概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科.
(专升本)概率论与数理统计
3.随机变量 的数学期望 是平均值吗？它是怎样的平均值？设 服从 上的均匀分布，则 的数学期望 是多少？它代表着什么？（15分）
三、论数理统计的基本知识（共35分）
1.我们总是用抽样的结果来对总体的分布做出判断与估计。那么一个简单随机样本的抽取，应具备哪两个条件？（10分）
中必然现象与随机现象有着怎样的区别，你能任意举出两种以上身边的随机现象吗？（10分）
2.古典概型在实际应用中是最常用的一种概型，它对样本空间有着怎样的要求？（10分）
3． 两个随机事件的独立性是如何定义的？ 相互独立与 互不相容有什么关系？（10分）
布律 应满足什么性质？（10分）
中国地质大学(武汉)远程与继续教育学院期末考试
考试科目名称：概率论与数理统计
层次：专升本考试方式：考查
要求：1、独立完成; 2、答题要求正确运用所学本课程知识,同时联系实际进行分析；
3、逻辑清晰，内容完整，文字流畅；4、抄袭、雷同、非手写稿均记0分。
一、论随机事件与概率（共30分）
1.概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门数学学科。请问在自然界和人类社会生活
2.参数估计问题通常分为点估计问题与区间估计问题两类，它们最大的区别在那里？评价一个估计量的好坏通常有哪几个标准？（15分）
3.设单正态总体 ～ ，其中 已知， 未知， 是取自总体 的样本，则对给定的置信度 ，样本值 的置信区间是多少？（10分）
《概率论与数理统计》(46学时)课程教学大纲
《概率论与数理统计》（46学时）课程教学大纲一、课程的基本情况课程中文名称：概率论与数理统计课程英文名称：Probability Theory and Mathematical Statistics课程编码：0702003课程类别：学科基础课课程性质：必修总学时：46 讲课学时：46 实验学时：0学分：2.5授课对象：本科相关专业前导课程：《高等数学》《线性代数》二、教学目的概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的数学学科，是理工科各专业的一门重要的学科基础课。
通过本课程的学习，使学生掌握概率论与数理统计的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机现象的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。
同时，也为一些后续课程的学习提供必要的基础。
三、教学基本要求第一章概率论的基本概念1.1 随机试验1.2 样本空间、随机事件1.3 频率与概率1.4 等可能概型（古典概型）1.5 条件概率1.6 独立性基本要求：1. 理解随机试验、样本空间、随机事件的概念并掌握事件的关系与运算2. 掌握概率的定义与基本性质3. 理解古典概型的概念，掌握古典概率的计算方法4. 理解条件概率的定义，熟练掌握乘法定理、全概率公式与贝叶斯公式并会灵活应用5. 理解事件独立性的概念，熟练掌握相互独立事件的性质及有关概率的计算重点与难点：1. 重点：随机事件；概率的基本性质及其应用；乘法定理、全概率公式与贝叶斯公式事件的独立性2. 难点：概率的公理化定义、条件概率概念的建立、全概率公式与贝叶斯公式的应用第二章随机变量及其分布2.1 随机变量2.2 离散型随机变量及其分布律2.3 随机变量的分布函数2.4 连续型随机变量及其概率密度2.5 随机变量的函数的分布 基本要求：1. 理解随机变量的概念；掌握离散型随机变量和连续型随机变量的描述方法2. 掌握分布律、分布函数、概率密度函数的概念及性质；掌握由概率分布计算相关事件的概率的方法3. 熟练掌握二项分布、泊松（Poisson ）分布、正态分布、指数分布和均匀分布，特别是正态分布的性质并能灵活运用；熟练掌握伯努利概型概率的计算方法4. 熟练掌握一些简单的随机变量函数的概率分布的求法 重点与难点：1. 重点：随机变量、分布律、密度函数和分布函数的概念；二项分布、均匀分布的概念和性质2. 难点：二项分布的推导及应用；随机变量函数的概率分布第三章 多维随机变量及其分布 3.1 二维随机变量 3.2 边缘分布 3.3 条件分布3.4 相互独立的随机变量3.5 两个随机变量的函数的分布 基本要求：1. 正确理解二维随机变量的定义，掌握二维随机变量的联合分布律、联合分布函数、联合概率密度函数及条件分布的概念2. 熟练掌握由联合分布求事件的概率，求边缘分布及条件分布的基本方法3. 理解随机变量独立性的概念，掌握随机变量独立性的判别方法4. 了解求二维随机变量函数分布的基本思路，会求,max{,},min{,}X Y X Y X Y 的分布 重点与难点：1. 重点：由联合分布求概率，求边缘分布及条件分布的方法2. 难点：求离散型随机变量联合分布律的方法，条件密度的导出，随机变量函数的分布第四章 随机变量的数字特征 4.1 数学期望 4.2 方差4.3 协方差及相关系数 4.4 矩、协方差矩阵 基本要求：1. 掌握随机变量及随机变量函数的数学期望的计算公式，熟悉数学期望的性质并能灵活运用2. 掌握方差的概念和性质；熟悉二项分布、泊松分布、正态分布、指数分布和均匀分布的数学期望和方差；了解切比雪夫（Chebyshev ）不等式3. 掌握协方差和相关系数的定义和性质，并会灵活应用4. 掌握矩、协方差矩阵的定义 重点与难点：1. 重点：数学期望、方差、相关系数与协方差的计算公式及性质2. 难点：随机变量函数的数学期望的计算，利用数学期望的性质计算数学期望，相关系数的含义第五章大数定律及中心极限定理5.1 大数定律5.2 中心极限定理基本要求：1. 掌握依概率收敛的概念及贝努利大数定律和契比雪夫大数定律2. 掌握独立同分布的中心极限定理和德莫佛－拉普拉斯(De Moivre-Laplace)极限定理3. 掌握应用中心极限定理计算有关事件的概率近似值的方法重点与难点：1. 重点：用中心极限定理计算概率的近似值的方法2. 难点：依概率收敛的概念第六章样本及抽样分布6.1 随机样本6.2 抽样分布基本要求：1. 理解总体、个体、样本容量、简单随机样本以及样本观察值的概念2. 理解统计量的概念；熟悉数理统计中最常用的统计量（如样本均值、样本方差）的计算方法及其分布χ-分布，t-分布，F-分布的定义并会查表计算3. 掌握24. 熟悉正态总体的某些常用统计量的分布并能运用这些统计量进行计算重点与难点：χ-分布, t-分布, F-分布的定义与分位点的查表；正态总体常用统计量的分布1. 重点：2χ-分布, t-分布, F-分布的定义与分位点的查表2. 难点：2第七章参数估计7.1 点估计7.3 估计量的评选标准7.4 区间估计7.5 正态总体均值与方差的区间估计7.7 单侧置信区间基本要求：1. 理解参数的点估计(矩估计、最大似然估计)的计算方法2. 掌握参数点估计的评选标准：无偏性，有效性和相合性3. 理解参数的区间估计的概念，熟悉对单个正态总体和两个正态总体的均值与方差进行区间估计的方法及步骤重点与难点：1. 重点：点估计的矩法、最大似然估计法；正态总体参数的区间估计2. 难点：最大似然估计法，两个正态总体的参数的区间估计四、课程内容与学时分配五、教材参考书教材：盛骤谢式千潘承毅《概率论与数理统计》（第三版）高等教育出版社2001. 参考书：[1] 茆诗松《概率论与数理统计教程》（第一版）高教出版社2004.[2] 王展青李寿贵《概率论与数理统计》（第一版）科学出版社2000.六、教学方式和考核方式1.教学方式：以课堂讲授为主，辅以答疑、课后作业。
《概率论与数理统计》第五章
第五章 极限定理
‹#›
研究随机现象的大量观测， 常采用极限形式， 由此导致了极限定理的研究。 极限定理的内容很 广泛, 最重要的有两种:
“大数定律”和“中心极限定理”。
第五章 极限定理
‹#›
§1 大数定律
对随机现象进行大量重复观测，各种结果的出 现频率具有稳定性。
大量地掷硬币 正面出现频率
生产过程 中废品率
棣莫佛—拉普拉斯定理的内容是：当 n 很大时 ，二项分布可用正态分布近似。
总结/summary
第五章 极限定理
‹#›
切比雪夫不等式 理解切比雪夫不等式
大数定律
了解辛钦大数定理。
中心极限定理
掌握运用列维-林德伯格中心定理和棣 莫弗-拉普拉斯中心极限定理求解独立 随机变量之和的近似概率值
第五章 极限定理
字母使用频率
第五章 极限定理
‹#›
1. 切比雪夫不等式
定理1: 设随机变量X有期望μ和方
差σ2，则对任给的ε> 0, 有
P
X
2
1
2
或
P | X |
2 2
.
第五章 极限定理
‹#›
证明：只对X 是连续型情况加以证明。
设X 的概率密度函数为 f(x)，则有
P | X | f (x) dx
2.5
1
P
X
n 14 0.2
2.5
1 (2.5) 0.0062 ；
第五章 极限定理
‹#›
(2).
P{X n
14}
P
X
n
14
14 14
2 / 100 2 / 100
1
P
X
n 14 0.2
大 数 定 律
则称随机变量序列 { X n }服从大数定律 .
二、基本定理
契比雪夫大数定理） 定理 （契比雪夫大数定理）
设随机变量 X 1 , X 2 ,⋯ , X n ,⋯ 两两不相关 , 且都具有有限的方差 , 并有公共的上界 D( X 1 ) ≤ C , D( X 2 ) ≤ C , ⋯ , D( X n ) ≤ C , ⋯ , 则对于任意正数 ε 有
n n
ε
i =1 2
C , ≤ 2 nε
在上式中令
n → ∞ ，则
[证毕 证毕] 证毕
1 n 1 n P ∑ X i − ∑ E( X i ) ≥ ε → 0. n i =1 n i =1
注:
当 n 很大时 , 随机变量 X1 , X 2 ,⋯ , X n 的算术平 1 n 均 ∑ X i 接近于它们的数学期望 的算术平均 n i =1 1 n 值 ∑ E( X i ) . n i =1 这个接近是概率意义下的接近） （这个接近是概率意义下的接近）
n →∞
则称序列 Y1 , Y2 ,⋯ , Yn依概率收敛于Y , 记为 Yn P Y →
定理的另一种叙述: 定理的另一种叙述
设随机变量 X 1 , X 2 ,⋯ , X n ,⋯ 两两不相关 , 且都具有有限的方差 , 并有公共的上界 D ( X 1 ) ≤ C , D ( X 2 ) ≤ C ,⋯ , D ( X n ) ≤ C ,⋯ , 则
证明
引入随机变量
, 0, 若在第k次试验中A不发生 Xk = , 1, 若在第k次试验中A发生 k = 1,2,⋯.
显然
µ A = X1 + X 2 + ⋯ + X n
是相互独立的， 因为 X 1 , X 2 ,⋯, X n ,⋯是相互独立的， 且X k 服从以 p 为参数的 (0 − 1) 分布,
大数定律中心极限定理51切比雪夫不等式引理1设随机变量X的数学
不等式成立
P(|
X
E( X ) |
)
D( X )
2
或
P(|
X
E(X
)
|
)
1
D(
X
2
)
切比雪夫不等式示意图
F(x)
D(X)/2
E(X)
E(X) E(X) + x
例1 已知E(X)=100, D(X)=30，试估计随机 变量X 落在(70,130)内的概率。
本章要解决的问题
1. 为何能以某事件发生的频率
作为该事件的 概率的估计？
2. 为何能以样本均值作为总体 期望的估计？
3. 为何正态分布在概率论中占
有极其重要的地位？
4. 大样本统计推断的理论基础 是什么？
大数 定律
中心极 限定理
§5.1 切比雪夫不等式
引理1 设随机变量X的数学期望E(X)与方差
解: P{70<X<130} =P{|X100|<30}
由切比雪夫不等式可得
P{|
X
100
|
30} 1
30 302
0.967
契比雪夫不等式给出了在随机变量X的
分布未知的情况下，事件{ | X |< } 或 { | X |≥ }的概率的一种估计方法
§5.2 大数定律
大量抛掷硬币 正面出现频率
P
nA n
p
P
1 n
n k 1
Xk
E(Xk )
《概率论与数理统计》笔记
《概率论和数理统计》笔记一、课程导读“概率论和数理统计”是研究随机现象的规律性的一门学科在自然界，在人们的实践活动中，所遇到的现象一般可以分为两类：确定性现象随机现象确定性现象在一定的条件下，必然会出现某种确定的结果．例如，向上抛一枚硬币，由于受到地心引力的作用，硬币上升到某一高度后必定会下落．我们把这类现象称为确定性现象（或必然现象）．同样，任何物体没有受到外力作用时，必定保持其原有的静止或等速运动状态；导线通电后，必定会发热；等等也都是确定性现象．随机现象在一定的条件下，可能会出现各种不同的结果，也就是说，在完全相同的条件下，进行一系列观测或实验，却未必出现相同的结果．例如，抛掷一枚硬币，当硬币落在地面上时，可能是正面（有国徽的一面）朝上，也可能是反面朝上，在硬币落地前我们不能预知究竟哪一面朝上．我们把这类现象称为随机现象（或偶然现象）．同样，自动机床加工制造一个零件，可能是合格品，也可能是不合格品；射击运动员一次射击，可能击中10环，也可能击中9环8环……甚至脱靶；等等也都是随机现象．统计规律性对随机现象，从表面上看，由于人们事先不能知道会出现哪一种结果，似乎是不可捉摸的；其实不然．人们通过实践观察到并且证明了，在相同的条件下，对随机现象进行大量的重复试验（观测），其结果总能呈现出某种规律性．例如，多次重复抛一枚硬币，正面朝上和反面朝上的次数几乎相等；对某个靶进行多次射击，虽然各次弹着点不完全相同，但这些点却按一定的规律分布；等等．我们把随机现象的这种规律性称为统计规律性．●使用例子摸球游戏中谁是真正的赢家在街头巷尾常见一类“摸球游戏”．游戏是这样的：一袋中装有16个大小、形状相同，光滑程度一致的玻璃球．其中8个红色、8个白色．游戏者从中一次摸出8个，8个球中．当红白两种颜色出现以下比数时．摸球者可得到相应的“奖励”或“处罚”：结果（比数） A(8:0)B(7:1)C(6:2)D(5:3)E(4:4)奖金（元）10 1 0.5 0.2 -2 注：表中“-2”表示受罚2元解： 此游戏（实为赌博），从表面上看非常有吸引力，5种可能出现的结果．有4种可得奖．且最高奖达10元．而只有一种情况受罚．罚金只是2元．因此就吸引了许多人特别是好奇的青少年参加．结果却是受罚的多，何以如此呢？其实．这就是概率知识的具体使用：现在是从16个球中任取8个．所有可能的取法为816C 种．即基本事件总数有限．又因为是任意抽取．保证了等可能性．是典型的古典概型问题．由古典概率计算公式．很容易得到上述5种结果．其对应的概率分别是：3807048730121800099460000155404848385828681878.C C C P(E);.C C 2C P(D);.C C 2C P(C);.C C 2C P(B);.C 2P(A)816816816816816==========假设进行了1000次摸球试验， 5种情况平均出现的次数分别为：0、10、122、487、381次，经营游戏者预期可得2×381-(10×0＋1×10＋0.5×122＋0.2×487) =593.6（元）． 这个例子的结论可能会使我们大吃一惊，然而正是在这一惊之中．获得了对古典概率更具体、更生动的知识.戏院设座问题乙两戏院在竞争500名观众，假设每个观众完全随意地选择一个戏院，且观众之间选择戏院是彼此独立的，问每个戏院至少应该设多少个座位才能保证观众因缺少座位而离开的概率小于5%?解 由于两个戏院的情况相同，故只需考虑甲戏院即可。
概率论与数理统计在经济生活中的应用
概率论与数理统计在经济生活中的应用概率论与数理统计是数学中的两个重要分支，它们对于经济生活具有重要意义。
概率论是研究随机现象规律性的学科，而数理统计是利用概率论研究数据的收集、整理、分析和解释的方法。
在经济生活中，概率论与数理统计可以帮助人们更好地理解经济现象、预测未来趋势、制定决策，从而对经济活动进行更加科学合理的管理。
本文将从风险管理、市场预测、经济政策制定等方面，探讨概率论与数理统计在经济生活中的应用。
一、风险管理风险是经济活动中不可避免的问题，如何科学有效地管理风险，对于企业和个人都是至关重要的。
概率论与数理统计可以帮助人们分析和评估风险，制定相应的风险管理策略。
在金融领域，可以利用概率论与数理统计的方法对金融市场的波动进行分析，评估不同投资组合的风险及收益，从而帮助投资者制定投资策略，降低投资风险。
对于保险公司来说，概率论与数理统计也是必不可少的工具，可以帮助其合理制定保费，评估赔偿风险，从而保障公司的长期稳健发展。
二、市场预测市场的变化是经济活动中的常态，如何准确预测市场变化对于企业和政府来说都具有重要意义。
概率论与数理统计可以帮助人们利用历史数据和现有信息，进行风险分析和市场预测。
概率论与数理统计可以帮助人们评估市场变动的概率，从而制定相应的市场营销策略。
概率论和数理统计还可以帮助人们进行市场需求的预测，根据不同因素对市场需求进行分析，帮助企业制定生产计划和库存管理策略。
概率论与数理统计还可以帮助政府预测宏观经济变化，制定相应的宏观调控政策，促进经济平稳发展。
三、经济政策制定概率论与数理统计在经济政策制定中也发挥着重要作用。
政府在制定宏观经济政策的过程中，需要对各种经济指标和变量进行分析和预测，以制定相应的政策措施，促进经济的稳定和发展。
概率论与数理统计可以通过分析历史数据和现有信息，对经济指标进行预测和评估，为政府制定政策提供科学依据。
概率论与数理统计还可以帮助政府进行政策效果的评估，及时调整政策，保障政策的有效实施。
大数定律和中心极限定理的思考与应用
〇教育教学研究大数定律和中心极限定理的思考与应用陈常埼(曲阜师范大学数学科学学院，山东济宁273100)摘要：概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科，而统计规律性是通过重复观测来体现，研究极限是对大量的重复观测作数学处理的常用方法％本文将对大数定律与中心极限定理在独立同分布和不同分布两种情况下的结论作了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性。
概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的一门学科，只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才能呈现出随机现象的统计规律性。
关键词：大数定律；中心极限定理；概率论概率论中一个非常重要的课题就是大数定律，这还是概 率论与数理统计之间一个承前启后的纽带。
大数定律阐明了随机现象平均结果具有稳定性，证明了在大样本条件下，样本平均值可以看作总体平均值，它是“算数平均值法则”的基本理论。
比如说，我们向上拋一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，但当我们向上拋硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万次之后，我们会发现，硬币向上的 次数约占总次数的二分之一，偶然中包含着必然。
一、大数定律和中心极限定理的概念与关系(一） 大数定律大数定律就是在大量的随机试验中，由于各次的随机性 (偶然性）相互抵消又相互补偿，因而其平均结果趋于稳定，而阐明大量随机现象平均结果稳定性的定理。
利用大数定律使用极限方法研究大量随机现象的统计规律性。
人们在长期的实践中发现，频率以及大量测量值的算术平均值具有稳定性，而大数定律要解决的问题也就是这种稳定性问题如何从理论上给出解释？不难看出大数定律在理论和实际中都有广泛的应用。
(二） 中心极限定理自从高斯指出测量误差服从正态分布后，人们发现，正 态分布在自然界中极为常见。
例如：炮弹的弹落点、人的身 高、体重等都服从正态分布。
中心极限定理的客观背景：如 果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成的，而其中每一个因素在总的影响中所起的作用微小，这种随机变 量往往近似地服从正态分布。
概率论与数理统计学习心得
概率论与数理统计学习心得姓名学号概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门数学学科，其理论与方法的应用非常广泛，几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产、国民经济以及我们的日常生活。
对于作为经济管理系会计专业的我，其日后的帮助也是很大的。
在概率论中我们研究的是随机事件及一维随机变量二维随机变量的分布和特点；而在第二部分的数理统计中，它是以概率论为理论基础，根据试验或者观察得到的数据来研究随机现象，对研究对象的客观规律性做出种种估计和判断。
整本书就是重点围绕这两个部分来讲述的。
在长达一个学期的学习中，我增长了不少课程知识，同时也获得了好多关于这门课程的心得体会。
整个学期下来这门课程给我最深刻的体会就是这门课程很抽象，很难以理解，初学时，就算觉得理解了老师的讲课内容，但是联系实际也会很难以应用上，简化不出有关所学知识的模型。
在期末复习中，自己重新对于整个书本的流程安排还有每个章节的重点重新复习一遍，才觉得有了点头绪。
首先，这门课程给我带来了一种新的思维方式。
前几章的知识好多都是高中讲过的，接触下来觉得挺简单，但是后面从大数定理及中心极限定理就开始是新的内容了。
我觉得学习概率论与数理统计最重要的就是要学习书本中渗透的一种全新的思维方式。
统计与概率的思维方式，和逻辑推理不一样，它是不确定的，也就是随机的思想。
这也是一个人思维能力最主要的体现，整个学习过程中要紧紧围绕这个思维方式进行。
这些都为后面的数理统计还有参数估计、检验假设打下了基础。
其次，在所有数学学科中，概率论是一门具有广泛应用的数学分支，是一门真正是把实际问题转换成数学问题的学科。
在最后一章中，假设检验就是一个很好的例子。
由前面所讲的伯努利大数定律知，小概率事件在N次重复试验中出现的概率很小，因此我们认为在一次试验中，小概率事件一般不会发生，如果发生了就该怀疑这件事件的真实性。
正是根据这个思想去解决实际中的检验问题，总之概率与数理统计就是一门将现实中的问题建立模型然后应用理论知识解决掉的学科，具有很强的实际应用性。
概率论与数理统计第5章
i 1
22
例1 设有30个电子元件,它们的寿命均服从参数为 0.1的指数分布(单位:小时),每个元件工作相互 独立,求他们的寿命之和超过350小时的概率.
解 设Ti为第i个元件的寿命, i 1,2,,30,T为寿命之和
显 然T1 ,T2 ,,T30相 互 独 立
30
且 Ti ~ E(0.1), i 1,2,.30 T Ti
且EX i , DXi 2 0,则x R,有
n
lim
P
i 1
Xi
n
x
x
n
n
1
t2
e 2 dt ( x)
2
莱 维n 中心 极 限 定 理表 明
记量 即Y的Yn n分当~•i布1NnX 函(ni 0数,1n,)收随敛机则于n变YX标量准ni为~序正 • Ni列 态 n1(inXn分1iX,的 布ni 的的标2标)分准准布化化函随随数. 机 机 变变 量
1
t2
e 2 dt ( x)
n np(1 p) 2
n
证明 由于 X n ~ B(n, p) 则X n X k , k 1
其中 X1, X2 ,, Xn 是相互独立的、服从同一
(0－1) 分布的随机变量, 分布律为
P{ Xk i} pi (1 p)1i , i 0, 1.
30
分nll设布ii其 (mm0X，随－P中Pn1则机)Xin分对X变k11n,nX1布任X量Xni 2n的意k,Xpn, n随x服,，X机从xn有x变是参量相数x,x互分n,1独布21p(立e律0et2的2为t2d2 dtp、t服1()从 x的) 同二一项
20
服从均匀分布。记 V Vk 求P{V>105}的近似值 k 1
第5章 大数定律及中心极限定理
辛钦
1 n lim P{| X i | } 1 n n i 1
注
1、辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值 提供了一条实际可行的途径.
2、切比雪夫大数定律是辛钦定理的特殊情况. 3、辛钦定理具有广泛的适用性.
例1 在一个罐子中,装有10个编号为0-9的同样 的球,从罐中有放回地抽取若干次, 每次抽一个, 并记下号码. 1 第k次取到号码 0 设 Xk = ，k=1,2, … 0 否则 问对序列{Xk}能否应用辛钦大数定律？
即有
n X k
k 1
n
其中X k ( k 1,2,, n)的分布律为 PX k i p i (1 p)1 i , i 0,1
由于E ( X k ) p, D( X k ) p(1 p) k 1,2,, n)，
由定理 4得 n X k np n np lim P{ x } lim P{ k 1 x} n n np(1 p) np(1 p )
V 20 5 105 20 5 PV 105 p 100 12 20 100 12 20
V 20 5 p 0.387 100 12 20
V 20 5 1 p 0.387 100 12 20
n 1 P Xk 1 2 n k 1 上式中令 n 得 1 n lim P{| X i | } 1 n n i 1
n 2
说明
1 n 1、定理中{| X i | }是指一个随机事件， n i 1 当n 时，这个事件的概率趋于1.
概率论与数理统计第四章第四节 大数定理与中心极限定理
第四节 大数定理与中心极限定理概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科. 而随机现象的规律性在相同的条件下进行大量重复试验时会呈现某种稳定性. 例如, 大量的抛掷硬币的随机试验中, 正面出现频率; 在大量文字资料中, 字母使用频率; 工厂大量生产某种产品过程中, 产品的废品率等. 一般地, 要从随机现象中去寻求事件内在的必然规律, 就要研究大量随机现象的问题.在生产实践中, 人们还认识到大量试验数据、测量数据的算术平均值也具有稳定性. 这种稳定性就是我们将要讨论的大数定律的客观背景. 在这一节中，我们将介绍有关随机变量序列的最基本的两类极限定理----大数定理和中心极限定理.教学目标：了解大数定理与中心极限定理。
教学重点：大数定理与中心定理。
教学难点：中心定理。
教学内容：一、依概率收敛与微积分学中的收敛性的概念类似, 在概率论中, 我们要考虑随机变量序列的收敛性.定义1 设 ,,,,21n X X X 是一个随机变量序列, a 为一个常数,若对于任意给定的正数ε,有 ,1}|{|lim =<-∞→εa X P n n 则称序列 ,,,,21n X X X 依概率收敛于a , 记为).(∞→−→−n a X Pn定理1 设,,b Y a X Pn P n −→−−→−又设函数),(y x g 在点),(b a 连续, 则),(),(b a g Y X g Pn n −→−.二、切比雪夫不等式定理2设随机变量X 有期望μ=)(X E 和方差2)(σ=X D ,则对于任给0>ε, 有22}|{|εσεμ≤≥-X P .上述不等式称切比雪夫不等式.注：(i) 由切比雪夫不等式可以看出,若2σ越小, 则事件}|)({|ε<-X E X的概率越大, 即, 随机变量X 集中在期望附近的可能性越大. 由此可见方差刻划了随机变量取值的离散程度.(ii) 当方差已知时,切比雪夫不等式给出了X 与它的期望的偏差不小于ε的概率的估计式.如取,3σε= 则有.111.09}3|)({|22≈≤≥-σσσX E X P故对任给的分布,只要期望和方差2σ存在, 则随机变量X 取值偏离)(X E 超过σ3的概率小于0.111.三、大数定理1．切比雪夫大数定律定理3 (切比雪夫大数定律)设 ,,,,21n X X X 是两两不相关的随机变量序列,它们数学期望和方差均存在, 且方差有共同的上界, 即,,2,1,)( =≤i K X D i 则对任意0>ε, 有1)(11lim 11=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-∑∑==∞→εn i i n i i n X E n X n P 注: 定理表明: 当n 很大时,随机变量序列}{n X 的算术平均值∑=ni i X n 11依概率收敛于其数学期望∑=ni i X E n 1)(1.2．伯努利大数定理定理4 (伯努利大数定律)设A n 是n 重伯努利试验中事件A 发生的次数, p 是事件A 在每次试验中发生的概率, 则对任意的0>ε, 有1lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-→∞εp n n P A n 或 0l i m =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-→∞εp n n P A n . 注：(i) 伯努利大数定律是定理1的推论的一种特例, 它表明: 当重复试验次数n 充分大时, 事件A 发生的频率nn A依概率收敛于事件A 发生的概率p .定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性. 在实际应用中, 当试验次数很大时,便可以用事件发生的频率来近似代替事件的概率.(ii) 如果事件A 的概率很小，则由伯努利大数定律知事件A 发生的频率也是很小的，或者说事件A 很少发生. 即“概率很小的随机事件在个别试验中几乎不会发生”，这一原理称为小概率原理，它的实际应用很广泛. 但应注意到，小概率事件与不可能事件是有区别的. 在多次试验中，小概率事件也可能发生.3．辛钦大数定理 定理5 (辛钦大数定律) 设随机变量 ,,,,21n X X X 相互独立, 服从同一分布,且具有数学期望,,2,1,)( ==i X E i μ 则对任意0>ε, 有11lim 1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∑=∞→εμn i i n X n P . 注: (i) 定理不要求随机变量的方差存在;(ii) 伯努利大数定律是辛钦大数定律的特殊情况;(iii) 辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径. 例如, 要估计某地区的平均亩产量, 可收割某些有代表性的地块, 如n 块,计算其平均亩产量, 则当n 较大时,可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计. 此类做法在实际应用中具有重要意义.四、中心极限定理在实际问题中, 许多随机现象是由大量相互独立的随机因素综合影响所形成, 其中每一个因素在总的影响中所起的作用是微小的. 这类随机变量一般都服从或近似服从正态分布. 以一门大炮的射程为例, 影响大炮的射程的随机因素包括: 大炮炮身结构的制造导致的误差, 炮弹及炮弹内炸药在质量上的误差, 瞄准时的误差, 受风速、风向的干扰而造成的误差等. 其中每一种误差造成的影响在总的影响中所起的作用是微小的, 并且可以看成是相互独立的, 人们关心的是这众多误差因素对大炮射程所造成的总影响. 因此需要讨论大量独立随机变量和的问题.中心极限定理回答了大量独立随机变量和的近似分布问题, 其结论表明: 当一个量受许多随机因素(主导因素除外) 的共同影响而随机取值, 则它的分布就近似服从正态分布.1．林德伯格—勒维定理定理6 (林德伯格—勒维) 设 ,,,,21n X X X 是独立同分布的随机变量序列, 且,,,2,1,)(,)(2n i X D X E i i ===σμ则 ⎰∑∞--=∞→=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-x t n i i n dt e x n n X P 2/1221lim πσμ 注: 定理6表明: 当n 充分大时, n 个具有期望和方差的独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布. 虽然在一般情况下, 我们很难求出n X X X +++ 21的分布的确切形式, 但当n 很大时, 可求出其近似分布. 由定理结论有.1),/,(~)1,0(~/1)1,0(~1211∑∑∑====⇒-⇒-n i i ni i ni i X n X n N X N nX n N n n X σμσμσμ近似近似故定理又可表述为: 均值为μ, 方差的02>σ的独立同分布的随机变量 ,,,,21n X X X 的算术平均值X , 当n 充分大时近似地服从均值为μ,方差为n /2σ的正态分布. 这一结果是数理统计中大样本统计推断的理论基础.2. 棣莫佛—拉普拉斯定理在第二章中，作为二项分布的正态近似，我们曾经介绍了棣莫佛—拉普拉斯定理，这里再次给出，并利用上述中心极限定理证明之.定理7（棣莫佛—拉普拉斯定理）设随机变量n Y 服从参数p n ,)10(<<p 的二项分布, 则对任意x , 有)(21)1(lim 22x dt e x p np np Y P x tn n Φ==⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--⎰∞--∞→π注: 易见，棣莫佛—拉普拉斯定理就是林德伯格—勒维定理的一个特殊情况.3．用频率估计概率的误差设n μ为n 重贝努里试验中事件A 发生的频率, p 为每次试验中事件A 发生的概率,,1p q -=由棣莫佛—拉普拉斯定理,有⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-<-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-pq n npqnp pq nP p n P n n εμεεμ .12-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ≈pq n pq n pq n εεε这个关系式可用解决用频率估计概率的计算问题:4. 李雅普诺夫定理定理8（李雅普诺夫定理） 设随机变量 ,,,,21n X X X 相互独立, 它们具有数学期望和方差: ,2,1,0)(,)(2=>==i X D X E kk k k σμ，记.122∑==nk k nB σ 若存在正数δ, 使得当∞→n 时,,0}|{|1122→-∑=++nk k knXE Bδδμ则随机变量之和∑=n k k X 1的标准化变量:nnk kn k kn k k n k k nk k n B X X D X E X Z ∑∑∑∑∑=====-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11111μ的分布函数)(x F n 对于任意x , 满足).(21lim )(lim 2/112x dt e x B X P x F x t n n k k n k k n n n Φ==⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤-=⎰∑∑∞--==∞→∞→πμ注：定理8表明, 在定理的条件下, 随机变量.11nnk kn k kn B X Z ∑∑==-=μ当n 很大时,近似地服从正态分布)1,0(N . 由此, 当n 很大时,∑∑==+=nk k n n nk k Z B X 11μ近似地服从正态分布⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=21,n n k k B N μ.这就是说,无论各个随机变量),2,1( =k X k 服从什么分布,只要满足定理的条件,那么它们的和∑=nk k X 1当n 很大时,就近似地服从正态分布.这就是为什么正态随机变量在概率论中占有重要地位的一个基本原因.在很多问题中,所考虑的随机变量可以表示成很多个独立的随机变量之和,例如,在任一指定时刻,一个城市的耗电量是大量用户耗电量的总和;一个物理实验的测量误差是由许多观察不到的、可加的微小误差所合成的,它们往往近似地服从正态分布.例题选讲：切比雪夫不等式例1(讲义例1)在每次试验中, 事件A发生的概率为0.75, 利用切比雪夫不等式求: 事件A出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.90?中心极限定理例2(讲义例2) 一盒同型号螺丝钉共有100个,已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量,期望值是100g标准差是10g, 一盒螺丝钉的重量超过10.2kg的概率.例3 (讲义例3)计算机在进行数学计算时，遵从四舍五入原则。
概率论与数理统计高教版第四版课后习题答案
当且仅当属于该集合的某一个样本点在试验中出现。不可 能事件就是空集Φ 。必然事件就是样本空间Ω 。于是事件 之间的关系和运算就可以用集合论的知识来解释。 为了直观，人们还经常用图形表示事件。表示方法与集 合论中表示集合的方法相同。 （三）事件之间的关系及其运算 1.事件的包含 如果事件A发生必然导致事件B发生，即属于A的每一 个样本点也属于B,则称事件B包含事件A，或称事件A包含于 事件B中。记作 B⊃A，A⊂B B⊃A的一个等价说法是：如果事件B不发生，必然导致事 件A也不会发生。显然对于任何事件A,有 Φ ⊂A⊂Ω 。
8. 完备事件组 若事件A1,A2,…,An为两两互不相容的事件，并且A1+A2+… +An=Ω ,则称A1,A2,…,An构成一个完备事件组。 例1，例2，例3，例4
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§1.2 概率 概率论研究的是随机现象量的规律性。因此仅仅知道试验中 可能出现哪些事件是不够的，还需要对事件发生的可能性大小 的问题进行描述。 上面所提到的随机事件在一次试验中是否发生是不确定的， 但是在大量的重复试验中，它的发生确具有统计规律性，所以 应用中从大量的试验出发来研究它。 先来看看两个例子，掷一枚均匀硬币的试验中，出现文字 （反面）或国徽（正面）的事件，总体来看，在试验中两面中 总有一面会出现，而且他们出现的机会是相等的。但是在一次 是一次试验中，这两面中究竟哪一面出现我们无法确定，但我 们可以确定两面出现的机会是相等的。又如，掷一枚均匀的 骨殳子，在一次试验中，1点，2点，3点，4点，5点，6点都可
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全非废品的概率。 例3 两封信随机的向标号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的四个邮筒 投寄，求第二个邮筒恰好投入1封信的概率。 补充例题 例题1 随机地安排甲、乙、丙三人在一星期内各学习一 天，求： （1）恰好有一人在星期一学习的概率； （2）3人学习日期不相重的概率； 解：（1）基本事件的总数为7×7×7=343 甲、乙、丙三人中只有一人排在星期一由3种排法A31其余两 人排在其余的6天之中的任何一天，没人有6种排法，所以 三人中在一周内切恰有一人排在周一的排法共有A31×62=3× 36=108,所以恰好有一人在星期一学习的概率为108/343。
概率论与数理统计课程第一章练习题及解答
概率论与数理统计课程第一章练习题及解答一、判断题（在每题后的括号中对的打“√”错的打“某”）1、若P(A)1，则A与任一事件B一定独立。
（√）2、概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科。
（√）3、样本空间是随机现象的数学模型。
（√）4、试验中每个基本事件发生的可能性相同的试验称为等可能概型。
（某）5、试验的样本空间只包含有限个元素的试验称为古典概型。
（某）6、实际推断原理就是“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”。
（√）7、若S为试验E的样本空间，B1,B2,称B1,B2,,Bn为E的一组两两互不相容的事件，则（某）,Bn为样本空间S的一个划分。
8、若事件A的发生对事件B的发生的概率没有影响，即P(BA)P(B)，称事件A、B独立。
（√）9、若事件B1,B2,独立的。
（√）10、若事件B1,B2,,Bn(n2)相互独立，则其中任意k(2kn)个事件也是相互,Bn(n2)相互独立，则将B1,B2,,Bn中任意多个事件换成它们的对立事件，所得的n个事件仍相互独立。
（√）二、单选题1．设事件A和B相互独立，则P(AB)（C）1P(A)P(B)A、P(A)P(B)B、P(A)P(B)C、1P(A)P(B)D、2、设事件A与B相互独立，且0P(A)1,0P(B)1，则正确的是（A）A、A与AB一定不独立C、A与BA一定独立B、A与AB一定不独立D、A与AB一定独立3、设当事件A与B同时发生时，事件C必发生，则（B）A、P(C)P(A)P(B)1B、P(C)P(A)P(B)1C、P(C)P(AB)D、P(C)P(AB)4、在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t0，电炉就断电，以E表示事件“电炉断电”，而T(1)T(2)T(3)T(4)为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E等于（）A、{T(1)t0}B、{T(2)t0}C、{T(3)t0}D、{T(4)t0}分析事件{T(4)t0}表示至少有一个温控器显示的温度不低于临界温度t0；事件{T(3)t0}表示至少有两个温控器显示的温度不低于临界温度t0，即E{T(3)t0}，选C。
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下面我们先介绍大数定律
大数定律的客观背景 大量的随机现象中平均结果的稳定性
大量抛掷硬币 正面出现频率
生产过程中的 字母使用频率 废品率
……
几个常见的大数定律
定理1（切比雪夫大数定律）
设 X1,X2, …是相互独立的随机 变量序列，它们都有有限的方差， 并且方差有共同的上界，即 D(Xi)
近于1.
请看演示 切比雪夫不等式和大数定律
作为切比雪夫大数定律的特殊情况， 有下面的定理.
定理2（独立同分布下的大数定律）
设X1,X2, …是独立同分布的随机变量
序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= 2， i=1,2,…,
则对任给 >0,
lim
n
P{|
1 n
n i 1
Xi
| } 1
设Sn是n重贝努里试验中事件A发生的 次数，p是事件A发生的概率，则对任给的
ε> 0， lim P{| Sn p | } 1
n
n
或 lim P{| Sn p | } 0
n
n
任给ε>0， lim P{| Sn p | } 0
n
n
贝努里大数定律表明，当重复试验次数
≤K，i=1,2, …， 则对任意的ε>0，
切比雪夫
lim
n
P{|
1 n
n i1
Xi
1 n
n i1
E(Xi)
|
}1
证明切比雪夫大数定律主要的数学 工具是切比雪夫不等式.
设随机变量X有期望E(X)和方差 2，
则对于任给 >0,
P{|
X
E(X源自)|}
1
2 2
概率论与数理统计是研究随机现象统计 规律性的学科. 随机现象的规律性只有在相 同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出 来. 也就是说，要从随机现象中去寻求必然 的法则，应该研究大量随机现象.
研究大量的随机现象，常常采用极限 形式，由此导致对极限定理进行研究. 极 限定理的内容很广泛，其中最重要的有两 种:
切比雪夫大数定律表明，独立随机变
量序列{Xn}，切如比雪果夫方大差数有定共律同给出的了上界，则
1
n
n i 1
Xi 与其平数均学值期稳望定n性1 i的n1 科E(学X描i )偏述差很小的
概率接近于1.
随机的即了当，n充取分值大接时近，于其n1 i数n1 X学i 差期不望多的不概再率是接
1) 产生在(0,1)上均匀分布的随机数rn, n=1,2,…,N
2) 计算g(rn)， n=1,2,…,N
3) 用平均值近似积分值
即
I
1 N
N
g(rn )
n1
I
原理是什么呢？
设X~U(0, 1)
I
1 N
N
g(rn )
n1
I
1, 0 x 1
X~
f (x)
0,
其它
1
E[g( X )] g(x) f (x)dx g(x)dx
0
由大数定律 0,
因此Nlim，当P{N| 充N1 分nN1大g时(rn，) 1
N
1
g(x)dx | } 1
0
N
1
g(rn)
g( x)dx
0
n1
问：若求 I b g(x)dx 的值 a 应如何近似计算？请思考.
似值.
下面给出的独立同分布下的大数定 律，不要求随机变量的方差存在.
定理3（辛钦大数定律）
设随机变量序列X1,X2, …独立同
辛钦
分布，具有有限的数学期E(Xi)=μ,
i=1,2,…， 则对任给ε >0 ，
lim P{|
n
1 n
n i 1
Xi
| } 1
请看演示 辛钦大数定律
辛钦大数定律为寻找随机变量的期 望值提供了一条实际可行的途径.
n充分大时，事件A发生的频率Sn/n与事件A 的概率p有较大偏差的概率很小.
请看演示 贝努里大数定律
贝努里大数定律提供了通过试验来确 定事件概率的方法.
针长L 线距a
蒲丰投针问题中解法的 理论依据就是大数定律
2Ln
am
当投针次数n很大时，用针与线相交的频率
m/n近似针与线相交的概率p，从而求得π的近
下面给出的贝努里大数定律，
是定理2的一种特例.
设Sn是n重贝努里试验中事件A发
生的次数，p是事件A发生的概率，
贝努里
引入
1， 如第i次试验A发生
X
i
0，
否则
i=1,2,…,n
n
则
Sn Xi
i 1
Sn
n
1 n
n i 1
Xi
是事件A发生的频率
于是有下面的定理：
贝努里
定理3（贝努里大数定律）
例如要估计某地区的平均亩产量，要 收割某些有代表性的地块，例如n 块. 计 算其平均亩产量，则当n 较大时，可用它 作为整个地区平均亩产量的一个估计.
下面我们再举一例说明大数定律的 应用.
定积分的概率计算法
求
I
1
g( x)dx
的值
0
求 I
1
g( x)dx
的值
0
我们介绍均值法，步骤是
请看演示 定积分的概率计算法
这一讲我们介绍了大数定律 大数定律以严格的数学形式表达了随 机现象最根本的性质之一：
平均结果的稳定性 它是随机现象统计规律的具体表现. 大数定律在理论和实际中都有广泛的应用.
休息片刻继续下一讲