第一章复数复变函数

第一章复数与复变函数

(Complex number and function of the complex variable)

第一讲

授课题目：§1.1复数

§1.2 复数的三角表示

教学内容：复数的概念、复数的四则运算、复平面、复数的模和辐角、复数的三角不等式、复数的表示、复数的乘方与开方.

学时安排：2学时

教学目标：1、掌握复数的乘方、开方运算及它们的几何意义

2、切实理解掌握复数的辐角

3、掌握复数的表示

教学重点：复数的乘方、开方运算及它们的几何意义

教学难点：复数的辐角

教学方式：多媒体与板书相结合.

P思考题：1、2、3.习题一：1-9

作业布置：

27

板书设计：一、复数的模和辐角

二、复数的表示

三、复数的乘方与开方

参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.

2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高

等教育出版.

课后记事：1、基本掌握复数的乘方、开方运算

2、不能灵活掌握复数的辐角（要辅导）

3、能灵活运用复数的三角表示进行复数的运算

教学过程：

引言

复数的产生和复变函数理论的建立

1、1545年，意大利数学家Cardan在解三次方程时，首先产生了负数开平方的思想.后来，数学家引进了虚数，这在当时是不可接受的.这种状况随着17、18世纪微积分的发明和给出了虚数的几何解析而逐渐好转.

2、1777年，瑞士数学家Euler建立了系统的复数理论，发现了复指数函数和三角函数之间的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，并开始把它们应用到水力学和地图制图学上.用符号i表示虚数单位，也是Euler首创的.

3、19世纪，法国数学家Cauchy、德国数学家 Riemann 和Weierstrass经过努力，建立了系统的复变函数理论，这些理论知直到今天都是比较完善的.

4、20世纪以来，复变函数理论形成了很多分支，如整函数与亚纯函数理论、解析函数的边值问题、复变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论等等，并广泛用于理论物理、弹性物理和天体力学、流体力学、电学等领域.

5、复变函数课程主要任务为研究复变数之间的相互依赖关系.其中许多概念、理论和方法是实变函数在复变函数领域内的推广和发展，在学习过程中要注意它们相似之处和不同之处的比较.

第一章 复数与复变函数

§1.1 复数

(Complex number)

一、 复数的概念（The concept of complex ）

1、称iy x +为复数，其中R y x ∈,，1-=i 是虚数单位；通常记为iy x z +=；

2、x 和y 分别称为z 的实部和虚部，分别记作z x Re =，z y Im =；

3、纯虚数：若,0,0≠=y x 称),(R y x iy x z ∈+=为纯虚数；当0Im ≠z ，那么iy x z +=称为虚数；当0Im =z 时，那么x z =就是一个实数；

4、两个复数相等：复数111iy x z +=和222iy x z +=相等是指它们的实部与虚部分别相等.

5、共轭复数：称实部相同而虚部互为相反数的两个复数为共轭复数.记z 的共轭复数为z .设复数iy x z +=，则称iy x -为复数z 的共轭复数（Conjugate ），记作iy x z -=

注1：两个虚数之间不能比较大小.

例如，设0>i ，则i i i ⋅>⋅0，即01<-，矛盾.

注2：000i +=

二、复数的四则运算（Complex number arithmetic ） 设111ib a z += 222ib a z += 则

)

()()()(2121221121b b i a a ib a ib a z z ±+±=+±+=±)()())((12212121221121b a b a i b b a a ib a ib a z z ++-=++= 22

22211222222121221121))()(b a b a b a i b a b b a a ib a ib a z z +-+++=++=（02≠z ） 容易验证下列公式： (1) 2121z z z z ±=±， (2) 2121z z z z ⋅=⋅， (3) ()0)(22

121≠=z z z z z ， (4) )Im(2),Re(2z i z z z z z =-=+，

2222)(Im )(Re z z y x z z +=+=， (5) 2Re z z z +=, i z z z Im 2-=，(6) ()

z z =. 显然，复数的运算满足交换律、结合律和分配律.

复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C .

三、复平面（Complex plane ）

作映射：),(:2y x iy x z R C α+=→，则在复数集与平面2R 之间建立了一个1-1对应.在直角坐标系中，横坐标轴上的点表示实数，X 轴称为实轴，纵坐标轴上的点表示纯虚数，Y 轴称为虚轴；把实轴和虚轴决定的整个坐标平面我们称为复平面（Complex plane ）或Z 平面.

注3 复平面一般称为z -平面，w -平面等.

§1.2 复数的三角表示

(The representation of complex number)

一、复数的模和辐角（Complex modulus and Argument ） 如图: 复数iy x z +=用向量op 来表示.向量的长度称为复数iy x z +=的模，记作：22||y x z +=；

向量与正实轴之间的夹角称为复数iy x z +=的辐角（Argument ），记作：z Arg .

由于任意非零复数有无限多个辐角，用arg z 表示符合条件 arg z ππ-<≤的一个角，称为复数iy x z +=主辐角（Main Argument ）.即z Arg 的主值，于是

ΛΛ,2,1,02arg Arg ±±=+=k k z z π 此时有Argz z Arg z z -==. z z z =2

注4 当0=z 时辐角无意义. 当0≠z 时，有如下关系（arg z ππ-<≤，

arctan 22y x π

π-<<）

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧<<π-≥<π+>=π>>=≠;

,,arctan ;,,arctan ;,,;,,arctan arg 0000002000y x y y x x y y x y x x y z z 当当当当

x