第四章 第一讲 电场强度及其计算

q2
F12

F12
q1
r0
r12
F21
d
q2

F21
2.库仑定律的表述 方向：两者的连线上 与成 且 矢大它反 同 量小F2们真比 性 式:1 电空F； 电 ：12定量中作荷F1义F的，2用相21q乘两力斥1kk指积个的，qrq11向1r2q成点1方异2q2222q正电向性r02 同的比荷在电单性，之两荷位相与间点 相矢斥其的电 吸量，距相.荷r异0离互的性的作连rr相平11用线22 吸方力上. 4
正负电荷的代数和在任何物理过程中保持不变.
（自然界的基本守恒定律之一）
例如铀核的放射性衰变,
U 238
92
234 90
Tn
42
He
电荷的相对论不变性：
电荷的电量与其运动状态无关；即与参照系的选择无关.
3
二、库仑定律 1785 库仑扭秤实验
1.点电荷模型
q1
r0
（d r12）
r12
矢量式：
F21

F12

k
q1q2 r122
r0
SI制中 k 9.0109 N m2 C2
令k 1 4π0
0 :称为真空电容率或介电常量.
三、电场强度
1.静电场 库仑力是怎样实现的呢？
即库仑力是通过电荷激发的特殊物质--电场对电荷作用来传递的.
电荷1
电电场场
电荷2
3. 电场强度的计算与叠加原理(重点)
1)点电荷的场强公式
F
qq0
E
40 F
r2
q
q0 40
r0
r2
r0
q +定r义0 ：r矢0 径rrr

P
+ q0
E
F
q 场0源, E指与向r0同场点向;的单q <位0矢?量.
2)E－点－电点qF0－荷电场荷系qF01场强的强叠场Fq公02加强式原理熟Fq记0n设一in点1 非E电qi 均荷匀系r场0 :+,但q1具r有球EE2对称q+P0性P•En.
Ex 0
E Ey 20a j
无限长均匀带电直线场强公式
E

r
圆柱对称
E
20r 2
+ + +
+r
+ + + + +
12
例2 一均匀带电半圆环，半径为R，总的电荷量为Q，求环心O
处场强. 解： 建立图示坐标
Q R
Y
d
Q
dl
分割带电体,任取一dl, 带电 dq =dl
—
= ——q —
40 x 2
2) R0 或 x <<R0 无限大均匀带电平面
x
x x2 R02
R0 1 (x / R0 )2

x R0
(1
1 2
x2 R02
)
0
E
2 0
匀强电场!
均匀带电平面中部附近的场可视为无 >0
<0
限大均匀带电平面产生的匀强电场！

Y dl
+
++
R +
+
+ O+ Z+ +
+
r x
带电 dq =dl
v d E'
P •
d Ex X

dE= 4——d0l—r 2

建立坐标系 分解 d E
d Ex d E cos
d Ex
dE
d Ex d E sin
由对称性 Ex =dEx = 0
d Ex
P
dE
dEx =dE cos = —4—d0l—r 2 —rx = —4—x0—(xd2—+l R—2)—3/2
2

E
AE
•
X
E
E 40(x l 2)2 i
x
E E E
l x
q[ 40
E
1 (x l 2)2
1
4 0

(x
1 l
2)2
]
2 p x3
与
i
1
40
p同向
(x2
2qlx l2
4)2
i
10
例2. 一均匀带正电直线，长为L, 总电荷为 q，线外一点P离直
电场
试验电荷的条件:
F q0
E A、试验电荷电量 q0 足够小;
+
B、q0 的几何尺寸足够小.
定电注试2n3义场意qqqq验0000 ：强：表度12明))n23FFFF若E:EE是比1大2())的一x值.把小在,q大Fy同个随电q0F,小v0一z之矢场)和只试已改中N量方是验变知任C点向电电，一1,函一场或则荷但给般空数q电V比定都间0，值m点荷放不位与，1Fq在相置意受改qq电同（00义力变的场无.场：为大中q点关0小不:）F方.不的同的向变大点矢：q.小，量E,比点力值F函 数F的.q0
间有一宽为a 的细长缝。求 x 轴上一点P处的电场强度。
解：

E

i
a
i
20 20 x
O
E线
Ex
d Ex

2R
x
0 40(x2 R2)3 2 dl

qx
40 (x2 R2 )3 2
垂直 x 轴向的 分量抵消了！
x
E
Ex

qx
40 (x2
R2 )3
2
i 沿轴向！
14
例5：求均匀带电薄圆盘轴线上与盘心O相距为 x 的任一点P处
的场强. 设盘的半径为R0，电荷面密度为 .
qx
40 (x2
R2 )3 2
i
15
dR
R
O
x
R0
E

(1
x
)i
2 0
x2

R2 0
P•
Ex
讨论：1) x >>R0时，点电荷的场强
x

x2 R02
1 1 (R0 / x)2
1
1 2
R02 x2
E

2 0
(1 1
R02 2x2
)

R02 4 0 x2
第一讲
本讲主要内容： 库仑定律 电场强度及其计算
§4.1 电场强度
一、基本电现象 电荷的量子化 电荷守恒定律
任何带电体电荷值 q ne (n 1,2,3, )
电子电荷绝对值 e 1.601019C
说明：研究宏观电磁现象时不必考虑电荷量子化问题. 电荷守恒定律：在一个与外界没有电荷交换的系统中,
第二部分 电磁学(Electromagnetism)
电磁学---研究电磁现象及其规律的科学.
主要内容：
静电场 真空中静电场的描述及重要性质. 静电场中的导体、电介质、能量.
稳恒磁场 真空中恒定电流的磁场的描述及重要性质. 磁场中的磁介质、能量.
电磁感应 及电磁场
电磁感应基本规律及电磁场的特点.
1
第四章 静电场 (Static Electric Field in Vacuum )
积分 Ex d Ex Ey d Ey Ez d Ez
合成
E
Exi Ey j Ezk
8
元场强
dE
1
4 π0
dq r 2 r0
总场强
E

dE
Q
注意:(2) 上式中dE与dq的形式要依具体电荷分布而定;
S 电a重定电cb))若)荷d点体义面荷电q体分：分:面荷电密布布掌作密荷度握d线度线l分无线无密布穷穷、d度多dE多面qd个个q无分d体4面V穷d布π1元元Sdd多的0qq个dd/计VSdr线ddq2l算l元dVr.0dd若lS均匀分d+S布++:++d+QV+++++ddQ+Q+qq++/L++++dd+q+l++L
1. 电场强度的定义及计算; §4.1 本章主要内容： 2. 电场强度通量 高斯定理; §4.2;
3. 场强环路定理 电势的定义及计算 §4.3
教学基本要求:
1. 掌握两个重要物理量——电场强度和电势 的定义和计算(重 难点).
2. 理解两个重要定理——静电场的高斯定理和环路定理 (重点).
第四章 静电场
4 0 a
cosd
i
dEy

sind 4 0 a
j
dx=—si—na2— d r2 =( —sina— )2 11


d E
dy Ey

d Ex •
P
r a
+
Ex
+1 +
12 d
+ + +O +
Ex 40a
+
x (sin
线的垂直距离为a，P点和直线两端的连线与直线之间的夹角分
别为d1和E2.求dYP点Ey的场分强割解.带：电电体荷, 线在密距度O点
=
x
q —L—
建立图示坐标,
处任取一 线元dx
d ExP•
元场强 dE= ——dq-— = ——dx-—
+ +1

+
+
a
+ +O +
r
dq
++++++
其产生的元场强为
dE
1
4 π0
dq r2
r0
总场强
E
i 1
dEi
dE
Q
1
4 π0
Q
dq r2
r0
r
P
dE
注意:
(1) 上式是矢量积分，一般要在坐标系中化为分量积分.
具体解法 ：分解 d E d Ex d Ey d Ez
E1
点电荷系激发的电场中，某点处总场-强等于各点电荷
单独存在时在该点所激发的场强的矢量和q2 .
+ qn
7
3) 电荷连续分布的带电体的场强(重难点)
不能看成点电荷的带电体可以看成点电荷系. 无限分割带电体
无穷多个无限小的电荷元 dq
dq
电荷元 dq 可视为点电荷,
R
O R0
dR
解： 建立图示 坐标，将圆盘分割成无数个 半径不同的均匀带电细圆环！
x
P•
E
x
细利圆用环均带匀电带电dq圆=环d场S强=公 式2 RdR
元场强 方向如图
dE
dE
4
dq x
π0 (x2 R2 )3 2
i
2 0
xRdR (x2 R2 )3
2
i各 d
+

2
E Ex Ey
+


+++
dx
sin 1 )i
+
Ey
+

dEx

4 0 a
cosd
i
dEy

sind 4 0 a
j
2 X
+
2
1
d
Ey

40a
(cos1

cos2
)
j
+
+
讨论：L (或a<<L) 1 = 0, 2 =

无限大带电平面的电场叠加问题 20
20 20
20
叠加后三个区域的场强为
0
0
0 16
讨论
无的 限电 大场 带叠 电加 平问 面题
+
–
+
- -
+

+

-
2 0 + 2 0
2 0 - 2 0
+
-
+
-

0
0
0

0
0
0
17
例6：如图所示，一无限大的带电平板，电荷面密度为 ，但中
9
例1：电偶极子的场强
电偶极子模型
电偶极子的轴
l
电偶极矩(电矩)
(负→正)
p ql
p
r •P
q +q
– + l
l << r
间距 l 很小的一对等量异号电荷
(1) 求电偶极子轴线延长线上某点之场强
E


q
40(x l
q
2)2
i
q O +q
•l/
•
2
l
/
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•
元场强 dE

1
4 0
dq R2

1
4 0
dl
R2
dEx
dE
R
O
dEy
r dEy'
l
r dErx' dE'
X
分解 dE 如图 dEx dE cos
dEy

dE sin



4 0 R
sin
d
dEy dE sin
由对称性 Ex dEx 0 L
库仑力的本质是电场力
F
1
4 0
q1q2 r
r0
1
4 0
q1q2 r3
r
静电场：相对观察者静止的电荷在其周围所激发的电场.
5
三、电场强度
1.静电场
两个基本性质: 1.力的性质 2.功的性质 2为.电了场描述强电度场的的定力义的性质，引入电场强度的概念.
出为发了点描:从述电电场场中的电功荷的的性受质力，特引点入出电发势，的引概入念该. 物理量.
x dx
++

dEx

dEcos(
)

i
dEcos i

dEy dE sin( ) j dEsin j
统一变量 x ? r ? ?
x = acot( ) = acot
2
+

40 r 2 40 r 2
方向如图
分解 d E
X
dEx

统一变量 l ? ?
Ey
dE
y


2
4 0

R

2 sin d
0
1
2 0

R
Q
2 2 0 R 2
dl Rd
E
Ey
Q
2 2 0 R2
j
例4. 电荷 q 均匀地分布在半径为R 的圆环上，求在环的轴线上
任一点 P 的场强.
解：分割带电体,任取一dl,
E均同向.
E
dE

x 2 0
R0 0
RdR (x2 R2 )3/2

x 4 0
R0
d R2
0 (x2 R2 )3/2

x R0
x
(1
)
2 0

E
2 0
x2 R2 0 20
x2 R02
(1
x2
x
R02

)i 沿X轴正向！
E