高考数学复习 第十章 第二节 二项式定理及其应用 理
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高考数学理一轮复习 10-3二项式定理及其应用精品课件
1 n 备选例题 1 在二项式( x－ ) 的展开 3 2 x 式中，前三项系数的绝对值成等差数列．求： (1)展开式的常数项； (2)展开式中各项系数的和． 3
1 n 解： 由条件“二项式( x－ ) 的展开式中， 3 2 x 前三项系数的绝对值成等差数列”可求出 n 的值． 1 n 3 ∵( x－ ) 展开式的前三项系数的绝对值 3 2 x n(n－1) 1 为 1，2n， 8 ， n(n－1) 1 ∴2×2n＝1＋ 8 ，∴n2－9n＋8＝0， ∴n＝8 或 n＝1(舍去)． 3
[解] (1)令 x＝0，则 a0＝－1； 令 x ＝ 1 ，则 a7 ＋ a6 ＋…＋ a1 ＋ a0 ＝ 27 ＝ 128① ∴a7＋a6＋…＋a1＝129. (2)令 x＝－1， 则－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－ 4)7② ①－② 由 2 得： 1 a7＋a5＋a3＋a1＝2[128－(－4)7]＝8 256. ①＋② (3)由 2 得： 1 a6＋a4＋a2＋a0＝2[128＋(－4)7]＝－8 128.
[规律总结]
本题是先求二项式的指数，再求与通项
有关的其他问题．一般地，解此类问题可以分两步完成：第 一步是根据所给出的条件 ( 特定项 )和通项公式，建立方程来 确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r均为非负整数，且
n≥r的隐含条件)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的
项．此外，解本题时，为减少计算中的错误，宜把根式化为 分数指数幂.
第三节
二项式定理及其应用
知识自主· 梳理
掌握二项式定理和二项展开式的性质 最新考纲 ，并能用它们计算和证明一些简单的 问题．
1.运用二项式定理的通项公式求指定 项或与系数有关的问题； 高考热点 2．赋值法、转化与化归思想等在二项 展开式中的应用问题.
二项式定理的应用与实例解析
二项式定理的应用与实例解析二项式定理是代数学中的重要概念之一，它在数学推理和实际问题求解中具有广泛的应用。
本文将介绍二项式定理的概念及其应用，并通过具体的实例进行解析，以帮助读者更好地理解和应用该定理。
一、二项式定理的概念二项式定理是指对于任意非负整数n和实数a、b，有以下的公式：(a + b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + C(n,2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n,n) * a^0 * b^n其中，C(n, k)表示组合数，表示从n个元素中选取k个元素的组合数，计算公式为：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)二、二项式定理的应用1. 概率计算二项式定理在概率计算中起到了重要作用。
例如，设有一枚正反面均匀的硬币，进行n次独立的抛掷，求正面出现k次的概率。
根据二项式定理，可以得到概率公式：P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，p表示正面出现的概率。
2. 组合数学二项式定理在组合数学中应用广泛，可以用于求解组合数、排列数等问题。
例如，求集合中元素的子集个数，可以通过二项式定理计算：对于一个集合，它的子集个数为2^n个，其中n表示集合中元素的个数。
3. 计算多项式展开式系数二项式定理可以用于计算多项式展开式中各项的系数。
例如，对于多项式(a + b)^n，可以通过二项式定理的应用，直接得到展开式中各项的系数。
这对于计算多项式的展开式提供了效率和便利。
三、应用实例解析1. 概率计算实例假设有一枚硬币，进行10次独立抛掷，求正面出现2次的概率。
根据二项式定理的应用，可以得到：P(X = 2) = C(10, 2) * 0.5^2 * 0.5^8 = 45 * 0.25 * 0.00390625 = 0.04395因此，正面出现2次的概率约为0.044。
二项式定理及其应用
二项式定理及其应用二项式定理是数学中的一条重要定理，它揭示了如何展开和求解(x + y)ⁿ这种形式的表达式。
本文将介绍二项式定理的公式及其应用，并探讨其在数学和实际问题中的意义。
1. 二项式定理的公式二项式定理的公式如下所示：(x + y)ⁿ = C(n,0) · xⁿ · y⁰ + C(n,1) · xⁿ⁻¹ · y¹ + C(n,2) · xⁿ⁻² · y² + ... + C(n,n-1) · x · yⁿ⁻¹ + C(n,n) · x⁰ · yⁿ其中，C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数，也可以表示为n! / (k! · (n-k)! )。
在展开(x + y)ⁿ时，每一项的系数就是组合数C(n,k)，指数是x和y的幂次。
2. 二项式定理的应用2.1 二项式系数二项式定理中的组合数C(n,k)被称为二项式系数，它具有很多重要的性质。
其中最为著名的是杨辉三角形，每一行的数字都是由上一行相邻两个数字相加而来。
杨辉三角形也是计算二项式系数的一种常用方法。
2.2 展开式的应用二项式定理的展开式可以用于求解多项式的乘法、计算多项式在某一点的值等问题。
通过展开(x + y)ⁿ，可以直观地观察到每一项的系数和指数之间的关系，从而简化计算。
2.3 组合恒等式二项式定理可以通过一些代数推导得到一些有用的组合恒等式，如：- C(n,0) + C(n,1) + C(n,2) + ... + C(n,n) = 2ⁿ- C(n,0) - C(n,1) + C(n,2) - ... + (-1)ⁿ · C(n,n) = 0这些恒等式在组合数学、概率论等领域中有着重要的应用。
3. 二项式定理的意义二项式定理的意义不仅仅局限于数学领域，它在实际问题中也有广泛的应用。
二项式定理及应用ppt课件
• 【答案】 C
4．已知二项式(x－1x)n的展开式中含x3的项 是第4项，则n的值为________．
【解析】 ∵通项公式Tr＋1＝Crn(－1)rxn－2r， 又∵第4项为含x3的项， ∴当r＝3时，n－2r＝3，∴n＝9.
• 【答案】 9
5．若(x2＋
1 ax
)6的二项展开式中x3的系数为
联立①②得
a1＋a3＋…＋a99＝(2－
3)100－(2＋ 2
3)100 .
(3)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋… ＋a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋
a99)] ＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－a3 ＋…＋a98－a99＋a100) ＝(2－ 3)100(2＋ 3)100＝1.
52，则a＝________(用数字作答)．
【解析】 Tr＋1＝Cr6a－rx12－3r， 当12－3r＝3时，r＝3，∴C63a－3＝52，∴a＝2.
• 【答案】 2
求特定的项或特定项的系数
已知在(3 x－ 1 )n的展开式中，第6 3
2x 项为常数项． (1)求n； (2)求含x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．
(4)方法一：∵展开式中，a0，a2， a4，…，a100大于零，而a1，a3，…，a99小 于零，
∴原式＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋
a100 ＝(2＋ 3)100.
方法二：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|， 即(2＋ 3x)100展开式中各项的系数和， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|＝(2＋ 3)100.
• 【思路点拨】 本题给出二项式及其二项展开式求各系
4．已知二项式(x－1x)n的展开式中含x3的项 是第4项，则n的值为________．
【解析】 ∵通项公式Tr＋1＝Crn(－1)rxn－2r， 又∵第4项为含x3的项， ∴当r＝3时，n－2r＝3，∴n＝9.
• 【答案】 9
5．若(x2＋
1 ax
)6的二项展开式中x3的系数为
联立①②得
a1＋a3＋…＋a99＝(2－
3)100－(2＋ 2
3)100 .
(3)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋… ＋a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋
a99)] ＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－a3 ＋…＋a98－a99＋a100) ＝(2－ 3)100(2＋ 3)100＝1.
52，则a＝________(用数字作答)．
【解析】 Tr＋1＝Cr6a－rx12－3r， 当12－3r＝3时，r＝3，∴C63a－3＝52，∴a＝2.
• 【答案】 2
求特定的项或特定项的系数
已知在(3 x－ 1 )n的展开式中，第6 3
2x 项为常数项． (1)求n； (2)求含x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．
(4)方法一：∵展开式中，a0，a2， a4，…，a100大于零，而a1，a3，…，a99小 于零，
∴原式＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋
a100 ＝(2＋ 3)100.
方法二：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|， 即(2＋ 3x)100展开式中各项的系数和， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|＝(2＋ 3)100.
• 【思路点拨】 本题给出二项式及其二项展开式求各系
2025届高中数学一轮复习课件《二项式定理》ppt
3．二项式系数 二项展开式中各项的系数___C_nk__(k∈{0，1，…，n})叫做二项式系数．
高考一轮总复习•数学
第6页
二 二项式系数的性质 1．对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数__相__等_____．
2．增减性与最大值：当 n 是偶数时，中间的一项_________取得最大值；当 n 是奇数时，
高考一轮总复习•数学
第8页
1．判断下列结论是否正确． (1)Crnan－rbr 是(a＋b)n 的展开式中的第 r 项．( ) (2)通项公式 Tr＋1＝Crnan－rbr 中的 a 和 b 不能互换．( √ ) (3)(a＋b)n 的展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的 二项式系数不同．(√ ) (4)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则 a7＋a6＋…＋a1 的值为 128.( )
或者其他量.
高考一轮总复习•数学
第19页
对点练 1(1)在2x－mx 6 的展开式中，若常数项为－20，则实数 m 的值为(
)
A．12
B．－12
C．－2
D．2
(2)(2024·湖北部分重点中学第二次联考)用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中
个位小于百位且百位小于万位的五位数有 n 个，则(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋…＋(1＋x)n
(3)(3
3－2)7 的展开式的通项
Tk＋1＝Ck7·(3
7－k
3)7－k·(－2)k＝Ck7·3 3
·(－2)k(k＝0,1,2,3,4,5,6,7)，
高考一轮总复习•数学
第17页
要使第 k＋1 项为有理数，则7－3 k∈Z，则 k 可取 有理项的求法．
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第6页
二 二项式系数的性质 1．对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数__相__等_____．
2．增减性与最大值：当 n 是偶数时，中间的一项_________取得最大值；当 n 是奇数时，
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1．判断下列结论是否正确． (1)Crnan－rbr 是(a＋b)n 的展开式中的第 r 项．( ) (2)通项公式 Tr＋1＝Crnan－rbr 中的 a 和 b 不能互换．( √ ) (3)(a＋b)n 的展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的 二项式系数不同．(√ ) (4)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则 a7＋a6＋…＋a1 的值为 128.( )
或者其他量.
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对点练 1(1)在2x－mx 6 的展开式中，若常数项为－20，则实数 m 的值为(
)
A．12
B．－12
C．－2
D．2
(2)(2024·湖北部分重点中学第二次联考)用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中
个位小于百位且百位小于万位的五位数有 n 个，则(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋…＋(1＋x)n
(3)(3
3－2)7 的展开式的通项
Tk＋1＝Ck7·(3
7－k
3)7－k·(－2)k＝Ck7·3 3
·(－2)k(k＝0,1,2,3,4,5,6,7)，
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要使第 k＋1 项为有理数，则7－3 k∈Z，则 k 可取 有理项的求法．
第十章 §10.2 二项式定理-2024-2025学年高考数学大一轮复习(人教A版)配套PPT课件
(x＋y)8 展开式的通项为 Tk＋1＝Ck8x8－kyk，k＝0,1，…，7,8. 令 k＝6，得 T6＋1＝C68x2y6； 令 k＝5，得 T5＋1＝C58x3y5， 所以1－yx(x＋y)8 的展开式中 x2y6 的系数为 C68－C58＝－28.
(2)若(x2＋a)x＋1x8 的展开式中 x8 的系数为 9，则 a 的值为__1___.
自主诊断
2.(选择性必修第三册P31T4改编) 1x－
x10
的展开式中x2的系数等于
√A.45
B.20
C.－30
D.－90
k
因为展开式的通项为Tk＋1＝(1)k C1k0x 2
·x－(10－k)＝(
1)k
C1k0
x
10
3 2
k
Hale Waihona Puke ，令－10＋32k＝2，得 k＝8，
所以展开式中 x2 的系数为(－1)8×C810＝45.
则CC4n2n＝134，
nn－1 故nn－11n×－22n－3＝134，
1×2×3×4
得n2－5n－50＝0，解得n＝10(负值舍去)，故A正确；
则Tk＋1＝
(1)k
C1k0
x
20
5k 2
，
令 20－52k＝0，解得 k＝8， 则展开式中的常数项为(－1)8C810＝45，故 B 正确；
令 20－52k＝5，解得 k＝6，
第十章
§10.2 二项式定理
课标要求
能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理 解决与二项展开式有关的简单问题.
内容索引
第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型
课时精练
第一部分
高考数学一轮复习 第十章 计数原理 10.3 二项式定理课件 理 (2)
1 2 3 4 5 解析答案
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题型分类 深度剖析
题型一 二项展开式 命题点1 求二项展开式中的特定项或指定项的系数
例 1 (1)(2015·广东)在( x－1)4 的展开式中，x 的系数为____6____.
4r
解析 由题意可知 Tr＋1＝Cr4( x)4－r(－1)r ＝C4r (－1)r x 2 ， 4－r
r＋1
式 的通项公 Tr＋1＝
，C它rn 表示第
项
答案
2.二项式系数的性质
(1)0≤r≤n 时，Crn与 Cnn－r的关系是 Crn＝Cnn－r .
(2)二项式系数先增后减中间项最大
当 n 为偶数时，第
n2＋1
n
项的二项式系数最大，最大值为C
2 n
；当
n
为
n＋1 n＋3
n 1
n1
奇数时，第 2 项和
答案
2
考点自测
1.(教材改编)(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是_(_－__1_)m_－__1C__mn _－_1__. 解析 (x－y)n 展开式中第 m 项的系数为 Cmn －1(－1)m－1.
123பைடு நூலகம்5
解析答案
2.(2－ x)8 的展开式中，不含 x4 的项的系数的和为__0___. 解析 由通项公式，可得展开式中含 x4 的项为 T8＋1＝C8828－8(－1)8x4＝x4， 故含x4的项的系数为1.令x＝1， 得展开式的系数的和S＝1， 故展开式中不含x4的项的系数的和为1－1＝0.
12345
解析答案
4.(教材改编)x2－x235 展开式中的常数项为___4_0____. 解析 Tr＋1＝Cr5(x2)5－r－x23r＝Cr5(－2)rx10－5r. 令10－5r＝0，则r＝2.
二项式定理及应用PPT教学课件
2、( 1 3 x )20展开式中，不含x的项是第____ 项 x
3、（x2 - 1 ）9展开式中x9的系数是 _________（03年 2x
全国高考）
例1(x 1)5 5(x 1)4 10(x 1)3 10(x 1)2 5(x 1)
(A)x5 (C)x5+1
(B)x5-1 (D)(x-1)5-1
（1） a1+a2+a3+ a4 + a5的值 （2） a1+a3+ a5的值 （3） |a1|+|a2|+|a3|+ |a4| + |a5|的值
评注：涉及展开式的系数和的问题，常用赋值法解决
练习：
若(2 x 3 )4 a0 a1 x a2 x2 a3 x3 a4 x4 ,则 (a0 a2 a4 )2 (a1 a3 )2 ______ (99年全国)
作业: 指导与学习P74-75
T1-10
重庆遇罕见蝗灾
2001年夏，重庆壁山县古老城遭受了 罕见的蝗虫灾害，铺天盖地的蝗虫像 收割机一样把当地近千亩的农作物和 果树林吞食得面目全非，眼看数年心 血就要化为泡影。
重 庆 遇 罕 见 蝗 灾
请你帮助
古老城人可以怎样消灭 蝗虫，控制蝗灾？
古老城紧急呼救
1、已知
x
2 x
n
展开式中第五项的系数与
第三项的系数比是10 : 1，求展开式中含x的项
2、如果： 1＋2C
1 n
22 Cn2 L
2n
C
n n
2187
求：Cn1 L Cnr L Cnn 的值
小结 二项式定理体现了二项式展开式的指 数、项数、二项式系数等方面的内在联系。 涉及到二项展开式中的项和系数的综合问 题，只需运用通项公式和二项式系数的性 质对条件进行逐个击破，对于与组合数有 关的和的问题，赋值法是常用且重要的方 法，同时注意二项式定理的逆用
3、（x2 - 1 ）9展开式中x9的系数是 _________（03年 2x
全国高考）
例1(x 1)5 5(x 1)4 10(x 1)3 10(x 1)2 5(x 1)
(A)x5 (C)x5+1
(B)x5-1 (D)(x-1)5-1
（1） a1+a2+a3+ a4 + a5的值 （2） a1+a3+ a5的值 （3） |a1|+|a2|+|a3|+ |a4| + |a5|的值
评注：涉及展开式的系数和的问题，常用赋值法解决
练习：
若(2 x 3 )4 a0 a1 x a2 x2 a3 x3 a4 x4 ,则 (a0 a2 a4 )2 (a1 a3 )2 ______ (99年全国)
作业: 指导与学习P74-75
T1-10
重庆遇罕见蝗灾
2001年夏，重庆壁山县古老城遭受了 罕见的蝗虫灾害，铺天盖地的蝗虫像 收割机一样把当地近千亩的农作物和 果树林吞食得面目全非，眼看数年心 血就要化为泡影。
重 庆 遇 罕 见 蝗 灾
请你帮助
古老城人可以怎样消灭 蝗虫，控制蝗灾？
古老城紧急呼救
1、已知
x
2 x
n
展开式中第五项的系数与
第三项的系数比是10 : 1，求展开式中含x的项
2、如果： 1＋2C
1 n
22 Cn2 L
2n
C
n n
2187
求：Cn1 L Cnr L Cnn 的值
小结 二项式定理体现了二项式展开式的指 数、项数、二项式系数等方面的内在联系。 涉及到二项展开式中的项和系数的综合问 题，只需运用通项公式和二项式系数的性 质对条件进行逐个击破，对于与组合数有 关的和的问题，赋值法是常用且重要的方 法，同时注意二项式定理的逆用
高考数学知识点复习：二项式定理及其应用 课件
目标 3 二项式系数的性质及各项系数和 (2020·高密模拟)若(2－x)17＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a16(1＋x)16＋a17(1
＋ x)17 ， 则 (1) a0 ＋ a1 ＋ a2 ＋ … ＋ a16 ＝ ___2_1_7＋ __1__ ； (2) a1 ＋ 2a2 ＋ 3a3 ＋ … ＋ 16a16 ＝ _17_·_(_1_－__2_16_)_.
(2020·烟台模拟)若(2－x2)(1＋ax)3 的展开式的所有项系数之和为 27，则实数 a＝__2__，展开式中含 x2 项的系数是__2_3_.
【解析】 由已知得(2－12)(1＋a)3＝27，则 a＝2，所以(2－x2)(1＋ax)3＝(2－x2)(1＋ 2x)3＝(2－x2)(1＋6x＋12x2＋8x3)，所以展开式中含 x2 项的系数是 2×12－1＝23.
二项式系数
二项展开式中各项的系数为 Cnk(k∈{0,1,2，…，n})
2. 二项式系数的性质 (1) C0n＝1，Cnn＝1，Cmn＋1＝_____C_mn_－_1_＋__C_mn____.
Cnm＝___C_nn_－_m___ (0≤m≤n)． (2) 二项式系数先增后减中间项最大．
n
n＋1
当 n 为偶数时，第2＋1 项的二项式系数最大，最大值为 ，当 n 为奇数时，第 2
A. 4 项
B. 3 项
C. 2 项
D. 1 项
【解析】设第(r＋1)项含 x 的正整数次幂，则 Tr＋1＝C1r2·
，
1 其中 0≤r≤12.要使 6－6r 为正整数，必须使 r 为 6 的倍数，所以 r＝0,6,12，即第 1 项，
第 7 项，第 13 项为符合条件的项．
第2节 二项式定理及其应用--2025高中数学一轮复习课件基础版(新高考新教材)
4.在(ax+b)n 的展开式中,某项的系数一定与该项的二项式系数相同.( × )
题组二 回源教材
5.(人教A版选择性必修第三册6.3.1节练习第4题)(x-1)10的展开式的第6项
的系数是( D )
6
A.10
6
B.-10
5
C.10
5
D.-10
5
5
解析 (x-1)10 的展开式的第 6 项是 T6=C10
160
2 6
(x+) 的展开式的通项为
6-r 2 r
Tr+1=C6 x () =C6 2rx6-2r.
令 6-2r=0,可得 r=3,所以展开式中的常数项为C63 ×23=160.
(2)(2024·广东广州模拟)已知 n∈N
3
个值为__________.
1 n
,(x- 2 ) 的展开式中存在常数项,写出 n 的一
1 8
(2x- ) 中,令
故选 ABD.
x=1,得展开式中所有项的系数和为(2-1)8=1,故 D 正确.
(2)(多选题)(2024·山东日照模拟)已知(x-1)(x+2)6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,则
( AD )
A.a0=-64
B.a7=-1
C.a1+a2+…+a7=0
D.a1+a3+a5+a7=1
(- ) =(-1)r25-rC5 x5-2r.
1 5
令 5-2r=1,得 r=2.所以(2x- ) 的展开式中 x 的系数为(-1)2×25-2× C52 =80.
题组二 回源教材
5.(人教A版选择性必修第三册6.3.1节练习第4题)(x-1)10的展开式的第6项
的系数是( D )
6
A.10
6
B.-10
5
C.10
5
D.-10
5
5
解析 (x-1)10 的展开式的第 6 项是 T6=C10
160
2 6
(x+) 的展开式的通项为
6-r 2 r
Tr+1=C6 x () =C6 2rx6-2r.
令 6-2r=0,可得 r=3,所以展开式中的常数项为C63 ×23=160.
(2)(2024·广东广州模拟)已知 n∈N
3
个值为__________.
1 n
,(x- 2 ) 的展开式中存在常数项,写出 n 的一
1 8
(2x- ) 中,令
故选 ABD.
x=1,得展开式中所有项的系数和为(2-1)8=1,故 D 正确.
(2)(多选题)(2024·山东日照模拟)已知(x-1)(x+2)6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,则
( AD )
A.a0=-64
B.a7=-1
C.a1+a2+…+a7=0
D.a1+a3+a5+a7=1
(- ) =(-1)r25-rC5 x5-2r.
1 5
令 5-2r=1,得 r=2.所以(2x- ) 的展开式中 x 的系数为(-1)2×25-2× C52 =80.
2025高考数学一轮复习-10.3-二项式定理【课件】
解析 (x－1)3 展开式的通项 Tr＋1＝Cr3x3－r·(－1)r，(x＋1)4 展开式的通项 Tk＋1 ＝Ck4x4－k， 则 a1＝C03＋C14＝1＋4＝5； a2＝C13(－1)1＋C24＝3；
a3＝C23(－1)2＋C34＝7；a4＝C33(－1)3＋C44＝0，
所以a2＋a3＋a4＝3＋7＋0＝10.
大值 当 n 为奇数时，中间的两项
与 相等且取得最大值
3.各二项式系数和
(1)(a＋b)n 展开式的各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝__2_n___. (2)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即 C0n＋C2n＋C4n ＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝____2_n_－_1 ___.
当n＝4k－1时，展开式中存在x的一次项，D正确，C错误.
4.
x＋y2 x
(x＋y)5
的展开式中
x3y3
的系数为(
C
)
A.5
B.10
C.15
D.20
解析 法一 ∵x＋yx2(x＋y)5＝x＋yx2(x5＋5x4y＋10x3y2＋10x2y3＋5xy4＋y5)，
∴x3y3的系数为10＋5＝15.
法二 当 x＋yx2中取 x 时，x3y3 的系数为 C35， 当 x＋yx2中取yx2时，x3y3 的系数为 C15， ∴x3y3 的系数为 C35＋C15＝10＋5＝15.
(a＋b)n 的展开式形式上的特点 (1)项数为 n＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a 与 b 的指数的和为 n. (3)字母 a 按降幂排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直到零；字母 b 按升 幂排列，从第一项起，次数由零逐项增 1 直到 n. (4)二项式系数从 C0n，C1n，一直到 Cnn－1，Cnn.
a3＝C23(－1)2＋C34＝7；a4＝C33(－1)3＋C44＝0，
所以a2＋a3＋a4＝3＋7＋0＝10.
大值 当 n 为奇数时，中间的两项
与 相等且取得最大值
3.各二项式系数和
(1)(a＋b)n 展开式的各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝__2_n___. (2)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即 C0n＋C2n＋C4n ＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝____2_n_－_1 ___.
当n＝4k－1时，展开式中存在x的一次项，D正确，C错误.
4.
x＋y2 x
(x＋y)5
的展开式中
x3y3
的系数为(
C
)
A.5
B.10
C.15
D.20
解析 法一 ∵x＋yx2(x＋y)5＝x＋yx2(x5＋5x4y＋10x3y2＋10x2y3＋5xy4＋y5)，
∴x3y3的系数为10＋5＝15.
法二 当 x＋yx2中取 x 时，x3y3 的系数为 C35， 当 x＋yx2中取yx2时，x3y3 的系数为 C15， ∴x3y3 的系数为 C35＋C15＝10＋5＝15.
(a＋b)n 的展开式形式上的特点 (1)项数为 n＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a 与 b 的指数的和为 n. (3)字母 a 按降幂排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直到零；字母 b 按升 幂排列，从第一项起，次数由零逐项增 1 直到 n. (4)二项式系数从 C0n，C1n，一直到 Cnn－1，Cnn.
二项式定理 2025年高考数学基础专项复习
D选项， +
2 5
的展开式的通项公式为+1
3
2
=
3
2
C5 5−
⋅
2 −2
=
C5
⋅
3
2 5− 2 ，0
≤ ≤ 5，且为整数，当 = 0
3
2
时，5 − = 5，满足要求，当 = 2时，5 − = 2，满足要求，当 = 4时，5 − = −1，满足要求，综上，展
（2）若 = 0 + 1 + 2 2 + ⋯ + ,则 展开式中各项系数之和为 1 ,偶次项系数之和为
0 + 2 + 4 + ⋯ =
1 + −1
2
,奇次项系数之和为1 + 3 + 5 + ⋯ =
1 − −1
2
，令 = 0，可得0 = 0 .
结论正确的是( ACD )
A.展开式中所有项的二项式系数的和为22 023
C.展开式中所有偶次项的系数的和为
【解析】对于A， 1 − 2
= 1 − 2
32 023 −1
2
2 023 ，则
0
+ 1 + 2 + 3 + ⋯ + 2 023 = 1 = −1，
1 − −1
1 = C30 + C41 = 1 + 4 = 5；2 = C31 −1
2 + 3 + 4 = 3 + 7 + 0 = 10.
1
+ C42 = 3；3 = C32 −1
2 5
的展开式的通项公式为+1
3
2
=
3
2
C5 5−
⋅
2 −2
=
C5
⋅
3
2 5− 2 ，0
≤ ≤ 5，且为整数，当 = 0
3
2
时，5 − = 5，满足要求，当 = 2时，5 − = 2，满足要求，当 = 4时，5 − = −1，满足要求，综上，展
（2）若 = 0 + 1 + 2 2 + ⋯ + ,则 展开式中各项系数之和为 1 ,偶次项系数之和为
0 + 2 + 4 + ⋯ =
1 + −1
2
,奇次项系数之和为1 + 3 + 5 + ⋯ =
1 − −1
2
，令 = 0，可得0 = 0 .
结论正确的是( ACD )
A.展开式中所有项的二项式系数的和为22 023
C.展开式中所有偶次项的系数的和为
【解析】对于A， 1 − 2
= 1 − 2
32 023 −1
2
2 023 ，则
0
+ 1 + 2 + 3 + ⋯ + 2 023 = 1 = −1，
1 − −1
1 = C30 + C41 = 1 + 4 = 5；2 = C31 −1
2 + 3 + 4 = 3 + 7 + 0 = 10.
1
+ C42 = 3；3 = C32 −1
最新高考数学总复习——第10章 第2节 二项式定理
x
所以
x－ 1 3
－y
6
的展开式中含xy的项的系数为C
1 6
(－1)C
3 5
(－1)3
x
＝60，故选B.]
考点2 二项式系数的和与各项的 系数和问题
赋值法在求各项系数和中的应用
(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式
的各项系数之和，常用赋值法．
(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和
因为C26＋C46＝2C26＝2×62× ×51＝30， 所以1＋x12(1＋x)6展开式中x2的系数为30. 故选C.
(2)(1－ x )6(1＋ x )4＝[(1－ x )(1＋ x )]4(1－ x )2＝(1－x)4(1－
2
x ＋x)．于是(1－
x )6(1＋
x
)4的展开式中x的系数为C
0 4
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)Cnr an－rbr是(a＋b)n的展开式中的第r项．
()
(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两中某一项的二项式系数与a，b无关．( )
(4)通项Tr＋1＝Cnr an－rbr中的a和b不能互换．
()
5
[(1)Tr＋1＝C5r (x2)5－r2x
r
＝C5r 2rx10－3r，
由10－3r＝4，得r＝2，所以x4的系数为C25×22＝40.
(2)ax2＋
1
5
x
的展开式的通项Tr＋1＝C
r 5
(ax2)5－r·x－
r 2
＝C
r 5
a5－r
·x10
2025年高考数学总复习课件80第十章第二节二项式定理
考向1 求二项展开式中的特定项
【例1】(1)(2024·烟台模拟7的展开式中x13的系数是84，则实数a＝
()
A．2
√B．5 4
C．1
D．
2 4
B
解析：二项式
x+
a
x
7展开式的通项为Tk＋1＝C7kx7－k
a
x
k＝C7kakx7-2k.又展开式中
x13的系数是84，令7－2k＝－3，得k＝5，所以C75a5＝84，解得a＝5 4.故选B．
2 x
13 的 展 开 式 的 通 项 为 Tk ＋ 1 ＝ C1k3
－2
13－3k kx 2 ，令
13－2 3k＝2，得k＝3，所以－8C133·x2＝－2 288x2，即含x2的项的系数是－2 288.
3．已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a＝________.
2 5
第二节 二项式定理
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
自查自测 知识点二 二项式系数的性质
1．在
1 x
－
x
10的展开式中，二项式系数最大的项是(
)
A．第5项
√B．第6项
C．第7项
D．第5或第7项
B
解析：在
1 x
－
x
10的二项展开式中，第6项的二项式系数最大．故选B．
第二节 二项式定理
第二节 二项式定理
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
考向3 形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式
【例3】(2024·烟台模拟)在(x2－2x＋y)6的展开式中，含x5y2项的系数为( )
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第二节 二项式定理及其应用
考点梳理 考纲速览
命解密
热点预测
1. 能 用 计 数 原 1. 考 查 利 用 通 备考时应熟练掌握
理证明二项式 项公式求项的 二项式定理及相关概念，
定理.
系数、项的系 如项数、二项式系数、
二项式
2. 会 用 二 项 式 数的最值问题 通项等.熟练掌握由通
定理
定理解决与二 及字母的取值. 项求常数项、某项系数
项展开式有关 2. 求 某 些 特 定 的方法.会根据赋值法
的实际问题. 项.
求二项式特定系数和.
知识点一 二项式定理
1.二项式定理
公 式 (a ＋ b)n ＝C_a_n＋__C_a_n_－_1_b_＋__C_a_n_－_2_b_2＋__…__＋__C_b_n_____ 所 表 示 的 定
理叫做二项式定理.
【名师助学】 1.本部分知识可以归纳为： (1)一个防范：二项展开式的二项式系数和该项的(字母)系数是两 个不同的概念. (2)二种应用：①通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的 项或指定项的系数等. ②展开式的应用： 1°证明与二项式系数有关的等式；2°证明不 等式；3°证明整除问题；4°做近似计算等. 2.对于二项式定理，不仅要掌握其正向运用，而且还应学会逆向 运用与变形运用.有时先作适当变形后再展开较为简便，有时需适 当配凑后逆用二项式定理. 3.运用二项式定理时，一定要牢记通项 Tk＋1＝Cknan－kbk(n∈N*)， 注意(a＋b)n 与(b＋a)n 虽然相同，但用二项式定理展开后，具体到 它们展开式的某一项时是不相同的，一定要注意顺序问题.
知识点二 二项式系数的性质
1.对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，这一 性质可直接由性质 Crn＝_C_nn_－_r_得到. 2.增减性与最大值：当 r<n＋2 1时，二项式系数 Crn是递增的，当
r>n＋2 1时，二项式系数 Crn是递减的.
当 n 是偶数时，中间一项(第n2＋1 项)的二项式系数取得最大值，
n
最大值为_C__n_2 _；
当 n 是奇数时，中间两项(第n＋2 1项和第n＋2 3项)的二项式系数相
n 1
n1
等，且同时取得最大值，最大值为_C__n _2 _或_C__n _2 _.
3.各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和
等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＝_2_n. 二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式 系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝____2.n－1
【例 1】 (1)(2013·天津，10)x－ 1x6的二项展开式中的常数项为 ________. (2)(2012·广东，10)x2＋1x6的展开式中 x3 的系数为________.(用数 字作答)
解析
(1)x－ 1x6的展开式通项为
Tr＋1＝(－1)r·Cr6x6－
r
1xr＝
(－1)rCr6x6－32r，令 6－32r＝0，解得 r＝4，故常数项为(－1)4C46＝
2.相关概念及公式 (1)公式右边的多项式叫做(a＋b)n 的展开式. (2)各项的系数_C_rn_(r＝0，1，…，n)叫做二项式系数. (3)展开式中的_C_rn_a_n_－_rb_r叫做二项展开式的通项，记作 Tr＋1＝Crnan－rbr， 它表示展开式的第 r＋1 项. (4)在二项式定理中，如果设 a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝1 ＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cnnxn.
方法 1 求二项展开式中的项或项的系数 求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项 Tk＋1＝Cknan－kbk 的特 点，一般需要建立方程求 k，再将 k 的值代回通项求解，注意 k 的 取值范围(k＝0，1，2，…，n). (1)第 m 项：此时 k＋1＝m，直接代入通项； (2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数 为 0 建立方程； (3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程. 特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解.
15.
(2)通项 Tr＋1＝Cr6·(x2)6－r·(x－1)r＝Cr6x12－3r，令 12－3r＝3，∴r ＝3，∴x3 的系数为 C36＝20.
答案 (1)15 (2)20
[点评] 求二项式的项或项的系数时，首先写出通项，再根 据题设求解.
方法2 用赋值法求二项展开式系数和
赋值法求二项式中项的系数的和与差的应用技巧 (1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展开式的 各项系数之和，常用赋值法，只需令 x＝1 即可；对形如(ax＋by)n(a， b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 x＝y＝1 即可；同 理求系数之差时，只需根据题目要求令 x＝1，y＝－1 或 x＝－1， y＝1 即可；如何赋值，要观察所求和与差式的特点，发现差异， 确保正确. (2)若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x)展开式中各项系数之 和为 f(1)，偶次项数之和为 a0＋a2＋a4＋…＝f（1）＋2f（－1）， 奇次项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝f（1）－2f（－1），令 x＝0， 可得 a0＝f(0).
解 令 x＝1，则 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1① 令 x＝－1，则 a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37② (1)∵a0＝C07＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2. (2)(①－②)÷2 得：a1＋a3＋a5＋a7＝－12－37＝－1 094.
【例2】 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7. 求：(1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
[解题指导]关键点：会用赋值法求解.
看待求：(1)问令x＝0求a0，令x＝1，求a1＋a2＋…＋a7. (2)(3)问可令x＝1和x＝－1求解. (4)问中原式＝a0－a1＋a2－a3＋…－a7 ＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7).
考点梳理 考纲速览
命解密
热点预测
1. 能 用 计 数 原 1. 考 查 利 用 通 备考时应熟练掌握
理证明二项式 项公式求项的 二项式定理及相关概念，
定理.
系数、项的系 如项数、二项式系数、
二项式
2. 会 用 二 项 式 数的最值问题 通项等.熟练掌握由通
定理
定理解决与二 及字母的取值. 项求常数项、某项系数
项展开式有关 2. 求 某 些 特 定 的方法.会根据赋值法
的实际问题. 项.
求二项式特定系数和.
知识点一 二项式定理
1.二项式定理
公 式 (a ＋ b)n ＝C_a_n＋__C_a_n_－_1_b_＋__C_a_n_－_2_b_2＋__…__＋__C_b_n_____ 所 表 示 的 定
理叫做二项式定理.
【名师助学】 1.本部分知识可以归纳为： (1)一个防范：二项展开式的二项式系数和该项的(字母)系数是两 个不同的概念. (2)二种应用：①通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的 项或指定项的系数等. ②展开式的应用： 1°证明与二项式系数有关的等式；2°证明不 等式；3°证明整除问题；4°做近似计算等. 2.对于二项式定理，不仅要掌握其正向运用，而且还应学会逆向 运用与变形运用.有时先作适当变形后再展开较为简便，有时需适 当配凑后逆用二项式定理. 3.运用二项式定理时，一定要牢记通项 Tk＋1＝Cknan－kbk(n∈N*)， 注意(a＋b)n 与(b＋a)n 虽然相同，但用二项式定理展开后，具体到 它们展开式的某一项时是不相同的，一定要注意顺序问题.
知识点二 二项式系数的性质
1.对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，这一 性质可直接由性质 Crn＝_C_nn_－_r_得到. 2.增减性与最大值：当 r<n＋2 1时，二项式系数 Crn是递增的，当
r>n＋2 1时，二项式系数 Crn是递减的.
当 n 是偶数时，中间一项(第n2＋1 项)的二项式系数取得最大值，
n
最大值为_C__n_2 _；
当 n 是奇数时，中间两项(第n＋2 1项和第n＋2 3项)的二项式系数相
n 1
n1
等，且同时取得最大值，最大值为_C__n _2 _或_C__n _2 _.
3.各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和
等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＝_2_n. 二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式 系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝____2.n－1
【例 1】 (1)(2013·天津，10)x－ 1x6的二项展开式中的常数项为 ________. (2)(2012·广东，10)x2＋1x6的展开式中 x3 的系数为________.(用数 字作答)
解析
(1)x－ 1x6的展开式通项为
Tr＋1＝(－1)r·Cr6x6－
r
1xr＝
(－1)rCr6x6－32r，令 6－32r＝0，解得 r＝4，故常数项为(－1)4C46＝
2.相关概念及公式 (1)公式右边的多项式叫做(a＋b)n 的展开式. (2)各项的系数_C_rn_(r＝0，1，…，n)叫做二项式系数. (3)展开式中的_C_rn_a_n_－_rb_r叫做二项展开式的通项，记作 Tr＋1＝Crnan－rbr， 它表示展开式的第 r＋1 项. (4)在二项式定理中，如果设 a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝1 ＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cnnxn.
方法 1 求二项展开式中的项或项的系数 求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项 Tk＋1＝Cknan－kbk 的特 点，一般需要建立方程求 k，再将 k 的值代回通项求解，注意 k 的 取值范围(k＝0，1，2，…，n). (1)第 m 项：此时 k＋1＝m，直接代入通项； (2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数 为 0 建立方程； (3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程. 特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解.
15.
(2)通项 Tr＋1＝Cr6·(x2)6－r·(x－1)r＝Cr6x12－3r，令 12－3r＝3，∴r ＝3，∴x3 的系数为 C36＝20.
答案 (1)15 (2)20
[点评] 求二项式的项或项的系数时，首先写出通项，再根 据题设求解.
方法2 用赋值法求二项展开式系数和
赋值法求二项式中项的系数的和与差的应用技巧 (1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展开式的 各项系数之和，常用赋值法，只需令 x＝1 即可；对形如(ax＋by)n(a， b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 x＝y＝1 即可；同 理求系数之差时，只需根据题目要求令 x＝1，y＝－1 或 x＝－1， y＝1 即可；如何赋值，要观察所求和与差式的特点，发现差异， 确保正确. (2)若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x)展开式中各项系数之 和为 f(1)，偶次项数之和为 a0＋a2＋a4＋…＝f（1）＋2f（－1）， 奇次项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝f（1）－2f（－1），令 x＝0， 可得 a0＝f(0).
解 令 x＝1，则 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1① 令 x＝－1，则 a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37② (1)∵a0＝C07＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2. (2)(①－②)÷2 得：a1＋a3＋a5＋a7＝－12－37＝－1 094.
【例2】 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7. 求：(1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
[解题指导]关键点：会用赋值法求解.
看待求：(1)问令x＝0求a0，令x＝1，求a1＋a2＋…＋a7. (2)(3)问可令x＝1和x＝－1求解. (4)问中原式＝a0－a1＋a2－a3＋…－a7 ＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7).