第14讲-相似三角形的判定-学案
(完整版)相似三角形专题复习教案
龙文教育学科老师个性化教案教师学生姓名梁瀚文上课日期学科数学年级九年级教材版本类型知识讲解□：考题讲解□:本人课时统计第（）课时共（）课时学案主题相似三角形课时数量（全程或具体时间）第（）课时授课时段教学目标教学内容相似三角形专题复习个性化学习问题解决查漏补缺，巩固提升教学重点、难点用相似三角形的判定与性质解决简单的几何问题和实际问题。
考点分析理解相似三角形的概念，总结相似三角形的对应角相等、对应边成比例等性质，掌握它们的基本运用。
教学过程学生活动教师活动知识要点1．相似三角形的定义：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形。
对应边的比叫做相似比。
三条平行线截两条直线所得的对应线段的比相等。
2．相似三角形的判定：①平行法②三组对应边的比相等(类似于三角形全等判定“SSS”)③两组对应边的比相等，且夹角相等(类似于三角形全等判定“SAS”)④两角对应相等(AA)直角三角形中斜边、直角边对应比相等（类似于直角三角形全等判定“HL”）。
相似三角形的基本图形：判断三角形相似，若已知一角对应相等，可先考虑另一角对应相等，注意公共角或对顶角或同角（等角）的余角（或补角）相等，若找不到第二对角相等，就考虑夹这个角的两对应边的比相等；若无法得到角相等，就考虑三组对应边的比相等。
3．相似三角形的性质：①对应角相等②对应边的比相等③对应的高、中线、角平分线、周长之比等于相似比④对应的面积之比等于相似比的平方。
4．相似三角形的应用：求物体的长或宽或高；求有关面积等。
（三）考点精讲 考点一：平行线分线段成比例 例1、（2011广东肇庆）如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ，AC ＝ 4，CE ＝ 6，BD ＝ 3，则BF ＝（ ）A ． 7B ． 7.5C ． 8D ． 8.5例2（2012•福州） 如图，已知△ABC ，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，则AD 的长是 ，cosA 的值是 ．（结果保留根号）练习：1．（2011湖南怀化，6，3）如图所示：△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝5，BD ＝10，AE ＝3，则CE 的值为（ ） A ．9 B ．6 C ．3 D ．4ECDB A2．（2011山东泰安，15 ，3分）如图，点F 是□ABCD 的边CD 上一点，直线BF 交AD 的延长线于点E ，则下列结论错误．．的是（ ） A ．ED DF EA AB = B ． DE EF BC FB = C ．BC BF DE BE = D ． BF BCBE AE=a b c A B C D EF m n3．（2012•孝感）如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，若AC=2，则AD 的长是（ ） A ．512- B ．512+ C ．51- D ．51+考点二：相似三角形的判定 例3、（2011湖北荆州）如图，P 为线段AB 上一点，AD 与BC 交于E ，∠CPD ＝∠A ＝∠B ，BC 交PD 于F ，AD 交PC 于G ，则图中相似三角形有（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对 例4、（2010江苏泰州）一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm 、30cm 、36cm ，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm 、45cm 的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边．截法有（ ） A.0种 B. 1种 C. 2种 D. 3种例5（2012•徐州）如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，点F 在BC 上，且FC= 14BC ．图中相似三角形共有（ ） A ．1对 B ．2对C ．3对D ．4对例6（2012•资阳）（1）如图（1），正方形AEGH 的顶点E 、H 在正方形ABCD 的边上，直接写出HD ：GC ：EB 的结果（不必写计算过程）；（2）将图（1）中的正方形AEGH 绕点A 旋转一定角度，如图（2），求HD ：GC ：EB ； （3）把图（2）中的正方形都换成矩形，如图（3），且已知DA ：AB=HA ：AE=m ：n ，此时HD ：GC ：EB 的值与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）．练习： 1．（2011江苏无锡，7，3分）如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA ∶OC = OB ∶OD ，则下列结论中一定正确的是 ( ) A ．①和②相似 B ．①和③相似GEADB CP FC ．①和④相似D ．②和④相似2．（2011新疆乌鲁木齐，10，4分）如图，等边三角形ABC 的边长为3，点P 为BC 边上一点，且1BP =，点D 为AC 边上一点若60APD ∠=︒，则CD 的长为 A ．12B ．23C ．34D ．13. （2012•攀枝花）如图，△ABC ≌△ADE 且∠ABC=∠ADE ，∠ACB=∠AED ，BC 、DE 交于点O ．则下列四个结论中，①∠1=∠2；②BC=DE ；③△ABD ∽△ACE ；④A 、O 、C 、E 四点在同一个圆上，一定成立的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4. （2012•义乌市）在锐角△ABC 中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得到△A 1BC 1．（1）如图1，当点C 1在线段CA 的延长线上时，求∠CC 1A 1的度数；（2）如图2，连接AA 1，CC 1．若△ABA 1的面积为4，求△CBC 1的面积；（3）如图3，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转过程中，点P 的对应点是点P 1，求线段EP 1长度的最大值与最小值．A B CDO① ②③④（第7题）考点三：相似三角形的性质 例7、（2010山东烟台）如图，△ABC 中，点D 在线段BC 上，且△ABC ∽△DBA ，则下列结论一定正确的是（ ） A ．AB 2=BC ·BD B ．AB 2=AC ·BD C ．AB ·AD =BD ·BC D ．AB ·AD =AD ·CD 例8、（2011浙江嘉兴）如图，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形BCED 的面积为（ ） （A ）32 （B ）33（C ）34（D ）36例9（2012•重庆）已知△ABC ∽△DEF ，△ABC 的周长为3，△DEF 的周长为1，则ABC 与△DEF 的面积之比为 ．练习1．（2011青海西宁，10，3分）如图6，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADB +∠EDC =120°，BD =3，CE =2，则△ABC 的边长为 A ．9 B ．12 C ．16 D ．182．（2011四川雅安，9,3分）如图，D 、E 、F 分别为△ABC 三边的中点，则下列说法中不正确的为（ ）A ．△ADE ∽△ABCB ．AFC ABF S S △△= C ．ABC ADE S S △△41=D ．DF=EF ABCDE G FOABDC（例5） A B C DE3．（2011四川内江，加试2，6分）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，DF 过EC 的中点G 并与BC 的延长线交于点F ，BE 与DF 交于点O ．若△ADE 的面积为S ，则四边形BOGC 的面积= ． 4．（2011辽宁丹东，16，3分）已知：如图，DE 是△ABC 的中位线，点P 是DE 的中点，CP 的延长线交AB 于点Q ，那么:DPQ ABC S S ∆∆=______________．Q PECDBA考点四 位似例10（2012•玉林）如图，正方形ABCD 的两边BC ，AB 分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD 是以AC 的中点O′为中心的位似图形，已知AC=32，若点A′的坐标为（1，2），则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD 的相似比是（ ） A ．16 B ．13 C ．12 D ． 23考点四：相似三角形的应用 例6、（2010安徽芜湖）如图，光源P 在横杆AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为CD,AB ∥CD,AB=2m,CD=6m,点P 到CD 的距离是2.7m,则_______m ．例7、（2011青海）如图，△ABC 是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm ，高AD=80mm ，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是 mm ．练习：1．（2011湖北黄石，13，3分）有甲乙两张纸条，甲纸条的宽是乙纸条宽的2倍，如图（4）.将这两张纸条交叉重叠地放在一起，重合部分为四边形ABCD，则AB与BC的数量关系为。
相似三角形(章)学案
课时一 相似三角形的判定（一）学习目标：1．经历“有两个角对应相等的两个三角形相似”及其推论的探索过程. 2．能运用“有两个角对应相等”及其推论的判定两个三角形相似. 3．发展同学们合情推理与数学说理能力。
学习过程：一、创设情境，引入新课：问题：如果两个三角形的对应边 ，对应角 ，那么这两个三角形相似。
结合我们学习全等三角形的判定，是否存在判定两个三角形相似的简便方法呢？如果有，包括哪几种情况？写下来：二、合作交流，探究新知： 探究一：相似三角形的判定方法1（1）请同学们观察你与同伴的直角三角尺，同样角度的三角尺是否相似？你能提出什么猜想？（2）由此我们发现：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么 。
（3）如果两个三角形的两对角分别对应相等，这两个三角形是否相似？为什么？归纳：由此我们得到判定两个三角形相似的方法1： 。
∴ 如图，∵∠A ＝∠A ′,∠B ＝∠B ′∴△ABC ∽△A ′B ′C ′（4）独立思考：如果两个三角形仅有一对角对应相等，它们是否一定相似？举反例说明。
探究二：如图甲与图乙，若DE ∥BC,则△ADE 与△ABC 有什么关系，你能写出证明过程吗？归纳：由此我们得到判定两个三角形相似的方法1的推论： 平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．∵AC ∥DB ∴△ADE ∽△ABC 探究三：ABCA ′B ′C ′A BC D E 图甲AB CDE图乙除了以上常见的基本图形外，能利用本节判定方法的基本图形如下 （1）如图1,若∠AED ＝∠B,则△ADE ∽△ACB ； （2）如图2,若∠ACD ＝∠B,则△ACD ∽△ABC ；（3）如图3,若∠BAC ＝90°,AD ⊥BC,则△ABC ∽△DBA ∽△DAC. 重要方法：1、有一个锐角相等的两个直角三角形相似；2、识别三角形相似的常用思路：（1）当条件中有平行线时，找两对对应角相等；（2）当条件中有一对相等的角（对顶角或公共角）时，可考虑再找一对相等的角； （3）两个等腰三角形，可以找顶角相等或找一对底角相等. 三：应用新知，体验成功：例1、已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 是角平分线，求证：△ABC ∽△BDC.例题2．如图，在边长为4的等边三角形ABC 中，D 、E 分别在线段BC ，AC 上运动，在运动过程中始终保持∠ADE ＝60°，求证：△ABD ∽△DCE.练习．如图，在矩形ABCD 中，以对角线BD 为一边构造一个矩形BDEF ，使得另一边EF 过原矩形的顶点C.(1)设Rt △CBD 的面积为S 1，Rt △BFC 的面积为S 2，Rt △DCE 的面积为S 3，则S 1＝S 2＋S 3；(用“＞”“＝”或“＜”填空)A B C DE 图1A BC D图2A B CD 图3(2)写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．例3、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
三角形相似的判定教案范文
三角形相似的判定教案一、教学目标：知识与技能：1. 学生能理解相似三角形的概念，掌握三角形相似的判定方法。
2. 学生能够运用相似三角形的性质解决实际问题。
过程与方法：1. 学生通过观察、操作、交流等活动，培养观察能力、动手能力和表达能力。
2. 学生能够运用转化思想，将复杂几何问题转化为相似三角形问题。
情感态度价值观：1. 学生培养对数学的兴趣，增强自信心，树立克服困难的勇气。
2. 学生学会合作交流，培养团队精神。
二、教学内容：1. 三角形的相似概念：学生通过观察、分析，理解相似三角形的定义。
2. 三角形相似的判定方法：学生掌握SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法，并能灵活运用。
3. 相似三角形的性质：学生了解相似三角形的性质，包括对应边成比例、对应角相等。
三、教学重点与难点：重点：1. 学生掌握三角形相似的判定方法。
2. 学生能够运用相似三角形的性质解决实际问题。
难点：1. 学生理解并灵活运用SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法。
2. 学生解决复杂几何问题，运用转化思想。
四、教学过程：1. 导入：通过展示生活中的实例，引导学生思考三角形相似的概念。
2. 新课导入：介绍三角形相似的定义，引导学生观察、分析，理解相似三角形的性质。
3. 判定方法的学习：讲解SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法，并通过例题让学生动手实践。
4. 课堂练习：设计不同难度的练习题，让学生巩固所学知识。
5. 总结与拓展：总结相似三角形的判定方法，引导学生思考如何运用相似三角形解决实际问题。
五、课后作业：1. 完成课后练习题，巩固三角形相似的判定方法。
教学评价：1. 课后作业的完成情况，检验学生对知识点的掌握。
2. 课堂练习的参与度，观察学生对问题的思考和解决能力。
3. 学生对相似三角形概念的理解，以及对实际问题的运用能力。
六、教学策略与方法：1. 采用问题驱动法，引导学生通过观察、操作、思考、讨论等活动，发现规律，掌握相似三角形的判定方法。
相似三角形的判定学案
相似三角形的判定学案 谢文广例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形．例2 已知：如图，ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ∆与CDF ∆的周长的比，如果2cm 6=∆AEF S ，求CDF S ∆．例3 如图，已知ABD ∆∽ACE ∆，求证：ABC ∆∽ADE ∆．例4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似． （2）所有的等腰三角形都相似．（3）所有的等腰直角三角形都相似． （4）所有的等边三角形都相似． 例5 如图，D 点是ABC ∆的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在ABC ∆的边上，并且点D 、点E 和ABC ∆的一个顶点组成的小三角形与ABC ∆相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE 的画法．【知能点分类训练】1．一个三角形的三边之比为3：4：5，另一个三角形的最短边长为8，另外两边长为_________时，这两个三角形相似．2．△ABC ABC的两边长分别为1当△A1B1C1的第三边长为_______时，△ABC与△A1B1C1相似．3．一个三角形三边之比为4：5：6，三边中点连结所成三角形的周长为60cm，•则原三角形各边的长为（）．A．16cm，20cm，24cm B．32cm，40cm，48cmC．8cm，10cm，12cm D．12cm，15cm，18cm4．△ABC∽△A′B′C′且相似比为13，△A′B′C′∽△A″B″C″且相似比为43，则△ABC与△A″B″C″的相似比为（）．A．14B．9494..4949C D或5．若△ABC的各边都分别扩大到原来的2倍，得到△A1B1C1，下列结论正确的是（）．A．△ABC与△A1B1C1的对应角不相等 B．△ABC与△A1B1C1不一定相似C．△ABC与△A1B1C1的相似比为1：2 D．△ABC与△A1B1C1的相似比为2：16．△ABC与△A′B′C′满足下列条件，△ABC与△A′B′C′不一定相似的是（ •）．A．∠A=∠A′=45°38′，∠C=26°22′，∠C′=108°B．AB=1，AC=1.5，BC=2，A′B′=12，B′C′=8，A′C′=16C．BC=a，AC=b，AB=c，A′B′````B C A C==D．AB=AC，A′B′=A′C′，∠A=∠A′=40°7.已知:在△ACB中,∠ACB是Rt∠,M是 AAB中点,MD⊥AB交AC于E,BC的延长线于D M求证:AB2=4ME·MD EB C D。
相似三角形性质及判定学案
孙家湾中学九年级上册数学学案班级姓名课题：3.3相似三角形性质及判定（1）教学目标：知识与技能：了解相似三角形的定义；会正确运用相似符号表示两个相似三角形；并能正确找出相似三角形的对应边和对应角。
过程与方法：经历三角形相似的定义和判定定理1的过程，并能利用判定定理1判定两个三角形相似。
情感态度与价值观：进一步体会数学内容之间的联系，初步认识特殊与一般之间的辩证关系，提高学生学习数学的兴趣和自信心命题的定义和形式，会区分真假命题。
重点：相似三角形的定义及判定定理1的应用难点：找出相似三角形的对应边和对应角及判定定理1的应用一、课前预习（一）相似三角形的定义1、三个角对应，三边对应的两个三角形叫做相似三角形。
如果∆与'''ABC∆相似，且A、B、C分别与A′、B′、C′对应，那么记A BC作：∽。
2、相似三角形的对应边的比叫做两相似三角形的。
2、例题解析：下列语句中，是命题的有（写序号）①你好吗？②同位角相等。
③聪明的葫芦娃。
④-2是整数。
⑤作一个角等于已知角。
3、你认为判断一个语句是命题的关键是：（二）命题的结构1、命题由和组成，通常可以写成“如果……，那么……”的形式，“如果”后面连接的部分是，“那么”后面连接的部分是。
2、写一写：①、命题“如果两条直线平行，那么内错角相等”它的条件是，结论是；②、命题“如果内错角相等，那么两条直线平行”，它的条件是，结论是；③、命题“对顶角相等”可以改写：如果，那么。
④、第①题中的命题的已知和结论分别是第②题中命题的和，这样的两个命题成为的命题，其中一个叫做另一个的。
3、命题“在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半”的逆命题是。
4、每个命题都逆命题。
（填“一定有”或“不一定有”）温馨提示：有些命题的条件和结论不明显，对于这样的命题，可以经过分析，把命题改写成“如果……那么……”的形式，再找出条件和结论，改写时，要添补原命题中省略的词语。
三角形相似的判定教案
三角形相似的判定教案一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握三角形相似的判定方法，能够运用相似三角形的性质解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、操作、推理等过程，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
二、教学内容1. 三角形相似的定义2. 三角形相似的判定方法3. 相似三角形的性质三、教学重点与难点1. 教学重点：三角形相似的判定方法，相似三角形的性质。
2. 教学难点：三角形相似的判定方法的灵活运用。
四、教学准备1. 教具：三角板、多媒体设备。
2. 学具：学生用书、练习题。
五、教学过程1. 导入新课1.1 复习相关知识：回顾三角形的基本概念，引出三角形相似的概念。
1.2 提出问题：如何判断两个三角形是否相似？2. 自主探究2.1 学生分组讨论，尝试找出判断两个三角形相似的方法。
3. 讲解与示范3.1 教师讲解三角形相似的判定方法，结合实例进行演示。
3.2 学生跟随教师一起操作，巩固判定方法。
4. 练习与反馈4.1 学生完成练习题，检测自己对三角形相似判定的掌握程度。
4.2 教师批改练习题，及时反馈错误，引导学生纠正。
5.2 学生展示拓展题目，分享解题思路，互相学习。
6. 布置作业教师布置课后作业，巩固三角形相似的判定方法。
7. 课后反思六、教学策略1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究三角形相似的判定方法。
2. 利用多媒体展示实例，增强学生的直观感受。
3. 组织小组讨论，培养学生团队合作精神。
4. 注重个体差异，给予不同程度的学生个性化的指导。
七、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生的学习状态。
2. 练习完成情况：检查学生课后作业的完成质量，评估学生对知识点的掌握程度。
3. 小组讨论：评价学生在小组讨论中的表现，包括合作意识、沟通交流能力等。
1. 课堂纪律：要求学生按时上课，保持课堂安静，遵守课堂规则。
相似三角形的判定(2)导学案
年级：九年级 班级： 学生姓名： 制作人： 不知名 编号：2023-1227.2.1 相似三角形的判定（2）【学习目标】1. 探究平行相似.2. 会证明定理并灵活应用.【重点】三角形相似的判定方法----平行相似 .【难点】证明定理并灵活应用.预学案（回顾）1、相似三角形的定义：如果两个三角形的_________，__________________，那么这两个三角形相似．2、平行线分线段成比例定理：两条直线被 所截，所得的 线段成比例3、推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的_______线段的比_______.探究案探究1：三角形相似的判定定理------平行相似：如图，在△ABC 中，D 为AB 上任意一点，过点D 作BC 的平行线DE ，交AC 于点E ．问题1 △ADE 与△ABC 的三个内角分别相等吗？∠A ∠A , ∠ADE ∠B , ∠AED ∠C ，问题2 分别度量△ADE 与△ABC 的边长，它们的边长是否对应成比例？______=_______=BCDE 问题3 你认为△ADE 与△ABC 之间有什么关系？平行移动DE 的位置，你的结论还成立吗？ △ADE △ABC猜想： ∵DE ∥BC∴______ = _______.而BCDE 中的DE 不在△ABC 的边BC 上，不能直接利用前面的结论，但从要证的AC AE ＝BC DE 可以看出，除DE 外，AE ，AC ，BC 都在△ABC 的边上，因此只需将DE _______到BC边上去，使得_____=DE，再证明ACAE＝________就可以了.只要过点E作EF∥AB，交BC于点F，BF就是_____DE所得的线段.请你写出证明过程：结论：判定三角形相似的定理：，所构成的三角形与原三角形相似.三角形相似的两种常见类型：“A”型“X”型检测案1．已知在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，ED:AC等于（）A．1:2 B．1:3 C．2:3 D．2:52. 如图，在△ABC中，EF∥BC，AE= 2 cm，BE = 6 cm，BC＝4 cm，则EF的长为（）A．1 cm B．cmC．3 cm D．2 cm3．如图，在△ABC中，DE∥BC，则△____∽△____，对应边的比为＝．4．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE：EA＝2 ：3，EF＝4，求CD的长．34ABAD。
数学《相似三角形的判定》教案
相似三角形的判定（一）一、教学内容的说明1、教材所处的地位：三角形相似的判定是相似形这一章的教学重点，是在学习三角形相似的定义和预备定理的基础上作进一步研究。
从知识的系统性来看，相似三角形是全等三角形知识的发展，它们存在一般与特殊的关系，因此可类比三角形全等的判定方法得到三角形相似的判定方法。
同时判定定理1的证明方法又为进一步学习其它几个判定定理奠定了基础。
2、这一内容可分为四课时完成，本教学设计是第一课时。
3、本节课注重分层教学,在各个环节均照顾不同层次的学生，使各层次学生均有所得，体会到成功的喜悦,树立自信心，主动发展。
教学重点：三角形相似的判定定理1的理解和应用。
教学难点：三角形相似的判定定理1的证明方法。
因为它的证明是在只有相似三角形的定义和预备定理的条件下完成的，需要添加辅助线转化为预备定理。
二、教学目标的确定根据本节课的具体内容并结合学生的实际情况,我从知识与技能、过程与方法、情感态度价值观三方面制定了教学目标：1、使学生理解定理内容及其证明方法，初步会运用定理解决有关问题；2、通过学生探索、证明、理解和应用定理，进一步发展符号感和推力能力,使学生学会学习,体验成功；3、通过图形变式，使学生体验数学活动充满着探索性和创造性,并享受数学美；通过小组讨论，培养学生合作意识。
三、教学方法与教学手段的选择为了充分调动学生学习的积极性，使学生变被动学习为主动愉快地学习，我引导学生类比联想，猜想命题，形成定理,采用讨论、探究式的教学方法.在教学手段方面,我选择了计算机辅助教学的方式，运用Powerpoint和几何画板，增加图形的直观性和课堂密度.四、教学过程的设计为了实现教学目标,我遵循学生的认知规律,根据“循序渐进原则”；把这节课分为三个阶段：“定理探索阶段”；“定理运用阶段”；“定理巩固阶段”.下面我将对教学步骤作出说明。
（一）定理探索阶段1、类比，猜想三角形相似的判定方法由于探索三角形相似的新的判定方法首先应让学生对已有知识有一个清晰的认识，所以先让学生复习相似三角形的定义和判定三角形相似的预备定理，教师引导学生思考,现有的判定三角形相似的方法中:①定义需要对应角分别相等,对应边成比例，条件多，过于苛刻;②预备定理要求有三角形一边的平行线，条件过于特殊，使用起来有局限性.说明探索三角形相似的新的判定方法的必要性。
《相似三角形的判定》说课稿
《相似三角形的判定》说课稿一、说教材《相似三角形的判定》是华东师大版九年级上册中继学生学习了相似图形相似图形的性质判定、相似三角形之后的一个学习内容。
它为后面测量和研究三角函数做了铺垫，在学习平面几何中起着承上启下的作用。
因此必须熟练掌握三角形相似的判定，并能灵活运用。
教材从三对角、两对角、一对角对应相等的顺序展开探究，符合学生认知规律。
二、说学情：学生通过前面的学习已认识了相似图形的性质和判定，认识了相似三角形，这为探究三角形相似的判定做好了知识上的准备。
九年级学生动手操作能力逐渐成熟，能主动参与本节课的操作、探究，充分体验获得知识的快乐。
三、说教法与学法指导：本节课我将采用三学两测的模式进行教学，即学案引领自主探索、同伴合作，交流归纳、教师点拨，启发引导在生生互动，师生互动中借助多媒体开展教学。
并进行基础知识测试综合能力测试来反馈课堂效果。
在学法指导上，激励学生积极参与、观察、发现，充分引导学生积极思维，鼓励学生进行合作学习，让每个学生都动口、动手、动脑，体会数学内容之间的联系，在解决问题的过程中，培养学生学习的主动性和积极性，让学生在愉悦的气氛中感受到数学学习的无穷乐趣。
四、说教学目标：知识目标：(1)探索判定两个三角形相似的条件，经历利用操作、归纳获得数学结论的过程。
(2) 掌握如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，并应用其解决相关问题。
能力目标：通过观察、归纳、测量、实验、推理等手段，让学生充分体验得出结论的过程，感受发现的乐趣。
让学生在观察中学会分析，在操作中学会感知，培养学生的合情推理能力、有条理的表达能力。
情感目标：培养学生的合作交流意识，培养学生主动探索，敢于实践，勇于发现的科学精神。
五、说重点与难点：重点：探究两个三角形相似的判定方法难点：想方设法验证猜想六、说教学过程的设计新课程的理想课堂应该蕴含以下理论：生活性，发展性，主体性。
应遵循以下原则：与学生生活实际联系紧，直观性强，动手要多，使学生兴趣要高，自信心要强，即用经验动手操作，观察，思考，释疑，归纳。
相似三角形的判定教案
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三边对应成比例判定法
定理内容：三边对应成比 例的两个三角形相似。
判定步骤
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1. 确定已知条件，包括已 知的三组对应边。
3. 如果三组对应边的比值 相等，则根据三边对应成 比例定理判断两个三角形 是否相似。
2. 计算三组对应边的比值 ，判断是否相等。
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在几何、三角函数中，相似三角形都有着广泛的应用，如测量高度、距 离等。
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思考题与课后作业布置
课后作业
列举生活中应用相似三角形的实 例，并解释其原理。
完成教材上的相关练习题，巩固 相似三角形的判定方法和性质。
思考题：已知两个三角形有两组 对应的角分别相等，那么这两个 三角形是否一定相似？为什么？
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思考并尝试证明：如果两个三角 形的三组对应边成比例，那么这 两个三角形是否一定相似？
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谢谢您的聆听
THANKS
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2. 测量角度
使用量角器测量这两组对应角 的度数。
实例分析
通过具体图形和角度测量，演 示如何利用两角对应相等判定 两个三角形相似。
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案例三：利用三边对应成比例判定相似三角形
判定定理
01 如果两个三角形的三组对应边
成比例，则这两个三角形相似 。
1. 标记对应边
02 在两个三角形中，分别标记出
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判定步骤
1. 确定已知条件，包括已知角或已知边 。
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两角对应相等判定法
判定步骤
定理内容：两角对应相等的 两个三角形相似。
01
1. 确定已知条件，包括已知
27.2.1相似三角形的判定相似三角形的判定(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“相似三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.能够运用相似三角形的判定方法解决实际问题；
4.通过实际操作和例题分析，培养学生的观察能力和逻辑思维能力。
本节课将结合实际例题，引导学生掌握相似三角形的判定方法，并运用到解决具体问题中。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的几何直观能力，通过观察和分析相似三角形的特征，提升对几何图形的理解和感知；
举例：
在讲解AA判定法时，重点强调两个角相等即可判定三角形相似，例如：已知∠ABC=∠DEF，且∠BAC=∠EDF，证明ΔABC∼ΔDEF。
2.教学难点
-理解并区分AA、SSS、SAS判定法的适用条件，学生容易混淆。
-在实际问题中，学生难以识别哪些信息是关键的，以及如何运用相似三角形的判定方法。
-熟练进行几何证明，学生可能对证明步骤和逻辑推理过程感到困惑。
-难点三：在几何证明过程中，学生可能忽略证明步骤的逻辑顺序。教师应提供清晰的证明框架，如先证明两个角相等，再证明两三角形相似，最后得出对应边成比例的结论。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《相似三角形的判定》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过两个三角形看起来很相似，但不知道如何证明的情况？”这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索相似三角形判定的奥秘。
相似三角形sss判定学案
BEDCA 相似三角形判定（三） 姓名： 复习：1.相似三角形定义：对应角 ，对应边的比 的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号“ ”表示，读作“ ”。
3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做 ，用字母 表示。
4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的 与原三角形相似。
5.相似三角形的判定定理：(1)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似， （简叙为 对应相等两三角形 ）。
(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（简叙为：两边对应成 且 相等，两个三角形相似。
） 6. 如图，已知AE 与CD 交于点B ，AC ∥DE ，求证：⑴△ABC △EBD ⑵若AC=2，BC=3，BD=6，求DE 的长。
新授：一.自学探索结论归纳：通过以上计算和观察，你发现了什么结论？如果两个三角形的三组 的比 ,那么这两个三角形 . 简单地说: 三边对应的比相等,两三角形相似. 用几何语言表示： ∵=DE AB = . ∵=GMDE= . ∴ ∽ ∴ ∽ ∴ ∽E例1:根据下列条件，判断△ABC与△A’B’C’是否相似，并说明理由．(1)∠A=1200，AB=7cm，AC=14cm，∠A’=1200，A’B’=3cm，A’C’=6cm.解：∵=''BAAB, =''CAAC.∴=''BAAB.且∠=∠∴∽（）(2)AB=4 cm，BC=6cm，AC=8cm, A’B’=12cm,B’C’=18cm，A’C’=24cm.解：∵=''BAAB, =''CAAC，=''CBBC。
∴=''BAAB= .∴∽（）练习：一．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）A、①和②B、②和③C、①和③D、②和④二．（2011•深圳）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A、B、三．已知：BCDEACAEABAD==，求证：∠BAD=∠CAE.四．（2010•杭州）如图，AB=3AC，BD=3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．（1）求证：△ABD∽△CAE；（2）如果AC=BD，AD=22BD，设BD=a，求BC的长．。
24.3.2相似三角形判定1 学案
图24.3.4 24.3.2《相似三角形的判定》（1）教学案学习目标：两个三角形相似的判定方法1：有两个角对应相等的两个三角形相似。
复习导学：1、两个矩形一定会相似吗？为什么？2、如何判断两个三角形是否相似？3、如图（准备好教具：两个相似三角形）问是否存在识别两个三角形相似的简便方法？本节课就是探索这方面的识别两个三角形。
学习研讨：探索：1、观察你与你同伴的直角三角尺，同样角度（30°与60°，或45°与45°）让学生充分思考，并与伙伴交流后，它们相似吗？2、如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么它们相似吗？3、任意画两个三角形（可以画在下面的格点图上），使其三对角对应相等．用刻度尺量两个三角形的对应边，看看两个三角形的对应边是否成比例．你能得出什么结论？图24.1.5（如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形__________．）4、小组讨论后总结：得到识别两个三角形相似的一个较为简便的方法：如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似． 5、思 考：如果两个三角形仅有一对角是对应相等的，那么它们是否一定相似？举例说明。
（你所用的两块不一样的直角三角尺） 6、例1 如图24．3．4所示，在两个直角三角形△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠C ＝∠C ′＝90°，∠A ＝∠A ′，证明△ABC ∽△A ′B ′C ′． 证明:7、练习：（1）、△ABC 和△A B C '''中，∠ A ＝40°， ∠B ＝80°，∠A '＝80°，∠B '＝60°. 则△ABC 与△A B C '''相似吗？为什么?（2）、找出图中所有的相似三角形.图24.3.3第(2)题8、例2 如图18.3.5，△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，证明:△ADE ∽△EFC .（注意：推理必须步步有据）解:达标训练：1.如图，找出下列图形中的相似图形，并说明理由.⑴AB ∥CD ⑵∠ADE ＝∠C ⑶①∠1＝∠2； ②∠2＝∠B； ③DE ∥BC.答：（1） （2） （3）2、课本57页练习23、判断正误（1）有一个锐角相等的两个直角三角形相似。
高中数学相似三角形的判定及有关性质三相似三角形的判定及性质2相似三角形的性质学案
2．相似三角形的性质1．相似三角形的性质定理相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． 相似三角形周长的比等于相似比． 相似三角形面积的比等于相似比的平方．2．两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面积比与相似比的关系相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方． 相似三角形中的“对应线段”不仅仅指对应边、对应中线、角平分线和高，应包括一切“对应点”连接的线段；同时也可推演到对应的内切圆、外接圆的半径．△ABC 2，S △AEF ＝4 cm 2，求sin A 的值．由题目条件证明△AEC ∽△AFB ，得AE ∶AF ＝AC ∶AB ，由此推知△AEF ∽△ACB ，进而求出线段EC 与AC 的比值．∵CE ⊥AB 于点E ，BF ⊥AC 于点F ， ∴∠AEC ＝∠AFB ＝90°. 又∵∠A ＝∠A ，∴△AEC ∽△AFB . ∴AE AF ＝AC AB.又∵∠A ＝∠A ，∴△AEF ∽△ACB . ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫AE AC2＝S △AEF S △ACB ＝436. ∴AE AC ＝26＝13. 设AE ＝k ，则AC ＝3k ， ∴EC ＝22k .∴sin A ＝EC AC ＝223.利用相似三角形的性质进行有关的计算往往与相似三角形对应边的比及对应角相等有关，解决此类问题，要善于联想，变换比例式，从而达到目的．1．如图，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，∠ADE ＝∠B ，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F .若AD ＝3，AB ＝5，求：(1)AG AF的值；(2)△ADE 与△ABC 的周长之比； (3)△ADE 与△ABC 的面积之比． 解：(1)在△ADE 与△ABC 中， 因为∠ADE ＝∠B ，∠BAD 为公共角， 所以△ADE ∽△ABC ，所以AG AF ＝AB AD ＝53. (2)△ADE 与△ABC 的周长之比等于它们的相似比， 即AD ∶AB ＝3∶5.(3)△ADE 与△ABC 的面积之比等于它们相似比的平方，即⎝ ⎛⎭⎪⎫AD AB 2＝925.2.如图，在▱ABCD 中，AE ∶EB ＝2∶3.(1)求△AEF 与△CDF 周长的比； (2)若S △AEF ＝8，求S △CDF .解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD 且AB ＝CD .∵AE EB ＝23， ∴AE AE ＋EB ＝22＋3，即AE AB ＝25. ∴AE CD ＝25. 又由AB ∥CD 知△AEF ∽△CDF ，∴△AEF的周长∶△CDF的周长＝2∶5.(2)S△AEF∶S△CDF＝4∶25，又S△AEF＝8，∴S△CDF＝50.DC，可过了一会抬头一看：“怎么看不到水塔了？”心里很是纳闷．经过了解，教学楼、水塔的高分别是20 m和30 m，它们之间的距离为30 m，小张身高为1.6 m．小张要想看到水塔，他与教学楼之间的距离至少应有多少米？此题的解法很多，其关键是添加适当的辅助线，构造相似三角形，利用相似三角形的知识解题．如图，设小张与教学楼的距离至少应有x m，才能看到水塔．连接FD，由题意知，点A在FD上，过F作FG⊥CD于点G，交AB于点H，则四边形FEBH，四边形BCGH都是矩形．∵AB∥CD，∴△AFH∽△DFG.∴AH∶DG＝FH∶FG.即(20－1.6)∶(30－1.6)＝x∶(x＋30)，解得x＝55.2(m)．故小张与教学楼的距离至少应有55.2 m才能看到水塔．此类问题是利用数学模型解实际问题，关键在于认真分析题意，将实际问题转化成数学问题，构造相似三角形求解．3．如图，小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m.(1)图中△ABC与△ADE是否相似？为什么？(2)求古塔的高度． 解：(1)△ABC ∽△ADE .∵BC ⊥AE ，DE ⊥AE ，∴∠ACB ＝∠AED ＝90°. ∵∠A ＝∠A ，∴△ABC ∽△ADE . (2)由(1)得△ABC ∽△ADE ，∴AC AE ＝BCDE. ∵AC ＝2 m ，AE ＝2＋18＝20 m ，BC ＝1.6 m. ∴220＝1.6DE，∴DE ＝16 m. 答：古塔的高度为16 m.4．有一块三角形铁片ABC ，已知最长边BC ＝12 cm ，高AD ＝8 cm ，要把它加工成一个矩形铁片，使矩形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上，且矩形的长是宽的2倍．则加工成的铁片的面积为多少？解：本题有图(1)和图(2)两种情况．如图(1)，矩形的长EF 在BC 上，G 、H 分别在AC 、AB 上，高AD 交GH 于K ，设矩形的宽为x cm ，则长为2x cm.由HG ∥BC ，得△AHG ∽△ABC .得AK ∶AD ＝HG ∶BC ，所以(8－x )∶8＝2x ∶12，即x ＝247(cm)．则S 矩形EFGH ＝2x 2＝1 15249(cm 2)．如图(2)，矩形的宽MN 在BC 上，类似地可求得S 矩形MNPQ ＝18(cm 2)． 即加工成的铁片的面积为1 15249 cm 2或18 cm 2.课时跟踪检测(四)一、选择题1．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，若AE ∶EC ＝1∶2，且AD ＝4 cm ，则DB 等于( )A ．2 cmB ．6 cmC ．4 cmD ．8 cm解析：选D 由DE ∥BC ，得△ADE ∽△ABC ， ∴AD AB ＝AE AC ，∴AD DB ＝AE EC ＝12.∴DB ＝4×2＝8(cm)．2.如图，在▱ABCD 中，E 是BC 的中点，AE 交对角线BD 于点G ，且△BEG 的面积是1 cm 2，则▱ABCD 的面积为( )A ．8 cm 2B ．10 cm 2C ．12 cm 2D ．14 cm 2解析：选C 因为AD ∥BC ，所以△BEG ∽△DAG ，因为BE ＝EC ，所以BE BC ＝BE DA ＝12.所以S △BEG S △DAG ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫BE DA 2＝14， 即S △DAG ＝4S △BEG ＝4(cm 2)． 又因为AD ∥BC ，所以AG EG ＝DABE＝2，所以S △BAG S △BEG ＝AGEG＝2， 所以S △BAG ＝2S △BEG ＝2(cm 2)，所以S △ABD ＝S △BAG ＋S △DAG ＝2＋4＝6(cm 2)， 所以S ▱ABCD ＝2S △ABD ＝2×6＝12(cm 2)．3．如图所示，在▱ABCD 中，AB ＝10，AD ＝6，E 是AD 的中点，在AB 上取一点F ，使△CBF ∽△CDE ，则BF 的长是( )A ．5B ．8.2C ．6.4D ．1.8解析：选D ∵△CBF ∽△CDE ， ∴BF DE ＝CB CD. ∴BF ＝DE ·CB CD ＝3×610＝1.8. 4．如图，AB ∥EF ∥CD ，已知AB ＝20，DC ＝80，那么EF 的值是( )A ．10B ．12C ．16D ．18解析：选C ∵AB ∥EF ∥CD ， ∴AE EC ＝AB DC ＝2080＝14.∴EF AB ＝EC AC ＝45. ∴EF ＝45AB ＝45×20＝16.二、填空题5．(广东高考)如图，在平行四边形 ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F, 则△CDF 的周长△AEF 的周长＝________.解析：由CD ∥AE ，得△CDF ∽△AEF ， 于是△CDF 的周长△AEF 的周长＝CD AE ＝AB AE ＝3.答案：36．如图，在△ABC 中有一个矩形EFGH ，其顶点E ，F 分别在AC ，AB 上，G ，H 在BC 上，若EF ＝2FG ，BC ＝20，△ABC 的高AD ＝10，则FG ＝________.解析：设FG ＝x ，因为EF ＝2FG ，所以EF ＝2x . 因为EF ∥BC ，所以△AFE ∽△ABC ，所以AM AD ＝EF BC ，即10－x 10＝2x 20，解得x ＝5，即FG ＝5. 答案：57．如图所示，在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，S矩形ABCD＝40 cm 2.S △ABE ∶S △DBA ＝1∶5，则AE 的长为________．解析：因为∠BAD ＝90°，AE ⊥BD ， 所以△ABE ∽△DBA . 所以S △ABE ∶S △DBA ＝AB 2∶DB 2. 因为S △ABE ∶S △DBA ＝1∶5， 所以AB ∶DB ＝1∶ 5. 设AB ＝k cm ，DB ＝5k cm ， 则AD ＝2k cm. 因为S 矩形ABCD ＝40 cm 2，所以k ·2k ＝40，所以k ＝25(cm)． 所以BD ＝5k ＝10 (cm)，AD ＝45(cm)． 又因为S △ABD ＝12BD ·AE ＝20，所以12·10·AE ＝20.所以AE ＝4(cm)． 答案：4 cm 三、解答题8．如图，已知△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，D 为AB 的中点，E 是AC 上的点，BE ，CD 交于点M .若AC ＝3AE ，求∠EMC 的度数．解：如图，作EF ⊥BC 于点F ， 设AB ＝AC ＝3，则AD ＝32，BC ＝32，CE ＝2，EF ＝FC ＝ 2.∴BF ＝BC －FC ＝2 2.∴EF ∶BF ＝2∶22＝1∶2＝AD ∶AC . ∴△FEB ∽△ADC ，∴∠2＝∠1. ∵∠EMC ＝∠2＋∠MCB ，∴∠EMC ＝∠1＋∠MCB ＝∠ACB ＝45°.9.如图，▱ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，DE ＝12CD .(1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2，求▱ABCD 的面积． 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠A ＝∠C ，AB ∥CD . ∴∠ABF ＝∠E . ∴△ABF ∽△CEB .(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD .∴△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF . ∵DE ＝12CD ，∴S △DEF S △CEB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DE EC 2＝19， S △DEF S △ABF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DE AB 2＝14. ∵S △DEF ＝2，∴S △CEB ＝18，S △ABF ＝8， ∴S 四边形BCDF ＝S △CEB －S △DEF ＝16. ∴S ▱ABCD ＝S 四边形BCDF ＋S △ABF ＝16＋8＝24.10．如图所示，甲、乙、丙三位同学欲测量旗杆AB 的高度，甲在操场上C 处直立3 m 高的竹竿CD ，乙从C 处退到E 处恰好看到竹竿顶端D 与旗杆顶端B 重合，量得CE ＝3 m ，乙的眼睛到地面的距离FE ＝1.5 m ；丙在C 1处也直立3 m 高的竹竿C 1D 1，乙从E 处退后6 m 到E 1处，恰好看到竹竿顶端D 1与旗杆顶端B 也重合，量得C 1E 1＝4 m ，求旗杆AB 的高．解：设F 1F 与AB ，CD ，C 1D 1分别交于点G ，M ，N ，GB ＝x m ，GM ＝y m.因为MD ∥GB ，所以∠BGF ＝∠DMF ，∠GBF ＝∠MDF ， 所以△BGF ∽△DMF ， 所以MD GB ＝MF GF.又因为MD ＝CD －CM ＝CD －EF ＝1.5 (m)，所以1.5x ＝33＋y.①又因为ND 1∥GB ，同理可证得△BGF 1∽△D 1NF 1， 所以ND 1GB ＝NF 1GF 1， 即1.5x＝4y ＋3＋6.②解方程①②组成的方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝15.又AB ＝GB ＋GA ＝9＋1.5＝10.5(m)， 即旗杆AB 的高为10.5 m.。
《相似三角形的判定》教案
《相似三角形的判定》教案《《相似三角形的判定》教案》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！作业内容体现学科核心素养的教学设计学习内容分析学习目标描述1.目标(1)掌握平行线分线段成比例的基本事实及其在三角形中的应用;(2)经历“动手操作—直观感知—发现事实”的过程，增强学生发现问题，解决问题的能力.学习内容分析提示：可从学习内容概述、知识点划分及其相互间的关系等角度分析《相似三角形的判定》是在学生认识相似图形，了解相似多边形的性质及判定的基础上进行学习的，是本章的重点内容.本课时首先利用“如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似.”引出两个三角形相似的定义(即三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似)，然后引导学生思考类比全等三角形的判定方法，对于相似三角形是否存在较为简便的方法.学科核心素养分析提示：说明本课堂可以落实哪个或哪些学科核心素养通过本节课的学习，学生经历画图、测量、猜想感知结论，并能将基本事实应用到三角形中，提高学生的动手操作能力和直观感知和知识迁移能力.教学重点相似三角形的判定既是本章的重点，也是整个初中几何的重点.教学难点本课的教学难点是：平行线分线段成比例基本事实的探究学生学情分析学生前面已经学过相似多边形的判定方法和成比例线段及全等三角形的有关知识.在此基础上，学生应不难理解相似三角形的判定.为了使学生在后续相似三角形的判定中更好地学习和掌握各个判定定理，新课标增加了平行线分线段成比例这一基本事实的学习.而这个基本事实，是要求学生能通过动手操作，并且在观察猜想的基础上进行度量与计算，从而自我发现这一事实的真实性，对学生的作图、读数、计算等能力要求较高.教学策略设计教学环节教学目标活动设计信息技术运用说明学习三角形全等时，我们知道，除了可以通过证明对应角相等，对应边相等来判定两个三角形全等外，还有判定的简便方法(SSS，SAS，ASA，AAS等).类似地，判定两个三角形相似时，是不是对所有的对应角和对应边都要一一验证呢?有没有简便方法呢?通过提问，引导学生回顾全等三角形的判定方法.并能类比全等三角形提出相似三角形判定方法的猜想.教师要关注学生的探究投入程度，鼓励学生大胆发表自己的见解.师生活动：学生思考，并猜想判定方法，教师对学生的大胆猜想予以鼓励，并指出为了证明相似三角形的判定定理，我们先来学习下面的平行线分线段成比例这个基本事实.而利用多媒体教学时，学生画图得出数据后，就可以在多媒体上用动态的图像生动形象地展示这一定理，得到相应的比例式，节约下来的时间就可以更加深入细致地探究比例的性质，让学生了解合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等相关的知识，让学生真正理解平行线分线段成比例定理的内涵，并用它们去解决问题。
苏教版高中数学选修4-1相似三角形学案
1.1.2相似三角形自主整理1.三角对应__________，三边对应__________的两个三角形叫相似三角形.2.两个相似三角形对应边的比称为这两个三角形的__________.3.相似三角形的判定定理有以下三个：（1）____________________的两个三角形相似.（2）____________________的两个三角形相似.（3）____________________的两个三角形相似.4.如果一条直线与三角形的一条边平行，且与三角形另两条边相交，则截得的三角形与原三角形__________.5.相似三角形的性质定理：相似三角形的对应线段的比等于____________，面积比等于相似比的____________.6.斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形____________.7.直角三角形射影定理：直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上____________与____________的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上____________的乘积. 答案：1.相等成比例2.相似比3.（1）两角对应相等（2）两边对应成比例且夹角相等(3)三边对应成比例4.相似5.相似比平方6.相似7.射影斜边射影高手笔记1.相似三角形的判定方法判定两个三角形相似的方法有：（1）定义法，即对应边成比例，对应角相等的三角形是相似三角形.当然有了判定定理后，就不用定义判定了，这是因为定义中的条件太多，实际上并不需要.（2）平行法，即平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.这就是预备定理.最常用的是判定定理，即①判定定理1：两角对应相等，两三角形相似；②判定定理2：两边对应成比例、夹角相等，两三角形相似；③判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似.在这些判定方法中，应用最多的是判定定理1，即两角对应相等，两三角形相似.因为它的条件最容易寻求，实际证明当中，要特别注意两个三角形的公共角.判定定理2则常见于连续两次证明相似时，在第二次使用此定理的情况较多.对于直角三角形相似的判定，除以上方法外，还有其特殊的方法：（1）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似；（2）如果一个直角三角形的一条直角边和斜边与另外一个直角三角形的直角边和斜边对应成比例，那么这两个直角三角形相似；（3）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似.在证明直角三角形相似时，要特别注意直角这一隐含条件的利用.2.相似三角形的性质如果两个三角形相似，那么它们的形状相同，只在大小上有所区别，这两个三角形的对应元素之间有很重要的关系，分别是：（1）相似三角形对应角相等，对应边成比例；（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；（3）相似三角形的周长比等于相似比；（4）相似三角形的面积比等于相似比的平方；（5）相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方，利用这些关系，可以进行各种各样的求值和证明.3.直角三角形的射影定理由于角的关系，图1.1-45中，三个直角三角形具有相似关系，于是Rt △ABC 的六条线段之间存在着比例关系.△ACD ∽△CBD,有BD CDCD AD =，转化为等积式即CD 2=AD·BD; △ACD ∽△ABC,有AB AC =AC AD，转化为等积式即AC 2=AB·AD;△BCD ∽△BAC ，有BCBDBA BC =，转化为等积式即BC 2=BA·BD. 用语言来表述，就是在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.图1.1-45这一结论常作为工具用于证明和求值.如图1.1-45，在Rt △ABC 中，∠C=90°,CD 是AB 上的高.已知AD=4，BD=9，就可以求CD 、AC.由射影定理，得CD 2=AD·BD=4×9=36.因为边长为正值，所以CD=6，AC 2=AD·AB=4×(4+9)=52.所以AC=213.我们还可以求出BC 、AB ，以及△ABC 的面积等. 名师解惑1.证明三角形相似应从哪些方面入手？剖析:证明三角形相似和证明三角形全等类似，可以从多方面考虑.例如有没有角相等，有没有边成比例，然后再看怎样把已知的条件用于要证相似的两个三角形.证角相等一般比较容易掌握，证线段成比例往往较困难，除了要对比例的性质较为熟悉之外，常常还要用中间比的方法（这一点有时不容易直接看出来）.在利用证两个三角形相似来得到这两个三角形的两个角相等，或对应边成比例时，前者常常要注意找比例线段，即利用判定定理2、3来判定两个三角形相似，后者要注意找相等的对应角，即用判定定理1、2来判定两个三角形相似.2.在解决相似三角形有关的问题时，常用到比例的性质，比例的性质有哪些？ 剖析:①比例的基本性质：b a =dc⇒ad=bc; ②合比性质：若b a =dc ⇒b b a +=d dc +或d dc b b a -=-; ③等比性质：若b a =dc=…=nm(b+d+…+n≠0),则ban d b m c a =++++++ . 3.直角三角形斜边上高线的作用.图1.1-46剖析:直角三角形ABC 的斜边AB 上的高CD 使得△ABC 和△ACD 、△CBD 都相似，随之产生一系列的比例关系.如图1.1-46，设BC=a,AC=b,AB=c,CD=h,AD=p,DB=q,这些比例关系是qhh p a b h b a c q a h a b c p b ======,,.删除重复的ah=bq,bh=ap. 整理归纳为a 2=cq,b 2=cp,ab=ch,h 2=pq.另外由勾股定理，得a 2+b 2=c 2,h 2+q 2=a 2,h 2+p 2=b 2.共有7个关于6个元素的等式.这样，直角三角形斜边上的高作出后，就展现了图中6条线段的丰富的比例关系，如果其中2条线段的长度是已知的，那么其余4条线段一定可以通过这些比例关系求得. 4.相似三角形的基本类型有哪些？解决策略是什么？剖析:掌握相似三角形判定定理的关键是在熟练记忆的基础上善于结合图形来寻求证明三角形相似的途径.对下面几个常见的基本图形要熟练掌握，在证题过程中应灵活运用，化繁为简，化难为易.（1）相交线型（如图1.1-47）图1.1-47①∠ACD=∠B ⇒△ACD ∽△ABC. ②∠AED=∠B ⇒△AED ∽△ABC. ③∠D=∠B ⇒△ADO ∽△CBO. ④∠ACB=90°,CD ⊥AB ⇒△ADC ∽△ACB ∽△CDB.⑤AD ⊥BC,BE ⊥AC ⇒△BDH ∽△BEC ∽△AEH ∽△ADC. (2)平行线型（图1.148）图1.148DE ∥BC ⇒△ADE ∽△ABC. (3)旋转型（图1.1-49）图1.1-49△ABC ∽△AB′C′.判定三角形相似除根据基本图形的构成之外，还有以下几条思路：①条件中若有平行线，可采用定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或其他两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.②若有一对等角，可再找一对等角应用判定定理1，或再找夹边成比例应用判定定理2. ③若两对边对应成比例，可找夹角相等应用判定定理2.④若有一对直角，可考虑判定定理1（两个角相等）或证明：斜边直角边对应成比例. ⑤若有等腰关系，可找顶角相等用判定定理2（夹角相等，夹边对应成比例），或找一对底角相等应用判定定理1（两个角相等），或找底和腰成比例用判定定理3（三边对应成比例）. ⑥利用已知三角形相似的关系：若△1∽△2,△2∽△3则△1∽△3. 讲练互动【例1】已知△ABC ，P 是边AB 上的一点，连结CP （如图1.1-50）, （1）∠ACP 满足什么条件时，△ACP ∽△ABC; (2)AC:AP 满足什么条件时，△ACP ∽△ABC.图1.1-50分析：从图中可以看出，在△ACP 与△ABC 中，∠A=∠A ，根据三角形相似的判定定理，只要使∠ACP=∠B ，或者使AC:AP=AB:AC ，都有△ACP ∽△ABC. 解：（1）∵∠A=∠A ，∴当∠ACP=∠B 时，△ACP ∽△ABC(两角对应相等，两三角形相似). （2）∵∠A=∠A,∴当AC:AP=AB:AC 时，△ACP ∽△ABC(两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似). 绿色通道此题是探索性题，应从结论出发找到需要的条件，从而使问题得以解决. 变式训练1.如图1.1-51,∠ABC=∠CDB=90°,AC=a,BC=b,当BD 与a 、b 之间满足怎样的关系式时，△ABC ∽△CDB?（只需写出一种）图1.1-51解:∵∠ABC=∠CDB=90°, ∴当BD BC BC AC时，△ABC ∽△CDB.即b a =BDb时， △ABC ∽△CDB,∴BD=a b 2.答：当BD=ab 2时，△ABC ∽△CDB.【例2】如图1.1-52，已知在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°,BD 是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AD 2=DC·AC.图1.1-52分析：有一个角是36°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD 是底角的平分线，∴∠CBD=36°,则可推出△ABC ∽△BCD ，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系. 证明：∵∠A=36°,AB=AC,∴∠ABC=∠C=72°. 又∵BD 平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=36°. ∴AD=BD=BC,且△ABC ∽△BCD, ∴BC:AB=CD:BC. ∴BC 2=AB·CD.∴AD 2=AC·CD. 绿色通道(1)有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边.（2）要说明线段的乘积式ab=cd,或平方式a 2=bc,一般都是证明比例式c a =bd 或a b =ca，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式. 变式训练2.如图1.1-53，在矩形ABCD 中，E 是CD 的中点，BE ⊥AC 交AC 于F ，过F 作FG ∥AB 交AE 于G.求证：AG 2=AF·FC.图1.1-53证明:在矩形ABCD 中，AD=BC ，∠D=∠BCE=∠ABC=90°, 又∵DE=EC,∴△ADE ≌△BCE(SAS)， ∴AE=EB. ∵FG ∥AB, ∴AG=BF ， 又BE ⊥AC,∴△ABF ∽△BCF. ∴BF 2=AF·FC, ∴AG 2=AF·FC.【例3】如图1.1-54小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m,已知小明的身高是1.6 m,他的影长是2 m.(1)图中△ABC 与△ADE 是否相似？为什么？ （2）求古塔的高度.图1.1-54分析：由题意知，△ABC 与△ADE 相似，这是因为两个三角形均为直角三角形，并且这两个三角形有一个公共角，由判定定理可得相似，利用对应边成比例，可以获得塔高. 解：（1）△ABC ∽△ADE.∵BC ⊥AE,DE ⊥AE,∴∠ACB=∠AED=90°. ∵∠A=∠A,∴△ABC ∽△ADE. (2)由（1）得△ABC ∽△ADE,∴AE AC =DEBC. ∵AC=2 m,AE=2+18=20 （m ）,BC=1.6 m. ∴DE6.1202.∴DE=16. 答：古塔的高度为16 m. 绿色通道利用相似三角形的性质解决实际问题，关键是把实际问题建立数学模型转化成数学问题解决. 变式训练3.一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5 m,面积为1.5 m 2，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，甲、乙两位同学的加工方法分别如图 1.1-55（1）、（2）所示.那么哪位同学的加工方法符合要求？说说你的理由.（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）图1.1-55 解:由AB=1.5 m,S △ABC =1.5 m 2,得BC=2 m.如图（1），若设甲加工的桌面边长为x m,由DE ∥AB ，推出Rt △CDE ∽Rt △CBA,可求出x=76m. 如图（2），过点B 作Rt △ABC 斜边上的高BH ，交DE 于P ，交AC 于H.由AB=1.5 m,BC=2 m,S △ABC =1.5 m 2,得AC=2.5 m,BH=1.2 m. 设乙加工的桌面边长为y m,∵DE ∥AC ，∴Rt △BDE ∽Rt △BAC.∴AC DE BH BP =,即5.22.12.1yy =-. 解得y=3730. ∵353076=＞3730,即x ＞y,x 2＞y 2,∴甲同学的加工方法符合要求. 【例4】如图1.1-56，在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，DF ⊥BC 于F ，求证：△CEF ∽△CBA.图1.1-56分析：要证明△CEF ∽△CBA ，题设已具备了∠BCA=∠ECF ，再找出一对角相等变得不容易，因此，考虑证明∠BCA 与∠ECF 的夹边成比例，即CACFCB CE =，即证CE·CA=CF·CB ，再从已知出发考虑问题，在Rt △ADC 中，DE ⊥AC ，根据定理能推出CD 2=CE·CA ，同理可得CD 2=CF·CB ，这样，CE·CA=CF·CB 就能得证.证明：∵△ADC 是直角三角形，DE ⊥AC ，∴CD 2=CE·CA.同理可得CD 2=CF·CB.∴CE·CA=CF·CB ，即CACFCB CE =.又∵∠BCA=∠ECF ，∴△CEF ∽△CBA. 绿色通道当题目中缺少角相等时，应该考虑利用相等的角的两边对应成比例，即及时转换解题思路，而不能只想到找两对角相等，因为我们还有其他的判定定理. 变式训练4.如图1.1-57,已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，DF ⊥BC 于F.求证：AE·BF·AB=CD 3.图1.1-57 证明:∵Rt △ABC 中，∠ACB=90°,CD ⊥AB, ∴CD 2=AD·BD.∴CD 4=AD 2·BD 2.又∵Rt △ADC 中，DE ⊥AC ，Rt △BDC 中，DF ⊥BC. ∴AD 2=AE·AC ，BD 2=BF·BC. ∴CD 4=AE·BF·AC·BC. 又∵AC·BC=AB·CD,∴CD 4=AE·BF·AB·CD.∴AE·BF·AB=CD 3.【例5】如图1.1-58，在△ABC 中，D 、F 分别在AC 、BC 上，且AB ⊥AC ，AF ⊥BC ，BD=DC=FC=1，求AC.图1.1-58分析：由数形结合易知，△ABC 是直角三角形，AF 为斜边上的高线，CF 是直角边AC 在斜边上的射影，AC 为所求，已知的另外两边都在△BDC 中，且BD=DC=1，即△BDC 是等腰三角形.因此，可以过D 作DE ⊥BC ，拓开思路,由于DE 、AF 同垂直于BC ，又可以利用比例线段的性质，逐步等价转化求得AC. 解：在△ABC 中，设AC 为x,∵AB ⊥AC,AF ⊥BC,又FC=1，根据射影定理，得AC 2=FC·BC,即BC=x 2. 再由射影定理，得AF 2=BF·FC=（BC-FC ）·FC ，即AF 2=x 2-1.∴AF=12-x .在△BDC 中，过D 作DE ⊥BC 于E ，∵BD=DC=1，∴BE=EC ，又∵AF ⊥BC,∴DE ∥AF,∴ACDCAF DE =.∴DE=xx AC AF DC 12-=∙. 在Rt △DEC 中，∵DE 2+EC 2=DC 2,即(x x 12-)2+(22x )2=12,∴41422x xx =-=1. 整理得x 6=4.∴x=32.∴AC=32.绿色通道本题体现了基本图形基本性质的综合应用.还应该注意，作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法. 变式训练5.如图1.1-59，已知在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，且AD=AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F. （1）求证：△ABC ∽△FCD;(2)若S △FCD =5，BC=10,求DE 的长.图1.1-59（1）证明:见右图.∵DE ⊥BC,D 是BC 的中点， ∴EB=EC ， ∴∠B=∠1.又∵AD=AC,∴∠2=∠ACB. ∴△ABC ∽△FCD.(2)解法一:过点A 作AM ⊥BC,垂足为点M. ∵△ABC ∽△FCD,BC=2CD,∴2)(CDBC S S ECD ABC =∆∆=4. 又∵S △FCD =5,∴S △ABC =20. ∵S △ABC =21BC·AM,BC=10, ∴20=21×10×AM.∴AM=4. 又∵DE ∥AM,∴BMBDAM DE =. ∵DM=21DC=25,BM=BD+DM,BD=21BC=5,∴25554+=DE . ∴DE=38.解法二:作FH ⊥BC ，垂足为点H. ∵S △FCD =21DC·FH,又∵S △FCD =5,DC=21BC=5, ∴5=21×5×FH.∴FH=2. 过点A 作AM ⊥BC ，垂足为点M,∵△ABC ∽△FCD ，∴BC DC AM FH ==21,∴AM=4. 又∵FH ∥AM,∴42==AM FH DM DH =21.∴点H 是DM 的中点.又∵FH ∥DE ，∴DCHCDE FH =. ∵HC=HM+MC=415,∴54152=DE ,∴DE=38.。
三角形相似的判定教案范文
三角形相似的判定教案范文一、教学目标：1. 让学生理解相似三角形的概念，掌握相似三角形的判定方法。
2. 培养学生运用相似三角形解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学知识的理解和运用能力，培养学生的逻辑思维能力。
二、教学内容：1. 相似三角形的定义2. 相似三角形的判定方法3. 相似三角形的性质4. 相似三角形在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 重点：相似三角形的定义、判定方法和性质。
2. 难点：相似三角形在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 采用讲解法、示范法、练习法、讨论法等教学方法。
2. 利用多媒体课件辅助教学，提高学生的学习兴趣。
3. 组织学生进行小组合作学习，培养学生的团队精神。
五、教学过程：1. 导入新课：通过复习旧知识，引入相似三角形的概念。
2. 讲解相似三角形的定义：引导学生理解相似三角形的含义。
3. 讲解相似三角形的判定方法：a. AA相似判定法b. SSS相似判定法c. SAS相似判定法4. 讲解相似三角形的性质：引导学生掌握相似三角形的性质。
5. 练习与巩固：布置课堂练习题，让学生运用所学知识解决问题。
6. 拓展与应用：结合实际问题，让学生运用相似三角形解决实际问题。
7. 课堂小结：总结本节课所学内容，强调相似三角形的重要性质和应用。
8. 布置作业：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 通过课堂练习和课后作业，评价学生对相似三角形概念和判定方法的理解程度。
2. 观察学生在课堂讨论和小组合作中的表现，评价学生的团队协作能力和逻辑思维能力。
3. 分析学生解决实际问题的能力，评价学生对相似三角形应用的理解和运用。
七、教学反思：1. 反思教学内容安排是否合理，是否有助于学生理解相似三角形的概念和判定方法。
2. 反思教学方法是否适合学生的学习需求，是否能够激发学生的学习兴趣。
3. 反思课堂氛围和组织形式，是否有利于学生的积极参与和思考。
八、教学拓展：1. 探讨相似三角形的其他判定方法，如AAS相似判定法。
相似三角形的判定数学教学教案(优秀6篇)
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第14讲相似三角形的判定温故知新一、平行线分线段成比例定理的推论平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。
1.一定要注意三边的对应的关系，不要写错2.平行于三角形的一边的直线可以与三角形的两边相交，也可以与三角形的两边的延长线相交，如下图所示，若DE∥BC，则有ＡＤＡＢ＝ＡＥＡＣ，ＡＤＤＢ＝ＡＥＥＣ，ＤＢＡＢ＝ＥＣＡＣ课堂导入一、相似三角形的概念对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形． 1、相似三角形是相似多边形中的一种； 2、应结合相似多边形的性质来理解相似三角形； 3、相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同； 4、相似用“∽”表示，读作“相似于”；5、相似三角形的对应边之比叫做相似比，书写对应边的比时，一定要找准对应边。
二、相似三角形的判定方法1、如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．2、如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．3、如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．典例分析例1、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线，求证：△ABC ∽△BCD例2、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，则图中相似三角形共有（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对相似三角形的概念及判知识要点一ABCD例3、如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABCC．AB2=AD•AC D．=例4、已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，E是BC的中点，连接AE、AC．（1）点F是DC上一点，连接EF，交AC于点O（如图1），求证：△AOE∽△COF；（2）若点F是DC的中点，连接BD，交AE与点G（如图2），求证：四边形EFDG是菱形．举一反三1、下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（）A．B．C．D．2、在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（）A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对3、如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．（1）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；（2）P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似（要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连接相应线段，不必说明理由）4、如图，△ABC中，BE⊥AC于E，AD⊥BC于D．求证：△CDE∽△CAB．1、平行线型：常见的有如下两种，D E ∥BC ，则△ADE ∽△ABC2、相交线型：常见的有如下四种情形（1）如图，已知∠1=∠B ，则由公共角∠A 得，△ADE ∽△ABC（2）如下左图，已知∠1=∠B ，则由公共角∠A 得，△ADC ∽△ACB （3）如下右图，已知∠B=∠D ，则由对顶角∠1=∠2得，△ADE ∽△ABC3、旋转型：已知∠BAD=∠CAE ，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ， 右图为常见的基本图形．4、母子型：已知∠ACB=90°，AB ⊥CD ，则△CBD ∽△ABC ∽△ACD ．AABCB CDEDE11ABCDABCEE DA211BCACBEDD相似三角形基本类型知识要点二BCADE5、斜交型：如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。
（有“反A共角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”）6、垂直型：有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）典例分析例1、如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BC的延长线上一点，AE与CD相交于F，与△CEF相似的三角形有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4例2、如图，正方形ABCD中，E是CD的中点，P是BC上一点，要使△ABP与△ECP相似，还需具备的一个条件是．ABCDE12AABB C CDDEE12412ECABDEABC(D)EA DCBA BCD例3、如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）A．（6，0）B．（6，3）C．（6，5）D．（4，2）例4、在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示运动时间（0≤t≤6），那么当t为何值时，△APQ与△ABD相似？说明理由．举一反三1、如图所示，点E是平行四边形ABCD的边CB延长线上的点，AB与DE相交于点F，则图中相似三角形共有（）对．A．5 B．4 C．3 D．22、如图，在△ABC中，点D在AB上，请再添一个适当的条件，使△ADC∽△ACB，那么可添加的条件是．3、如图，△ABC中，BE⊥AC于E，AD⊥BC于D．求证：△CDE∽△CAB．4、如图，锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，垂足为D，E．（1）证明：△ACD∽△ABE．（2）若将D，E连接起来，则△AED与△ABC能相似吗？说说你的理由．5、如图，已知OA⊥OB，OA=4，OB=3，以AB为边作矩形ABCD，使AD=a，过点D作DE垂直OA的延长线交于点E．（1）证明：△OAB∽△EDA；（2）当a为何值时，△OAB与△EDA全等？请说明理由，并求出此时点C到OE的距离．6、如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC= °，BC= ；（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．课堂闯关初出茅庐1、下列命题中，是真命题的为（）A．锐角三角形都相似 B．直角三角形都相似C．等腰三角形都相似 D．等边三角形都相似2、如图，给出下列条件，其中不能单独判定△ABC∽△ACD的条件为（）A．∠B=∠ACD B．∠ADC=∠ACB C．= D．=3、如图，平行四边形ABCD 中，过点B 的直线与对角线AC 、边AD 分别交于点E 和F ．过点E 作EG ∥BC ，交AB 于G ，则图中相似三角形有（ ） A ．4对 B ．5对 C ．6对 D ．7对4、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．5、如图，已知AB=AC ，∠A=36°，AB 的中垂线MD 交AC 于点D 、交AB 于点M ．下列结论：①BD 是∠ABC 的平分线；②△BCD 是等腰三角形；③△ABC ∽△BCD ； ④△AMD ≌△BCD ．正确的有（ ）个．A ．4B ．3C ．2D ．16、若四边形ABCD 的四边长分别是4，6，8，10，与四边形ABCD 相似的四边形A 1B 1C 1D 1的最大边长为30，则四边形A 1B 1C 1D 1的最小边长是__________.7、如图：点G 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点 E 、F ，则△AGD ∽ ∽ 。
优学学霸8、如图，已知∠ADC=∠BAC ，BC=16cm ，AC=12cm ，求DC 的长．9、如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是边AD 、CD 上的点，AE=ED ，DF=DC ，连接EF 并延长交BC 的延长线于点G ．A B C DEF G 1234（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．自我挑战1、下列命题中，真命题是（）①同旁内角互补，两直线平行．②三角形任意两边之和不小于第三边；③两条对角线平分的四边形是平行四边形；④两边及其中一角对应相等的两个三角形全等；⑤两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．A．①③⑤B．①④⑤C．②③④D．①②③④⑤2、已知∠ABC∠∠DEF，AB=6cm，BC=4cm，AC=9cm，且∠DEF的最短边边长为8cm，则最长边的边长为（）A．16cm B．18cm C．4.5cm D．13cm3、如右图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP与△ECP相似的是（）A.∠APB＝∠EPCB. ∠APE＝90°C. P是BC的中点D. BP︰BC＝2︰3114、已知：如图在∠ABC中，AE=ED=DC，FE∠MD∠BC，FD的延长线交BC的延长线于N，则为（）A．B．C．D．5、如图，在∠ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，他们相交于G，延长BE交CD的延长线于点H，则图中的相似三角形共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对6、下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）A．B．C．D．7、如图，在正五边形ABCDE中，对角线AD，AC与EB分别相交于点M，N．下列结论错误的是（）A．四边形EDCN是菱形B．四边形MNCD是等腰梯形C．△AEM与△CBN相似D．△AEN与△EDM全等8、如图，点C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，连结AE，BD，设AE交CD于点F．（1）求证：△ACE≌△DCB；（2）求证：△ADF∽△BAD．129、如图，AB=3AC，BD=3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．（1）求证：△ABD∽△CAE；（2）如果AC=BD，AD=2BD，设BD=a，求BC的长．13。