时间序列趋势外推法
第六讲 趋势外推法
yt , t = 0,1,2,L3n −1
S1 = ∑yt , S2 = ∑yt , S3 = ∑yt
t =0 t =n t =2n n−1 2n−1 3n−1
于是得A、B、K的估计式为
1 Λ S3 − S2 n B = S −S 2 1 Λ B−1(S2 − S1 ) Λ A= 2 Λn B −1 Λn Λ Λ B −1 1 1 S − S2 − S1 K = S − A 1 = 1 Λn Λ n n B−1 B −1
修正指数曲线预测模型 1）模型的形式
ˆ yt = K + ab t
2）模型的识别
例4 我国卫生机构人员总数如表4.13所示，试预 测2003年我国卫生机构总人数。 解: 绘制散点图，如图4.13所示。
得:
所以我国卫生机构总人数修正指数曲线模型为:
yt = 615.641 − 205.667 × (0.9172)t
差分法： 利用差分法把数据修匀，使非平稳序列达到平 稳序列。 差分法可分为普通差分法和广义差分法两类。 一阶、二阶、k阶差分 广义差分法就是先计算时间序列的广义差分 (时间序列的倒数或对数的差分,以及相邻项的比率 或差分的比率等),然后,根据算得的时间序列差分 的特点,选择适宜的数学模型。
差分法识别标准：
Λ
Λ
yt = 14.8768e0.1098t
预测1999年的产量 y = 14.8768e0.1098×7 = 32.1 1999
曲线的拟合优度分析
实际的预测对象往往无法通过图形直观确认某种 模型，而是与几种模型接近。这时，一般先初选 几个模型，待对模型的拟合优度分析后再确定究 竟用哪一种模型。 评判拟合优度的好坏一般使用标准误差来作 为 优度好坏的指标：
时间序列之趋势外推模型及可能用到的excel函数
时间序列之趋势外推模型及可能用到的excel函数在对未来趋势预测过程中，可能用到的excel函数趋势外推分析预测是时间序列分析中的传统分析方法。
基本思想是：从历史数据中提炼出其发展规律，并通过趋势的外推对未来进行预测，趋势外推的方法是基于回归分析，它把研究观测值序列看做回归模型中的因变量，而时间作为模型的自变量。
步骤：1、对已有的时间序列数值，进行excel作图。
2、依据图形，选择趋势线(线性、指数、多项式、幂函数等等)，进行拟合(运用拟合优度R Square,进行判断趋势外推模型精度)3、选择适当的回归函数，对未来进行预测(有时将不同的回归函数混合使用，讲各自的预测值，作为置信上线与置信下线。
)增长曲线中最典型的就是指数曲线，其模型：y=ab^t,其中y是时间序列Y 的趋势预测值，t为时间标号，a是时间标号为0时y的数值，b为平均发展速度，用以描述时间序列曲线在整个观察期内的平均发展程度。
一、线性回归函数FORECAST函数FORECAST用途：根据一条线性回归拟合线返回一个预测值。
使用此函数可以对未来销售额、库存需求或消费趋势进行预测。
语法：FORECAST(x，known_y's，known_x's)。
参数：X为需要进行预测的数据点的X坐标(自变量值)。
Known_y's是从满足线性拟合直线y=kx+b的点集合中选出的一组已知的y 值，Known_x's是从满足线性拟合直线y=kx+b的点集合中选出的一组已知的x值。
实例：公式"=FORECAST(16，{7，8，9，11，15}，{21，26，32，36，42})"返回4.378318584。
trend函数返回一条线性回归拟合线的值。
即找到适合已知数组known_y's和known_x's的直线(用最小二乘法)，并返回指定数组new_x's在直线上对应的y 值。
语法TREND(known_y's,known_x's,new_x's,const)Known_y's是关系表达式y=mx+b中已知的y值集合。
5时间序列趋势外推预测
1
^
yn
1
^
yn
1
yn1
n
1
^
yn
1
yn1
^
yn
1
n
1
9.2 有非水平趋势样本序列的趋势外推法
• 如果时间序列是均值缓慢变动的，则使用局部均值模型。
• 1.加权滑动平均预测法
• 滑动平均预测
• 对时间序列
y1 y2 L yn 要外推预测值为
记 yn1
^
yn 1
^
yn 1
yn yn1 L ynN1
• （2）如果时间序列具有迅速且明显的变动倾向， 则a就取大一点，如（0.6~0.8）。
• 在实用上，类似移动平均法，多取几个a值进行试 算，看哪个预测误差小，就采用哪个。
年份
1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987
例7 某市1976~1987年某种电器销售额如下表所示。试
• 在加权平均算法中，如果所加权数随数据的时限增长而几何方式减小，
则
yt 1
的预测值
^
yn
可以写为：
•
^
n1
yn 1 C t ynt
其中C
n1
t
1由于
t0
t0
n1 t
1n 1
t0
则C
1 1n
^
n1
yn 1 1 t yn j 1 yn yn1 2 yn2 L
j0
• 令 1 则：
^
yn 1
yn 1 yn1 1 2 yn2 L
简化得到一次指数平滑公式为：
^
y (1) t
时间序列分解法和趋势外推法
时间序列分解法和趋势外推法时间序列分解法和趋势外推法是两种常用的时间序列分析方法。
时间序列分析是一种用来预测未来数据趋势和周期性的统计学方法。
时间序列分解法是一种将时间序列数据分解成趋势、周期性和随机成分的方法。
它的基本假设是时间序列数据是由多个不同的组成部分构成的，通过将这些组成部分分离出来，我们可以更好地理解数据的特征和行为。
常用的时间序列分解方法有加法模型和乘法模型。
加法模型将时间序列数据分解为趋势、周期性和随机成分的和。
趋势指的是数据的长期演变趋势，周期性表示数据在一段时间内出现的重复模式，而随机成分则代表了无法归因于趋势和周期性的随机波动。
加法模型的优点是适用于各种类型的时间序列数据，并且容易理解和解释。
乘法模型将时间序列数据分解为趋势、周期性和随机成分的乘积。
乘法模型假设趋势和周期性分量与数据的幅度成比例，这意味着它适用于数据波动较大的情况。
与加法模型相比，乘法模型更适用于数据幅度随时间变化的情况。
趋势外推法是一种基于时间序列数据的趋势进行未来预测的方法。
它假设趋势是时间序列数据最主要的特征，通过拟合趋势线并对其进行外推，我们可以预测未来数据的变化趋势。
趋势外推法常用的方法包括线性趋势外推和指数趋势外推。
线性趋势外推假设趋势是线性的，即数据随时间的变化呈现线性增长或减少的趋势。
通过线性拟合找到数据的趋势线，然后根据趋势线的斜率和截距，预测未来数据的变化趋势。
线性趋势外推是最简单的趋势外推方法，但它假设趋势是恒定的，忽略了数据的非线性特征。
指数趋势外推假设趋势是指数增长或指数衰减的，即数据呈现幂函数的趋势。
通过拟合指数增长或衰减曲线找到数据的趋势线，然后根据趋势线进行未来数据的预测。
指数趋势外推较线性趋势外推更灵活，能够更好地适应不同的趋势模式。
总之，时间序列分解法和趋势外推法是时间序列分析的常用方法。
时间序列分解法可以将数据分解成趋势、周期性和随机成分，帮助我们更好地理解数据的特征和行为。
第7章趋势外推预测方法
趋势外推法的假设条件： (1)假设事物发展过程没有跳跃式变化，即事物的发展变化是渐进型的。 (2)假设所研究系统的结构、功能 等基本保持不变，即假定根据过去资料 建立的趋势外推模型能适合未来，能代 表未来趋势变化的情况。
第1节 指数曲线法
指数曲线模型 （7.1.1） 对式（7.1.1）两端取对数，得 令 则 这样就把指数曲线 模型转化为直线模型
在利用包络曲线预测时首先要建立包络曲线，具体步骤为： 第一步：分析各类预测对象的预测参数的发展趋势； 第二步：求出各技术单元功能相对增长速度最快的点（xi，yi），i=1，2，…，m； 第三步：绘制包络曲线，即在点（ xi，yi ）处与i（i=1，2，…，m）技术单元曲线相切的曲线。
二、应用范围 某项技术发展的前期阶段，采用包络曲线对技术发展进行深入研究，可以外推出新的远景技术，从而可以未雨绸缪，提前完成技术贮备，以便及时进行技术更新。 当某一技术的发展趋于极限时，采用包络曲线外推可能出现的新技术。 用包络曲线外推未来某一时刻的特性参数水平，借以推测将会出现那种新技术。 验证决策中制定的技术参数是否合理。如果拟定的参数在包络曲线之上，则可能有些冒进，如在其下则可能偏于保守。合理的技术参数应与包络曲线相吻合，偏高偏低皆需调整。
0
y
a
t
表7.1.1 指数曲线模型差分计算表
第2节 修正指数曲线法
修正指数曲线预测模型 （7.2.1） 式中：a、b、c为待定参数。 为求出a、b和c三个参数，可应用分组法。通常的做法是先把整个时间序列数据分成三组，使每组数据个数相等，然后通过各组数据之和求出参数的具体数值。
表7.2.1 修正指数曲线模型差分计算表
第3节 生长曲线法
生物的生长过程一般经历发生、发展、成熟到衰老几个阶段。发生初期成长速度较慢；发展时期生长速度则较快；成熟时期，生长速度由达到最快而后逐渐变慢，到衰老期则几乎停止生长。 指数曲线模型不能预测接近极限值时生物生长的特性值，因为趋近极限值时，生物生长特性值已不按指数规律增长。描述生物生长过程可以考虑运用形状近似于S型的曲线（称为S曲线）。 本节主要介绍两种最为常用的生长曲线 龚珀兹曲线 皮尔曲线。
时间序列分解法和趋势外推法讲义
时间序列分解法和趋势外推法讲义一、时间序列分解法时间序列分解法是将一个时间序列数据分解为几个不同的成分，从而更好地理解和预测时间序列的趋势和季节性。
时间序列可以包含趋势（Trend）、季节性（Seasonality）、周期性（Cyclical）和随机性（Irregularity）等多个成分。
时间序列分解法的步骤如下：1. 平滑法：首先对原始数据进行平滑操作，以去除季节性和随机性的影响。
常用的平滑方法有简单平均法、加权平均法和指数平滑法等。
2. 趋势估计：通过对平滑后的序列进行趋势估计，得到时间序列的趋势线。
常用的趋势估计方法有移动平均法、自回归法和多项式拟合法等。
3. 季节性调整：将平滑后的序列减去趋势线，得到季节性成分。
季节性成分可以用于对未来季节性的预测。
4. 周期性调整：将季节性成分减去周期性成分，得到去除季节性和周期性的序列。
5. 随机性分析：对去除季节性和周期性的序列进行随机性分析，以检查是否存在随机性波动。
时间序列分解法的优点是能够更好地理解时间序列的组成成分，并且能够提供对未来趋势和季节性的预测。
然而，该方法的缺点是对于包含较多周期性成分的序列，可能无法准确地分解出趋势和季节性等成分。
二、趋势外推法趋势外推法是利用时间序列数据中的趋势成分进行未来数值的预测。
该方法假设时间序列的趋势相对稳定，根据过去的趋势发展，推断未来的发展方向。
趋势外推法的步骤如下：1. 趋势估计：首先对时间序列进行趋势估计，得到趋势线。
常用的趋势估计方法有移动平均法、自回归法和多项式拟合法等。
2. 趋势外推：根据趋势线的发展趋势，预测未来的数值。
可以利用历史数据的增长速率进行线性外推，也可以利用拟合的趋势函数进行非线性外推。
趋势外推法的优点是简单易用，速度快，适用于短期或趋势相对稳定的预测。
然而，该方法的缺点是对于趋势波动较大或突变的时间序列，预测结果可能存在较大的误差。
三、实施过程实施时间序列分解法和趋势外推法的具体步骤如下：1. 收集时间序列数据：收集需要分析和预测的时间序列数据，可以是销售数据、股票交易数据等。
趋势外推法的手段
趋势外推法的手段趋势外推法是一种预测未来发展方向和趋势的方法，其基本原理是根据过去的数据和趋势，通过一定的数学模型和推理方法，对未来的可能发展进行预测和判断。
下面将介绍趋势外推法的几种常见手段。
1. 线性外推法：线性外推法是一种基于线性趋势的外推方法。
根据一组数据点的线性趋势，计算出其斜率和截距，从而得出线性方程，并利用该方程预测未来的发展趋势。
线性外推法常用于简单的线性发展趋势，适用于数据变化比较稳定的情况。
例如，我们可以通过过去几年的销售数据，计算出销售额与时间之间的线性关系，然后根据线性方程的参数，预测未来销售额的发展趋势。
2. 指数平滑外推法：指数平滑外推法是一种基于指数趋势的外推方法。
它根据过去数据的指数增长或指数衰减趋势，对未来数据进行预测。
指数平滑外推法适用于有明显趋势变化的数据，并且能够较好地适应数据的变化。
例如，在预测某产品的未来销售量时，可以利用指数平滑外推法，根据过去销售量的变化趋势，对未来销售量进行预测。
3. 趋势函数外推法：趋势函数外推法是一种基于数学函数的外推方法。
它通过拟合历史数据的变化趋势，找出最适合数据变化的函数，并利用该函数预测未来的趋势。
常用的趋势函数包括多项式函数、指数函数、对数函数等。
例如，我们可以通过拟合历史数据的变化趋势，找到一个最适合该数据的多项式函数，然后利用该函数预测未来的数据发展趋势。
4. 时间序列分析外推法：时间序列分析外推法是一种基于时间序列数据的外推方法。
它通过对时间序列数据的周期性、波动性等特征进行分析，找出其规律性，并利用规律性预测未来的趋势。
时间序列分析外推法常用的方法包括自回归（AR）、滑动平均（MA）、自回归滑动平均（ARMA）等。
例如，在对某商品的销售数据进行预测时，可以使用时间序列分析外推法，通过对历史销售数据的波动性和周期性进行分析，预测未来销售的发展趋势。
综上所述，趋势外推法是一种常用的预测未来发展趋势的方法，其手段包括线性外推法、指数平滑外推法、趋势函数外推法和时间序列分析外推法等。
定量预测方法
定量预测方法定量预测方法种类很多，这里仅介绍常用的趋势外推法、时间序列法、回归预测法和灰色预测法。
1．趋势外推法趋势外推法就是运用直线或曲线拟合模型展开预测的方法。
在运用趋势外推法时，应当根据以获取的市场实际资料分析其发展趋势，挑选预测方案，按预测方案里的有关方法展开运算得出结论财政预算值。
(1)直线趋势法。
直线趋势法的方程为用最轻平方等方法估算a和b的值，创建直线预测模型。
然后再根据变量t的值展开预测。
(2)曲线趋势法。
以二次抛物线为例，曲线趋势法的公式为用最轻平方等方法估算a、b、c的值，创建曲线预测模型。
然后再根据变量t的值展开预测。
2．时间序列法（略）3．重回预测法回归预测法是通过分析自变量与因变量之间的相互关系，根据自变量数值的变化，预测因变量数值变化的一种方法，也可称为相关分析预测法。
这种方法是预测学的基本方法，应用十分广泛。
(1)一元线性重回法。
一元线性重回预测的数学模型就是一元线性方程，其计算公式为(2)二元线性回归法。
二元线性回归预测的数学模型是二元线性方程，其计算公式为4．灰色预测法灰色预测法是指通过分析系统内部各因素之间的相关程度，根据原始数据的生成处理来寻求系统变化规律，以此建立微分方程模型，从而预测市场发展趋势的预测方法。
灰色预测法通过生成法处理系统内的变量。
生成法分为累加生成法和累减生成法。
累加生成法是将原始序列通过累加得到生成序列，即将原始序列的第一个数据作为新序列的第一个数据，将原序列的第二个数据加到第一个数据上，其和作为新序列的第二个数据，将原序列的第三个数据加到第二个数据上，其和作为新序列的第三个数据，依此类推，得到生成序列。
累减生成法是将原始序列的数据前后相减，得到累减生成序列。
时间序列 趋势外推法 r语言
时间序列趋势外推法 r语言时间序列分析是一种用于预测未来数据趋势的统计方法，而趋势外推法是一种常用的时间序列预测方法之一。
在R语言中，我们可以使用一些内置的函数和包来实现时间序列的趋势外推。
下面我将从时间序列、趋势外推法和R语言的角度分别介绍这些内容。
首先，时间序列是一系列按时间顺序排列的数据点。
时间序列分析旨在识别数据中的模式和趋势，以便预测未来的数值。
趋势外推法是一种基于时间序列数据中的趋势进行预测的方法，它可以帮助我们理解数据的长期发展趋势，并做出相应的预测。
在R语言中，有一些常用的包和函数可以用来进行时间序列分析和趋势外推。
其中，最常用的包包括“forecast”、“tseries”和“stats”等。
这些包提供了丰富的函数和工具，可以帮助我们进行时间序列数据的处理、分析和预测。
在R语言中，我们可以使用“ts”函数将数据转换为时间序列对象，然后利用“forecast”包中的函数进行趋势外推。
常见的趋势外推方法包括简单移动平均法、指数平滑法、ARIMA模型等。
我们可以根据数据的特点选择合适的方法进行趋势外推，并使用相应的R函数进行计算和预测。
除了使用内置的函数和包，R语言还提供了丰富的可视化工具，如ggplot2包和plot函数，可以帮助我们直观地展示时间序列数据的趋势和预测结果，从而更好地理解数据并进行决策。
总之，时间序列分析和趋势外推是重要的数据分析方法，而R语言提供了丰富的工具和函数来支持这些分析。
通过合理选择方法和工具，我们可以利用R语言进行时间序列数据的趋势外推，并得出有效的预测结果。
希望这些信息能够帮助你更好地理解时间序列趋势外推在R语言中的应用。
时间序列确定性趋势外推预测法
ˆ ˆ ( µ n + β n l ) S n+1−L， ˆ l = 1,2, L , L ˆ n (l ) = y ˆ ˆ ˆ ( µ n + β n l ) S n+1−2 L l = L + 1, L + 2, L ,2 L
ε n+ j
∑
ˆ ˆ 序列线性趋势的斜率记为 β n+， 季节指数为 S n+1 ， 1 这三个估计值分别由下述平滑公式进行计算 µ 1．趋势分量 ： n+1 的平滑公式 ˆ ˆ ˆ ˆ µ =α × y /S + (1 − α )(µ + β ) 右边第一
n+1 1 n+1 n+1− L 1 n n
时间序列确定性趋势外推 预测法
一 样本序列具有水平趋势 的外推预测法
1．朴素预测法 即现在时刻的值作为下一时刻的预测值。即
ˆ ˆ y t (1) = yt或y t +1 = yt
（1）
优点：简单方便，如序列值的变化稳定，且上下波动 幅度小，有一定的预测精度。 缺点：未能充分使用历史的数据信息，且易受随机波 动的影响。若波动幅度大，则预测误差较大。 2．平均数预测法
St = αyt + 1－α）St −1 = St −1 + α ( yt − S t −1 ) （
(1) (1 ) (1 ) (1)
• 二次指数平滑公式：
St
(2)
= αS t + 1－α）S t −1 = S t −1 + α ( S t − S t −1 ) （
(1 ) (2) (2) (1 ) (2)
n +1 n
3.季节指数的平滑公式，
时间序列分解法和趋势外推法讲义
时间序列分解法和趋势外推法讲义时间序列分解方法是一种常用的时间序列分析方法，用于将时间序列数据分解为趋势、季节性和随机性三个组成部分。
时间序列分解方法可以帮助我们更好地理解和预测时间序列数据的变动规律，具有广泛的应用领域。
一、时间序列分解方法时间序列分解方法是将时间序列数据分解为趋势、季节性和随机性三个部分的方法。
这三个部分分别表示了数据的长期趋势、周期性变动和随机波动。
时间序列分解方法基于以下假设：1. 时间序列数据可以被分解为趋势、季节性和随机性三个部分；2. 趋势是数据的长期变动趋势，可以通过回归分析等方法来进行估计；3. 季节性是数据的周期性变动，可以通过季节分析等方法来进行估计；4. 随机性是数据的随机波动，无法预测。
时间序列分解方法通常包括以下步骤：1. 确定时间序列数据的周期性；2. 估计趋势；3. 估计季节性；4. 估计随机性。
在实际应用中，可以使用不同的方法来进行估计，如平均值法、移动平均法、指数平滑法等。
根据具体的问题和数据特点，选择合适的方法进行时间序列分解。
时间序列分解方法的优点是能够将时间序列数据分解为不同的组成部分，帮助我们更好地理解数据的变动规律。
同时，时间序列分解方法也可以用于数据的预测和分析，提供更准确的预测结果和决策支持。
二、趋势外推法趋势外推法是根据时间序列数据的趋势特点，通过拟合趋势方程来预测未来的数据值。
趋势外推法常用的方法有线性趋势外推法和非线性趋势外推法。
线性趋势外推法是在时间序列数据的基础上，假设趋势是一个线性函数，然后通过拟合线性方程，预测未来的数据值。
线性趋势外推法具有简单易行和计算方便的优点，适用于具有线性趋势的时间序列数据。
非线性趋势外推法是在时间序列数据的基础上，假设趋势是一个非线性函数，然后通过拟合非线性方程，预测未来的数据值。
非线性趋势外推法相对于线性趋势外推法更加灵活，能够适应更多样的趋势形态，但计算复杂度更高。
趋势外推法的关键是选择合适的趋势方程进行拟合。
第四讲 趋势外推法
yt yt yt 1 B yt 1 yt 1 yt 2
当时间序列算得的一阶差分比率大致相等时,就可以 配修正指数曲线模型进行预测。
指数曲线模型的参数估计及应用
bt 对指数曲线模型 y t Ae 取对数,作变换,转化为直线模型。
ln y t ln A bt Yt ln y t , a ln A Yt a bt
年份
1963 1964 1965 1966 1967
时序 （t）
12 13 14 15 16
总额 （ yt ）
604.5 638.2 670.3 732.8 770.5
年份
1974 1975 1976 1977 1978
时序 （t ）
23 24 25 26 27
总额 （ yt ）
1163.6 1271.1 1339.4 1432.8 1558.6
修正指数曲线预测模型 1）模型的形式
ˆt K abt y
2）模型的识别
例4 我国卫生机构人员总数如表4.13所示，试预 测2003年我国卫生机构总人数。 解: 绘制散点图，如图4.13所示。
得:
所以我国卫生机构总人数修正指数曲线 模型为:
yt 615.641 205.667 (0.9172)t
差分特性 使用模型
一阶差分相等或大致相等 二阶差分相等或大致相等
三阶差分相等或大致相等 环比相等或大致相等 一阶差分比率相等或大致相等
一次线性模型 二次线性模型
三次线性模型 指数曲线模型 修正指数曲线模型
多项式趋势预测模型及应用
特别:直线(一元时间回归)模型参数估计的简捷算法
y t a bt
将 t 19 代入模型,得到2003年我国卫生 机构总人数的预测值:
趋势外推法
预测精度判断
用相对误差指标
σ= θ= σ
Y (Y Y ) 2 ∑ nk
某电视机厂连续24个月销售量
月份 销售量 (万台) 月份 销售量 (万台) 1 161 .2 13 214 .5 2 135 .4 14 161 .7 3 120 .7 15 237 .1 4 136 .7 16 269 .1 5 143 .3 17 291 .3 6 145 .9 18 310 .4 7 152 .8 19 380 .4 8 209 .6 20 340 .1 9 165 .5 21 350 .5 10 209 .3 22 381 .5 11 205 .9 23 385 .4 12 144 .7 24 261 .2
= n∑ Yt ∑ Y ∑ t b n∑ t 2 (∑ t ) 2
∑ Y b∑ t a=
n
例:有下数据,请用线性回归预测第8年 和第10年的值,并画出趋势图.
年份 1 2 3 4 5 6 7 营业收入 290,463 317,661 346,853 338,812 413,310 459,453 389,866 回归预测值 295,747.2 318,899 342,050.8 365,202.6 388,354.4 411,506.1 434,657.9
=
0.6153 = 0.32 (万件) 6
用双侧t检验,取α=0.1,
y ± t0.10 / 2 SE = 32.35 ± 1.943 × 0.32
上述预测2004年销售量为32.35万件,在给定90 %的概率保证下,其近似的预测置信区间为 31.72 万件到32.97万件之间.
进一步阅读
data
b0 = 35 .05
39.5 9 81 38 16 256 274 .0 60 708
趋势外推法法
第四节 趋势外推法趋势外推法，也称趋势延伸法，是根据预测目标的历史时间序列所揭示的变动趋势外推到未来以确定预测值的时序预测法。
可分为随手作图法，拟合直线方程法、拟合曲线方程法。
一、随手作图法这种方法是选定时间作为横轴，预测目标量作为纵轴，先按时间序列数据作出散点图。
然后根据备散在点所显示的趋势走向图形(直线或某种曲线)，运用直尺或曲线板随手画出一条沿各个点拟合度最佳的直线或曲线，并加以延伸，得出待预测时间对应的预测值。
该方法简便易行，不用建立数学模型，预测效果良好。
但这种方法全凭预测者的观察力和作图技巧，它直接影响到预测的精度。
二、拟合直线方程法这种方法是根据呈线性变动趋势的时间序列，拟合出直线方程bx a Y +=∧，再利用方程进行预测外推，得出预测结果。
直线方程bx a Y +=中，x 为按整数序编号的时间序列，Y 为预测目标量，a 、b 为参数。
设时刻为i x 时，对应的观察值为i Y ，n i ,,2,1 =。
根据这些数据我们要利用最小二乘法拟合出一条直线方程bx a Y +=∧即确定参数a 、b ，使拟合偏差i i Y Y ∧-的平方和∑∧-=22)(i i Y Y S 最小。
由微分法，令02=∂∂a S ，02=∂∂bS ，解之可得到∑∑---=-=x b Y x nb Y n a i i 11 （4-13） ∑∑∑∑∑--=22)())((i i i i i i x x n Y x Y x n b （4-14）当时间序列是整数项时，我们取i x 的中间项为0，其余按下列取值 …，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，… （中间项）例如 n=7时，i x 分别取为-3，-2，-l ，0，1，2，3七个数值。
这样规定i x 取值后，n 为奇数时有∑=0i x ，则计算参数a 、b 的公式可以简化为∑==-i Y nY a 1（4-15）∑∑=2ii i xY x b （4-16） 例8 某市五金公司1978年到l984年销售额资料为 年份 l978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 销售额 4923 5811 7171 8248 8902 9860 l0800(万元)试预测l985、1986两年的销售额。
时间序列趋势外推预测与决策
时间序列趋势外推预测与决策时间序列趋势外推预测与决策时间序列趋势外推预测是一种利用过去的时间序列数据来预测未来趋势的方法。
它基于时间的流逝和不同因素对时间序列数据的影响，通过建立数学模型来预测未来的发展趋势。
时间序列趋势外推预测在实际中广泛应用于经济、金融、市场等领域，对决策者做出准确的决策具有重要意义。
时间序列趋势外推预测方法主要分为基于统计的方法和基于机器学习的方法。
基于统计的方法主要包括移动平均法、指数平滑法和回归分析法。
移动平均法通过计算一定时期内数据的平均值来确定未来的趋势；指数平滑法则通过对历史数据进行加权计算，给予最近的数据更大的权重，来预测未来的趋势；回归分析法则通过分析多个相关变量之间的关系来预测时间序列的发展趋势。
基于机器学习的方法则更加灵活和准确，其主要包括ARIMA模型、神经网络模型和支持向量机模型。
ARIMA模型是一种广泛使用的时间序列模型，它通过对时间序列数据的自回归、差分和移动平均进行建模，来预测未来的趋势；神经网络模型则通过模拟大脑神经元之间的连接来进行学习和预测；支持向量机模型则通过以少数样本和决策边界为基础进行预测。
时间序列趋势外推预测对于决策者来说具有重要的指导作用。
对于企业而言，通过时间序列趋势外推预测可以预测未来的市场需求和销售趋势，从而调整生产计划和库存管理策略。
对于金融市场而言，通过时间序列趋势外推预测可以对未来的股票价格、汇率和利率等进行预测，从而帮助投资者做出明智的投资决策。
此外，在政府决策中，时间序列趋势外推预测可以用来预测人口变化和经济增长趋势，从而制定合理的政策措施。
然而，时间序列趋势外推预测也存在一定的局限性。
首先，时间序列数据往往受到多个因素的影响，其中包括周期性、季节性和随机性等，这些因素会对预测结果产生一定的影响。
其次，时间序列趋势外推预测在面对非线性和非平稳数据时会出现较大的误差。
最后，时间序列趋势外推预测需要充分的历史数据来建立模型，而在一些新兴领域或者短期预测中往往缺乏足够的历史数据，这也给模型的建立和预测带来一定的困难。
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二、二次移动平均法
当时间序列没有明显的趋势变动时，可以 采用一次移动平均法进行短期预测。 当时间序列出现线性变动趋势时，可以采 用二次移动平均法进行预测。
1.二次移动平均数概念
在一次移动平均数的基础上，再进行一次 移动平均，其值称为二次移动平均数。
9-1 时间序列分析预测法
时间序列分析预测法是将预测目标
的历史数据按照时间的顺序排列成
为时间序列，然后分析它随时间的
变化趋势,外推预测目标的未来值。
一、概念：时间序列
时间序列是指某种经济统计指标的数
值，按时间先后顺序排列起来的数列。
时间序列是时间t的函数，若用Y表示，
则有：
Y=Y（t）
时间序列
相对数时间序列
派生
平均数时间序列
派生
绝对数时间序列 时期序列
时期序列是指由反 映某种社会经济现象在 一段时期内发展过程的 总量指标所构成的序列。 如各个年度的国民 生产总值。
时点序列
时点序列是指由反 映某种社会经济现象在 一定时点上的发展状况 的指标所构成的序列。
如各个年末的人口 总数。
思考：“增加到”、“增加了”这两种 提法，哪个绝对？哪个相对？
(1) t
一次移动平均法预测公式为：
即以第t期的一次移动平均数作为下一期 （t+1期）的预测值。
(1) ˆ Yt 1 M t
(9 - 4)
项数N的选择
N越大，修匀的程度也越大，波动也越小，有利 于消除不规则变动的影响，但同时周期变动难于 反映出来； 反之，N选取得越小，修匀性越差，不规则变动 的影响不易消除，趋势变动不明显。 但N应取多大，应根据具体情况作出决定。实践 中，通常选用几个N值进行试算，通过比较在不 同N值条件下的预测误差，从中选择使预测误差 最小的N值作为移动平均的项数。
4.初始值的确定
式中S0（1）称为初始值，不能通过式（9-15） 求得，一般是事先指定或估计。指定或估 计的方法有两种：当时间序列的项数较多 时，初始值对最终的预测结果影响相对小 一些，可以指定第一项的值为初始值，即S0 （1）=Y ；当时间序列的项数较少时，初始 1 值的大小对最终预测结果的影响就不容忽 视，通常是选取前几项的平均值作为初始 值。
二、时间序列的影响因素
一个时间序列是多种因素综合作用的结果。这 些因素可以分为四种：
1. 2. 3. 4.
长期趋势变动
季节变动 循环变动 不规则变动
1.长期趋势变动
长期趋势变动又称倾向变动，它是指伴随 着经济的发展，在相当长的持续时间内， 单方向的上升、下降或水平变动的因素。 它反映了经济现象的主要变动趋势。 长期趋势变动是时间t的函数，它反映了不 可逆转的倾向的变动。长期趋势变动通常 用T表示，T=T（t）。
2.二次移动平均法预测公式
若时间序列具有线性趋势变动，并预测 未来亦按此趋势变动，则可建立线性趋 势预测模型：
ˆ a bT Y t T t t
T 1,2,
(9 - 8)
式中：
t ——当前时期数 T——当前时期至预测期的时期数 at——对应于当前时期的线性方程的截距系数 bt——对应于当前时期的线性方程的斜率系数
2.循环变动
循环变动是围绕于长期趋势变动周围的周 期性变动。 即循环变动是具有一定周期和振幅的变动。 循环变动是时间的函数，通常用C表示， C=C（t）。
3.季节变动
季节变动是指以一年为周期的周期性变动。 季节变动是时间的函数，通常用S表示， S=S（t）。
4.不规则变动
不规则变动是指由各种偶然因素引起的随 机性变动。 不规则变动通常用I表示，I=I（t）。
均方误差
预测误差可以通过均方误差MSE来度量。
1 2 ˆ MSE (Yt Yt ) K N t N 1
K
式中：K——时间序列的项数
例9-1:
某农机公司某年1月至12月某种农具的销售 量如表9-1。试用一次移动平均法预测次年1 月的销售量。
表9-1 月份数 t 1 2
经济预测与决策
重庆交通大学管理学院
第九章 时间序列趋势外推预测
主要内容及学习目标
1.
2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
9.
了解时间序列的概念，理解时间序列的分解 理解时间序列常用的预测方法 掌握时间序列的滑动(移动)平均预测法 掌握时间序列的指数平滑预测法 理解二次滑动平均预测法 理解二次指数平滑预测法 了解三次指数平滑预测法 掌握时间序列的分解预测法 理解时间序列的温特线性和季节性指数平滑预 测法
一、一次移动平均法
设时间序列为：Y1Y2Yt。一次移动平 均数的计算公式为：
M
(1) t
Yt Yt 1 Yt N 1 , N
t N
(9 - 1)
一次移动平均数的递推公式
Yt Yt 1 ... Yt N 1 M N Yt Yt 1 Yt 2 ... Yt N 1 Yt N Yt N (9 2) N N N (1) Yt Yt N M t 1 (9 - 3) N
一次移动平均数计算表 单位：件 实际销售量 Yt 423 358 一次移动平均数Mt N=3 N=5
3
4 5 6 7 8 9
434
445 527 429 426 502 480
405
412 469 467 461 452 469 437 439 452 466 473
10
11 12
384
427 446
三、时间序列因素的组合形式
时间序列变动是长期趋势变动、季节变动、 循环变动和不规则变动四种因素综合作用 的结果。四种因素组合的形式有多种，有 以下两种基本形式。
1．加法型
Y=T+C+S+I Y=T ·C ·S ·I
2．乘法型
四、时间序列预测的步骤
时间序列预测的一般步骤是：
1.根据已知时间序列，分解各变动因素，并找
出其随时间变动的规律。
2.根据各变动因素的规律，组合分析，求得时
间序列的变动规律。
3.根据时间序列的变动规律进行预测。
9-2 移动平均法
移动平均法是根据时间序列，逐项推移， 依次计算包含一定项数的移动平均数，据 以进行预测的方法。 移动平均法主要有：
一次移动平均法
二次移动平均法
(1) 12
( 2) 12
2 74 68 80
2 2 (1) ( 2) b t b12 (M12 M12 ) (74 68) 3 N 1 5 1
预测
ˆ T 5时，求 Y 12 5： ˆ Y （千吨） 12 5 80 3 5 95
例9-3
已知某企业2000年1至12月利润额，试取平 滑系数=0.1, 0.5, 0.9，分别求出该企业每月 利润的指数平滑值，并预测2001年1月的利 润额。（指定初始值S0（1）=Y1）
解：
当=0.1，S0（1）=51.3时： S1（1）=0.1 51.3 (1 0.1) 51.3 = 51.3 S2（1）=0.1 35.7 (1 0.1) 51.3 = 49.7 S3（1）=0.1 27.9 (1 0.1) 49.7 = 47.6 同理,分别计算出=0.5、=0.9时各指数平滑 值列于表(9-4)中。
S Yt (1 ) M
(1) t (1) t
(1) t 1
(9 -14) (9 -15)
或：S Yt (1 ) S
(1) t -1
式中： ——平滑系数，且01。
2.一次指数平滑法预测模型
一次指数平滑法的预测模型为：
ˆ Y (1 )Y ˆ Y t 1 t t
at、 bt的估计式
由于已知的时间序列具有线性变动规律,所 以有：
2 (1) ( 2) bt (M t M t ) N 1 (1) ( 2) at 2 M t M t
Why?
(9 - 12) (9 - 13)
线性趋势预测模型
根据式（9-12）、（9-13）就可以通过一次 移动平均数和二次移动平均数求出线性预 测模型（9-8）的参数，建立线性趋势预测 模型。
表9-4 各月利润额及指数平滑值 单位：千元
月份 t 1 2 3 4 5 利润额 Yt 51.3 35.7 27.9 32.3 48.2 a=0.1 51.3 49.7 47.6 46 46.2 指数平滑值 a=0.5 51.3 43.5 35.7 34 41.1 a=0.9 51.3 37.3 28.8 32 46.6
62
65 68 71 74 77 80
56
59 62 65 68 71 74 59 62 65 68
解：
分别计算当前时期t=12的一次移动平均 数Mt（1）和 二次移动平均数Mt（2）。 得：M12（1）=74， M12（2）=68 由式（9-12）、（9-13）得：
a t a12 2M M
455
430 419
444
444 448
解：
分别取N=3，N=5，计算各月的一次移动 平均数。 计算两种N值下的均方误差： 由计算结果可见，MSE3>MSE5，故选取 N=5，预测次年1月该农具的销售量为448件。
月份数 t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12