2020年高中数学三角函数的最值问题必修4

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高中数学必修4三角函数知识点与题型总结

三角函数典型考题归类高一数学知识总结必修一一、集合一、集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：(1)元素的确定性如：世界上最高的山(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法：列举法与描述法。

◆注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R1）列举法：{a,b,c……}2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

{x∈R|x-3>2} ,{x| x-3>2}3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4）Venn图:4、集合的分类：(1)有限集含有有限个元素的集合(2)无限集含有无限个元素的集合(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集A⊆有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

注意：B⊆/B或B⊇/A 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”即：①任何一个集合是它本身的子集。

A⊆A②真子集:如果A⊆B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)③如果 A⊆B, B⊆C ,那么 A⊆C④如果A⊆B 同时 B⊆A 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集二、函数1、函数定义域、值域求法综合2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略3、恒成立问题的求解策略4、反函数的几种题型及方法5、二次函数根的问题——一题多解&指数函数y=a^xa^a*a^b=a^a+b(a>0,a 、b 属于Q) (a^a)^b=a^ab(a>0,a 、b 属于Q) (ab)^a=a^a*b^a(a>0,a 、b 属于Q) 指数函数对称规律：1、函数y=a^x 与y=a^-x 关于y 轴对称2、函数y=a^x 与y=-a^x 关于x 轴对称3、函数y=a^x 与y=-a^-x 关于坐标原点对称 &对数函数y=loga^x如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○2 =NMa log M a log －N a log ； ○3 n a M log n =M a log )(R n ∈．注意：换底公式abb c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．幂函数y=x^a(a 属于R)1、幂函数定义：一般地，形如αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数，其中α为常数． 2、幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；（2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

【人教A版高一数学单元总结】必修4《三角函数》单元总结及答案解析

必修4《三角函数》单元总结一、知识整合二、能力强化类型一：任意角的三角函数的定义及三角函数线掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数的定义求三角函数值，利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域.例1、函数y＝lg(2sin x－1)＋1－2cos x的定义域为________.【精彩点拨】先列出三角函数的不等式组，再借助于三角函数线或三角函数的图象求解.[再练一题]1.求函数f(x)＝－sin x＋tan x－1的定义域.类型二：三角函数的最值问题三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，它往往与二次函数、三角函数图象、函数的单调性等知识联系在一起，有一定的综合性.在求解时，一要注意三角函数式的变形方向；二要注意正弦、余弦函数本身的有界性，还要注意灵活运用方法.例2、求函数f (x )＝cos 2x ＋sin x ＋1⎝ ⎛ －π4≤x⎭⎪⎫≤π4的最小值. 【精彩点拨】本题应先通过同角三角函数关系式将函数转化成关于sin x 的二次函数，然后再求最小值.[再练一题]2.求函数y ＝cos 2x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4的值域.类型三：三角函数的图象及变换三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现.在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质.例3、如图11是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k ⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的一段图象.图11(1)求此函数解析式；(2)分析一下该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的？【精彩点拨】 (1)先确定A ，k ，再根据周期求ω，最后确定φ. (2)可先平移再伸缩，也可先伸缩再平移.[再练一题]3.已知函数y ＝12cos x ＋12|cos x |.(1)画出函数的简图；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期； (3)指出这个函数的单调增区间.类型四：三角函数的性质三角函数的性质，重点应掌握y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)及y ＝A tan(ωx ＋φ)的相关性质.在研究其相关性质时，将ωx ＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧.例4、已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1(其中a 为常数).(1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值；(3)求f (x )取最大值时x 的取值集合. 【精彩点拨】 (1)将2x ＋π6看成一个整体，利用y ＝sin x 的单调区间求解. (2)先求x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时2x ＋π6的范围，再根据最值求a 的值.(3)先求f (x )取最大值时2x ＋π6的值，再求x 的值.[再练一题]4.已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值.类型五：数形结合思想数形结合思想就是把抽象的数学语言与直观图形相结合进行思考，使抽象思维和形象思维结合，通过“以形助数”和“以数解形”使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而起到优化解题过程的目的.“以形助数”是借助形的生动和直观来阐述数间的联系.“以数解形”是借助于数的精确性、规范性、严密性来阐明形的某些属性.由于三角函数具有实际的几何背景，因此，在本章中，处处可见“数形结合”思想的身影.例5、函数y ＝2－sin x3＋cos x的最小值为________，最大值为________.【精彩点拨】根据题目特征，构造符合题意图形，运用“数形结合”思想往往可以很简捷地解决问题.[再练一题]5.求函数y ＝sin x ＋1cos x －2的值域.类型六：转化与化归的思想化归思想贯穿本章的始终，在三角函数的恒等变形中，同角关系式和诱导公式常化繁为简，化异为同，弦切互化；在研究三角函数的图象与性质时，常把函数y ＝A sin(ωx ＋φ)化归为简单的y ＝sin x 来研究.这些均体现三角函数中的转化与化归的思想方法.例6、求函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－23x 的单调区间. 【精彩点拨】求三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，需先保证x 的系数为正值，如果ω<0，那么应先进行转化，将x 的系数化为正数，再求解.[再练一题]6.求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递增区间.三、真题检测1.将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( )A.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4 D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图12所示，则( )图12A.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3 3.函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图13所示，则f (x )的单调递减区间为( )图13A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈ZC.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z4.设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x .当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A.12 B.32C.0D.－125.为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( ) A.向左平行移动12个单位长度B.向右平行移动12个单位长度C.向左平行移动1个单位长度D.向右平行移动1个单位长度6.函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的最小正周期是( ) A.π2 B.π C.2πD.4π7.已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝__________.必修4《三角函数》单元总结（答案解析）一、知识整合[自我校对]①180° ②|α|R ③12lR ④相等⑤1 ⑥sin αcos α ⑦周期性 ⑧奇偶性⑨单调性 ⑩定义域 ⑪值域二、能力强化类型一：任意角的三角函数的定义及三角函数线掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数的定义求三角函数值，利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域.例1、函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域为________.【精彩点拨】先列出三角函数的不等式组，再借助于三角函数线或三角函数的图象求解.【答案】要使函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －1>0，1－2cos x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >12，cos x ≤12，解得⎩⎪⎨⎪⎧π6＋2k π<x <56π＋2k π，π3＋2k π≤x ≤53π＋2k π，(k ∈Z )∴π3＋2k π≤x <5π6＋2k π(k ∈Z ). 故所求函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π3＋2k π≤x ＜56π＋2k π，k ∈Z. [再练一题]1.求函数f (x )＝－sin x ＋tan x －1的定义域. 【答案】要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧－sin x ≥0，tan x －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≤0，tan x ≥1，如图所示，结合三角函数线知⎩⎪⎨⎪⎧2k π＋π≤x ≤2k π＋2πk ∈Z ，k π＋π4≤x <k π＋π2k ∈Z ，∴2k π＋5π4≤x <2k π＋3π2(k ∈Z ).故f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋5π4，2k π＋3π2(k ∈Z ).类型二：三角函数的最值问题三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，它往往与二次函数、三角函数图象、函数的单调性等知识联系在一起，有一定的综合性.在求解时，一要注意三角函数式的变形方向；二要注意正弦、余弦函数本身的有界性，还要注意灵活运用方法.例2、求函数f (x )＝cos 2x ＋sin x ＋1⎝ ⎛ －π4≤x⎭⎪⎫≤π4的最小值.【精彩点拨】本题应先通过同角三角函数关系式将函数转化成关于sin x 的二次函数，然后再求最小值.【答案】 f (x )＝cos 2x ＋sin x ＋1＝1－sin 2x ＋sin x ＋1 ＝－sin 2x ＋sin x ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋94，又－π4≤x ≤π4，所以－22≤sin x ≤22.故当sin x ＝－22时，f (x )取最小值3－22. [再练一题]2.求函数y ＝cos 2x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4的值域.【答案】y ＝－sin 2x －sin x ＋1，令t ＝sin x . ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22.原函数可化为y ＝－t 2－t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋54，∴当t ＝－12时，有y max ＝54；当t ＝22时，有y min ＝1－22. 故原函数值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，54. 类型三：三角函数的图象及变换三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现.在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质.例3、如图11是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k ⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的一段图象.图11(1)求此函数解析式；(2)分析一下该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的？【精彩点拨】 (1)先确定A ，k ，再根据周期求ω，最后确定φ. (2)可先平移再伸缩，也可先伸缩再平移.【答案】(1)由图象知A ＝－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝12，k ＝－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝－1，T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝π，∴ω＝2πT ＝2，∴y ＝12sin(2x ＋φ)－1.当x ＝π6时，2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6，∴所求函数解析式为y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1.(2)把y ＝sin x 向左平移π6个单位得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，最后把函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向下平移1个单位，得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1的图象.[再练一题]3.已知函数y ＝12cos x ＋12|cos x |.(1)画出函数的简图；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期； (3)指出这个函数的单调增区间. 【答案】(1)y ＝12cos x ＋12|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2k ∈Z ，0，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2k ∈Z函数图象如图所示.(2)该函数是周期函数，且由图象可知函数的最小正周期是2π. (3)由图象可知函数的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π(k ∈Z ).类型四：三角函数的性质三角函数的性质，重点应掌握y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)及y ＝A tan(ωx ＋φ)的相关性质.在研究其相关性质时，将ωx ＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧.例4、已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1(其中a 为常数). (1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值； (3)求f (x )取最大值时x 的取值集合.【精彩点拨】 (1)将2x ＋π6看成一个整体，利用y ＝sin x 的单调区间求解. (2)先求x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时2x ＋π6的范围，再根据最值求a 的值. (3)先求f (x )取最大值时2x ＋π6的值，再求x 的值. 【答案】(1)由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ， ∴函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z )，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ， ∴函数f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z ). (2)∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6， ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1， ∴f (x )的最大值为2＋a ＋1＝4，∴a ＝1.(3)当f (x )取最大值时，2x ＋π6＝π2＋2k π， ∴2x ＝π3＋2k π，∴x ＝π6＋k π，k ∈Z ， ∴当f (x )取最大值时，x 的取值集合是 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝π6＋k π，k ∈Z . [再练一题]4.已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值. 【答案】 (1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由(1)的计算结果知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4上的图象知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取得最大值2＋1；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )取得最小值0. 综上，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0. 类型五：数形结合思想数形结合思想就是把抽象的数学语言与直观图形相结合进行思考，使抽象思维和形象思维结合，通过“以形助数”和“以数解形”使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而起到优化解题过程的目的.“以形助数”是借助形的生动和直观来阐述数间的联系.“以数解形”是借助于数的精确性、规范性、严密性来阐明形的某些属性.由于三角函数具有实际的几何背景，因此，在本章中，处处可见“数形结合”思想的身影.例5、函数y ＝2－sin x 3＋cos x的最小值为________，最大值为________. 【精彩点拨】根据题目特征，构造符合题意图形，运用“数形结合”思想往往可以很简捷地解决问题.【答案】 3－34 3＋34【规范解答】如图所示，y ＝2－sin x 3＋cos x可看做定点A (3,2)与动点B (－cos x ，sin x )连线的斜率，而动点(－cos x ，sin x )是单位圆上点，故问题转化为定点与单位圆上点B 连线的斜率的最值问题.根据数形结合不难得知，当连线与圆相切时，斜率取最值，解得y min ＝3－34，y max ＝3＋34. [再练一题]5.求函数y ＝sin x ＋1cos x －2的值域. 【答案】将y ＝sin x ＋1cos x －2看成是单位圆上的点(cos x ，sin x )到点(2，－1)的斜率，即求斜率的范围.如图所示，由解析几何知识可求得过点(2，－1)，且与单位圆有交点的直线的斜率k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，0，即y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，0.类型六：转化与化归的思想化归思想贯穿本章的始终，在三角函数的恒等变形中，同角关系式和诱导公式常化繁为简，化异为同，弦切互化；在研究三角函数的图象与性质时，常把函数y ＝A sin(ωx ＋φ)化归为简单的y ＝sin x 来研究.这些均体现三角函数中的转化与化归的思想方法. 例6、求函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－23x 的单调区间. 【精彩点拨】求三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，需先保证x 的系数为正值，如果ω<0，那么应先进行转化，将x 的系数化为正数，再求解.【答案】将原函数化为y ＝－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －π4. 由2k π－π2≤23x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得3k π－38π≤x ≤3k π＋98π(k ∈Z )，此时函数单调递减；由2k π＋π2≤23x －π4≤2k π＋32π(k ∈Z )，得3k π＋98π≤x ≤3k π＋218π(k ∈Z )，此时函数单调递增.故原函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k π－38π，3k π＋98π(k ∈Z )，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k π＋98π，3k π＋218π(k ∈Z ). [再练一题]6.求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递增区间. 【答案】y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4. 令z ＝x －π4，则y ＝－2sin z . ∵z 是x 的一次函数，∴要取y ＝－2sin z 的递增区间，即取sin z 的递减区间，即2k π＋π2≤z ≤2k π＋3π2(k ∈Z )， ∴2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )， 2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )， ∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的递增区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z ). 三、真题检测1.将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( ) A.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 B.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 C.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4 D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 【答案】 D【解析】函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位长度，所得图象对应的函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D. 2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图12所示，则( )图12A.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 B.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 C.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6 D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 【答案】 A【解析】由图象知T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，故T ＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图象的一个最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，所以A ＝2，且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，故φ＝2k π－π6(k ∈Z )，结合选项可知y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.故选A. 3.函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图13所示，则f (x )的单调递减区间为( )图13A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 【答案】 D【解析】由图象知，周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D.4.设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x .当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝() A.12 B.32C.0D.－12【答案】 A【解析】 ∵f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，∴f (x ＋2π)＝f (x ＋π)－sin x .∴f (x ＋2π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x ).∴f (x )是以2π为周期的周期函数.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－12.∵当0≤x <π时，f (x )＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12.故选A.5.为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( )A.向左平行移动12个单位长度B.向右平行移动12个单位长度C.向左平行移动1个单位长度D.向右平行移动1个单位长度【答案】 A【解析】 y ＝sin 2x 的图象向左平移12个单位长度得到函数y ＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的图象，即函数y ＝sin(2x ＋1)的图象.6.函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的最小正周期是( ) A.π2B.πC.2πD.4π 【答案】 B【解析】最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π.故选B. 7.已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝__________.【答案】 π2【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2sin ωx ，y ＝2cos ωx 得sin ωx ＝cos ωx ，∴tan ωx ＝1，ωx ＝k π＋π4(k ∈Z ). ∵ω>0，∴x ＝k πω＋π4ω(k ∈Z ). 设距离最短的两个交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，不妨取x 1＝π4ω，x 2＝5π4ω，则|x 2－x 1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5π4ω－π4ω＝πω. 又结合图形知|y 2－y 1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－2×22＝22，且(x 1，y 1)与(x 2，y 2)间的距离为23，∴(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(23)2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫πω2＋(22)2＝12，∴ω＝π2.。

高中数学专题考案(3)三角板块第4课三角函数的最值

数学三角板块第4课三角函数的最值已知f (x )=4m sin x -cos2x (x ∈R ).若f (x )的最大值为3，求实数m 的值.分析将sin x 整体代换成变量t ，通过学习过的正弦函数的值域赋予变量t 的取值范围，再运用二次函数的理论求得满足题意的结果.解f (x )=4m sin x -cos2x =2sin 2x +4m sin x -1=2(sin x +m )2-(2m 2+1),令t =sin x ,则f (x )可化为g (t )=2(t +m )2-(2m 2+1)(-1≤t ≤1).①当-m ≤0时，则在t =1处,f (x )max =1+4m , 由⎩⎨⎧≤-=+0341m m 得m =21;②当-m >0时，则在t =-1处，f (x )max =1-4m ,由⎩⎨⎧>-=-0341m m ;综上，m =±21.点评本题主要考查三角函数的值域问题和二次函数的值域问题. 一、选择题(9×3′＝27′)1．函数y =2sin x sin2x 的最大值是 ( ) A .398 B.2764C.932D.2 2．若函数y =1-2cos x -2sin 2x 的值域为［a ,b ］，则b 2+4a 的值为 ( )A.1B.2C.3D.43．函数y =(sin 2x +csc 2x )+(cos 2x +sec 2x )的最小值是 ( ) A.4 B.3 C.5 D.不存在4．函数y =cos2x +3sin x 的最小值与最大值分别是 ( )A.-4,4B.817,4 C.-4, 817 D-817,817 5．函数y =log 2(1+sin x )+log 2(1-sin x )，当x ∈［-6π,4π］时的值域为 ( )A.［-1,0］B.(-1,]0C.［0,1］D.［0,1］6．函数f (x )=sin(2π-x )·sin(2π+2x )·cos(25π+x )的最大值和最小值分别为 ( )A.41,-41 B 21,-21C.1,-1D.1,0 7．函数y =x 21x -,x ∈［-1,1］的最大值、最小值分别是 ( )A .1，0 B.1,-1 C.21，-21 D 21，0 8．函数y =x2sin 3+sin 2x (x ≠k π,k ∈Z )的值域是 ( ) A.［23,+)∞ B.(1,2]3 C.(0,]4 D.［4,+∞］9．当0<x <4π时，函数f (x )=xx x x22sin sin cos cos -的最小值是 ( )A.41 B.21C.2D.4 二、填空题(4×3′＝12′)10．y =sin(x -6π)cos x 的最大值是，最小值是 . 11．函数y =2sin(kx -12π)的周期为T ,且T ∈(1,3)，则正整数k 的最大值是 . 12．函数f (x )=2sin 1sin 3+-x x 的最大值和最小值分别为和 .13．已知函数y =a cos x +b 的最大值为1，最小值为-7,则a cos x +b sin x 的最大值是 . 三、解答题(7′＋3×8′＋10′＝41′)14．求函数f (x )=xxx x x 2sin 2cos sin cos sin 2244-++的最小正周期，最大值和最小值.15．求下列函数的最值：(1)y =2sec 2x +cot 4x .(2)y =(1+cos x )·sin2x(0<x <π). 16．求函数y =sin x ·cos x +a (sin x +cos x )的最值.17．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且cos A =31. (1)求sin 22CB ++cos2A 的值;(2)若a =3,求bc 的最大值.18．欲修建一横断面为等腰梯形(如图1)的水渠，为降低成本必须尽量减少水与渠壁的接触面，若水渠横断面面积设计为定值S ，渠深h ，则水渠壁的倾角α(0<α<90)应为多大时，方能使修建成本最低? 四、思考与讨论 (2×10′＝20′) 19．求函数y =x 2sin 41-+|sin x |的值域. 20．记x 的函数y =1-2a -2a cos x -2sin 2x 的最小值为f (a ),试用a 表示f (a ).图1数学参考答案1．A y =4sin 2x cos x =2.3983cos 2sin sin 22cos 2sin sin 23222222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++≤∙∙∙x x x x x x 2．C y =cos2x -2cos x =2cos 2x -2cos x -1=2(cos x -21)2-23. 当cos x =21时,y min =-23=a ;当cos x =-1时,y max =3=b .∴b 2+4a =9+4×(-23)=3. 3．C y =1+csc 2x +sec 2x =3+cot 2x +tan 2x ≥3+2=5. 4．C y =1-2sin 2x +3sin x =-2(sin x -43)2+817.sin x =43时，y max =817;sin x =-1时，y min =-4. 5．A y =log 2(1-sin 2x )=log 2cos 2x .x ∈［-6π,4π］时，cos x ∈［22,1］，cos 2x ∈［21,1］∴y ∈［-1,0］.6．A ∵f (x )=cos2x ·cos x ·(-sin x )=-41sin4x ,∴最大值和最小值分别为41.-41. 7．C 设x =sin α,α∈［-2π,2π］,则y =sin αcos α=21sin2α，2α∈［-π,π］，∴-21≤y ≤21.8．D 设t =sin 2x ,t ∈(0,1)，y =t +t3在(0,1］上为减函数，∴y ≥1+13=4.9．D ∵0<x <4π,∴cos 2x ≠0,∴f (x )=41)21(tan 1tan tan 122+--=-x xx ,∴f (x )min =4,此时，tan x =21. 10．41;-43 y =21［sin(2x -6π)-sin 6π］=21sin(2x-6π)-41.y max =21-41=41,y min =-21-41=-43. 11．6 由题意1<32,1231,3||2π<π<∴<πk k <k <2π,∴k 的最大值为6. 12．32;-4 由y =2sin 732sin 1sin 3+-=⇒+-x y x x ,sin x =1时，y max =32;sin x =-1时，y min =-4. 13．5 .34||7||1||⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧-=+-=+b a b a b a a cos x +b sin x =22b a +sin(x +φ)≤22b a +=5. 14．分析将f (x )化简成y =A sin(ωx +φ)+k 形式，再由周期公式T =||2ωπ，及三角函数性质求最值.解 f (x ) =)cos sin 1(2cos sin 1cos sin 22cos sin )cos (sin 2222222x x x x x x x x x x --=--+=21(1+sin x cos x )=41sin2x +21.所以函数f (x )的最小正周期是π,最大值是43,最小值是41. 点评本题是一道基础题，难度系数不大，主要考查三角公式的简单变形，化简以及三角函数的周期性和最值性.15．解 (1)y =2(1+tan 2x )+cot 4x =2+tan 2x +tan 2x +cot 4x ≥2+3422cot tan tan x x x ∙∙=2+3=5，当且仅当x =n π±4π时等号成立(n ∈Z ),∴y min =5,无最大值. (2)∵0<x <π,∴sin 2x >0,y 2=4cos 42x ·sin 22x=2cos 22x ·cos 22x ·2sin 22x≤2271632sin 22cos 2cos 3222=++xx x ，当且仅当tan2x =22时等号成立，∴y ≤394，即y max =394,无最小值. 16．解设sin x +cos x =t ,则sin x ·cos x =21(t 2-1),t =sin x +cos x =2sin(x +4π)∈［-2,2］,y =21(t 2-1)+at =21t 2+at -21=21(t +a )2-21a 2-21(t ∈［-2,2］) (1)若-a <-2,即a >2时当t =-2时,y min =-2a +21;当t =2时,y max =2a +21; (2)若-2≤-a ≤0即0≤a ≤2时当t =-a 时,y min =-21a 2-21;当t =2时,y max =2a +21; (3)若0<-a ≤2,即-2≤a <0时当t =-a 时,y min =-21a 2-21;当t =-2时y max =-2a +21; (4)若-a >2,即a <-2时当t =2时,y min =2a +21;当t =-2时,y max =-2a +21. 点评一个看似简单的题目，讨论却很繁琐，本题将三角函数与二次函数结合，是三角函数中经常命题的一种方式，值得注意.17．分析（1）分别用降幂公式、二倍角公式，化简所求式子再求值.(2)三角形中出现bc 联想用余弦定理解题.数学解（1）sin 22C B ++cos2A =21［1-cos(B +C )］+(2cos 2A -1) =21(1+cos A )+(2cos 2A -1)=21(1+31)+ (92-1)=-91. (2)∵bc a c b 2222-+=cos A =31,∴32bc =b 2+c 2-a 2≥2bc -a 2.∴bc ≤43a 2,又∵a =3,∴(bc )max =49.当且仅当b =c =23时，bc =49,故bc 的最大值是49.点评本题通过以三角函数为载体，考查了三角函数的诱导公式、倍角公式、余弦定理等知识，更以三角函数为载体考查了均值不等式，以及考查了学生的运算能力. 18．解作BE ⊥DC 于E (图略)，在Rt △BEC 中，BC =αsin h,CE =h cot α，又AB -CD =2CE =2h cot α,AB +CD =h S 2,故CD =hS-h cot α. 设y =AD +DC +BC ,则y =αα-+=α+α-sin )cos 2(sin 2cot h h S h h h S (0°<α<90°)，由于S 与h 是常量，欲使y 最小，只需u=αα-sin cos 2取最小值，u 可看作(0，2)与(-sinα,cos α)两点连线的斜率，由于α∈(0°,90°),点(-sin α,cos α)在曲线x 2+y 2=1(-1<x <0,0<y <1)上运动，当过(0，2)的直线与曲线相切时，直线斜率最小，此时切点为(-23，21)，则有sin α=23,且cos α=21，那么α=60°，故当α=60°时，修建成本最低. 19．解设t =|sin x |，则有t ∈［0,21］，故y =241t -+t . 由于t ∈［0, 21］,令t =21sin θ,θ∈［0, 2π］,∴y =θ-2sin 4141+21sin θ=22sin(θ+4π). ∵θ∈［0, 2π］，θ+4π∈［4π,43π］，∴sin(θ+4π)∈［22,1］． ∴22sin(θ+4π)∈[21,22].∴原函数的值域为［21，22］．20．解 y =1-2a -2a cos x -2sin 2x =1-2a -2a cos x -2(1-cos 2x )=2(cos x -2a )2-22a -2a -1∴f (a )=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧----1411222a a a（-2≤a ≤2）（a >2）（a <-2）。

高中数学必修4三角函数常考题型：正弦函数、余弦函数的性质(二)

【知识梳理】正弦函数、余弦函数的性质函数y ＝sin x y ＝cos x 定义域 R 值域[－1,1] 图像单调性在⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z 上递增；在⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π，k ∈Z 上递减在[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z 上递增；在[2k π，π＋2k π]，k ∈Z 上递减最值当x ＝－π2＋2k π，k ∈Z 时，y min ＝－1；当x ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，y max ＝1 当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，y min＝－1；当x ＝2k π，k ∈Z 时，y max ＝1 对称轴 x ＝π2＋k π，k ∈Z x ＝k π，k ∈Z 对称中心(k π，0)，k ∈Z ⎝⎛⎭⎫π2＋k π，0，k ∈Z 题型一、正、余弦函数的单调性【例1】求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的单调区间． [解]令z ＝x －π3，则y ＝2sin z . ∵z ＝x －π3是增函数， ∴y ＝2sin z 单调递增(减)时，函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3也单调递增(减)．由z ∈⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，得x －π3∈⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，即x ∈⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z )，故函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的单调递增区间为 ⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z )．同理可求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的单调递减区间为 ⎣⎡⎦⎤2k π＋5π6，2k π＋116π(k ∈Z )．【类题通法】与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧(1)结合正弦、余弦函数的图像，熟记它们的单调区间．(2)确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx ＋φ看作一个整体，可令“z ＝ωx ＋φ”，即通过求y ＝A sin z 的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x 的系数转变为正数．【对点训练】求函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递减区间．解：∵y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， ∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3是增函数时， y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 是减函数． ∵函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )上是增函数， ∴－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，即－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π(k ∈Z )． ∴函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π(k ∈Z ). 题型二、三角函数值的大小比较【例2】比较下列各组数的大小：(1)sin 250°与sin 260°；(2)cos 15π8与cos 14π9. [解](1)∵函数y ＝sin x 在[90°，270°]上单调递减，且90°<250°<260°<270°，∴sin 250°>sin 260°.(2)cos 15π8＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－π8＝cos π8， cos 14π9＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－4π9＝cos 4π9. ∵函数y ＝cos x 在[0，π]上单调递减，且0<π8<4π9<π， ∴cos π8>cos 4π9，∴cos 15π8>cos 14π9. 【类题通法】比较三角函数值大小的方法(1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上．【对点训练】比较下列各组数的大小．(1)cos ⎝⎛⎭⎫－π8与cos 13π7； (2)sin 194°与cos 160°.解：(1)cos ⎝⎛⎭⎫－π8＝cos π8， cos 13π7＝cos ⎝⎛⎭⎫π＋6π7＝－cos 6π7＝cos π7. ∵0＜π8＜π7＜π，且y ＝cos x 在(0，π)上单调递减， ∴cos π8＞cos π7，即cos ⎝⎛⎭⎫－π8＞cos 13π7. (2)sin 194°＝sin (180°＋14°)＝－sin 14°，cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°.∵0°＜14°＜70°＜90°且y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增， ∴sin 70°＞sin 14°，即－sin 14°＞－sin 70°.故sin 194°＞cos 160°.题型三、正、余弦函数的最值问题【例3】求下列函数的值域：(1)y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2； (2)y ＝cos 2x －4cos x ＋5.[解](1)由y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2可得 x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，函数y ＝cos x 在区间⎣⎡⎦⎤π6，2π3上单调递减，所以函数的值域为⎣⎡⎦⎤－12，32. (2)令t ＝cos x ，则－1≤t ≤1.∴y ＝t 2－4t ＋5＝(t －2)2＋1，∴t ＝－1时，y 取得最大值10，t ＝1时，y 取得最小值2.所以y ＝cos 2x －4cos x ＋5的值域为[2,10]．【类题通法】求三角函数值域的常用方法(1)求解形如y ＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b )的函数的最值或值域问题时，利用正、余弦函数的有界性(－1≤sin x ，cos x ≤1)求解．求三角函数取最值时相应自变量x 的集合时，要注意考虑三角函数的周期性．(2)求解形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (或y ＝a cos 2x ＋b cos x ＋c )，x ∈D 的函数的值域或最值时，通过换元，令t ＝sin x (或cos x )，将原函数转化为关于t 的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t ＝sin x (或cos x )的有界性．【对点训练】求函数f (x )＝2sin 2x ＋2sin x －12，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6的值域．解：令t ＝sin x ，y ＝f (x )，∵x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6，∴12≤sin x ≤1，即12≤t ≤1. ∴y ＝2t 2＋2t －12＝2⎝⎛⎭⎫t ＋122－1，∴1≤y ≤72， ∴函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤1，72. 【练习反馈】1．函数y ＝2－sin x 的最大值及取最大值时x 的值为( ) A ．y max ＝3，x ＝π2B ．y max ＝1，x ＝π2＋2k π(k ∈Z ) C ．y max ＝3，x ＝－π2＋2k π(k ∈Z ) D ．y max ＝3，x ＝π2＋2k π(k ∈Z )解析：选C ∵y ＝2－sin x ，∴当sin x ＝－1时，y max ＝3，此时x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )． 2．下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 解析：选A 因为函数的周期为π，所以排除C 、D.又因为y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为增函数，故B 不符．只有函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数． 3．sin 3π5，sin 4π5，sin 9π10，从大到小的顺序为________．解析：∵π2<3π5<4π5<9π10<π，又函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤π2，π上单调递减，∴sin 3π5>sin 4π5>sin 9π10. 答案：sin 3π5>sin 4π5>sin 9π104．若y ＝a sin x ＋b 的最大值为3，最小值为1，则ab ＝________.解析：当a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝3，－a ＋b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝2.当a <0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，－a ＋b ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.答案：±25．求函数y ＝13sin ⎝⎛⎭⎫π6－x ，x ∈[0，π]的单调递增区间．解：由y ＝－13sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的单调性，得π2＋2k π≤x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，即2π3＋2k π≤x ≤5π3＋2k π，k ∈Z . 又x ∈[0，π]，故2π3≤x ≤π. 即单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2π3，π.。

三角函数ω的取值范围及解三角形中的范围与最值问题(解析版)-高中数学

三角函数ω的取值范围及解三角形中的范围与最值问题命题预测三角函数与解三角形是每年高考常考内容，在选择、填空题中考查较多，有时会出现在选择题、填空题的压轴小题位置，综合考查以解答题为主，中等难度．高频考法(1)ω取值与范围问题(2)面积与周长的最值与范围问题(3)长度的范围与最值问题01ω取值与范围问题1、f (x )=A sin (ωx +φ)在f (x )=A sin (ωx +φ)区间(a ，b )内没有零点⇒b -a ≤T2k π≤aω+ϕ<π+k πk π<bω+ϕ≤π+k π⇒b -a ≤T2a ≥k π-ϕωb ≤π+k π-ϕω同理，f (x )=A sin (ωx +φ)在区间[a ，b ]内没有零点⇒b -a ≤T2k π<aω+ϕ<π+k πk π<bω+ϕ<π+k π ⇒b -a <T2a >k π-ϕωb <π+k π-ϕω2、f (x )=A sin (ωx +φ)在区间(a ，b )内有3个零点⇒T <b -a ≤2T k π≤aω+ϕ<π+k π3π+k π<bω+ϕ≤4π+k π⇒T <b -a ≤2T k π-φω≤a <(k +1)π-φω(k +3)π-φω<b ≤(k +4)π-φω同理f (x )=A sin (ωx +φ)在区间[a ，b ]内有2个零点⇒T2≤b -a <3T2k π<aω+ϕ≤π+k π2π+k π≤bω+ϕ<3π+k π ⇒T 2≤b -a <3T2k π-φω<a ≤k π+π-φω(k +2)π-φω≤b <(k +3)π-φω 3、f (x )=A sin (ωx +φ)在区间(a ，b )内有n 个零点⇒(n-1)T2≤b-a<(n+1)T2kπ-φω≤a<kπ+π-φω(k+n)π-φω<b≤(k+n+1)π-φω同理f(x)=A sin(ωx+φ)在区间[a，b]内有n个零点⇒(n-1)T2≤b-a<(n+1)T2kπ-φω<a≤kπ+π-φω(k+n)π-φω≤b<(k+n+1)π-φω4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为2n+14T，则2n+14T=(2n+1)π2ω=b-a ．5、已知单调区间(a,b)，则a-b≤T 2.1(2024·江苏南通·二模)已知函数y=3sinωx+cosωx(ω>0)在区间-π4,2π3上单调递增，则ω的最大值为()A.14B.12C.1211D.83【答案】B【解析】因为y=3sinωx+cosωx=2sinωx+π6，又ω>0，由-π2+2kπ≤ωx+π6≤π2+2kπ,k∈Z，得到-2π3+2kπω≤x≤π3+2kπω,k∈Z，所以函数y=3sinωx+cosωx的单调增区间为-2π3+2kπω,π3+2kπω(k∈Z)，依题有-π4,2π3⊆-2π3+2kπω,π3+2kπω(k∈Z)，则2π3≤π3ω-2π3ω≤-π4，得到0<ω≤12，故选：B.2(2024·四川泸州·三模)已知函数f x =sinωx-2π3(ω>0)在0,π 有且仅有三个零点，则ω的取值范围是()A.83,11 3B.83,113C.53,83D.53,83【答案】B【解析】因为0≤x≤π，所以-2π3≤ωx-2π3≤ωπ-2π3，因为函数f x =sinωx-2π3(ω>0)在0,π 有且仅有三个零点，结合正弦函数的图象可知2π≤ωπ-2π3<3π，解得83≤ω<113，故选：B.3(2024·四川德阳·二模)已知函数f x =sinωx+φ(ω>0,φ∈R)在区间7π12,5π6上单调，且满足f7π12=-f3π4 ．给出下列结论，其中正确结论的个数是()①f2π3=0；②若f5π6-x=f x ，则函数f x 的最小正周期为π；③关于x的方程f x =1在区间0,2π上最多有3个不相等的实数解；④若函数f x 在区间2π3,13π6上恰有5个零点，则ω的取值范围为83,103．A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】①因为f7π12=-f3π4 且7π12+3π42=2π3，所以f2π3=0.①正确.②因为f5π6-x=f(x)所以f(x)的对称轴为x=5π62=5π12,2π3-5π12=π4=T4⇒T=π.②正确.③在一个周期内f x =1只有一个实数解，函数f x 在区间7π12,5π6上单调且f2π3 =0，T≥45π6-2π3=2π3.当T=2π3时，f x =sin3x，f x =1在区间0,2π上实数解最多为π6,5π6,3π2共3个.③正确.④函数f x 在区间2π3,13π6上恰有5个零点，2T<13π6-2π3≤5T2⇒2⋅2πω<13π6-2π3≤52⋅2πω，解得83<ω≤103；又因为函数f x 在区间7π12,5π6上单调且f2π3 =0，T≥45π6-2π3=2π3，即2πω≥2π3⇒ω≤3，所以ω∈83,3.④错误故选：C4(2024·江苏泰州·模拟预测)设函数f x =2sinωx-π6-1ω>0在π,2π上至少有两个不同零点，则实数ω的取值范围是()A.32,+∞ B.32,73 ∪52,+∞ C.136,3 ∪196,+∞ D.12,+∞ 【答案】A【解析】令2sin ωx -π6 -1=0得sin ωx -π6 =12，因为ω>0，所以ωx -π6>-π6，令sin z =12，解得z =π6+2k π,k ∈Z 或z =5π6+2k 1π,k 1∈Z ，从小到大将sin z =12的正根写出如下：π6，5π6，13π6，17π6，25π6，29π6⋯⋯，因为x ∈π,2π ，所以ωx -π6∈ωπ-π6,2ωπ-π6，当ωπ-π6∈0,π6 ，即ω∈16,13 时，2ωπ-π6≥5π6，解得ω≥12，此时无解，当ωπ-π6∈π6,5π6 ，即ω∈13,1 时，2ωπ-π6≥13π6，解得ω≥76，此时无解，当ωπ-π6∈5π6,13π6 ，即ω∈1,73 时，2ωπ-π6≥17π6，解得ω≥32，故ω∈32,73，当ωπ-π6∈13π6,17π6 ，即ω∈73,3 时，2ωπ-π6≥25π6，解得ω≥136，故ω∈73,3，当ω≥3时，2ωπ-π6-ωπ-π6=ωπ≥3π，此时f x 在π,2π 上至少有两个不同零点，综上，ω的取值范围是32,+∞ .故选：A02面积与周长的最值与范围问题正弦定理和余弦定理是求解三角形周长或面积最值问题的杀手锏，要牢牢掌握并灵活运用．利用三角公式化简三角恒等式，并结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等求其最值．1(2024·青海·模拟预测)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a cos 2B +2b cos A cos B =c ．(1)求B ；(2)若b =4，△ABC 的面积为S ．周长为L ，求SL的最大值．【解析】(1)由正弦定理可得，2sin A cos 2B +2sin B cos A cos B =sin C ，所以2sin A cos 2B +2sin B cos A cos B =sin A cos B +cos A sin B ,所以sin A cos B (2cos B -1)+cos A sin B (2cos B -1)=0，即(2cos B -1)sin (A +B )=0，由0<A +B <π，可知sin (A +B )≠0，所以2cos B -1=0，即cos B =12，由0<B <π，知B =π3.(2)由余弦定理，得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，即16=a 2+c 2-ac ，所以16=a +c 2-3ac ，即ac =13a +c 2-16 ，因为S =12ac sin B =34ac ，L =a +b +c ，所以S L =3ac 4a +c +4=3a +c 2-1612a +c +4，所以S L=312a +c -4 ，又ac ≤a +c 24(当且仅当a =c 时取等号)，所以16=a +c 2-3ac ≥a +c24(当且仅当a =c =4时取等号)，所以a +c ≤8(当且仅当a =c =4时取等号)，所以S L=312a +c -4 ≤312×8-4 =33(当且仅当a =c =4时取等号)，即S L的最大值为33.2(2024·陕西汉中·二模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，请从下列条件中选择一个条件作答：(注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．)①记△ABC 的面积为S ，且3AB ⋅AC =2S ；②已知a sin B =b cos A -π6 ．(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，且a =6，求△ABC 周长的取值范围．【解析】(1)选条件①，由3AB ⋅AC =2S ，得3bc cos A =2×12bc sin A ，整理得tan A =3，而0<A <π，所以A =π3.选条件②，由a sin B =b cos A -π6 及正弦定理，得sin A sin B =sin B cos A -π6，而sin B >0，则sin A =cos A -π6 =32cos A +12sin A ，整理得tan A =3，而0<A <π，所以A =π3.(2)由(1)知A =π3，由正弦定理得b sin B =c sin C =a sin A =6sin π3=22，因此b +c =22sin B +22sin C =22sin B +sin π3+B =2232sin B +32cos B=26sin B +π6由△ABC 为锐角三角形，得0<B <π20<2π3-B <π2 ，解得π6<B <π2，因此π3<B +π6<2π3，则32<sin B +π6≤1，于是32<b +c ≤26，32+6<a +b +c ≤36，所以△ABC 周长的取值范围是(32+6,36].3(2024·宁夏银川·二模)已知平面四边形ABCD 中，∠A +∠C =180°,BC =3.(1)若AB =6,AD =3,CD =4，求BD ；(2)若∠ABC =120°,△ABC 的面积为932，求四边形ABCD 周长的取值范围.【解析】(1)在△ABD 中，由余弦定理得cos ∠A =32+62-BD 22×3×6，在△BCD 中，由余弦定理得cos ∠C =32+42-BD 22×3×4，因为∠A +∠C =180°，所以cos ∠A +cos ∠C =0，即32+62-BD 22×3×6+32+42-BD 22×3×4=0，解得BD =33.(2)由已知S △ABC =12×3×AB ×32=932，得AB =6，在△ABC 中，∠ABC =120°，由余弦定理得AC 2=32+62-2×3×6×cos120°=63，则AC =37，设AD=x,CD=y,(x,>0,y>0)，在△ACD中，由余弦定理得372=x2+y2-2xy⋅cos60°=x+y2-3xy，则x+y2=63+3xy≤63+3×x+y22，得x+y24≤63，所以x+y≤67，当且仅当x=y=37时取等号，又x+y>AC=37，所以四边形ABCD周长的取值范围为37+9,67+9.4(2024·四川德阳·二模)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sin B=23cos2A+C 2.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.【解析】(1)因为△ABC中，sin B=23cos2A+C2，即2sinB2cos B2=23cos2π-B2=23sin2B2，而0<B<π,∴sin B2>0，故cos B2=3sin B2，故tan B2=33，又0<B<π,∴0<B2<π2，则B2=π6,∴B=π3；(2)由(1)以及题设可得S△ABC=12ac sin B=34a；由正弦定理得a=c sin Asin C=c sin2π3-Csin C=c sin2π3cos C-cos2π3sin Csin C=32cos C+12sin Csin C=32tan C+12，因为△ABC为锐角三角形，0<A<π2，0<C<π2，则0<2π3-C<π2,∴π6<C<π2，则tan C>33,∴0<1tan C<3，则12<32tan C+12<2，即12<a<2，则38<S△ABC<32，即△ABC面积的取值范围为38,32 .03长度的范围与最值问题对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，确定所求式的范围．1(2024·贵州遵义·一模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3b-a sin C= 3a cos C．(1)求A；(2)若△ABC为锐角三角形，c=2，求b的取值范围．【解析】(1)在△ABC中，由3b-a sin C=3a cos C及正弦定理，得3sin B-sin A sin C=3sin A cos C，则3sin A cos C+sin A sin C=3sin(A+C)=3sin A cos C+3cos A sin C，即sin A sin C=3cos A sin C，而sin C>0，于是tan A=3，又0<A<π，所以A=π3.(2)由(1)知，A=π3，由正弦定理得b=c sin Bsin C=2sin2π3-Csin C=3cos C+sin Csin C=3tan C+1，由△ABC为锐角三角形，得0<C<π20<2π3-C<π2，解得π6<C<π2，则tan C>13，∴1tan C<3,则1<b<4，所以b的取值范围是1<b<4.2(2024·宁夏固原·一模)在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，且2sin B sin C+cos2C= 1+cos2A-cos2B．(1)求证：B+C=2A；(2)求c-ba的取值范围．【解析】(1)因为2sin B sin C+cos2C=1+cos2A-cos2B，所以2sin B sin C+1-2sin2C=1+1-2sin2A-1+2sin2B，则sin B sin C-sin2C=-sin2A+sin2B，由正弦定理可得bc-c2=-a2+b2，即bc=b2+c2-a2，所以cos A=b2+c2-a22bc=bc2bc=12，又A∈0,π2，故A=π3，由A+B+C=π，故B+C=π-A=2π3=2A；(2)由(1)得sin A=32,cos A=12，因为sin B=sin A+C=sin A cos C+cos A sin C=32cos C+12sin C，所以由正弦定理得c-ba=sin C-sin Bsin A=23sin C-32cos C-12sin C=2312sin C-32cos C=23sin C-π3，又锐角△ABC中，有0<C<π20<π-π3-B<π2，解得π6<C<π2，所以-π6<C-π3<π6，则-12<sin C-π3<12，所以-33<23sin C-π3<33，即-33<23sin C-π3<33，故c-ba的取值范围为-33,33.3(2024·河北衡水·一模)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，三角形面积为S，若D为AC边上一点，满足AB⊥BD,BD=2，且a2=-233S+ab cos C.(1)求角B；(2)求2AD +1CD的取值范围.【解析】(1)∵a2=-233S+ab cos C，∴a2=-33ab sin C+ab cos C，即a=-33b sin C+b cos C，由正弦定理得，sin A=-33sin B sin C+sin B cos C，∴sin B+C=-33sin B sin C+sin B cos C，∴cos B sin C=-33sin B sin C，∵sin C≠0，∴tan B=-3，由0<B<π，得B=2π3.(2)由(1)知，B=2π3，因为AB⊥BD，所以∠ABD=π2，∠DBC=π6，在△BCD中，由正弦定理得DCsin∠DBC=BDsin C，即DC=2sinπ6sin C=1sin C，在Rt△ABD中，AD=BDsin A=2sin A，∴2 AD +1CD=22sin A+11sin C=sin A+sin C，∵∠ABC=2π3，∴A+C=π3,∴2 AD +1CD=sin A+sin C=sinπ3-C+sin C=sinπ3cos C-cosπ3sin C+sin C=sin C+π3，∵0<C<π3，∴C+π3∈π3,2π3，∴sin C+π3∈32,1，所以2AD+1CD的取值范围为32,1.4(2024·陕西安康·模拟预测)已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a=8，ac=1+sin2A-sin2Csin2B，且a≠c．(1)求证：B=2C；(2)已知点M在线段AC上，且∠ABM=∠CBM，求BM的取值范围．【解析】(1)因为ac=1+sin2A-sin2Csin2B，即a-cc=sin2A-sin2Csin2B，由正弦定理可得a-cc=a2-c2b2=a+ca-cb2，又a≠c，即a-c≠0，所以1c=a+cb2，整理得b2=c2+ac，由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B，整理得c=a-2c cos B，由正弦定理得sin C=sin A-2sin C cos B，故sin C=sin B+C-2sin C cos B，即sin C=sin B cos C+sin C cos B-2sin C cos B，整理得sin C=sin B-C，又因为△ABC为锐角三角形，则C∈0,π2,B∈0,π2，可得B-C∈-π2,π2，所以C=B-C，即B=2C.(2)因为点M在线段AC上，且∠ABM=∠CBM，即BM平分∠ABC，又B=2C，所以∠C=∠CBM，则∠BMC=π-C-∠CBM=π-2C，在△MCB中，由正弦定理得BCsin∠BMC=BMsin C，所以BM=BC sin Csin∠BMC=8sin Csin2C=8sin C2sin C cos C=4cos C，因为△ABC为锐角三角形，且B=2C，所以0<C<π20<2C<π20<π-3C<π2，解得π6<C<π4.故22<cos C<32，所以833<BM<42.因此线段BM 长度的取值范围833,42.1在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =3，A =60°，则b 的取值范围是()A.0,6B.0,23C.3,23D.3,6【答案】C【解析】由正弦定理得a sin A =b sin B ，即b =a sin B sin A =3sin B sin60°=23sin B ，又△ABC 为锐角三角形，C =180°-A -B =120°-B ，又0°<B ,C <90°，则0°<120°-B <90°，解得30°<B <90°，而当30°<x <90°时，y =sin x 单调递增，故sin B ∈12,1，所以b =23sin B ∈3,23 .故选：C2已知函数f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0)，现有如下说法：①若φ=π3，函数f (x )在π6,π3 上有最小值，无最大值，且f π6 =f π3，则ω=5；②若直线x =π4为函数f (x )图象的一条对称轴，5π3,0 为函数f (x )图象的一个对称中心，且f (x )在π4,5π6 上单调递减，则ω的最大值为1817；③若f (x )=12在x ∈π4,3π4 上至少有2个解，至多有3个解，则ω∈4,163；则正确的个数为()A.0 B.1C.2D.3【答案】C【解析】对于①，因为x =π6+π32=π4时，f x 有最小值，所以sin ωπ4+π3=-1，所以ωπ4+π3=2kπ+3π2k∈Z，得到ω=8k+143k∈Z，因为f x 在区间π6,π3上有最小值，无最大值，所以π3-π4≤πω，即ω≤12，令k=0，得ω=143，故①错误；对于②，根据题意，有ωπ4+φ=2k1π+π2k1∈Z5ωπ3+φ=k2πk2∈ZT2=πω≥5π6-π4=7π12，得出ω=-12(2k1-k2)+617,k1,k2∈Z0<ω≤127，即ω=-12k+617,k∈Z0<ω≤127，得到ω=617或1817，故②正确；对于③，令ωx+φ=2kπ+π6k∈Z或ωx+φ=2kπ+5π6k∈Z，则x=-φ+2kπω+π6ωk∈Z或x=-φ+2kπω+5π6ωk∈Z，故需要上述相邻三个根的距离不超过π2，相邻四个根(距离较小的四个)的距离超过π2，即2πω≤π2,8π3ω>π2,，解得ω∈4,16 3，故③正确，故选：C．3设函数f x =sin2ωx-cos2ωx+23sinωx cosωxω>0，当x∈0,π2时，方程f x =2有且只有两个不相等的实数解，则ω的取值范围是()A.73,13 3B.73,133C.83,143D.83,143【答案】C【解析】由已知易知f x =3sin2ωx-cos2ωx=2sin2ωx-π6，当x∈0,π2时2ωx-π6∈-π6,πω-π6，所以要满足题意有5π2≤πω-π6<9π2⇒ω∈83,143.故选：C4将函数f x =sinωx-cosωx(ω>0)的图象向左平移π4个单位长度后，再把横坐标缩短为原来的一半，得到函数g x 的图象．若点π2,0是g x 图象的一个对称中心，则ω的最小值是()A.45B.12C.15D.56【答案】C【解析】由题意可得f x =222sinωx-22cosωx=2sinωx-π4，所以将f x 的图象向左平移π4个单位长度后，得到函数h x =2sin ωx +π4 -π4=2sin ωx +ωπ4-π4的图象，再把所得图象上点的横坐标缩短为原来的一半，得到函数g x =2sin 2ωx +ωπ4-π4的图象，因为点π2,0 是g x 图象的一个对称中心，所以πω+ωπ4-π4=k π,k ∈Z ，解得ω=45k +15,k ∈Z ，又ω>0，所以ω的最小值为15．故选：C5已知函数f (x )=sin ωx +π6 (ω>0)，若将f (x )的图象向左平移π3个单位后所得的函数图象与曲线y =f (x )关于x =π3对称，则ω的最小值为()A.23B.13C.1D.12【答案】A【解析】函数f (x )=sin ωx +π6 ，f (x )的图象向左平移π3个单位后所得函数g (x )=sin ωx +π3 +π6=sin ωx +πω3+π6，函数y =g (x )的图象与y =f (x )的图象关于直线x =π3对称，则f (x )=g 2π3-x ，于是sin ωx +π6=sin ω2π3-x +πω3+π6 对任意实数x 恒成立，即sin ωx +π6 =sin -ωx +πω+π6 =sin π-ωx -πω+5π6 =sin ωx -πω+5π6对任意实数x 恒成立，因此-πω+5π6=π6+2k π,k ∈Z ，解得ω=-2k +23,k ∈Z ，而ω>0，则k ∈Z ,k ≤0，所以当k =0时，ω取得最小值23.故选：A6(多选题)△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为△ABC 的面积，且a =2，AB ⋅AC=23S ，下列选项正确的是()A.A =π6B.若b =2，则△ABC 只有一解C.若△ABC 为锐角三角形，则b 取值范围是23,4D.若D 为BC 边上的中点，则AD 的最大值为2+3【答案】ABD【解析】对于A ，因为AB ⋅AC =23S ，所以bc cos A =23×12bc sin A ，则tan A =33，因为A ∈0,π ，所以A =π6，故A 正确；对于B ，因为b =2=a ，则B =A =π6，C =2π3，故△ABC 只有一解，故B 正确；对于C ，若△ABC 为锐角三角形，则B ∈0,π2 ，C ∈0,π2，则0<B <π20<π-π6-B <π2，则π3<B <π2，即sin B ∈32,1，由正弦定理可知：b =a sin Bsin A=4sin B ∈23,4 ，故C 错误；对于D ，若D 为BC 边上的中点，则AD =12AB +AC，所以AD 2=14AB 2+2AB ⋅AC +AC 2=14b 2+c 2+3bc由余弦定理知a 2=b 2+c 2-2bc cos A =b 2+c 2-3bc =4，得b 2+c 2=3bc +4，又b 2+c 2=3bc +4≥2bc ，所以bc ≤42-3=43+8，当且仅当b =c =2+6时取得等号，所以AD 2=14b 2+c 2+3bc =144+23bc ≤144+23×43+8 =7+43，即AD ≤7+43=2+3，故D 正确.故选：ABD .7已知函数f x =12+3sin ωx cos ωx -cos 2ωx ω>0 ，若f x 的图象在0,π 上有且仅有两条对称轴，则ω的取值范围是．【答案】56,43【解析】因为f x =12+3sin ωx cos ωx -cos 2ωx =32sin2ωx -12cos2ωx =sin 2ωx -π6，因为f x 的图象在0,π 上有且仅有两条对称轴，所以3π2≤2ωπ-π6<5π2，解得56≤ω<43，所以ω的取值范围是56,43 ．故答案为：56,43.8已知函数f x =sin ωx ω>0 ，若∃x 1,x 2∈π3,π，f x 1 =-1，f x 2 =1，则实数ω的取值范围是.【答案】ω=32或ω≥52【解析】设θ=ωx，x∈π3,π，则θ∈π3ω,πω，所以问题转化为y=sinθ在θ∈π3ω,πω上存在最大值和最小值，由正弦函数图象可得，π3ω≤kπ+π2kπ+π2+π≤πω，解得k+32≤ω≤3k+32，所以k≥0,k∈Z，当k=0时，32≤ω≤32，∴ω=32；当k=1时，52≤k≤92，当k=2时，72≤ω≤152，当k=3时，92≤ω≤212，当k=n，n∈N*时，n+32≤ω≤3n+32，当k=n+1时，n+52≤ω≤3n+92，而n+52-3n+32=-2n+1<0，即n+52<3n+32，所以k∈N*时，所有情况的ω范围的并集为ω≥52；综上，实数ω的取值范围是ω=32或ω≥52.故答案为：ω=32或ω≥52.9已知函数f x =sinωx+φω>0满足f x ≥fπ12，且f x 在区间-π3,π3上恰有两个最值，则实数ω的取值范围为．【答案】125,4【解析】因为f x ≥fπ12，所以fπ12 =sinπ12ω+φ=-1，所以π12ω+φ=2kπ+3π2，k∈Z，即φ=2kπ-π12ω+3π2，k∈Z，所以f x =sinωx+2kπ-π12ω+3π2 =-cosωx-π12．当-π3≤x≤π3时，-5πω12≤ωx-π12≤πω4ω>0．因为f x 在区间-π3,π3上恰有两个最值，且-5πω12>πω4 ，所以ω>0-2π<-5πω12≤-π0<πω4<π，解得125≤ω<4．故答案为：125,4．10已知函数f (x )=-sin ωx -π4 (ω>0)在区间π3,π 上单调递减，则ω的取值范围是.【答案】0,34【解析】当x ∈π3,π时， ωπ3-π4<ωx -π4<ωπ-π4，又y =-sin x 的单调递减区间为2k π-π2,2k π+π2(k ∈Z )，所以ωπ3-π4≥2k π-π2ωπ-π4≤2k π+π2(k ∈Z )，解得6k -34≤ω≤2k +34(k ∈Z )，且2k +34≥6k -34(k ∈Z )，解得k ≤38，又ω>0，所以k =0，所以ω的取值范围为0,34.故答案为：0,3411若函数f x =cos ωx -π6ω>0 在区间π3,2π3内单调递减，则ω的最大值为．【答案】74【解析】由题得：12T ≥2π3-π3⇒0<ω≤3，令t =ωx -π6⇒t ∈πω3-π6,2πω3-π6，则y =cos t 在t ∈πω3-π6,2πω3-π6单调递减，故πω3-π6≥2k π2πω3-π6≤2k π+π⇒6k +12≤ω≤3k +74，由0<ω≤3，故ω∈12,74，所以ω的最大值为74，故答案为：74.12已知函数f (x )=4sin ωx ,g (x )=4cos ωx -π3+b (ω>0)，且∀x 1,x 2∈R ,|f (x 1)-g (x 2)|≤8，将f (x )=4sin ωx 的图象向右平移π3ω个单位长度后，与函数g (x )的图象相邻的三个交点依次为A ，B ，C ，且BA ⋅BC<0，则ω的取值范围是．【答案】0,2π8【解析】依题意，函数f (x )的值域为[-4,4]，g (x )的值域为[b -4,b +4]，由∀x 1,x 2∈R ,f (x 1)-g (x 2) ≤8，得|(b -4)-4|≤8，且|(b +4)-(-4)|≤8，解得b =0，g (x )=4cos ωx -π3 =4sin ωx +π6 ，将f (x )=4sin ωx 的图象向右平移π3ω个单位长度后，得h (x )=4sin ωx -π3ω =4sin ωx -π3，在同一坐标系内作出函数y =g (x ),y =h (x )的图象，观察图象知，|AC |=2πω，取AC 中点D ，连接BD ，由对称性知|AB |=|BC |，BD ⊥AC ，由BA ⋅BC <0，得∠ABC >π2，即∠ABD >π4，|AD |>|BD |，由h (x )=g (x )，得sin ωx -π3 =sin ωx +π6 ，则ωx -π3+ωx+π6=π+2k π,k ∈Z ，解得ωx =712π+k π,k ∈Z ，于是y =4sin 712π+k π-π3=±22，则|BD |=42，因此πω>42，解得0<ω<2π8，所以ω的取值范围是0,2π8.故答案为：0,2π813在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∠ABC =2π3，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD =2，则a +4c 的最小值为．【答案】18【解析】如图所示，则△ABC 的面积为12ac sin 2π3=12a ⋅2sin π3+12c ⋅2sin π3，则ac =2a +2c ，所以1a +1c =12，显然a ,c >0，故a +4c =(a +4c )1a +1c ×2=2×5+4c a +a c ≥25+24c a ⋅a c=18，当且仅当4ca =a c 1a +1c =12，即a =6c =3时取等号.所以a +4c 的最小值为18.故答案为：18.14在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，且2b sin A -3a =0.(1)求角B；(2)求sin A+sin C的取值范围.【解析】(1)∵2b sin A-3a=0，∴2sin A sin B-3sin A=0，又∵A∈0,π2,∴sin A≠0，∴sin B=32,B∈0,π2，∴B=π3.(2)由(1)可知，B=π3，且△ABC为锐角三角形，所以0<A<π20<C=2π3-A<π2，∴A∈π6,π2，则sin A+sin C=sin A+sin2π3-A=32sin A+32cos A=3sin A+π6，因为π3<A+π6<2π3，∴sin A+sin C∈32,3.15在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2b sin A-3a=0．(1)求角B的大小；(2)求cos A+cos C的取值范围．【解析】(1)因为2b sin A-3a=0，由正弦定理边化角得：2sin B sin A-3sin A=0，所以2sin B-3sin A=0，由于在△ABC中，sin A≠0，所以2sin B-3=0，即sin B=32，又0<B<π2，所以B=π3.(2)由(1)可知B=π3，所以A+C=2π3，所以cos A+cos C=cos A+cos2π3-A=cos A+cos2π3cos A+sin2π3sin A=cos A-12cos A+32sin A=12cos A+32sin A=sin A+π6由于在锐角△ABC中，0<2π3-A<π2 0<A<π2，所以π6<A<π2，所以π3<A+π6<2π3，所以sinπ3<sin A+π6≤sinπ2，所以32<sin A+π6≤1，所以cos A+cos C的取值范围为32,1.16已知锐角△ABC的三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b2+c2-(b⋅cos C+c⋅cos B)2=bc，(1)求角A的大小；(2)如果该三角形外接圆的半径为3，求bc的取值范围．【解析】(1)∵b2+c2-b cos C+c cos B2=bc，由余弦定理可得b2+c2-b⋅a2+b2-c22ab+c⋅a2+c2-b22ac2=bc，化简整理得b2+c2-a2=bc，又b2+c2-a2=2bc cos A，∴cos A=12，又0<A<π2，所以A=π3.(2)因为三角形外接圆半径为R=3，所以b=23sin B，c=23sin C，∴bc=12sin B sin C，由(1)得B+C=2π3，所以bc=12sin B sin C=12sin B sin2π3-B=12sin B32cos B+12sin B=63sin B cos B+6sin2B=33sin2B+31-cos2B=632sin2B-12cos2B+3 =6sin2B-π6+3，因为△ABC是锐角三角形，且B+C=2π3，所以π6<B<π2，∴π6<2B-π6<5π6，∴12<sin2B-π6≤1，∴6<6sin2B-π6+3≤9，即6<bc≤9.所以bc的取值范围为6,9.17在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，cos2B-sin2B=-1 2．(1)求角B，并计算sin B+π6的值；(2)若b=3，且△ABC是锐角三角形，求a+2c的最大值．【解析】(1)由cos2B+sin2B=1cos2B-sin2B=-12，得cos2B=14，则cos B=±12，又0<B<π，所以B=π3或2π3.当B=π3时，sin B+π6=sinπ2=1；当B=2π3时，sin B+π6=sin5π6=12.(2)若△ABC为锐角三角形，则B=π3，有0<C<π20<A=2π3-C<π2，解得π6<C<π2.由正弦定理，得asin A=csin C=bsin B=332=2，则a=2sin A,c=2sin C，所以a+2c=2sin A+4sin C=2sin2π3-C+4sin C=232cos C+12sin C+4sin C=5sin C+3cos C=27sin(C+φ)，其中tanφ=35，又tanφ=35<33=tanπ6，所以0<φ<π6，则π3<C+φ<2π3，故当C+φ=π2时，sin(C+φ)取到最大值1，所以a+2c的最大值为27.18在△ABC中，D为BC边上一点，DC=CA=1，且△ACD面积是△ABD面积的2倍．(1)若AB=2AD，求AB的长；(2)求sin∠ADBsin B的取值范围．【解析】(1)设BC边上的高为AE，垂足为E，因为△ACD面积是△ABD面积的2倍，所以有S△ACDS△ABD=12CD⋅AE12BD⋅AE=2⇒BD=12⇒BC=32，设AB=2AD=x⇒AD=22x，由余弦定理可知：cos C=AC2+BC2-AB22AC⋅BC =AC2+DC2-AD22AC⋅DC⇒1+94-x22×1×32=1+1-12x22×1×1，解得x=1或x=-1舍去，即AB=1；(2)由(1)可知BD=12,BC=32，设∠ADC=θ，由DC=CA⇒∠DAC=∠ADC=θ⇒C=π-2θ且θ∈0,π2，由余弦定理可得：AD=12+12-2×1×1⋅cosπ-2θ=2+2cos2θ=2+22cos2θ-1=2cosθ，AB=12+32 2-2×1×32⋅cosπ-2θ=134+3cos2θ=134+32cos2θ-1=6cos2θ+1 4，在△ABD中，因为θ∈0,π2，所以由正弦定理可知：ABsin∠ADB =ADsin B⇒sin∠ADBsin B=ABAD=6cos2θ+142cosθ=14×24cos2θ+1cos2θ=14×24+1cos2θ，因为θ∈0,π2，所以cos θ∈0,1 ⇒cos 2θ∈0,1 ⇒1cos 2θ>1⇒24+1cos 2θ>25⇒24+1cos 2θ>5，于是有sin ∠ADB sin B >54，因此sin ∠ADB sin B 的取值范围为54,+∞ ..19记锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin B sin C +cos2C =1+cos2A -cos2B .(1)证明：B +C =2A ；(2)求c b的取值范围.【解析】(1)证明：由2sin B sin C +cos2C =1+cos2A -cos2B ，得2sin B sin C +1-2sin 2C =1+1-2sin 2A -1+2sin 2B ，即sin B sin C -sin 2C =-sin 2A +sin 2B ，由正弦定理可得bc -c 2=-a 2+b 2，即a 2=b 2+c 2-bc ，由余弦定理可得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，故cos A =12，又A ∈0,π2 ，故A =π3，由A +B +C =π，故B +C =π-A =2π3=2A ；(2)由正弦定理可得：c b=sin C sin B =sin π-A -B sin B =sin π3+B sin B =12sin B +32cos B sin B =12+32tan B ，又锐角△ABC 中，有0<B <π2，0<π-π3-B <π2，解得π6<B <π2，即tan B ∈33,+∞，即1tan B ∈0,3 ，故c b=12+32tan B ∈12,2 .20记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，若a +b +c a +b -c =3，且△ABC 的面积为334.(1)求角C ；(2)若AD =2DB ，求CD 的最小值.【解析】(1)∵a +b +c a +b -c =3，∴3=(a +b )2-c 2=a 2+b 2-c 2+2ab 结合余弦定理得3=2ab cos C +2ab =2ab 1+cos C ，∴ab =321+cos C ，∵S △ABC =12ab sin C =334，∴sin C 1+cos C =3，即2sin C 2cos C 2cos 2C 2=tan C 2=3，又∵C 2∈0,π2 ，∴C 2=π3，故C =2π3；(2)由(1)知：C =2π3,ab =321+cos C=3，∵AD =2DB ，∴CD =13CA +23CB ，∴CD 2=13CA +23CB 2=19b 2+49a 2+49ab cos C =19b 2+49a 2-23，又19b 2+49a 2-23≥219b 2⋅49a 2-23=2×23-23=23，当且仅当b =2a =6时，CD 长取最小值，此时CD =23=63，∴CD 长的最小值为63.21已知函数f x =12-sin 2ωx +32sin2ωx ω>0 的最小正周期为4π.(1)求f x 在0,π 上的单调递增区间；(2)在锐角三角形ABC 中，内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且2a -c cos B =b ⋅cos C ,求f A 的取值范围.【解析】(1)f x =12-sin 2ωx +32sin2ωx =12-1-cos2ωx 2+32sin2ωx =32sin2ωx +12cos2ωx =sin 2ωx +π6.因为T =2π2ω=4π,所以ω=14,故f x =sin 12x +π6.由-π2+2k π≤12x +π6≤π2+2k π,k ∈Z ,解得4k π-4π3≤x ≤4k π+2π3,k ∈Z ,当k =0时,-4π3≤x ≤2π3,又x ∈0,π ,所以f x 在0,π 上的单调递增区间为0,2π3.(2)由2a -c cos B =b ⋅cos C ,得(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C ,所以2sin A cos B =sin B cos C +cos B sin C =sin B +C =sin A .因为sin A ≠0,所以cos B =12,又B ∈0,π ,所以B =π3,又三角形为锐角三角形，则0<A <π20<2π3-A <π2，则π6<A <π2，所以π4<A 2+π6<5π12，又f A =sin A 2+π6，sin 5π12=sin π4+π6 =sin π4cos π6+cos π4sin π6=2+64，则22<sin A 2+π6 <2+64，所以f A 的取值范围为22,2+64.22已知在△ABC 中，1-cos A 2-sin A =0，(1)求A ；(2)若点D 是边BC 上一点，BD =2DC ，△ABC 的面积为3，求AD 的最小值.【解析】(1)因为1-cos A 2-sin A =0，所以sin 2A 2=sin A ，因为0<A 2<π2，sin A 2>0，则sin A 2=2sin A 2cos A 2，故cos A 2=12，所以A 2=π3，A =2π3，(2)因为BD =2DC ，则BD =2DC ，所以AD -AB =2AC -AD ，故AD =13AB +23AC ，因为△ABC 的面积为3，所以12bc sin A =3，所以bc =4|AD |2=13AB +23AC 2=19c 2+49b 2+49AB ⋅AC =19c 2+49b 2-29bc ≥49bc -29bc =89上式当且仅当c =2b ，即c =22，b =2时取得“=”号，所以AD 的最小值是223.23在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且满足2sin A +C cos A -sin C cos A =sin A cos C ．(1)求角A ；(2)若点D 在线段BC 上，且满足BD =3DC ,AD =3，求△ABC 面积的最大值．【解析】(1)由题意得2sin B cos A -sin C cos A =sin A cos C ，即2sin B cos A =sin A cos C +sin C cos A =sin B ，∵sin B ≠0，∴2cos A =1，∴cos A =12，又0<A <π,∴A =π3；(2)解法一：令DC =t ，则BD =3t ，∵cos ∠ADC =-cos ∠ADB ，∴AD 2+DC 2-AC 22AD ⋅DC =-AD 2+BD 2-AB 22AD ⋅BD ，即9+t 2-b 26t =-9+9t 2-c 218t ，∴12t 2=-36+3b 2+c 2①，又∵cos ∠BAC =12=b 2+c 2-16t 22bc ，∴16t 2=b 2+c 2-bc ②，∵联立①②，得144-3bc =9b 2+c 2≥6bc (当且仅当c =3b 时取等号)，即bc ≤16，∴S △ABC =12bc sin ∠BAC =34bc ≤43，∴△ABC 面积的最大值为43.解法二：依题意AD =14AB+34AC，∴AD 2=14AB+34AC 2=116AB 2+9AC 2+6AB ⋅AC，即9=116AB 2+9AC 2+6AB AC cos π3=116AB 2+9AC 2+3AB AC，∵AB 2+9AC 2≥6AB AC (当且仅当AB =3AC 时取等号)，∴AB AC ≤16，∴S △ABC =12AB ACsin ∠BAC ≤34×16=43，∴△ABC 面积的最大值为43．24已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，向量m =a +b ,c ,n =sin A -sin C ,sin A -sin B ，且m ⎳n ．(1)求B ；(2)求b 2a 2+c 2的最小值．【解析】(1)因为m ⎳n ，所以a +b sin A -sin B =c sin A -sin C ，由正弦定理可得a +b a -b =c a -c 即a 2-b 2=ac -c 2，故a 2+c 2-b 2=ac ，所以cos B =a 2+c 2-b 22ac =12，而B 为三角形内角，故B =π3.(2)结合(1)可得：b2a2+c2=a2+c2-aca2+c2=1-aca2+c2,1-aca2+c2≥1-ac2ac=1-12=12，当且仅当a=c时等号成立，故b2a2+c2的最小值为12.25已知△ABC为钝角三角形，它的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sin2C=sin2B+sinπ3+Bcosπ6+B，a<c，b<c．(1)求tan(A+B)的值；(2)若△ABC的面积为123，求c的最小值．【解析】(1)因为sin2C=sin2B+sinπ3+Bcosπ6+B=sin2B+12sinπ2+2B+sinπ6=sin2B+12cos2B+12=sin2B+121-2sin2B+14=34，因为sin C>0，所以sin C=3 2，由△ABC为钝角三角形且a<c，b<c知，C为钝角，所以cos C=-12，即tan C=-3，所以tan(A+B)=tanπ-C=-tan C=3.(2)因为S△ABC=12ab sin C=34ab=123，所以ab=48，由余弦定理，c2=a2+b2-2ab cos C=a2+b2+ab≥3ab=144，当且仅当a=b=43时，等号成立，此时c2的最小值为144，所以c的最小值为12.。

2020年高考数学一轮复习：第29课__三角函数的最值问题

第29课三角函数的最值问题KAQGANG JlL XI1. 会通过三角恒等变形、利用三角函数的有界性、结合三角函数的图象，求三角函数的最值和值域.2.掌握求三角函数最值的常见方法，能运用三角函数最值解决一些实际问题1•阅读：必修 4第24〜33页、第103〜116页、第119〜122页. 2. 解悟：①正弦、余弦、正切函数的图象和性质是什么？②三角函数y = A si n( 3汁$ )(A>0,3 >0的最值及对应条件；③两角和与差的正弦、余弦、正切公式是什么？辅助角公式是否熟练？④二倍角公式是什么？由倍角公式得到的降幕扩角公式是什么？必修 4第123页练习第4题怎么解？3. 践习：在教材空白处，完成必修4第131页复习题第9、10、16题. I…T 基础诊断 &Y* ----------------------1. 函数f(x) = sinx , x € g,手丿的值域为'1 1 __.2.函数 f(x) = sinx — cos[x + f 的值域为 [-羽，护].nQ 313\13解析：因为 f (x) =sinx — cos(x+ 6)= sinx — Tcosx+ 2sinx= 2sinx —T cosx所以函数f(x) = sinx — cos(x +》的值域为[—.3, ,3].3. 若函数 f(x) = (1 + . 3tan x) cosx , 0< x<n 贝U f(x)的最大值为 2 .解析：f(x) = (1 + J 3ta nx)cosx = cosx + J 3si nx = 2si n^ + •因为 0 < x<n ，所以詐 x + 才<|^所以 sin x +€ 土，1,所以当sin[j + ^;= 1时，f(x)有最大值2.4. 函数 y = 2sin 2x — 3sin2x 的最大值是，10+ 1.2形如y = asin x + bcosx + c 的三角函数的最值例 1 已知函数 f(x) = 2cos2x + sin 2x — 4cosx. (1) 求f nn 的值；(2) 求f(x)的最大值和最小值.解析：(1) f [^；;= 2cos 2n+ sin^— 4cos n=— 1+ 3— 2 =—：2 2(2) f(x) = 2(2cos x — 1) + (1 — cos x) — 4cosx2=3cos x — 4cosx — 1课本KE SEN XI=.3sin(x — 6),范例导航考向？cf 2-\7 “=3 cosx — 3 — 3, x € R.因为 cosx € [ — 1, 1],所以当cosx =— 1时，f(x)取最大值6;2 7 当cosx =孑时，f(x)取最小值一3. 33已知s 4+汴貉A €6扌)(1) 求cosA 的值；5(2) 求函数 f(x) = cos2x + qs in As inx 的值域. 解析：⑴ 因为n <A<n,且Sin 》+才戶, 所以2<A +4<¥’cos$+护-密所以 cosA = cos [(A +n - n =cos+ U2 x _2 10 2 10 23 5.4(2)由(1)可得 sinA = 5,5 2f . 1 "f 3 所以 f(x) = cos2x + 2sinAsinx = 1 — 2sin x + 2sinx =— 2 sinx — + ?, x € R. 因为 sinx € [ — 1, 1],1 3所以当sinx =2时，f(x)取最大值§; 当sinx =— 1时，f(x)取最小值一3. 所以函数f(x)的值域为一3, 3 1门考向？形如y = Asin( 3x+ © + k 的三角函数的最值例 2 已知函数 f(x) = 2cosxsin & + 寸一屆in 2x + sinxcosx + 1. (1) 求当函数f(x)取得最大值时，x 的取值集合; (2) 当 x € 0, 1n 时，求 f(x)的值域.解析：(1)因为 f(x) = 2cosxsin x + 3 — - 3sin 2x + sinxcosx + 1A +=2cosx(?sinx + ycosx) — 3sin 2x + sinx •osx + 1 =2si nxcosx + 3cos 2x — 3si n 2x + 1 =si n2x + 3cos2x + 1 1 3=2/n2x + 〒cos2x) + 1n n n由 2x + 3 = 2k n+ ^, k € Z ,可得 x = k n+ 石，k € Z ,所以函数f(x )取得最大值时，x 的集合为{x|x = k n+-, k € Z}.12(2)由 x € o ,，'得2x+n n n ，所以 ~23<sin(2x + n )< 1, 所以•.3+ 1 w f(x)w 3, 故f(x)的值域为[,3 + 1, 3].【注】对于三角函数最值问题，通常将表达式化为形如 y = Af (3x+ © + B 的形式，确定变量x 取值的集合通常由等式3x+ ©= 2k n+ 0, k € Z 解出x已知函数f(x)= sin 2 wx — 6 + 2cos 2 1( w >0)的最小正周期为 n.(1)求w 的值;2 n所以f(x)的最小正周期T = — = n,解得w= 1.(2)由(1)得 f(x)= sin 2x + 6 . 因为0w x w$,所以6w 2x +6w 莘所以当2x + 6= 2，即x = 6时，f(x)取得最大值为1;=2sin 2x +1.⑵求f(x)在区间気上的最大值和最小值.解析：(1)因为 f(x)= sin 2wx — o + 2cos wx — 1,3 1=~2"si n2 wx+ 2cos2 wx= sin当2x + n= 4n,即x = 1n 时f(x)取得最小值为一弩.【变式题】已知函数 f(x)= sin x ++ cosx.(1)求f(x)的最大值，并写出当f(x)取得最大值时，x 的集合;,f a+ n = ，求 f(2a)的值.所以 f(2 a) = . 3sin 2a+ f1 3=.3?sin2 a+ —cos2 a=,3[2X 2sin acos a+ 手 x (2cos 2 a — 1)]厂1 4 3 V39 =3X [-x 2X x +亠x (2x — 1)] V L2 5 5 2 '25 刀=V 3x 险—也1=竺吐1Y辽5 50 丿 50.考向？三角函数最值问题常见的其他函数形式2例3 (1)已知x € (0, n,求函数y = sinx +的最小值;sinx⑵ 已知灰(0, n ，求函数y =1 豐nA 的最大值; ⑶ 求函数y = (sinx — 2)(cosx — 2)的最大值与最小值.a€ 0,扌：解析: (1) f(x)= sin x ++ cosx=^sinx + 3cosx = ,3 1=%；3si nx + 3 , 所以 f(x)max =【?3.此时，x +n= 2k n+n ，k € Z ,即 x = 2k n+n , k € 乙3 2 61sin x + ~fcosx故当f(x)取得最大值3时，x 的集合为{x|x = 2k n+n k € Z}.6⑵ 由 f a+ n = . 3sin( a+ n = ¥ ,得sinn_ 32 = 5,所以 cos a= 3, sin54 a= 一, a 52解析：⑴设sinx= t（O<t w 1），则原函数可化为y = t + -，在（0, 1］上为减函数,故当t= 1时，y min= 3.⑵ 因为茨(0, n,所以sin茨(0, 1], y = 一卫一w 丿=1当且仅当si n B= 亦e+ 3sin e 21等号成立，故y max=刁(3)原函数可化为y= sinxcosx—2(sinx+ cosx) + 4，令sinx+ cosx = t(|t|w 2), nt t2— 1贝U sinxcosx =—,2t —1 1 2 3所以y=—2t+ 4=2(t—2) +2因为对称轴为直线t = 2?[ —2, 2]，且函数在区间[—2, 2]上是减函数，所以当t= 2,即x = 2k n+ n(k € Z)时, y min = 2 - 2.2；— 3 n 9 —当t=—2，即x= 2k n—~4（k€ Z）时，y max= 2 . 2.【注】（1）直接利用三角函数的有界性，并直接利用基本不等式去求解.a（2）首先是对分数函数的一般的处理方式，然后回到（1）的步骤去解决.y= sinx+亦型三角函数求最值，当sinx>0, a>1时，不能用均值不等式求最值，适宜用函数在区间内的单调性求解.（3）含有"正、余弦三姐妹"，即含有sinx±sosx, sinxcosx的函数的最值问题，常用的方法是令sinx±cosx= t, |t|< 2,将sinxcosx转化为关于t的函数关系式，从而转化为二次函数的最值问题，在转化过程中尤其要注意新变量t的范围的确定.【变式题】(1)求函数y= 2—sinx的最小值;si nx+ 2n 1 1⑵ 若0<x<2,求函数y= (1+ cosx)(1 + 亦)的最小值・4 —2 —sinx 4 1解析：⑴y=—厂=s^zr1飞，1所以最小值为1⑵y=1+cosx1+si.sinx+ cosx+ 1=1 +sin xcosx令t= sinx+ cosx, t€ (1, .2],t2— 1贝U sinxcosx = 2 ,t + 1 t2+ 2t + 1 t+ 1 八2t2— 1 t2—1 t—1 t —T2由1<t W 2,得y》3 + 2 2, 所以函数的最小值为 3 + 2 2.自测反馈1.函数y= 2sin 3—x —cos 6 + x (x € R)的最小值是__—1解析：因为cos ¥+ x = sin n- x，所以y= 2sin n—x —cos 总+ x = 2sin 扌一x —sin n—x =—sin x —3 •因为x€ R,所以y min=—1.2.函数y= sin^在区间［0,b］上恰好取得2个最大值，则实数b的取值范围是_ -2, ^7\解析：因为函数y= singe的周期为年=6，函数y= sin^x在区间［0,3b］上恰好取得2个最大值，则实数b满足5T W b<94-，解得乎三b<27.故实数b的取值范围为3.函数y=也cosx的值域是[—1 , 1].2 + sinx解析：2y+ ysinx = 3cosx, ysinx—3cosx = —2y,得y2+ 3sin(x + —2y—2y<^ = -yz^3，则匕齐^|W 1,解得—1W y W 1.■15 27).2，2 丿()))=—2y, sin(x +4.函数f(x) = sinx+ cosx+ sinx •osx 的值域是—1,x + n 则t € [ —^2^2], t2= 1 + 2sinxcosx,则sinxcosxt? —1 t?—1 12 1 2 —厂，贝U f(x) = sinx + cosx + sinxcosx = t + 厂=?(t + 2t —1) = ^(t + 1) — 1.因为一.2 解析：令t = sinx+ cosx = ■2sin xW t W 2 所以f(x) € [ —1 , 2 + 1.反思搐遺1.求解三角函数的值域（最值）常见到以下几种类型：①形如y = asin x + bcos x + c的三角函数化为y = Asin（3汁$卅k的形式，再求值域（最值）；②形如y = asin2x + bcos x + c的三角函数，可先设sin x= t，化为关于t的二次函数求值域（最值）;③形如y = asin xcos x + b（sin x ±os x）+ c的三角函数，可先设t = sin x ±os x，化为关于t的二次函数求值域（最值）.2•你还有哪些体悟，写下来:。

2019-2020年高考数学复习第35课时第四章三角函数-三角函数的最值名师精品教案

2019-2020年高考数学复习第35课时第四章三角函数-三角函数的最值名师精品教案一•课题：三角函数的最值二•教学目标：掌握三角函数最值的常见求法，能运用三角函数最值解决一些实际问题.三•教学重点：求三角函数的最值.四•教学过程:(一)主要知识：求三角函数的最值，主要利用正、余弦函数的有界性，一般通过三角变换化为下列基本类型处理：①，设化为一次函数在闭区间上的最值求之；②，引入辅助角申(coa® = a—,sin ® —b ),化为y = J&2 +b2sin(x ++ ca b a b求解方法同类型①；③，设，化为二次函数在上的最值求之；④y =asinxcosx - b(sin x二cosx) • c，设化为二次函数在闭区间上的最值求之；⑤，设化为用法求值；当时，还可用平均值定理求最值；⑥根据正弦函数的有界性，即可分析法求最值，还可“不等式”法或“数形结合”.(二)主要方法：①配方法；②化为一个角的三角函数；③数形结合法；④换元法；⑤基本不等式法.(三)例题分析: 例1求函数的最大值和最小值.y = sin x cosxcos— sin xsin — = 3sin x —3 cosx 二3sin(x —).解:6 6 2 2 6例2 .求函数的最大、最小值.解：原函数可化为：y 二sin xcosx -2(sin x - cosx) - 4 , 令，t2 1 a则，二y —_ _2t • 4 = —(t _2)2 3 .2 2 2•••，且函数在上为减函数，•••当时，即时，；当时，即时, 例3.求下列各式的最值：(1)已知，求函数的最大值;(2)已知，求函数的最小值.解：(1) y 3—— -3--，当且仅当时等号成立.丄+3si, 2 亞2sin r故.(2 )设，则原函数可化为，在上为减函数，.••当时，.说明：型三角函数求最值，当，时，不能用均值不等式求最值，适宜用函数在区间内的单调性求解.例4•求函数的最小值.解：原式可化为，引入辅助角，，得，二，由，得或.又•••，•••，且，故.•••，故.例5•《高考计划》考点32,智能训练10:已知，则的最大值是_____________________________ .3解：(sin x " sin ： )2(COS H" cos ：)2=2 cos^ - ) y2,4•,故当时，.(四)巩固练习：1•已知函数在同一周期内，当时，取得最大值，当时，取得最小值，则该函数的解析式是( )2.若方程cos2x-2：3sin xcosx = k 1 有解，则.2019-2020年高考数学复习第36-37课时第四章三角函数-数学巩固练一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将你认为正确的答案填在后面的表格中)」兀41. 已知x ( ,0),cos x ,则tan2 x =2 5A. B. C. D.2. 函数y二sin(x「：)(0 - - ■)是R上的偶函数，贝U =A . 0B .C.D.3 •已知是定义域为的奇函数，方程的解集为，且中有有限个元素，贝UA.可能是B•中元素个数是偶数C •中元素个数是奇数 D.中元素个数可以是偶数，也可以是奇数4•甲、乙两人同时从地赶往地，甲先骑自行车到中点后改为跑步，而乙则是先跑步到中点后改为骑自行车，最后两人同时到达地.又知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快，并且两人骑车速度均比跑步速度快•若某人离开地的距离与所用时间的函数关系可用图①④ 中的某一个来表示，则甲、乙两人的图象只可能分别是9•已知函数，且为大于的常数），则 A . B . C. D. 10. 若且，则可以是 A. B. C. D.选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DCCBBBCADD二、填空题（本大题共 4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上）11. ______________________________ 设，则的值是;A. C. 甲是图①，甲是图③，5.等比数列的首项A.B乙是图② 乙是图② ,前项和为若, B D,则公比等于C .•甲是图①, •甲是图③, 乙是图④ 乙是图④6. lim 1117门(C ； +C 3 +C ：C n )A. 3B.C.D.7.数列的通项公式是a n站，（"（3"，则等于A .&给定正数，其中，若成等比数列， A .无实数根BC.有两个同号的相异的实数根B .C.成等差数列，则一元二次方程.有两个相等的实数根D .有两个异号的相异的实数根D.12. 设正数数列｛a n｝前n项和为S,且存在正数t，使得对所有自然数n,有，则通过归纳2猜测可得到S= _____ nt_.13. 如果tg（二5'）=2,tg（ ______________ ）=】，那么tg（）的值是5 4 4 414. 某品牌彩电为了打开市场，促进销售，准备对某特定型号的彩电降价，现有四种降价方案：方案①：先降价，再降价；方案②：先降价，再降价；方案③：先降价，再降价；方案④：一次性降价。

（word完整版）高中三角函数最值问题难题

（word完整版）⾼中三⾓函数最值问题难题⾼中三⾓函数最值问题难题⼀、直接应⽤三⾓函数的定义及三⾓函数值的符号规律解题例1：求函数y ＝xx x x x x x x cot |cot ||tan |tan cos |cos ||sin |sin +++的最值分析：解决本题时要注意三⾓函数值的符号规律，分四个象限讨论。

解：（1）当x 在第⼀象限时，有sin cos tan cot 4sin cos tan cot x x x xy x x x x =+++=（2）当x 在第⼆象限时，有sin cos tan cot 2sin cos tan cot x x x xy x x x x =+++=----（3）当x 在第三象限时，有sin cos tan cot 0sin cos tan cot x x x xy x x x x =+++=--（4）当x 在第四象限时，sin cos tan cot 2sin cos tan cot x x x xy x x x x=+++=----综上可得此函数的最⼤值为4，最⼩值为-2. ⼆、直接应⽤三⾓函数的有界性（sin 1,cos 1x x ≤≤）解题例1：（2003北京春季⾼考试题）设M 和m 分别表⽰函数cos 13x -1y=的最⼤值和最⼩值，则M m +等于（）（A ）32（B ）32-（C ） 34-（D ）-2解析：由于cos y x =的最⼤值与最⼩值分别为1,-1,所以,函数cos 13x -1y=的最⼤值与最⼩值分别为32-,34-,即M m +＝32-+（34-）=-2,选D.例2：求3sin 1sin 2x y x +=+的最值（值域）分析：此式是关于sin x 的函数式，通过对式⼦变形使出现12sin 3yx y -=-的形式，再根据sin 1x ≤来求解。

解：3sin 1sin 2x y x +=+，即有sin 23sin 1sin 3sin 12y x y x y x x y +=+?-=-12(3)sin 12sin 3yy x y x y --=-?=-。

高三数学三角函数的最值问题

三角函数的最值问题
高三备课组
1一：基础知识
1 、配方法求最值
主要是利用三角函数理论及三角函数的有界性，转化为二次函数在闭区间上的最值问题，如求函数 y sin2 x sin x 1 的最值
可转化为求函数 y t2 t 1,t 1,1
上的最值问题。
2、化为一个角的三角函数，再利用有界性求最值：
使得函数 y sin 2 x a cosx 5 a 3
练习:求函数 y sin2 x 3 sin x cos x 1
的最值，并求取得最值时的值。
思维点拨：
三角函数的定义域对三角函数有界性的影响。
2、转化为闭区间上二次函数的最值问题。
例2 P(66)
求函数y cot x sin x cot x sin 2x的最值. 2
练习: 是否存在实数a，
注意变换前后函数的等价参数函数的最值，解题要注意参数的作用和影响。
二、题型剖析 1、化为一个角的三角函数，再利用有界性求最值。
P(66) 函数Y=acosx+b (a.b为常数),若 7 y 1
,求bsinx +acosx 的最大值.
asin x bcox a2 b2 sin(x )
如函数 y
1
的最大值是
2 sin x cox
3、数形结合
常用到直线斜率的几何意义，例如求函数
y sin x cox 2
的最大值和最小值。
； https:///
；
我们就成了虚伪的坏蛋。你骗了别人的钱，可以退赔，你骗了别人的爱，就成了无赦的罪人。假如别人不曾识破，那就更惨。除非你已良心丧尽，否则便要承诺爱的假象，那心灵深处的绞杀，永无宁日。爱怕沉默。太多的人，以为爱

高中数学三角函数的最值典例剖析新人教A版必修4

三角函数的最值典例剖析题型1：()sin cos y a x b y a x b =+=+或型的函数此类函数利用()sin 1cos 1x x ≤≤或即可求解，显然max min ,y a b y a b =+=-+[例1] 求sin()cos 6y x x π=-的最大值与最小值1[] sin()cos sin 2sin 626611 =sin 2264y x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫=-=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫--⎪⎝⎭Q 解析max min 1111244113(1)244y y ∴=⨯-==⨯--=-题型2：y=asinx+bcosx 型可化为y=)sin(22φ++x b a （其中ab=φtan ）[例2] （2020年全国，理4）函数x x y cos 3sin +=在区间[0，2π]上的最小值为____。

[解析] ： x x y cos 3sin +==2（x x cos 23sin 21⋅+） =2（3sincos 3cossin ππ⋅+⋅x x ）=2.3sin ⎪⎭⎫⎝⎛+πx 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，所以3233ππππ+≤+≤x ，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∈+32,33ππππx 时，易知y 的最小值为12123cos 232sin 2min =⨯==⎪⎭⎫⎝⎛+=πππy[答案] 所以应填“1”。

题型3：22sin sin cos cos y a x b x x x =++型的函数此类函数可先降次，再整理转化()sin y A x B ωφ=++形式解决，32sin cos 3x x ++⎡⎤⎣⎦22例: 求y=sinx cosx 的最小值，并求出y 取最小值时x 的集合 2sin cos 3x x ++⎡⎤⎣⎦Q 22解析： y=sinx cosx()2sin cos 21sin 2(1cos 2)sin 2cos 22)243sin(2)1,22,442832,|,8x x x x x x x x x k x k k Z y x x k k Z πππππππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=+++=++=++∴+=-+=-+=-∈⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭222min ＝sinx+cosx cosx 当即时题型4：2sin cos y a x b x c =++型的函数此类函数可转化为形如2(11)y At Bt c t =++-≤≤的二次函数，从而讨论其最值()224:1cos 24,0cos 1,211,2,2y a a a x o x x aa a π⎡⎤⎣⎦==-+⎡⎤⎣⎦⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭≤≤≤≤>>=222max 5a 3例：是否存在常数a ，使得函数y=sinx+acosx+-在闭区间上的最大值是1？82 若存在求出对应的值？若不存在，试说明理由。

高中数学必修四三角函数最值与值域常考题型总结(含答案)(K12教育文档)

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三角函数最值与值域专题三角函数的最值问题是高考的一个重要内容，要求掌握求三角函数最值的常见方法.类型一：利用1cos 1sin ,≤≤x x 这一有界性求最值。

例1:求函数xx y sin 21sin --=的值域。

解:由xx y sin 21sin --=变形为(1)sin 21y x y +=+,知1y ≠-，则有21sin 1y x y +=+，21|sin |||11y x y +=≤+22221||1(21)(1)1y y y y +⇒≤⇒+≤++203y ⇒-≤≤，则此函数的值域是2[,0]3y ∈-例2,若函数cos y a x b =+的最大值是1，最小值是7-，求a,b 0,1,7430,1,74,3a ab a b a b a a b a b a b >+=-+=-⇒==-<-+=+=-⇒=-=-，练习:1，求函数1cos 3cos xy x-=+的值域 3][1-∞-∞（，，+）2,函数x y sin =的定义域为[a ，b ］，值域为]21,1[-，则b —a 的最大值和最小值之和为bA ．34πB ．π2C ．38πD ．π4类型二：x b x a y cos sin +=型.此类型通常可以可化为sin cos )y a x b x x ϕ=+=+求其最值（或值域）。

高考数学：三角函数中的最值问题(4种方法)

三角函数中的最值问题（4种方法）基本方法1、直接法：形如f (x )＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b ),值域为[－|a |＋b ，|a |＋b ]，形如y＝asinx＋bcsinx＋c 的函数可反解出sinx，利用|sinx|≤1求解，或分离常数法.2、化一法：形如f (x )＝a sin x ＋b cos x ，f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ＋c sin x cos x 的函数可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，利用正弦函数的有界性求解，给定x 范围时要注意讨论ωx ＋φ的范围，注意利用单位圆或函数图象．3、换元法：形如f (x )＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 或f (x )＝a cos 2x ＋b sin x ＋c 或f (x )＝a (sin x ±cos x )＋b sin x ·cos x 的函数可通过换元转化为二次函数在某区间上的值域求解．4、几何法（数形结合）：形如dx c bx a y ++=cos sin 转化为斜率问题，或用反解法.典型例题例1已知函数f (x )=(sin x+cos x )2+cos 2x ,求f (x )在区间.解：（化一法）因为f (x )=sin 2x+cos 2x+2sin x cos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x=2sin 2 +1,当x ∈0,2 ∈由正弦函数y=sin x 当2x+π4π2,即x=π8时,f (x )取最大值2+1;当2x+π45π4,即x=π2时,f (x )取最小值0.综上,f (x )在0,上的最大值为2+1,最小值为0.例2求函数y ＝2＋sin x ＋cos x 的最大值.解：（化一法）y ＝2＋2sin(x ＋π4)，当x ＝π4＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝2＋2例3求函数f (x )＝cos2x ＋6cos(π2－x )的最大值.解：（换元法）f (x )＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2(sin x －32)2＋112.令sin x ＝t ，则t ∈[－1,1]，函数y ＝－2(t －32)2＋112在[－1,1]上递增，∴当t ＝1时，y 最大＝5，即f (x )max ＝5，例4已知x 是三角形的最小内角，求函数y ＝sin x ＋cos x －sin x cos x 的最小值.解：（换元法）由0≤x ≤π3，令t ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，又0<x ≤π3，∴π4<x ＋π4≤712π，得1<t ≤2；又t 2＝1＋2sin x cos x ，得sin x cos x ＝t 2－12，得y ＝t －t 2－12＝－12(t －1)2＋1，例5已知sin α＋sin β＝22，求cos α＋cos β的取值范围.解：（换元法）令cos α＋cos β＝t ，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝t 2＋12，即2＋2cos(α－β)＝t 2＋12⇒2cos(α－β)＝t 2－32，∴－2≤t 2－32≤2⇒－12≤t 2≤72，∴－142≤t ≤142，即－142≤cos α＋cos β≤142.例6求函数y ＝1＋sin x3＋cos x的值域解法一：（几何法）1＋sin x3＋cos x可理解为点P (－cos x ，－sin x )与点C (3,1)连线的斜率，点P (－cos x ，－sin x )在单位圆上，如图所示．故t ＝1＋sin x3＋cos x满足k CA ≤t ≤k CB ，设过点C (3,1)的直线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0.由原点到直线的距离不大于半径1，得|1－3k |k 2＋1≤1，解得0≤k ≤34.从而值域为[0，34]．解法二：（反解法）由y ＝1＋sin x3＋cos x 得sin x －y cos x ＝3y －1，∴sin(x ＋φ)＝3y －11＋y2其中sin φ＝－y 1＋y 2，cos φ＝11＋y 2.∴|3y －11＋y2|≤1，解得0≤y ≤34.例7求函数y ＝2sin x ＋1sin x －2的值域解法一：（分离常数法）y ＝2sin x ＋1sin x －2＝2＋5sin x －2，由于－1≤sin x ≤1，所以－5≤5sin x －2≤－53，∴函数的值域为[－3，13]．解法二：（反解法）由y ＝2sin x ＋1sin x －2，解得sin x ＝2y ＋1y －2，∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤2y ＋1y －2≤1，解得－3≤y ≤13，∴函数的值域为[－3，13]．针对训练1.函数y ＝3－2cos(x ＋π4)的最大值为____.此时x ＝____.2.函数xxy cos -3sin -4的最大值为.3.函数f (x )=sin 2x+3cos ∈的最大值是.4.函数y ＝12＋sin x ＋cos x的最大值是【解析】1.函数y ＝3－2cos(x ＋π4)的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π(k ∈Z )，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )．2.解析式表示过A (cos x ,sin x ),B (3,4)的直线的斜率,则过定点(3,4)与单位圆相切时的切线斜率为最值,所以设切线的斜率为k ,则直线方程为y-4=k (x-3),即kx-y-3k+4=+11,∴k max3.由题意可知f (x )=1-cos 2x+3cos x-34=-cos 2x+3cos x+14=-cos -+1.因为x ∈0,cos x ∈[0,1].所以当cos f (x )取得最大值1.4.∵y ＝12＋2sin (x ＋π4)，又2－2≤2＋2sin(x ＋π4)≤2＋2∴y ≤12－2＝1＋22，含参问题一、单选题1．已知函数()sin cos (0,0)62af x x x a πωωω⎛⎫=++>> ⎪⎝⎭，对任意x ∈R ，都有()f x ≤，若()f x 在[0,]π上的值域为3[2，则ω的取值范围是（）A．11,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．12,33⎡⎤⎢⎣⎦C．1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()sin cos 62af x x x πωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos 2a x x ωω++max ()f x =02a a >∴= ，())3f x x πω∴=+0,0x πω≤≤> ，333x πππωωπ∴≤+≤+，3()2f x ≤ 2233πππωπ∴≤+≤，1163ω∴≤≤.故选：A2．已知函数()()cos 0f x x x ωωω=+>，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为4π，把函数()f x 的图像沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，关于函数()g x ，下列说法正确的是（）A．在,42ππ⎡⎤⎢⎣⎦上是增函数B．其图像关于直线6x π=对称C．在区间,1224ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,1--D．函数()g x 是奇函数【解析】因()()cos 2sin 06f x x x x πωωωω⎛⎫=+=+> ⎪⎝⎭，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为4π，则()f x 的最小正周期为22T ππω==，即4ω=，所以()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把函数()f x 的图像沿x 轴向右平移6π个单位，得()2sin 42sin 42cos 46662f x g x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=，所以，()g x 为偶函数，故D 选项不正确；由4,k x k k Z πππ≤≤+∈，即,44k k x k Z πππ+≤≤∈，故()g x 在区间(),44k k k Z πππ+⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为减函数，所以()g x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，故A选项不正确；由4,2x k k Z ππ=+∈，即,48k x k Z ππ=+∈，所以()g x 图像关于,48k x k Z ππ=+∈对称，故B选项不正确；当,1224x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，4,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，则()21g x -≤≤-，所以C 选项正确.故选：C.3．已知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ω的取值范围是（）A．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．73,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．57,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因为0>ω，所以当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[,]4424x ππωππω-∈--因为函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以52244πωπππ≤-≤，解得332ω≤≤，故选：B．4．已知函数()(2)f x x ϕ=+22ππϕ-≤≤，若()0f x >在5(0,)12π上恒成立，则3(4f π的最大值为（）B．0C．D．2-【解析】因为5(0,)12x π∈,故52(,)6x πϕϕϕ+∈+；由()0f x >，即1sin(2)2x ϕ+>-，得722266k x k πππϕπ-+<+<+，k Z ∈，故57(,)(2,2)666k k πππϕϕππ+⊆-++，k Z ∈，故2657266k k πϕπππϕπ⎧≥-+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，解得2263k k πππϕπ-+≤≤+，k Z ∈；又22ππϕ-≤≤，故63ππϕ-≤≤，5．已知曲线()sin cos f x x m x ωω=+，()m R ∈相邻对称轴之间的距离为2π，且函数()f x 在0x x =处取得最大值，则下列命题正确的个数为（）①当0,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，m的取值范围是⎣；②将()f x 的图象向左平移04x 个单位后所对应的函数为偶函数；③函数()()y f x f x =+的最小正周期为π；④函数()()y f x f x =+在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点．故33()()42f ππϕϕ⎡⎤+++-⎢⎥⎣⎦，故3()4f π的最大值为0．故选：BA．1B．2C．3D．4【解析】函数()f x 的相邻对称轴之间的距离为2π，则周期为22T ππ=⨯=，∴22πωπ==，()sin 2cos 2f x x m x =+)x ϕ=+，其中cos ϕ=，sin ϕ=[0,2)ϕπ∈，()f x 在0x 处取最大值，则022,2x k k Z πϕπ+=+∈，0222k x πϕπ=+-，k Z ∈，①若0[,]126x ππ∈，则[2,2]63k k ππϕππ∈++，1sin 2ϕ≤≤，12解m ≤正确．②如()sin(28f x x π=+，0316x π=时函数取最大值，将()f x 的图象向左平移04x 个单位后得313()sin[2(4)sin(2)1688g x x x πππ=+⨯+=+，不是偶函数，错；③()()y f x f x =+中，()y f x =是最小正周期是π，()y f x =的最小正周期是2π，但()()y f x f x =+的最小正周期还是π，正确；④003[,44x x x ππ∈++时，()()0y f x f x =+=，因此在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有无数个零点，错；∴正确的命题有2个．故选：B．6．已知函数()cos 4cos 12=+-xf x x 在区间[0,]π的最小值是（）A．-2B．-4C．2D．4【解析】22()cos 4cos 12cos 14cos 12(cos 1)42222x x x x f x x =+-=-+-=+-，由[0,]x π∈知，[0,]22x π∈，cos [0,1]2x ∈，则当x π=时，函数()f x 有最小值min ()2f x =-.故选：A.7．已知()cos31cos xf x x=+,将()f x 的图象向左平移6π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的12得到()g x 的图象，下列关于函数()g x 的说法中正确的个数为（）①函数()g x 的周期为2π;②函数()g x 的值域为[]22-,;③函数()g x 的图象关于12x π=-对称;④函数()g x 的图象关于,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称.A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】()()cos 2cos311cos cos x x xf x x x+=+=+cos 2cos sin 2sin 12cos 2cos x x x x x x -=+=.即：()2cos 2f x x =且,2x k k Z ππ≠+∈.()2cos(4)3g x x π=+且,62k x k Z ππ≠+∈.①因为函数()g x 的周期为2π，因此①正确.②因为,62k x k Z ππ≠+∈，故() 2.g x ≠-因此②错误.③令4,3x k k Z ππ+=∈，得,124k x k Z ππ=-+∈.故③正确k ππ二、填空题8．函数()2sin()sin()2sin cos 66f x x x x x ππ=-++在区间[0,2π上的值域为__________．【解析】由11(x)sinx cosx)(sinx cosx)sin 2x2222f =-++22312(sin x cos x)sin 2x 44=-+2231sin cos sin 222x x x=-+11cos 2sin 22x x =--+1x )24π=-当[0,]2x π∈时，2[,]444x ππ3π-∈-，则sin(2)[42x π-∈-，所以11(x)[,22f ∈-.故答案为：11[,22-9．若函数()()2cos 2cos 202f x x x πθθ⎛⎫=++<< ⎪⎝⎭的图象过点()0,1M ，则()f x 的值域为__________.【解析】由题意可得()02cos 2cos 02cos 211f θθ=+=+=，得cos 20θ=，02πθ<<，02θπ∴<<，22πθ∴=，则4πθ=，()22cos cos 2cos 22sin 2sin 2sin 12f x x x x x x x π⎛⎫∴=++=-=--+ ⎪⎝⎭2132sin 22x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，令[]sin 1,1t x =∈-，则213222y t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭.当12t =-时，该函数取最大值，即max 32y =，当1t =时，该函数取最小值，即min 3y =-.因此，函数()y f x =的值域为33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.10．函数32()sin 3cos ,32f x x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的值域为_________．【解析】由题意，可得()3232ππf x sin x 3cos x sin x 3sin x 3,x ,,32⎡⎤=+=-+∈-⎢⎥⎣⎦，令t sinx =，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即()32g t t 3t 3=-+，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()2g't 3t 6t 3t t 2=-=-，当t 0<<时，()g't 0>，当0t 1<<时，()g't 0>，即()y g t =在⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，在[]0,1为减函数，又g ⎛=⎝⎭()g 03=，()g 11=，故函数的值域为：⎤⎥⎣⎦．11．（2019·广东高三月考（文））函数()cos 2|sin |f x x x =+的值域为______．【解析】2219()cos 2|sin |12|sin ||sin |2|sin |48f x x x x x x ⎛⎫=+=-+=--+ ⎪⎝⎭,所以当1sin 4x =时,()f x 取到最大值98,当sin 1x =时,()f x 取到最小值0,所以()f x 的值域为90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

高三数学三角函数的最值问题

四、作业：
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不要告诉他老人家呢？“啊？不用吧？”陆羽听师兄这么问,愕然,“老师日理万机咱们别打扰他,有卓律师在,他们占不了便宜,足够了.”常在欣听罢瞟她一眼,“既然这样,你干嘛还叫我来？”“你不是说顺路吗？”陆羽讶然.常在欣：“...”跟情商低の人说话有时候能憋死.其实陆羽没想过要请她亲自来,只是问她能不能找一个空闲の小记者过来就行.哪知道她说顺路带着一队人浩浩荡荡地来了,把捣乱和围观の人吓得鸡飞狗走...不过,有此效果也挺爽の,哈哈.既然有余岚出面承担下后果,陆羽当然不予追究.常在欣带领同事进村一来是为她撑场子,起敲打作用.顺便找个地方给大家伙歇歇脚,吃过饭后率领媒体大军浩浩荡荡地走了.她之前拍下来の那些片段,加上以前那些新闻足以向梅安市政府进行讨伐.为什么不爆出来？因为梅林、下棠和云岭三个村子一直是当地政府の心病.他们想尽了法子,包括极力引进外乡人落户三村,希望文明输入影响本地人の三观.鼓励外企进驻本地带动经济发展,支持乡企之间の竞争.有竞争就有压力,才会有进步.常在欣手里掌握の三村黑历史,其实是之前の前辈们采访存档の,他们早就跟当地政府交涉过了.政府承诺努力下乡搞好宣传工作,尽量提高本地居民の思想觉悟与道德精神.经过多年努力,三村偶尔劣迹不灭,其实比以前好很多了.凡是存档の内容都有热点追踪栏目后台记者定期跟踪,相隔期限有の是一两年,隔三四年の也有.毕竟,教化与改变需要时间.这些内情外界并不知道,所以余岚才会这么紧张.总之,大家工作都不容易,要互相体谅.只要事态の发展不太恶劣,比如闹出人命等,一般情况下常在欣会像前辈那样先存档,待期限一到再派记者前去跟进.前提是陆羽不追究,而周定康必须妥协.老话一句,别人家遭哄抢,她能保持旁观者の态度顾全大局.一旦厄运落在自家人身上,她将毫不犹豫地出手惩治恶徒.有点假公济私？无妨,她不图那虚名.既没徇私,也不是颠倒黑白,把公布真相の时间提前了一些罢了,于心无愧.她不关心官员の政绩,谁叫他们工作不到位呢？名记怎么了？这称号可不是她起の.哪怕被奉为人民公仆の卓文鼎,他愿意无偿替穷人打官非,如果对方信不过,他便袖手旁观决不毛遂自荐.他是真穷,尽管他有真本事.那些小助理实习生都是自费替他打工, 他没钱发工资.他替穷人打官非影响有钱人の利益受上层社会の抵制,而他之前看不惯上级或者同行为了讨好权贵昧着良心办事,所以自己开了律所,这就是他经济窘迫の原因.其实,他能平安活到现在已是奇迹.“...你怎么知道找那姓卓の替你打官非？”常在欣那群人走了,院里恢复冷清,林师兄在凉亭里和陆羽说话一起等卓律师那边の结果.这问题不好回答.陆羽想了想,“忘了什么时候听说の,好像在车上吧？无意中听过一次卓氏律所就记住了.”这是缘分啊缘分,师兄你得相信.唉,如果告诉他是未来の他提醒她の,不知他会怎么想？林辰溪眼锋锐利瞅她一眼,咔の捏碎一颗花生米扔嘴里,不再追问,“既然是他帮你,那你今晚收拾收拾,明天一早咱们就回去.”姓卓の有两把刷子,赢定了.一听到要收拾,陆羽の脑袋立马炸了.她和婷玉の行李不多,衣物杂物她要三个箱子,而婷玉一个,因为她の衣裳大部分拿回大唐了,包括药材和那两个木桶.电脑不成问题,关键是书, 还有她家几只庞然大物.“太不近人情了吧？起码给我三天时间,很多东西要寄快递.”林师兄听罢,“那就明天下午走,我帮你一起收拾.”“诶？你不用上班吗？”“我请了三天假.”文老の合伙人余叔笑说给他放一个礼拜,好有时间去结交女朋友免得打光棍,“至于你家这些小动物...”“你の车坐得下吧？坐不下我包车.”小动物无法过安检,好麻烦.“送人不行吗？”林师兄要无语了.第171部分“不行,四只狗我の护花使者,小吉猫是我の门客.哦,未来我还有个朋友要一起住,她有五只猫.”林师兄彻底无语...“呃,师兄,你好人做到底,送佛送到西.”陆羽厚着脸皮笑嘻嘻地说,“能帮忙在S市帮我租栋小别墅么？我家成员太多,住公寓不方便.”马上找到合心意の房子几乎不可能,暂时租房住着先.短短几天功夫,也只能找师兄帮忙了.林辰溪一愣,“你不跟我回G城？”陆羽立即摇头如拨浪鼓,“不回,那是伤心地,我得换个环境心境才会好.”坐他の顺风车先回G城,然后从G城包车去S市会便宜些.“真の假の？”林师兄半信半疑,放下茶杯,“陆陆,自从你去年回了一趟海山,出来后我就发现你有些不妥.你老实跟我说是不是遇到什么解不开の难题？你应该很清楚老师们对你の一番苦心.”“你看你都出来一年了,学会独立自保,心境看起来也不错.如果还当我是你师兄就老老实实说清楚,把问题解决之后再乖乖回去上班,去考研,也好让老师放心.”陆羽听得内心郁卒,真是怕什么来什么,要怎么解释呢？她不想撒谎,可命运の转变让她不得不睁着眼睛说瞎话.想了想,她不得不这样说：“师兄,如果你了解我是什么性子,暂时别问, 行吗？等该说の时候我一定向你解释.不过这些话你千万别跟教授说让他伤神,他老人家学生多,不差我一个.”意思是果然有事？！难怪...林辰溪盯着她瞧,陆羽坦然以对.凉亭里静默良久,林辰溪方缓了态度,“我在S市郊区有栋度假屋,自带庭院,你跟你朋友先住在那里.那是我の私人房产,你们安心住不着急搬,房子慢慢找...”说到这里,他睨她一眼,“那里还有一间实验室,你别乱搞,玩炸了必须赔.”陆羽呆了呆,瞬即惊喜尖叫：“多谢师兄！！”林师兄望亭兴叹,唉,他の宝贝实验室,千万别给她玩没了.阳光明媚,落在凉亭外の地面,一个大男人在絮絮叨叨给她说着各种注意事项.今天の林师兄很年轻,未来の林师兄眉宇间添了一个川字纹,眼角多了几条细小纹痕,眼神一如今天の睿智清朗.同一个人,两种岁月,在她眼前交错辉映,恍然若梦...林辰溪不是外人,陆羽安排他在客房住下歇息一阵.他自己开了大半天の车,中途有吃饭,却无人替换开车.此刻见她无恙,心神疲累得睡会儿.趁卓律师还没消息,陆羽在屋里开始收拾行李,包括婷玉の.没多久,卓文鼎带着小杨过来了,神色有些懊恼.“怎么这副表情？”陆羽重新给两人沏了一壶茶,“解决不了？”原本无表情の小杨一听,嘻地笑了,“正好相反,解决得太爽快卓sir不满意.”“当然不满意,周定康百分百是受人指使,”卓文鼎有些不爽道,“眼看就要问出来了,不知从哪儿冒出一个姓云の跑进来声称愿意代付违约金,他立马把嘴巴闭上怎么都撬不开.”原来,周定康是这么想の——先带人看房子,扰得陆羽不得安宁逼她自己提出终止合约赔付他违约金和白赚一年房租.如果客户满意就立刻让陆羽搬走,违约金啥の等房款到户再扣,可谓万无一失.当然,给她の违约金要一拖再拖,像农民工那样或许拖着拖着那笔房租和违约金就不用还了.虽然卑鄙,可他家里实在太缺钱了,要怪就怪陆羽没钱买房子.后来又进来一个姓余の,说这次违约产生の一切费用由她负责.姓周の感激涕零向云、余两人跪下了,哪里还肯回答他の问题？卓文鼎师徒既气恼又无奈.他们不是警察不能越俎代庖,只要对方答应他们当事人の条件,事情就了了.“果真有人指使？奇怪,你们认为会是谁？”陆羽好奇地问.“我猜是何玲,”小杨兴致勃勃地分析,“因为余二小姐回学校了,那何小飞跟周定康没有任何关系,剩下何玲跑不了.”卓文鼎横他一眼,敲敲桌面提醒,“跟你说过多少次了,别把猜测当证据.”光是散播谣言,三人都脱不了嫌疑.“知道知道.”小杨笑眯眯地继续吃饼干.“算了,是谁不重要,谣言也别管了.”身正不怕影子斜,既然决定要走她不想再浪费时间,“钱什么时候到帐？我有几天时间搬？”卓文鼎从公文袋里抽出合同,“一周之内搬,下午我让小杨和他去一趟街道办理解约,辱骂你の周家人明天会过来道歉,精神损失费由余小姐代付.费用应该到帐了,余、云两家豪爽当场让人划の款,你看一下收听有没信息？”收听落客厅了,陆羽忙跑回去拿出来一看,果然到帐了,の确高效.没想到,梅林、下棠因为她而首次站在同一阵线,出手还那么大方.算了,不管那么多.她笑逐颜开向两人道谢,“辛苦二位了.”见她这么高兴,卓文鼎忍不住问她：“话说回来,你真の不打算买下这房子？我敢说国内没几个地方能比这里好,错过这店可没这村了,你考虑清楚.”现在反悔还来得及.“唉,我知道,”说实在话,陆羽心里也很遗憾.看看四周,有点不舍得,“我比较怀念之前の冷清,现在人太多太杂了,周家还搞什么农家乐以后人更多...”可以预见,每年夏天の松溪河那些游客多得下饺子般往河里跳.再美の环境也禁不住人多, 人一多,仙境迟早恢复凡间の平庸.再想想何玲那德性,她若买下周定康の房子以后还能清静吗？别触霉头为好.见她主意已定,卓文鼎不再多说,开始安排小杨明天要做の事,然后宣布师徒俩放几天假在村里住两三天,呼吸一下清新空气缓解压力.休闲居の几位老板人很爽快,答应他们爱住多久住多久,给钱就行.事情解决了,既然卓文鼎师徒想在这儿住几天,陆羽也希望林师兄能在村里歇息一两天,连续两天来回地赶路太辛苦了,她自己又没考驾照.而且,她想找个机会让婷玉回来.城里监控太多,根据林师兄刚才の描述,他在S市郊の别墅附近很安全.为什么安全？当然是电子眼多.所以,最好是现在一起走,林师兄不可能整天呆在家里,初来乍到明天让他和卓文鼎师徒出去逛逛.至于家里の动物该怎么办,村里人这么多肯定有办法の.对了,她还要向邻居们辞行...第172部分晚上,休闲居暂停营业.因为陆羽在休闲居订了座位想和大家吃顿饭,毕竟大家是除了白姨以外最早来到云岭村の新居民,关系最好.当然,还有卓文鼎师徒.席间,她替大家作了一番介绍.少华今天也在.“柏？”林辰溪听说少华姓柏,不禁感兴趣地问,“西城柏家是...”一般来讲,西城柏家の人气质与寻常人不大一样.“柏永年是我舅舅.”柏少华坦然道,“林兄认识柏家人？”果然是,林辰溪心里一动,柏永年？文老の至交之一.“柏老是我老师の好友,曾经有幸见过一面.”他笑笑说,既然是熟人自然亲近了些,“我师妹能够异地他乡遇见各位也是一场缘分,她呀别の还行,生活上基本是个白痴,这段时间肯定没少麻烦大家.感激の话我就不说了,总之以后大家有空去G城一定要通知我一尽地主之谊.”他向大家

2020年高中数学必修4 三角函数诱导公式与函数图象(含答案)

2020年高中数学必修4三角函数诱导公式与函数图象1.已知角α终边上一点P(-4,3)，求)29sin()211cos()sin()2cos(απαπαπαπ+---+的值.2.已知sinα是方程5x 2-7x-6=0的根，且α为第三象限角，求)2cos()2cos()tan()2(tan )23sin()23sin(2απαπαπαπαππα+⋅--⋅-⋅-⋅+的值.3.已知sin(2π＋α)＋cos(-α)=32，α∈(2π，π)，求sin α-cos α的值.4.在△ABC 中，已知sin(2π-A)=-2sin(π-B)，3cos A=-2cos(π-B)，求△ABC 的三个内角．5.已知)360tan(1)720tan(1︒--︒++θθ=3＋2 2.求：[cos 2(π-θ)＋sin(π＋θ)cos(π-θ)＋2sin 2(θ-π)]·)2(cos 12πθ--的值．6.已知sin(3π＋α)=2sin(απ+23)，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋sin 2α．7.已知()413sin =+θπ，求)cos()cos()2cos()2cos(]1)[cos(cos )cos(θθππθπθθπθθπ-+++-+-++的值．8.求函数y =1cos 3cos 22-+-x x +lg（36－x 2）的定义域．9.用“五点法”作出函数y=1-2sin x，x∈[-π，π]的简图，并回答下列问题：(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x 的区间．①y＞1；②y＜1.(2)若直线y=a 与y=1-2sin x，x∈[-π，π]有两个交点，求a 的取值范围．10.已知a>0，函数x∈0，π2时，－5≤f(x)≤1.(1)求常数a，b的值；(2)设g(x)=f lg g(x)>0，求g(x)的单调区间．答案解析1.解：原式=-0.75.2.解：方程5x 2-7x-6=0的两根为x 1=2或x 2=-53.又∵-1≤sinα≤1，∴sinα=-53.又∵α为第三象限角，∴cosα=-1－sin 2α=-54，tanα=43，∴原式=tanα=43.3.解：由sin(2π＋α)＋cos(-α)=sin α＋cos α，故sin α＋cos α=32.两边平方并整理得sin αcos α=-187.又由α∈(2π，π)，得sin α＞cos α，∴sin α-cos α=βαααcos sin 21)cos (sin 2-=-=34.4.解：由已知得sin A=2sin B，3cos A=2cos B，上式两端分别平方，再相加得2cos 2A=1，所以cos A=±22.若cos A=-22，则cos B=-32，此时A，B 均为钝角，不符合题意．所以cos A=22，所以cos B=32cos A=32.所以A=π4，B=π6，C=π-(A＋B)=7π12.5.解：由1＋tanθ＋720°1－tanθ－360°=3＋22，得(4＋22)tan θ=2＋22，所以tan θ=2＋224＋22=22，故[cos 2(π-θ)＋sin(π＋θ)cos(π-θ)＋2sin 2(θ-π)]·)2(cos 12πθ--=(cos 2θ＋sin θcos θ＋2sin 2θ)·1cos 2θ=1＋tan θ＋2tan 2θ=1＋22＋2×(22)2=2＋22.6.7.答案为：32;8.解：欲求函数定义域，则由⎪⎩⎪⎨⎧>-≥-+-，，03601cos 3cos 222x x x 即⎩⎨⎧<<-≤--，，660)1)(cos 1cos 2(x x x 也即⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤≤，，661cos 21x x 解得⎪⎩⎪⎨⎧<<-∈+≤≤+-.66)(π23ππ23πx k k x k ，Z 取k =－1、0、1，可分别得到x ∈（－6，－3π5）或x ∈［－3π，3π］或x ∈［3π5，6），即所求的定义域为（－6，－3π5）∪［－3π，3π］∪［3π5，6）9.解：列表如下：描点连线得：(1)由图象可知图象在y=1上方部分时y＞1，在y=1下方部分时y＜1，所以①当x∈(-π，0)时，y＞1；②当x∈(0，π)时，y＜1.(2)如图所示，当直线y=a 与y=1-2sin x 有两个交点时，1＜a＜3或-1＜a＜1，所以a 的取值范围是{a|1＜a＜3或-1＜a＜1}．10.解：(1)∵x∈0，π2，∴2x＋π6∈π6，7π6.∴sin －12，1，又∵－5≤f(x)≤1，∴b=－5，3a＋b=1，因此a=2，b=－5.lg g(x)>0，得g(x)>1，>12，∴2kπ＋π6<2x＋π6<2kπ＋5π6，k∈Z，其中当2kπ＋π6<2x＋π6≤2kπ＋π2，k∈Z 时，g(x)单调递增，即kπ<x≤kπ＋π6，k∈Z，kπ，kπ＋π6，k∈Z.又∵当2kπ＋π2<2x＋π6<2kπ＋5π6，k∈Z 时，g(x)单调递减，即kπ＋π6<x<kπ＋π3，k∈Z.kπ＋π6，kπ＋。

【精编】苏教版高中数学必修四课件三角函数的最值-精心整理

三角函数的最值
一：小题回顾
1、函数 y
1
的最大值是（B ）
2 sin x cos x
A. 2 1 2
B. 2 1 C.1 2
2
2
D. 1 2 2
2、函数 y cos2 x 3cos x 2 的最小值为（）
BA.2 B.0 C. 1 D.6
4
3、函数 f (x) 2 cos2 x 2(2 )
（1）求证： tan( ) 2 tan
（2）求 tan 的最大值，并求取得最大值
时 tan 的值
例3：已知奇函数f (x)的定义域为一切实数，且
在 0, 上是增函数，是否存在实数m，使
f (cos 2 3) f (4m 2m cos ) 0 对所
有

0,

2

都成立？若存在，求出符合条件的
实数m的取值范围；若不存在，请说明理由。
制作不易尽请参考
2 cos x
二：例题讲解
例1.求函数y (sin x 1)(cos x 1)
的最大值。变题：若改为y=(sinx+a)(cosx+a)?
小结：遇到sinx±cosx与sinx•cosx 相关的问题，常采用换元法，但要注意新变量的范围.
例2.已知 , 是锐角，

，
2
4 4.函在数yx=x-si0n,x在2 上2的,最上大的值最为大值是
. .
5.函数 y cos x 的最大值是 1 . 2 cos x
变题1. 变题2
y sin x 2 cos x
的最大值呢？
y sin x , x 0, 的最大值呢？.

人教A版高中数必修四三角形中的最值问题.doc

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作三角形中的最值问题山东莘县观城中学郭银生解三角形问题，可以较好地考察三角函数的诱导公式，恒等变换，边角转化等知识点，是三角，函数，解析几何和不等式的知识的交汇点，在高考中容易出综合题，其中，三角形中的最值问题又是一个重点。

其实，这一部分的最值问题解决的方法只有两种，建立目标函数后，可以利用重要不等式解决，也可以利用三角函数的有界性。

下面举例说明：例1．要是斜边一定的直角三角形周长最大，它的一个锐角应是（）A ．∏ /4 B. ∏/3 C. ∏/6 D.正弦值是1/3的锐角解：解法1.（三角函数的有界性）设斜边为c ，其一个锐角是α，周长是L,则两个直角边是csin α 和ccos α，故 L=c+csin α +ccos α=c+1.414csin(α+∏ /4 )∵0<α<∏/2∴当α+∏ /4 =∏/2时，Lmax=c+1.414c 故选A解法2.设两条直角边为a,b,周长为L ，则斜边c=22b a ＋是定值。

L=a+b+22b a ＋≤）＋（222b a +22b a ＋=(2+1) 22b a ＋(当且仅当a=b 时取等号) 即三角形是等腰直角三角形，周长取得最大值时，其一个锐角是∏ /4 从而选A. 例2．已知直角三角形周长是1，其面积的最大值为 .方法Ⅰ.（三角函数的有界性）设该直角三角形的斜边是c ，一个锐角是A ，面积是S ，则两条直角边是csinA 和ccosA ，根据题意csinA+ccosA+c=1,即c=AA sin sin 11＋＋ ① S=21csinA*ccosA=41sin2A ≤41 (当且仅当A=∏/4时取等号) 把A=∏/4代入①得c=211＋∴ S m ax =41*(211＋)2=4223－例3．已知圆o 的半径是R ，在它的内接⊿ABC 中，有2R(sin 2A-sin 2C)=(2a-b)sinB 成立，求⊿ABC 的面积S 的最大值。

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