(完整版)平面向量经典精品结论总结
平面向量复习基本知识点及结论总结
平面向量复习基本知识点及结论总结平面向量是指在平面上具有大小和方向的量，用箭头表示。
平面向量有两个重要的基本运算：向量的加法和数乘。
1.平面向量的加法：-向量的加法满足交换律：A+B=B+A-向量的加法满足结合律：(A+B)+C=A+(B+C)-零向量的性质：对于任意向量A，有A+0=0+A=A-负向量的性质：对于任意向量A，有A+（-A）=02.平面向量的数乘：-数乘的分配律：k（A+B）=kA+kB-数乘的结合律：（k+m）A=kA+mA- 数乘的分配律：k（lmA）= （klm）A-零向量的数乘：0A=03.平面向量的基本性质和结论：-平行向量：若存在非零实数k，使得A=kB，称向量A与向量B平行。
-相等向量：若AB，CD是向量，则A=C，B=D，则称向量AB和CD相等。
-相反向量：若AB是向量，则存在一个向量BA，满足AB+BA=0，称向量BA是向量AB的相反向量。
-向量共线：若有两个不共线的向量AB和CD，如果存在非零实数k，使得CD=kAB，则称向量CD与向量AB共线。
-平移：若向量u等于向量a加上向量b，即u=a+b，则向量u和向量a平行。
4.向量的模：-向量的模表示向量的长度，通常用，A，表示，它的计算公式为，A，=√(x²+y²)，其中(x,y)是向量A的坐标。
5.向量的共线与垂直：-向量共线：若向量A与向量B不为零向量且存在非零实数k，使得A=kB，则称向量A与向量B共线。
-向量垂直：若点A的坐标(x₁,y₁)和点B的坐标(x₂,y₂)满足x₁x₂+y₁y₂=0，则称向量AB垂直。
6.单位向量与方向角：-单位向量：向量长度为1的向量称为单位向量。
-方向角：向量与x轴的夹角称为它的方向角，用θ表示。
以上是平面向量的基本知识点和结论的总结，掌握这些知识可以帮助我们进行平面向量的运算、证明和推断。
为了更好地理解和应用平面向量，需要进行大量的练习和实践。
平面向量复习基本知识点及经典结论总结
平面向量复习基本知识点及经典结论总结平面向量是数学中常见的概念，它是一种具有大小和方向的量。
本文将对平面向量的基本知识点及经典结论进行总结，以帮助读者复习和理解。
一、基本知识点1.定义：平面向量是具有大小和方向的量，可用有向线段来表示。
通常用字母a、b、c等表示向量，用小写字母表示有向线段的长度，用大写字母表示向量的大小。
2.向量的表示方法：在平面直角坐标系中，可以用坐标表示一个向量。
设平面向量a的起点为原点O(0,0)，终点为点A(x,y)，则向量a的表示为a=(x,y)。
3.向量的加法：设有两个向量a=(x1,y1)和b=(x2,y2)，则向量a+b可以表示为(a,b)=(x1+x2,y1+y2)。
4.向量的数量积：设有两个向量a=(x1,y1)和b=(x2,y2)，则向量a和b的数量积为a·b=x1×x2+y1×y25.向量的模长：向量a的模长表示为，a，可通过勾股定理求得，即，a，=√(x^2+y^2)。
二、经典结论1.平面向量共线：如果有两个向量a和b，且b与a同方向或反方向，那么向量a和b共线；如果b与a不同方向，那么向量a和b不共线。
2. 平面向量定比分点：如果有两个向量a = (x1,y1)和b = (x2,y2)，且存在一个实数k，使得x2 = kx1，y2 = ky1，则向量a和b的终点共线，并且b在a的延长线上（如k>1）或b在a的连线上（如0<k<1）。
3.向量共线定理：如果有三个向量a，b，c，且c=λa+μb，则向量c与向量a和b共线。
4.平面向量的线性运算：设有三个向量a，b，c，和两个实数λ、μ，那么有以下性质成立：(1)a+b=b+a（交换律）(2)(a+b)+c=a+(b+c)（结合律）(3)λ(μa)=(λμ)a=μ(λa)=λ(μa)（乘法结合律）(4)λ(a+b)=λa+λb（分配律）(5)(λ+μ)a=λa+μa（分配律）5.向量共线的判定方法：(1)数量积：如果两个向量a和b的数量积a·b=0，则向量a和b垂直；如果a·b>0，则向量a和b夹角小于90°；如果a·b<0，则向量a和b夹角大于90°。
高中平面向量知识点详细归纳总结(附带练习)
向量的概念一、高考要求：理解有向线段及向量的有关概念,掌握求向量和与差的三角形法则和平行四边形法则,掌握向量加法的交换律和结合律.二、知识要点：1. 有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A 为始点,B 为终点的有向线段记作AB ,注意:始点一定要写在前面,已知AB ,线段AB 的长度叫做有向线段AB 的长(或模),AB 的长度记作AB ||.有向线段包含三个要素:始点、方向和长度.2. 向量:具有大小和方向的量叫做向量,只有大小和方向的向量叫做自由向量.在本章中说到向量,如不特别说明,指的都是自由向量.一个向量可用有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.用有向线段AB 表示向量时,我们就说向量AB .另外,在印刷时常用黑体小写字母a 、b 、c 、…等表示向量;手写时可写作带箭头的小写字母a 、b 、c 、…等.与向量有关的概念有:(1) 相等向量:同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.向量a 和b 同向且等长,即a 和b 相等,记作a =b .(2) 零向量:长度等于零的向量叫做零向量,记作0.零向量的方向不确定.(3) 位置向量:任给一定点O 和向量a ,过点O 作有向线段OA a =,则点A 相对于点O 的位置被向量a 所唯一确定,这时向量a 又常叫做点A 相对于点O 的位置向量.(4) 相反向量:与向量a 等长且方向相反的向量叫做向量a 的相反向量,记作a -.显然,()0a a +-=.(5) 单位向量:长度等于1的向量,叫做单位向量,记作e .与向量a 同方向的单位向量通常记作0a ,容易看出:0a a a =│ │. (6) 共线向量(平行向量):如果表示一些向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,即这些向量的方向相同或相反,则称这些向量为共线向量(或平行向量).向量a 平行于向量b ,记作a ∥b .零向量与任一个向量共线(平行).三、典型例题：例:在四边形ABCD 中,如果AB DC =且AB BC =│ │ │ │ ,那么四边形ABCD 是哪种四边形? 四、归纳小结：1. 用位置向量可确定一点相对于另一点的位置,这是用向量研究几何的依据.2. 共线向量(平行向量)可能有下列情况: (1)有一个为零向量;(2)两个都为零向量;(3)方向相同,模相等(即相等向量);(4)方向相同,模不等;(5)方向相反,模相等;(6)方向相反,模不等.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 下列命题中: (1)向量只含有大小和方向两个要素. (2)只有大小和方向而无特定的位置的向量叫自由向量. (3)同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量. (4)点A 相对于点B 的位置向量是BA . 正确的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个2. 设O 是正△ABC 的中心,则向量,,AO OB OC 是( )A.有相同起点的向量B.平行向量C.模相等的向量D.相等向量3. a b =的充要条件是( )A.a b =│ │ │ │ B.a b =│ │ │ │ 且a b ∥ []l C.a b ∥ D.a b =│ │ │ │ 且a 与b 同向 4. AA BB ''=是四边形ABB A ''是平行四边形的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件5. 依据下列条件,能判断四边形ABCD 是菱形的是( )A.AD BC =B.AD BC ∥且AB CD ∥C.AB DC =且AB AD =│ │ │ │ D.AB DC =且AD BC = 6. 下列关于零向量的说法中,错误的是( )A.零向量没有方向B.零向量的长度为0C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向任意7. 设与已知向量a 等长且方向相反的向量为b ,则它们的和向量a b +等于( )A.0B.0C.2aD.2b（二）填空题：8. 下列说法中: (1)AB 与BA 的长度相等 (2)长度不等且方向相反的两个向量不一定共线 (3)两个有共同起点且相等的向量,终点必相同(4)长度相等的两个向量必共线。
高中数学最全的二级结论：平面向量(收藏)
高中数学最全的二级结论：平面向量（收藏）57.实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a ;(2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa;(3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb .58.向量的数量积的运算律：(1) a ·b= b ·a （交换律）;(2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）;(3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c.59.平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．60．向量平行的坐标表示设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=.53. a 与b 的数量积(或内积)a ·b =|a ||b |cos θ．61. a ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．62.平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++.(2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --.(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +.63.两向量的夹角公式 121222221122cos x x y y x y x y θ+=+⋅+(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).64.平面两点间的距离公式,A B d =||AB AB AB =⋅222121()()x x y y =-+-(A 11(,)x y ，B 22(,)x y ). 65.向量的平行与垂直设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则A ||b ⇔b =λa 12210x y x y ⇔-=.a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=.66.线段的定比分公式设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+ ⇔12(1)OP tOP t OP =+-（11t λ=+）. 67.三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 68.点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP 的坐标为(,)h k .69.“按向量平移”的几个结论（1）点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+.(3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-.(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=.(5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y .70. 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔==.（2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅.（4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=.（5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+.。
(完整版)高中数学平面向量知识点总结
高中数学必修4之平面向量知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算1、向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行③单位向量：模为1个单位长度的向量④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量2、向量加法：设,ABa BCb uu u ru uu r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =ACuu u r （1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律；AB BCCDPQQRAR u u u r u u u r u uu r u u u r u u u r u u u rL，但这时必须“首尾相连”．3、向量的减法：①相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，③作图法：b a可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点）4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a ；（Ⅱ）当0时，λa 的方向与a 的方向相同；当时，λa 的方向与a 的方向相反；当0时，0a，方向是任意的5、两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线有且只有一个实数，使得b =a6、平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,使：2211e ea，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二.平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a r可表示成axi yj r rr ，记作a r=(x,y)。
2平面向量的坐标运算：(1)若1122,,,ax y bx y rr ，则1212,a bx x y y r r (2)若2211,,,y x B y x A ，则2121,AB x x y y u u u r(3)若a r =(x,y)，则a r =(x, y)(4)若1122,,,a x y b x y r r ，则1221//0a b x y x y rr (5)若1122,,,ax y bx y rr ，则1212a bx x y y r r 若ab rr ，则02121y y x x 三．平面向量的数量积1两个向量的数量积：已知两个非零向量a r 与b r，它们的夹角为，则a r ·b r =︱a r︱·︱b r ︱cos 叫做a r与b r 的数量积（或内积）规定00ar r 2向量的投影：︱b r ︱cos =||a b a r r r ∈R ，称为向量b r 在a r方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义：a r ·b r 等于a r 的长度与b r 在a r方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：22||a a a a r r r r 5乘法公式成立：2222a b ab a b a b r r r r r r r r ；2222abaa bb r r r r r r 222aa bbr r r r 6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a bb arr r r ②对实数的结合律成立：a b a b a bRr r r r r r ③分配律成立：abca cb c r r r r r r r ca br r r 特别注意：（1）结合律不成立：ab ca b c r r r r r r ；（2）消去律不成立a ba cr r r r 不能得到bc rr （3）a b r r =0不能得到a r =0r或b r =0r 7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)ax y b x y rr，则a r ·b r=1212x x y y 8向量的夹角：已知两个非零向量a r与b r ，作OA u u u r =a r , OB uuu r =b r ,则∠AOB=（01800）叫做向量a r 与b r 的夹角cos =cos,a b a ba b??r r r r r r =222221212121y x y x y y x x 当且仅当两个非零向量a r 与b r 同方向时，θ=00，当且仅当a r与b r 反方向时θ=1800，同时0r与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a r 与b r 的夹角为900则称a r 与b r 垂直，记作a r⊥br 10两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥ba ·b ＝O02121y y x x 平面向量数量积的性质一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则()．A ．AB 与AC 共线B ．DE 与CB 共线C ．AD 与AE 相等D ．AD 与BD 相等2．下列命题正确的是()．A ．向量AB 与BA 是两平行向量B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝bC ．若AB ＝DC ，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足OC ＝OA ＋OB ，其中，∈R ，且＋＝1，则点C 的轨迹方程为()．A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝04．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b)⊥a ，(b －2a)⊥b ，则a 与b 的夹角是A ．6B ．3C ．23D ．565．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP ＝A ．λ(AB ＋AD )，λ∈(0，1)B ．λ(AB ＋BC )，λ∈(0，22)C ．λ(AB －AD )，λ∈(0，1)D ．λ(AB －BC )，λ∈(0，22)6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则DF ＝()．(第1题)A．EF＋ED B．EF－DE C．EF＋AD D．EF＋AF7．若平面向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为()．A．2 B．4 C．6 D．128．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的()．A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点9．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，DC＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()．A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形10．如图，梯形ABCD中，|AD|＝|BC|，EF∥AB∥CD则相等向量是()．A．AD与BC B．OA与OBC．AC与BD D．EO与OF二、填空题11．已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝．12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x＝．13．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC ＋BC·CA＋CA·AB的值等于．14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋mb)⊥(a－b)，则实数m 等于．15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O是△ABC的．16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c, OD＝d，若a＋c＝b＋d，则四边形ABCD的形状是．三、解答题17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？(第10题)18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求DF．(第18题)19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE(利用向量证明)．(第19题) 20．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值．一、选择题1．B 解析：如图，AB 与AC ，AD 与AE 不平行，AD 与BD 共线反向．2．A解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对．若AB ＝DC ，可能A ，B ，C ，D 四点共线，故C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D 也不对．3．D解析：提示：设OC ＝(x ，y)，OA ＝(3，1)，OB ＝(－1，3)，OA ＝(3，)，OB ＝(－，3)，又OA ＋OB ＝(3－，＋3)，∴(x ，y)＝(3－，＋3)，∴33＋＝－＝y x ，又＋＝1，由此得到答案为D ．4．B解析：∵(a －2b)⊥a ，(b －2a)⊥b ，∴(a －2b)·a ＝a 2－2a ·b ＝0，(b －2a)·b ＝b 2－2a ·b ＝0，∴a 2＝b 2，即|a|＝|b|．∴|a|2＝2|a||b|cos θ＝2|a|2cos θ．解得cos θ＝21．∴a 与b 的夹角是3π．5．A解析：由平行四边形法则，AB ＋AD ＝AC ，又AB ＋BC ＝AC ，由λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)．6．D解析：如图，∵AF ＝DE ，∴DF ＝DE ＋EF ＝EF ＋AF ．7．C解析：由(a ＋2b)·(a －3b)＝－72，得a 2－a ·b －6b 2＝－72．而|b|＝4，a ·b ＝|a||b|cos 60°＝2|a|，∴|a|2－2|a|－96＝－72，解得|a|＝6．8．D 解析：由OA ·OB ＝OB ·OC ＝OC ·OA ，得OA ·OB ＝OC ·OA ,即OA ·(OC －OB )＝0，故BC ·OA ＝0，BC ⊥OA ，同理可证AC ⊥OB ，∴O 是△ABC 的三条高的交点．9．C解析：∵AD ＝AB ＋BC ＋D C ＝－8a －2b ＝2BC ，∴AD ∥BC 且|AD |≠|BC |．∴四边形ABCD 为梯形．10．D解析：AD 与BC ，AC 与BD ，OA 与OB 方向都不相同，不是相等向量．(第1题)二、填空题11．－32．解析：A ，B ，C 三点共线等价于AB ，BC 共线，AB ＝OB －OA ＝(4，5)－(k ，12)＝(4－k ，－7)，BC ＝OC －OB ＝(－k ，10)－(4，5)＝(－k －4，5)，又A ，B ，C 三点共线，∴5(4－k)＝－7(－k －4)，∴k ＝－32．12．－1．解析：∵M(－1，3)，N(1，3)，∴MN ＝(2，0)，又a ＝MN ，∴＝4－3－2＝3＋2x x x 解得4＝1＝－1＝－x x x 或∴x ＝－1．13．－25．解析：思路1：∵AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴△ABC 为直角三角形且∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0，∴AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB＝BC ·CA ＋CA ·AB ＝CA ·(BC ＋AB )＝－(CA )2＝－2CA ＝－25．思路2：∵AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴∠ABC ＝90°，∴cos ∠CAB ＝CAAB ＝53，cos ∠BCA ＝CABC＝54．根据数积定义，结合图(右图)知AB ·BC ＝0，BC ·CA ＝BC ·CA cos ∠ACE ＝4×5×(－54)＝－16，CA ·AB ＝CA ·AB cos ∠BAD ＝3×5×(－53)＝－9．∴AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝0―16―9＝－25．14．323．解析：a ＋mb ＝(3＋2m ，4－m)，a －b ＝(1，5)．∵(a ＋mb)⊥(a －b)，∴ (a ＋mb)·(a －b)＝(3＋2m)×1＋(4－m)×5＝0m ＝323．15．答案：重心．解析：如图，以OA ，OC 为邻边作□AOCF交AC 于点E ，则OF ＝OA ＋OC ，又OA ＋OC ＝－OB ，(第15题)D(第13题)∴OF ＝2OE ＝－OB ．O 是△ABC 的重心．16．答案：平行四边形．解析：∵a ＋c ＝b ＋d ，∴a －b ＝d －c ，∴BA ＝CD ．∴四边形ABCD 为平行四边形．三、解答题17．λ＜－1．解析：设点P 的坐标为(x ，y)，则AP ＝(x ，y)－(2，3)＝(x －2，y －3)．AB ＋λAC ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］＝(3，１)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，１＋7λ)．∵AP ＝AB ＋λAC ，∴ (x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)．∴713532yx 即7455yx 要使点P 在第三象限内，只需74055解得λ＜－1．18．DF ＝(47，2)．解析：∵A(7，8)，B(3，5)，C (4，3)，AB ＝(－4，－3)，AC ＝(－3，－5)．又D 是BC 的中点，∴AD ＝21(AB ＋AC )＝21(－4－3，－3－5)＝21(－7，－8)＝(－27，－4)．又M ，N 分别是AB ，AC 的中点，∴F 是AD 的中点，∴DF ＝－FD ＝－21AD ＝－21(－27，－4)＝(47，2)．19．证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋21b ，ED ＝b －21a ．∴AF ·ED ＝(a ＋21b)·(b －21a)＝21b 2－21a 2＋43a ·b ．又AB ⊥AD ，且AB ＝AD ，∴a 2＝b 2，a ·b ＝0．∴AF ·ED ＝0，∴AF ⊥ED ．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思路1：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴|2a －b|2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋4sin θ－43cos θ．又4sin θ－43cos θ＝8(sin θcos3π－cos θsin3π)＝8sin(θ－3π)，最大值为8，∴|2a －b|2的最大值为16，∴|2a －b|的最大值为4．思路2：将向量2a ，b 平移，使它们的起点与原点重合，则|2a －b|表示2a ，b终点间的距离．|2a|＝2，所以2a 的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P ，b 的终点是该圆上的一个定点Q ，由圆的知识可知，|PQ|的最大值为直径的长为4．(第18题)(第19题)。
平面向量中的定理
平面向量中重要定理总结（非常经典）1、共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .2、三点共线的证明方法若存在非零实数λ，使得AB →＝λAC →或AB →＝λBC →或AC →＝λBC →，则A ，B ，C 三点共线．3、平面向量的基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.4、奔驰定理：已知O 是ABC ∆内一点，则0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S AOB AOC BOC推论：已知O 是ABC ∆内一点，若=⋅+⋅+⋅z y x ，则z y x S S S AOB AOC BOC ::::=∆∆∆5、极化恒等式定理：平行四边形的对角线的平方和等于相邻两边平方和的两倍. 即：)|||(|2|AD ||AB |2222BO AO +=+ 设.,b AD a AB == 则,,b a DB b a AC -=+= 极化恒等式：[]22)()(41b a b a b a --+=⋅，即：=⋅6、三点共线定理：已知OB y OA x OC +=，且1=+y x ，则C B A ,,三点共线 OABC向量等和线： 平面内一组基底，及任意向量，21λλ+=，若点P 在直线AB 上或在与AB 平行的直线上，则k =+21λλ(||OC k =反之也成立,我们把直线AB 以及与AB 平行的直线称为基底系数等和线7、三角形各“心”的概念介绍重心：三角形的三条中线的交点，重心将中线长度分成2∶1；垂心：三角形的三条高线的交点，垂线与对应边垂直；内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)，内心到三角形三边的距离相等；外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等．三角形各“心”的向量表示(1)O 是△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0.(2)O 是△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →.(3)O 是△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|(或OA →2＝OB →2＝OC →2)．(4)O 是△ABC 的内心⇔OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|－AC →|AC →|＝OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BA →|BA →|－BC →|BC →|＝OC →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫CA →|CA →|－CB →|CB →|＝0.注意：向量λ((AB →|AB →|＋AC →|AC →|)(λ≠0)所在直线过△ABC 的内心(是∠BAC 的角平分线所在直线)．。
平面向量知识点总结归纳
平面向量知识点总结归纳在数学中，平面向量是一个有大小和方向的量，常用于解决几何和代数的问题。
平面向量具有许多重要的性质和应用，本文将对平面向量的相关知识点进行总结归纳。
一、基本概念1. 平面向量的表示：平面向量通常用字母加上一个箭头来表示，例如向量a可以写作a→，其中箭头表示向量的方向。
2. 平行向量：两个向量具有相同或相反的方向时，称它们为平行向量。
平行向量的模长相等。
3. 零向量：所有分量都为零的向量称为零向量，用0→表示。
零向量的模长为0。
4. 向量共线：如果两个向量的方向相同或相反，它们被称为共线向量。
二、向量运算1. 向量加法：向量加法是指将两个向量的对应分量相加得到一个新向量。
向量加法满足交换律和结合律。
2. 向量减法：向量减法是指将两个向量的对应分量相减得到一个新向量。
向量减法可以转化为向量加法，即a→ - b→ = a→ + (-b→)。
3. 数乘运算：向量与一个实数相乘，可以改变向量的大小和方向，称为数乘运算。
4. 内积运算：向量的内积又称为点乘运算，表示两个向量之间的夹角关系。
内积的结果是一个实数，可以用向量的模长和夹角的余弦表示。
5. 外积运算：向量的外积又称为叉乘运算，用于求得两个向量所确定的平行四边形的面积和方向。
外积的结果是一个向量。
三、向量的性质1. 平行四边形法则：如果将两个向量的起点放在一起，则另外两个端点形成的四边形为平行四边形。
2. 模长计算：向量的模长是指向量的长度，可以用勾股定理计算。
3. 单位向量：模长为1的向量称为单位向量，可以通过将向量除以它的模长得到。
4. 点积性质：点积具有分配律、交换律和数量积与夹角的余弦值相关等性质。
5. 叉积性质：叉积具有反交换律、分配律和数量积与夹角的正弦值相关等性质。
四、向量的应用1. 几何问题：平面向量可以用于解决几何问题，如线段的平移、直线的垂直和平行判定等。
2. 物理学中的力：力可以用向量表示，通过向量运算可以求得多个力的合力和分力。
平面向量知识点总结
平面向量知识点总结平面向量是二维空间中的向量，它在数学中有着广泛的应用。
在平面向量的研究中，我们需要了解平面向量的定义、运算法则、坐标表示、线性相关与线性无关、向量的模和方向、向量的投影、平行四边形法则、平面向量的夹角、向量的数量积等内容。
本文将对这些内容进行详细的总结，以帮助读者更好地理解平面向量的相关知识。
1. 定义：平面向量是一个具有大小和方向的量。
它可以用一个有向线段来表示，也可以用它的坐标来表示。
平面向量的定义包括初始点和终点，表示为AB。
2. 运算法则：平面向量有加法和数乘两种运算方式。
向量的加法规则是将两个向量的横纵坐标分别相加，得到一个新的向量。
向量的数乘规则是将向量的横纵坐标分别与给定的实数相乘，得到一个新的向量。
3. 坐标表示：平面向量可以用坐标表示，即用其横纵坐标表示向量的位置。
设向量AB的坐标为(a, b)，则向量AB的终点的坐标为(A.x + a, A.y + b)，其中A.x和A.y分别为点A 的横纵坐标。
4. 线性相关与线性无关：若存在一组实数k1, k2, ... , kn，使得k1v1 + k2v2 + ... + knvn = 0，则向量组V1, V2, ... , Vn是线性相关的。
否则，向量组V1, V2, ... , Vn是线性无关的。
线性无关的向量组在平面向量的研究中具有重要的作用。
5. 向量的模和方向：向量的模表示向量的大小，即向量的长度。
向量的方向表示向量的朝向，即向量的角度。
向量的模可以用勾股定理计算，即v的模等于√(x^2 + y^2)，其中x 和y分别为向量v的横纵坐标。
6. 向量的投影：向量的投影指的是一个向量在另一个向量上的投影长度。
设向量A在向量B上的投影为P，且向量A 和向量B的夹角为θ，则投影P的长度等于A在B上的模乘以cosθ。
7. 平行四边形法则：平行四边形法则是用来计算两个向量的和的规则。
根据平行四边形法则，两个向量的和等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线。
平面向量二级结论集合 (1)
平面向量二级结论集合 (1)1.当BD和CF垂直时，有以下数量关系：BD·CF = AB·BC·cos∠ABC·AC·cos∠ACB。
另外，向量的绝对值不等式为|AB·BC| ≤ AB·|BC|。
2.极化恒等式是一个重要的三角形模型，它可以将两个向量的数量积转化为这两个向量的“和向量”与“差向量”，从而方便求解。
当两个向量的“和向量”或“差向量”为定向量时，可以考虑利用极化恒等式进行转化求解。
3.向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的形式。
另外，平行四边形两条对角线的平分和等于两条邻边平分和的两倍。
4.对角线向量定理表明，四边形的两条对角线对应向量的数量积可用四条边的长度表示。
推论1是当对角线相互垂直时，四边形两组对边的平方和相等；推论2是向量中三点共线的结论。
5.对角线向量定理适用于平面向量和空间向量。
当用于空间向量时，可以将图形想象成为三棱锥D-ABC，AC和BD成为三棱锥的一组对棱。
6.向量等和线的性质是，以三条向量为邻边的三个平行四边形的对角线交于同一点，即等和线的交点。
此外，当三个向量共面时，它们的等和线也在同一平面上。
7.定比分点公式的向量表示和坐标表示可以方便地求出线段上的定比分点。
在向量的基础上，可以进一步拓展到空间中的定比分点。
8.向量与三角形的四心包括重心、垂心、内心和外心。
重心是三角形三条中线交点，重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等；垂心是垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等；内心是三角形三条内角平分线的交点，到三条边的距离相等；外心是三角形三条外角平分线的交点，到三个顶点的距离相等。
9.奔驰定理是一个重要的几何定理，它表明，如果两个三角形的三个顶点分别共线，则它们的对应边交于同一点。
10.XXX定理是一个重要的平面几何定理，它可以用于解决三角形内部点的位置关系问题。
平面向量结论
()()22ba b a b a -=-⋅+22))((b a b a b a -=-+00022 ==⇒=+b a b a 且00022==⇒=+b a b a ，A:平面向量常用结论： 中心：正三角形才有，是下列四心合一。
重心：中线的交点。
垂心：高线的交点。
内心：角平分线的交点。
外心：垂直平分线的交点。
①在平行四边形ABCD 中，若AD AB =，则0)()(=-⋅+AD AB AD AB ，即菱形模型。
若AD AB ⊥，则AD AB AD AB -=+，即矩形模型。
②在ABC ∆中，（1） 222OC OB OA ==，O 是ABC ∆的外心； （2） AC AB +一定过BC 的中点，过ABC ∆的重心；)sin ||sin ||(CAC AC BAB AB +λ所在直线过ABC ∆的重心。
1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心，特别地0PA PB PC P ++=⇔为ABC ∆的重心；（3）OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，O 是ABC ∆的垂心； )cos ||cos ||(CAC AC BAB AB +λ所在直线过垂心；（4）()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心 0=⋅+⋅+⋅OC c OB b OA a ，则O 是ABC ∆的内心；（5）222)(21AC AB AC AB S ABC ⋅-⋅=∆． B: 向量与代数的比较。
相同点： 不同点：实数的乘积向量的数量积 运算的结果是一个实数 运算的结果是一个实数交换律a b b a ⋅=⋅ a b b a ⋅=⋅分配律bc ac c b a +=⋅+)(()c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+ 2222)(b ab a b a +±=±()2222b b a a b a +⋅±=±b a b a b a +≤±≤-b a b a b a +≤±≤-|实数的乘积 向量的数量积结合律)()(bc a c ab = ()()c b a c b a ⋅⋅≠⋅⋅00=⇒=a ab 或0=b或00=⇒=⋅a b a b a b ⊥=或0 b a ab = b a b a ⋅≤⋅222)(b a ab =()222b a ba ⋅≤⋅。
高中数学 有关向量的经典结论
高中数学有关向量的经典结论
向量是数学中的重要概念，在高中数学中也有很多与向量相关的经典结论。
以下是一些常见的向量结论：
平行向量的性质
- 平行向量的定理：如果两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。
- 平行向量的性质：平行向量的模长相等或者成比例。
向量的加法
- 平行四边形法则：如果两个向量的作为边的平行四边形的两个对角线相交于一个点，则这两个向量的和向量也经过这个点。
- 三角形法则：如果两个向量的作为边的三角形的两个边相交于一个点，则这两个向量的和向量也经过这个点。
向量的数乘
- 数乘加倍定理：向量A经过原点，与向量A夹角不超过90°，则对于任意实数A，向量AA的模长都不超过向量AA的模长。
向量共线与共面
- 向量共线的定理：如果两个非零向量共线，则它们可以表示为一个数与另一个向量的乘积。
- 向量共面的定理：如果三个非零向量共面，则其中一个向量可以表示为另外两个向量的线性组合。
向量积的性质
- 向量积的模长：两个向量的向量积的模长等于这两个向量的模长与它们夹角的正弦值的乘积。
- 向量积的方向：两个向量的向量积的方向垂直于这两个向量所在的平面，遵循右手定则。
以上是高中数学中与向量相关的一些经典结论。
掌握这些结论可以帮助我们更好地理解和应用向量的概念，在解决数学问题时更加得心应手。
平面向量结论汇编
向量的有关结论1.相等向量的模必定相等,模相等的向量不必定是相等向量.2.相等向量必定是共线向量.3.零向量的偏向是随意率性的.4.假如两个向量都等于第三个向量,则这两个向量必定相等.5.向量经常应用有向线段来暗示,但不克不及说向量就是有向线段.6.所有平行向量或共线的有向线段所暗示的向量是共线向量.7.平行于统一贯量的两个向量不必定平行.8.多个首尾相接的向量的和等于以第一个向量的起点为起点,以最后一个向量的终点为终点的向量.9.向量减法的三角形轨则：两个向量的差向量等于将两个向量平移到统一路点后,衔接两向量的终点并指向被减向量的向量. a b a b a b →→→→→→-≤±≤+（a →,b →共线时等号成立）11.向量的数目积：cos a b a b θ=（个中θ为a 与b 的夹角）22a a = ;cos a ba b θ=.12.要证实两线段AB=CD,可转化为证实AB CD =或22AB CD =.13.求向量的模可先求向量模的平方,标题前提中消失向量的模时也常转化为向量的平方.（模的平方可以实现模与向量数目积的互相转化：2222a a a a x y ===+）()1,u k =; OA OB +与AB 订交,等于已知OA OB +过AB 的中点;0PM PN +=,等于已知P 是MN 的中点;()AP AQ BP BQ λ+=+,等于已知P,Q 与AB 的中点三点共线;18.给出以下情况之一：①//AB AC ;②消失实数λ,使AB AC λ=;③若消失实数,αβ,且1αβ+=,使OC OA OB αβ=+,等于已知A,B,C 三点共线.0MA MB =,等于已知MA MB ⊥,等于AMB ∠直角,给出0MA MB m =<,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0MA MB m =>,等于已知AMB ∠是锐角.ABCD 中,给出()()0AB AD AB AD +-=,等于已知ABCD 是菱形;AB AD AB AD +=-,等于已知AB ⊥AD;22.在ABC ∆中,给出222OA OB OC ==,等于已知O 是ABC ∆的外心（三角形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直等分线的交点）;23.在ABC ∆中,给出0OA OB OC ++=,等于已知O 是ABC ∆的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）;ABC ∆中,给出OA OB OB OC OC OA ==,等于已知O 是ABC ∆的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）;ABC ∆中,给出()()AB AC OP OA R AB AC λλ+=++∈等于已知AP 经由过程ABC ∆的心坎; ABC ∆中,给出0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=等于已知O 是ABC ∆的心坎（三角形内切圆的圆心,三角形的心坎是三角形三条角等分线的交点）;。
2024年高考数学平面向量的基本定理总结(2篇)
2024年高考数学平面向量的基本定理总结平面向量是高考数学中的重要内容之一，也是一道很多学生所困扰的难题。
2024年高考数学试卷中关于平面向量的命题主要以基本定理为主。
基本定理是矢量分解定理和平行四边形定理的推论，也是解决平面向量问题的基础。
下面我将就2024年高考数学试卷中出现的平面向量基本定理进行总结，以便为考生复习提供参考。
一、平面向量的矢量分解定理平面向量的矢量分解定理是高考数学中使向量具有普通向量性质的基础。
矢量分解定理有两种表达形式：平行四边形法则和三角形法则。
1. 平行四边形法则平行四边形法则是指对于平面内的任意两个向量，它们可以用平行四边形的两条对角线表示。
对于平面中的向量AC和AD，可以有以下公式：AC = AB + BCAD = AE + ED其中AC和AD是两向量之和，AB和AE是两向量的矢量分解，BC 和ED是两向量的矢量共线分解。
2. 三角形法则三角形法则是指对于平面内的任意两个向量，它们可以用构成由这两个向量所在的两条边所组成的三角形的一条边和该边上的向量的和表示。
对于平面中的向量AC和AD，可以有以下公式：AC = AB + BCAD = AE + DE其中AC和AD是两向量之和，AB和AE是两向量的矢量分解，BC 和DE是两向量的矢量共线分解。
二、平面向量的平行四边形定理平面向量的平行四边形定理是基本定理的推论，也是较为重要的定理之一。
平行四边形定理有两个推论，分别是相等条件和平行条件。
1. 相等条件平行四边形定理的相等条件是指对于平行四边形形状的两个向量，它们互为相等向量。
对于平面中的向量AC和BD，如果满足AC = BD，则可以得出以下的结论：ABCD为平行四边形2. 平行条件平行四边形定理的平行条件是指对于平面中的两个向量，如果它们的终点相同，则这两个向量是平行向量。
对于平面中的向量AC和BD，如果满足C = D，则可以得出以下的结论：AC // BD三、基本定理的应用基本定理是解决平面向量问题的基础，通过运用矢量分解定理和平行四边形定理，可以解决各种与平面向量相关的问题，如求向量的模、方向、分解等问题。
平面向量知识点总结(精华)
必修4 平面向量知识点小结一、向量的基本概念1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示.注意：不能说向量就是有向线段，为什么？ 提示：向量可以平移.举例1 已知，，则把向量按向量平移后得到的(1,2)A (4,2)B AB(1,3)a =-向量是_____. 结果：(3,0)2.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，规定：零向量的0方向是任意的；3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共AB线的单位向量是）；||AB AB ±4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、a叫做平行向量，记作：∥，b ab 规定：零向量和任何向量平行.注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有)；④三点共线共线.A B C 、、AB AC ⇔、6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.的相反向a量记作.a -举例2 如下列命题：（1）若，则.||||a b = a b =（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.（3）若，则是平行四边形.AB DC =ABCD （4）若是平行四边形，则.ABCD AB DC =（5）若，，则.ab = bc = a c =（6）若，则.其中正确的是 . 结果：（4）//ab //bc //a c（5）二、向量的表示方法1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，AB终点在后；2.符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；a b c3.坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同x y 的两个单位向量为基底，则平面内的任一向量可表示为,i j a，称为向量的坐标，叫做向量的坐标表示.(,)a xi yj x y =+= (,)x y a (,)a x y =a 结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.三、平面向量的基本定理定理 设同一平面内的一组基底向量，是该平面内任一向量，12,e ea 则存在唯一实数对，使.12(,)λλ1122a e e λλ=+（1）定理核心：；（2）从左向右看，是对向量的分解，1122aλe λe =+ a且表达式唯一；反之，是对向量的合成.a（3）向量的正交分解：当时，就说为对向量的正交12,e e 1122aλe λe =+a 分解．举例3 （1）若，，，则 . 结果：(1,1)a =(1,1)b =- (1,2)c =- c = .1322a b - （2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 BA.，B.，C.，1(0,0)e = 2(1,2)e =- 1(1,2)e =- 2(5,7)e = 1(3,5)e = 2(6,10)e = D.，1(2,3)e =- 213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（3）已知分别是的边，上的中线,且，,则,AD BEABC △BC AC AD a =BE b = 可用向量表示为 . 结果：.BC ,a b2433a b + （4）已知中，点在边上，且，，则的ABC △D BC 2CDDB = CD r AB s AC =+r s +=值是 . 结果：0.四、实数与向量的积实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如λa a λ下：（1）模：；||||||a a λλ=⋅（2）方向：当时，的方向与的方向相同，当时，0λ>a λ a0λ<的方向与的方向相反，当时，，a λ a 0λ=0a λ= 注意：.0aλ≠五、平面向量的数量积1.两个向量的夹角：对于非零向量，，作，，则把ab OA a = OB b = 称为向量，的夹角.(0)AOB θθπ∠=≤≤ab 当时，，同向；当时，，反向；当时，，垂θ=a b θπ=a b 2πθ=a b 直.2.平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为，abθ我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：||||cos a b θ ab ，即.a b ⋅||||cos a b a b θ⋅=⋅ 规定：零向量与任一向量的数量积是0.注：数量积是一个实数，不再是一个向量.举例4 （1）中，，，，则_________. ABC △||3AB =||4AC = ||5BC = AB BC ⋅=结果：.9-（2）已知，，，，与的夹角为，则 11,2a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 10,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭c a kb =+d a b =- c d 4πk =____. 结果：1.（3）已知，，，则____. .||2a =||5b = 3a b ⋅=- ||a b += （4）已知是两个非零向量，且，则与的夹角为,ab ||||||a b a b ==- a a b +____. 结果：.303.向量在向量上的投影：，它是一个实数，但不一定大b a||cos b θ 于0.举例5 已知，，且，则向量在向量上的投影为||3a=||5b = 12a b ⋅= a b ______. 结果：.1254.的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积.a b ⋅ a b ⋅a ||ab a 5.向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为，则：ab θ（1）；0a b a b ⊥⇔⋅=（2）当、同向时，，特别地，；a b ||||a b a b ⋅=⋅ 22||||aa a a a =⋅=⇔= 是、同向的充要分条件；||||a b a b ⋅=⋅ ab 当、反向时，，是、反向的充要分条a b ||||a b a b ⋅=-⋅ ||||a b a b ⋅=-⋅ ab 件；当为锐角时，，且、不同向，是为锐角的必要不θ0a b ⋅>a b0a b ⋅>θ充分条件；当为钝角时，，且、不反向；是为钝角的必要不θ0a b ⋅< a b 0a b ⋅<θ充分条件.平面向量基础知识复习（3）非零向量，夹角的计算公式：；④.a b θcos ||||a ba b θ⋅= ||||a b a b ⋅≤ 举例6 （1）已知，，如果与的夹角为锐角，则的(,2)a λλ=(3,2)b λ= a b λ取值范围是______. 结果：或且；43λ<-0λ>13λ≠（2）已知的面积为，且，若，则，夹角的OFQ △S 1OF FQ ⋅= 12S <OF FQ θ取值范围是_________. 结果：；,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭（3）已知，，且满足（其中）.(cos ,sin )a x x =(cos ,sin )b y y = |||ka b a kb +- 0k >①用表示；②求的最小值，并求此时与的夹角的大小. k ab ⋅ a b ⋅a b θ结果：①；②最小值为，.21(0)4k ab k k +⋅=> 1260θ=六、向量的运算1.几何运算（1）向量加法运算法则：①平行四边形法则；②三角形法则.运算形式：若，，则向量叫做与的和，即AB a = BC b = AC ab ；a b AB BC AC +=+=作图：略.注：平行四边形法则只适用于不共线的向量.（2）向量的减法运算法则：三角形法则.运算形式：若，，则，即由减向量的终AB a = AC b = a b AB AC CA -=-=点指向被减向量的终点.作图：略.注：减向量与被减向量的起点相同.举例7 （1）化简：① ；② ；③AB BC CD ++= AB AD DC --=. 结果：①；②；③；()()AB CD AC BD ---= AD CB 0（2）若正方形的边长为1，，，，则 . ABCD AB a =BC b = AC c = ||a b c ++=结果：（3）若是所在平面内一点，且满足，则O ABC △2OB OC OB OC OA -=+-的形状为. 结果：直角三角形；ABC △（4）若为的边的中点，所在平面内有一点，满足D ABC △BC ABC △P ，设，则的值为 . 结果：2；0PA BP CP ++= ||||AP PD λ=λ（5）若点是的外心，且，则的内角为 . O ABC △0OAOB CO ++=ABC △C结果：.1202.坐标运算：设，，则11(,)a x y =22(,)b x y = （1）向量的加减法运算：，.1212(,)a b x x y y +=++ 1212(,)a bx x y y -=--举例8 （1）已知点，，，若，则当(2,3)A (5,4)B (7,10)C ()AP AB AC λλ=+∈R____时，点在第一、三象限的角平分线上. 结果：；λ=P 12（2）已知，，且，，则 .结(2,3)A (1,4)B 1(sin ,cos )2AB x y = ,(,)22x y ππ∈-x y +=果：或；6π2π-（3）已知作用在点的三个力，，，则合力(1,1)A 1(3,4)F =2(2,5)F =- 3(3,1)F =的终点坐标是 . 结果：.123F F F F =++(9,1)（2）实数与向量的积：.1111(,)(,)a x y x y λλλλ==（3）若，，则，即一个向量的坐标等11(,)A x y 22(,)B x y 2121(,)AB x x y y =--于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.举例9 设，，且，，则的坐标分别是(2,3)A (1,5)B -13AC AB =3AD AB = ,C D __________. 结果：.11(1,7,9)3-（4）平面向量数量积：.1212a b x x y y ⋅=+举例10 已知向量，，.(sin ,cos )a x x =(sin ,sin )b x x = (1,0)c =- （1）若，求向量、的夹角；3x π=a c（2）若，函数的最大值为，求的值.结果：3[,]84x ππ∈-()f x a b λ=⋅ 12λ（1）；（2）或.150121（5）向量的模：2222||||aa x y a ==+⇔=举例11 已知均为单位向量，它们的夹角为，那么＝ .,ab 60|3|a b +=（6）两点间的距离：若，，则11(,)A x y 22(,)B x y ||AB =举例12 如图，在平面斜坐标系中，关xOy 60xOy ∠=P 于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若，其中轴同12OP xe ye =+ 12,e ey 方向的单位向量，则点斜坐标为.P (,)x y （1）若点的斜坐标为，求到的距离；P (2,2)-P O ||PO （2）求以为圆心，1为半径的圆在斜坐标系中的方程.O xOy 结果：（1）2；（2）.2210x y xy ++-=七、向量的运算律1.交换律：，，；a b b a +=+ ()()a a λμλμ=a b b a ⋅=⋅ 2.结合律：，，；()ab c a b c ++=++ ()a b c a b c --=-+ ()()()a b a b a b λλλ=⋅=⋅3.分配律：，，.()a a a λμλμ+=+()a b a b λλλ+=+ ()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅举例13 给出下列命题：① ；② ；③ ()ab c a b a c ⋅-=⋅-⋅ ()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅；222()||2||||||a b a a b b -=-+④ 若，则或；⑤若则；⑥；⑦；⑧0a b ⋅= 0a = 0b = a b c b ⋅=⋅ a c = 22||a a = 2a b ba a⋅= ；⑨.222()a b a b ⋅=⋅ 222()2ab a a b b -=-⋅+ 其中正确的是 . 结果：①⑥⑨.说明：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即，为什么？()()ab c a b c ⋅⋅≠⋅⋅八、向量平行(共线)的充要条件.221212//()(||||)0a b a b a b a b x y y x λ⇔⇔⋅=⇔-=举例14 (1)若向量，，当_____时，与共线且方向(,1)ax =(4,)b x = x =a b 相同. 结果：2.（2）已知，，，，且，则 . (1,1)a =(4,)b x = 2u a b =+ 2v a b =+ //u v x =结果：4.（3）设，，，则 _____时，共线. 结(,12)PA k =(4,5)PB = (10,)PC k =k =,,A B C 果：或11.2-九、向量垂直的充要条件.12120||||0a b a b a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=-⇔+=特别地.||||||||AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫+⊥- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭举例15 (1)已知，，若，则 .结果：(1,2)OA=- (3,)OB m = OA OB ⊥m =；32m =（2）以原点和为两个顶点作等腰直角三角形，，则O (4,2)A OAB 90B ∠=︒点的坐标是 .结果：(1,3)或（3，－1））；B （3）已知向量，且，则的坐标是 .结果：(,)n a b = n m ⊥ ||||n m =m = 或.(,)b a -(,)b a -十、线段的定比分点1.定义：设点是直线上异于、的任意一点，若存在一个P 12P P 1P 2P 实数 ，使，则实数叫做点分有向线段所成的比，λ12P P PP λ=λP 12P P λ点叫做有向线段的以定比为的定比分点.P 12P Pλ2.的符号与分点的位置之间的关系λP （1）内分线段，即点在线段上；P 12P PP 12P P 0λ⇔>（2）外分线段时，①点在线段的延长线上，②P 12P PP 12P P 1λ⇔<-点在线段的反向延长线上.P 12P P 10λ⇔-<<注：若点分有向线段所成的比为，则点分有向线段所成P 12PPλP 21P P的比为.1λ举例16 若点分所成的比为，则分所成的比为 . P AB34A BP 结果：.73-3.线段的定比分点坐标公式：设，，点分有向线段所成的比为，则定比111(,)P x y 222(,)P x y (,)P x y 12P Pλ分点坐标公式为. 1212,1(1).1x x x y y y λλλλλ+⎧=⎪⎪+≠-⎨+⎪=⎪+⎩特别地，当时，就得到线段的中点坐标公式1λ=12P P 1212,2.2x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩说明：（1）在使用定比分点的坐标公式时，应明确，、(,)x y 11(,)x y 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标.22(,)x y （2）在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比.λ举例17 （1）若，，且，则点的坐标为 . (3,2)M --(6,1)N -13MP MN =-P 结果：；7(6,)3--（2）已知，，直线与线段交于，且，则(,0)A a (3,2)B a +12y ax =AB M 2AM MB =. 结果：２或.a =4-十一、平移公式如果点按向量平移至，则；曲线(,)P x y (,)a h k = (,)P x y '',.x x h y y k '=+⎧⎨'=+⎩按向量平移得曲线.(,)0f x y =(,)a h k =(,)0f x h y k --=说明：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！举例18 （1）按向量把平移到，则按向量把点平a (2,3)-(1,2)-a(7,2)-移到点______. 结果：；(8,3)-（2）函数的图象按向量平移后，所得函数的解析式是sin 2y x =a，则________. 结果：.cos21y x =+a = (,1)4π-十二、向量中一些常用的结论1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；2.模的性质：.||||||||||a b a b a b -≤+≤+（1）右边等号成立条件：同向或中有； ab 、 a b、0||||||a b a b ⇔+=+（2）左边等号成立条件：反向或中有； a b 、 a b 、0 ||||||a b a b ⇔-=+（3）当不共线. ab、||||||||||a b a b a b ⇔-<+<+ 3.三角形重心公式在中，若，，，则其重心的坐标为ABC △11(,)A x y 22(,)B x y 33(,)C x y .123123(,33x x x y y y G ++++举例19 若的三边的中点分别为、、，则的ABC △(2,1)A (3,4)B -(1,1)C --ABC △重心的坐标为 .结果：.24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭5.三角形“三心”的向量表示（1）为△的重心，特别地1()3PG PA PB PC G =++⇔ABC 为△的重心.0PA PB PC G ++=⇔ABC （2）为△的垂心.PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔ABC （3）为△的内心；向量||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC 所在直线过△的内心.(0)||||AB AC AB AC λλ⎛⎫+≠ ⎪ ⎪⎝⎭ABC 6.点分有向线段所成的比向量形式P 12P Pλ设点分有向线段所成的比为，若为平面内的任一点，则P 12P PλM ，特别地为有向线段的中点.121MP MPMP λλ+=+ P 12P P 122MP MPMP +⇔=7.向量中三终点共线存在实数，使得,,PA PB PC,,A B C ⇔,αβ且．PA PB PC αβ=+1αβ+=举例20 平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点，O (3,1)A ，若点满足,其中且,则点的轨迹是 . (1,3)B -C 12OC OA OB λλ=+12,λλ∈R 121λλ+=C 结果：直线.AB。
平面向量基本定理(完整版)
O 课本P97例2
O
1．已知平行四边形 ABCD，下列各组向量中，是该平面内
所有向量基底的是 ( )
A.A→B，D→C B.A→D，B→C
C.A→D，C→B
D.A→B，D→A
2. 若点o是平行四边形 ABCD 的中心，AB 4e1, BC 6e2, 则3e2 2e1 _______.
向量 c 与 d 能否作为基底 .
跟踪练习. 若e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，则 下面的四组向量中不能作为基底的 ( )
A. e1 e2和e1 e2 C. e1 3e2和e2 3e1
B. 3e1 2e2和4e2 6e1 D. e2和e1 e2
用基底表示向量 【例 2】在▱ABCD 中，设A→C＝ ，B→D＝ ，试用 ， 表示A→B，B→C.
O
a
的夹角．注 是同意起:两点向的量必须
A
r 特别的： a
r ObB
0
rr a 与 b同向
r
B
A
r
a
Bb O
180
rr
a 与 b 反向
r
A
b
O
r a
A
r r 90 r
r
夹角的范围：
a 与b 垂直， 记作 a b
例2.在等边三角形中，求 (1)AB与AC的夹角； (2)AB与BC的夹角。
r j
y)
Or
x
i
平面向量的坐标表示
注意： r
（1）与 a 相等的向量的坐标均为（x,
y)(2)
r i
rr i0j
(1, 0)
平面向量集合(全面总结)
,,(0),,,(m 1)a b a b b A P B mOA nOB OP n λ⎧→⇔=≠→⇔+=+=⎪⎧⎧⎪→⎨⎨⎪→↔⎨⎩⎪⎪⎪→→→⎩⎩+-0向量共线三点共线垂直基线平行向量向量的基线共线向量夹角不共线向量平行平面向量基本定理一组基底k 起点在原点的向量正交基底 →→平行四边形与向量三角形与向量八大运算平面向量集合研究平面向量的角度： 【单个平面向量】1、大小2、方向 【代数】直角坐标系下的向量坐标 【几何】有向线段 [八种运算]1、从零向量是否参与运算的角度对八大运算分类【零向量参与运算】,,,,||,a b a b a a b a a λ+-⋅-【零向量不参与运算】,()ba b a a b <->在上的投影2、从运算工具的角度对八大元素分类 【有向线段】 【基底】【坐标】3、从代数角度对八大运算分类[三角形法则、平行四边形法则] 1122(,),(,)a x y b x y①a b AB BC AC +=+=11221212(,)(,)(,)a b x y x y x x y y ±=±=±±②a b AB AC CB -=-=||,||||||a b a b a b a b a b a b a b +-+=-是以，为邻边的平行四边形的对角线的长度。
当时，是以，为邻边的矩形或以，为直角边的直角三角形。
③b CB -= 1111(,)(,)a x y a x y ⇒---();()0;()b b b b a b a b --=+-=-=+-④a λ 1111(,)(,)a x y a x y λλλ⇒[]||||||000[]a a a a a a a a a λλλλλλλλλ=><=长度[方向]当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，的方向任意共线与一定共线⑤a221111(,)||a x y a x y ⇒=+ 2211221212(,),(,)||()()A x y B x y AB x x y y ⇒=-+-222222222()()2cos ,||a a a a a a a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a ba b a b a b=⋅=⋅⋅≤⋅-=+-±=+±<>-≤±≤+=⇒=⇒= 或||a b a b⋅≤⑥a 在b 上的射影 221212112222cos ,||b x x y y a b a a a b x y b x y +⋅=⋅=+==+（b ≠0 ）⑦夹角,a b⑧内积 【代数】1212121222221122cos cos cos [1,1]||x x y y a b a b a b x x y y a bx y x y a b a bθθθ+⋅⋅==+⇒==++∈-∴⋅≤[结果]cos a b θ⋅的结果是一个实数，不是向量，符号由的符号决定00000,a a b a b a b a b a b =⇒⋅=⋅=⇒==⊥或或即<>=90【几何】cos 0a b a b a b a b b a a b a b a b θ⋅=⋅=⇒表示与的乘积或与的乘积若，共起点，可构造以，为邻边的矩形 4、【运算律】[]()00[][]()()a b b a a b c a b c a a aa b a b a a a a a a b a b a b b a a b a b a b c a c b cλμλμλμλμλλλλλ+=+++=+++=+=-=++=+++⋅=⋅⋅⋅+⋅=⋅+⋅加法（）减法（-）[数乘]（）=（）（）（）=数量积=（）[与实数的区别]0;a b c a b c a b c c a b c a a c a b c a b c a b c b ab bc a c a b b c a c⋅⋅≠⋅⋅⋅⋅⋅⋅∴⋅⋅⋅⋅≠=⇒=⋅=⋅= （1）数量积运算不包括结合律：（）（）（）表示一个与共线的向量，（）表示一个与共线的向量，而，不一定共线（）与（）不一定相等（2）已知实数、、（）,则但是，，不能推出5、从几何角度对八大运算分类 （1）【a b =】a b ≠工具：起点在原点的向量a b =工具：a b 与共线 （2） a b与共线 ⇒【方向】方向相同或相反【基线】基线平行或重合 【夹角】00,0180a b =或【平行】a b λ=【坐标】121221121200x xx y x y y y y y -==≠≠（1）（2），（，）a b与共线 ⇒||||||||||||,||||||||a b a b a b a b a a a b a b a b b b a a bb λλλ==-=→==-=±（1）或（2），，同向，，反向，（3）a b 与共线 ⇒||a b a b⋅=1211221221122112112212211221,0,||||(,),(,),(,0),||||,0,||||(,),(,),(0,),||||a x y x y a x PP x P x y P x y PP x x PP x x a x y y x a y PP y P x y P x y PP y y PP y y ⇒==⇒=-=-⇒==⇒=-=-()与轴平行与轴平行()与轴平行与轴平行（3）三点共线判定定理平面内A 、B 、C 三点共线的充要条件1()112PA PB PC A B C PB PA PC R AB BCPA PC AB BC PB PA PC PB PB PA PCPB αβαβαβλλλλλλ⇔⇔=++=∈⇔=+=⇒-=-⇒=++==向量、、的终点、、三点共线，（，，）当时，[定比分点]12121221122100<<<P PP P PP P PP P P P PP P P P λλλλ><(1)当分点在线段上时，点叫做的内分点，此时(2)当分点在线段或的延长线上时，①当分点在线段的延长线上时，-1②当分点在线段的延长线上时，-1012121112221211222(,),(,),(,),11x x y y P x y P x y P x y x y P PP p p p p pp p pp λλλλλλλ++==++=→→若设则，（为分所成的比）紧跟分母的坐标（4）不共线向量①a b λλ= 不存在实数，使得②基线不平行也不重合③方向不相同也不相反④00,0180a b ∈ （，）⑤12210x y x y -≠（5）平面向量基本定理如果12,e e 是同一平面内的两个不共线向量，对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+其中{12,e e }叫做平面内所有向量的一组基底；1122e e λλ+ 叫做a 在基底下的坐标分解式；{,x y }叫做a 在基底下的坐标。
平面向量知识点总结(精华)
必修4 平面向量知识点小结一、向量的根本概念1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示.注意：不能说向量就是有向线段，为什么？ 提示：向量可以平移.举例1 (1,2)A ，(4,2)B ，那么把向量AB 按向量(1,3)a =-平移后得到的向量是_____. 结果：(3,0)2.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，规定：零向量的方向是任意的；3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量〔与AB 共线的单位向量是||AB AB ±〕；4.相等向量：长度相等且方向一样的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5.平行向量〔也叫共线向量〕：方向一样或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定：零向量和任何向量平行.注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！〔因为有0)； ④三点A B C 、、共线 AB AC ⇔、共线. 6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a 的相反向量记作a -.举例2 如以下命题：〔1〕假设||||a b =，那么a b =.〔2〕两个向量相等的充要条件是它们的起点一样，终点一样. 〔3〕假设AB DC =，那么ABCD 是平行四边形. 〔4〕假设ABCD 是平行四边形，那么AB DC =. 〔5〕假设a b =，b c =，那么a c =. 〔6〕假设//a b ，//b c 那么//a c .其中正确的选项是 . 结果：〔4〕〔5〕二、向量的表示方法1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；2.符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；3.坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向一样的两个单位向量,i j 为基底，那么平面内的任一向量a 可表示为(,)a xi yj x y =+=，称(,)x y 为向量a 的坐标，(,)a x y =叫做向量a 的坐标表示.结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标一样.三、平面向量的根本定理定理 设12,e e 同一平面内的一组基底向量，a 是该平面内任一向量，那么存在唯一实数对12(,)λλ，使1122a e e λλ=+.〔1〕定理核心：1122a λe λe =+；〔2〕从左向右看，是对向量a 的分解，且表达式唯一；反之，是对向量a 的合成.〔3〕向量的正交分解：当12,e e 时，就说1122a λe λe =+为对向量a 的正交分解．举例3 〔1〕假设(1,1)a =，(1,1)b =-，(1,2)c =-，那么c = . 结果：1322a b -. 〔2〕以下向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 BA.1(0,0)e =，2(1,2)e =- B.1(1,2)e =-，2(5,7)e = C.1(3,5)e =，2(6,10)e =D.1(2,3)e =-，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭〔3〕,AD BE 分别是ABC △的边BC ，AC 上的中线,且AD a =，BE b =,那么BC 可用向量,a b 表示为 . 结果：2433a b +. 〔4〕ABC △中，点D 在BC 边上，且2CD DB =，CD rAB sAC =+，那么r s +=的值是 . 结果：0. 四、实数与向量的积实数λ与向量a 的积是一个向量，记作a λ，它的长度和方向规定如下：〔1〕模：||||||a a λλ=⋅；〔2〕方向：当0λ>时，a λ的方向与a 的方向一样，当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反，当0λ=时，0a λ=，注意：0a λ≠.五、平面向量的数量积1.两个向量的夹角：对于非零向量a ，b ，作OA a =，OB b =，那么把(0)AOB θθπ∠=≤≤称为向量a ，b 的夹角.当0θ=时，a ，b 同向；当θπ=时，a ，b 反向；当2πθ=时，a ，b 垂直.2.平面向量的数量积：如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ叫做a 与b 的数量积〔或内积或点积〕，记作：a b ⋅，即||||cos a b a b θ⋅=⋅.规定：零向量与任一向量的数量积是0.注：数量积是一个实数，不再是一个向量.举例4 〔1〕ABC △中，||3AB =，||4AC =，||5BC =，那么AB BC ⋅=_________. 结果：9-.〔2〕11,2a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，10,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，c a kb =+，d a b =-，c 与d 的夹角为4π，那么k = ____. 结果：1.〔3〕||2a =，||5b =，3a b ⋅=-，那么||a b +=____.〔4〕,a b 是两个非零向量，且||||||a b a b ==-，那么a 与a b +的夹角为____. 结果：30.3.向量b 在向量a 上的投影：||cos b θ，它是一个实数，但不一定大于0.举例5 ||3a =，||5b =，且12a b ⋅=，那么向量a 在向量b 上的投影为______. 结果：125. 4.a b ⋅的几何意义：数量积a b ⋅等于a 的模||a 与b 在a 上的投影的积.5.向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，那么： 〔1〕0a b a b ⊥⇔⋅=；〔2〕当a 、b 同向时，||||a b a b ⋅=⋅，特别地，222||||a a a a a a =⋅=⇔=； ||||a b a b ⋅=⋅是a 、b 同向的充要分条件；当a 、b 反向时，||||a b a b ⋅=-⋅，||||a b a b ⋅=-⋅是a 、b 反向的充要分条件；当θ为锐角时，0a b ⋅>，且a 、b 不同向，0a b ⋅>是θ为锐角的必要不充分条件；当θ为钝角时，0a b ⋅<，且a 、b 不反向；0a b ⋅<是θ为钝角的必要不充分条件.〔3〕非零向量a ，b 夹角θ的计算公式：cos ||||a b a b θ⋅=；④||||a b a b ⋅≤.举例6 〔1〕(,2)a λλ=，(3,2)b λ=，如果a 与b 的夹角为锐角，那么λ的取值范围是______. 结果：43λ<-或0λ>且13λ≠； 〔2〕OFQ △的面积为S ，且1OF FQ ⋅=，假设12S <，那么OF ，FQ 夹角θ的取值范围是_________. 结果：,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭； 〔3〕(cos ,sin )a x x =，(cos ,sin )b y y =，且满足||3||ka b a kb +=-〔其中0k >〕.①用k 表示a b ⋅；②求a b ⋅的最小值，并求此时a 与b 的夹角θ的大小.结果：①21(0)4k a b k k +⋅=>；②最小值为12，60θ=. 六、向量的运算1.几何运算 〔1〕向量加法运算法那么：①平行四边形法那么；②三角形法那么.运算形式：假设AB a =，BC b =，那么向量AC 叫做a 与b 的和，即a b AB BC AC +=+=；作图：略.注：平行四边形法那么只适用于不共线的向量. 〔2〕向量的减法运算法那么：三角形法那么.运算形式：假设AB a =，AC b =，那么a b AB AC CA -=-=，即由减向量的终点指向被减向量的终点.作图：略.注：减向量与被减向量的起点一样.举例7 〔1〕化简：①AB BC CD ++= ；②AB AD DC --= ；③()()AB CD AC BD ---= . 结果：①AD ；②CB ；③0；〔2〕假设正方形ABCD 的边长为1，AB a =，BC b =，AC c =，那么||a b c ++= . 结果：〔3〕假设O 是ABC △所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-，那么ABC △的形状为. 结果：直角三角形；〔4〕假设D 为ABC △的边BC 的中点，ABC △所在平面内有一点P ，满足0PA BP CP ++=，设||||AP PD λ=，那么λ的值为 . 结果：2； 〔5〕假设点O 是ABC △的外心，且0OA OB CO ++=，那么ABC △的内角C为 . 结果：120.2.坐标运算：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，那么〔1〕向量的加减法运算：1212(,)a b x x y y +=++，1212(,)a b x x y y -=--. 举例8 〔1〕点(2,3)A ，(5,4)B ，(7,10)C ，假设()AP AB AC λλ=+∈R ，那么当λ=____时，点P 在第一、三象限的角平分线上. 结果：12； 〔2〕(2,3)A ，(1,4)B ，且1(sin ,cos )2AB x y =，,(,)22x y ππ∈-，那么x y += .结果：6π或2π-； 〔3〕作用在点(1,1)A 的三个力1(3,4)F =，2(2,5)F =-，3(3,1)F =，那么合力123F F F F =++的终点坐标是 . 结果：(9,1).〔2〕实数与向量的积：1111(,)(,)a x y x y λλλλ==.〔3〕假设11(,)A x y ，22(,)B x y ，那么2121(,)AB x x y y =--，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.举例9 设(2,3)A ，(1,5)B -，且13AC AB =，3AD AB =，那么,C D 的坐标分别是__________. 结果：11(1,),(7,9)3-. 〔4〕平面向量数量积：1212a b x x y y ⋅=+.举例10 向量(sin ,cos )a x x =，(sin ,sin )b x x =，(1,0)c =-. 〔1〕假设3x π=，求向量a 、c 的夹角； 〔2〕假设3[,]84x ππ∈-，函数()f x a b λ=⋅的最大值为12，求λ的值.结果：〔1〕150；〔2〕12或1.〔5〕向量的模：222222||||a a x y a x y ==+⇔=+. 举例11 ,a b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3|a b +=＝ .〔6〕两点间的距离：假设11(,)A x y ，22(,)B x y ，那么||AB 举例12 如图，在平面斜坐标系xOy 中，xOy ∠=P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：假设12OP xe ye =+，其中1e 分别为与y 轴同方向的单位向量，那么P 点斜坐标为(,)x y .〔1〕假设点P 的斜坐标为(2,2)-，求P 到O 的距离||PO ；〔2〕求以O 为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程. 结果：〔1〕2；〔2〕2210x y xy ++-=. 七、向量的运算律1.交换律：a b b a +=+，()()a a λμλμ=，a b b a ⋅=⋅；2.结合律：()a b c a b c ++=++，()a b c a b c --=-+，()()()a b a b a b λλλ=⋅=⋅；3.分配律：()a a a λμλμ+=+，()a b a b λλλ+=+，()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅.举例13 给出以下命题：① ()a b c a b a c ⋅-=⋅-⋅；② ()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅；③60222()||2||||||a b a a b b -=-+；④ 假设0a b ⋅=，那么0a =或0b =；⑤假设a b c b ⋅=⋅那么a c =；⑥22||a a =；⑦2a b b a a⋅=；⑧222()a b a b ⋅=⋅；⑨222()2a b a a b b -=-⋅+. 其中正确的选项是 . 结果：①⑥⑨.说明：〔1〕向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；〔2〕向量的“乘法〞不满足结合律，即()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅，为什么？ 八、向量平行(共线)的充要条件举例14 (1)假设向量(,1)a x =，(4,)b x =，当x =_____时，a 与b 共线且方向一样. 结果：2.〔2〕(1,1)a =，(4,)b x =，2u a b =+，2v a b =+，且//u v ，那么x = . 结果：4.〔3〕设(,12)PA k =，(4,5)PB =，(10,)PC k =，那么k = _____时，,,A B C 共线. 结果：2-或11.九、向量垂直的充要条件特别地||||||||ABAC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫+⊥- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 举例15 (1)(1,2)OA =-，(3,)OB m =，假设OA OB ⊥，那么m = .结果：32m =； 〔2〕以原点O 和(4,2)A 为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，90B ∠=︒，那么点B 的坐标是 .结果：(1,3)或〔3，－1〕〕；〔3〕(,)n a b =向量n m ⊥，且||||n m =，那么m =的坐标是 .结果：(,)b a -或(,)b a -. 十、线段的定比分点1.定义：设点P 是直线12PP 上异于1P 、2P 的任意一点，假设存在一个实数λ ，使12PP PP λ=，那么实数λ叫做点P 分有向线段12P P 所成的比λ，P 点叫做有向线段12P P 的以定比为λ的定比分点.2.λ的符号与分点P 的位置之间的关系 〔1〕P 内分线段12P P ，即点P 在线段12PP 上0λ⇔>； 〔2〕P 外分线段12P P 时，①点P 在线段12PP 的延长线上1λ⇔<-，②点P 在线段12PP 的反向延长线上10λ⇔-<<.注：假设点P 分有向线段12PP 所成的比为λ，那么点P 分有向线段21P P 所成的比为1λ.举例16 假设点P 分AB 所成的比为34，那么A 分BP 所成的比为 . 结果：73-. 3.线段的定比分点坐标公式：设111(,)P x y ，222(,)P x y ，点(,)P x y 分有向线段12P P 所成的比为λ，那么定比分点坐标公式为1212,1(1).1x x x y y y λλλλλ+⎧=⎪⎪+≠-⎨+⎪=⎪+⎩. 特别地，当1λ=时，就得到线段12PP 的中点坐标公式1212,2.2x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 说明：〔1〕在使用定比分点的坐标公式时，应明确(,)x y ，11(,)x y 、22(,)x y 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标.〔2〕在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比λ.举例17 〔1〕假设(3,2)M --，(6,1)N -，且13MP MN =-，那么点P 的坐标为 . 结果：7(6,)3--； 〔2〕(,0)A a ，(3,2)B a +，直线12y ax =与线段AB 交于M ，且2AM MB =，那么a =. 结果：２或4-. 十一、平移公式如果点(,)P x y 按向量(,)a h k =平移至(,)P x y ''，那么,.x x h y y k '=+⎧⎨'=+⎩；曲线(,)0f x y =按向量(,)a h k =平移得曲线(,)0f x h y k --=. 说明：〔1〕函数按向量平移与平常“左加右减〞有何联系？〔2〕向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！举例18 〔1〕按向量a 把(2,3)-平移到(1,2)-，那么按向量a 把点(7,2)-平移到点______. 结果：(8,3)-；〔2〕函数sin 2y x =的图象按向量a 平移后，所得函数的解析式是cos21y x =+，那么a =________. 结果：(,1)4π-. 十二、向量中一些常用的结论1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；2.模的性质：||||||||||a b a b a b -≤+≤+.〔1〕右边等号成立条件： a b 、同向或 a b 、中有0||||||a b a b ⇔+=+；〔2〕左边等号成立条件： a b 、反向或 a b 、中有0||||||a b a b ⇔-=+； 〔3〕当 a b 、不共线||||||||||a b a b a b ⇔-<+<+. 3.三角形重心公式在ABC △中，假设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，那么其重心的坐标为123123(,)33x x x y y y G ++++. 举例19 假设ABC △的三边的中点分别为(2,1)A 、(3,4)B -、(1,1)C --，那么ABC△的重心的坐标为 .结果：24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭. 5.三角形“三心〞的向量表示〔1〕1()3PG PA PB PC G =++⇔为△ABC 的重心，特别地0PA PB PC G++=⇔为△ABC 的重心.〔2〕PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为△ABC 的垂心.〔3〕||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔为△ABC 的内心；向量(0)||||ABAC AB AC λλ⎛⎫+≠ ⎪⎪⎝⎭所在直线过△ABC 的内心. 6.点P 分有向线段12P P 所成的比λ向量形式设点P 分有向线段12P P 所成的比为λ，假设M 为平面内的任一点，那么121MP MP MP λλ+=+，特别地P 为有向线段12P P 的中点122MP MP MP +⇔=.7. 向量,,PA PB PC 中三终点,,A B C 共线⇔存在实数,αβ，使得PA PB PC αβ=+且1αβ+=．举例20 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，两点(3,1)A ，(1,3)B -，假设点C 满足12OC OA OB λλ=+,其中12,λλ∈R 且121λλ+=,那么点C 的轨迹是 . 结果：直线AB .。
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平面向量复习基本知识点及经典结论总结1、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a 的相反向量是－a 。
如下列命题：（1）若a b =，则a b =。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。
（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。
（5）若,a b b c ==，则a c =。
（6）若//,//a b b c ，则//a c 。
其中正确的是_______（答：（4）（5））2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。
如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
3.平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。
如（1）若(1,1),a b ==(1,1),(1,2)c -=-，则c =______（答：1322a b -）；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. 12(0,0),(1,2)e e ==- B. 12(1,2),(5,7)e e =-= C. 12(3,5),(6,10)e e == D. 1213(2,3),(,)24e e =-=-（答：B ）；（3）已知,AD BE 分别是ABC ∆的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==,则BC 可用向量,a b 表示为_____（答：2433a b +）；（4）已知ABC ∆中，点D 在BC 边上，且−→−−→−=DB CD 2，−→−−→−−→−+=AC s AB r CD ，则s r +的值是___（答：0） 4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下：()()1,2a a λλ=当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反，当λ＝0时，0a λ=，注意：λa ≠0。
5、平面向量的数量积：（1）两个向量的夹角：对于非零向量a ，b ，作,OA a OB b ==，AOB θ∠=()0θπ≤≤称为向量a ，b 的夹角，当θ＝0时，a ，b 同向，当θ＝π时，a ，b 反向，当θ＝2π时，a ，b 垂直。
（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ叫做a 与b 的数量积（或内积或点积），记作：a •b ，即a •b ＝cos a b θ。
规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。
如（1）△ABC 中，3||=−→−AB ，4||=−→−AC ，5||=−→−BC ，则=⋅BC AB _________（答：－9）；（2）已知11(1,),(0,),,22a b c a kb d a b ==-=+=-，c 与d 的夹角为4π，则k 等于____（答：1）；（3）已知2,5,3a b a b ===-，则a b +等于____）；（4）已知,a b 是两个非零向量，且a b a b ==-，则与a a b +的夹角为____（答：30）（3）b 在a 上的投影为||cos b θ，它是一个实数，但不一定大于0。
如已知3||=→a ，5||=→b ，且12=⋅→→b a ，则向量→a 在向量→b 上的投影为______（答：512） （4）a •b 的几何意义：数量积a •b 等于a 的模||a 与b 在a 上的投影的积。
（5）向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，则： ①0a b a b ⊥⇔•=；②当a ，b 同向时，a •b ＝a b ，特别地，222,a a a a a a =•==；当a 与b 反向时，a •b ＝－a b ；当θ为锐角时，a •b ＞0，且 a b 、不同向，0a b ⋅>是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，a •b ＜0，且 a b 、不反向，0a b ⋅<是θ为钝角的必要非充分条件；③非零向量a ，b 夹角θ的计算公式：cos a ba bθ•=；④||||||a b a b •≤。
如（1）已知)2,(λλ=→a ，)2,3(λ=→b ，如果→a 与→b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______（答：43λ<-或0λ>且13λ≠）；（2）已知OFQ ∆的面积为S ，且1=⋅−→−−→−FQ OF ，若2321<<S ，则−→−−→−FQ OF ,夹角θ的取值范围是_________（答：(,)43ππ）；（3）已知(cos ,sin ),(cos ,sin ),a x x b y y ==a 与b 之间有关系式3,0ka b a kb k +=->其中，①用k 表示a b ⋅；②求a b ⋅的最小值，并求此时a 与b 的夹角θ的大小（答：①21(0)4k a b k k +⋅=>；②最小值为12，60θ=）6、向量的运算： （1）几何运算：①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设,AB a BC b ==，那么向量AC 叫做a 与b 的和，即a b AB BC AC +=+=；②向量的减法：用“三角形法则”：设,,AB a AC b a b AB AC CA ==-=-=那么，由减向量的终点指向被减向量的终点。
注意：此处减向量与被减向量的起点相同。
如（1）化简：①AB BC CD ++=___；②AB AD DC --=____；③()()AB CD AC BD ---=_____（答：①AD ；②CB ；③0）；（2）若正方形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c ===，则||a b c ++＝_____（答：）；（3）若O 是ABC 所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-，则ABC 的形状为____（答：直角三角形）；（4）若D 为ABC ∆的边BC 的中点，ABC ∆所在平面内有一点P ，满足0PA BP CP ++=，设||||AP PD λ=，则λ的值为___（答：2）；（5）若点O 是ABC △的外心，且0OA OB CO ++=，则ABC △的内角C 为____（答：120）；（2）坐标运算：设1122(,),(,)a x y b x y ==，则：①向量的加减法运算：12(a b x x ±=±，12)y y ±。
如（1）已知点(2,3),(5,4)A B ，(7,10)C ，若()AP AB AC R λλ=+∈，则当λ＝____时，点P 在第一、三象限的角平分线上（答：12）；（2）已知1(2,3),(1,4),(sin ,cos )2A B AB x y =且，,(,)22x y ππ∈-，则x y += （答：6π或2π-）；（3）已知作用在点(1,1)A 的三个力123(3,4),(2,5),(3,1)F F F ==-=，则合力123F F F F =++的终点坐标是 （答：（9,1））②实数与向量的积：()()1111,,a x y x y λλλλ==。
③若1122(,),(,)A x y B x y ，则()2121,AB x x y y =--，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。
如设(2,3),(1,5)A B -，且13AC AB =，3AD AB =，则C 、D 的坐标分别是__________（答：11(1,),(7,9)3-）； ④平面向量数量积：1212a b x x y y •=+。
如已知向量a ＝（sinx ，cosx ）, b ＝（sinx ，sinx ）, c ＝（－1，0）。
（1）若x ＝3π，求向量a 、c 的夹角；（2）若x ∈]4,83[ππ-，函数b a x f ⋅=λ)(的最大值为21，求λ的值（答：1(1)150;(2)2或21--）； ⑤向量的模：222222||,||a x y a a x y =+==+。
如已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3|a b +＝_____（答：13）；⑥两点间的距离：若()()1122,,,A x y B x y ，则()()222121||AB x x y y =-+-。
如如图，在平面斜坐标系xOy中，60xOy ∠=，平面上任一点P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若12OP xe ye =+，其中12,e e 分别为与x 轴、y 轴同方向的单位向量，则P 点斜坐标为(,)x y 。
（1）若点P 的斜坐标为（2，－2），求P 到O 的距离｜PO ｜；（2）求以O 为圆心，1为半径2210x y xy ++-=）；的圆在斜坐标系xOy 中的方程。
（答：（1）2；（2）7、向量的运算律：（1）交换律：a b b a +=+，()()a a λμλμ=，a b b a •=•；(2)结合律：()(),a b c a b c a b c a b c ++=++--=-+，()()()a b a b a b λλλ•=•=•；（3）分配律：()(),a a a a b a b λμλμλλλ+=++=+，()a b c a c b c +•=•+•。