习题课二(第3章)

学习要求（续） 深刻理解并记住重要等值式，并能熟练地应用 它们 熟练地使用置换规则、换名规则、代替规则 准确地求出给定公式的前束范式 正确地使用 UI, UG, EG, EI 规则，特别要注意 它们之间的关系 对给定的推理，正确地构造出它的证明
二、练习题
1. 在一阶逻辑中将下面命题符号化，并讨论真值 （1）对于任意实数 x，均有
F (x,y):x=y
说 明 下 列 公 式 在 I 下 的 涵 义 ,并 讨 论 真 值 (1) xF(g(x,a),x) (2) xy(F(f(x,a),y)F(f(y,a),x)) ( 3 ) x y z F ( f ( x , y ) , z ) (4) xF(f(x,x),g(x,x)) ( 5 ) x y z F ( f ( y , z ) , x ) 答案 (3),(4)为 真 ,其 余 的 均 为 假 两点说明: 5 个 小 题 都 是 闭 式 ,在 I 下 全 是 命 题 (3)与 (5)说 明 ， 量 词 顺 序 不 能 随 意 改 变
(F(a) F(b) F(c)) (G(a) G(b) G(c)) 原来（1）与（2）等值
（3）先将量词辖域缩小 x(F(x)yG(y)) xF(x)yG(y) （量词辖域收缩扩张等值式） (F(a) F(b) F(c))(G(a) G(b) G(c)) 说明：在做此类问题时，若能将量词辖域缩 小，就缩小后再消量词，否则太麻烦.
6．设个体域 D={a,b,c}，消去下列公式的量词 （1）xF(x)yG(y) （2）xy(F(x)G(y)) （3）x(F(x)yG(y)) 解
（1）xF(x) yG(y)
(F(a) F(b) F(c)) (G(a) G(b) G(c)) （2）先将量词辖域缩小，再消量词方便 xy(F(x) G(y)) xF(x) yG(y) （量词辖域收缩扩张等值式）
x
2
2 (x
2 )( x
2)
（2）存在实数 x，使得 x+7=5 (a) D1=R (b) D2=N (c) D3 为全总个体域
（1）源自文库解 (a) xG(x)， G(x)： x 2 2 ( x
2 )( x
2 ) ，为真
(b) x(F(x) G(x))，其中 G(x)同(a)中，F(x)：x 是实数，为 假（会出现前件真，后件假） (c) x(F(x) G(x))，F(x), G(x)同(b)中，为真 （2） (a) xH(x)，H(x)：x+7=5，为真 (b) x(F(x)H(x))，H(x)同(a)中，F(x)：x 为实数，为假. (c) x(F(x)H(x))，H(x), F(x)同(b)中，为真 本例说明：不同个体域内，命题符号化形式可能不同（也可能 相同） ，真值可能不同（也可能相同）.
证明：
① xH(x) ② H(c) ③ x(G(x)H(x)) ④ G(c)H(c) ⑤ G(c) ⑥ x(F(x)G(x)) ⑦ F(c)G(c) ⑧ F(c) ⑨ xF(x) 注意：先消去存在量词 前提引入 ①EI 前提引入 ③UI ②④析取三段论 前提引入 ⑥UI ⑤⑦拒取式 ⑧EG
2． 在一阶逻辑中将下列命题符号化 （1） 大熊猫都可爱 （2） 有人爱发脾气 （3） 说所有人都爱吃面包是不对的 （4） 没有不爱吃糖的人 （5） 一切人都不一样高 （6） 并不是所有的汽车都比火车快
解 由于没指出个体域，故用全总个体域
（1）x(F(x) G(x)) 其中，F(x): x 为大熊猫，G(x): x 可爱 （2） x(F(x) G(x)) 其中，F(x): x 是人，G(x): x 爱发脾气 （3）x(F(x) G(x)) 或 x(F(x)G(x)) 其中，F(x): x 是人，G(x):x 爱吃面包 （4） x(F(x)G(x)) 或 x(F(x) G(x)) 其中，F(x): x 是人，G(x): x 爱吃糖 （5）x(F(x)y(F(y)H(x,y)L(x,y))),或 xy(F(x)F(y)H(x,y)L(x,y)) 其中，F(x):x 是人, H(x,y), x 与 y 相同, L(x,y): x 与 y 一样高 （6）xy(F(x)G(y)H(x,y)) 或 x y(F(x) G(y)H(x,y)) 其中, F(x):x 是汽车, G(y):y 是火车, H(x,y):x 比 y 快
习题课二
——一阶逻辑
1
习题课二：一阶逻辑（谓词逻辑）
一、主要内容与要求
1．主要内容 个体词、谓词、量词 一阶逻辑命题符号化 F 的合式公式、闭式 F 的解释 公式的类型：永真式、矛盾式、可满足式
主要内容（续）
重要的等值式 ① 在有限个体域内消去量词等值式 ② 量词否定等值式 ③ 量词辖域收缩与扩张等值式 ④ 量词分配等值式 基本规则 ① 置换规则 ② 换名规则 ③ 代替规则 前束范式与公式的前束范式 自然推理系统 F
4 证明下面公式既不是永真式，也不是矛盾式 (1) x(F(x) G(x)) (2) x(F(x)G(x)) (3) xy(F(x) G(y) H(x,y)) 提示：各找一个成假解释，又各找一个成真解释
5．证明下列各等值式 （1）x(F(x)G(x)) x(F(x)G(x)) （2）x(F(x)G(x)) x(F(x)G(x)) （3）x(F(x)y(G(y)L(x,y))) xy(F(x)G(y)L(x,y)) 证 由（1）与（2）可知， “并不是所有的人都喜欢吃馒头.”,
2. 学习要求
（1）准确地将给定命题在 F 中符号化 当指定个体域时，就使用它 当没指定个体域时，就使用全总个体域 在符号化时注意两个基本公式中量词与联结词的搭配 （2）深刻理解永真式、矛盾式、可满足式的概念及相互之间的 关系 （3）记住闭式的性质并能应用它 （4） 对于给定的解释会判断公式的真值， 或判定真值不确定 （即 仍不是命题）
8．在自然推理系统 F 中构造下面推理的证明. 每个喜欢步行的人都不喜欢骑自行车. 每个人或者 是喜欢骑自行车或者喜欢乘汽车. 有的人不喜欢乘 汽车. 所以，有人不喜欢步行（个体域为人的集合） 令 F(x)：x 喜欢步行，G(x)：x 喜欢骑自行车 H(x)：x 喜欢乘汽车 因为个体域是人的集合，故不引入特性谓词 前提：x(F(x)G(x))，x(G(x)H(x))，xH(x) 结论：xF(x)
“没有不犯错误的人” ，都可以有两种等值的符号化形式. （3）x(F(x)y(G(y)L(x,y))) xy(F(x)(G(y)L(x,y))) xy(F(x) G(y)L(x,y)) 由（3）可知， “火车都比汽车快”等命题可以有不同的符 号化形式. （量词辖域扩张）
7．求下列各公式的前束范式 （1）xF(x)yG(x,y) （2）xF(x,y)xG(x,y) （3）(x1F(x1,x2)x2G(x2))x2H(x1,x2)
解 求前束范式时，要用换名规则、代替规则、量词否定等值式、
量词辖域收缩与扩张等值式. （1）xF(x)yG(x,y) xF(x)yG(x,y) xF(x)yG(z,y) xy(F(x)G(z,y)) （2）xF(x,y)xG(x,y) xF(x,y)zG(z,y) xz(F(x,y)G(z,y)) （3）(x1F(x1 ,x2 )x2 G(x2 ))x2 H(x1 ,x2 ) (x1 F(x1 ,x2 )x3 G(x3 ))x4 H(x5 ,x4 ) x1x3 (F(x1 ,x2 )G(x3 ))x4 H(x5 ,x4 ) x1x3x4 ((F(x1 ,x2 )G(x3 ))H(x5 ,x4 )) 请填上每步用的等值式或规则. （换名规则） （量词否定等值式） （代替规则） （辖域收缩扩张等值式）
几点说明 使用的是全总个体域 (1)与(2)是两个基本公式的使用 (3)与(4)是否定式 (5)与(6)使用了二元谓词 (3)-(6)的不同符号化形式是等值的
3. 给 定 解 释 I 如 下 : (a) 个 体 域 D=N (b)
a
=2
g (c) f (x,y)=x+y, (x,y)=xy
(d) 谓 词