第一章复数复变函数

第一章复数与复变函数(Complex number and function of the complex variable)第一讲授课题目：§1.1复数§1.2 复数的三角表示教学内容：复数的概念、复数的四则运算、复平面、复数的模和辐角、复数的三角不等式、复数的表示、复数的乘方与开方.学时安排：2学时教学目标：1、掌握复数的乘方、开方运算及它们的几何意义2、切实理解掌握复数的辐角3、掌握复数的表示教学重点：复数的乘方、开方运算及它们的几何意义教学难点：复数的辐角教学方式：多媒体与板书相结合.P思考题：1、2、3.习题一：1-9作业布置：27板书设计：一、复数的模和辐角二、复数的表示三、复数的乘方与开方参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版.课后记事：1、基本掌握复数的乘方、开方运算2、不能灵活掌握复数的辐角（要辅导）3、能灵活运用复数的三角表示进行复数的运算教学过程：引言复数的产生和复变函数理论的建立1、1545年，意大利数学家Cardan在解三次方程时，首先产生了负数开平方的思想.后来，数学家引进了虚数，这在当时是不可接受的.这种状况随着17、18世纪微积分的发明和给出了虚数的几何解析而逐渐好转.2、1777年，瑞士数学家Euler建立了系统的复数理论，发现了复指数函数和三角函数之间的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，并开始把它们应用到水力学和地图制图学上.用符号i表示虚数单位，也是Euler首创的.3、19世纪，法国数学家Cauchy、德国数学家 Riemann 和Weierstrass经过努力，建立了系统的复变函数理论，这些理论知直到今天都是比较完善的.4、20世纪以来，复变函数理论形成了很多分支，如整函数与亚纯函数理论、解析函数的边值问题、复变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论等等，并广泛用于理论物理、弹性物理和天体力学、流体力学、电学等领域.5、复变函数课程主要任务为研究复变数之间的相互依赖关系.其中许多概念、理论和方法是实变函数在复变函数领域内的推广和发展，在学习过程中要注意它们相似之处和不同之处的比较.第一章 复数与复变函数§1.1 复数(Complex number)一、 复数的概念（The concept of complex ）1、称iy x +为复数，其中R y x ∈,，1-=i 是虚数单位；通常记为iy x z +=；2、x 和y 分别称为z 的实部和虚部，分别记作z x Re =，z y Im =；3、纯虚数：若,0,0≠=y x 称),(R y x iy x z ∈+=为纯虚数；当0Im ≠z ，那么iy x z +=称为虚数；当0Im =z 时，那么x z =就是一个实数；4、两个复数相等：复数111iy x z +=和222iy x z +=相等是指它们的实部与虚部分别相等.5、共轭复数：称实部相同而虚部互为相反数的两个复数为共轭复数.记z 的共轭复数为z .设复数iy x z +=，则称iy x -为复数z 的共轭复数（Conjugate ），记作iy x z -=注1：两个虚数之间不能比较大小.例如，设0>i ，则i i i ⋅>⋅0，即01<-，矛盾.注2：000i +=二、复数的四则运算（Complex number arithmetic ） 设111ib a z += 222ib a z += 则)()()()(2121221121b b i a a ib a ib a z z ±+±=+±+=±)()())((12212121221121b a b a i b b a a ib a ib a z z ++-=++= 2222211222222121221121))()(b a b a b a i b a b b a a ib a ib a z z +-+++=++=（02≠z ） 容易验证下列公式： (1) 2121z z z z ±=±， (2) 2121z z z z ⋅=⋅， (3) ()0)(22121≠=z z z z z ， (4) )Im(2),Re(2z i z z z z z =-=+，2222)(Im )(Re z z y x z z +=+=， (5) 2Re z z z +=, i z z z Im 2-=，(6) ()z z =. 显然，复数的运算满足交换律、结合律和分配律.复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C .三、复平面（Complex plane ）作映射：),(:2y x iy x z R C α+=→，则在复数集与平面2R 之间建立了一个1-1对应.在直角坐标系中，横坐标轴上的点表示实数，X 轴称为实轴，纵坐标轴上的点表示纯虚数，Y 轴称为虚轴；把实轴和虚轴决定的整个坐标平面我们称为复平面（Complex plane ）或Z 平面.注3 复平面一般称为z -平面，w -平面等.§1.2 复数的三角表示(The representation of complex number)一、复数的模和辐角（Complex modulus and Argument ） 如图: 复数iy x z +=用向量op 来表示.向量的长度称为复数iy x z +=的模，记作：22||y x z +=；向量与正实轴之间的夹角称为复数iy x z +=的辐角（Argument ），记作：z Arg .由于任意非零复数有无限多个辐角，用arg z 表示符合条件 arg z ππ-<≤的一个角，称为复数iy x z +=主辐角（Main Argument ）.即z Arg 的主值，于是ΛΛ,2,1,02arg Arg ±±=+=k k z z π 此时有Argz z Arg z z -==. z z z =2注4 当0=z 时辐角无意义. 当0≠z 时，有如下关系（arg z ππ-<≤，arctan 22y x ππ-<<）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧<<π-≥<π+>=π>>=≠;,,arctan ;,,arctan ;,,;,,arctan arg 0000002000y x y y x x y y x y x x y z z 当当当当x例1 求)43-(Arg )2(Arg i i +-及解二、复数模的三角不等式（Plural triangle inequality ） 关于两个复数1z 与2z 的和与差的模，有下列不等式：（1）||||||2121z z z z +≤+；（2）||||||||2121z z z z -≥+；（3）||||||2121z z z z +≤-；（4）||||||||2121z z z z -≥-；（5）|||Im ||,||Re |z z z z ≤≤；（6）z z z =2||.例2 设1z ，2z 是两个复数，求证：),Re(2||||||212221221z z z z z z -+=-证明 ()()2121221z z z z z z --=- 22π<<π-x y arctan 其中22222Arg()arg()i i k π-=-+πk 222arctan +-=),2,1,0(24Λ±±=+-=k k πππk i i 2)43arg()43Arg(++-=+-ππ++-=k 234arctan ),2,1,0(34arctan )12(Λ±±=-+=k k π()2122212121222112212221Re 2z z z z z z z z z z z z z z z z -+=--+=---=三、复数的三角表示（Representation of complex numbers ）1、复数的点表示（Plural Point ）复数iy x z +=对应有序实数对()y x ,，另一方面，在 平面直角坐标系中点()y x P ,也对应有序实数对()y x ,，因此复数iy x z +=可用点()y x P ,来表示.复数z 与点z 同义2、复数的向量表示（Complex vector that ）我们已经知道复数iy x z +=等同于平面中的向量，所以，复数iy x z +=可用向量来表示，3、复数的三角表示（Complex triangle that ） 设0≠z 的复数，复数z 的模为r ，θ是复数z 的任意一个辐角，则)sin (cos θθi r z +=,上式右端称为复数z 的三角表示.注5：一个复数的三角表示不是唯一的例3 写出复数i +1的三角表示解 因为()41arg 21π=+=+i i ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+4sin 4cos 21ππi i 也可以表示为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+49sin 49cos 21ππi i 例4 设()θθsin cos i r z +=求复数z 1的三角表示 解 因为()θθsin cos ,,12i r z r z z z z -===，所以()()()[]θθθθ-+-=-=sin cos 1sin cos 11i ri r z 4、复数的指数表示（Said plural index ） 由欧拉公式θθθsin cos i e i +=，可得复数 )sin (cos θθi r z +=的指数表示θi re z =例5 将复数 化为指数式 解四、用复数的三角表示作乘除法（With the complex triangle that make multiplication and division ）利用复数的三角表示，我们表示复数的乘法与除法：设1z ，2z 是两个非零复数，则有()10cos sin i ϕϕϕπ-+<≤222122222222222222222cos sin sin sin cos sin sin cos sin cos sin sin i i i i e πϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕπϕπϕϕ⎛⎫- ⎪⎝⎭-+=+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=)sin (cos ||1111θθi z z += )sin (cos ||2222θθi z z += 则有)]sin()[cos(||||21212121θθθθ+++=i z z z z有||||||2121z z z z =，2121)(Argz Argz z z Arg +=，后一个式子应理解为集合相等.同理，对除法有)]sin()[cos(21212121θθθθ-+-=i z z z z 即2121||z z z z =，2121)(Argz Argz z z Arg -=，后一个式子也应理解为集合相等.五、复数的乘方与开方（Involution and evolution of complex numbers ）1、复数的乘方（A power complex ）设复数()θθsin cos i r z +=，则对正整数n()θθn i n r z n n sin cos += （1） 当1=r 时，即()θθθθn i n i n sin cos sin cos +=+ （2）（2）式称为棣莫弗（De Moivre ）公式2、复数的开方（Evolution of complex numbers ） 开方是乘方的逆运算，设z w n =，则称复数w 为复数z 的z n 次方根.记作n nz z w ==1 （0≠z ）令()θθsin cos i r z += ()ϕϕρsin cos i w +=于是就有 ()=+n n i ϕϕρsin cos ()θθsin cos i r +由此推出 ()ΛΛ,2,1,021,1±±=+==k k n r n πθϕρ故得 ()())]21sin()21[cos(||1πθπθk ni k n z z w n n+++== ΛΛ,2,1,0±±=k （3） 当1.,2,1,0-=n k Λ时，w 有n 个互不相同的值.（3）可写成()())]21sin()21[cos(||1πθπθk ni k n z z w n n +++== 1,,2,1,0-=n k Λ （4） 例6 求4)1(i +的所有值 解：由于)4sin 4(cos 21ππi i +=+，所以有 )]24(41sin )24(41[cos 2)1(84ππππk i k i +++=+ )]216sin()216[cos(2)1(84ππππk i k i +++=+3,2,1,0=k .例7 解方程0)3(32=---i iz zi i z i i z i i i i z i iz z 21)42(21,1)22(212)2(32)3(4930)3(3212+-=+-=+=+=-±=-+-±==---解 内容小结1、复数的概念（iy x z +=）2、复数的四则运算3、复平面4、复数的模和辐角5、复数的三角不等式6、复数的表示法（代数表示、三角表示、指数表示）7、复数的乘方与开方22||y x z +=ΛΛ,2,1,02arg Arg ±±=+=k k z z π()cos sin n n n n n z z z r n i n Argz nArgz θθ⎧=⎪=+⇒⎨=⎪⎩()())]sin()[cos(||πθπθk n i k n z z w n n 21211+++==ΛΛ,2,1,0±±=k2 1§1.3 平面点集的一般概念§1.4复球面与无穷大§1.5 复变函数开集与闭集、区域、平面曲线、复球面、复变函数的概念、复变函数的极限与连续、一致连续性、有界闭区域E上连续函数的性质.1、了解复平面上点集的一般概念2、理解复球面与复平面的关系3、充分理解关于单值函数、多值函数的概念4、理解复变函数的极限与连续性的概念复变函数的概念、极限与连续无穷大与复球面讲授法多媒体与板书相结合P习题一：10-1628一、复球面与无穷大二、复变函数的概念、极限与连续三、有界闭区域E上连续函数的性质[1] 《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.[2] 《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版社.1、基本掌握复变函数的极限运算2、能够理解关于单值函数、多值函数的概念3、基本理解复球面与复平面的关系第二讲授课题目：§1.3 平面点集的一般概念§1.4复球面与无穷大§1.5 复变函数教学内容：开集与闭集、区域、平面曲线、复球面、复变函数的概念、复变函数的极限与连续、一致连续性、有界闭区域E上连续函数的性质.学时安排：2学时教学目标：1、了解复平面上点集的一般概念2、理解复球面与复平面的关系3、充分理解关于单值函数、多值函数的概念4、理解复变函数的极限与连续性的概念教学重点：复变函数的概念、极限与连续教学难点：无穷大与复球面教学方式：多媒体与板书相结合P习题一：10-16作业布置：28板书设计：一、复球面与无穷大二、复变函数的概念、极限与连续三、有界闭区域E上连续函数的性质参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版.课后记事：1、基本掌握复变函数的极限运算2、能够理解关于单值函数、多值函数的概念3、基本理解复球面与复平面的关系教学过程：§1.3 复平面上点集的一般概念(Elementary conception of point set in complex plane)一、开集与闭集（Open set and closed set ）设0, 0>∈δC z ，点集},,|| |{0C z z z z ∈<-δ称为点0z 的δ邻域，记作),(0δz U注1：),(r a U },,|| |{0C z z z z ∈≤-=δ设C z C G ∈⊂0,，(1)若0>∃δ，使得G z U ⊂),(0δ，则称0z 为G 的内点（Interior point ）；(2)若G z U ⋂>∀),(,00δδ中既有属于G 的点，又有不属于G 的点，则称0z 为G 的边界点（Boundary points ）； 集G 的全部边界点所组成的集合称为G 的边界（Border ），记为G ∂；(3)若0>∃δ，使得}{),(00z G z U =⋂δ，则称0z 为G 的孤立点（Outlier ）；注2：G 的孤立点（Outlier ）一定是G 的边界点（Boundary points ）如果G 的所有点都是它的内点，那么称G 为开集；如果0>∃δ，使得),0(δU G ⊂, 则称G 是有界集（Bounded set ），否则称G 是无界集；例1 圆盘),(0δz U 是有界开集；例2 集合}|||{0r z z z G =-=是以0z 为心，半径为r 的圆周，G 是圆盘),(0r z U 和闭圆盘),(0r z U 的边界.例3 复平面、实轴、虚轴是无界集，复平面是无界开集. 例4 点集}||0|{0δ<-<=z z z G 是去掉圆心的圆盘.圆心0z 是点集G 的边界点.它是G ∂的孤立点，二、区域（Region ）复平面C 上的点集D 是一个区域，如果满足：（1）D 是开集；（2）D 是连通的，即D 中任意两点可以用完全属于D 的折线连起来.换句话说：区域就是连通的开集区域D 内及其边界上全部点所组成的点集称为闭区域（Closed area ）.记作G例5 点集=G }3Re 2|{<<z z 为一个垂直带形，它是一个连通的无界区域，其边界为直线2Re =z 及3Re =z .例6 点集=G }3)arg(2|{<-<i z z 为一角形区域，它是一个连通无界区域，其边界为半射线2)arg(=-i z 及3)arg(=-i z .三、平面曲线（Plane curve ）设()())(,)(b t a t iy t x t z z ≤≤+==如果())(Re t z t x =和())(Im t z t y =都在闭区间],[b a 上连续，则称点集]},[|)({b a t t z ∈为一条连续曲线（Continuous curve ）.如果对],[b a 上任意不同两点1t 及2t ，但不同时是],[b a 的端点，我们有)()(21t z t z ≠，那么上述点集称为一条简单连续曲线（Simple continuous closed curve ），或约当曲线（Jordan curve ）.若还有)()(b z a z =，则称为一条简单连续闭曲线（Simple continuous closed curve ），或约当闭曲线（Jordan closed curve ）.约当定理（Jordan Theorem ）：任意一条约当闭曲线把整个复平面分成两个没有公共点的区域：一个有界的称为该区域的内部，一个无界的称为该区域的外部.他们都是以该闭曲线为边界.光滑曲线（Smooth curve ）：如果())(Re t z t x =和())(Im t z t y =都在闭区间],[b a 上连续，且有连续的导函数，在],[b a 上，()()0)('≠'+'=t y i t x t z ，则称集合]},[|)({b a t t z ∈为一条光滑曲线（Smooth curve ）；类似地，可以定义分段光滑曲线. 由有限条光滑曲线连接而成的连续曲线成为逐段光滑曲线.设D 为复平面上的区域，若在D 内无论怎样划简单闭曲线，其内部仍全含于D ，则称D 为单连通区域（Simply connected region ）.否则，称为多连通区域（Multi-connected region ）例7 集合}3||2|{<-<i z z 为一个圆环，它是一个多连通有界区域，其边界为圆2||=-i z 及2||=-i z .§1.4复球面与无穷大1、复球面 （Complex sphere ）在点坐标是),,(u y x 的三维空间中，把XOY 面看作就是z 平面.考虑单位球面S ：1222=++u y x取定球面在原点O （南极）与z 平面相切，过原点O 作一垂直于z 平面的直线与球面交于一点)1,0,0(N 称为北极.作连接 )1,0,0(N 与z 平面上的点()0,,y x A 的直线, 即复平面上的点()0,,y x A 都对应球面上的点.反过来也成立.那么)1,0,0(N 与复平面上的哪一点对应？约定: 在复平面上有一个理想的点, 称之为无穷远点, 其投影为)1,0,0(N . （下图形是错的）2、无穷大（Infinity ）我们称上面的映射为球极投影.对应于球极投影为N ，我们引入一个新的非正常复数无穷远点∞，称}{∞⋃C 为扩充复平面（Extended complex plane ），记为∞C ，与它对应的球面称为复球面（Complex sphere ）；.关于新“数” 无穷大（Infinity ）∞，作如下几点规定(x A（1） 其实部、虚部、辐角无意义，模等于∞+；（2） 基本运算为（a 为有限复数）：∞=±∞=∞±a a ； )0( ≠∞=⋅∞=∞⋅a a a ；).a (a);a (a ∞≠∞=∞∞≠=∞0 （3） 复平面上的每一条直线都通过点∞，同时，没有一个半平面包含点∞.注：扩充复平面上无穷远点的邻域， 包括无穷远点自身在内且满足0>>M z 的所有点的集合{}M z z >: 称为无穷远点的邻域. 不包括无穷远点自身在内且满足0>>M z 的所有点的集合{}M z z >: 称为无穷远点的去心邻域§1.5复变函数(Complex analysis )一、复变函数的概念（The concept of complex function ） 设在复平面C 上以给点集G .G iy x z ∈+=∀，如果存在一个对应法则f ，都有唯一C ∈+=iv u w 与它对应，则称f 是定义在G 上的一个单值复变数函数，简称为复变函数，记为)(z f w =.不是单值复变数函数的复变数函数称为多值复变数函数.点集G 称为复变数函数)(z f w =的定义域，所有函数值全体称为复变数函数)(z f w =的值域.记作D注：一个复变函数等价于两个实变量的实值函数：若iy x z +=，),(),()(Im )(Re y x iv y x u z f i z f w +=+=，则)(z f w =等价于两个二元实变函数),(y x u u =和),(y x v v =.复变函数)(z f w =也称为从G 到D 上的一个映射或映照.把集合G 表示在一个复平面上，称为z -平面；把相应的函数值)(z f w =表示在另一个复平面上，称为w -平面.我们称映射)(z f w =把任意的G z ∈0映射成为D z f w ∈=)(00，称0w 及A 分别为0z 和G 的象，而称0z 和G 分别为0w 及D 的原象.例8 将)(z f 表示成z 的函数.解二、复变函数的极限与连续（Limits and continuity of Complex functions ）1. 复变函数的极限定义（Definition ）1.1 设函数)(z f w =在点0z 的去心邻域{}ρ<-<||0:0z z z 内有定义，A 是一个确定的复常数∞≠A .如果任给0>ε，总存在正数0)(>=εδδ，对任意z ： ρδ≤<-<||00z z ，有222211()11f z x iy x y x y ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭已知)(21),(21,z z i y z z x iy x z -=+=+=则设.1)(zz z f +=ε<-|)(|A z f ，则称A 为函数)(z f 当z 趋于0z 时的极限（limits ），记作：)()()(lim 00z z A z f A z f z z →→=→当或.2. 复变函数极限的四则运算法则类似于实函数极限的性质，有设 A z f z z =→)(lim 0 B z g z z =→)(lim 0, 则 （1）[()]B A z g z f z z ±=±→)(lim 0（2）()AB z g z f z z =→)(lim 0(3) ()()0lim 0≠=→B B A z g z f z z .定理（Theorem ） 1.1设函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点集G 上有定义，000iy x z +=，ib a A +=则()()ib a A z f G z z z +==∈→(0lim 的充要条件是 ()a y x u G y x y x y x =∈→),(lim ),(),(),(0000 ().),(lim ),(),(),(0000b y x v G y x y x y x =∈→证明（略）复变函数的极限可归结为实函数极限的计算.3. 复变函数的连续性定义（Definition ）1.2设函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点集G 上有定义，G z ∈0，如果)()(lim 00z f z f z z =→成立，则称)(z f 在0z 处连续；如果)(z f 在G 中每一点连续，则称)(z f 在G 上连续.定理（Theorem ）1.2函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是),(),(y x v y x u 与在点()00,y x 处连续.即一个复变函数的连续性等价于两个实变二元函数的连续性.连续函数的性质：(1) 连续函数的四则运算仍然连续(2) 连续函数的复合函数仍然连续(3) 连续函数的模也连续一致连续性（Uniform Continuity ）设函数)(z f w =在集合D 上确定，如果任给0>ε，可以找到一个仅与ε有关的正数0)(>=εδδ，使得当D z z ∈'','，并且δ<-|'''|z z 时，ε<-|)''()'(|z f z f ，则称函数)(z f 在D 上一致连续（Uniform Continuity ）.有界闭区域D 上连续函数的性质1．设函数)(z f 在有界闭区域D 上连续，那么它在D 上有界，即22)],([)],([|)(|y x v y x u z f +=在集D 上有界.2. 设函数)(z f 在有界闭区域D 上连续，那么其模()z f 在D 上达到它的最大值和最小值各一次.3. 设函数)(z f 在有界闭区域D 上连续，那么它在D 上一致连续.例9 求证：()arg (0)f z z z =≠在全平面除去原点和负实轴的区域上连续，在负实轴上不连续.证明： 设0z 为全平面除去原点和负实轴的区域上任意一点.考虑充分小的正数ε,使角形区域00arg arg z z εθε-<<+与负实轴不相交,从图上立即可以看出,以0z 为中心,0z 到射线0arg z θε=±的距离为半径所作的圆盘,一定落在上述角形区域内，这就是说,只要取00sin z δε<≤.那么当0z z ε-<时就有0arg arg z z ε-<.因此arg z 在0z 为连续.再由0z 的任意性,知()arg f z z =在所述区域内为连续.设1x 是负实轴上任意一点,则1Im 0limarg z z x z π≥→= 及 1Im 0limarg z z x z π<→=- 故arg z 在负实轴上为不连续. （如下图）内容小结1、开集与闭集、区域、平面曲线2、复球面3、复变函数的概念4、复变函数的极限与连续、一致连续性5、有界闭区域上连续函数的性质有界性、最大值与最小值、一致连续性。