动态几何问题(课件)

（1）点的坐标为（ ， ）（用含t的代数式表示）． P （2）记 △MPA的面积为S，求 S 与 t 的函数关系式(0 t 4) 秒时 S 有最大值，最大值是 （3）当t y （4）若点Q 在 y 轴上，当S 有最大值且 N B C △QAN 为等腰三角形时，求直线AQ P 的解析式． F
①x最大能“逼近”哪个点（数）？最小能“逼近 哪个点（数）？ 能否等于这个数？ ② 在变化过程中有无特殊点（数） ③综合以上两点下结论，另外，此题还结合了动 态问题和分类问题，这是代数几何综合题，也是 今后发展的命题趋势。
类似的试题有：
A、B是直线l上的两点，AB=4厘米。过l外一点C作 CD∥l，射线BC与l所成的锐角∠1=60°，线段 BC=2厘米。动点P、Q分别从B、C同时出发，P以 每秒1厘米的速度沿由B向C的方向运动。设P、Q运 动的时间为t(秒)，当t＞2时，PA交CD于E。
②当2＜t≤3时
2
③当3＜t≤4.5时
3 2 27 42 3 9 15 s t t t 5 5 5 5 2 4
2
（3）点P 、 Q在运动的过程中，阴影部分面积S 有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说 明理由。
解：（3）有 ①在0＜t≤2时
3 9 当t , s有最大值 , s1 2 4

M A
B
B. 2 3 D. 4 2 3 N P
C
3.如图，已知梯形ABCD，AD // BC, 此时其最小值一定等于
A.6 C.4 E
AD DC 4, BC 8, 点N在BC上，CN 2, E是AB
中点，在AC上找一点M，使EM MN的值最小，

B.8 D.10 C
， ． ， ． ． .
AN AB BN 3 2
2 2 2 2
．
2
Q
A(4， 0)
x
1 Q1 (0，- ) Q2 (0 ， 0) Q3 (0， 6) 2
1 1 ) 时，设直线AQ的解析式为 y kx ，将 当 Q 为(0， 2 2 1 1
2 1 81 直线 AQ的解析式为 y 8 x 2 0) 时，A(4， Q(0， 0) 均在 x 轴上， 0)， 当Q 为(0， （或直线为 x轴）． 直线AQ 的解析式为y 0
二、动点与列函数关系式相结合
已知：如图： △ABC中，∠C=90°， AC=3cm，CB=4cm， 两个动点P、 Q 分别从A 、C两点同时按顺时针方 向沿△ABC的边运动，当点Q运动到 点A时，P 、Q两点运动即停止，点 P、 Q的运动速度分别为 1cm/s 、 2cm/s。设点P运动时间为t(s)
Ｂ
Q Ｃ
A
P
(1).当时间t为何值时，以P 、 C 、 Q三点为 顶点的三角形的面积（图中的阴影部分）等 于2cm²； (2). 当点P 、 Q 运动时，阴影部分的形状随 之变化，设PQ与△ABC围成阴影部分面积为 S（cm²），求出S与时间t的函数关系式，并 指出自变量t的取值范围； （3）点P 、 Q在运动的过程中，阴影部分 面积S有最大值吗？若有，请求出最大值；若 没有，请说明理由。
(2).当点 P 、 Q运动时，阴影部分的形状随之变化，设 PQ 与△ ABC 围成阴影部分面积为 S （ cm² ），求出 S 与 时间t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；
解：（2） ①当0＜t≤2时 2 3 9 2 s t 3t t 2 4
4 2 18 4 9 39 s t 6 t 5 5 5 4 20
．
一、动点型
1、动点与最值问题相结合
2、动点与列函数关系式相结合
． ，
3、动点与坐标几何题相结合 4、动点与分类讨论相结合
一、动点与最值问题相结合
0
例1如图，在ABC中，AC BC 2,
ACB 90 , D是边BC的中点，E是边AB上一动点， 则EC ED的最小值是_______
．
C
B(4， 3)
QN 2 CN 2 CQ2 22 (3 y)2
O M △QAN 为等腰三角形， ①若 AQ AN，则 42 y2 32 22，此时方程无解． 1 2 2 2 2 ②若 AQ QN ，即 4 y 2 (3 y) ，解得 y ． 2 2 2 2 2 ③若 QN AN，即 2 (3 y) 3 2 ，解得 y1 0，y2 6
（ 1 ）在 x 轴上存在这样的点 M ，使△ MAB 为等腰三 角形，求出所有符合要求的点 M 的坐标； （2）动点P从点C开始在线段CO上以每秒 3 个单位长 度的速度向点 O移动，同时，动点Q从点O开始在线段上 OA以每秒1个单位长度的速度向点A移动．设P,Q 移动的 时间为t秒． x ①是否存在这样的时刻 t，使△OPQ 与△BCP相似， 并说明理由； y ②设△BPQ 的面积为s，求s与t B 间的函数关系式，并求出t为何值时， A s有最小值． M2 O M4 M1M3 C M5 x
．
C F O
y
3) N B(4，
． ．
P M E A(4， 0) x
（4）若点Q在y轴上，当s有最大值且△QAN为等腰三角形 时，求直线AQ的解析式．
t2 解：由（3）知，当 S 有最大值时， y，此时 N N 在 BC 的中点处，如下图,设 Q(0，y)
则 AQ2 OA2 OQ2 42 y 2
Ｂ
12 当t 3，s有最大值， s2 5
②在2＜t≤3时
Q
③在3＜t≤4.5时
9 当t ，s有最大值， s3 2 4
A 15
P
Ｃ
所以 S有最大值是
15 4
技巧点拨:由几何条件确定函数关系式，关 键在于寻找两个变量的等量关系，同时，确定 自变量取值范围也是完整解这类题不可忽视的 步骤，求自变量的取值范围一般采用结合图形。 直接确定其思维过程为：
(1)当时间t为何值时，以P 、 C 、 Q三点为顶点 的三角形的面积（图中的阴影部分）等于2cm² ； 解：（1）S PCQ
3 t t 2
A t 1 , t 2 2 解得 1 P
1 3 t 2t 2
1 PC CQ 2
Ｂ
Q
Ｃ
2
当时间t为 1s或2s时，SPCQ 2cm
，
在解这类题时，要充分发挥空间想象的能 力，往往不要被“动”所迷惑，在运动中寻求 一般与特殊位置关系；在“动”中求“静”， 化“动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬间， 通过探索、归纳、猜想，正确分析变量与其它 量之间的内在联系，建立变量与其它量之间的 数量关系。再充分利用直观图形，并建立方程、 函数模型或不等式模型，结合分类讨论等数学 思想进行解答。
A C
E
A
E
F
B
D B C
D
类似的试题有：
1如图，菱形ABCD的两条对角线
分别长6和8，点P是对角线AC上的一个 动点，点M , N分别是边AB，BC的中点， 则PM PN的最小值是— — — —
D
A M
P B
N’
C N
2如图，在等腰ABC中，ABC 1200，
点P是底边AC上一个动点， M , N分别是AB, BC 的中点，若PM PN的最小值为 2，则ABC的 周长是 A.2 C.4
③ AB 为腰且 MB AB 时，由题意可知
OM4 OC CM4 3 2
0) M 4 ( 3 2， 0) ，由对称性知 M5 ( 3+ 2，
y
A
O
B
C x
（2）、①是否存在这样的时刻t，使△OPQ 与△BCP相
似，并说明理由；
（2）①假设存在这样的时刻 t，使 △OPQ与△BCP相似． CP 3t，OQ t，OP 3 3t
A
D M N
B
2 3) ，与 y ax bx c （4）已知抛物线 与y轴交于点A(0， B(1 ， 0) ， 轴分别交于 C (5， 0) 两点．
（1）求此抛物线的解析式； （2）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的 解析式； （3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴 上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上 某点（设为点F），最后运动到点A．求使点P运动 的总路径最短的点E，点F的坐标，并求出这个最 短总路径的长．
， ． ． ．
O
M
E A
x
3 4 t， t 解：（1） 4 3 MA 边上的高为 t （2）在△MPA 中， MA 4 t ， 4
S S△ MPA
3 （3）2 ， 2
3 2 3 S t t (0 t 4) 8 2
．
1 3 (4 t ) t 即 2 4
2
5
△OPQ 与 △BCP 相似．
2 或 t 时， 3
（2）、 ②设△BPQ 的面积为s，求s与t
间的函数关系式，并求出t为何值时，s有 最小值．
②S
S矩形OABC S△ABQ S△OPQ S△BCP
3 1 1 3 (1 t ) t ( 3 3t ) 3t y 2 2 2
A
C
（2）当r=2厘米时，⊙O在移动过程中与△ABC 三边有几个切点？ 当r=2厘米时，⊙O在移动过程 中与△ABC三边有六个切点. （3）猜想不同情况下,r的取 A 值范围及相应的切点个数; 当r>9厘米时,没有切点; 当r=9厘米时,有3个切点; 当0<r<9厘米时,有6个切点.
6)时， 当 Q 为 (0， Q，N，A在同一直线上，
．
A(4， 0) 代入得 4k 0， k
△ANQ 不存在，舍去． 1 1 故直线 AQ的解析式为 y 8 x 2
．
，
或y
0
． ． ．
类似的试题有：
1.如图3， A是硬币圆周上一点，硬币与数轴相切于原点O ﹙A与O点重合﹚，假设硬币的直径为1个单位长度，若 将硬币沿数轴正方向滚动一周，点A恰好与数轴上点 A 重合，则点 A对应的实数是 ．
CP BC t 3 3t t 3 3t 或 1 3t 1 3t
，
由 OQ OP 或 OQ OP 得 BCຫໍສະໝຸດ BaiduCP
y A Q O P C x B
．
即t
． ．
2
2 1 5 或t 解得 t 3 2
又
1 0 ≤ t ≤1 当 t 2
t 1 0
或 3t
已知，如图，在直角坐标系中，矩形的对 3 y x 1 角线所在直线解析式为： 3
四、动点与分类讨论相结合
1) （1）易知 A(0，
C( 3 ， 0)
B( 31) ，
3 0) ① AB为底边，则 M1 ( 2 ，
② AB 为腰且
MA AB 时，由题意可知
AM 2 AB 3， OM 2 2
图形中的点、线的运动，构成了数学中 的一个新问题 —— 动态几何。它通常分为三 种类型：动点问题、动线问题、动形问题。 这类试题以运动的点、线段、变化的角、图 形的面积为基本的条件，给出一个或多个变 量，要求确定变量与其它量之间的关系，或 变量在一定条件下为定量时，进行相关的几 何计算、证明或判断。
(1)用含t的代数式分别表示CE和QE的长； (2)求△APQ的面积S与t的函数关系式； (3)当QE恰好平分△APQ的面积时，QE的长是 多少厘米？
三、动点与坐标几何题相结合
如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC为矩形，点 0) (4 3) ，动点M，N 分别从点 A， B的坐标分别为 (4，，， O，B 同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点 M 沿 OA向终点 A 运动，点 N 沿BC向终点 C 运动， 过点 N 作 NP BC ，交AC 于点 P，连结MP，当两动点 运动了 t 秒时．
．
3 2 3 1 2 3 3 (t t 1) (t ) 2 2 2 8 1 当t 时，面积 S 有最小值， 2
最小值是 3 3 8
A Q O P
B
C
x
类似的题有：
1、如图，已知正三角形 ABC的高为9厘米，⊙O的 半径为r厘米，当圆心O 从点A出发，沿线路AB— BC—CA运动，回到点A时， B ⊙O随着点O的运动而停 止. （1）当r=9厘米时，⊙O 在移动过程中与△ABC三 边有几个切点？ 当r=9厘米时，⊙O在移动过程 中与△ABC三边有三个切点.