第二讲 证明不等式的基本方法 复习课 学案(含答案)

第二讲证明不等式的基本方法复习课学案

（含答案）

第二讲第二讲证明不等式的基本方法证明不等式的基本方法复习课复习课学习目标

1.系统梳理证明不等式的基本方法.

2.进一步体会不同方法所适合的不同类型的问题，针对不同类型的问题，合理选用不同的方法.

3.进一步熟练掌握不同方法的解题步骤及规范1比较法作差比较法是证明不等式的基本方法，其依据是不等式的意义及实数大小比较的充要条件证明的步骤大致是作差恒等变形判断结果的符号2综合法综合法证明不等式的依据是已知的不等式以及逻辑推理的基本理论证明时要注意的是作为依据和出发点的几个重要不等式已知或已证成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误，如一些带等号的不等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式中“当且仅当时，取等号”的理由要理解掌握3分析法分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质.已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论分析法证明不等式的思维方向是“逆推”，即从待证的不等式出发，逐步寻找使它成立的充分条件执果索因，最后得到的充分条件是已知或已证的不等式一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加

以证明，所以分析法和综合法可结合使用4反证法反证法是一种“正难则反”的方法，反证法适用的范围直接证明困难；需要分成很多类进行讨论；“唯一性”“存在性”的命题；结论中含有“至少”“至多”否定性词语的命题5放缩法放缩法就是将不等式的一边放大或缩小，寻找一个中间量，常用的放缩技巧有舍掉或加进一些项；在分式中放大或缩小分子或分母；用基本不等式放缩.类型一比较法证明不等式例1若x，y，zR，a0，b0，c0.求证bcax2caby2abcz22xyyzzx证明

bcax2caby2abcz22xyyzzxbax2aby22xycby2bcz22yzacz2cax22zxba xaby2cbybcz2aczcax20，bcax2caby2abcz22xyyzzx成立反思与感悟作差法证明不等式的关键是变形，变形是证明推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法跟踪训练1设a，b为实数，0n1,0m1，mn1，求证a2mb2nab

2.证明

a2mb2nab2na2mb2mnnma22abb2mnna21mmb21n2mnabmnn2a2m2b22mna bmnnamb2mn0，a2mb2nab

2.类型二

综合法与分析法证明不等式例2已知a，b，cR，且

abbcca1，求证1abc3；2abcbaccab3abc证明1要证abc3，由于a，b，cR，因此只需证abc23，即证a2b2c22abbcca3，根据条

件，只需证a2b2c21abbcca，由abbccaa2b22b2c22c2a22a2b2c2当且仅当abc33时取等号可知，原不等式成立2abcbaccababcabc，在1中已证abc3，abbcca1，要证原不等式成立，只需证

1abcabc，即证abcbaccab1abbcca.a，b，cR，abcabacabac2，bacabbc2，cabacbc2，abcbaccababbccaabc33时取等号成立，原不等式成立反思与感悟证明比较复杂的不等式时，考虑分析法与综合法的结合使用，这样使解题过程更加简洁跟踪训练2已知abc，求证1ab1bc1ca0.证明方法一要证1ab1bc1ca0，只需证

1ab1bc1ac.abc，acab0，bc0，1ab1ac，1bc0，1ab1bc1ac成立，1ab1bc1ca0成立方法二

abc，acab0，bc0，1ab1ac，1bc0，1ab1bc1ac，1ab1bc1ca0.类型三

反证法证明不等式例3若x，y都是正实数，且xy2，求证

1xy2或1yx2中至少有一个成立证明假设1xy2和1yx0且y0，所以1x2y且1y2x，两式相加，得2xy2x2y，所以xy

2.这与已知xy2矛盾故1xy2或1yx2中至少有一个成立反思与感悟反证法的“三步曲”1否定结论2推出矛盾3肯定结论其核心是在否定结论的前提下推出矛盾跟踪训练3已知函数yfx在R 上是增函数，且fafbfbfa，求证ab.证明假设ab不成立，则ab 或ab.当ab时，ab，则有fafb，fafb，于是fafbfbfa与已知矛盾当ab时，ab，由函数yfx的单调性，可得fafb，fbfa，于是有fafbfbfa与已知矛盾故假设不成立ab.类型四

放缩法证明不等式例4已知nN，求证2n11112131n2n.证明对kN，1kn，有1k22k2kk12k1k，1k2k1k112131n2212322n1n2n11又对于kN，2kn，有1k22k2kk12kk1，112131n12212322nn12n12n.原不等式成立反思与感悟放缩法是在顺推法逻辑推理过程中，有时利用不等式关系的传递性作适当的放大或缩小，证明比原不等式更强的不等式来代替原不等式的一种证明方法放缩法的实质是非等价转化，放缩没有一定的准则和程序，需按题意适当放缩，否则达不到目的跟踪训练4设fxx2x13，a，b0,1，求证|fafb||ab|.证明|fafb||a2ab2b||abab1||ab||ab1|，0a1,0b1，0ab2，

1ab11，|ab1|

1.|fafb||ab|.1已知pab0，qbaab2，则p与q的关系是Ap 是q的充分不必要条件Bp是q的必要不充分条件Cp是q的充要条件D以上答案都不对答案C解析由ab0，得ba0，ab0，

baab2baab2，又baab2，则ba，ab必为正数，ab0.2实数a，b，c 满足a2bc2，则Aa，b，c都是正数Ba，b，c都大于1Ca，b，c都小于2Da，b，c中至少有一个不小于12答案D解析假设a，b，c 都小于12，则a2bc2与a2bc2矛盾3若alg22，blg33，clg55，则AabcBcbaCcabDbac答案C解析a3lg26lg86，b2lg36lg96，98，ba.b与c比较blg33lg3515，clg55lg5315，3553，bc.a与c比较alg2510lg3210，clg2510，3225，ac.bac，故选

C.4已知a，bR，nN，求证abanbn2an1bn1证明

abanbn2an1bn1an1abnbanbn12an12bn1abnanbanbnabbnan1若