江西省南昌市江西师大附中2019-2020学年高一上学期10月月考数学试题

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江西师大附中2019-2020学年高一上学期10月月考数学试卷Word版含答案

江西师大附中高一年级数学月考试卷命题人：吴小平审题人：黄润华一、选择题 (本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分．每题只有一个选项切合题意）1.设 A x | x 3 , a 10, 则以下结论中正确的选项是（）A.a AB. a AC. aAD. a A2. 已知会合 Ax | y x 2 2x2 , By| y x 22x2，则 A B =（）A. ( ,1]B. [1, )C. [2,）D. 3. 已知全集 U0,1, 2,3 ,C U A2 , 则会合 A 的真子集共有（）个A. 3B. 5C. 8D. 74. 以下四个函数：（1） y x 1，（ 2） y | x | ，（ 3） y x21 ，（ 4） y1，此中定义域x与值域同样的是（）A. （1）（ 2）B. （ 1）（2）（ 3）C. （1）（ 4）D. （ 1）（ 3）（ 4）5.若 32 2,则 4 x 24 x 1 2 | x 2 | （）xA. 4x 5B. 5 4xC. 3D. 36. 已知 A,B 是非空会合，定义 A Bx | x A B,且xA B ,若Ax | y1 ，x 23xB x || x |x , 则 A B = （）A. ( ,0) (0,3]B （. - ,3]C. ( ,0) (0,3)D.(- ,3)7. 已知函数 f ( x) 2x 2mx 3,且 f ( x)在[ 2,) 上为增函数，则 f (1) 的取值范围是（）A. [ 3, )B. ( , 3]C. [13, )D. ( ,13] 8. 设函数 f ( x)1,( x 0) ,则 (ab) (a b) f (a b) (a b) 的值为（）1,( x 0)2A. aB. bC. a,b 中较小的数D. a,b 中较大的数9. 以下四个函数中，在 (0,）上为增函数的是（）A. f (x) 3 2xB. f ( x) x 2 2xC. f (x) | x 1|D. f ( x)2x 2 1x10. 设会合 Px | 1 x 0 , Qm R | ymx 2 4mx 4的定义域为 R ，则以下关系中成立的是（）A. P QB. Q PC.PQ11. 定义在 [ 1,1] 上的函数 f ( x)1，则不等式 f (2x 1) f (3x 2) 的解集为（）x 2A.(1, )B. [ 1,0]C.[1,1] D. ( 1, 1]3 312. 设 f ( x) 与 g ( x) 是定义在同一区间 [ a, b] 上的两个函数，若对任意的 x [ a, b]都有| f ( x ) g (x ) | ，1则称 f ( x) 和 g ( x) 在 [a, b] 上是“和睦函数” ，区间 [a,b] 为“和睦区间” ，设f ( x) x2 3x 4与 g(x) 2x 3 在区间 [a,b] 上是“和睦函数”，则它的“和睦区间”能够是（）A. [3,4]B. [2，4]C. [2，3]D. [1,4]二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13.已知会合M = x | 1 x 2 , N x | x a 0 , 若M N ，则实数 a 的取值范围为.14. 函数 y 1 的值域为.x2 6 x 515. 已知会合 A,B 均为全集U 1, 2,3, 4 的子集，且 C U ( A B ) 4 , B 1,2 ,则A (C U B) =16. 已知函数 f ( x) | x 6 | 2 |1 x |, 若 f ( x) 2m 1对 x R 恒建立，则实数m 的取值范围为三、解答题（本大题共 6 小题，共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 设全集 U R，会合A x || x 1| 2 ，会合 B y | y x 1, x A .求 A B,(C U A) (C U B)18. 已知全集 U 1,2,3, 4,5 , A x U | x2 5qx 4 0,q R（1）若 C U A U ，务实数 q 的取值范围；（ 2）若 C U A 中有四个元素，求C U A 和 q 的值 .19. 已知函数f ( x) | x a | 9[1,6], a R.a, xx（ 1）若a 1 ，试判断并用定义证明 f ( x) 的单一性；（ 2）若a 8，求 f (x) 的值域.20. 已知函数 f ( x) x | x 2 |, g( x) | x 4 |.（1）解不等式f ( x) g(x)；（ 2）求f (x)在x[0, a]( a 0) 上的最大值.21. 已知会合A x| x10 , B x | x23ax 2a20 . x 2（1）若 A B A 时，务实数 a 的取值范围；（ 2）若 A B时，务实数 a 的取值范围 .22. 设二次函数 f ( x) ax2bx c(a, b, c R, a0) 知足以下条件：① f (x 1) f ( x 1) 对 x R恒建立；② x f ( x)1 (1 x2)对x R恒建立.2（ 1）求f (1)的值；（2）求 f ( x)的分析式；（ 3）求最大的实数m( m 1) ，使得存在实数t ，当 x [1,m] 时， f ( x t)x 恒建立.高一数学 10 月考试答案123456789101112DBDCCACCCADC13. [ 1, )14. [1, )15. 316. (3, )217. 解： | x 1|22 x 1 2 1 x3 , A ( 1,3), B(0,4)A B (0,3), A B( 14),(C U A) (C U B) C U (A B)(, 1] [4,)18.解：（1） A， q | qR, 且 q4, q 1,q 13 , q29 ；5 1525（ 2） q4或 q 13 或 q29 .5 1525999递加19. 解：（1）当 a 1 时， f (x) | x 1| 1 x [1,6] x 1 1xxxx证：任取 x 1 , x 2 [1,6] 且 x 1 x 2则 f ( x 2 ) f ( x 1 ) x 2 9 x 1 9 ( x 2 x 1 ) 9( x 1x 2 )= ( x 2 x 1 )[19 ]x 2x 1x 1 x 2x 1x 2f ( x 2 ) f ( x 1 )f ( x) 在 [1,6] 上单一递加 .（ 2）当 a 8 时， f (x) | x 8| 9 8 8 x98 16 ( x 9)xxx令 t x9Q x[1,6] t[6,10] f ( x) y 16 t [6,10]x因此 f (x) 的值域为 [6,10] .20. 解：（1） f ( x)g( x) x | x2 | | x4 | x 2x( x 2)x 4或 4 x2 或 x4x 4x(2 x) x 4 x(2 x)x 2或 4 x 2 或 x 4x 23x 4 0x 2x 2 3x 4 0x 4 0x 2或4 x2x4x 4x1 或 x 4 x或1 x 4（ 2） f (x)x | x 2 | x 2 2x(x 2)x 22x (x 2)①当 0 a 1时， f (x)大 f ( a)a 22a②当 1 a1 2 时， f ( x) 大f (1) 1③当 a 12 时， f (x)大f (a )22aa当 a 时B (a,2a)21.解： A (1,2), Bx | ( x a)( x2a) 0当 a 时B (2a, a)当 a时 B（1）由已知得 A Ba 0a 1 a 12a2（2）当 A B时若 a 0时， A Ba 0时，使 A B，则 a2或 2a 11a 2或a2a2或 0 a12综上： a2或 a 12当 A B 时 1a 2222.解：（1）当 x=1 时， 1 f (1) 1 f (1) 1（ 2）由已知可得 f ( x)的轴 x1,b 1b 2a ①2a由 f (1) 1a b c 1 ②c 1 a b1 a2a 1 3a ， f ( x)ax 2 2ax 1 3a由 f (x) x 恒建立ax 2 (2a 1)x 1 3a 0 对R 恒建立 a则(2 a 1)2 4a(1 3a)a14由 f (x)1 x 2)恒建立ax 22ax 1 3a1 x 2) 对 xR 恒建立（1 （12 2(2a 1)x 2 4ax 1 6a 0 恒建立2a 1 0则a12216a 4(2a1)(1 6a) 01(4a 1)2 0a4b1,c 1 3 1,f ( x)1 x2 1 x 1 1(x 1)22444244（ 3） f ( x t ) 1(x t 1)2 , 使 f ( x t ) x在[1,m] 恒建立，则使y f (x t) 的图像在y x 4的下方，且 m 最大，则 1，m 为f (x t) x 的两个根由 f (1 t ) 1 1(t 2) 2 1 t 0或 t 4 4当t 0时，f ( x)x恒建立矛盾当 t 4时， f (x 4) x恒建立f (m 4) m 1( m 3) 2 m m2 10m 9 0 1 m 9 4m大9江西师大附中2019-2020学年高一上学期10月月考数学试卷Word版含答案。

江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中三校2019-2020学年高一上学期10月联考数学试题(解析版)

2019-2020学年度第一学期高一数学10月份联考试卷一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.下列五个写法：①{}{}01,2,3∈；②{}0∅⊆；③{}{}0,1,21,2,0⊆；④0∈∅；⑤0∅=∅I .其中错误写法的个数为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C 【解析】【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系，以及集合与集合的运算来判断出以上五个写法的正误.【详解】对于①，∈表示元素与集合之间的关系，故①错；对于②，∅是任何集合的子集，故②对；对于③，{}{}0,1,21,2,0=，{}{}0,1,21,2,0⊆成立，故③对；对于④，0∉∅，故④错；对于⑤，表示的集合与集合的交集运算，故⑤错.故选：C.【点睛】本题考查集合部分的一些特定的符号，以及集合与集合的关系、元素与集合的关系，考查对集合相关概念的理解，属于基础题.2.若1∈{x ，x 2}，则x =（）A. 1B. 1-C. 0或1D. 0或1或1-【答案】B 【解析】【分析】根据元素与集合关系分类讨论，再验证互异性得结果【详解】根据题意，若1∈{x ，x 2}，则必有x =1或x 2=1，进而分类讨论：①、当x =1时，x 2=1，不符合集合中元素的互异性，舍去， ②、当x 2=1，解可得x =-1或x =1（舍），当x =-1时，x 2=1，符合题意，综合可得，x =-1，故选B ．【点睛】本题考查元素与集合关系以及集合中元素互异性，考查基本分析求解能力，属基础题.3.设集合A 和集合B 都是自然数集N ，映射:f A B →把集合A 中元素n 映射到集合B 中的元素2n n +，则在映射f 下，像20的原像是（） A. 2 B. 4或5-C. 4D. 5-【答案】C 【解析】【分析】设象20在映射f 下的原象为x ，根据题意得出220x x +=，解出自然数x 的值即可.【详解】设象20在映射f 下的原象为x ，由题意可得220x x x N⎧+=⎨∈⎩，解得4x =，故选：C.【点睛】本题考查映射的概念，理解象与原象的概念是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.4.已知实数集R ，集合{}04M x x =≤≤，集合N x y ⎧⎫==⎨⎩，则()R M N =I ð（） A. {}01x x ≤< B. {}01x x ≤≤C. {}14x x <≤D. {}14x x ≤≤【答案】B 【解析】【分析】解出集合N ，然后利用补集的定义和交集的定义计算出集合()R M N I ð.【详解】{}{}101N x y x x x x ⎧===->=>⎨⎩，{}1R N x x ∴=≤ð，的因此，(){}01R M N x x ⋂=≤≤ð，故选：B.【点睛】本题考查集合的补集和交集运算，考查计算能力，属于基础题. 5.若a =b =+a b 的值为（）A. 1B. 5C. 1-D. 25π-【答案】A 【解析】【分析】利用根式的性质求出a 、b ，即可得出+a b 的值. 【详解】由根式的性质得3a π==-，22b ππ==-=-，因此，()()321a b ππ+=-+-=，故选：A.【点睛】本题考查根式的性质，,3,2a n n a n n ≥⎧⎪=⎨≥⎪⎩且为奇数且为偶数进行计算，考查计算能力，属于基础题.6.已知函数()y f x =的定义域为[]8,1-，则函数()()212f xg x x +=+的定义域是（）A. ()(],22,3-∞--UB. [)(]8,22,1---U C. (]9,22,02⎡⎫---⎪⎢⎣⎭U D. 9,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】根据题意得出821120x x -≤+≤⎧⎨+≠⎩，解出该不等式组可得出函数()y g x =的定义域.【详解】由于函数()y f x =的定义域为[]8,1-，由题意得821120x x -≤+≤⎧⎨+≠⎩，解得902x -≤≤且2x ≠-，因此，函数()()212f xg x x +=+的定义域是(]9,22,02⎡⎫---⎪⎢⎣⎭U ，故选：C.【点睛】本题考查抽象函数的定义域，对于抽象函数的定义域，一般要利用中间变量取值范围一致来列不等式（组）求解，考查运算求解能力，属于中等题.7.已知函数()22f x x x =-在区间[]1,t -上的最大值为3，则实数t 的取值范围是（）A. (]1,3B. []1,3C. []1,3-D. (]1,3-【答案】D 【解析】【分析】分11t -<≤和1t >，分析函数()y f x =在区间[]1,t -上的单调性，得出函数()y f x =的最大值，并结合()3f t ≤得出实数t 的取值范围.【详解】二次函数()22f x x x=-图象开口向上，对称轴为直线1x =.①当11t -<≤时，函数()22f x x x =-在区间[]1,t -上单调递增，则()()max 13f x f =-=； ②当1t >时，函数()22f x x x =-在区间[]1,1-上单调递减，在区间[]1,t 上单调递增，此时，函数()y f x =在1x =-或x t =处取得最大值，由于()()max 31f x f ==-，所以，()223f t t t =-≤，即2230t t --≤，解得13t -≤≤，此时13t <≤.综上所述，实数t 的取值范围是[]1,3-，故选：D.【点睛】本题考查二次函数的最值问题，属于定轴动区间型，解题时要分析二次函数在区间上的单调性，借助单调性求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.的8.已知函数()f x 为偶函数，且在区间(,0]-∞上单调递增，若()32f -=-，则不等式()2f x ≥-解集为（） A. []3,0- B. []3,3-C. [3,)-+∞D. (][),33,-∞-+∞【答案】B 【解析】【分析】由偶函数的性质可得出函数()y f x =在区间[)0,+∞上的单调性，由偶函数的性质得出()()f x f x =，将不等式()2f x ≥-化为()()3f x f ≥-，变形为()()3f x f ≥，再利用函数()y f x =在区间[)0,+∞上的单调性求解.【详解】由于函数()y f x =是偶函数，且在区间(,0]-∞上单调递增，则该函数在区间[)0,+∞上单调递减，且有()()f x fx =，()32f -=-Q ，由()2f x ≥-，得()()3f x f ≥-，则有()()3f x f ≥，3x ∴≤，解得33x -≤≤，因此，不等式()2f x ≥-的解集为[]3,3-，故选：B.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性解函数不等式，在函数为偶函数的前提下，充分利用性质()()f x f x =，借助函数在[)0,+∞上的单调性求解，可简化计算，考查分析问题的和解决问题的能力，属于中等题.9.设函数()21,1{2,1xx x f x ax x +≤=+>，若()()14f f a =，则实数a 等于（） A.12B.43C. 2D. 4【答案】C 【解析】试题分析：因为()21,1{2,1x x x f x ax x +≤=+>，所以()()()()12,12424,2f f f f a a a ===+==，故选C.的考点：分段函数的解析式.10.已知17a a+=，则1122a a -+= A. 3 B. 9 C. –3 D.【答案】A 【解析】【分析】令11220a a t -+=>，求出212729t a a =++=+=，从而可得结果.【详解】令11220a a t -+=> 那么212729t a a=++=+= 所以3t =即1122a a -+=3，故选A.【点睛】本题主要考查指数幂的运算，属于基础题.11.已知=1fx =+，则函数()y f x =的值域为（）A. [)0,+∞B. [)4,+∞C. 15,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. 15,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】设0t =≥，利用换元法求出函数()y f x =的解析式，然后利用二次函数的性质求出该函数的值域.详解】设0t =≥，则23x t =+，由=1fx =+可得()24f t t t =++，所以，函数()y f x =的解析式为()24f x x x =++，其中0x ≥.()211524f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭Q ，则该函数在[)0,+∞上单调递增，则()()min 04f x f ==.因此，函数()y f x =的值域为[)4,+∞，故选：B.【点睛】本题考查利用换元法求函数的解析式，同时也考查了二次函数的值域问题，在求解二次函数的值域问题时，要充分结合二次函数的单调性，结合定义进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12.在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成的一个集合称为“类”，记为[]k ，即[]{}5k n k n Z =+∈，0k =、1、2、3、4，给出如下四个结论：①[]20133∈；②[]22-∈；②[][][][][]01234Z =；④若整数a 、b 属于同一“类”，则“[]0a b -∈”，其中正确结论的个数为（） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】根据“类”的定义对上述五个结论的正误进行判断.【详解】对于①，201354023=⨯+Q ，[]20133∴∈，结论①正确；对于②，253-=-+，[]23∴-∈，结论②错误；对于③，对于任意一个整数，它除以5的余数可能是0、1、2、3、4，[][][][][]01234Z ∴=U U U U ，结论③正确；对于④，整数a 、b 属于同一“类”，设a 、[]b k ∈，0k =、1、2、3、4，则存在m 、n Z ∈，使得5a m k =+，5b n k =+，()()()[]5550a b m k n k m n ∴-=+-+=-∈，结论④正确.故选：C.【点睛】本题考查集合中的新定义，在判断命题的正误时应充分结合题中定义来理解，考查推理能力，属于中等题.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.计算：()12223092739.6482-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭__________. 【答案】32【解析】【分析】利用指数的运算律可得出代数式的值.【详解】()121222322323092733339.61482223311222--⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--⨯=+-⨯⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣+⎦=-=⎣⎦，故答案为：32. 【点睛】本题考查指数的运算律，在计算时要注意两个问题：（1）带分数化为假分数；（2）小数化为分数.并利用指数的运算律进行求解，考查计算能力，属于基础题.14.将集合(){},2316,,x y x y x y N +=∈用列举法表示为___________________.【答案】(){2,4,()5,2,()8,0} 【解析】【分析】将方程2316x y +=变形可得出y 为偶数且5y ≤，由此可得出所求集合.【详解】2316x y +=Q ，()316228y x x ∴=-=-，且x 、y N ∈，y ∴为偶数且5y ≤. 当4y =时，2x =；当2y =时，5x =；当0y =时，8x =. 故答案为：()()(){}2,4,5,2,8,0.【点睛】本题考查集合的表示，关键就是集合中的方程，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.15.若函数()2f x mx x m =--在区间(),1-∞上是单调减函数，则实数m 的取值范围是____________.【答案】10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】对m 分0m =，0m >，0m <三种情况讨论，利用一次函数中一次项系数的正负，二次函数图象的开口方向与对称轴讨论函数()y f x =在区间(),1-∞上的单调性，可得出实数m 的取值范围. 【详解】（1）当0m =时，()f x x =-，该函数在区间(),1-∞上是单调减函数，合乎题意；（2）当0m ≠时，二次函数()2f x mx x m =--的对称轴为直线12x m=. 当0m >时，二次函数()2f x mx x m =--的图象开口向上，要使得函数()y f x =在区间(),1-∞上为减函数，则112m ≥，解得102m <≤；当0m <时，二次函数()2f x mx x m =--的图象开口向下，对称轴为直线102x m=<，则函数()y f x =在区间1,2m ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递增，在区间1,12m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，不合乎题意；综上所述，实数m 的取值范围是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为：10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查变系数的二次函数的单调性问题，一般要对首项系数进行分类讨论，结合二次函数图象的开口方向和对称轴来讨论函数的单调性，考查分类讨论思想，属于中等题.16.函数()()()23,21,2x ax a x f x x x ⎧-+>⎪=⎨+≤⎪⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是______. 【答案】[]1,4- 【解析】【分析】由题意得出函数23y x ax a =-+在区间()2,+∞上为增函数，且有23y x ax a =-+在2x =处的取值大于等于函数1y x =+在2x =处的取值，由此列出不等式组解出实数a 的取值范围. 【详解】由于二次函数23y x ax a=-+图象开口向上，对称轴为直线2a x =. 由题意可知，函数23y x ax a =-+在区间()2,+∞上为增函数，则22a≤，得4a ≤. 且有222321a a -+≥+，解得1a ≥-，所以，14a -≤≤，因此，实数a 的取值范围是[]1,4-，故答案为：[]1,4-.三、解答题（本大题共6小题，17题10分，其他12分，共70分）17.已知集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9U =，{}37A x x x U =≤≤∈且，{}3,B x x n n Z x U ==∈∈且.（1）写出集合B 的所有子集；（2）求AB ，U A B U ð.【答案】（1）∅，{}3，{}6，{}9，{}3,6，{}3,9，{}6,9，{}3,6,9；（2）{}3,6A B =I ，{}1,2,3,4,5,6,7,8U A B =U ð. 【解析】【分析】（1）根据题意写出集合B ，然后根据子集的定义写出集合B 的子集；（2）求出集合A ，利用交集的定义求出集合A B ，利用补集和并集的定义求出集合U A B U ð.【详解】（1）{}3,B x x n n Z x U ==∈∈且，∴{}3,6,9B =，因此，B 的子集有：∅，{}3，{}6，{}9，{}3,6，{}3,9，{}6,9，{}3,6,9；（2）由（1）知{}3,6,9B =，则{}1,2,4,5,7,8U B =ð， {}{}373,4,5,6,7A x x x U =≤≤∈=且，因此，{}3,6A B =I ，{}1,2,3,4,5,6,7,8U A B =U ð. 的【点睛】本题考查有限集合的子集，以及补集、交集和并集的运算，考查计算能力，属于基础题.18.设集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-. （1）若4m =，求A B ；（2）若B A B =I ，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}27A B x x ⋃=-≤≤；（2）(],3-∞.【解析】【分析】（1）将4m =代入集合B ，利用并集的定义可求出集合A B ；（2）由B A B =I 得出B A ⊆，然后分B =∅和B ≠∅两种情况讨论，列出有关m 的不等式组解出即可得出实数m 的取值范围.【详解】（1）由题意：集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-.当4m =时，{}57B x x =≤≤，{}27A B x x ∴⋃=-≤≤；（2）B A B =Q I ，B A ∴⊆.当B =∅时，满足题意，此时121m m +>-，解得：2m <；当B ≠∅时，21215m m -≤+≤-≤，解得：23m ≤≤；综上所得：当B A ⊆时，实数m 的取值范围为(],3-∞．【点睛】本题考查集合的并集运算，同时也考查了利用集合间的包含关系求参数，在含参数的集合的问题中，要注意对集合分空集和非空集合两种情况讨论，结合题意求解，考查计算能力，属于中等题. 19.已知函数()21,02,036,3x x f x x x x x x ⎧<⎪⎪=-≤<⎨⎪-+≥⎪⎩（1）请在给定的坐标系中画出此函数的图象；（2）写出此函数的定义域及单调区间，并写出值域.【答案】（1）作图见解析；（2）定义域为R ，增区间为[]1,3，减区间为(),0-∞、[]0,1、[)3,+∞，值域为(],3-∞.【解析】【分析】（1）根据函数()y f x =的解析式作出该函数的图象；（2）根据函数()y f x =的图象可写出该函数的定义域、单调增区间和减区间以及值域.【详解】（1）图象如图所示：（2）由函数()y f x =的图象可知，该函数的定义域为R ，增区间为[]1,3，减区间为(),0-∞、[]0,1、[)3,+∞，值域为(],3-∞. 【点睛】本题考查分段函数的图象，以及利用图象得出函数的单调区间、定义域和值域，考查函数概念的理解，属于基础题.20.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()22f x x x =-+．（1）求函数()f x 的表达式；（2）若函数()f x 在区间[]1,2a --上是单调的，试确定a 的取值范围．【答案】（1）()()()()222,0{0,02,0x x x f x x x x x -+>==+<；（2）(]1,3. 【解析】试题分析：（1）设0x <0x ->()()()2222f x x x x x -=--+-=--，又()()f x f x -=-0x <时，()22f x x x =+()()()()222,0{0,02,0x x x f x x x x x -+>==+<；（2）根据（1）作出函数()f x 的图象，根据()f x 的单调性，并结合函数()f x 的图象21{21a a ->--≤13a <≤.试题解析：（1）设0x <，则0x ->，则()()()2222f x x x x x -=--+-=--又函数()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，所以0x <时，()22f x x x =+ 所以()()()()222,0{0,02,0x x x f x x x x x -+>==+<（2）根据（1）作出函数()f x 的图象，如下图所示：又函数()f x 在区间[]1,2a --上单调递增，结合函数()f x 的图象，知21{21a a ->--≤，所以13a <≤，故实数a 的取值范围是(]1,3考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性.21.已知函数()1f x x x=+．（1）判断函数()f x 在()0,1内的单调性，并用定义证明；（2）当11,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，210x ax -+≥恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）函数()y f x =在()0,1上是单调减函数，证明见解析；（2）5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【解析】【分析】（1）任取1x 、()20,1x ∈且12x x <，作差()()12f x f x -，因式分解后判断差值的符号，即可证明出该函数在区间()0,1上的单调性；（2）由210x ax -+≥在11,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，利用参变量分离法得出1a x x ≤+，利用函数()1f x x x =+上的单调性求出该函数在区间11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值，即可得出实数a 的取值范围.【详解】（1）任取1x 、()20,1x ∈且12x x <，()()()()121212121212121211111x x f x f x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为1201x x <<<，所以120x x -<，1201x x <<，所以1210x x -<，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，因此，函数()y f x =在()0,1上是单调减函数；（2）由210x ax -+≥得211x a x x x +≤=+恒成立，由（1）知，函数()1f x x x =+在11,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦为减函数， ∴当12x =，()1f x x x =+取得最小值()min 1522f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，52a ∴≤．因此，实数a 的取值范围是5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查利用定义证明函数的单调性，以及利用参变量分离法求解函数不等式恒成立问题，解题时要充分利用函数的单调性求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.22.函数()2223f x x ax =-+在区间[]1,1-上的最小值记为()g a ．（1）当2a =时，求函数()f x 在区间[]1,2-上的值域；（2）求()g a 的函数表达式；（3）求()g a 的最大值．【答案】（1）[]1,9；（2）()()()()225,23,22252,2a a a g a a a a ⎧+<-⎪⎪=--≤≤⎨⎪->⎪⎩；（3）()max 3g a =. 【解析】【分析】（1）将2a =代入函数()y f x =的解析式，利用二次函数的性质求出函数()y f x =在区间[]1,2-上的最大值和最小值，从而可得出此时函数()y f x =在区间[]1,2-上的值域；（2）对二次函数()y f x =的对称轴与区间[]1,1-的位置关系进行分类讨论，分析函数()y f x =在区间[]1,1-上的单调性，可得出函数()y f x =在区间[]1,1-上的最小值()g a 的表达式；（3）求出分段函数()y g a =在每一段定义域上的值域，可得出该函数的最大值.【详解】（1）当2a =时，()()22243211f x x x x =-+=-+，当1x =时，函数()y f x =取最小值，即()()min 11f x f ==；当1x =-时，函数()y f x =取最大值，即()()max 19f x f ==.因此，函数()y f x =在区间[]1,2-上的值域为[]1,9；（2）①当2a <-时，函数()y f x =的对称轴12a x =<-，此时，函数()y f x =在区间[]1,1-上单调递增，则()()125g a f a =-=+；②当22a -≤≤时，函数()y f x =的对称轴[]1,12a x =∈-，此时，函数()y f x =在区间1,2a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减，在区间,12a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，则()2322a a g a f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭； ③当2a >时，函数()y f x =的对称轴12a x =>，此时，函数()y f x =在区间[]1,1-上单调递减，则()()152g a f a ==-．综上所述，()()()()225,23,22252,2a a a g a a a a ⎧+<-⎪⎪=--≤≤⎨⎪->⎪⎩；（3）①当2a <-时，()251g a a =+<；②当22a -≤≤时，()[]231,32a g a =-∈； ③当2a >时，()521g a a =-<．由①②③可知()max 3g a =．【点睛】本题考查二次函数的最值，同时也考查了分段函数最值的求解，在求解含参二次函数在定区间上的最值时，要注意分析二次函数图象的开口方向以及对称轴与定义域的位置关系，分析二次函数在定义域上的单调新，结合单调性得出二次函数的最值，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.。

(完整版)江西师大附中2019-2020学年高一10月考数学试卷

江西师大附中2019-2020高一年级10月月考数学试题命题人：郑辉平审题人：朱涤非第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数()()0112x f x x x -=+--的定义域为（） A ．[)1,+∞ B ．()1,+∞C ．()()1,22,+∞D ．[)()1,22,+∞【答案】C2．图中阴影部分所表示的集合是（）A.()U B A CB. ()()C B B AC.()()U A C BD. ()()U A C B【答案】C3．给出下列关系式：2Q ； ②{1,2}{(1,2)}=； ③2{1,2}∈； ④{0}∅⊆，其中正确关系式的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C4．下列集合中子集个数最多的是（）A ．{}2|320x N x x ∈++=B ．{|x x 是边长分别为123，，的三角形}C ．{|||1}x R x ∈=-D ．{}∅【答案】D5.下列各组中的两个函数是同一函数的为（）A ．(3)(5)(),()53x x f x g x x x +-==-+ B ．2(),()f x x g x x == C ．()25,()25f x x g x x =-=-D ．33(),()f x x g t t ==【答案】D6.已知函数2()25f x x ax =-+，且其对称轴为1x =，则以下关系正确的是( )A. (3)(2)(8)f f f -<<B. (2)(3)(8)f f f <-<C. (3)(2)(8)f f f -=<D. (2)(8)(3)f f f <<-【答案】B 【解析】根据题意，函数52)(2+-=ax x x f ，其对称轴为1=x ，其开口向上，)(x f 在),1[+∞上单调递增，则有)8()5()3()2(f f f f <=-<，故选B.7.若()()()()⎩⎨⎧≥-<-=10,610,2x x f x x x f ,则(57)f 的值为（） A. 1 B.3 C.5 D. 7【答案】D【解析】由题意得，729)9()45()51()57(=-==⋅⋅⋅===f f f f8.设}5,4,3,2,1{=U ，B A ,为U 的子集，若}2{=B A ，((){4}U A B =,()(){1,5}U U A B =，则下列结论正确的是（） A ．3,3A B ∉∉ B ．3,3A B ∉∈ C ．3,3A B ∈∉ D ．3,3A B ∈∈ 【答案】C 9.若函数223,1()1,1x ax x f x ax x ⎧++≤=⎨+>⎩是减函数，则a 的取值范围是（）A.[3,1]--B.(,1]-∞-C.[1,0)-D.[2,0)- 【答案】A10．定义集合的商集运算为},,|{B n A m nm x x B A ∈∈==，已知集合}6,4,2{=A ， },12|{A k k x x B ∈-==，则集合B AB 元素的个数为( ) A ．7 B ．8C ．9D ．10 【答案】A 【解析】由题意知，}2,1,0{=B ，}31,1,61,41,21,0{=A B，则}2,31,1,61,41,21,0{=B A B ，共有7个元素，选A.11．已知()x x f 23-=，()x x x g 22-=，()()()()()()(),,g x f x g x F x f x f x g x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩若若，则()x F 的最值是（）A.最大值为3-，最小值为1-B.最大值为727-，无最小值C.最大值为3，无最小值D.既无最大值，又无最小值【答案】B 【解析】如图实线部分可知，有最大值为727-，无最小值，故选B.12．已知函数1()()0()x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，则关于函数有如下说法：①的图像关于y 轴对称； ②方程的解只有；③任取一个不为零的有理数T ，)()(x f T x f =+对任意的R x ∈恒成立； ④不存在三个点))(,(11x f x A ，))(,(22x f x B ,))(,(33x f x C ，使得ABC ∆为等边三角形． ()f x ()f x (())f f x x =1x =。

2019-2020学年江西省南昌市高一上学期月考数学试题含答案

2019-2020学年江西省南昌市实验中学高一上学期第一次月考数学试题命题人：张志明（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题（本大题共12小题每题5分，共60分）1．设集合{}3,1=A ，集合{}5,4,2,1=B ，则集合B A ＝( ) A ．{1,3,1,2,4,5} B ．{1} C ．{1,2,3,4,5}D ．{2,3,4,5}2．若{}{}21,4,,1,A x B x ==且A B ⊆，则x =（ )A ．2B ．2或-2C ．0或2D ．0或2或-23.设全集U 是实数集R ，{}2>=x x M ，{}31<<=x x N ，则如图所示阴影部分所表示的集合是（）A ．{|21}x x -≤<B ．{|22}x x -≤≤C ．{|12}x x <≤D ．{|2}x x <4.下列集合A 到B 的对应中，不能构成映射的是（）A.B.C.D.5.下列函数中，在区间（0，+∞）上是增函数的是（）A. B.C.D.UNM6.函数在内递减，在内递增，则a 的值是A. 1B. 3C. 5D.7.已知()2145f x x x -=+-，则()f x 的表达式是（）A. 26x x +B. 287x x ++C. 223x x +-D. 2610x x +-8.函数的图象是9.函数，如果不等式对任意的恒成立，则实数m 的取值范围是A.B.C.D.10.函数是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是A. B.C.D.11.在函数的图象上有一点，此函数与x 轴、直线及围成图形如图阴影部分的面积为S ，则S 与t 的函数关系图可表示为12函数)()(x m x x f -=满足(2)()f x f x -=,且在区间[,]a b 上的值域是[3,1]-，则坐标(,)a b 所表示的点在图中的（）A ．线段AD 和线段BC 上B ．线段AD 和线段DC 上 C ．线段AB 和线段DC 上D ．线段AC 和线段BD 上二、填空题（本大题共4小题每题5分，共20分）13.设集合M={a ，b ，c}，则集合M 的真子集的个数为______． 14.已知全集U ，集合{}1,3,5A =，{}2,4,6UA =，则全集U = ．15.函数2()63,[2,5)f x x x x =-+-∈的值域是______________．16.函数32)(2--=x x x f 的单调增区间是 .三、解答题（解答应写出必要的文字说明和解题步骤，本大题共6小题，17题10分，其余每题各12分，共70分）17.（本小题10分）已知全集U=R ，A=[-1，3]，B=[-2，2）．（1）求A∩B ，A ∪B ；（2）求∁U （A∩B ），∁U （A ∪B ）．18.（本小题12分）已知{}|13,A x x =-<≤{}22|13B x m x m =≤<+ （1）当1m =时，求A B ；（2）若B ⊆R C A ，求实数m 的取值范围．19.（本小题12分）已知二次函数()f x 满足()()121f x f x x +-=-+，且()215f =. （1）求函数()f x 的解析式；（2）令()()()22g x m x f x =--(2)m >，求函数()g x 在[]0,2x ∈上的最小值.20.（本小题12分）已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，0<x<1，34－x4，1≤x ＜2，54－12x ，2≤x ＜52.(1)求f(x)的定义域，值域；(2)求f(f(1))；(3)解不等式f(x ＋1)>14.21. （本小题12分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中x%（0＜x ＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为 22. f （x ）=（单位：分钟），23. 而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：24. （1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？25. （2）求该地上班族S 的人均通勤时间g （x ）的表达式；讨论g （x ）的单调性，并说明其实际意义．22.（本小题12分）已知定义在R上的函数对任意实数x，y都有，且，当时，．求的值；求证：为R上的增函数；若关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．实验中学2019-2020学年上学期高一第一次月考数学试题命题人：张志明（考试时间：120分钟试卷满分：150分）1．设集合{}3,1=A ，集合{}5,4,2,1=B ，则集合B A ＝( C ) A ．{1,3,1,2,4,5} B ．{1} C ．{1,2,3,4,5}D ．{2,3,4,5}/2．若{}{}21,4,,1,A x B x ==且A B ⊆，则x =（ D )A ．2B ．2或-2C ．0或2D ．0或2或-23.设全集U 是实数集R ，{}2>=x x M ，{}31<<=x x N ，则如图所示阴影部分所表示的集合是（ C ）A ．{|21}x x -≤<B ．{|22}x x -≤≤C ．{|12}x x <≤D ．{|2}x x <4.下列集合A 到B 的对应中，不能构成映射的是（ A ）B.B. C. D.5.下列函数中，在区间（0，+∞）上是增函数的是（ A ）A.B. C. D.UNM6.函数在内递减，在内递增，则a 的值是 CA. 1B. 3C. 5D.【解析】解：依题义可得函数对称轴，．由题义为二次函数单调性及图象问题，有二次函数在内递减，且在内递增的对称轴方程即可解出a此题重点考查了二次函数的图象及单调性，要求学生熟记二次函数并准确理解二次函数性质．7.已知()2145f x x x -=+-，则()f x 的表达式是（ A ）A. 26x x +B. 287x x ++C. 223x x +-D. 2610x x +-8.函数的图象是 C【解析】解：方法1：图象平移法将函数的图象向右平移一个单位即可得到函数的图象，所以选C ．方法2：利用函数的性质和特殊点的符合判断．当时，函数无意义，所以排除B ，D ．当时，，所以排除所以选C ．故选：C ．利用函数图象的平移或者利用函数的性质进行判断即可．调性，奇偶性，对称性以及特殊点的特殊值进行判断排除，是解决函数图象类题目中最常用的方法．9.函数，如果不等式对任意的恒成立，则实数m 的取值范围是 DA.B. C. D.【答案】D【解析】解：因为，在上为增函数，不等式对任意的恒成立，所以，对任意的恒成立，所以对任意的恒成立，因为在上为增函数，所以，所以，故选：D．根据在上为增函数，则不等式对任意的恒成立转化为对任意的恒成立，根据函数的单调性，求出函数的最值即可．10.函数是R上的减函数，则实数a的取值范围是CA. B. C. D.【解析】解：是R上的减函数；；解得；实数a的取值范围是．故选：C．根据为减函数，以及减函数定义、反比例函数和一次函数单调性即可得出，解该不等式组即可得出实数a的取值范围．考查减函数的定义，分段函数单调性的判断，以及反比例函数和一次函数的单调性．11.在函数的图象上有一点，此函数与x轴、直线及围成图形如图阴影部分的面积为S，则S 与t的函数关系图可表示为B【答案】B【解析】解：由题意知，当时，S 的增长会越来越快，故函数S 图象在y 轴的右侧的切线斜率会逐渐增大，故选：B ．利用在y 轴的右侧，S 的增长会越来越快，切线斜率会逐渐增大，从而选出正确的选项．12函数)()(x m x x f -=满足(2)()f x f x -=,且在区间[,]a b 上的值域是[3,1]-，则坐标(,)a b 所表示的点在图中的（ B ） A ．线段AD 和线段BC 上 B ．线段AD 和线段DC 上C ．线段AB 和线段DC 上D ．线段AC 和线段BD 上13.设集合M ={a ，b ，c }，则集合M 的真子集的个数为__7___．14.已知全集U ，集合{}1,3,5A =，{}2,4,6UA =，则全集U = ．{}1,2,3,4,5,615.函数2()63,[2,5)f x x x x =-+-∈的值域是______________．(2,6] 16.函数32)(2--=x x x f 的单调增区间是 .（3，+∞）17.已知全集U =R ，A =[-1，3]，B =[-2，2）．（1）求A ∩B ，A ∪B ；（2）求∁U （A ∩B ），∁U （A ∪B ）．【答案】解：（1）∵全集U =R ，A =[-1，3]，B =[-2，2）． ∴A ∩B =[-1，3]∩[-2，2）=[-1，2）， A ∪B =[-1，3]∪[-2，2]=[-2，3]；（2）∁U （A ∩B ）=（-∞，-1）∪[2，+∞]， ∁U （A ∪B ）=（-∞，-2）∪（3，+∞）．18.已知{}|13,A x x =-<≤{}22|13B x m x m=≤<+（1）当1m =时，求A B ；（2）若B ⊆R C A ，求实数m 的取值范围．【答案】19． (1){}14AB x x =-<< ——（4分）(2)m m <> ——（4分）19.已知二次函数()f x 满足()()121f x f x x +-=-+，且()215f =. （1）求函数()f x 的解析式；（2）令()()()22g x m x f x =--(2)m >，求函数()g x 在[]0,2x ∈上的最小值. 【答案】：（1）设二次函数()2f x ax bx c =++（0a ≠），…………1分则()()()()()22111221f x f x a x b x c ax bx c ax a b x +-=++++-++=++=-+…………2分∴22a =-， 1a b +=，∴1a =-， 2b =…………4分又()215f =，∴15c =.…………5分∴()2215f x x x =-++…………6分（2）∵()2215f x x x =-++∴()()()222215g x m x f x x mx =--=--.()2215g x x mx =--， []0,2x ∈，对称轴x m =，当2m >时， ()()min 24415411g x g m m ==--=--；20.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，0<x <1，34－x4，1≤x ＜2，54－12x ，2≤x ＜52.(1)求f (x )的定义域，值域；(2)求f (f (1))；(3)解不等式f (x ＋1)>14.【答案】 (1)f (x )的定义域为(0,1)∪[1,2)∪⎣⎡⎭⎫2，52＝⎝⎛⎭⎫0，52.易知f (x )在(0,1)上为增函数，在⎣⎡⎭⎫1，52上为减函数，∴当x ＝1时，f (x )max ＝34－14＝12，又f (0)＝0，f (2)＝14，f ⎝⎛⎭⎫52＝0，∴值域为⎝⎛⎦⎤0，12.(2) f (1)＝34－14＝12.f (f (1))＝f ⎝⎛⎭⎫12＝1212＝14.(3)f (x ＋1) >14等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x ＋1<1，12(x ＋1)>14①或⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤x ＋1<2，34－14(x ＋1)>14 ②或⎩⎨⎧ 2≤x ＋1<52，54－12(x ＋1)>14.③解①得－12<x <0，解②得0≤x <1，解③得x ∈∅.∴f (x ＋1)>14的解集为⎝⎛⎭⎫－12，0∪[)0，1∪∅＝⎝⎛⎭⎫－12，1.21.某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中x %（0＜x ＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f （x ）=（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S 的人均通勤时间g （x ）的表达式；讨论g （x ）的单调性，并说明其实际意义．【答案】解；（1）由题意知，当30＜x ＜100时，f （x ）=2x +-90＞40，即x 2-65x +900＞0，解得x ＜20或x ＞45，∴x ∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当0＜x ≤30时，g（x）=30•x%+40（1-x%）=40-；当30＜x＜100时，g（x）=（2x+-90）•x%+40（1-x%）=-x+58；∴g（x）=；当0＜x＜32.5时，g（x）单调递减；当32.5＜x＜100时，g（x）单调递增；说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．22.已知定义在R上的函数对任意实数x，y都有，且，当时，．求的值；求证：为R上的增函数；若关于x的不等式对任意的恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：令，则有：，即，再令，，则有：，，即：任取，则，由题设时，，可得，，为R上的增函数；由已知条件有：，故原不等式可化为：，即：，又，故不等式可化为：；由可知在R上为增函数，所以，即在上恒成立，令，则成立即可，当，即时，在上单调递增，则，解得：，又，所以；当，即时，解得：，而，所以综上所述：实数a的取值范围时．。

江西省师范大学附属中学2020届高三数学10月月考试题文(含解析)

江西省师范大学附属中学2020届高三数学10月月考试题文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：A={x|x＜0，或x＞2}，B={x|﹣3＜x＜3}；∴A∩B={x|﹣3＜x＜0，或2＜x＜3}，A∪B=R；∵A∩B≠A，且A∩B≠B，∴B⊈A，A⊈B；即B正确．故选：B．2.已知命题,；命题若，则，下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0，则命题p为真命题，则￢p为假命题；取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，则命题q是假命题，则￢q是真命题．∴p∧q是假命题，p∧￢q是真命题，￢p∧q是假命题，￢p∧￢q是假命题．故选B．3.已知向量若与垂直，则的值为（）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】解∵∴向量（1﹣4，3+2m）=（﹣3，3+2m）又∵向量与互相垂直，∴1×（﹣3）+3（3+2m）=0∴﹣3+9+6m=0⇒m=﹣1故选C4.若，则（）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】由题知，则．故本题答案选．5.已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b等于( )A. 10B. 9C. 8D. 5【答案】D【解析】由题意知,23cos2A+2cos2A-1=0,即cos2A=,又因△ABC为锐角三角形,所以cosA=.△ABC中由余弦定理知72=b2+62-2b×6×,即b2-b-13=0,即b=5或b=- (舍去),故选D.6.在四个函数，，，中，最小正周期为的所有函数个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】解：函数y=sin|2x|不是周期函数，不满足条件；令y=f（x）=|sinx|，则f（x+π）=|sin（x+π）|=|﹣sinx|=|sinx|=f（x），∴函数y=|sinx|是最小正周期为π的函数，满足条件；又函数y=sin（2x+）的最小正周期为T==π，满足条件；函数y=tan（2x﹣）的最小正周期为T=，不满足条件．综上，以上4个函数中，最小正周期为π有2个．故选：B．7.已知中，满足的三角形有两解，则边长的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】解：由三角形有两解，则满足，即，解得：2＜＜，所以边长的取值范围（2，），故选C．8.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】去掉B,D; 舍C，选A.9.函数的部分图象如图所示，则的单调递增区间为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】解：函数的周期T=2×=2π，即，得ω=1，则f（x）=cos（x+），则当时，函数取得最小值，则π+ =π+2kπ，即=+2kπ，即f（x）=cos（x+），由2kπ+π＜x+＜2kπ+2π，k∈Z，即2k+＜x＜2k+，k∈Z，即函数的单调递增区间为为（2k+，2k+），故选：D10.设, ,分别为三边, ,的中点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵分别为的三边的中点，∴．选D．11.若函数在单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：函数f（x）=x﹣2sin x cos x+acosx那么：f′（x）=1﹣2cos2x﹣a sin x∵f（x）在[，]单调递增，即f′（x）=1﹣2cos2x﹣a sin x≥0，sin x在[，]上恒大于0，可得：a≤令y==,令可得：y=，（t∈[]）∴当t=时，y取得最小值为：2故得故选D点睛：将问题转化为不等式恒成立问题是解决本题的关键，用分离参数法解决恒成立问题时要注意参数系数正负号的讨论.12.已知函数，若存在唯一的零点，且，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】解：由题意可得f（x）=0，即为ax3﹣2x2+1=0，令g（x）=，g′（x）=可得x＜，x＞时，g（x）递减；当＜x＜0，0＜x＜时，g（x）递增．作出g（x）的图象，可得g（x）的极大值为g（）=，由题意可得当a＞时，f（x）存在唯一的零点x0，且x0＜0，故选：D．点睛:将函数零点问题转化为方程a=解问题后，再进一步转化为两函数y=a，的交点问题是解决本题的关键.通过讨论的单调性，作出其大致图像后，作图讨论两函数的交点个数问题即可得出实数的取值范围.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019学年江西省南昌市高一10月月考数学试卷【含答案及解析】

2019学年江西省南昌市高一10月月考数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 下列表示：① ，② ，③ ，④ 中，正确的个数为(________ )A ． 1________________________B ． 2________________________C ． 3____________________D ． 42. 满足的集合的个数为（）A ． 6________________________B ． 7________________________C ． 8______________D ． 93. 下列集合中，表示方程组的解集的是（）A ．___________B ．_________C ．___________D ．4. 已知全集合，，，那么是（）A ．_________B ．_________C ．___________D ．5. 图中阴影部分所表示的集合是（________ ）A ．B ∩ ［C U (A ∪ C) ］___________ B ．(A ∪ B) ∪ (B ∪ C)C ．(A ∪ C) ∩ (C U B)____________________D ．［C U (A ∩ C) ］∪ B6. 下列各组函数中，表示同一函数的是（________ ）A ．B ．C．D ．7. 的定义域是（________ ）A ．_________B ．________C ．_________D ．8. 函数 y= 是（）A ．奇函数_________B ．偶函数______________C ．既是奇函数又是偶函数______________D ．非奇非偶函数9. 函数 f ( x )=4 x 2 － mx ＋ 5 在区间［－ 2 ，＋∞ ］上是增函数，在区间( －∞ ，－ 2) 上是减函数，则f (1) 等于（_________ ）A ．－ 7 ___________B ． 1 ___________C ． 17 ______________D ． 2510. 若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围（_________ ）A ． ______________B ． a ≥ － 3 ___________C ．a ≤ 5 ___________D ． a ≥ 311. 已知，则 f(3) 为（_________ ）A ． 2____________________B ． 3____________________C ． 4____________________D ． 512. 设函数 f (x) 是（－， + ）上的减函数，又若 a R ，则（________ ）A ． f (a)>f ( 2a )B ． f (a 2 )<f (a)C ． f (a 2 +a)<f (a)D ． f (a 2 +1)<f (a)二、填空题13. 设集合 A={ },B={x } ，且 A B ，则实数k 的取值范围是___________________________________ ．14. 若函数，则=___________________________________ ．15. 若函数是偶函数，则的递减区间是___________________________________ ．16. 设 f (x) 是 R 上的任意函数，则下列叙述正确的有___________________________________ ．① f (x) f ( – x) 是奇函数；② f (x) | f ( – x)| 是奇函数；③ f (x) – f ( – x) 是偶函数；④ f (x) + f ( – x) 是偶函数；三、解答题17. 若，求实数的值。

江西省南昌市江西师大附中2019-2020学年高一上学期10月月考数学试题(含答案解析)

江西省南昌市江西师大附中2019-2020学年高一上学期10月月考数学试题（含答案解析）高考真题高考模拟高中联考期中试卷期末考试月考试卷学业水平同步练习江西省南昌市江西师大附中2019-2020学年高一上学期10月月考数学试题（含答案解析）1 函数的定义域为（）A. [1，+∞)B. (1，+∞)C. [1，2) ∪(2，+∞)D. （1，2）∪(2，+∞)【答案解析】 D本题考查函数的定义域和不等式的解法.要使函数有意义，需使，解得故选D2 图中阴影部分所表示的集合是（）A. B.C. D.【答案解析】 C【分析】根据集合的交集、并集、补集的概念，结合所给的韦恩图，选出正确的答案.【详解】由韦恩图可知：阴影部分所表示的集合为集合的并集与集合在全集中补集的交集，即为，故本题选C.【点睛】本题考查了集合交集、并集、补集运算的概念，考查了韦恩图的应用.3 给出下列关系式：①；②；③；④，其中正确关系式的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案解析】 C【分析】根据属于关系、集合相等、子集关系的概念逐一判断即可选出正确的答案.【详解】①:因为是无理数，表示有理数集合，所以不正确；②：因为集合的元素是，集合的元素是，所以不正确；③：因为集合的元素是，所以正确；④：因为空集是任何集合的子集，所以正确，因此有2个关系式是正确的，故本题选C.【点睛】本题考查了属于关系、集合相等、子集关系的概念，属于基础题.4 下列集合中子集个数最多的是（）A. B.C. D.【答案解析】 D【分析】分别求出四个集合的元素，然后判断出子集的个数，最后选出正确答案.【详解】选项A:方程的解为，因为不是自然数，所以集合是空集，它的子集个数为1；选项B:因为，不符合三角形两边之和大于第三边，所以集合是空集，它的子集个数为1；选项C:因为，所以集合是空集，它的子集个数为1；选项D:因为集合的子集是：和，所以它的子集个数为2个，因此子集个数最多的集合是集合，故本题选D.【点睛】本题考查了集合子集个数问题，确定集合元素的个数是解题的关键.5 下列各组中的两个函数是同一函数的为（）A. B.C. D.【分析】根据同一函数的定义逐一对四个选项中两个函数进行比较即可选出正确答案.【详解】选项A:因为函数的定义域为：，函数的定义域为全体实数，所以函数和函数不是同一函数；选项B:因为函数的值域是全体实数，函数的值域为：，所以函数和函数不是同一函数；选项C:因为函数的值域是，函数的值域为全体实数，所以函数和函数不是同一函数；选项D:因为，它与函数不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以函数和函数是同一函数，故本题选D.【点睛】本题考查了同一函数的判断方法，判断对应关系是否相同、定义域是否相同是解题的关键.6 .已知函数，且其对称轴为，则以下关系正确的是（）A. B.C. D.【答案解析】 B【分析】根据函数的对称轴，可以判断出二次函数的单调性，进而可以比较出之间的大小关系.【详解】根据题意，函数，其对称轴为，其开口向上，在上单调递增，则有，故选B.【点睛】本题考查了二次函数的单调性，考查了二次函数的对称轴的性质.7 若,则的值为（）A. 1B. 3C. 5D. 7【分析】把代入函数中，利用这个等式，可以得到，再把代入中，这样可以求出的值.【详解】由题意得，【点睛】本题考查了求分段函数的函数值问题，属于基础题.8 设U＝{1，2，3，4，5} ，若A∩B＝{2}，，，则下列结论正确的是（）A. 且B. 且C. 且D. 且【答案解析】 B【分析】根据题意画出韦恩图，确定出A与B,即可作出判断.【详解】因为＝{1，2，3，4，5} ，若＝{2}，，，所以画出韦恩图：，，则且，故选B.【点睛】本题主要考查了集合的交、并、补集的混合运算，集合的韦恩图，属于中档题.9 若函数是R上的减函数，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案解析】 A【分析】根据分段函数单调性的性质可以得到关于的不等式组，解这个不等式组即可求出的取值范围.【详解】因为函数是上的减函数，所以有，解得，故本题选A.【点睛】本题考查了已知分段函数的单调性求参数问题，数形结合是解题的关键.10 定义集合的商集运算为，已知集合，，则集合元素的个数为( )A. 7B. 8C. 9D. 10【答案解析】 A【分析】根据集合的商集运算定义和并集的定义可以求出集合，最后求出集合元素的个数即可.【详解】由题意知，，，则，共有7个元素，故本题选A.【点睛】本题考查了新定义的理解与运用，考查了并集运算的定义，考查了数学阅读理解能力.11 已知,则的最值是( )A. 最大值为3，最小值－1B. 最大值为，无最小值C. 最大值为3，无最小值D. 既无最大值，又无最小值【答案解析】 B【分析】根据函数表达式画出各自图象，其实表示的是较小的值.【详解】如图，在同一坐标系中画出图象，又表示两者较小值，所以很清楚发现在A处取得最大值，所以选B.【点睛】取两函数较大值（较小值）构成的新函数问题，有效的手段就是构建图象，数形结合.12 已知函数，则关于函数有如下说法：①f(x)的图像关于轴对称；②方程的解只有；③任取一个不为零的有理数，对任意的恒成立；④不存在三个点，,，使得△ABC为等边三角形．其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案解析】 C【分析】①:分类讨论有理数和无理数的相反数的属性，结合函数的奇偶性可以判断出本说法的正确性；②：根据是有理数还是无理数进行分类讨论即可判断出本说法的正确性；③：根据是有理数还是无理数进行分类讨论即可判断出本说法的正确性；④：取特例，如，，，可以为等边三角形，可以判断出本说法的正确性.【详解】①：∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意，都有，故①正确；②：∵当为有理数时，；当为无理数时，∴当为有理数时，；当为无理数时，，即不管是有理数还是无理数，均有，故②正确；③：若是有理数，则也是有理数；若是无理数，则也是无理数∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数，对恒成立，故③正确；④：取，，，可得，，，∴，，恰好为等边三角形，故④不正确，最后选出正确答案.【点睛】本题考查了分段函数的奇偶性，周期性的判断，考查了方程解的问题，考查了利用特例法进行判断.13 已知集合,则________．【答案解析】【分析】根据集合并集的定义结合数轴求出.【详解】因为集合,,所以.【点睛】本题考查了集合并集的定义，利用数轴是解题的关键.14 已知集合,,是从A到B的一个映射，若,则B 中的元素3的原象为________．【答案解析】 2【分析】根据映射的定义，结合，令，可以求出中的元素3的原象. 【详解】令，解得，所以中的元素3的原象是2.【点睛】本题考查了已知一个映射，根据中的元素，求原象问题；考查了映射的定义的理解.15 若函数y＝x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[]，则m的取值范围是【答案解析】；【分析】作出函数的图象，由图象可得函数取值在[]上的x的范围，由题函数的定义域为[0，m]，即可得解．【详解】解：函数y＝x2﹣3x﹣4的图象如图，当x时，函数有最小值，当x＝0或x＝3时函数值为﹣4，原题给出函数的定义域为[0，m]，所以，从图象中直观看出，故答案为．【点睛】本题考查了二次函数的图象，考查了函数的值域，考查了数形结合思想，准确作出函数图象是解题的关键，此题是基础题．16 如图放置的边长为2的正三角形ABC沿轴滚动，记滚动过程中顶点A的横、纵坐标分别为和，设是的函数，记，则下列说法中：①函数的图像关于轴对称；②函数的值域是；③函数在上是增函数；④函数与在上有2020个交点.其中正确说法的序号是_______.说明：“正三角形ABC沿轴滚动”包括沿轴正方向和沿轴负方向滚动．沿轴正方向滚动指的是先以顶点B为中心顺时针旋转，当顶点C落在轴上时，再以顶点C为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正三角形ABC可以沿轴负方向滚动．【答案解析】①④【分析】根据说明在直角坐标系内，画出点运动的轨迹.根据图象可以直接判断出说法①②的正确性；根据图象可以知道函数周期性，进而可以求出函数的增区间，从而可以判断出说法③的正确性；先考虑当，函数与的交点情况，根据函数的周期性，再求出函数与在上交点的个数，从而判断出说法④的正确性，最后选出正确答案.【详解】点运动的轨迹如图所示：则函数图像关于轴对称，故①正确；的值域为，故②不正确；其增区间为和，故③正不确；由图像可知，函数每6个单位一个循环，当，函数与有3个交点，∴当，，有个交点，有2个交点，∴当，有个交点，∴当，有个交点，故④正确．故选①④．【点睛】本题考查了画函数图象，考查了通过函数图象判断函数的性质，运用数形结合是解题的关键.17 已知全集，，（1）求但；（2）求。

2020-2021学年江西省南昌市某校高一(上)10月月考数学试卷(有答案)

2020-2021学年江西省南昌市某校高一（上）10月月考数学试卷一、选择题1. 设集合A ={−1,1,2,3,5}，B ={2,3,4}，C ={x ∈R|1≤x <3}，则(A ∩C)∪B =( ) A.{2} B.{2,3}C.{−1,2,3}D.{1,2,3,4}2. 已知集合M ={−1, 0}，则满足M ∪N ={−1, 0, 1}的集合N 的个数是（） A.2 B.3C.4D.83. 如果二次函数y =ax 2+bx +1的图象的对称轴是x =1，并且通过点A(−1, 7)，则( ) A.a =2，b =4 B.a =2，b =−4 C.a =−2，b =4 D.a =−2，b =−44. 已知全集U ={x ∈R|x <0}，M ={x|x <−1}，N ={x|−3<x <0}，则图中阴影部分表示的集合是( )A.{x|−3<x <−1}B.{x|−3<x <0}C.{x|−1≤x <0}D.{x|−1<x <0}5. 集合A ={y|y =√x −1}，B ={x|x 2−x −2≤0}，则A ∩B =( ) A.[2,+∞) B.[0,1] C.[1,2] D.[0,2]6. 若偶函数f(x)在区间(−∞, −1]上是增函数，则( ) A.f(−32)<f(−1)<f(2)B.f(−1)<f(−32)<f(2)C.f(2)<f(−1)<f(−32) D.f(2)<f(−32)<f(−1)7. 设f(x)是R 上的偶函数，且在(−∞, 0)上为减函数，若x 1<0，x 1+x 2>0，则( )B.f(x 1)=f(x 2)C.f(x 1)<f(x 2)D.不能确定f(x 1)与f(x 2)的大小关系8. 若定义在R 上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=x 2+3x +1，则f(x)=( ) A.x 2 B.2x 2 C.2x 2+2 D.x 2+19. 已知函数f(x)为R 上的偶函数，当x ≥0时，f(x)单调递减，若f(2a)>f(1−a)，则a 的取值范围是( ) A.(−∞,13) B.(−13,1)C.(−1,13)D.(−13,+∞)10. 若函数y =x 2−3x −4的定义域为[0, m]，值域为[−254, −4]，则实数m 的取值范围是( ) A.[0, 4] B.[32, 3]C.[32, +∞)D.[32, 4]11. f(x)={(3a −1)x +4a(x <1)，−ax(x ≥1)是定义在 (−∞,+∞)上的减函数，则a 的取值范围是( ) A. [18,13) B.[0,13]C.(0,13)D.(−∞,13]12. 已知f(x)是定义域为(−∞, +∞)的奇函数，满足f(1−x)=f(1+x)，若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2020)=（） A.50 B.2C.0D.−50二、填空题已知集合A ={x|−1≤x ≤2}，B ={x|x <1}，则A ∩(∁R B)=________.已知函数f(x)=(m 2+m −1)x m+3是幂函数，且该函数是偶函数，则m 的值是________．函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (2)=−1，对任意的x ∈R 都有f (x )=−f (2−x )，则f (2020)=________.已知函数y=f(x+1)−2是奇函数，g(x)=2x−1x−1，且f(x)与g(x)的图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，⋯，(x6，y6)，则x1+x2+⋯+x6+y1+y2+⋯+y6=_____.三、解答题已知集合A={x|x≤−3或x≥2}，B={x|1<x<5}，C={x|m−1≤x≤2m} (1)求A∩B，(∁R A)∪B；(2)若B∩C=C，求实数m的取值范围．已知集合U=R，集合A={x|x<−4或x>1}，B={x|−3≤x−1≤2}.(1)求A∩B，(∁U A)∪(∁U B)；(2)若集合M={x|2k−1≤x≤2k+1}是集合A的真子集，求实数k的取值范围．已知函数f(x)=2x−1x+1.(1)证明：函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数；(2)求函数f(x)在区间[1,17]上的最大值和最小值．已知函数f(x)=ax+b1+x2是定义在(−1, 1)上的奇函数，且f(12)=25．(1)求函数f(x)的解析式；(2)已知f(x)在定义域上是增函数，解不等式f(t−1)+f(t)<0．已知函数f(x)=x2−2(a−1)x+4．(1)若f(x)为偶函数，求f(x)在[−1, 2]上的值域；(2)若f(x)在区间(−∞, 2]上是减函数，求f(x)在[1, a]上的最大值．设函数f(x)=x2−2tx+2，其中t∈R．(1)若t=1，求函数f(x)在区间[0, 4]上的取值范围；(2)若t=1，且对任意的x∈[a, a+2]，都有f(x)≤5，求实数a的取值范围．(3)若对任意的x1，x2∈[0, 4]，都有|f(x1)−f(x2)|≤8，求t的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年江西省南昌市某校高一（上）10月月考数学试卷一、选择题1.【答案】D【考点】交、并、补集的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意解得，A∩C={1,2}，(A∩C)∪B={1,2,3,4}.故选D.2.【答案】C【考点】并集及其运算【解析】由M与N的并集得到集合M和集合N都是并集的子集，又根据集合M的元素得到元素1一定属于集合N，找出两并集的子集中含有元素1的集合的个数即可．【解答】解：由M∪N={−1, 0, 1}，得到集合M⊆M∪N，且集合N⊆M∪N，又M={0, −1}，所以元素1∈N，则集合N可以为{1}或{0, 1}或{−1, 1}或{0, −1, 1}，共4个．故选C．3.【答案】B【考点】二次函数的性质【解析】=−1，又因为图象过点A(−1, 7)，代入解析式得a−b=6，由对称轴是x=1可得b2a从而解得结果．【解答】∴b=−1.2a∵图象过点A(−1, 7)，∴a−b=6，∴a=2，b=−4.故选B．4.【答案】C【考点】Venn图表达集合的关系及运算交、并、补集的混合运算【解析】求出M={x|x<−1}，N={x|−3<x<0}，C U M={x|x≥−1}，图中阴影部分表示的集合是：N∩(C U M)，由此能求出结果．【解答】解：∵全集U={x∈R|x<0}，M={x|x<−1}，N={x|−3<x<0}，∁U M={x|−1≤x<0}，∴图中阴影部分表示的集合是：N∩(∁U M)={x|−1≤x<0}．故选C.5.【答案】D【考点】交集及其运算【解析】先求出集合A，B，再利用交集运算求解即可.【解答】解：∵集合A={y|y=√x−1}=[0,+∞），B={x|x2−x−2≤0}=[−1,2]，∴A∩B=[0,2].故选D.6.【答案】D【考点】奇偶性与单调性的综合函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】由偶函数的定义以及f(x)在区间(−∞, −1]上是增函数，可得f(−3)、f(2)、f(−1)的大小关系．【解答】故有f(−32)=f(32)，f(−2)=f(2)，f(−1)=f(1)．再由f(x)在区间(−∞, −1]上是增函数，可得 f(−2)<f(−32)<f(−1)，即f(2)<f(−32)<f(−1).故选D ． 7.【答案】 C【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．【解答】解：若x 1<0，x 1+x 2>0，即x 2>−x 1>0，∵ f(x)是R 上的偶函数，且在(−∞, 0)上为减函数， ∴ 函数f(x)在(0, +∞)上为增函数，则f(x 2)>f(−x 1)=f(x 1). 故选C ． 8.【答案】 D【考点】函数奇偶性的性质【解析】利用奇偶函数性质得到f(−x)=f(x)，g(−x)=−g(x)，代入已知等式得到关系式，与已知等式联立即可求出f(x)．【解答】解：∵ 定义在R 上的偶函数f(x)和奇函数g(x)， ∴ f(−x)=f(x)，g(−x)=−g(x)，代入已知等式f(x)+g(x)=x 2+3x +1①，得：f(−x)+g(−x)=x 2−3x +1，即f(x)−g(x)=x 2−3x +1②，联立①②，解得：f(x)=x 2+1. 故选D ． 9. 【答案】 C【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的性质根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得f(2a)>f(1−a)⇒f(|2a|)>f(|1−a|)⇒|2a|<|1−a|，解可得a 的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f(x)为R 上的偶函数，当x ≥0时，f(x)单调递减，则f(2a)>f(1−a)⇒f(|2a|)>f(|1−a|)⇒|2a|<|1−a|，解可得：−1<a <13，即a 的取值范围为(−1, 13). 故选C . 10. 【答案】 B【考点】二次函数的性质【解析】据函数的函数值f(32)=−254，f(0)=−4，结合函数的图象即可求解．【解答】解：∵ f(x)=x 2−3x −4=(x −32)2−254，∴ f(32)=−254.又f(0)=−4，故由二次函数图象可知；m 的值最小为32，最大为3，即m 的取值范围是：32≤m ≤3．故选B . 11.【答案】 A【考点】本题考查了分段函数的单调性，通过单调性求参数的取值范围，属于基础题【解答】解：由题意，得{3a −1<0，−a <0，3a −1+4a ≥−a ，解得：18≤a <13. 故选A ． 12. 【答案】 C【考点】抽象函数及其应用函数奇偶性的性质【解析】由题意可得f(0)＝0，进而根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4，分析可得f(1)+f(2)+f(3)+f(4)的值，结合函数的周期性分析可得答案．【解答】解：∵ f(x)是奇函数，且f(1−x)=f(1+x)， ∴ f(1−x)=f(1+x)=−f(x −1)，f(0)=0，则f(x +2)=−f(x)，则f(x +4)=−f(x +2)=f(x)，即函数f(x)是周期为4的周期函数， ∵ f(1)=2，∴ f(2)=f(0)=0，f(3)=f(1−2)=f(−1)=−f(1)=−2， f(4)=f(0)=0，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0−2+0=0，则f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2020)=505×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=0. 故选C ．二、填空题【答案】 {x|1≤x ≤2} 【考点】交、并、补集的混合运算【解析】先求出集合B 的补集，再与集合A 求交集即可. 【解答】解：∵ A ={x|−1≤x ≤2}，B ={x|x <1}， ∴ ∁R B ={x|x ≥1}，A ∩(∁R B)={x|1≤x ≤2}. 故答案为：{x|1≤x ≤2}.【答案】 1【考点】根据幂函数的定义求出m的值，结合偶函数的定义取舍即可．【解答】解：由题意得：m2+m−1=1，解得：m=1或m=−2，m=1时，f(x)=x4是偶函数，符合题意，m=−2时，f(x)=x是奇函数，不合题意，故m=1.故答案为：1.【答案】1【考点】函数的周期性函数奇偶性的性质函数的求值【解析】根据题意，由函数的奇偶性分析可得f(x)=−f(x−2)，进而可得f(x)=−f(x−2)= f(x−4)，即函数f(x)是周期为4的周期函数，据此可得f(2020)=f(4+4×504)= f(4)=−f(2)，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f(x)=−f(2−x)，则f(x)=−f(x−2)，变形可得f(x)=−f(x−2)=f(x−4)，即函数f(x)是周期为4的周期函数，∴f(2020)=f(4+4×504)=f(4)=−f(2)=1.故答案为：1.【答案】18【考点】奇偶函数图象的对称性【解析】此题暂无解析【解答】解：∵函数y=f(x+1)−2为奇函数，∴函数f(x)的图象关于点(1,2)对称，g(x)=2x−1x−1=1x−1+2关于点(1,2)对称，∴两个函数图象的交点也关于点(1,2)对称，则(x1+x2+⋯+x6)+(y1+y2+⋯+y6)=2×3+4×3=18.故答案为：18.三、解答题【答案】∴(∁R A)∪B={x|−3<x<5}．(2)∵B∩C=C，∴C⊆B，①当C=⌀时，∴m−1>2m⇒m<−1；②当C≠⌀时，∴{m−1≤2m，m−1>1，2m<5，⇒2<m<52，综上m的取值范围是(−∞, −1)∪(2, 52)．【考点】交、并、补集的混合运算集合的包含关系判断及应用【解析】（1）根据定义，进行集合的交、并、补集运算，可得答案；（2）分集合C=⌀和C≠⌀两种情况讨论m满足的条件，再综合．【解答】解：(1)A∩B={x|2≤x<5}，∁R A={x|−3<x<2}，∴(∁R A)∪B={x|−3<x<5}．(2)∵B∩C=C，∴C⊆B，①当C=⌀时，∴m−1>2m⇒m<−1；②当C≠⌀时，∴{m−1≤2m，m−1>1，2m<5，⇒2<m<52，综上m的取值范围是(−∞, −1)∪(2, 52)．【答案】解：(1)因为全集U=R，集合A={x|x<−4或x>1}，B={x|−3≤x−1≤2}={x|−2≤x≤3}，所以A∩B={x|1<x≤3}，(∁U A)∪(∁U B)=∁U(A∩B)={x|x≤1或x>3}.(2)①当M=⌀时，2k−1>2k+1，不存在这样的实数k．②当M≠⌀时，则2k+1<−4或2k−1>1，解得k<−52或k>1．故k的取值范围为：k<−52或k>1.【考点】集合关系中的参数取值问题交、并、补集的混合运算【解析】（1）求出集合B，然后直接求A∩B，通过(C U A)∪(C U B)C U(A∩B)求解即可；（2）通过M=⌀与M≠⌀，利用集合M={x|2k−1≤x≤2k+1}是集合A的子集，直【解答】解：(1)因为全集U =R ，集合A ={x|x <−4或x >1}，B ={x|−3≤x −1≤2}={x|−2≤x ≤3}，所以A ∩B ={x|1<x ≤3}，(∁U A)∪(∁U B)=∁U (A ∩B)={x|x ≤1或x >3}.(2)①当M =⌀时，2k −1>2k +1，不存在这样的实数k ．②当M ≠⌀时，则2k +1<−4或2k −1>1，解得k <−52或k >1．故k 的取值范围为：k <−52或k >1.【答案】(1)证明： f (x )=2x−1x+1=2−3x+1, 设x 1>x 2>0，则： f (x 1)−f (x 2)=3x 2+1−3x 1+1=3(x 1−x 2)(x 1+1)(x 2+1), ∵ x 1>x 2>0,∴ x 1−x 2>0，x 1+1>0，x 2+1>0,∴ 3(x 1−x 2)(x 1+1)(x 2+1)>0,∴ f (x 1)>f (x 2),∴ f (x )在区间(0,+∞)上是增函数．(2)解：∵ f (x )在(0,+∞)上是增函数，∴ f (x )在区间[1,17]上的最小值为f (1)=12，最大值为f (17)=116．【考点】函数单调性的性质函数单调性的判断与证明【解析】无无【解答】(1)证明： f (x )=2x−1x+1=2−3x+1, 设x 1>x 2>0，则： f (x 1)−f (x 2)=3x 2+1−3x 1+1=3(x 1−x 2)(x 1+1)(x 2+1), ∵ x 1>x 2>0,∴ x 1−x 2>0，x 1+1>0，x 2+1>0,∴ 3(x 1−x 2)(x 1+1)(x 2+1)>0,∴ f (x 1)>f (x 2),∴ f (x )在区间[1,17]上的最小值为f (1)=12，最大值为f (17)=116．【答案】解：(1)∵ f(x)是(−1, 1)上的奇函数，∴ f(0)=0，∴ b =0．又f(12)=25，∴ 12a 1+(12)2=25， ∴ a =1，∴ f(x)=x1+x 2.(2)∵ f(x)是奇函数，∴ 不等式可化为f(t −1)<−f(t)=f(−t)，即 f(t −1)<f(−t).又f(x)在(−1, 1)上是增函数，∴ 有{−1<t −1<1，−1<−t <1，t −1<−t ，解得0<t <12，∴ 不等式的解集为{t|0<t <12}．【考点】奇偶性与单调性的综合函数奇偶性的性质【解析】（1）根据函数的奇偶性和条件，建立方程即可求函数f(x)的解析式；（2）根据函数单调性的定义即可证明f(x)在(−1, 1)上是增函数；【解答】解：(1)∵ f(x)是(−1, 1)上的奇函数，∴ f(0)=0，∴ b =0．又f(12)=25，∴ 12a 1+(12)2=25， ∴ a =1，∴ f(x)=x1+x 2.(2)∵ f(x)是奇函数，∴ 不等式可化为f(t −1)<−f(t)=f(−t)，即 f(t −1)<f(−t).又f(x)在(−1, 1)上是增函数，∴有{−1<t−1<1，−1<−t<1，t−1<−t，解得0<t<12，∴不等式的解集为{t|0<t<12}．【答案】解：(1)根据题意，函数f(x)=x2−2(a−1)x+4为二次函数，其对称轴为x=a−1，若f(x)为偶函数，则a−1=0，解可得a=1,则f(x)=x2+4，因为f(x)在[0,+∞]上单调递增，所以当−1≤x≤2，有4≤f(x)≤8，即f(x)在[−1, 2]上的值域为[4, 8].(2)根据题意，函数f(x)=x2−2(a−1)x+4为二次函数，其对称轴为x=a−1，若f(x)在区间(−∞, 2]上是减函数，则a−1≥2，解得a≥3，又由1<a−1<a，则f(x)在区间[1, a−1]上递减，在[a−1, a]上递增，且f(1)=7−2a，f(a)=−a2+2a+4，f(1)−f(a)=(7−2a)−(−a2+2a+4)=a2−4a+3=(a−2)2−1，又由a≥3，则f(1)≥f(a)，则f(x)在[1, a]上的最大值为7−2a．【考点】二次函数在闭区间上的最值函数的值域及其求法【解析】(Ⅰ)求出函数的对称轴，由偶函数的性质分析可得a−1＝0，解可得a＝1，即可得函数的解析式，由二次函数的性质分析可得答案；(Ⅱ)根据题意，由二次函数的性质分析可得a−1≥2，则a≥3；分析函数f(x)在区间[1, a]上的单调性，求出并比较f(1)、f(a)的值，即可得答案．【解答】解：(1)根据题意，函数f(x)=x2−2(a−1)x+4为二次函数，其对称轴为x=a−1，若f(x)为偶函数，则a−1=0，解可得a=1,则f(x)=x2+4，因为f(x)在[0,+∞]上单调递增，所以当−1≤x≤2，有4≤f(x)≤8，即f(x)在[−1, 2]上的值域为[4, 8].(2)根据题意，函数f(x)=x2−2(a−1)x+4为二次函数，其对称轴为x=a−1，则a−1≥2，解得a≥3，又由1<a−1<a，则f(x)在区间[1, a−1]上递减，在[a−1, a]上递增，且f(1)=7−2a，f(a)=−a2+2a+4，f(1)−f(a)=(7−2a)−(−a2+2a+4)=a2−4a+3=(a−2)2−1，又由a≥3，则f(1)≥f(a)，则f(x)在[1, a]上的最大值为7−2a．【答案】解：(1)因为f(x)=x2−2tx+2=(x−t)2+2−t2，所以f(x)在区间(−∞, t]上单调递减，在区间[t, +∞)上单调递增，且对任意的x∈R，都有f(t+x)=f(t−x)，若t=1，则f(x)=(x−1)2+1．①当x∈[0, 1]时．f(x)单调递减，从而最大值f(0)=2，最小值f(1)=1．所以f(x)的取值范围为[1, 2]；②当x∈[1, 4]时．f(x)单调递增，从而最大值f(4)=10，最小值f(1)=1．所以f(x)的取值范围为[1, 10]；所以f(x)在区间[0, 4]上的取值范围为[1, 10]．(2)“对任意的x∈[a, a+2]，都有f(x)≤5”等价于“在区间[a, a+2]上，[f(x)]max≤5”．①若t=1，则f(x)=(x−1)2+1，所以f(x)在区间(−∞, 1]上单调递减，在区间[1, +∞)上单调递增．②当1≤a+1，即a≥0时，由[f(x)]max=f(a+2)=(a+1)2+1≤5，得−3≤a≤1，从而0≤a≤1．③当1>a+1，即a<0时，由[f(x)]max=f(a)=(a−1)2+1≤5，得−1≤a≤3，从而−1≤a<0．综上，a的取值范围为区间[−1, 1]．(3)设函数f(x)在区间[0, 4]上的最大值为M，最小值为m，所以“对任意的x1，x2∈[0, 4]，都有|f(x1)−f(x2)|≤8”等价于“M−m≤8”．①当t≤0时，M=f(4)=18−8t，m=f(0)=2．由M−m=18−8t−2=16−8t≤8，得t≥1．从而t∈⌀．②当0<t≤2时，M=f(4)=18−8t，m=f(t)=2−t2．由M−m=18−8t−(2−t2)=t2−8t+16=(t−4)2≤8，得4−2√2≤t≤4+2√2．从而4−2√2≤t≤2．③当2<t≤4时，M=f(0)=2，m=f(t)=2−t2．由M−m=2−(2−t2)=t2≤8，得−2√2≤t≤2√2．从而2<t≤2√2．④当t>4时，M=f(0)=2，m=f(4)=18−8t．由M−m=2−(18−8t)=8t−16≤8，得t≤3．从而t∈⌀．综上，t的取值范围为区间[4−2√2, 2√2]．二次函数在闭区间上的最值函数最值的应用函数的值域及其求法【解析】(1)若t=1，则f(x)=(x−1)2+1，根据二次函数在[0, 4]上的单调性可求函数的值域(2)由题意可得函数在区间[a, a+2]上，[f(x)]max≤5，分别讨论对称轴x=t与区间[a, a+2]的位置关系，进而判断函数在该区间上的单调性，可求最大值，进而可求a 的范围(3)设函数f(x)在区间[0, 4]上的最大值为M，最小值为m，对任意的x1，x2∈[0, 4]，都有|f(x1)−f(x2)|≤8等价于M−m≤8，结合二次函数的性质可求【解答】解：(1)因为f(x)=x2−2tx+2=(x−t)2+2−t2，所以f(x)在区间(−∞, t]上单调递减，在区间[t, +∞)上单调递增，且对任意的x∈R，都有f(t+x)=f(t−x)，若t=1，则f(x)=(x−1)2+1．①当x∈[0, 1]时．f(x)单调递减，从而最大值f(0)=2，最小值f(1)=1．所以f(x)的取值范围为[1, 2]；②当x∈[1, 4]时．f(x)单调递增，从而最大值f(4)=10，最小值f(1)=1．所以f(x)的取值范围为[1, 10]；所以f(x)在区间[0, 4]上的取值范围为[1, 10]．(2)“对任意的x∈[a, a+2]，都有f(x)≤5”等价于“在区间[a, a+2]上，[f(x)]max≤5”．①若t=1，则f(x)=(x−1)2+1，所以f(x)在区间(−∞, 1]上单调递减，在区间[1, +∞)上单调递增．②当1≤a+1，即a≥0时，由[f(x)]max=f(a+2)=(a+1)2+1≤5，得−3≤a≤1，从而0≤a≤1．③当1>a+1，即a<0时，由[f(x)]max=f(a)=(a−1)2+1≤5，得−1≤a≤3，从而−1≤a<0．综上，a的取值范围为区间[−1, 1]．(3)设函数f(x)在区间[0, 4]上的最大值为M，最小值为m，所以“对任意的x1，x2∈[0, 4]，都有|f(x1)−f(x2)|≤8”等价于“M−m≤8”．①当t≤0时，M=f(4)=18−8t，m=f(0)=2．由M−m=18−8t−2=16−8t≤8，得t≥1．从而t∈⌀．②当0<t≤2时，M=f(4)=18−8t，m=f(t)=2−t2．由M−m=18−8t−(2−t2)=t2−8t+16=(t−4)2≤8，得4−2√2≤t≤4+2√2．从而4−2√2≤t≤2．③当2<t≤4时，M=f(0)=2，m=f(t)=2−t2．由M−m=2−(2−t2)=t2≤8，得−2√2≤t≤2√2．从而2<t≤2√2．④当t>4时，M=f(0)=2，m=f(4)=18−8t．由M−m=2−(18−8t)=8t−16≤8，得t≤3．综上，t的取值范围为区间[4−2√2, 2√2]．。

6.2.2 平面向量的数量积(精练)(解析版)

6.2.2 平面向量的数量积（精练）【题组一向量的数量积】1．（2020·天水市第一中学高一期末）已知等边ABC 的边长为2，若3BC BE =，AD DC =，则BD AE ⋅等于（） A ．103B ．103-C ．2D ．2-【答案】D【解析】等边△ABC 的边长为2，3BC BE =，AD DC =， ∴()12BD BA BC =+，1313A AB BE AB B E BC A C B =+=+=-， ∴()221111223233BD AE BA BC BC BA BC BA BC BA ⎛⎫⎛⎫+-=--⋅ ⎪ ⎪⎝=⎭⎝⎭， 112144222332⎛⎫=⨯⨯--⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，2=-．故选：D ． 2．（2020·陕西渭南市·高一期末）在ABC 中，D 为线段BC 的中点，1AD =，3BC =，则AB AC ⋅（） A ．13- B ．54-C ．3D ．4【答案】B 【解析】在ABC 中，D 为线段BC 的中点()12AD AB AC BC AC AB⎧=+⎪∴⎨⎪=-⎩，可得12AB ADBC ，12AC ADBC , 2211152244AB AC AD BC ADBC AD BC ⎛⎫⎛⎫∴⋅=-⋅+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B.3．（2020·湖南益阳市·高一期末）在ABC 中，AB =AC =G 为ABC 的重心，则AG BC ⋅=________．【答案】6【解析】如图，点D 是BC 的中点，G 为ABC 的重心，∴()()22113323AG AD AB AC AB AC ==⨯+=+，BC AC AB =-，所以()()()221133AG BC AB AC AC AB AC AB ⋅=+⋅-=- ()126863=-=故答案为：64．（2020·黑龙江大庆市·大庆一中高一期末）如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点5BA CA ⋅=，2BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是________.【答案】58【解析】因为222211436=52244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD （）（）--⋅=-⋅--==， 2211114223234FD BCBF CF BC AD BC AD （）（）-⋅=-⋅--==-，因此2223,827FD BC ==，222211416.224458ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED （）（）--⋅=-⋅--===故答案为：58.5．（2020·四川内江市）在等腰Rt ABC 中，斜边BC =AB c =，BC a =，CA b =，那么a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_____.【答案】2-【解析】由题可知在等腰Rt ABC 中，斜边BC =1ABAC ，,24AB C，即2a =，1b c ==，()()cos 0cos a b b c c a a b C c a B ππ∴⋅+⋅+⋅=⋅⋅-++⋅⋅-11222⎛⎛⎫=⨯-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：2-.6．（2020·北京101中学高一期末）如图，在矩形ABCD 中，AB =2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF ⋅=，则AE BF ⋅的值是______.【解析】∵AF AD DF =+，()22AB AF AB AD DF AB AD AB DF AB DF DF ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅==，∴1DF =，21CF =，∴()()AE BF AB BEBC CF AB CF BE BC ⋅=++=⋅+⋅)11222=+⨯=-+=.7．（2020·陕西咸阳市·高一期末）已知两个单位向量a ，b 的夹角为120︒，()1c ta t b =+-.若1a c ⋅=，则实数t =______. 【答案】1 【解析】两个单位向量a ，b 的夹角为120︒，∴11·1122a b ⎛⎫=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，又(1)c ta t b =+-，1a c =，∴21[(1)](1)(1)12a ta tb ta t a b t t +-=+-=--=，解得1t =．故答案为：1．8．（2020·长沙县实验中学高一期末）已知非零向量m →，n →满足4m →=3n →，cos m →〈，13n →〉=.若n →⊥t m n →→⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则实数t 的值为_____________. 【答案】4-【解析】非零向量m →，n →满足4m →=3n →，cos m →〈，13n →〉=,n →⊥t m n →→⎛⎫+ ⎪⎝⎭,n →∴⋅22+||||cos ,||t m n t m n n t m n m n n →→→→→→→→→→⎛⎫+=⋅=<>+ ⎪⎝⎭223||||034t n n →→=⨯+=,解得4t =-，故答案为：4- 【题组二向量的夹角】1．（2020·山东临沂市·高一期末）已知非零向量a ，b ，若||2||a b =，且(2)a a b ⊥-，则a 与b 的夹角为（） A ．6πB ．4π C ．3π D ．34π 【答案】B【解析】因为(2)a a b ⊥-，所以22(2)22cos ,0a a b a a b a a b a b ⋅-=-⋅=-=，因为||2||a b =，所以22cos ,22aa ab a bb===， []a,b 0,,a,b 4ππ∈∴=.故选:B.2．（2020·镇原中学高一期末）已知a b c ，，为单位向量，且满足370a b c λ++=，a 与b 的夹角为3π，则实数λ=_______________. 【答案】8λ=-或5λ=【解析】由370a b c λ++=，可得7(3)c a b λ=-+，则22224996b b c a a λλ=++⋅. 由a b c ，，为单位向量，得2221a b c ===，则24996cos 3πλλ=++，即23400λλ+-=，解得8λ=-或5λ=.3．（2020·浙江温州市·高一期末）已知平面向,,a b c ，满足2,3,1a b c ===，且()()5a c b c -⋅-=，a b -与a b +夹角余弦值的最小值等于_________.【解析】平面向,,a b c ,满足2,3,1a b c ===,则2222224,3,1a a b bc c ======因为()()5a c b c -⋅-=展开化简可得()25a b c a b c ⋅-++=,因为221c c ==,代入化简可得()4a b c a b ⋅-+= 设c 与a b +的夹角为[],0,θθπ∈ 则由上式可得cos 4a b c a b θ⋅-⋅+⋅= 而()222272a b aba abb a b +=+=+⋅+=+⋅代入上式化简可得cos θ=令m a b =⋅,设a 与b 的夹角为[],0,ααπ∈,则由平面向量数量积定义可得cosa b a b m αα⋅=⋅⋅==,而1cos 1α-≤≤所以m -≤≤由余弦函数的值域可得cos 1θ≤,即4cos 1722a b m a bθ⋅-==≤+⋅将不等式化简可得21090m m -+≤,解不等式可得19m ≤≤ 综上可得1m ≤≤即123a b ⋅≤≤而由平面向量数量积的运算可知,设a b -与a b +夹角为β,则()()22727c 2osa b a b a b a ba b a bβ-⋅+-⋅+-⋅⋅⋅=+==当分母越大时,cos β的值越小;当a b ⋅的值越小时,分母的值越大所以当1a b ⋅=时,cos β的值最小代入可得c s o β==所以a b -与a b +夹角余弦值的最小值等于15故答案为4．（2020·延安市第一中学高一月考）已知向量,a b满足2,1,2a b a b a b ==+=-. （1）求a 在b 上的投影；（2）求a 与2a b -夹角的余弦值. 【答案】（1）12-；（2）4. 【解析】（1）2222222(2)()442a b a b a b a b a a b b a a b b +=-⇒+=-⇒+⋅+=-⋅+2163,2a b b a b ∴⋅=-∴⋅=-，设a 和b 的夹角为θ，a 在b 上的投影为：1cos 2a ba bθ⋅==-；（2）设a 与2a b -夹角为α，()2222cos 2244a a ba a ba a ab bα⋅-====⨯⋅-⋅-⋅+.5．（2020·北京顺义区·高一期末）已知平面向量a ，b ，2=a ，1=b ，且a 与b 的夹角为3π．（1）求a b ⋅；（2）求2a b +；（3）若2a b +与()2a b R λλ+∈垂直，求λ的值．【答案】（1）1；（2）（3）4-. 【解析】（1）1cos2132a b a b π⋅=⋅=⨯=；（2）()2222224444412a b a ba ab b +=+=+⋅+=++=，223a b +∴=；（3）()()22a b a b λ+⊥+，()()220a b a b λ∴+⋅+=，即()()222428421230a a b b λλλλλ++⋅+=+++=+=，解得：4λ=-. 6．（2020·南昌市·江西师大附中高一月考）已知向量,a b 满足||||1a b ==，||3||(0,)ka b a kb k k R +=->∈（1）若//a b ，求实数k 的值；（2）求向量a 与b 夹角的最大值. 【答案】（1）2±；（2）3π. 【解析】（1）因为//a b ，0k >，所以2104k a b k+⋅=>，则a 与b 同向.因为||||1a b ==，所以1a b ⋅=，即2114k k+=，整理得2410k k -+=，解得2k =所以当2k =±//a b . （2）设,a b 的夹角为θ，则221111cos 2444||||k a b k k a k a b b θ⋅⎡⎤+⎛⎫==⋅==+=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，=，即1k =时，cos θ取最小值12，又0θπ≤≤，所以3πθ=，即向量a 与b 夹角的最大值为3π. 7．（2020·全国高一专题练习）已知向量12,e e ，且121e e ==，1e 与2e 的夹角为3π.12m e e λ=+，1232n e e =-.（1）求证：()1222e e e -⊥；（2）若m n =，求λ的值；（3）若m n ⊥，求λ的值；（4）若m 与n 的夹角为3π，求λ的值. 【答案】（1）见解析（2）2λ=或3λ=-.（3）14λ=（4）2λ= 【解析】（1）证明：因为121e e ==，1e 与2e 的夹角为3π，所以()2221221221221222cos2111032e e e e e e e e e π-⋅=-=-=⨯⨯⨯-=，所以()1222e e e-⊥.（2）由m n =得()()22121232e e e e λ+=-，即()2211229(212)30e e e e λλ-++⋅-=.因为121e e ==，12,3e e π=，所以22121e e ==，12111cos 32e e π⋅=⨯⨯=，所以()2191(212)3102λλ-⨯++⨯-⨯=，即260λλ+-=.所以2λ=或3λ=-.（3）由m n ⊥知0m n ⋅=，即()()1212320e e e e λ+⋅-=，即2211223(32)20e e e e λλ+-⋅-=. 因为121e e ==，12,3e e π=，所以22121e e ==，12111cos32e e π⋅=⨯⨯=，所以()1332202λλ+-⨯-=.所以14λ=.（4）由前面解答知22121e e ==，1212e e ⋅=，7n =.而()22222212112221m e e e e e e λλλλλ=+=+⋅+=++，所以2m λ=()()1212211222113(32)23(32)222322e e e m n e e e e e λλλλλλ+-⋅-=+-⨯-⋅=+⋅-==-因为,3m n π=，由cos ,m n m n m n ⋅=得11222λ-=，化简得23520λλ--=，所以2λ=或13λ=-.经检验知13λ=-不成立，故2λ=.【题组三向量的投影】1．（2021·江西上饶市）若向量a 与b 满足()a b a +⊥，且1a =，2b =，则向量a 在b 方向上的投影为（）A B ．12-C ．-1D ．3 【答案】B【解析】利用向量垂直的充要条件有：()20a b a a a b +⋅=+⋅=，∴1a b ⋅=-，则向量a 在b 方向上的投影为12a b b⋅=-,故选B.2．（2020·沈阳市第一七〇中学高一期末）已知向量a ，b ，其中1a =，24a b -=，22a b +=，则a 在b 方向上的投影为( ) A ．2-B ．1C ．1-D ．2【答案】C【解析】由题意，向量a ，b ，其中1a =，24a b -=，22a b +=，可得()222224414416a ba b a b b a b -=+-⋅=+-⋅= (1)()2222244144=4a b a b a b b a b +=++⋅=++⋅ (2)联立(1)(2)解得32b =，32a b ⋅=-，所以a 在b 方向上的投影为1a b b⋅=-.故选：C .3．（2020·长沙市·湖南师大附中高一月考）已知向量a ，b 满足1a=，3b=，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则a b -等于（） A B C ．4D ．5【答案】A【解析】设两个向量的夹角为θ，则cos cos a b θθ=，从而cos 0θ=，因为[]0,θπ∈，故2πθ=，所以2210a b a b -=+=．故选：A ．4．（2020·眉山市彭山区第一中学高一期中）已知1a =，2b =，,60a b =︒，则a b +在a 上的投影是（） A ． 1 B C ．2 D 【答案】C【解析】因为1a =，2b =，,60a b =︒，所以cos ,12cos601a b a b a b ⋅=<>=⨯⨯︒=()22112a b a ab a +⋅=+⋅=+=所以a b +在a上的投影()2a b a a+⋅=故选：C 5（2020·陕西渭南市·高一期末）已知3a =，3b =，32a b +=，则向量a 在向量b 方向的投影（） A ．1 B ．1- C ．3D ．3-【答案】A【解析】由题意，向量3a =，3b =，32a b +=，可得222239218a b a b a b a b +=++⋅=++⋅=，解得3a b ⋅=，所以向量a 在向量b 方向的投影313a b b⋅==.故选：A. 6．（2020·四川绵阳市·高一期末）在△ABC 中，ABAC ⋅=0，点P 为BC 的中点，且|PA |＝|AB |，则向量BA 在向量BC 上的投影为（） A BC B ．BC C ．﹣14BC D ．14BC 【答案】D【解析】根据题意，AB AC ⊥，又点P 为BC 中点，故可得PC PB PA AB ===，如下所示：故三角形PAB 为等边三角形，故可得60B ∠=︒，不妨设BA a =，故可得2BC a =，则向量BA 在向量BC 上的投影为21212224a BA BC a BC a BC⨯⋅===. 故选：D .7．（2020·营口市第二高级中学高一期末）已知向量,a b 满足||5,||4,||6b a b a b =+=-=，则向量a 在向量b 上的投影为________.【答案】1-【解析】向量,a b 满足||5,||4,||6b a b a b =+=-=，可得2()16a b +=，2()36a b -=，即为22216a b a b ++=，22236a b a b +-=，两式相减可得5a b =-，则向量a 在向量b 上的投影为515||a b b -==-．故答案为：1-． 8．（2020·湖北武汉市·高一期末）设向量a ，b 满足2a =，1b =，且()b a b ⊥+，则向量b 在向量2a b +上的投影的数量为_______. 【答案】12【解析】()b a b ⊥+，()20a b b a b b =⋅+∴⋅+=，21a b b ∴=-=-⋅，()2221b a b a b b ∴⋅+=⋅+=，22244442a b a b a b +=++⋅=+=，∴向量b 在向量2a b +上的投影的数量为()2122b a b a b⋅+=+.故答案为：12.9．（2021·河南郑州市）已知平面向量,a b 满足1,2,3a b a b ==+=，则a 在b 方向上的投影等于______．【答案】12-【解析】由题意结合平面向量数量积的运算法则有：()22221243,1a b a a b b a b a b +=+⋅+=+⋅+=∴⋅=-，据此可得，a 在b 方向上的投影等于1122a b b⋅-==-. 10．（2020·四川高一期末）已知边长为2的等边ABC 中，则向量AB 在向量CA 方向上的投影为_____．【答案】1-【解析】因为ABC 是等边三角形，所以向量AB 与向量CA 的夹角为120，因为ABC 边长为2，所以向量AB 在向量CA 方向上的投影为1cos120212AB ⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪⎝⎭，故答案为：1-.11．（2020·全国高一课时练习）已知e 为一个单位向量，a 与e 的夹角是120︒.若a 在e 上的投影向量为2e -，则a =_____________. 【答案】4【解析】e 为一个单位向量,a 与e 的夹角是120︒由平面向量数量积定义可得1cos1202a e a ⋅=⨯⨯︒=-, 根据平面向量投影定义可得122a e e ⎛⎫⨯-⋅=- ⎪⎝⎭,∴4a =.故答案为:4 12．（2020·福建省福州第一中学高一期末）已知非零向量a 、b 满足2a =，24a b -=，a 在b 方向上的投影为1，则()2b a b ⋅+=_______. 【答案】18 【解析】2a =，a 在b 方向上的投影为1，212a b ⋅=⨯=，24a b -=，222222216244444242a b a a b b a a b b b =-=-⋅+=-⋅+=⨯-⨯+，可得22b =，因此，()22222818b a b a b b ⋅+=⋅+=+⨯=.故答案为：18. 【题组四向量的模长】1．（2020·全国高一）已知平面向量a ，b 满足2a =，3b =，若a ，b 的夹角为120°，则3a b -=（）A ．B ．C ．D ．3【答案】A【解析】由题意得，2239636a b a a b b -=-⋅+=+=A .2．（2020·全国高一）若向量a 与b 的夹角为60°，且43a b ==，，则a b +等于（）A ．37B ．13C D 【答案】C【解析】因为向量a 与b 的夹角为60°，且43a b ==，，所以22222+2++2cos 60+a b a a b b a a b b +⋅=⋅⋅=2214+243+3372=⨯⨯⨯=所以37a b +=，故选：C ．3．（2020·全国高一开学考试）已知向量a ，b 满足0a b ⋅=，1a =，3b =，则a b -=（）A ．0B ．2C ．D【答案】D【解析】因为向量a ,b 满足0a b ⋅=,1a =,3b =则2a b a b -=-222a a b b =-⋅+==:D4．（2020·银川市·宁夏大学附属中学高一期末）已知向量a 、b 满足：3a =，4b =，41a b +=，则a b -=_________. 【答案】3. 【解析】()222222222232441a b a b a a b b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅+=+⋅+=，8a b ∴⋅=，()2222222233a b a b a a b b a a b b ∴-=-=-⋅+=-⋅+=-，因此，3a b -=，故答案为3.5．（2020·全国高一单元测试）若平面向量a ，b 满足2a b +=，6a b -=，则a b ⋅=__________，22a b +=__________．【答案】-1 4 【解析】由2a b +=，得2222a a b b +⋅+=，①由6a b -=，得2226a a b b -⋅+=，②①-②得：44a b ⋅=-，∴1a b ⋅=-．故224a b +=．故答案为：①-1；②4.6．（2020·全国高一）已知6a →=，8b →=，则a b →→+的最大值为______；若6a →=，8b →=，且10a b →→-=，则a b →→+=______. 【答案】14 10【解析】222222()22cos ,a b a b a a b b a a b a b b →→→→→→→→→→→→→→+=+=+⋅+=+<>+3664248cos ,a b →→=++⨯<>10096cos ,a b →→=+<>10096196≤+=，当且仅当,a b →→同向时等号成立，所以14a b →→+≤，即a b →→+的最大值为14，由10a b →→-=两边平方可得：2222()21002100a b a b a a b b a b →→→→→→→→→→-=-=-⋅+=-⋅=，所以0a b →→⋅=，所以2222()2100a b a b a a b b →→→→→→→→+=+=+⋅+=，即10a b →→+=. 故答案为：14；107．（2020·东北育才学校）已知向量a ，b 满足4a =，b 在a 上的投影（正射影的数量）为-2，则2a b -的最小值为【答案】8【解析】因为b 在a 上的投影（正射影的数量）为2-，所以||cos ,2b a b <>=-，即2||cos ,b a b =-<>，而1cos ,0a b -≤<><，所以||2b ≥，因为2222222(2)44||4||||cos ,4||a b a b a a b b a a b a b b -=-=-⋅+=-<>+22=1644(2)4||484||b b -⨯⨯-+=+所以22484464a b-≥+⨯=，即28a b-≥，故选D.9．（2020·四川广元市·高一期末）设非零向量a与b的夹角是23π，且a a b=+，则22a tbb+的最小值为（）A．3B C ．12D ．1【答案】B【解析】对于a，b 和a b+的关系，根据平行四边形法则，如图a BA CD==，b BC=，a b BD+=,23ABCπ∠=，3DCBπ∴∠=，a a b=+，CD BD BC∴==，a b a b∴==+，2222222==222a tba tb a tbb bb+++，a b=，22222222244cos223=224a t ab t ba tba tbb b bπ++++=，22222222244cos4231244a t ab t b a t a a t a t tb aπ++-+==-+当且仅当1t =时，22a tbb+的最小值为2. 故选：B.10．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知平面向量a 、b 满足23a a b =+=，则b a b ++的最大值为________．【答案】【解析】22222443443a b a a b b a b b +=+⋅+=+⋅+=，则2a b b ⋅=-，设a 与b 的夹角为θ，则2cos a b b θ⋅=-，3cos b θ∴=-，0b ≥，0θπ≤≤，可得2θπ≤≤π， 22222233sin a b a a b b b θ+=+⋅+=-=，则3sin a b θ+=，3cos 3b a b πθθθ⎛⎫++=-+=- ⎪⎝⎭，2θπ≤≤π，则2633πππθ≤-≤，所以，当32ππθ-=b a b ++取最大值故答案为：11．（2020·沙坪坝区·重庆南开中学高一期末）已知向量a 与向量b 的夹角为3π，且1a =，()32a a b ⊥-. （1）求b ；（2）若27a mb -=，求m . 【答案】（1）3b =；（2）13m =-或1m =. 【解析】（1）∵()23232320a a b a a b a b ⋅-=-⋅=-⋅=， ∴32a b ⋅=，∴13cos 322a b a b b π⋅=⋅⋅==，∴3b =. （2）∵27a mb -=，∴()222227244469a mba mab m b m m =-=-⋅+=-+，整理得：23210m m --=，解得：13m =-或1m =. 12．（2020·北京朝阳区·人大附中朝阳学校高一月考）已知平面向量,a b 满足:2a =，1b =|.（1）若()()21a b a b +⋅-=，求a b ⋅的值；（2）设向量,a b 的夹角为θ，若存在t R ∈，使得||1a tb +=，求cos θ的取值范围.【答案】（1）1-；（2）1,⎡⎤-⋃⎢⎥⎣⎦⎣⎦.【解析】（1）若()()21a b a b +⋅-=，则2221a a b b +⋅-=，又因为2a =，1b =|，所以421a b +⋅-=，所以1a b ⋅=-；（2）若||1a tb +=，则22221a ta b t b +⋅+=，又因为2a =，1b =，所以2203ta b t +=+⋅即204cos 3t t θ++=，所以2=16120cos θ∆-≥，解得2cos θ≤-或cos 2θ≥，所以311cos ,,θ⎡⎡⎤∈-⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 13．（2020·全国高一单元测试）已知向量OA a =，OB b =，60AOB ∠=，且4a b ==．（1）求a b +，a b -；（2）求a b +与a 的夹角及a b -与a 的夹角．【答案】（1）43a b +=，4a b -=；（2）30，60．【解析】（1）因为向量OA a =，OB b =，60AOB ∠=，且4a b ==，所以()22222222co 60s a ba ba ab b a a b b +=+=+⋅+=++11624416482=+⨯⨯⨯+=，所以43a b +=，又()22222222co 60s a ba ba ab b a a b b -=-=-⋅+=-+11624416162=-⨯⨯⨯+=，所以4a b -=；（2）记a b +与a 的夹角为,0,180αα⎡⎤∈⎣⎦，a b -与a 的夹角为0,180,ββ⎡⎤∈⎣⎦，则()211644cos 43a b a a b aα+⨯⨯+⋅====⨯+，所以30α=．()21164412cos 44162a b a a a ba b aβ-⨯⨯-⋅-⋅====⨯-，所以60β=．【题组五平面向量的综合运用】1．（2020·北京丰台区·高一期末）a ，b 是两个单位向量，则下列四个结论中正确的是（） A ．a b = B ．1a b ⋅=C ．22a b ≠D ．22||||a b =【答案】D【解析】A ．,a b 可能方向不同，故错误；B ．cos ,cos ,a b a b a b a b ⋅=⋅⋅<>=<>，两向量夹角未知，故错误；C ．22221,1a a a a b b b b =⋅===⋅==，所以22a b =，故错误； D ．由C 知221a b ==，故正确，故选：D.2．（2020·全国高一单元测试）若a 是非零向量，b 是单位向量，①0a >，②1=b ，③ab a=，④()0a b λλ=≠，⑤0a b ⋅≠，其中正确的有（）A ．①②③B ．①②⑤C ．①②④D ．①②【答案】D【解析】∵0a ≠，∴0a >，①正确；b 为单位向量，故1=b ，②正确；aa表示与a 方向相同的单位向量，不一定与b 方向相同，故③错误； a 与b 不一定共线，故()0a b λλ=≠不成立，故④错误，若a 与b 垂直，则有0a b ⋅=，故⑤错误．故选：D.3．（2021·重庆）设,a b 为向量，则“a b a b ⋅=”是“//a b ” （） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据向量数量积运算，a b ⋅= a b cos θ 若a b a b ⋅=，即a b cos θ=a b 所以cos θ=± 1，即=0180θ︒︒或所以//a b若//a b ，则a b 与的夹角为0°或180°，所以“0a b a b cos a b ⋅=︒= 或180a b a b cos a b ⋅=︒=-即a b a b cos θ⋅= 所以“a b a b ⋅=”是“//a b ”的充分必要条件所以选C4．（2020·全国高一课时练习）若a ，b ，c 均为单位向量，且12a b =-，(,)c xa yb x y R =+∈，则x y +的最大值是（）A ．2 BC D ．1【答案】A 【解析】a ，b ，c 均为单位向量，且12a b =-，(,)c xa yb x y R =+∈，∴222222()21c xa yb x y xya b x y xy =+=++=+-=，设x y t +=，y t x =-，得：22()()10x t x x t x +----=， 223310x tx t ∴-+-=，方程223310x tx t -+-=有解，∴()2291210t t ∆=--，23120t -+，22t ∴-x y ∴+的最大值为2．故选：A ．5．（2020·甘肃兰州市·兰州一中高一期末）已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小的值是（）A ．a b ⋅B ．a c ⋅C ．b c ⋅D ．不能确定【答案】C【解析】由0a b c ++=，可得()c a b =-+，平方可得2222()a b c a b =-+．同理可得2222()b c a b c =-+、2222()a c b a c =-+，||||||a b c <<，∴222a b c <<则a b 、b c 、a c 中最小的值是b c ．故选：C ．6．（2020·浙江湖州市·高一期末）已知空间向量a ，b ，c 和实数λ，则下列说法正确的是（） A ．若0a b ⋅=，则0a =或0b = B ．若0a λ=，则0λ=或0a = C ．若()()22ab =，则a b =或a b =-D ．若a b a c ⋅=⋅，则b c =【答案】B【解析】对于选项A ，若0a b ⋅=，则0a =或0b =或a b ⊥，故A 错误；对于选项C ，由()()22ab =，得||||a b =，即可得其模相等，但方向不确定，故C 错误；对于选项D ，由a b a c ⋅=⋅，得()0⋅-=a b c ，则0a =或b c =或()a b c ⊥-，故D 错误；对于选项B ，由0a λ=，可得0λ=或0a =，故B 正确，故选：B .7．（多选）（2021·江苏高一）若a 、b 、c 是空间的非零向量，则下列命题中的假命题是（） A ．()()a b c b c a ⋅⋅=⋅⋅B ．若a b a b ⋅=-⋅，则//a bC ．若a c b c ⋅=⋅，则//a bD ．若a a b b ⋅=⋅，则a b = 【答案】ACD【解析】()a b c ⋅⋅是与c 共线的向量，()b c a ⋅⋅是与a 共线的向量，a 与c 不一定共线，A 错，若a b a b ⋅=-⋅，则a 与b 方向相反，∴//a b ，B 对，若a c b c ⋅=⋅，则()0a b c -⋅=，即()a b c -⊥，不能推出//a b ，C 错，若a a b b ⋅=⋅，则||||a b =，a 与b 方向不一定相同，不能推出a b =，D 错，故选：ACD.8．（多选）（2020·山东临沂市·高一期末）已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（） A ．||||||a b a b ⋅≤B ．若a b c b ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】AC【解析】对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ⋅=，则||||||a b a b ⋅≤，所以A 正确，对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即22||||a b a b -⋅=，cos 1θ=-，则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确；对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角，可得()0a a b λ⋅+>即2||0a a b λ+⋅>可得530λ+>，解得53λ>-，当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+⇒=所以a 与a b λ+的夹角为锐角时53λ>-且0λ≠，故D 错误；故选:AC.9．（2020·浙江高一期末）已知2a b a b ==⋅=，()24c a b λλ=-+，则()()c a c b -⋅-的最小值为__________. 【答案】4952- 【解析】()14c a a b λλ-=-+，()()241c b a b λλ-=-+-，()()()()()14241c b c a a b a b λλλλ⎡⎤⎡⎤-⋅-=⋅∴-+-+-⎣⎦⎣⎦ ()()()2222216122871a a b b λλλλλλ=-++-+-⋅+-，代入2a b a b ==⋅=，原式252386λλ=-+，∴当1952λ=时，原式最小值为4952-. 故答案为：4952-10．（2020·湖北高一开学考试）在ABC 中，已知2AB =，||||CA CB CA CB +=-，2cos 22sin 12B CA ++=，则BA 在BC 方向上的投影为__________.【解析】因为CA CB CA CB +=-，所以()()22CA CB CA CB +=-所以0CA CB =，即2C π=因为2cos 22sin12B C A ++=，所以2cos 22sin 12A A π-+=即2cos 22sin 12AA +=，即cos2cos 0A A +=，所以22cos cos 10A A +-=解得cos 1A =-或1cos 2A =因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1cos 2A =，即3A π=，所以6B π=，因为2AB =，所以2sin BC A ==所以BA 在BC 方向上的投影为3BC =【点睛】本题考查平面向量的几何意义，属于中档题.11．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知平面向量,a b ，其中||2,||1a b ==，,a b 的夹角是3π，则2a b -=____________；若t 为任意实数，则a tb +的最小值为____________．【答案】2【解析】由题意，平面向量,a b ，其中||2,||1a b ==，,a b 的夹角是3π，可得cos 21cos133a b a b ππ⋅=⋅=⨯⨯=，则22224444414a ba b a b -=+-⋅=+-⨯=，所以22a b -=，又由22222()22a ta b t b t t a t a tb b ==+⋅+++=+=，所以当1t =-时，a tb +的最小值为故答案为：212．（2020·天津市滨海新区大港太平村中学高一期末）在ABC 中，2AB =，3AC =，120BAC ∠=︒，D 是BC 中点，E 在边AC 上，AE AC λ=，12AD BE ⋅=，则||=AD ________，λ的值为________.13【解析】因为2AB =，3AC =，120BAC ∠=︒，所以cos1203AB AC AB AC ⋅=⋅=-，由题意()12AD AB AC =+，BE BA AE AC AB λ=+-=，所以()()222211224AD AB AC AB AB AC AC ⎡⎤=+=+⋅+⎢⎥⎣⎦()1746944=-+=，所以72AD =；由12AD BE ⋅=可得()()()2211222211AB AC AB AC AB AC AB AC λλλ+-⋅-=+⋅- ()31122229123λλλ=---=-=，解得13λ=.；13. 13．（2020·湖北黄冈市·高一期末）已知向量n 与向量m 的夹角为3π，且1n =，3m =，()0n n m λ⋅-=. （1）求λ的值（2）记向量n 与向量3n m -的夹角为θ，求cos2θ. 【答案】（1）23λ=；（2）12-. 【解析】（1）由()2131cos 03n n m n m n πλλλ⋅-=-⋅=-⨯⨯⨯=，所以23λ=. （2）因为()2133333122n n m n m n ⋅-=-⋅=-⨯⨯= ()2223396963n m n m n m n m -=-=-⋅+=-=所以()3312cos 3132n n m n n m θ⋅-===⋅-⨯所以2211cos 22cos 12122θθ⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭. 14．（2020·山东省五莲县第一中学高一月考）已知2a =，3b =，向量a 与向量b 夹角为45°，求使向量a λb +与a b λ+的夹角是锐角时，λ的取值范围.【答案】1185((,1)(1,)-+-∞+∞ 【解析】∵2a =，3b =，a 与b 夹角为45°，∴cos 453⋅=︒==b a a b ，而()()2222223393113a ab ba a b a b b λλλλλλλλλλ+++=++++=+=+⋅+，要使向量a λb +与a b λ+的夹角是锐角，则()()0a b a b λλ+⋅+>，且向量a λb +与a b λ+不共线，由()()0a b a b λλ+⋅+>得231130λλ++>，得λ<或λ>. 由向量a λb +与a b λ+不共线得211λλ≠∴≠±所以λ的取值范围为：1185((,1)(1,)-+-∞+∞ 15．（2020·全国高一课时练习）在ABC 中，2CA CB ==，记,a CA B CB ==，且||3||(ka b a kb k+=-为正实数），（1）求证：()()a b a b +⊥-；（2）将a 与b 的数量积表示为关于k 的函数()f k ；（3）求函数()f k 的最小值及此时角A 的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）1()f k k k =+；（3）2，3A π=. 【解析】（1）在ABC 中，2CA CB ==，可得2a b ==，所以2222()()440a b a b a b a b +-=-=-=-=，所以()()a b a b +⊥-. （2）由||3||ka b a kb +=-，可得22||3||ka b a kb +=-，即22222223(2)k a ka b b a ka b k b ++=-+，整理得2888ka b k ⋅=+，所以1()f k a b k k=⋅=+．（3）由（2）知1()f k a b k k=⋅=+，因为k 为正实数，则12k k +≥=，当且仅当1k k 时，即1k =时，等号成立，所以()f k 的最小值为2，即2a b ⋅=，此时21cos 42||||a b C a b ⋅===⋅，因为(0,)C π∈，可得3C π=，又因为CA CB =，此时ABC 为等边三角形，所以3A π=．16．（2020·全国高一单元测试）在如图所示的平面图形中，已知OA a =，OB b =，点A ，B 分别是线段CE ，ED 的中点．（1）试用a ，b 表示CD ；（2）若1a =，2b =，且a ，b 的夹角2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，试求CD 的取值范围．【答案】（1）()2CD b a =-；（2）||2CD ⎡∈⎣．【解析】（1）连接AB ，则AB OB OA b a =-=-， ∵A ，B 分别是线段CE ，ED 的中点， ∴12AB CD =，则()2CD b a =-．（2)222222CD b ab a a b =-=+-⋅2222cos b a a b θ=+-⋅，将1a =，2b =代入，则21CD == ∵2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴11cos ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则[]54cos 3,7θ-∈，故||2CD ⎡∈⎣．。

江西师大附中2020年10月高二数学月考试题【文】(答案)

A．(x－2)2＋(y－1)2＝6
3
B．(x－2)2＋(y－1)2＝22 C．(x－2)2＋(y－1)2＝6 或(x－2)2＋(y－1)2＝22 D．(x－2)2＋(y－1)2＝36 或(x－2)2＋(y－1)2＝32 【答案】C 【解析】
y
y
A
O2
x
O1 B
O2
O
x
A
O1
B
设圆 O2 的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2(r>0)．
)
A．2
B．4
C. 5
D．2 5
【答案】B
【解析】由 b2＝4 知 b＝2. 故短轴长为 2b＝4.
3．圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点(1，2)的圆的方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝1
B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D．x2＋(y－3)2＝1
【答案】A
【解析】设圆心为(0，a)，则 (1－0)2＋(2－a)2＝1，解得 a＝2 故圆的方程为 x2＋(y－2)2＝1.
4．已知两平行直线 x＋2y＋m＝0 与 2x－ny－4＝0 之间的距离是 5，若 m＞0，则
m＋n＝( )
A．0
B．－1
C．1
D．－2
【答案】B
【解析】由已知得: n＝－4
于是其方程分别为 x＋2y＋m＝0，x＋2y－2＝0
距离为 d＝|m＋2| 5
所以|m＋2|＝ 5
5, 由于 m＞0,故 m＝3
1．直线 y＝(tan120°) x＋2 的倾斜角等于( )
A．－ 3
B． 3
C．120°
D．60°
【答案】C
【解析】直线 y＝(tan120°) x＋2 的斜率 k＝tan120°＝－ 3．

江西省师范大学附属中学2019届高三10月月考数学(文)试题及答案

A．2 B．3 C．6 D． 9 3 p 7．若 a, b 为两个单位向量，且 a × (a + b) = , 记 a, b 的夹角为 q ，则函数 y = sin(q × x + ) 的最小正周 2 6 期为（ A．8 ） B．6 C．4 D． 2 ）
ì x + | y |£ 1 OP 的最大值为 8．已知 O 为坐标原点，A(1, 2) ,点 P ( x, y）满足约束条件 í ，则 Z = OA × （ îx ³ 0
11 ① f( p)=0 12 7 p ② f( p) < f( ) 10 5 0, 若 f (x ) £ f ( ) 对一切 x Î R 恒成立，则 6
p
③ f ( x) 既不是奇函数也不是偶函数
④ f ( x) 的单调递增区间是 [kx +
p 2 , k p + p ](k Î Z ) 6 3
⑤存在经过点 (a, b) 的直线与函数 f ( x) 的图像不相交以上结论正确的是（写出所有正确结论的编号）
1 ，求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn an an +1
18．（本小题 12 分）如图，在棱长均为 4 的三棱柱 ABC - A1B1C1 中， D 、 D1 分别是 BC 、 B1C1 的中点 (1)求证: A1 D1 / / 平面 AB1 D (2)若平面 ABC ^ 平面 BCC1 B1 , Ð B1 BC = 60 0 ,求三棱锥 B1 - ABC 的体积
）
5．若 a = 30.5 , b = ln 2, c = log p sin A． b > a > c
p ，则（ 12 B． a > b > c

江西省南昌市2019-2020年度高一上学期数学10月月考试卷A卷

江西省南昌市2019-2020年度高一上学期数学10月月考试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合A={x|x>1}，B={x|x2-2x<0}，则（）A . {x|x>0}B . {x|x>1}C . {x|1<x<2}D . {x|0<x<2}2. （2分）在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和函数y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（）A .B .C .D .3. （2分）某种商品的零售价2007年比2005年上涨25%，由于采取措施控制物价结果使2009年的物价仅比2005年上涨10%，那么2009年比2007年的物价下降（）A . 15%B . 12%C . 10%D . 5%4. （2分）已知集合，，且，则实数a的取值范围是（）A .B .C .D .5. （2分）下列各组函数中，表示同一函数的是（）A . 与B . 与C . 与D . 与6. （2分） (2019高二下·哈尔滨期末) 设集合，若，则（）A .B .C .D .7. （2分）函数图象和方程的曲线有密切的关系，如把抛物线的图象绕远点沿逆时针方向旋转就得到函数的图象，若把双曲线的图象绕原点逆时针方向旋转一定的角度后，就得到某一函数的图象，则旋转角可以是（）A .B .C .D .8. （2分） (2020高二下·石家庄期中) 的定义域为，，，则（）A .B .C .D .9. （2分）定义在R上的函数f（x）对一切实数x、y都满足f（x）≠0，且f（x+y）=f（x）•f（y），已知f（x）在（0，+∞）上的值域为（0，1），则f（x）在R上的值域是（）A . RB . （0，1）C . （0，+∞）D . （0，1）∪（1，+∞）10. （2分） (2018高二下·抚顺期末) 若函数的零点为，若 ,则的值满足（）A .B .C .D . 的符号不确定11. （2分）(2014·浙江理) 在同一直角坐标系中，函数f（x）=xa（x＞0），g（x）=logax的图象可能是（）A .B .C .D .12. （2分）定义在R上的函数f（x），若对任意x1≠x2 ，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称f（x）为“Z函数”，给出下列函数：①y=x3﹣x2+x﹣2；②y=2x﹣（sinx+cosx）；③y=ex+1；④f（x）=其中是“Z函数”的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2019高一上·上海月考) 已知，，若，则 ________.14. （1分） (2019高一上·鸡泽月考) 函数的单调减区间为________．15. （1分）(2020·宝山模拟) 不等式的解集是________16. （1分）已知l、m是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，有下列4个命题：①若l⊂β，且α⊥β，则l⊥α；②若l⊥β，且α∥β，则l⊥α；③若l⊥β，且α⊥β，则l∥α；④若α∩β=m，且l∥m，则l∥α．其中真命题的序号是________ （填上你认为正确的所有命题的序号）三、解答题 (共6题；共60分)17. （5分）已知，B=（﹣∞，a），若A∩B=A，求实数a的取值范围．18. （10分）(2016·海口模拟) 设函数f（x）=|x﹣a|．（1）当a=2时，解不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|；（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]， =a（m＞0，n＞0），求证：m+4n≥2 +3．19. （15分）已知集合A={x|2x﹣4＜0}，B={x|0＜x＜5}，全集U=R，求：（Ⅰ）A∩B；（Ⅱ）（∁UA）∩B．20. （10分） (2020高一下·黄浦期末) 已知函数，其中a为非零实常数.（1）若，求函数的定义域；（2）试根据a的不同取值，讨论函数的奇偶性.21. （10分）某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：5公里以内（含5公里），票价2元；5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的按5公里计算）.如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意.（1）写出票价与里程之间的函数解析式；（2）根据（1）写出的函数解析式试画出该函数的图象.22. （10分） (2019高一上·昌吉月考) 已知函数，当函数在区间上的最小值为时，求实数的值.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、。