第2讲 概率

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5．在某校高三年级的高考全真模拟考试中，所有学生考试成绩的取值 X(单位： 分)是服从正态分布 N(502,144)的随机变量，模拟“重点控制线”为 490 分(490 分及 490 分以上都是重点)，若随机抽取该校一名高三考生，则这位同学的成绩不低于“重点控 制线”的概率为_0__.8_4_1__3___．
1.52×0.3＝1.45，所以 DX4＝ 1.45.所以 B 中的标准差最大．
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考点❶古典概型☆☆
【典例】 (1)党的十九大报告指出，建设教育强国是中华民族伟大复兴的基础工
程，必须把教育事业放在优先位置，深化教育资源的均衡发展．现有 4 名男生和 2 名女
生主动申请毕业后到两所偏远山区小学任教．将这 6 名毕业生全部进行安排，每所学校
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2．甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人获一等奖的概率分
别为23和34，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖
的概率为( D )
3
2
A.4
B.3
5
5
C.7
D.12
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解析 根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获 得，则所求概率是23×1－34＋34×1－23＝152.故选 D.
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2．(2020·全国卷Ⅲ)在一组样本数据中，1,2,3,4 出现的频率分别为 p1，p2，p3，p4，
4
且 pi＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是( B )
i＝1 A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4 B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1 C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3 D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2
2.5)2×0.3 ＋ (3 － 2.5)2×0.3 ＋ (4 － 2.5)2×0.2 ＝ 1.52×0.2 ＋ 0.52×0.3 ＋ 0.52×0.3 ＋
1.52×0.2＝1.05，所以 DX3＝ 1.05.
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对于 D，当 p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2 时，随机变量 X4 的分布列为
抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是( C )
5
4
A.18
B.9
5
7
C.9
D.9
解析 依题意，得 P(抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同)＝5× C924＝59.
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2．一个口袋中装有 5 个白球和 3 个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出 3
2 个球，则至少摸到 2 个黑球的概率为_____7_____．
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3．若离散型随机变量 X 的分布列如表，则常数 c 的值为( C )
X
0
1
P 9c2－c 3－8c
A.23或13
2 B.3
1 C.3
D．1
解析 由随机变量的分布列的性质知，0≤9c2－c≤1,0≤3－8c≤1,9c2－c＋3－ 8c＝1，解得 c＝13.故选 C.
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2．(2020·天津卷)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入
1 盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_____6_____；甲、乙两球至少有一
2 个落入盒子的概率为____3______．
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解析 依题意得，甲、乙两球都落入盒子的概率为12×13＝16，甲、乙两球都不落入 盒子的概率为1－12×1－13＝13.则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 1－13＝23.
至少安排 2 名毕业生，则每所学校男女毕业生至少安排一名的概率为( C )
4
2
A.25
B.5
14
4
C.25
D.5
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解析 由题意，将这六名毕业生全部进行安排，每所学校至少 2 名毕业生，基本 事件的总数为 N＝C26＋CA63C22 33×A22＝50.
每所学校男女毕业生至少安排一名共有 2 类情况； 一是其中一个学校安排一女一男，另一个学校有一女三男，有 C12C14A22＝16(种)， 二是其中一个学校安排一女二男，另一个学校有一女二男，有 C12C24＝12(种)， 共有 16＋12＝28(种)． 所以所求概率为 P＝2580＝1245.
2.5)2×0.4 ＋ (3 － 2.5)2×0.4 ＋ (4 － 2.5)2×0.1 ＝ 1.52×0.1 ＋ 0.52×0.4 ＋ 0.52×0.4 ＋
1.52×0.1＝0.65，所以 DX1＝ 0.65.
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对于 B，当 p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1 时，随机变量 X2 的分布列为
X4
1
2
3
4
P
0.3
0.2
0.2
0.3
E(X4) ＝ 1×0.3 ＋ 2×0.2 ＋ 3×0.2 ＋ 4×0.3 ＝ 2.5 ， D(X4) ＝ (1 － 2.5)2×0.3 ＋ (2 －
2.5)2×0.2 ＋ (3 － 2.5)2×0.2 ＋ (4 － 2.5)2×0.3 ＝ 1.52×0.3 ＋ 0.52×0.2 ＋ 0.52×0.2 ＋
X2
1
2
3
Fra Baidu bibliotek
4
P 0.4 0.1 0.1 0.4
E(X2) ＝ 1×0.4 ＋ 2×0.1 ＋ 3×0.1 ＋ 4×0.4 ＝ 2.5 ， D(X2) ＝ (1 － 2.5)2×0.4 ＋ (2 －
2.5)2×0.1 ＋ (3 － 2.5)2×0.1 ＋ (4 － 2.5)2×0.4 ＝ 1.52×0.4 ＋ 0.52×0.1 ＋ 0.52×0.1 ＋
11 B.32
11 D.16
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解析 重卦是由从下到上排列的 6 个爻组成，而爻有“阳爻”和“阴爻”两种， 故所有的重卦共有 26＝64 种．重卦中恰有 3 个“阳爻”的共有 C36×C33＝20 种．故所 求概率 P＝2604＝156，故选 A.
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解析 对于 A，当 p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4 时，随机变量 X1 的分布列为
X1
1
2
3
4
P 0.1 0.4 0.4 0.1
E(X1) ＝ 1×0.1 ＋ 2×0.4 ＋ 3×0.4 ＋ 4×0.1 ＝ 2.5 ， D(X1) ＝ (1 － 2.5)2×0.1 ＋ (2 －
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某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为 0.8,0.7,0.6，只有通过前一 关才能进入下一关，且每关通过与否相互独立．一选手参加该节目，则该选手只闯过 前两关的概率为( D )
A．0.56 B．0.336 C．0.32 D．0.224
解析 该选手只闯过前两关的概率为 0.8×0.7×(1－0.6)＝0.224.
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利用古典概型求概率的关键及注意点 (1)关键：正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数，这常常用到排 列、组合的有关知识． (2)注意点：对于较复杂的题目计数时要正确分类，分类时应不重不漏．
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从分别标有 1,2，…，9 的 9 张卡片中不放回地随机抽取 2 次，每次抽取 1 张，则
民开展“参观体验，征求意见”活动，市民可以通过济南地铁 APP 抢票．小陈抢到了
三张体验票，准备从四位朋友小王、小张、小刘、小李中随机选择两位与自己一起去参
加体验活动，则小王和小李至多一人被选中的概率为( D )
1
1
A.6
B.3
2
5
C.3
D.6
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解析 小王和小李至多 1 人被选中的对立事件为小王和小李都被选中．设 A＝{小 王和小李至多 1 人被选中}，B＝{小王和小李都被选中}，则 B 包含 1 个基本事件，所 以 P(A)＝1－P(B)＝1－CC4222＝56.故选 D.
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(2)电路从 A 到 B 上共连接着 6 个灯泡(如图)，每个灯泡断路的概率是13，整个电 路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从 A 到 B 连通的概率是( B )
10 A.27
100 C.243
448 B.729
40 D.81
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解析 由题可知，AC 之间未连通的概率是132＝19，连通的概率是 1－19＝89.EF 之 间连通的概率是232＝49，未连通的概率是 1－49＝59，故 CB 之间未连通的概率是592＝2851， 故 CB 之间连通的概率是 1－2851＝5861，故 AB 之间连通的概率是89×5861＝474289.
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[自测 B——提能] 1.(2019·全国卷Ⅰ)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦” 由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重 卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 3 个阳爻的概率是( A )
5 A.16
21 C.32
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(2)在 1,2,3,4,5,6,7,8 这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字 5 是取出的五个
不同数的中位数的概率为( B )
9
9
A.56
B.28
9
5
C.14
D.9
解析 分析可知，要满足题意，则抽取的除 5 以外的四个数字中，有两个比 5 小，有两个比 5 大，故所求概率 P＝CC24·C58 23＝298.
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4．已知一种元件的使用寿命超过 1 年的概率为 0.8，超过 2 年的概率为 0.6，若一 个这种元件使用到 1 年时仍然完好，则这个元件使用寿命超过 2 年的概率为 ___0_.7__5____．
解析 设事件 A 表示“一个这种元件使用寿命超过 2 年”，事件 B 表示“一 个这种元件使用寿命超过 1 年”，由题知 P(AB)＝0.6，P(B)＝0.8，P(A|B)＝PPABB＝ 00..68＝0.75.
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求相互独立事件和独立重复试验的概率的注意点 (1)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，分析复杂事件能转化为几个 彼此互斥事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概 率公式求解． (2)注意辨别独立重复试验的基本特征：①在每次试验中，试验结果只有发生与不 发生两种情况；②在每次试验中，事件发生的概率相同．
(附：若随机变量 X 服从正态分布 N(μ，σ2)，则 P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.682 6，P(μ －2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.997 4)
解析 ∵X～N(502,122)，∴P(X＞490)＝0.6282 6＋0.5＝0.841 3.
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到的是奇数”，B＝“第二次取到的是奇数”，则 P(B|A)等于( A )
1
2
A.2
B.5
3
1
C.10
D.5
第23页
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解析
5 由题意得 P(A)＝CA51C29 81＝59，P(AB)＝CA51C29 41＝158，∴P(B|A)＝PPAAB＝158＝12.
9
第24页
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解析 从中摸出 3 个球，摸到 2 个黑球的概率为 P1＝CC23C38 15，摸到 3 个黑球的概 率为 P2＝CC3338，所以至少摸到 2 个黑球的概率为 P＝P1＋P2＝C23CC15＋38 C33＝27.
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考点❷条件概率与相互独立事件☆☆
【典例】 (1)从 1,2,3,4,5,6,7,8,9 中不放回地依次取 2 个数，事件 A＝“第一次取
绿色通道 衡水重点中学名师倾力打造 大二轮 • 数学 N
第二部分 突破热考题型 提升关键能力
板块二 核心考点 专题突破 专题五 统计与概率
第2讲 概率 (小题攻略)
目 录
课前自测 1 课堂探究 2
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[自测 A——夯基]
1．2019 年 1 月 1 日，济南轨道交通 1 号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市
1.52×0.4＝1.85，所以 DX2＝ 1.85.
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对于 C，当 p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3 时，随机变量 X3 的分布列为
X3
1
2
3
4
P 0.2 0.3 0.3 0.2
E(X3) ＝ 1×0.2 ＋ 2×0.3 ＋ 3×0.3 ＋ 4×0.2 ＝ 2.5 ， D(X3) ＝ (1 － 2.5)2×0.2 ＋ (2 －