BD x =则3AD x =，23,2AC x BC x =-=-，易知cos cos ADC BDC ∠=-∠，由余弦定理可得222292232222322x x x x xx+--+--=⨯⨯⨯⨯，解得13x =，故1,1AD AC ==,222cos 02AD AC CD A AD AC+-∴==⨯⨯，故选D ． 3．如图，在直角ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，4BC =，P 是ABC ∆内的一点，满足PB PC ⊥，PB PC =，则PA =＿＿＿＿＿＿．3．25【解析】由PB PC ⊥，PB PC =，知PBC ∆为等腰直角三角形，则由4BC =，得4PCB π∠=，2PC =．又90ACB ∠=︒，∴4PCA π∠=，于是在PAC ∆中，由余弦定理得2222cos 20PA AC PC AC PC PCA =-⋅∠=＋，∴52PA =.技巧二：从一个三角形到另一个三角形先后利用正余弦定理【例2】【2018年全国新课标I 卷】在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=︒，45A ∠=︒，2AB =，5BD =．（1）求cos ADB ∠；（2）若22DC =，求BC ．【思路导图】（1）在ABD ∆根据正弦定理直接求得sin ABD ∠→利用同角三角函数基本关系求cos ADB ∠；（2）根据（1）的结论，利用角互余求得cos BDC ∠→在BCD ∆中利用余弦定理求BC ．【解析】（1）在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠．由题设知，52sin 45sin ADB=︒∠，所以2sin 5ADB ∠=. 由题设知，90ADB ∠<︒，所以23cos 5ADB ∠=. （2）由题设及（1）知，2cos sin 5BDC ADB ∠=∠=．在BCD ∆中，由余弦定理得22222cos 2582522255BC BD DC BD DC BDC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，所以5BC =．【方法提炼】此类题型根据已知平面图形中的几何量与所求量的分布规律，不可能在同一个三角形中求得所求量时，考虑从已知几何量比较集中的三角形开始，首先求得相关几何量后，再转移到另一个涉及到所求几何量的三角形中进行求解．【变式训练】1．如图，在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知24c b ==，2cos c C b =，,AD AE 分别是BAC ∠的中线与角平分线，则AD =＿＿＿＿＿＿．1．【解析】因为24c b ==，所以1cos 24b Cc ==．在ABC ∆中由余弦定理得22224161cos 244a b c a C ab a +-+-===，所以4a =，即4BC =，∴在ACD ∆中，2CD =，2AC =，又余弦定理，得2222cos 6AD AC CD AC CD ACD =+-⋅⋅∠=，所以6AD =．2．如图，在ABC ∆中，点D 在边BC 上，4sin 5ACB ∠=，72AC =，2cos 10ADB ∠=-，若ABD∆的面积为7，则AB =＿＿＿＿＿＿．2．37【解析】在ADC ∆中由正弦定理，得()sin sin sin sin sin sin AC C AC ACB AC ACBAD ADC ADB ADBπ⋅∠⋅∠⋅∠===∠-∠∠＝222cos ADB ∠=，∴72sin ADB ∠=，于是由1sin 72ABD S AD BD ADB ∆=⋅∠=，解得5BD =．在ADB ∆中，由余弦定理得222cos 37AB AD BD AD BD ADB +-⋅⋅∠=3．在ABC ∆中， 6AB =，3B π=，D 是BC 边上一点，且36AD =23CD =AC 的长为＿＿＿＿＿＿．3．102【解析】在ABC ∆中由正弦定理得sin sin AB ADADB B=∠∠，∴2sin ADB ∠=，又∵()0,ADB π∠∈，∴344ADB ππ∠=或．∵AD AB >，∴B ADB ∠>∠，∴4ADB π∠=，∴34ADC π∠=，于是在ACD ∆中，由余弦定理可知2222cos 102AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠=，∴102AC =技巧三：在两个三角形中同时利用正余弦定理【例3】如图，四边形ABCD 中，ABD ∆、BCD ∆分别是以AD BD 和为底的等腰三角形，其中1AD =，4BC =，ADB CDB ∠=∠，则AC =_________．【思维导图】设BD x =→分别在ABD ∆与BCD ∆中同时利用余弦定理用x 分别表示出ADB ∠，CDB ∠的余弦值→利用这两个角的关系建立方程进行求解．【解析】设BD x =，则AB x =．在ABD ∆中，由余弦定理得22211cos 22x x ADB x x +-∠==．在BCD ∆中，由余弦定理得 22244cos 248x xCDB x +-∠==⋅⋅．∵ADB CDB ∠=∠，∴cos cos ADB CDB ∠=∠，即128xx =，解得2x =，即2BD =．【方法提炼】此类题型通常是平面图形中已知几何量比较均衡分布在两个三角形中，同时所求几何题通常是这两个三角形的公共边或公共角，解答时通常是在两个三角形中利用正弦定理或余弦定理，建立方程进行求解．【变式训练】1．如图，已知ABC ∆中，2A π=，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，点D 在边BC 上， 1AD =，且2,2BD DC BAD DAC =∠=∠，则sin sin BC=__________．1．3【解析】在ABC ∆中，由,22A BAD DAC π=∠=∠，可得,36BAD DAC ππ∠=∠=．设DC x =，则2BD x =，在DAC ∆中，由正弦定理得sin sin AD CDC DAC=∠，所以sin 1sin 2AD DAC C CD x ⋅∠==；在DAB ∆中，由正弦定理得sin sin AD BDB DAB=∠，所以sin 3sin 4AD DAB B BD x ⋅∠==，故3sin 341sin 22B x C x==．2．如图，在四边形ACBD 中，1cos 7CAD ∠=-，且ABC ∆为正三角形，4CD =，3BD =，求ABD ∆周长为＿＿＿＿＿＿．2．273+【解析】因为1cos 7CAD ∠=-，所以43sin 7CAD ∠=，所以cos BAD ∠cos 3CAD π⎛⎫=∠- ⎪⎝⎭cos cos sin sin 33CAD CAD ππ=∠+∠1114=．设AB AC BC x ===，AD y =，在ACD ∆和ABD ∆中由余弦定理得2222222 2AC AD AC ADcos CAD CD AB AD AB ADcos BAD BD+-⋅∠=+-⋅∠=⎧⎨⎩，代入得222221671137x y xy x y xy ⎧++=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，解得7 7x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或7 7x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩（舍），即7AB AD ==，故ABD ∆周长为273+．【巩固练习】1．如图，ABC ∆是等边三角形，点D 在边BC 的延长线上，且2,7BC CD AD ==，则sin BAD ∠的值为＿＿＿＿＿＿．1．321【解析】因为ABC ∆是等边三角形，且2BC CD =，所以2,120AC CD ACD =∠=︒．在ACD ∆中，由余弦定理得2222cos AD AC CD AC CD ACD=+-⋅∠，所以22744cos120CD CD CD CD =+-⋅︒，解得1CD =，∴33BD CD ==．在ABC ∆中，由正弦定理，得sin sin BD ADBAD B =∠∠，所以sin 3321sin 3147BD B BAD AD ∠∠===.2．如图，在ABC ∆中，线段AB 上的点D 满足33AB AD AC ==，3CB CD =，则sin sin2AB=__________．2．97【解析】设AC x CD y ==，，则33AB x BC y ==，，∴在ACD ∆中，由余弦定理，得222222992*2*cos 3*x x y x x y x x x A x+-+-==，化简得2232x y =，sin22sin cos sin sin B B BA A=222992**32*3*x x x y y x x +-=＝2228927x y y +=8317*27239+=，故sin 9sin27A B =．3．在ABC ∆中，30B ∠=︒，5AC =，D 是AB 边上一点，2CD =，ACD ∆的面积为2，ACD ∠为锐角，则BC =__________．3．【解析】由题意，利用面积公式得152sin 22ACDSACD =∠=，解得sin 5ACD ∠=，∴ 5os c ACD ∠=，由余弦定理得到5AD =，由正弦定理,254sin sin 5A A =⇒=．又因为sin sin BC ACA B=，sin 85sin AC A BC B ==． 4．如图，ACD ∆是等边三角形，ABC ∆是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，BD 交AC 于,2E AB =，则AE =＿＿＿＿＿＿． 4．62【解析】因为9060150BCD ∠=︒+︒=︒，CB AC CD ==，所以15CBE ∠=︒，所以()62cos cos 4530CBE +∠=︒-︒=.在ABE∆中，2AB =，由正弦定理()()2sin 4515sin 9015AE =︒-︒︒+︒，故122sin30262cos15624AE ⨯︒===︒+5．如图，在ABC ∆中，内角,,A B C 对应的边为,,a b c ，60A =︒，D 是边BC 的中点，记sin sin ABD m BAD ∠=∠，则当m 取得最大值时，tan ACD ∠的值等于＿＿＿＿＿＿．5．3【解析】在ABC ∆中，由余弦定理，得222222cos60a b c bc b c bc bc =+-︒=+-≥．又D 是边BC的中点，∴()12AD AB AC =+,所以()22214AD b c bc =++，则在ABD ∆中，由正弦定理，得2sin sin AD ADABD t BAD BD BC ∠===∠，所以2222222223AD b c bc bc a t BC a a ⎛⎫+++===≤ ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当b c =时取等号，此时，ABC ∆为正三角形，所以当t 取最大值时，tan 3ACD ∠=． 6．如图，在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，()sin 2sin A A B =+，且57sin 16B =．若D 是BC 边上的一点，3cos 4ADB ∠=，则BD DC的值为＿＿＿＿＿＿．．6．【解析】（1）因为()sin 2sin 2sin A A B C =+=，所以由正弦定理得2a c =，又因为3cos 4ADB ∠=，所以7sin ADB ∠=ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AD AB B ADB =∠，所以54AD c =．又由由余弦定理得2225532444c c c BD BD ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，所以32BD c =或38c ．因为D 是BC 边上的一点，且由图知32BD c =，因为2a c =，所以12CD c =，所以3BDDC=． 7．在梯形ABCD 中，AB CD ，2CD =，120ADC ∠=︒，57cos CAD ∠=．（1）求AC 的长；（2）求梯形ABCD 的高．7．【解析】（1）在ACD 中，∵57cos CAD ∠=，∴21sin CAD ∠=由正弦定理得sin sin AC CDADC CAD=∠∠，即32sin 227sin 2114CD ADC AC CAD ⨯∠===∠．（2）在ACD ∆中，由余弦定理得：2222cos120AC AD CD AD CD =+⋅⋅⋅︒，整理得22240AD AD +-=解得4AD =．过点D 作DE AB ⊥于E ，则DE 为梯形ABCD 的高． ∵ABCD ，120ADC ∠=︒，∴60BAD ∠=︒．在直角ADE 中，sin6023DE AD =⋅︒=，即梯形ABCD 的高为23． 8．如图所示，在ABC ∆中，M 是AC 的中点，,23C AM π∠==．（1）若4A π∠=，求AB ；（2）若7BM ABC =∆，求的面积S ．8．【解析】（1）由题意得,在中，由正弦定理得，.（2）在中，由余弦定理得,,解得3BC =或1BC =-（舍去）。

正余弦定理知识点+经典题(有答案)

正余弦定理1.定理内容：（1）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即2sin sin sin a b cR A B C=== （2）余弦定理：三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍。

即：2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+-（3）面积定理：111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ∆=== 2.利用正余弦定理解三角形：（1）已知一边和两角：（2）已知两边和其中一边的对角：（3）已知两边和它们所夹的角：（4）已知三边：正弦定理1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )D ．262．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 63．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )A ．1 C ．26．在△ABC 中，若cos A cos B ＝ba ，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )或 3 或328．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )B ．29．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________. 10．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________.11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝________，c ＝________.14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝________.15．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________. 16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．17．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A2，求A 、B 及b 、c .19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．余弦定理1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于( )A ．6B ．2 6C ．3 6D ．46 2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于( )D ．2 3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( )A ．60°B ．45°C ．120°D ．150°4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( )或5π6 或2π35．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( )A ．aB ．bC ．cD ．以上均不对6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定7．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4 8．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( )B ．2 3 或2 3 D ．29．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________． 10．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．11．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________． 12．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________.13．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.14．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →的值为________．15．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，则角C ＝________. 16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________． 17．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．18．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π4)的值．20．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．正弦定理1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )D ．26解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin Bsin A ＝ 6. 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6解析：选＝45°，由正弦定理得b ＝a sin Bsin A ＝4 6.3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝22，又∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝45°. 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )A ．1 C ．2解析：选＝180°－105°－45°＝30°，由b sin B ＝c sin C 得c ＝2×sin 30°sin45°＝1.6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝ba ，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ，∴cos A cos B ＝sin Bsin A ， sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2.7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )或 3 或32解析：选＝AC sin B ，求出sin C ＝32，∵AB ＞AC ，∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或120°，∴∠A ＝90°或30°.再由S △ABC ＝12AB ·AC sin A 可求面积．8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )B ．2解析：选D.由正弦定理得6sin120°＝2sin C ，∴sin C ＝12.又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°， △ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________.解析：由正弦定理得：a sin A ＝csin C ，所以sin A ＝a ·sin C c ＝12.又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝π3，∴A ＝π6.答案：π610．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________.解析：由正弦定理得a sin A ＝bsin B⇒sin B ＝b sin A a ＝4×12433＝32.答案：3211．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，由a sin A ＝b sin B 得，a ＝12×sin30°sin120°＝43，∴a ＋c ＝8 3. 答案：8312．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ，代入式子a ＝2b cos C ，得 2R sin A ＝2·2R ·sin B ·cos C ，所以sin A ＝2sin B ·cos C ，即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ，化简，整理，得sin(B －C )＝0. ∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°， ∴－180°＜B －C ＜180°， ∴B －C ＝0°，B ＝C . 答案：等腰三角形13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，C=30°则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝________，c ＝________.解析：由正弦定理得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝a sin A ＝63sin60°＝12，又S △ABC ＝12bc sin A ，∴12×12×sin60°×c ＝183，∴c ＝6.答案：12 614．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝________.解析：由∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3得，∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°，∴2R ＝a sin A ＝1sin30°＝2，又∵a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，∴a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝2R sin A －2sin B ＋sin Csin A －2sin B ＋sin C ＝2R ＝2. 答案：215．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析：依题意，sin C ＝223，S △ABC ＝12ab sin C ＝43，解得b ＝2 3. 答案：2316．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．解析：∵b sin C ＝43×12＝23且c ＝2， ∴c <b sin C ，∴此三角形无解．答案：0 17．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少解：在△ABC 中，BC ＝40×12＝20， ∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°，所以∠A ＝180°－(30°＋105°)＝45°，由正弦定理得AC ＝BC ·sin ∠ABC sin A ＝20sin30°sin45°＝102(km)．即货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是10 2 km.18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A2，求A 、B 及b 、c .解：由sin C 2cos C 2＝14，得sin C ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π6或C ＝5π6.由sin B sin C ＝cos 2A2，得sin B sin C ＝12[1－cos(B ＋C )]，即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )，即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得 cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝π6，B ＝C ＝5π6(舍去)，A ＝π－(B ＋C )＝2π3.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得b ＝c ＝a sin Bsin A ＝23×1232＝2.故A ＝2π3，B ＝π6，b ＝c ＝2.19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．解：(1)∵A 、B 为锐角，sin B ＝1010，∴cos B ＝1－sin 2B ＝31010.又cos 2A ＝1－2sin 2A ＝35，∴sin A ＝55，cos A ＝255， ∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝255×31010－55×1010＝22.又0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝π4.(2)由(1)知，C ＝3π4，∴sin C ＝22.由正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C 得5a ＝10b ＝2c ，即a ＝2b ，c ＝5b .∵a －b ＝2－1，∴2b －b ＝2－1，∴b ＝1. ∴a ＝2，c ＝ 5.20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．解：由S ＝12ab sin C 得，153＝12×603×sin C ，∴sin C ＝12，∴∠C ＝30°或150°. 又sin B ＝sin C ，故∠B ＝∠C .当∠C ＝30°时，∠B ＝30°，∠A ＝120°.又∵ab ＝603，a sin A ＝bsin B ，∴b ＝215. 当∠C ＝150°时，∠B ＝150°(舍去)．故边b 的长为215.余弦定理1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于( )A ．6B ．26C ．3 6D ．46 解析：选A.由余弦定理，得 AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B＝ 42＋62－2×4×6×13＝6.2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于( ) D ．2解析：选B.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋(3－1)2－2×2×(3－1)cos30° ＝2， ∴c ＝ 2.3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( ) A ．60° B ．45° C ．120° D ．150°解析：选∠A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32， ∵0°＜∠A ＜180°，∴∠A ＝150°. 4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( ) 或5π6 或2π3解析：选D.由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，联想到余弦定理，代入得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32·1tan B ＝32·cos B sin B .显然∠B ≠π2，∴sin B ＝32.∴∠B ＝π3或2π3.5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( ) A ．a B ．b C ．c D ．以上均不对解析：选·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝2c 22c ＝c .6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定解析：选A.设三边长分别为a ，b ，c 且a 2＋b 2＝c 2. 设增加的长度为m ，则c ＋m ＞a ＋m ，c ＋m ＞b ＋m ，又(a ＋m )2＋(b ＋m )2＝a 2＋b 2＋2(a ＋b )m ＋2m 2＞c 2＋2cm ＋m 2＝(c ＋m )2， ∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．7．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4解析：选△ABC ＝3＝12|AB →|·|AC →|·sin A ＝12×4×1×sin A ，∴sin A ＝32，又∵△ABC 为锐角三角形，∴cos A ＝12，∴AB →·AC →＝4×1×12＝2.8．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( ) B ．23 或2 3 D ．2解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即3＝a 2＋9－33a ， ∴a 2－33a ＋6＝0，解得a ＝3或2 3.9．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．解析：∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3. 在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B＝ 1＋4－2×1×2×12＝ 3. 答案：310．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．解：∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10， ∴a ∶b ∶c ＝(3－1)∶(3＋1)∶10.设a ＝(3－1)k ，b ＝(3＋1)k ，c ＝10k (k ＞0)， ∴c 边最长，即角C 最大．由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°. 11．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________．解析：S ＝12ab sin C ，sin C ＝32，∴C ＝60°或120°.∴cos C ＝±12，又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴c 2＝21或61，∴c ＝21或61. 答案：21或6112．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________. 解析：由正弦定理a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，设a ＝2k (k ＞0)，则b ＝3k ，c ＝4k ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2k 2＋4k 2－3k 22×2k ×4k＝1116，同理可得：cos A ＝78，cos C ＝－14，∴cos A ∶cos B ∶cos C ＝14∶11∶(－4)．答案：14∶11∶(－4)13．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析：∵cos C ＝13，∴sin C ＝223.又S △ABC ＝12ab sin C ＝43，即12·b ·32·223＝43，∴b ＝2 3.答案：2314．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →的值为________．解析：在△ABC 中，cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝49＋25－362×7×5＝1935，∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝7×5×(－1935)＝－19.答案：－1915．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，则角C ＝________. 解析：12ab sin C ＝S ＝a 2＋b 2－c 24＝a 2＋b 2－c 22ab ·ab 2 ＝12ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1，∴C ＝45°.答案：45°16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．解析：设三边长为k －1，k ，k ＋1(k ≥2，k ∈N )，则⎩⎪⎨⎪⎧ k 2＋k －12－k ＋12＜0k ＋k －1＞k ＋1⇒2＜k ＜4，∴k ＝3，故三边长分别为2,3,4，∴最小角的余弦值为32＋42－222×3×4＝78.答案：7817．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B )＝1，∴cos(π－C )＝12，即cos C ＝－12.又∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2. ∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝a 2＋b 2－2ab (－12)＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab＝(23)2－2＝10，∴AB ＝10. 18．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．解：(1)由题意及正弦定理得 AB ＋BC ＋AC ＝2＋1，BC ＋AC ＝2AB ，两式相减，得AB ＝1.(2)由△ABC 的面积12BC ·AC ·sin C ＝16sin C ，得BC ·AC ＝13，由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC＝AC ＋BC 2－2AC ·BC －AB 22AC ·BC＝12，所以C ＝60°.19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值； (2)求sin(2A －π4)的值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BC sin A ，得AB ＝sin C sin A BC ＝2BC ＝2 5.(2)在△ABC 中，根据余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝255，于是sin A ＝1－cos 2A ＝55.从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝45，cos 2A ＝cos 2 A －sin 2 A ＝35.所以sin(2A －π4)＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝210.20．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．解：由正弦定理，得sin C sin B ＝c b .由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c 2b .又根据余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc ，即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a ＝b .又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，所以(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以4b 2－c 2＝3b 2，所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c ，因此△ABC 为等边三角形．。

第8讲正弦定理和余弦定理

第8讲正弦定理和余弦定理【知识梳理】二.三角形面积公式（1）12ABC S ∆=⋅⋅底高（2）S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r(其中R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .三.三角形中常用结论（1）三个内角和为180，即A B C π++=（2）sin()A B += ，cos()A B += ， tan()A B += ，（3）sin2A B += ，cos 2A B+= ；（4）在三角形中，大角对大边，大边对大角，大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即：sin sin A B a b A B >⇔>⇔> （5）在锐角三角形中，A B B A B A cos sin cos sin 2或⇔+π（6）在AB C ∆中，⇔+⇔=+222222a c b C c b a 是直角； ; ⇔+222c b a .四．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则【典型例题】考点一利用正、余弦定理解三角形【例1】在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°.求角A，C和边c.【例2】在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cos Bcos C＝－b2a＋c.(1)求角B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．1. (2011·北京)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________；a ＝________.2、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3. (1)求△ABC 的面积； (2)若b ＋c ＝6，求a 的值.3.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且cos B ＝45，b ＝2. (1)当A ＝30°时，求a 的值；(2)当△ABC 的面积为3时，求a ＋c 的值．考点二利用正、余弦定理判断三角形形状【例3】在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，试判断△ABC 的形状．1、在△ABC中，若acos A＝bcos B＝ccos C；则△ABC是()．A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形2．在ABC中,已知a2tanB=b2tanA,试判断这个三角形的形状.考点三正、余弦定理的综合应用【例4】如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=5，AC=9，∠BCA=300，∠ADB=450，求BD的长。

正弦余弦定理三角形面积公式

正弦余弦定理三角形面积公式好的，以下是为您生成的文章：在我们学习数学的奇妙旅程中，有两个非常重要的小伙伴，那就是正弦定理和余弦定理，还有它们与三角形面积公式之间千丝万缕的联系。

这可真是个有趣又实用的知识宝藏！先来说说正弦定理。

正弦定理就像是一个神奇的魔法棒，它告诉我们在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比值是相等的。

这听起来有点抽象，但是咱们来举个例子就好懂多啦。

记得有一次，我和朋友一起去公园散步。

公园的地形有点复杂，有一个三角形的花坛。

我们好奇地想要知道这个花坛三条边的长度。

这时候，正弦定理就派上用场啦！我们先测量出了其中两个角的大小，然后通过正弦定理，很快就计算出了三条边的相对比例，进而估算出了边的长度。

那种解开谜题的成就感，简直太棒了！接下来是余弦定理。

余弦定理能帮助我们通过三角形的三条边来求出角的大小，或者通过两条边和它们的夹角来求出第三条边的长度。

再说说三角形的面积公式。

大家都知道常见的三角形面积公式是底乘以高除以 2，但是当我们只知道三角形的边和角的时候，正弦定理和余弦定理就能帮助我们推导出新的面积公式。

比如说，通过正弦定理可以得到一个面积公式是 S = 1/2 * ab * sinC，这里的 a、b 是两条边，C 是它们的夹角。

在实际生活中，这些知识的用处可大了。

比如说建筑工人在建造房屋的时候，需要计算三角形结构的稳定性和面积，就得用到这些定理和公式；工程师设计桥梁的时候，也得依靠它们来确保桥梁的结构合理。

学习正弦余弦定理和三角形面积公式，就像是在探索一个神秘的宝藏，每一次的运用都是一次惊喜的发现。

它们不仅能帮助我们解决数学问题，还能让我们更好地理解这个丰富多彩的世界。

所以呀，同学们，可别小瞧了这些看似枯燥的定理和公式，它们可是有着大能量呢！只要我们用心去学习、去探索，就能在数学的海洋里畅游，发现更多的精彩！。

正弦定理和余弦定理所有公式

正弦定理和余弦定理所有公式在三角形学中，正弦定理和余弦定理是两个基本的定理，它们分别描述了三角形中角和边之间的关系。

这篇文章将介绍正弦定理和余弦定理的所有公式及其应用。

正弦定理正弦定理描述三角形中任意一角的正弦值与相对边长之间的关系。

具体公式如下：sinA/a = sinB/b = sinC/c其中A、B、C分别为三角形的三个角度，a、b、c分别为相应的边长。

应用：1. 计算三角形的边长：已知一角及其对边，以及另外两边，可以通过正弦定理求解第三边。

2. 判断三角形的形态：如果正弦定理中最大的sin对应最长的边，则三角形为锐角三角形；如果最大的sin对应最短边，则三角形为钝角三角形；如果三边长度关系为c2=a2+b2，则三角形为直角三角形。

3. 计算三角形的面积：三角形的面积可以通过正弦定理和海龙公式求解，其中海龙公式为s=(a+b+c)/2，S=sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))。

余弦定理余弦定理描述三角形中任意一角的余弦值与相对边长之间的关系。

具体公式如下：a² = b² + c² - 2bcCosA b² = a² + c² - 2acCosB c² = a² + b² - 2abCosC应用：1. 计算三角形的边长：已知三角形中一个角度和另外两边的长度，可以通过余弦定理求解剩余一边的长度。

2. 判断三角形的形态：如果余弦定理中最大的Cos对应最大的边，则三角形为钝角三角形；如果最大的Cos对应最短的边，则三角形为锐角三角形；如果三边长度关系为c2=a2+b2，则三角形为直角三角形。

3. 计算三角形的面积：三角形的面积可以通过余弦定理和海龙公式求解，其中海龙公式为s=(a+b+c)/2，S=sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))。

练习题：1. 已知三角形ABC的边长分别为a=8, b=10, c=12，求角A的正弦值和余弦值。

第8讲正弦定理余弦定理面积公式教师

第8讲正弦定理余弦定理面积公式教师一、正弦定理正弦定理是三角形中一个非常重要的定理，它表达了三角形中各边与其对应角的正弦值之间的关系。

正弦定理可以表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，a、b、c分别是三角形ABC的边长，A、B、C分别是与这些边对应的角。

二、余弦定理余弦定理是另一个关于三角形的定理，它表达了三角形中各边与其对应角的余弦值之间的关系。

余弦定理可以表示为：c^2 = a^2 + b^2 2abcosC其中，a、b、c分别是三角形ABC的边长，C是与边c对应的角。

三、面积公式三角形的面积可以通过多种方式计算，其中一种常用的方法是利用海伦公式。

海伦公式可以表示为：Area = √[s(sa)(sb)(sc)]其中，s是三角形的半周长，s = (a + b + c) / 2。

四、教学目标1. 让学生掌握正弦定理和余弦定理的基本概念和公式。

2. 培养学生运用正弦定理和余弦定理解决实际问题的能力。

3. 让学生了解三角形面积的计算方法，并能够灵活运用。

五、教学方法1. 讲授法：通过讲解正弦定理、余弦定理和面积公式的概念和推导过程，帮助学生理解这些定理和公式的原理。

2. 示例法：通过列举具体的例子，展示如何运用正弦定理、余弦定理和面积公式解决实际问题。

3. 练习法：布置相关的练习题，让学生独立思考和解决问题，巩固所学知识。

六、教学评价1. 课堂提问：通过提问的方式，检查学生对正弦定理、余弦定理和面积公式的理解和掌握程度。

2. 练习题：通过批改练习题，了解学生对这些定理和公式的应用能力。

3. 测试：通过进行测试，全面评估学生对正弦定理、余弦定理和面积公式的掌握情况。

第8讲正弦定理余弦定理面积公式教师七、教学资源1. 教学PPT：制作包含正弦定理、余弦定理和面积公式概念、公式推导及应用例题的PPT，以便于课堂讲解和学生课后复习。

2. 教学视频：录制正弦定理、余弦定理和面积公式的讲解视频，帮助学生更好地理解这些定理和公式的原理。

模型31 正、余弦定理与正弦面积公式(解析版)

模型介绍正弦定理：三角形ABC的三边长分别为a、b、c，其分别对应∠A、∠B、∠C；则有余弦定理：在△ABC中，余弦定理可以表示为：a2＝b2+c2﹣2bc cos∠Ab2＝a2+c2﹣2ac cos∠Bc2＝a2+b2﹣2ab cos∠C．正弦面积公式：S△ABC＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B例题精讲【例1】．如图，∠XOY＝45°，一把直角三角尺△ABC的两个顶点A、B分别在OX，OY上移动，其中AB＝10，则点O到顶点A的距离的最大值为10，点O到AB的距离的最大值为5+5．解：作△OAB的外接圆，如图，∵＝，∴当∠ABO＝90°，△ABO是等腰直角三角形时，点O到顶点A的距离最大．则OA＝AB＝10．点O到AB的距离的最大值为5+5．故答案是：10，5+5．变式训练【变式1-1】．以O为圆心，1为半径作圆．△ABC为⊙O的内接正三角形，P为弧AC的三等分点，则PA2+PB2+PC2的值为6．解：∵以O为圆心，1为半径作圆，△ABC为⊙O的内接正三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝60°，AB＝AC＝BC＝，∴∠APB＝∠ACB＝60°，∠BPC＝∠BAC＝60°，∵P为弧AC的三等分点，∴∠ABP＝∠ABC＝20°，∴∠PBC＝40°，∴∠PAC＝∠PBC＝40°，∴∠PAB＝∠BAC+∠PAC＝100°，∵，，∴，，∵＝2，∴PA＝2sin20°，PB＝2sin100°，PC＝2sin40°，∴PA2+PB2+PC2＝4[sin220+sin280+sin240]＝4[++]＝4[﹣cos（60°﹣20°）+cos20°﹣cos（60°+20°）]＝6．故答案为：6．【变式1-2】．如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？解：由题意知AB＝5（3+）海里，∠DBA＝90°﹣60°＝30°，∠DAB＝45°，∴∠ADB＝105°，在△DAB中，由正弦定理得，∴DB＝，＝，＝，＝，＝10（海里），又∠DBC＝∠DBA+∠ABC＝30°+（90°﹣60°）＝60°，BC＝20海里，在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2+BC2﹣2BD•BC•cos∠DBC＝300+1200﹣2×10×20×＝900，∴CD＝30（海里），则需要的时间t＝＝1（小时）．答：救援船到达D点需要1小时．【例2】．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足为D，BD＝3，CD＝2，求AD 的长．解：设AD＝x（x＞0）．∵AD⊥BC于D，BD＝3，CD＝2，∴AC＝，AB＝；又∵在△ABC中，∠BAC＝45°，∴BC2＝AC2+AB2﹣2AC•AB cos45°，即25＝x2+4+x2+9﹣2••，解得x＝6，∴AD＝6．变式训练【变式2-1】．在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝26，AD＝30，AC，BD交于点O，∠AOB＝60°．求S四边形ABCD＝506．解：设BO＝x，AO＝y，CO＝a，DO＝b，由余弦定理，得．由（③+④）﹣（①+②）得：ax+by+ab+xy＝2024．＝xy sin60°+ax sin120°+ab sin60°+by sin60°＝所以S四边形ABCDxy+ax+ab+by＝（ax+by+ab+xy），所以．故答案是：506．【变式2-2】．如图，圆内接四边形ABCD中，AC平分BD，AC＝，求AB2+BC2+CD2+AD2的值．解：∵，．∵AC平分BD，∴BP＝DP，＝S△ADC，∴S△ABC∴．∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴sin∠ADC＝sin∠ABC，cos∠ADC+cos∠ABC＝0，∴AB•BC＝AD•CD，∴，即AB2+BC2+AD2+CD2＝10．1．若△ABC的三个内角满足sin A：sin B：sin C＝5：11：13，则△ABC（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形解：∵△ABC的三个内角满足sin A：sin B：sin C＝5：11：13，∴由正弦定理可设a＝5k，b＝11k，c＝13k，由余弦定理得：cos C＝＝＝﹣＜0，∴∠C是钝角，∴△ABC是钝角三角形，故选：C．2．如图，点D是△ABC的边BC上一点，如果AB＝AD＝2，AC＝4，且BD：DC＝2：3，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角三角形或直角三角形解：方法1：过A作AE垂直BC于E，令BD＝2xCD＝3x则BC＝5x，∵AB＝AD＝2，∴BE＝x，cos B＝，∴AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC cos B即16＝4+25x2﹣10x2，解得，x＝，∴△ABC用余弦定理BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC cos A即20＝4+16﹣16cos A，∴cos A＝0，∠A＝90°．方法2：过点D作AB平行线交AC于E，因此很容易得到DE：AB＝CE：CA＝CD：CB＝3：5，那么DE＝1.2；AD＝2，AE＝1.6，由勾股定理得△AED构成一个直角三角形，即△ABC是直角三角形故选：B．3．在△ABC中，∠B＝45°，AC＝2，则△ABC面积的最大值为（）A．2B．+1C．2D．解：∵∠B＝45°、AC＝2，∴由余弦定理cos B＝得：＝，∴ac＝a2+c2﹣4≥2ac﹣4，即（2﹣）ac≤4（当且仅当a＝c时取等号），∴ac≤＝2（2+）＝4+2，∴△ABC的面积S＝ac sin B≤（4+2）×＝1+，则△ABC的面积的最大值为1+，故选：B．4．△ABC中，，，BC＝2，设P为BC边上任一点，则（）A．PA2＜PB•PCB．PA2＝PB•PCC．PA2＞PB•PCD．PA2与PB•PC的大小关系并不确定解：如图，设BP＝x，PC＝2﹣x，在△ABC中，由余弦定理，有＝，在△ABP中，由余弦定理，有PA2＝AB2+BP2﹣2AB•BP cos B＝，∴PA2＝x2﹣5x+8，而PB•PC＝x（2﹣x）＝2x﹣x2，令y＝PA2﹣PB•PC＝x2﹣5x+8x+x2＝，∴PA2＞PB•PC．故选：C．5．圆内接四条边长顺次为5、10、11、14，则这个四边形的面积为（）A．78.5B．97.5C．90D．102解：设AB＝5，BC＝10，CD＝11，AD＝14，∵52+142＝102+112，∴BD2＝AB2+AD2＝BC2+CD2，∴∠A＝∠C＝90°，＝AB•AD+BC•CD＝5×7+5×11＝90．故选：C．∴S四边形6．如图，点1为单位正方形内一点，且AE＝BE＝AB，延长AE交CD于F，作FG⊥AB于点G，则EG的长度为（）A．B．C．D．解：如右图所示，∵AE＝BE＝AB，∴△ABE是等边三角形，∴∠EAB＝∠EBA＝∠AEB＝60°，又∵FG⊥AB，∴∠AGF＝90°，∴∠AFG＝30°，∴AF＝＝，∴EF＝AF﹣AE＝﹣1，在△EFG中，EG2＝EF2+FG2﹣2×EF×FG×cos30°＝，∴EG＝．（作EH⊥FG，求出EH，GH，利用勾股定理即可解决问题）故选：D．7．设△ABC的三边为a，b，c且（b+c）：（c+a）：（a+b）＝4：5：6，则sin A：sin B：sin C ＝7：5：3．解：由已知，设（k＞0），得b+c＝4k，c+a＝5k，a+b＝6k，三式相加，得a+b+c＝k，∴a＝k，b＝k，c＝k，∴sin A：sin B：sin C＝a：b：c＝7：5：3．8．已知在△ABC中，有一个角为60°，，周长为20，则三边长分别为5，7，8．解：在△ABC中，不妨设∠A＝60°．由题意，可得，，，解得a＝7，b＝5，c＝8或a＝7，b＝8，c＝5，所以，△ABC三边长分别为5，7，8．故答案为：5，7，8．9．已知直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝6，CA＝3，CD为∠C的角平分线，则CD＝．解：令CD＝x，由正弦定理可知：S△ABC＝9＝×3×x•sin45°+×6×x•sin45°，故x＝．故答案为：2．10．在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝3，CD＝2，那么AD的长是6．解：设AD＝x（x＞0）．∵AD⊥BC于D，BD＝3，CD＝2，∴AC＝，AB＝；又∵在△ABC中，∠BAC＝45°，∴BC2＝AC2+AB2﹣2AC•AB cos45°，即25＝x2+4+x2+9﹣2••，解得x＝6．故答案是：6．11．在△ABC中，∠C＝3∠A，AB＝48，BC＝27，则AC＝35．解：作CD交AB于D，使∠ACD＝∠A，由已知得∠BCD＝2∠A，又因∠BDC＝∠A+∠ACD＝2∠A，所以∠BCD＝∠BDC，BD＝CB＝27，CD＝AD＝AB﹣BD＝21，在△CBD和△ABC中，由余弦定理，得：，解得：AC＝35．故答案为：35．12．如图，在△ABC中，∠A＝45°，点D为AC中点，DE⊥AB于点E，BE＝BC，BD＝，则AC的长为4．解：设AE＝x（x＞0），BE＝BC＝y（y＞0），∵∠A＝45°，DE⊥AB，∴AE＝DE＝x，在Rt△BDE中，BD2＝BE2+DE2，即x2+y2＝87…①，在Rt△ADE中，AD＝＝x，又∵D为AC中点，∴AC＝2x，在△ABC中，由余弦定理得：BC2＝AB2+AC2﹣2AB×AC×cos A，即y2＝（x+y）2+8x2﹣2（x+y）×2x×，整理得：5x2﹣2xy＝0，解得：y＝x…②，将②代入①得：x＝2，∴AC＝2x＝4．故答案为：4．13．在△ABC中，AB＝2，BC＝a，∠C＝60°，如果对于a的每一个确定的值，都存在两个不全等的△ABC，那么a的取值范围是2＜a＜4．解：法一：由正弦定理得：＝，即＝，再sin A＝，由题意得：当60°＜∠A＜120°时，满足条件的△ABC有两个，所以＜＜1，解得2＜a＜4；法二：由题，对于a的每一个确定的值，都要存在两个不全等的△ABC，例如下图所示，在BC为定值时，存在两个不全等的△ABC与△A′BC，∴两个不全等的△ABC中其中一个是锐角三角形，其中一个是钝角三角形（∠CAB为钝角），①当△ABC为锐角三角形时，假设0°＜∠A＜60°，如下图所示，在图中无法以BC边为定值，再画出另一个不全等的△ABC，②当△ABC为锐角三角形时，假设∠A＝60°，如下图所示，△ABC为等边三角形，在图中也无法以BC边为定值，再画出另一个不全等的△ABC，∴综上，当△ABC为锐角三角形时，∠A必须满足：90°＞∠A＞60°，∵当∠A＝60°时，△ABC为等边三角形，此时BC＝2，∵当∠A＝90°时，△ABC为直角三角形，此时BC＝4，∴对于a的每一个确定的值，都要存在两个不全等的△ABC，则BC需满足：2＜BC ＜4，∴2＜a＜4；故答案为：2＜a＜4．14．在△ABC中，∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝，AC＝3，CD＝，求AB 的长．解：∵AD＝，AC＝3，CD＝，∴AC2＝32＝9，AD2＝3，CD2＝6，∴AC2＝AD2+CD2，∴∠ADC＝90°，∵∠B＝45°，∴AB＝AD＝•＝．15．如图，在Rt△ABC中，BC＝5，AC＝12，AB＝13，点D在AB上，点E在AC上，且DE平分△ABC的面积，求线段DE长度的最小值．＝＝30，sin A＝解：在Rt△ABC中，BC＝5，AC＝12，AB＝13，则S△ABC＝．∵DE平分△ABC的面积，＝S△ABC＝15．∴S△ADE令AD＝a，AE＝b，有：ab sin A＝15．故ab＝78．∴．故DE长度的最小值为．16．如图，在△ABC中，AD⊥直线BC，垂足为D，且AD＝BC＝a（a为常数），AC＝b，AB＝c，求最大值．解：由题意知bc sin A＝a•a，即bc sin A＝a2．又∵a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴b2+c2＝a2+2bc cos A，∴＝＝＝＝sin A+2cos A．又∵sin A+2cos A＝（sin A+cos A）＝sin（A+B）．∴最大值为．17．在△ABC中，cos A＝，cos B＝，cos C＝，我们称为余弦定理，请用余弦定理完成下面的问题．请用余弦定理完成下面的问题：（1）如图，已知△DEF，∠E＝60°，DE＝4，DF＝，求EF的长度；（2）通过合理的构造，试求cos105°．解：（1）由余弦定理，可得cos E＝，∵∠E＝60°，DE＝4，DF＝，∴＝，解得EF＝1或3；（2）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，AD⊥BC，AD＝1．∵在RT△ADC中，AD＝1．∴AC＝2，CD＝，∵在RT△ADB中，AD＝1，∴AB＝，BD＝1，∴在△ABC中，AB＝，AC＝2，BC＝+1，∠BAC＝180°﹣30°﹣45°＝105°，利用余弦定理可得cos105°＝＝＝．18．阅读：△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，△ABC的边角有如下性质：①正弦定理：＝＝②余弦定理：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c2＝a2+b2﹣2ab cos C．③S△ABC＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B请你根据上述结论求解下列问题：在锐角△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且2a sin B＝b．（1）求角A的大小；（2）若a＝6，b+c＝8，求△ABC的面积．解：（1）∵2a sin B＝b，利用正弦定理＝得：a sin B＝b sin A，∴2b sin A＝b，∵sin B≠0，∴sin A＝，又∵A为锐角，∴A＝；（2）由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc•cos A，即36＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝64﹣3bc，∴bc＝，又∵sin A＝，＝bc sin A＝．∴S△ABC19．△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB．（1）若∠A＝x°，∠BDC是y°，则y与x之间的函数关系式y＝x+45；（2）若△BDC三边的长是三个连续整数，求sin A；（3）在（2）的条件下求△ADC的面积．解：（1）∵AB＝AC，∠A＝x°，∴∠ACB＝∠B＝，又∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠ACB＝，∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝x°+＝，∴y＝x+45．故答案为y＝x+45；（2）∵∠BCD＝∠ACB＝＝45°﹣x°，∠BDC＝x°+45°，∠DBC ＝2∠BCD，∴∠BCD＜∠BDC，∠BCD＜∠DBC，∴△BCD中BD边最小．作∠ABC的平分线交CD于E．∵∠DBE＝∠ABC＝∠ACB＝∠DCB，∠BDE＝∠CDB，∴△BDE∽△CDB，∴BD：CD＝BE：BC＝DE：BD．（*）设BE＝CE＝z，则DE＝n+1﹣．下面分两种情况讨论BC与CD的关系：①当BC＞CD时，设BD、CD、BC分别为n，n+1，n+2，再设BE＝CE＝z，则DE＝n+1﹣z．将它们代入（*），得＝＝，由＝，得z＝，由＝，得n+1﹣z＝，两式相加，得n+1＝，解得n＝1．由三角形三边关系定理可知1，2，3不能组成三角形，所以BC＞CD不成立；②当BC＜CD时，设BD、BC、CD分别为n，n+1，n+2，再设BE＝CE＝z，则DE＝n+2﹣z．将它们代入（*），得＝＝，由＝，得z＝，由＝，得n+2﹣z＝，两式相加，得n+2＝，解得n1＝4，n2＝﹣1（不合题意，舍去），∴BD＝4，BC＝5，CD＝6．∵CD平分∠ACB，∴AD：BD＝AC：BC，∴AD：4＝AC：5，设AD＝4x，则AC＝5x，∵AB＝AC，∴4x+4＝5x，∴x＝4，∴AB＝AC＝20．在△ABC中，AB＝AC＝20，BC＝5，由余弦定理，得cos A＝＝，∴sin A＝＝；（3）△ADC的面积＝×16×20×＝15．20．如图：D是以AB为直径的圆O上任意一点，且不与点A、B重合，点C是弧BD的中点，作CE∥AB，交AD或其延长线于E，连接BE交AC与G，AE＝CE，过C作CM⊥AD交AD延长线于点M，MC与⊙O相切，CE＝7，CD＝6，求EG的长．解：连接OC，如图．∵MC与⊙O相切，∴OC⊥MC．∵CM⊥AD，∴OC∥AM．∵CE∥AB，∴四边形AOCE是平行四边形，∴OA＝CE＝7，∴AB＝14．∵点C是弧BD的中点，∴BC＝CD＝6．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC＝＝＝4．∵CE∥AB，∴△CGE∽△AGB，∴＝＝＝，∴AG＝AC＝．在Rt△ACB中，cos∠BAC＝＝＝．∵点C是弧BD的中点，∴∠BAC＝∠CAD，即∠BAC＝∠EAG，∴cos∠EAG＝．在△EAG中，cos∠EAG＝．∴＝．∵AG＝，AE＝CE＝7，∴＝．整理得：GE2＝．∵GE＞0，∴GE＝．∴EG的长为．。

正余弦定理与三角形面积公式

正余弦定理与三角形面积公式(2009-7-7 16:45:00)【收藏】【评论】【打印】【关闭】这两天在看代码时发现关于三角形的这些基本定理和公式很有用，所以从网上搜了下，主要有三角形的正弦定理，余弦定理，以及三角形面积公式（包括海伦公式）。

正弦定理（引自百度百科）Sine theorem在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。

即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R在同一个三角形中是恒量，是此三角形外接圆的半径的两倍）这一定理对于任意三角形ABC，都有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2RR为三角形外接圆半径证明步骤1.在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。

作CH⊥AB垂足为点HCH=a·sinBCH=b·sinA∴a·sinB=b·sinA得到a/sinA=b/sinB同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC步骤2.证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D.连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC＝c/sinD=BD=2R类似可证其余两个等式。

意义正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，又由正弦函数在区间上的单调性可知，正弦定理非常好的描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。

余弦定理余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

对于任意三角形三边为a,b,c 三角为A,B,C 满足性质(注：a*b、a*c就是a乘b、a乘c 。

a^2、b^2、c^2就是a的平方，b的平方，c的平方。

)a^2=b^2+c^2-2*b*c*Cos Ab^2=a^2+c^2-2*a*c*Cos Bc^2=a^2+b^2-2*a*b*Cos CCos C=(a^2+b^2-c^2)/2abCos B=(a^2+c^2-b^2)/2acCos A=(c^2+b^2-a^2)/2bc证明：∵如图，有a→+b→=c→∴c·c=(a+b)·(a+b)∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)整理得到c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ（注意：这里用到了三角函数公式）再拆开，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*Cos C同理可证其他，而下面的Cos C=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是将Cos C移到左边表示一下。

正余弦定理三角形一些公式

1 / 1 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 R c C R b B R a A C R c B R b AR a R R Cc B b A a 2sin 2sin 2sin sin 2sin 2sin 2)(2sin sin sin =========变形有：为外接圆的半径三角形的面积公式：A bcB acC ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

即ab c b a C ac b c a B bca cb A C ab b ac B ac c a b Abc c b a 2cos 2cos 2cos cos 2cos 2cos 2222222222222222222-+=-+=-+=-+=-+=-+=变形有：判断三角形的形状：为锐角三角形，为直角角三角形为钝角三角形ABC b a c c a b c b a ABC c b a ABC c b a ∆+<+<+<∆+=∆+>222222222222222,,三角形中有：形为正三角形成等比数列，则该三角、、成等差数列，、、）若（）（中c b a C B A CB AC B A C B A ABC 2tan )tan(cos )cos(sin )sin(1-=+-=+=+∆两角和差的正余弦公式及两角和差正切公式 ()βαβαβαsin cos cos sin sin -=- ()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-()βαβαβαtan tan 1tan tan tan +-=- ()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- 二倍角公式： ααααββααααα22222tan 1tan 22tan 1cos 2sin 21sin cos 2cos cos sin 22sin -=-=-=-==半角公式：。

余弦定理和面积公式

余弦定理和面积公式一、余弦定理。

1. 内容。

- 对于三角形ABC，设a,b,c分别为角A,B,C所对的边，则有c^2=a^2+b^2-2abcos C，a^2=b^2+c^2-2bccos A，b^2=a^2+c^2-2accos B。

2. 推导（以c^2=a^2+b^2-2abcos C为例）- 设→CA=→b，→CB=→a，→AB=→c。

- 根据向量的减法→c=→a-→b。

- 那么c^2=→c·→c=(→a-→b)·(→a-→b)=→a^2+→b^2-2→a·→b。

- 因为|→a| = a，|→b| = b，→a·→b=|→a||→b|cos C = abcos C。

- 所以c^2=a^2+b^2-2abcos C。

3. 应用。

- 已知两边及其夹角求第三边。

- 例如在ABC中，已知a = 3，b=4，C = 60^∘，求c。

- 根据余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcos C，a = 3，b = 4，cosC=cos60^∘=(1)/(2)。

- 则c^2=3^2+4^2-2×3×4×(1)/(2)=25 - 12 = 13，所以c=√(13)。

- 判断三角形的形状。

- 若a^2+b^2=c^2，则cos C = 0，C = 90^∘，三角形为直角三角形。

- 若a^2+b^2>c^2，则cos C>0，C为锐角，三角形为锐角三角形（当a,b,c 为最长边时）。

- 若a^2+b^2，则cos C<0，C为钝角，三角形为钝角三角形（当c为最长边时）。

二、三角形面积公式。

1. 常见公式。

- 已知底和高：S=(1)/(2)ah，其中a为三角形的底，h为这条底边上的高。

- 已知两边及其夹角：S=(1)/(2)absin C=(1)/(2)bcsin A=(1)/(2)acsin B。

- 海伦公式：设三角形的三边为a,b,c，半周长p=(a + b+ c)/(2)，则S=√(p(p -a)(p - b)(p - c))。

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（2）求y的最小值.
解：（1）∵y=cotA+
=cotA+
=cotA+
=cotA+cotB+cotC，
∴任意交换两个角的位置，y的值不变化.
（2）∵cos（B－C）≤1，
∴y≥cotA+ = +2tan = （cot +3tan ）≥ = .
故当A=B=C= 时，ymin= .
评述：本题的第（1）问是一道结论开放型题，y的表达式的表面不对称性显示了问题的有趣之处.第（2）问实际上是一道常见题：在△ABC中，求证：cotA+cotB+cotC≥ .
（2）设AB=3，求AB边上的高.
剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，结合图形，以（1）为铺垫，解决（2）.
（1）证明：∵sin（A+B）= ，sin（A－B）= ，
∴
=2.
∴tanA=2tanB.
（2）解：＜A+B＜π，∴sin（A+B）= .
∴tan（A+B）=－，
即 =－ .将tanA=2tanB代入上式整理得2tan2B－4tanB－1=0，解得tanB= （负值舍去）.得tanB= ，∴tanA=2tanB=2+ .
3.由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC＞0，A、B、C都为锐角.答案：C
5.2; 6.若c最大，由cosC＞0.得c＜ .又c＞b－a=1，∴1＜c＜ .
【解答题】
7.（2004春北京）在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及的值.
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）；3.利用余弦定理，可以解决以下两类问题：

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