(新课标)202x高考数学大一轮复习 第五章 平面向量与复数 第4课时 复数 文
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第4课时 复 数
…2019 考纲下载… 1．了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义． 2．掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的 加法、减法、乘法、除法运算． 3．了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想．
请注意 对于复数的考查越来越简单，一般只有一个选择题，以代数 形式运算为主，另外还有时考查复数的有关概念，代数形式的运 算技巧，复数的几何意义，复数模的最值，复平面内点的轨迹等．
＝( )
A．3＋4i
B．3－4i
C．－3＋4i
D．－3－4i
答案 B 解析 方法一：设 z＝x＋yi(x，y∈R)，则 x2＋y2－(x－yi) ＝2－4i，所以y＝x2－＋4y，2－x＝2，解得xy＝ ＝－ 3，4，因而 z＝3－4i，故 选 B. 方法二：观察可知，四个选项中的复数的模均为 5，代入|z| －z＝2－4i，得 z＝3＋4i，故 z＝3－4i，故选 B.
⑤1
的立方根
w＝－12＋
23i；w＝－12－
3 2i
的性质．
有 w3＝1，w3＝1，w2＝w，w2＝w.
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程 x2＋x＋1＝0 没有解． (2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为 bi. (3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小，如 4 ＋3i>3＋3i，3＋4i>3＋3i 等．
(2)当 z 为纯虚数时，则有m（mm－－12）＝0， m2＋2m－3≠0.
解得 m＝0 或 m＝2.
∴当 m＝0 或 m＝2 时，z 为纯虚数．
(3)当 z 对应的点位于复平面的第二象限时，
则有m（mm－－12）<0，解得 m<－3 或 1<m<2. m2＋2m－3>0，
故当 m<－3 或 1<m<2 时，z 对应的点位于复平面的第二象 限．
课前自助餐
复数的有关概念 (1)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)中，当__b＝__0__时，z 是实数； 当_b_≠_0__时，z 是虚数，当__a＝__0_且_b_≠_0___时，z 是纯虚数． (2)若 z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R)， 则__a1_＝__a2_，_b_1_＝_b_2__⇔z1＝z2. 若 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z＝0⇔__a_＝_b_＝__0__．
授人以渔
题型一 复数的概念 已知 m∈R，复数 z＝m（mm－－12）＋(m2＋2m－3)i，当 m 为何值时． (1)z∈R； (2)z 是纯虚数； (3)z 对应的点位于复平面的第二象限？
【解析】 (1)当 z 为实数时，则有 m2＋2m－3＝0 且 m－1≠0，
m＝－3，故当 m＝－3 时，z∈R.
(4)①i4n＝_1__，i4n＋1＝_i_，i4n＋2＝_－__1_，i4n＋3＝__－_i__． ②(1＋i)2＝__2i__，(1－i)2＝_－__2_i _．
③11＋ －ii＝__i__，11－ ＋ii＝_－__i _．(1＋i)(1－i)＝__2 _．
④ab＋－baii＝__i__，ab－＋baii＝_－__i _．
【解析】 复数 z＝1＋i 2i＝(1＋2i)(－i)＝2－i 的实部是 2. 【答案】 2
5．(2017·山东，文)已知 i 是虚数单位，若复数 z 满足 zi＝1
＋i，则 z2＝( )
A．－2i
B．2i
C．－2
D．2
答案 A
解析 ∵zi＝1＋i，∴z＝1＋i i＝1i ＋1＝1－i.∴z2＝(1－i)2＝1＋i2
－2i＝－2i.选 A.
6．(2018·沧州七校联考)已知复数 z 满足|z|－z＝2－4i，则 z
(4)原点是实轴与虚轴的交点． (5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距 离，也就是复数对应的向量的模． (6)复数 z＝－1＋2i 的共轭复数对应点在第四象限．
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)×
2．(2019·保定模拟)设 a 为 i－1 的虚部，b 为(1＋i)2 的实部，
4．(2018·课标全国Ⅰ)设 z＝11－＋ii＋2i，则|z|＝(
)
A．0
1 B.2
C．1
D. 2
答案 C 解析 通解：因为 z＝11－ ＋ii＋2i＝（1＋（i1）－（i）1－2 i）＋2i＝－i ＋2i＝i，所以|z|＝1，故选 C. 优解：因为 z＝11－ ＋ii＋2i＝1－i＋21＋ i（i1＋i）＝－11＋＋i i，所以|z| ＝|－11＋＋i i|＝|－|11＋＋i|i|＝ 22＝1，故选 C.
(3)若 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z＝_a－__b_i _． |z|＝______，z 对应复平面上的点_Z_(_a_，_b_)_； |z1－z2|表示_Z_1_，_Z_2_两_点__间_的__距__离_ (Z1，Z2 是复数 z1，z2 对应的点)．
复数的运算 (1)(a＋bi)±(c＋di)＝__(a_±__c)_＋__(b_±_d_)_i __． (2)(a＋bi)·(c＋di)＝_(_a_c－__b_d_)＋__(b_c_＋_a_d_)i__． (3)ac＋ ＋bdii＝________________．
【答案】 (1)m＝－3 (2)m＝0 或 m＝2 (3)m<－3 或
1<m<2
★状元笔记★ 关于复数的概念的易错点 复数 z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件为ab＝≠00，，做题 时容易忽略 b≠0，从而造成错误．
思考题 1 (1)(2018·江苏)若复数 z 满足 i·z＝1＋2i，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为________．
则 a＋b＝( )
A．－1
B．－2
C．－3
D．0
答案 A
解析 ∵i－1＝1i ＝－i，∴a＝－1.∵(1＋i)2＝2i，∴b＝0，∴a＋b ＝－1，选 A.
3.(2013·四川)如图所示，在复平面内，点 A 表
示复数 z，则图中表示 z 的共轭复数的点是( )
A．A
B．B
C．C
源自文库
D．D
答案 B 解析 设 z＝－a＋bi(a，b∈(0，＋∞))，则 z 的共轭复数 z＝－ a－bi，它对应点的坐标为(－a，－b)，是第三象限的点，故选 B.
…2019 考纲下载… 1．了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义． 2．掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的 加法、减法、乘法、除法运算． 3．了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想．
请注意 对于复数的考查越来越简单，一般只有一个选择题，以代数 形式运算为主，另外还有时考查复数的有关概念，代数形式的运 算技巧，复数的几何意义，复数模的最值，复平面内点的轨迹等．
＝( )
A．3＋4i
B．3－4i
C．－3＋4i
D．－3－4i
答案 B 解析 方法一：设 z＝x＋yi(x，y∈R)，则 x2＋y2－(x－yi) ＝2－4i，所以y＝x2－＋4y，2－x＝2，解得xy＝ ＝－ 3，4，因而 z＝3－4i，故 选 B. 方法二：观察可知，四个选项中的复数的模均为 5，代入|z| －z＝2－4i，得 z＝3＋4i，故 z＝3－4i，故选 B.
⑤1
的立方根
w＝－12＋
23i；w＝－12－
3 2i
的性质．
有 w3＝1，w3＝1，w2＝w，w2＝w.
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程 x2＋x＋1＝0 没有解． (2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为 bi. (3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小，如 4 ＋3i>3＋3i，3＋4i>3＋3i 等．
(2)当 z 为纯虚数时，则有m（mm－－12）＝0， m2＋2m－3≠0.
解得 m＝0 或 m＝2.
∴当 m＝0 或 m＝2 时，z 为纯虚数．
(3)当 z 对应的点位于复平面的第二象限时，
则有m（mm－－12）<0，解得 m<－3 或 1<m<2. m2＋2m－3>0，
故当 m<－3 或 1<m<2 时，z 对应的点位于复平面的第二象 限．
课前自助餐
复数的有关概念 (1)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)中，当__b＝__0__时，z 是实数； 当_b_≠_0__时，z 是虚数，当__a＝__0_且_b_≠_0___时，z 是纯虚数． (2)若 z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R)， 则__a1_＝__a2_，_b_1_＝_b_2__⇔z1＝z2. 若 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z＝0⇔__a_＝_b_＝__0__．
授人以渔
题型一 复数的概念 已知 m∈R，复数 z＝m（mm－－12）＋(m2＋2m－3)i，当 m 为何值时． (1)z∈R； (2)z 是纯虚数； (3)z 对应的点位于复平面的第二象限？
【解析】 (1)当 z 为实数时，则有 m2＋2m－3＝0 且 m－1≠0，
m＝－3，故当 m＝－3 时，z∈R.
(4)①i4n＝_1__，i4n＋1＝_i_，i4n＋2＝_－__1_，i4n＋3＝__－_i__． ②(1＋i)2＝__2i__，(1－i)2＝_－__2_i _．
③11＋ －ii＝__i__，11－ ＋ii＝_－__i _．(1＋i)(1－i)＝__2 _．
④ab＋－baii＝__i__，ab－＋baii＝_－__i _．
【解析】 复数 z＝1＋i 2i＝(1＋2i)(－i)＝2－i 的实部是 2. 【答案】 2
5．(2017·山东，文)已知 i 是虚数单位，若复数 z 满足 zi＝1
＋i，则 z2＝( )
A．－2i
B．2i
C．－2
D．2
答案 A
解析 ∵zi＝1＋i，∴z＝1＋i i＝1i ＋1＝1－i.∴z2＝(1－i)2＝1＋i2
－2i＝－2i.选 A.
6．(2018·沧州七校联考)已知复数 z 满足|z|－z＝2－4i，则 z
(4)原点是实轴与虚轴的交点． (5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距 离，也就是复数对应的向量的模． (6)复数 z＝－1＋2i 的共轭复数对应点在第四象限．
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)×
2．(2019·保定模拟)设 a 为 i－1 的虚部，b 为(1＋i)2 的实部，
4．(2018·课标全国Ⅰ)设 z＝11－＋ii＋2i，则|z|＝(
)
A．0
1 B.2
C．1
D. 2
答案 C 解析 通解：因为 z＝11－ ＋ii＋2i＝（1＋（i1）－（i）1－2 i）＋2i＝－i ＋2i＝i，所以|z|＝1，故选 C. 优解：因为 z＝11－ ＋ii＋2i＝1－i＋21＋ i（i1＋i）＝－11＋＋i i，所以|z| ＝|－11＋＋i i|＝|－|11＋＋i|i|＝ 22＝1，故选 C.
(3)若 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z＝_a－__b_i _． |z|＝______，z 对应复平面上的点_Z_(_a_，_b_)_； |z1－z2|表示_Z_1_，_Z_2_两_点__间_的__距__离_ (Z1，Z2 是复数 z1，z2 对应的点)．
复数的运算 (1)(a＋bi)±(c＋di)＝__(a_±__c)_＋__(b_±_d_)_i __． (2)(a＋bi)·(c＋di)＝_(_a_c－__b_d_)＋__(b_c_＋_a_d_)i__． (3)ac＋ ＋bdii＝________________．
【答案】 (1)m＝－3 (2)m＝0 或 m＝2 (3)m<－3 或
1<m<2
★状元笔记★ 关于复数的概念的易错点 复数 z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件为ab＝≠00，，做题 时容易忽略 b≠0，从而造成错误．
思考题 1 (1)(2018·江苏)若复数 z 满足 i·z＝1＋2i，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为________．
则 a＋b＝( )
A．－1
B．－2
C．－3
D．0
答案 A
解析 ∵i－1＝1i ＝－i，∴a＝－1.∵(1＋i)2＝2i，∴b＝0，∴a＋b ＝－1，选 A.
3.(2013·四川)如图所示，在复平面内，点 A 表
示复数 z，则图中表示 z 的共轭复数的点是( )
A．A
B．B
C．C
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D．D
答案 B 解析 设 z＝－a＋bi(a，b∈(0，＋∞))，则 z 的共轭复数 z＝－ a－bi，它对应点的坐标为(－a，－b)，是第三象限的点，故选 B.