质点角动量定理 角动量守恒
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3-6质点的角动量与角动量守恒定律
角动量方向
r L
面积） 角动量大小 L= rmv sinα（面积）
r L
O
r α r m
r v
α
r v
r r
角 动 量
讨 论
（1）质点对点的角动量，不但与质点运动 ）质点对点的角动量， 有关，且与参考点位置有关。 有关，且与参考点位置有关。
r （2） L 方向的确定 ） r L
r v
α
r v
α
r r
§3-6 质点的角动量与角动量守恒定律
1. 角动量
质点对圆心的角动量
r p
o
r r
m
L = pr = mvr
角 动 量
行星在公转轨道上的角动量
r p r p
r r
d
O
dr r
L = pd = pr sin
角 动 量
定义：质点对点的角动量为 定义 质点对点的角动量为
r r r r r L = r × P = r ×(mv )
角动量守恒定律
对t求导
r r dr r dr r r r Q = v, × p = v ×(mv) = 0 dt dt r r dL r d p r r ∴ =r× = r ×F dt dt
r r rp dL d r = (r × P) = ×P+r × dt dt dt dt
质点的角动量定理： 质点的角动量定理：如果作用在质点上的外力对某给 r r 为零，则质点对 点的角动量在运动 定点 的力矩 (r ×为零， o o F) 过程中保持不变。这就叫做角动量守恒定律。 过程中保持不变。这就叫做角动量守恒定律。
角动量守恒定律
对t求导
r r dr r dr r r r Q = v, × p = v ×(mv) = 0 dt dt r r dL r d p r r ∴ =r× = r ×F dt dt
r L
面积） 角动量大小 L= rmv sinα（面积）
r L
O
r α r m
r v
α
r v
r r
角 动 量
讨 论
（1）质点对点的角动量，不但与质点运动 ）质点对点的角动量， 有关，且与参考点位置有关。 有关，且与参考点位置有关。
r （2） L 方向的确定 ） r L
r v
α
r v
α
r r
§3-6 质点的角动量与角动量守恒定律
1. 角动量
质点对圆心的角动量
r p
o
r r
m
L = pr = mvr
角 动 量
行星在公转轨道上的角动量
r p r p
r r
d
O
dr r
L = pd = pr sin
角 动 量
定义：质点对点的角动量为 定义 质点对点的角动量为
r r r r r L = r × P = r ×(mv )
角动量守恒定律
对t求导
r r dr r dr r r r Q = v, × p = v ×(mv) = 0 dt dt r r dL r d p r r ∴ =r× = r ×F dt dt
r r rp dL d r = (r × P) = ×P+r × dt dt dt dt
质点的角动量定理： 质点的角动量定理：如果作用在质点上的外力对某给 r r 为零，则质点对 点的角动量在运动 定点 的力矩 (r ×为零， o o F) 过程中保持不变。这就叫做角动量守恒定律。 过程中保持不变。这就叫做角动量守恒定律。
角动量守恒定律
对t求导
r r dr r dr r r r Q = v, × p = v ×(mv) = 0 dt dt r r dL r d p r r ∴ =r× = r ×F dt dt
45--质点的角动量-角动量守恒定律
v0 r0 r1
A
1 2
mv12
1 2
mv02
1 2
mv02
r02 r12
1
6
质点的角动量 角动量守恒定律
1
一.角动量
质点对一固定参考点的
角L动量r：
P
r
mv
L o r m
θ P
p
大小：L＝ r m v sin
方向：右手螺旋定则判定
L
r
p
注意：
a) 必须指明是对谁的角动量；
LP or
b)作圆周运动的质点的角动量 L＝ r m v
c)角动量是描述转动状态的物理量；
d)质点的角动量又称为动量矩。
2
二.质点角动量定理
力对一固定参考点的力矩
M
r
F
r是P点相对于固定点O的位矢。
M or
d
F
θ
p
大小：M＝F r sin
方向：右手螺旋定则判定
M
r
F
将角动量对时间求导，有：
dL dt
ddt(r
mv)
dr dt
mv
r
dmv dt
r
F
得到
M
dL
dt
F
dP
dt
3
将
M
dL
两边同时乘以 dt ，得：
5
例、质量为m的小球系在绳子的一端，绳穿过 光滑水平面上一小孔，使小球限制在水平面上 运动。先使小球以速度v0绕小孔作半径为r0的 圆周运动，然后缓慢向下拉绳使圆周半径减小
为r1，求：（1）小球距管心r1时的速度；（2） 由r0缩短到r1过程中拉绳作的功。
解：角动量守恒
角动量定理 角动量守恒定律
量守恒。
13
第3章动量与角动量
例2 发射一宇宙飞船去考察一 质量为 M 、半径为 R 的行 星， 当飞船静止于空间距行星中心 4 R 时，以速度v 0发射一
质量为 m 的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面。 求 θ角及着陆滑行的初速度。 解 引力场（有心力） 系统的机械能守恒
m
r0
v0
v
R
OM
质点的动量矩守恒 1 GMm 1 2 GMm 2 mv 0 mv 2 r0 2 R
求 此时刻质点对三个参考点的动量矩
d1
m v
d3
d2
解
4
LA d1mv LB d1mv LC 0
第3章动量与角动量
B
C
二、力对定点的力矩 定义 为力对定点O的力矩 M r F 大小： M r F sin
方向：垂直 r , F 组成的平面 M ML2T 2 SI Nm 量纲：
r r r M r F 0
L
r L mvrsin m rsin t 1 r r rsin S 2 2m 2m t t
12
r r r L r m C
r r F
r
m
掠面 速度
行星对太阳的位矢在相等 的时间内扫过相等的面积
i i
L Li ri Pi
P2 r2 o
P 1
r1
质点系对参考点O 的动量矩就是质点系所有质点对同一参 考点的动量矩的矢量和
dLi 2. 质点系的动量矩定理 M i dt i i M M i ri Fi ri fi
质点的角动量守恒定律
质点的角动量守恒定律
质点的角动量守恒定律是指在一个孤立系统中，如果没有外力矩作用，质点的角动量将会保持不变。
这个定律是由牛顿运动定律和旋转运动定律衍生出来的。
角动量是描述物体旋转运动状态的物理量，它的大小等于物体的质量与它绕某个轴旋转的速度和距离的乘积，方向垂直于物体旋转平面。
当一个质点在不受外力作用下绕某个轴旋转时，它的角动量可以用以下公式计算：
L = Iω
其中，L表示角动量，I表示质点的转动惯量，ω表示质点的角速度。
由于转动惯量是一个常数，因此如果没有外力作用，则角速度也将保持不变，从而角动量也将保持不变。
质点的角动量守恒定律在物理学中有着广泛的应用。
例如，在天体物理学中，它被用来解释行星绕太阳的运动和天体碰撞等现象；在原子物理学中，它被用来描述电子绕原子核的运动状态等。
此外，角动量守恒定律在工程和技术领域中也有着重要的应用，例如，在航天器的设计中，必须考虑到质点的角动量守恒定律，以保证航天器在空间中的稳定性和姿态控制。
- 1 -。
质点系角动量守恒定律
dL τ ，再考虑诸质点所受惯性力的力矩，即得 dt
dL τ i外 ri (mi ac ) dt 式中惯性力矩又可写作 mi ri dL ( mi ri) ac ( ) mac τ i外 m dt
此即质点系对质心的角动量定理，与惯性系中角动量定理具有完 全相同的形式。是表明质心系特殊和重要性的又一个例子。
第五章 角动量•关于对称性
前言 质点的角动量 质点系的角动量定理及角动量守恒定律 质点系对质心的角动量定理和守恒定律 对称性 • 对称性与守恒律 经典动力学的适用范围
§5.1 前
一、本章的基本内容及研究思路
言
角动量概念的建立和转动有密切联系，在研究物体的运动 时，人们经常可以遇到质点或质点系绕某一确定点或轴线运动 的情况，并且在这类运动中也存在着某些共同的重要规律。例 如，天文观测表明，行星绕日运动遵从开普勒第二定律，在近 日点附近绕行速度较快，远日点速度较慢，这个特点如果用角 动量及其规律很容易说明。特别是在有些过程中动量和机械能
当τ iz 0时,
Lz 常量.
§5.4 质点系对质心的角动量定理和 守 恒 定 律
前面给出的角动量定理和角动量守恒定律都相对于惯性系 而言，现在研究质心参考系中质点系角动量的变化规律。如图 （a），C xyz 即质心参考系。C 为质心，x ' , y ' 和 z 坐标轴
与惯性参考系 O xyz 的 x, y 和 z 轴总保持平行，而质心具有 加速度 ac 。 z
四、质点对轴的角动量定理和守恒定律（自阅）
§5.3 质点系的角动量定理及角动量守恒定 律
一、质点系角动量定理
设质点系由 N 个质点组成，对选定的某固定参考点，第 i 个 质 点的角动量定理的表达式为τ dLi
角动量
L=|rmvsinφ|
（3.2）
式中φ是r与mv两矢量之间的夹角．
按以上定义，角动量L含有动量mv因子，因此L与参考系有关；L还含有r因子，r又依赖于参考点的位置，所以质点对某一点的角动量也依赖于参考点的位置．例如，在图3-1b中，参考点为O点时的角动量L与参考点为O′点时的角动量L′是不同的．
应当指出的是，虽然质点相对于任一直线（例如z轴）上的不同参考点的角动量是不相等的，但这些角动量在该直线上的投影却是相等的．如图3-1b所示，取S平面与z轴垂直，则质点对于O点及O′点的角动量分别为L与L′，L和L′分别等于以r及mv为邻边及以r′及mv为邻边的平行四边形的面积，L与L′在z轴上的投影分别是Lz=Lcosα和L′z=L′cosα′（α与α′分别是L与L′和z轴间的夹角），由图3-1b可见，Lz和L′z分别是相应的两个平行四边形在S面上的投影面积，两者是相同的，故Lz=L′z．
(3.7)
即质点对轴的角动量随时间的变化率等于作用于质点的合力对同一轴的力矩，称做质点对轴的角动量定理．
对于绕z轴作圆周运动的质点来说，Lz=mr2ω，ω为质点转动的瞬时角速度，因此，由（3.7）式可知，质点对z轴的角动量定理可以写成
例4用质点的动量定理求出单摆摆锤的瞬时切向加速度与重力加速度的关系式．
我们把质点对z轴上任意一点的角动量L在z轴上的投影，叫做质点对于z轴的角动量，用Lx表示．上面已证明，Lz的数值是与参考点无关的．
在国际单位制中，角动量的单位为千克·米2／秒（kg·m2·s-1）．
例1如图3-2所示，质量为m的质点以速率v绕半径为r的圆轨道作匀速率运动．求此质点相对于圆心O点的角动量．
在国际单位制中，力矩的单位是牛顿·米（N·m）．
由定义可知，同一个力对于不同的参考点有不同的力矩，因此讲到力矩时必须指明是相对于哪一点而言的．当力F不为零时，力矩τ仍可能为零，这有两种情况：一是力的作用点就在参考点O，此时位置矢量r=0；另一种是沿力的方向的延长线通过参考点O，此时sinφ=0．如果质点在运动中受到的力始终指向某个固定的中心，这种力叫做有心力，该固定点称为力心．上述第二种情况，有心力相对于力心的力矩恒为零．
（3.2）
式中φ是r与mv两矢量之间的夹角．
按以上定义，角动量L含有动量mv因子，因此L与参考系有关；L还含有r因子，r又依赖于参考点的位置，所以质点对某一点的角动量也依赖于参考点的位置．例如，在图3-1b中，参考点为O点时的角动量L与参考点为O′点时的角动量L′是不同的．
应当指出的是，虽然质点相对于任一直线（例如z轴）上的不同参考点的角动量是不相等的，但这些角动量在该直线上的投影却是相等的．如图3-1b所示，取S平面与z轴垂直，则质点对于O点及O′点的角动量分别为L与L′，L和L′分别等于以r及mv为邻边及以r′及mv为邻边的平行四边形的面积，L与L′在z轴上的投影分别是Lz=Lcosα和L′z=L′cosα′（α与α′分别是L与L′和z轴间的夹角），由图3-1b可见，Lz和L′z分别是相应的两个平行四边形在S面上的投影面积，两者是相同的，故Lz=L′z．
(3.7)
即质点对轴的角动量随时间的变化率等于作用于质点的合力对同一轴的力矩，称做质点对轴的角动量定理．
对于绕z轴作圆周运动的质点来说，Lz=mr2ω，ω为质点转动的瞬时角速度，因此，由（3.7）式可知，质点对z轴的角动量定理可以写成
例4用质点的动量定理求出单摆摆锤的瞬时切向加速度与重力加速度的关系式．
我们把质点对z轴上任意一点的角动量L在z轴上的投影，叫做质点对于z轴的角动量，用Lx表示．上面已证明，Lz的数值是与参考点无关的．
在国际单位制中，角动量的单位为千克·米2／秒（kg·m2·s-1）．
例1如图3-2所示，质量为m的质点以速率v绕半径为r的圆轨道作匀速率运动．求此质点相对于圆心O点的角动量．
在国际单位制中，力矩的单位是牛顿·米（N·m）．
由定义可知，同一个力对于不同的参考点有不同的力矩，因此讲到力矩时必须指明是相对于哪一点而言的．当力F不为零时，力矩τ仍可能为零，这有两种情况：一是力的作用点就在参考点O，此时位置矢量r=0；另一种是沿力的方向的延长线通过参考点O，此时sinφ=0．如果质点在运动中受到的力始终指向某个固定的中心，这种力叫做有心力，该固定点称为力心．上述第二种情况，有心力相对于力心的力矩恒为零．
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
v2
地球
o
太阳
M Fd 0
v1
§2.5 质点角动量定理 角动量守恒（一角动量 二力矩）
2.5.3 质点的角动量定理 想法：动量随时间的变化率
力矩M
r
F
角动量 L
r
p
dp
d
(mv)
F
— — dL ？
推导：
dL
d
(r
p)
dt dt dr p r dp
dt
dt dt
dt
dt
其中
v mv 0
从而
M
dL
dt
——定理
r
F
M
质点角动量定理：质点对固定点的角动量随时间的变化率
等于质点所受合力对该点的力矩。
§2.52.当.45 质M质点点的角0 角动时量动定量理守恒d角L定动dt律量守0恒（L一 角恒动矢量量—二力—矩角三动定量M理守）恒ddLt定律 即：当质点所受合力矩为零时，质点的角动量守恒
r1
1
O
例：（P53：例2-12）已求知：：v光滑平面m、k、v0 、l0（原长）、l.
解：物块受有心力作用——对O点角动量守恒
LA LB rA mv0 rB mv
Ol
v
B
大小 rAmv0 sin 90 rBmv sin l0 , k
l0mv0 lmv sin 两个未知量？
Байду номын сангаас
v0 mA
大小 方向 大小 方向
LA rAm1v1 sin(
—— 里 LB Rm2v2 —— 外
) Rm1v1
G1
(2)选向里为正方向 M 合外 (m2 m1)Rg
G2
角动量定理和角动量守恒定律
O
M
l
l /2
1 1 2 2 l 0 = Ml ω + (Mg ) 2 3 2
3g ω= l
m
第二阶段：碰撞瞬间角动量守恒（不是动量守恒） 第二阶段：碰撞瞬间角动量守恒（不是动量守恒） 1 1 2 1 2 ′ + mVl = ( M + m)lV ， V = ω′l Ml ω = Ml ω 3 3 3
t2
∫
例：水平面内，均质杆 (M, l) 水平面内， 子弹 (m,V ) 击穿杆的 自由端后速度降为 V / 2 求：杆转动的角速度 ω 解：角动量守恒 3mV V 1 2 mVl = m l + Ml ω ， ω = 2Ml 2 3
O
M
l
ω
m
V /2
V
例：rA = 0.2m ，mA = 2kg
ω0A = 50rads rB = 0.1m ，mB = 4kg ω0B = 200rads 1
dL d dω = (Iω) = I = Iβ = M dt dt dt dL = M ：角动量定理 dt dL = Mdt
L = ∫ Mdt
t1 t2
y
x
如果 M = 0 ，则 L = C ：角动量守恒定律 非刚体， 一般随时间变化， 非刚体， I 一般随时间变化， M = Iβ 不成立 角动量定理及角动量守恒定律仍成立！ 角动量定理及角动量守恒定律仍成立！ 定轴转动， dL = M ， dL = Mdt ， L = Mdt 定轴转动， dt t1 L = C ， L = Iω ， M = Iβ
如果合外力矩 M = 0
例：圆锥摆球在水平面内匀速转动 分别对固定点 A和 O ，讨论 小球受到的张力矩，重力矩， 小球受到的张力矩，重力矩， LA 合力矩和角动量 对 A: M = R ×T = 0
5-2 质点系的角动量定理及角动量守恒定律
若质点系的所有质点均分别在与 z 轴垂直的平 面内运动，且一共同的角速度绕 z 轴作圆周运动， 则质点系对 z 轴的角动量为
Lz ri mi vi mi ri
i i
2
当质点系对轴的角动量守恒时：
ri 变小，则
M z 0 ，Lz 常量
增大；
ri 变大，则
减小.
质点系对轴的角动量定理
质点系对轴的角动量定理
dLz Mz dt
如果在一个过程中，质点系所受的外力 对 z 轴的力矩始终保持为零，则质点系对该 轴的角动量守恒.
M z 0 ，Lz 常量
质点系对轴的角动量守恒定律
当内力矩远大于外力矩时，质点系对轴的角动量 也是守恒的. （例：P170例1）
在直角坐标系中，上式沿三个坐标轴的投影式为
dLy dLx dLz M x M ix , My , Mz . dt dt dt
• 如果只考虑上式中某一个分量，例如 z 分量，则 表现为对轴的特征：即质点系对于 z 轴的角动量对时 间的变化率等于质点系所受一切外力对 z 轴力矩的代 数和，叫做质点系对 z 轴的角动量定理。
ri fij rj f ji (ri rj ) fij 0
ri fij 0
i i j
成对出现的内力对参考点的力矩矢量和为零. 由于系统内力总是成对出现，则系统内力矩的矢量和为零. • 可见，系统的内力矩只能使系统内各质点的角动量改变， 但不能改变质点系总的角动量。
如果在一个过程中，始终无外力矩作用或所受 的外力矩为零，则质点系的总角动量守恒 .
M外 0 ，L 常矢量
质点系对某一固定点的角动量守恒定律
角动量守恒定律
tt12M dtL L 12d L L 2L 1 t2M dt为 质t内 点O 对 在 点 的 冲 量 矩
t1
质点的角动量
力是物体平动运动状态（用动量来描述）发生改
变的原因。力矩是引起物体转动状态（用角动量 来描述）改变的原因。
1. 质点的圆周运动 动量：pmv
L
Or v
（对圆心的）角动量：
m
行星对太阳的径矢在相等的时间内扫过相等的面积. —–开普勒第二定律 Kepler laws
讨论：行星受力方向与矢径在一条直线（中心力），
永远与矢径是反平行的。故对力心质点所受的力矩为
零。则对力心角动量守恒！
注意
L
力心
v
m
r
F
r
Lmsvir nm rsin
1rrs 2m2
t in2mS
t
t
——开普勒第二定律
小结：
质点角动量 质点角动量定理：
L rpm r v
dL M rF dt
一对作用力、反作用力对定点（定轴）的合力
矩等于零。
质点→质点系
角动量守恒的几种可能情况：
1 孤立系. 2 有心力场,对力心角动量守恒.
重点！
3 由分量式：
M ix0; L x 常量
即：虽然 Mi 0,但对某轴外力矩为零,则总角动
解:对象: 滑轮+绳+A+B,
z轴正向: O点向外 .
受外力:mAg=mBg=mg, N, 对z 轴的合力为0. 对z轴,系统角动量守恒,A,B对O点速率 v'A,v'B,初始时刻系统角动量为零,则:
rm vA rm vB 0 则 vA vB
可见,不论A、B对绳的速率vA、vB如何, 二人对O的速率相同, 故将同时到达O点.
质点的角动量
i
ri p i ,
对于标号为i的质点，它不仅受到来自系统外的作用力，而且 还受到系统内其它质点的作用力（内力）
fi
j
f ij ,
利用质点的角动量定理 可得
d dt
d Li dt
ri Fi f i ,
i
i
Li
i
ri ( Fi f i )
r1 , 以角速度 1旋转，然后慢慢向下拉 离为 r2时，拉力对质点所做的
v
绳，求质点离圆心距
功。
选小孔为参考点，任意 时刻质点受力矩 M r f 0 , 质点的角动量守恒，因 而有：
o r f
f
mr 1 1 mr 2 2
2 2
根据动能定理，外力做功为
v
O
rห้องสมุดไป่ตู้m
若一个质量为m的粒子在半径为r的圆周上以速 v 运动，则它的动量为 P m v ,相对于圆心的 度 位置矢量 r 与粒子运动速度 v 互相垂直 ，角 动量大小为： L m rv m r 2
是质点运动的角速度
角动量的方向由右手螺旋法则判断，垂直于物体转动 所在的平面
2
1
4、推广到质点系情形
利用牛顿第三定律，我们还可以将质点角动量定律推广到质 点系的情况，得到质点系总角动量的时间变化率与合外力 矩的简单关系，即质点系的角动量定理。 我们定义质点系对给定参考点O的总角动量为系统内所有质 点对选定参考点O的角动量的矢量和，即 ：
L
i
Li
多个外力作用于同一个质点的合力矩等于各 力的力矩的矢量和，即如果
大学物理—质点的角动量和角动量守恒定律
物理学
第五版
2.3 质点的角动量和角动量守恒定律
力的时间累积效应： 冲量、动量、动量定理 力矩的时间累积效应： 冲量矩、角动量、角动量定理
第二章 刚体的定轴转动
1
物理学
第五版
2.3 质点的角动量和角动量守恒定律
一 质点的角动量定理 (theorem of angular moment)
质点运动
p mv
2
L
p
o
m r
2.质点的角动量定理
M dL dt
作用于质点的合外力对参考点 O 的力矩，等 于质点对该点 O 的角动量随时间的变化率。
第二章 刚体的定轴转动
4
物理学
第五版
2.3 质点的角动量和角动量守恒定律
M dL dt
t2
t1
M d t L 2 L1
0, p 0
0, p 0
pi
pj
第二章 刚体的定轴转动
2
物理学
第五版
2.3 质点的角动量和角动量守恒定律 1.质点的角动量
质量为 m 的质点以速度 v
在空间运动，某时对 O 的位 矢为 r ，质点对参考点 O 的 角动量
L r p r mv
当 M 0， L C
当质点所受对参考点Ｏ的合力矩为零时，质点 对该参考点Ｏ的角动量为一恒矢量。——质点的 角动量守恒定律
第二章 刚体的定轴转动
6
物理学
第五版
2.3 质点的角动量和角动量守恒定律
例1 一半径为 R 的光 滑圆环置于竖直平面内。 一质量为 m 的小球穿在 圆环上， 并可在圆环上 滑动。小球开始时静止于 圆环上的点 A (该点在通 过环心 O 的水平面上)， 然后从 A点开始下滑。设小球与圆环间的摩擦力 略去不计。求小球滑到点 B 时对环心 O 的角动 量和角速度。
第五版
2.3 质点的角动量和角动量守恒定律
力的时间累积效应： 冲量、动量、动量定理 力矩的时间累积效应： 冲量矩、角动量、角动量定理
第二章 刚体的定轴转动
1
物理学
第五版
2.3 质点的角动量和角动量守恒定律
一 质点的角动量定理 (theorem of angular moment)
质点运动
p mv
2
L
p
o
m r
2.质点的角动量定理
M dL dt
作用于质点的合外力对参考点 O 的力矩，等 于质点对该点 O 的角动量随时间的变化率。
第二章 刚体的定轴转动
4
物理学
第五版
2.3 质点的角动量和角动量守恒定律
M dL dt
t2
t1
M d t L 2 L1
0, p 0
0, p 0
pi
pj
第二章 刚体的定轴转动
2
物理学
第五版
2.3 质点的角动量和角动量守恒定律 1.质点的角动量
质量为 m 的质点以速度 v
在空间运动，某时对 O 的位 矢为 r ，质点对参考点 O 的 角动量
L r p r mv
当 M 0， L C
当质点所受对参考点Ｏ的合力矩为零时，质点 对该参考点Ｏ的角动量为一恒矢量。——质点的 角动量守恒定律
第二章 刚体的定轴转动
6
物理学
第五版
2.3 质点的角动量和角动量守恒定律
例1 一半径为 R 的光 滑圆环置于竖直平面内。 一质量为 m 的小球穿在 圆环上， 并可在圆环上 滑动。小球开始时静止于 圆环上的点 A (该点在通 过环心 O 的水平面上)， 然后从 A点开始下滑。设小球与圆环间的摩擦力 略去不计。求小球滑到点 B 时对环心 O 的角动 量和角速度。
4.0 质点的角动量 角动量定理和守恒定律
定义： 质点对选取的参考点的角动量等于其 矢径 r 与其动量 mv 之矢量积。用 L 表示。
LO
LO
LO r mv
o m
mv r mv r
L
LO
o m
mv r
LO r mv
注意：1)为表示是对哪 个参考点的角动量，通 常将角动量L画在参考 点上. 2）单位：
MO
注意：
1）大小
MO r F
o m
F r
M
3）单位：牛顿米
2）方向： r F 的方向
M rF sin
F
r
M
O
4）当 F 0 时
A) r 0
有两种情况,
M 0
B）力的方向沿矢径的方向（ sin 0 ） 有心力的力矩为零.
dL 0 L 恒矢量 则： dt
合外力矩
0
角动量守恒定律：当系统所受合外力矩为零 时，质点系的角动量保持不变. 注意：1、角动量守恒定律是宇宙中普遍成立的定律，
无论在宏观上还是微观领域中都成立. 2、守恒定律 ：表明尽管自然界千变万化，变换 无穷，但决非杂乱无章，而是严格地受着某种规律的制 约，变中有不变. 这反映着自然界的和谐统一.
两式相加：
d M 1 M 10 M 2 M 20 ( L1 L2 ) 3 dt
d M 1 M 2 ( L1 L2 ) 4 dt 令：M M 1 M 2 质点所受的合外力矩
L L1 L2
F
三、角动量定理 1、角动量定理的微分形式 对一个质点：
质点的角动量角动量守恒定律
物理学
第五版
角动量概念的提出与自然界普遍存在的物体的转动 有关，大到星系，小到电子、中微子都具有转动的特征。 角动量概念在18世纪才在物理学中被定义和使用，19世 纪人们才把它看成是力学中最基本的概念之一，到20世 纪，它成为和动量、能量同样重要的物理量。角动量守 恒与空间旋转对称性相对应。因此它是自然界最基本最
普遍的规律之一。
角动量
角动量 变化率
角动量 角动量守
力矩
定理
恒定律
物理学
第五版
一、质点的角动量 质量为 的质点以
速度 在空间运动，某 时对 O 的位矢为 ，质 点对O的角动量
大小 的方向符合右手法则 角动量单位：kg·m2·s-1
物理学
第五版
质点以 作半径为 的圆运动，相对圆心
质点在一条直线上运动, 质点对 o点的角动量?
o•
m
力矩是矢量，M 的方向垂直于r和 F所决定的平面，其指向
用右手螺旋法则确定。
2 、 力矩的单位、 牛·米(N·m)
3 、力矩的计算： M 的大小、方向均与参考点的选择有关
物理学
第五版
力对固定点的力矩为零的情况：
A）
B）力的方向沿矢径的方向（
）
有心力的力矩为零.
※在直角坐标系中，其表示式为
物理学
第五版
三、质点的角动量定理 质点角动量定理的推导
物理学
第五版
作用于质点的合力对参考点 O
的力矩，等于质点对该点 O 的角动量
随时间的变化率.
冲量矩
质点的角动量定理：对同一参考点O， 质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量.
与质点的动量定理比较:
物理学
第五版
例 一半径为 R 的 光滑圆环置于竖直平面 内. 一质量为 m 的小球 穿在圆环上, 并可在圆 环上滑动. 小球开始时 静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的 水平面上)，然后从 A 点开始下滑．设小球与圆环间的摩擦略去 不计．求小球滑到点 B 时对环心 O 的角动 量和角速度．
第五版
角动量概念的提出与自然界普遍存在的物体的转动 有关，大到星系，小到电子、中微子都具有转动的特征。 角动量概念在18世纪才在物理学中被定义和使用，19世 纪人们才把它看成是力学中最基本的概念之一，到20世 纪，它成为和动量、能量同样重要的物理量。角动量守 恒与空间旋转对称性相对应。因此它是自然界最基本最
普遍的规律之一。
角动量
角动量 变化率
角动量 角动量守
力矩
定理
恒定律
物理学
第五版
一、质点的角动量 质量为 的质点以
速度 在空间运动，某 时对 O 的位矢为 ，质 点对O的角动量
大小 的方向符合右手法则 角动量单位：kg·m2·s-1
物理学
第五版
质点以 作半径为 的圆运动，相对圆心
质点在一条直线上运动, 质点对 o点的角动量?
o•
m
力矩是矢量，M 的方向垂直于r和 F所决定的平面，其指向
用右手螺旋法则确定。
2 、 力矩的单位、 牛·米(N·m)
3 、力矩的计算： M 的大小、方向均与参考点的选择有关
物理学
第五版
力对固定点的力矩为零的情况：
A）
B）力的方向沿矢径的方向（
）
有心力的力矩为零.
※在直角坐标系中，其表示式为
物理学
第五版
三、质点的角动量定理 质点角动量定理的推导
物理学
第五版
作用于质点的合力对参考点 O
的力矩，等于质点对该点 O 的角动量
随时间的变化率.
冲量矩
质点的角动量定理：对同一参考点O， 质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量.
与质点的动量定理比较:
物理学
第五版
例 一半径为 R 的 光滑圆环置于竖直平面 内. 一质量为 m 的小球 穿在圆环上, 并可在圆 环上滑动. 小球开始时 静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的 水平面上)，然后从 A 点开始下滑．设小球与圆环间的摩擦略去 不计．求小球滑到点 B 时对环心 O 的角动 量和角速度．
大学物理第5章角动量守恒定律
1 ml2 3
l
m
m 1.73
z2
o
l 2
G
JZ2
1 ml2 3
RGC G 不是质心
转动惯量的计算
例: 求半径为 R,总质量为 m的均匀圆盘绕垂直于盘面
通过中心轴的转动惯量 如下图:
解:
质量面密度
m R 2
J z r 2dm R r 2ds 0
Z ds
R r 2 2rdr 0
R r 2 m 2rdr
a 法向分量
an
v2 r
r 2
O
匀变速直线运动
匀变速定轴转动
v dS dt
a dv dt
v v0 at
S
v0t
1 2
at 2
v2 v02 2aS
d
dt
d
dt
0 t
0t
1t2
2
2 02 2
5.4 定轴转动刚体的角动量定理
1.刚体对转轴的力矩和角动量
z
角动量守恒
质点系的角动量定理
M J
4g
t
3 4
R
1 2
gt
2
LA
r
p
1 2
mpt3gmvg
mgt 0
orRA r源自（2） 对 O 点的角动量m
mv
r r R
LO r p (R r) p R p R mgt
Rg
LO Rmgt
2. 质点的角动量定理
角动量的时间变化率
dL
d
(r
p)
dr
p
r
dp
r 表示从O到速度矢量 v 的垂直距离, 则有
r sin s rs 2
质点的角动量定理和角动量守恒定律
（2 ）
例题6
L 0 m r mr
2
e
k
§3-4 质点的角动量定理和角动量守恒定律
常量 r 2
掠面速度
1 r r dA A 1 2 2 lim lim r dt t 0 t t 0 t 2
角运动: 即使质点做直线运动, 只要 点在直线之外 ,角 O 运动就存在.
动量是质点线运动的度量, 角动量则是质点角运动的 度量.质点的径向运动对质点的角运动没有贡献.
r dr dA LO r mv m 2m dt dt
§3-4 质点的角动量定理和角动量守恒定律
dLO MO dt
MO r F 0
LO r mv
= 常矢量
角动量守恒 （角动量积 分）
MO 0
F 0 F // r
§3-4 质点的角动量定理和角动量守恒定律
（1） LO r mv C r和 必始终与 v LO , 质点必在过 垂直 O 点且与 垂直的平面内运动 . LO
2
§3-4 质点的角动量定理和角动量守恒定律 例题7
sin e mv mRe mR
sin Lz R sin mR
2 Lz mR sin 2
0 sin 0 mR
2 2
sin 0 0 2 sin
d ) yFz zFy m zy dt ( m yz d m xz ) zFx xFz ( m zx dt d m yx ) xFy yFx dt ( m xy
质点对固 定点的角 动量定理
§3-4 质点的角动量定理和角动量守恒定律 对固定点的角动量定理不能与牛顿第二定律等价
例题6
L 0 m r mr
2
e
k
§3-4 质点的角动量定理和角动量守恒定律
常量 r 2
掠面速度
1 r r dA A 1 2 2 lim lim r dt t 0 t t 0 t 2
角运动: 即使质点做直线运动, 只要 点在直线之外 ,角 O 运动就存在.
动量是质点线运动的度量, 角动量则是质点角运动的 度量.质点的径向运动对质点的角运动没有贡献.
r dr dA LO r mv m 2m dt dt
§3-4 质点的角动量定理和角动量守恒定律
dLO MO dt
MO r F 0
LO r mv
= 常矢量
角动量守恒 （角动量积 分）
MO 0
F 0 F // r
§3-4 质点的角动量定理和角动量守恒定律
（1） LO r mv C r和 必始终与 v LO , 质点必在过 垂直 O 点且与 垂直的平面内运动 . LO
2
§3-4 质点的角动量定理和角动量守恒定律 例题7
sin e mv mRe mR
sin Lz R sin mR
2 Lz mR sin 2
0 sin 0 mR
2 2
sin 0 0 2 sin
d ) yFz zFy m zy dt ( m yz d m xz ) zFx xFz ( m zx dt d m yx ) xFy yFx dt ( m xy
质点对固 定点的角 动量定理
§3-4 质点的角动量定理和角动量守恒定律 对固定点的角动量定理不能与牛顿第二定律等价
质点系的角动量定理及角动量守恒定律
对质点系
Mi内z
Mi外z
d dt
(ri
mi vi
sin
i
)
而
Mi内 0
Mi内z 0
Mi外z
d dt
(ri mivi
sin
i
)
d dt
Lz
——称质点系对z 轴的角动量定理.
3.质点系对轴的角动量守恒定律
若
Mi外z 0
Lz rimivi sin i 常量
若质点系各质点绕 z 作圆周运动
Liz ri mivi sin i
质点系对轴的角动量
Lz rimivi sin i
2.质点系对轴的角动量定理 质点在垂直于z 轴的平面内运动，第i个 质点
Miz
dLi dt
d dt
(ri
mivi
sin
i
)
M iz M i外z M i内z
M i内z
M
sin
i)
m 2gh v
2m m
本题也可以利用对点的角动量守恒求解，读者可自行完成.
§5.2质点系的角动量定理 及角动量守恒定律
§5.2.1质点系对参考点的角动量定理及守恒律
1.质点系对参考点的角动量
对参考点
L Li ri pi ri mivi
i
i
i
对质点系中的第 i 个质点,有
Mi
dLi dt
其中
Mi Mi外 Mi内
M i内
M i外
dLi dt
对质点系，有
M i内
M i外
dLi dt
2.内力的力矩
ri
Fij i
因质点i与质点 j 间的相互 作用力
i
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v2
o
v1
4)角动量守恒定律是物理学的基本定律之一。不 仅适用于宏观体系，也适用于微观系统。
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
例1 一小球在光滑平面上作圆运动，小球被穿 过中心的线拉住 。开始时绳半径为r1 ，小球速 率为 v1 ；后来，往下拉绳子，使半径变为 r2 ， 小球速率变为 v2 ，求v2 =？
ri fi 0
i
有
dL M外 dt
质点系的角动量定理：质点系对某定点的角 动量的时间变化率等于质点系对该点的合外 力矩。
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
结论：
1）内力对定点的力矩之和为零。 2）只有外力矩才能改变系统的总角动量。 3.质点系的对轴的角动量
L Lx i Ly j Lz k
当质点系对某点的合外力矩为零时，则质点 系对该点的角动量保持不变，称为角动量守恒定 律。
角动量守 恒例题
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
盘状星系——角动量守恒的结果
质点系对o点的角动量
r2
o
r1
L Li ri Pi
i i
质点系对o点的角动量等于系统中各质点对 同一点角动量的矢量和。
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
2.质点系的角动量定理
用 f i 表示第i个质点所受内力之和
用 Fi 表示第i个质点所受外力之和
三、质点的角动量定理 dP 由牛顿第二定律 F dt
dP 两边用位矢叉乘 r F r dt dp d dr r (r p) p dt d dt t
由速度定义
dr v v p 0 dt
角动量定理的微分形式
M M xi M y j M z k
质点系对x轴的角动量定理
dL x Mx dt
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
质点系的角动量守恒定律可以表示为三 个分量形式
dL x Mx dt
My dL y dt
dL z Mz dt
4 质点系的角动量守恒定律
如果 M 0，有 L =恒矢量
r
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
二、力对参考点的力矩 t 时刻力的大小方向和作用位置如图所示 M 力对参考点o 的力矩
大小： M r F sin
M r F
O
r
F
M F d 力矩等于力乘力臂 d 方向：垂直 r , F 组成的平面
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
一、质点对参考的点的角动量 质点m在某时刻的动量为
p mv
该时刻对参考点o的矢径为
L
z
r m
y
v
r
x
o
则此时刻质点m对固定点 o的角动量为
大小：L r P sin
L r P
L
v
方向：垂直 r ，P 组成的平面
dL 对 mi 使用角动量定理： M dt
dLi ri Fi ri f i dt
对上式求矢量和
dLi ri F i ri f i i dt i i
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
可以证明：内力对定点的力矩之和为零，即
M x、M y、M z 分别为力对 x、y、z轴的力矩
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
i
j k
M r
M x yFZ ZFy M y ( xFZ ZFx )
M Z xFy yFx
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
四、 质点的角动量守恒定律 由角动量定理， 如果 M 0 则
有 L =恒矢量
dL 0 dt
讨论 1）角动量守恒定律的条件
M 0
2）动量守恒与角动量守恒是相互独立的定律
动量不守恒 如行星运动 角动量守恒
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
3） 有心力：质点受力始终指向(或离开)一个 中心(力心)。 在有心力作用下，质点的角动量守恒。 如行星绕太阳运动，对太阳角动量守恒
讨论
m
1）角动量和力矩均与选择的参考点有关，角动量 也称动量矩。
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
2）在直角坐标系中
L Lx i Ly j Lz k L 是质点对o点的角动量
Lx Ly Lz 分别是质点对x、y、z轴的角动量.
同理：
M M xi M y j M z k
M 是力对o点的力矩
dL M dt
2.5 质点角动量定理 角动量守恒 角动量定理积分形式
t2
t1
Mdt＝ dL L2 L1
t1
t2
t1
t2
M dt 称为冲量矩
质点角动量的增量
L2 L1
质点的角动量定理：在一段时间过程中， 质点所受的冲量矩，等于质点角动量的增量。 反映力矩在一段时间过程内的积累作用效果。
解：小球的合外力矩为 0 ，故角动量守恒 。 有：
L = mvr = 恒量 即： m v1 r1 =m v2 r2
r1v1 v2 r2
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
五、质点系的角动量与角动量守恒 P 1.质点系对定点的角动量 2 第i个质点对o点的角动量
P1
Li ri P i