幂函数及函数零点

幂函数、函数与方程

一、要点回顾： 1.幂函数的定义：

要求掌握y x =，2y x =，3y x =，1/2y x =，1y x -=这五 个常用幂函数的图象.并画出图象。 2.观察出幂函数的共性，总结如下：

（1）当0α>时，图象过定点 ；在(0,)+∞上是 函数. （2）当0α<时，图象过定点 ；在(0,)+∞上是 函数；

在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近. （3）幂函数y x α

=的图象，在第一象限内，直线1x =的右侧，图

象由下至上，指数α . y 轴和直线1x =之间，图象由上至下，指数α .

3.方程0)(=x f 有实根⇔函数)(x f y =的图像与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点。

4.零点定理：如果函数)(x f y =在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，

那么，函数)(x f y =在区间（a,b ）内有零点，即存在c ∈（a,b ）,使得0)(=c f ，这个c 也就是 方程0)(=x f 的根 。

函数模型：几类函数模型及其增长差异

（1）几类函数模型 函数模型 函数解析式

一次函数模型 ()(,,0)f x ax b a b a =+≠为常数 二次函数模型 2()(,,,0)f x ax bx c a b c a =++≠为常数 指数函数模型 ()(,,01)x f x ba c a b c a a =+>≠为常数，且 对数函数模型 ()log (,,,01)a f x b x c a b c a a =+>≠为常数且 幂函数模型

()(,0)n f x ax b a b a =+≠为常数，

2、解函数应用问题的步骤（四步八字）

（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；

（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； （3）求模：求解数学模型，得出数学结论； （4）还原：将数学问题还原为实际问题的意义.。 二、例题分析：

例1、已知函数2

221

(1)m

m y m m x --=--是幂函数，求此函数的解析式．

练习：若函数2

9

()(919)a f x a a x -=-+是幂函数，且图象不经过原点，求函数的解析式．

y ()

C ︒t ()

分5

O 例2、（1）方程lg 3x x +=的解所在区间为（ ）

A ．(0,1)

B ．(1,2)

C ．(2,3)

D ．(3,)+∞

（2）、已知函数

()()()40,

40.x x x f x x x x +<⎧⎪=⎨

-≥⎪⎩，， 则函数()f x 的零点是 例3、若函数)(x f y =在区间[,]a b 上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ）

A ．若0)()(>b f a f ，不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；

B ．若0)()(

C ．若0)()(>b f a f ，有可能存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；

D ．若0)()(

练习：设函数3

x y =与2

21-⎪

⎭

⎫

⎝⎛=x y 的图像交点为()00y ,x ，则0x 所在的区间是（ ）

A ．()10, B. ()21, C ．()32, D. ()43,

例3、某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/210kg )与上市时间t (单位：天)的数据如右表：

（1）根椐上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关：

①Q at b =+；②2

Q at bt c =++；③t Q a b =⋅；④log b Q a t =⋅。

（2）利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本。 练习：在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况 由微机记录后显示出的图象如右图所示，现给出下面说法：

① 前5分钟温度增加的速度越来越快；② 前5分钟温度增加的速度越来越慢；

③ 5分钟以后温度保持匀速增加；④ 5分钟以后温度保持不变。其中正确的说法是_________。 作业：

1．下列函数中既是偶函数又是(,)-∞0上是增函数的是（ ） A ．y x =4

3

B ．y x =32

C ．y x =-2

D ．y x

=-14

2．如果幂函数()f x x α

=的图象经过点2

(2,

)2

，则(4)f 的值等于（ ）. A. 16 B. 2 C.

116 D. 12

3．函数621

)(-+=

x x

x f 的零点一定位于区间（ ）

A 、（3,4）

B 、（2,3）

C 、（1,2）

D 、（5,6） 4．函数x

x x f 2)(2

-=的零点个数是（ ）

Ａ、3个 Ｂ、2个 Ｃ、1个 Ｄ、0个

5．某学生离开家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程，下列图中，y 表示离校的距离，x 表示出发后的时间，则较符合学生走法的是（ ）

6．今有一组实验数据如下：

t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 v

1.5

4.04

7.5

12

18.01

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最好的一个是（ ）

A ．2log v t =

B ．12

log v t = C ．212t

v -= D ．22v t =-

7．若幂函数y x α

=在第一象限内的图象如图所示，则α的取值可能为 ( )

A ．－1

B ．2

C ．3 D. 1

2

8．设T 1＝()2

3

1

2，T 2

＝()23

15，T 3

＝()13

12

，则下列关系式正确的是 ( ) A ．T 1

9．幂函数 a b c d

y x y x y x y x ====，，， 在第一象限的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是 ( )

A ．a>b>c>d

B ．d>b>c>a

C ．d>c>b>a

D ．b>c>d>a 10．设函数3

1()()22

x

f x x =--零点为0,x 则0x 所在的区间是( )

A ．(0,1)

B ．(1,2)

C ．(2,3)

D ．(3,4)

11．函数2()log 21f x x x =+-的零点必落在区间（ ）

A.⎪⎭

⎫

⎝⎛41,81

B.⎪⎭

⎫

⎝⎛21,41

C.⎪⎭

⎫

⎝⎛1,21

D.(1,2)

12．函数()2-+=x e x f x

的零点所在的一个区间是（ ） A ．()1,2-- B ．()0,1- C ．()1,0 D ．()2,1

13．函数2

441()431

x x f x x x x -⎧=⎨

-+>⎩， ≤，，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是（ ）

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

14．设m ，k 为整数，方程2

20mx kx -+=在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k 的最小值为

A

x

y

O

B

x

y

O

C

x

y

O

D

x

y

O

7题