高二物理波长、频率和波速的关系

第三节波长、频率和波速的关系新知预习1.波长（λ）:在波动中，振动__________总是相同的两个相邻质点间的距离叫做波长，在横波中，两个相邻__________或两个相邻__________之间的距离等于波长；在纵波中，两个相邻__________或两个相邻__________之间的距离等于波长.2.频率(f)：波的频率由__________决定，在任何介质中频率不变，等于波源振动频率.3.波速（v）：波速仅由__________决定，波速与波长和周期的关系为__________，即波源振动几个周期，波向前传播__________个波长.典题·热题知识点一波长、频率和波速例1下列对波速的理解正确的是( )A.波速表示振动在介质中传播的快慢B.波速表示介质质点振动的快慢C.波速表示介质质点迁移的快慢D.波速跟波源振动的快慢无关解析：机械振动在介质中传播的快慢用波速表示，它的大小由介质本身的性质决定，与介质质点的振动速度是两个不同的概念，与波源振动快慢无关，故A、D两项正确；波速不表示质点振动的快慢，介质质点也不随波迁移，因此B、C两项错误.答案：AD例2图12-3-2所示的是一列简谐波在某一时刻的波形图象，下列说法中正确的是( )图12-3-2A.质点A、C、E、G、I在振动过程中位移总是相同B.质点B、F在振动过程中位移总是相等C.质点D、H的平衡位置间的距离是一个波长D.质点A、I在振动过程中位移总是相同，它们的平衡位置间的距离是一个波长解析：从图象中可以看出质点A、C、E、G、I在该时刻的位移都是零，由于波的传播方向是向右的，容易判断出质点A、E、I的速度方向是向下的，而质点C、G的速度方向是向上的，因而这五个点的位移不总是相同，A项错误；质点B、F是同处在波峰的两个点，它们的振动步调完全相同，在振动过程中位移总是相等，B项正确；质点D、H是处在相邻的两个波谷的点，它们的平衡位置之间的距离等于一个波长，C项正确；虽然质点A、I在振动过程中位移总是相同，振动步调也完全相同，但由于它们不是相邻的振动步调完全相同的两个点，它们的平衡位置之间的距离不是一个波长（应为两个波长），D项错误.答案：BC误区警示在理解波长的概念时，要注意切不可把“在波动中，振动相位总是相等的质点”与“在振动中某一时刻位移相等的质点”混为一谈，另外还要注意“相邻”二字，不要把波长的概念理解为“两个在振动中位移总是相等的质点间的距离”.知识点二波长、频率和波速关系及其应用例3如图12-3-3所示，沿波的传播方向上有间距均为1 m的六个质点a、b、c、d、e、f.均静止在各自平衡位置，一列横波以1 m/s的速度水平向右传播，t=0时到达质点a，质点a开始由平衡位置向上运动，t=1 s时，质点a第一次到达最高点，则在4 s＜t＜5 s这段时间内( )图12-3-3A.质点c的加速度逐渐增大B.质点a的速度逐渐增大C.质点c向下运动D.质点f保持静止解析：由t=1 s质点a第一次到达最高点知周期T=4 s，再由波速v=1 m/s知波长λ=vt=4 m，又知各质点相距1 m，故a与e相距一个波长，是振动步调完全相同的质点.在4 s＜t＜5 s这段时间内，a又离开平衡位置向最高点运动，受的回复力越来越大，因而加速度逐渐增大，但速度越来越小；c质点与a质点振动步调相反，正从平衡位置向最低点运动，因而加速度逐渐增大，但速度越来越小，在4 s＜t＜5 s这段时间内，波传播的距离是4 m ＜x＜5 m，波还没有传到质点f，f仍静止不动，答案是A、C、D三项.答案：ACD巧解提示如果能画出波形，由波形图判断就更形象直观.如图12-3-4所示，图中实线表示t=4 s时的波形图，虚线表示4 s＜t＜5 s时的波形图.图12-3-4例4对机械波关于公式v=λf，正确的是( )A.v=λf适用于一切波B.由v=λf知，f增大，则波速v也增大C.v、λ、f三个量中，对同一列波来说，在不同介质中传播时保持不变的只有fD.由v=λf知，波长是2 m的声音比波长是4 m的声音传播速度小2倍解析：公式v=λf适用于一切波，无论是机械波还是电磁波，A项正确；机械波的波速仅由介质决定，与频率f无关，所以B、D两项错；对同一列波，其频率由振源决定，与介质无关，故C项正确.答案：AC方法归纳解此类问题的关键是：机械波的波速仅由介质决定，与频率和波长无关；机械波的频率由振源决定，与介质无关.知识点三波长、频率和波速的关系与波的图象的综合例5在图12-3-5所示的图象中，实线是一列简谐横波在某一时刻的图象，经过t=0.2 s后这列波的图象如图中虚线所示，求这列波的波速.图12-3-5解析：从波的图象可读出波长λ=4 m，振幅A=2 cm.此题引起多种可能的原因有两个：一个是传播方向的不确定；一个是时间t和周期T的大小关系不确定.答案：设波沿x 轴正方向传播，t=0.2 s 可能是（n+41）(n=0,1,2，…)个周期，即t=(n+41)T 1， 周期T 1=)41(+n t =144+n t波速v 1=1T λ=tn 4)12(+λ=5(4n+1) m/s(n=0，1,2，…) 设波沿x 轴负方向传播，t=0.2 s 可能是(n+43)(n=0,1,2，…)个周期，即t=(n+43)T 2 周期T 2=43+n t =344+n t波速v 2=2T λ=tn 4)14(+λ=5(4n+3) m/s(n=0,1，2，…). 方法归纳 多解问题是大家倍感头痛的问题，但简单地说引起多解的原因为：①波的传播方向不确定引起的多解；②波的周期性引起的多解；③质点振动方向不明确引起的多解. 有时候上述多解成因交织在一起，使得问题更隐蔽复杂，学习时一定要弄清多解成因.例6在波的传播方向上有两个质点P 和Q ，它们的平衡位置相距s=1.2 m ，且大于一个波长，介质中的波速为v=2 m/s ，P 和Q 的振动图线如图12-3-6所示，求振动周期的最大值，并画出t=0时的波的图象.图12-3-6解析：这是一道波动与振动图象相结合的问题，通过振动图象确定每一时刻质点的振动方向，然后由P 、Q 两点振动情况，确定两者间距与波长的关系；又因为波的传播方向未知，可从下面两种情况加以分析：1.波由P 点向Q 点传播；2.波由Q 点向P 点传播. 答案：（1）波由P 点向Q 点传播 由振动图线可知Q 点的振动在时间上比P 点至少落后4T，因而P 、Q 两点之间的距离至少是41λ，根据波的周期性，s 与λ的关系应为（注意题目中s ＞λ） s=nλ+41λ(n=1,2,3，…) λ=144+n s (n=1,2,3，…)故周期T=v λ=v n s )14(4+=144.2+n (n=1,2,3，…)，显然，n=1时，λ和T 有最大值，其最大值分别为λ1=0.96 m,T 1=0.48 s.下面作出t=0时波的图象，要正确画出该时刻波的图象，须把握好以下几点：①根据题中振动图象，t=0时P 点位移y P =A ，速度v P =0；Q 点位移y Q =0，速度最大，且将向正最大位移振动.②以P 点为原点，PQ 为x 轴画出直角坐标系，并根据s=45λ1及PQ=s 进行合理分度，将P 、Q 的横、纵坐标在坐标图上标出，然后画出经过这两点的一条图象，如图12-3-7所示.图12-3-7（2）波由Q 点向P 点传播这种情况下与（1）的求解方法基本相同. 所以s=nλ+43λ(n=1,2,3,…) λ=344+n sT=v λ=2)34(4⨯+n s =)34(4.2+n (n=1,2,3，…) 当n=1时，λ和T 取最大值，其最大值分别为λ2=78.4 m≈0.69 m,T 2=74.2 s≈0.34 s,t=0时波的图象如图12-3-8所示.图12-3-8方法归纳 由于题中未明确波速方向，所以要考虑两种情况；又由于图中未标明数值，要求周期，须先求波长，而题中只给s ＞λ，所以应写出波长的多解表达式.至于P 、Q 间距是波长的多少倍，是由波的传播方向和P 、Q 在同一时刻的振动状态决定.自主广场我夯基我达标1.一列简谐横波在图12-3-5中x 轴上传播，a 、b 是其中相距为0.3 m 的两点，在某时刻a 点质点正位于平衡位置向上运动，b 点质点恰巧运动到下方最大位移处.已知横波的传播速率为60 m/s ，波长大于0.3 m ，则（ )图12-3-5A.若该波沿x 轴负方向传播，则频率为150 HzB.若该波沿x 轴负方向传播，则频率为100 HzC.若该波沿x 轴正方向传播，则频率为75 HzD.若该波沿x 轴正方向传播，则频率为50 Hz 思路解析：由题意，若波沿x 轴负方向传播，则ab=43λ，λ=34ab=0.4 m 所以λ=v/f 所以f=λv =4.060Hz=150 Hz 选项A 正确，选项B 错，若波沿x 轴正方向传播，则ab=41λ，λ=1.2 m f=λv =2.160Hz=50 Hz 选项C 错，选项D 正确. 答案：AD2.如图12-3-6所示，在平面xOy 内有一沿水平轴x 正向传播的简谐横波，波速为3.0 m/s ，频率为2.85 Hz ，振幅为8.0×10-2 m.已知t=0时，P 点质点的位移为y=4.0×10-2 m,速度沿y 轴正方向，Q 点在P 点右方9.0×10-1 m 处，对于Q 点的质点来说（ )图12-3-6A.在t=0时，位移为y=-4.0×10-2 mB.在t=0时，速度沿y 轴负方向C.在t=0.1 s 时，位移为y=-4.0×10-2 mD.在t=0.1 s 时，速度沿y 轴正方向 思路解析：因为λ=f v =565.20.3=m m ，PQ=9×10-1 m ，=λPQ 43，按题意画出t=0时刻的波形图，如下图实线所示，由波形图可判定选项A 错，选项B 正确.周期T=0.4 s ，Δt=0.1 s=4T,波形向x 轴正方向平移4λ如下图中虚线所示，则选项C 正确.此刻Q 点速度方向沿y 轴负方向，选项D 错.答案：BC3.如图12-3-7所示，一根张紧的水平弹性长绳上的a 、b 两点相距14.0 cm,b 点在a 点的右方，当一列简谐横波沿此长绳向右传播时，若a 点的位移达到正方向最大时，b 点的位移恰为零，且向下运动，经过1.00 s 后，a 点的位移为零，且向下运动，而b 点的位移达到负极大.则这 一简谐波的波速可能是（ )图12-3-7A.4.67 m/sB.6 m/sC.10 m/sD.14 m/s思路解析：先根据题干所述，画出a 、b 之间的波形图，由波从左向右的传播方向，及b 点的振动方向可知，a 、b 之间至少为3λ/4，即（m+3/4）λ=14.0 m （m=0,1,2, …），由已知可得时间关系：1.00 s 至少应为T/4，即（nT+T/4）=1.00 s.在讨论振动和波的问题时，首先应想到的是周期性、重复性.这种重复性既表现在时间上又表现在空间上，λ=分 14×44m+3式 m ，T=1441,34414+⨯=+⨯n T m m s ，由速度公式可得v=4)34()14(414⨯++⨯⨯m n ， 当n=0,m=0时，v=4.67 m/s当n=1,m=1时，v=10 m/s ，其余数值都不可能. 答案：AC4.如图12-3-8所示，实线是某时刻的波形图象，虚线是0.2 s 后的波形图.图12-3-8（1）若波向左传播，求它的可能周期和最大周期. （2）若波向右传播，求它的可能传播速度. （3）若波速是45 m/s ，求波的传播方向. 思路解析：（1）波向左传播，传播的时间为Δt=43T+nT （n=0，1，2，…） 所以T=4Δt/(4n+3)=4×0.2/(4n+3)=0.8/(4n+3) s,（n=0，1，2，3，…）最大周期为：T m =38.0s=0.27 s. （2）波向右传播Δt=4T+nT （n=0，1，2，3，…）所以T=0.8/(4n+1) s,（n=0，1，2，…）而λ=4 m 所以v=Tλ=5（4n+1） m/s （n=0，1，2，…）. （3）波速是45 m/s,设波向右传播，由上问求得向右传播的波速公式为：45=5（4n+1）解得n=2.故假设成立，波向右传播. 答案：（1）T=0.8(4n+3) s,（n=0，1，2，3，…） T m =0.27 s （2）v=5（4n+1） m/s （n=0，1，2，…） （3）向右传播5.一列横波在x 轴上传播，当t=0和t=0.005 s 时的两波形图如图12-3-9.求：（1）设周期大于（t 2-t 1）,如果波向右（或向左）传播时，波速各为多少？ （2）设周期小于（t 2-t 1），波速为6 000 m/s ，求波的传播方向. 思路解析：（1）因为（t 2-t 1）<T,所以波传播的距离小于一个波长，由图看出，λ=8 m ，则Δx 1=2 m ，Δx 2=6 m.如波向右传播则波速为：v 右=005.021=∆∆t x m/s=400 m/s 如波向左传播则波速为：v 左=005.062=∆∆t x m/s=1 200 m/s（2）因为Δx=v·t=6 000×0.005 m=30 m 且Δx=3λ+Δx 2=30 m 因此波向左传播. 答案：（1）v 右=400 m/s,v 右=1 200 m/s (2)波向左传播6.已知一列简谐横波在t=0时刻的波动图象如图12-3-10所示，再经过1.1 s 时，P 点第3次出现波峰，求：（1）波速v ；（2）从图示时刻起，Q 点再经过多长时间第一次出现波峰？图12-3-10思路解析：（1）由传播方向可以判断P 点在t=0时刻振动的方向向下，需经243个周期第3次达到波峰位置，即243T=1.1 s 所以T=114×1.1 s=0.40 s 所以v=T λ=sm4.04=10.0 m/s.（2）由图知A 点在t=0时刻向下振动，即振源的起振方向向下，故Q 点亦向下起振，起振后须经3T/4才第一次到达波峰，则Q 点第一次到达波峰经历的时间t=+vAQ 43T=s m m /0.101+ 43×0.40 s=0.4 s. 答案：(1)10.0 m/s (2)0.4 s我综合我发展7.如图12-3-11所示中的实线是一列简谐横波在某一时刻的波形图线，经0.3 s 后，其波形如图中虚线所示.设该波的周期T 大于0.3 s,求：（1）波长和振幅；（2）若波向右传播，求波的周期和波速； （3）若波向左传播，求波的周期和波速. 思路解析：（1）从波形图线上直接读出波长和振幅分别为λ＝2 cm 和A=10 cm.（2）由题图知波向右传播，且T 大于0.3 s ，知在0.3 s 时间内传播的距离小于波长,从图知向右传播了3λ/4，所用时间应为0.3 s=43T,T=0.4 s,故v=Tλ=5 m/s. （3）波向左传播，且T 大于0.3 s,知在0.3 s 时间内波传播的距离小于波长，从图知向左传播了41λ，所用时间应为0.3 s=41T,T=1.2 s,故v=T λ=35m/s. 答案：（1）λ=2 m ，A=10 m (2)T=0.4 s,v=5 m/s (3)T=1.2 s ，v=35m/s 8.(2006重庆高考)图12-3-12为一列沿x 轴正方向传播的简谐横波在t=0时的波形.当R 点在t=0时的振动状态传到S 点时，PR 范围内(含P 、R)有一些质点正在向y 轴负方向运动，这些质点的x 坐标取值范围是（ )图12-3-12A.2 cm≤x≤4 cmB.2 cm<x<4 cmC.2 cm≤x<3 cmD.2 cm<x≤3 cm思路解析：由平移法画出振动状态传到S 点时的波形如图虚线所示,不难看出PR 范围内 2 cm≤x<3 cm 的质点正在向y 轴负方向运动.答案：C9.一列简谐波在x 轴上传播，如图12-3-13，t 1时刻的波形如图中实线所示，t 2时刻的波形如图中虚线所示.已知Δt=t 2-t 1=0.1 s ，问：图12-3-13（1）若波沿x 轴正方向传播，且Δt<T ，这列波的传播速度是多大？ （2）若波沿x 轴正方向传播，但Δt 无约束条件，波速是多大？ （3）若传播方向及周期均无约束条件，波速是多大？ （4）若波速v=340 m/s ，则波向哪个方向传播？ 思路解析：（1）从图知，该波的波长为8 m ，因Δt<T ，故Δx<λ,由图知Δt=T/4，T=0.4 s ，则：v=λ/T=20 m/s.(2)由于Δt 无约束条件，由振动的周期性，则Δt=（n+1/4）T,T=144.0+n s ，则：v=λ/T=20（4n+1） m/s.（3）因传播方向及周期均无约束条件，则波传播的双向性和时间周期性均要考虑： 当波沿x 轴正方向传播，由振动的周期性，则Δt=（n+1/4）T,T=144.0+n s ，则：v=λ/T=20（4n+1） m/s.当波沿x 轴负方向传播，由振动的周期性，则Δt=（n+3/4）T,T=344.0+n s ，则：v=λ/T=20（4n+3） m/s.（4）波在Δt 时间内移动的距离Δx=v·Δt=340×0.1 m/s=34 m/s=441λ，由图可知向x 轴正方向传播. 答案：（1）v=20 m/s(2)v=20(4n+1) m/s(n=0，1，2，…)（3）波沿x 轴正方向传播，v=20(4n+1) m/s(n=0，1，2，…)波沿x 轴负方向传播，v=20(4n+3) m/s(n=0，1，2，…)（4）向x 轴正方向传播.10.如图12-3-14，实线是某时刻的波形图象，虚线是经0.4 s 后的波形图象.图12-3-14（1）假设波向右传播，它传播的可能距离、可能速度、最大周期分别是多少？ （2）假设波速是92.5 m/s,波的传播方向如何？思路解析：（1）波向右传播，经0.4 s 后，它传播的距离s=(k+43)λ=4(k+43) m(k=0,1,2，…) 可能速度v=t s =4.0)43(4+k =10(k+43) m/s （k=0,1,2，…) 设可能周期为T ，则(k+43)T=0.4，T=434.0+k （k=0,1,2，…)则最大周期T m =36.1 s=5.3 s.（2）若波向右传播，则v=10(k+43)（k=0,1,2，…）若波向左传播，则v=t s =10(k+41)（k=0,1,2，…）当10（k+43）=92.5时，k=9.25-0.75=8.510(k+41)=92.5时，k=8，k 是整数，所以波向左传播. 答案：（1）s=4（k+43）（k=0，1，2，…）v=10(k+43) m/s （k=0，1，2，…）T m =5.3 s（2）波向左传播。