概率论 条件概率、乘法公式与全概率公式
第四节 条件概率总结
第四节一、条件概率 二、乘法公式条件概率三、全概率公式与贝叶斯公式一、条件概率在许多问题中,我们往往会遇到事件 B 已经出 现的条件下求事件A的概率. 这时由于有了附加条 件, 因此称这种概率为事件B发生的条件下，事件 A的条件概率，记作 P(A|B) 同理P(Ｂ|Ａ)表示：事件Ａ发生的条件下，事件 Ｂ发生的概率例1 一个家庭中有两个小孩，已知两个小孩其中一个 是女孩，问两个小孩都是女孩的概率是多少？ （假定生男生女是等可能的） 解 由题意，样本空间为Ω = { (男，男)， (男，女)， (女，男)， (女，女) }A 表示事件“至少有一个是女孩”， B 表示事件“两个都是女孩”，则有 A＝{ (男，女)， (女，男)， (女，女) } B = { (女，女) } 由于事件A已经发生，所以这时试验的所有可能结果 只有三种，而事件B包含的基本事件只占其中的一 1 种， 所以有 P ( B A) =3(1)在这个例子中，若不知道事件A已经发生的信息，那 么事件B 发生的概率为 这里1 P( B) = 4 P( B)≠ P( B A)其原因在于事件 A的发生改变了样本空间，使它由原 来的Ω 缩减为Ω A = A，而 P( B A)是在新的样本空间 Ω A 中由古典概率的计算公式而得到的．上例中计算 P(B|A)的方法并不普遍适用．如果回 到原来的样本空间Ω 中考虑，显然有3 P( A) = 4从而即1 P ( AB) = 4 1 1 P ( B A) = = 4 3 3 4 P ( AB) P( B A ) = P ( A)(2)关系式（2）不仅对上述特例成立，对一般的古典概 型和几何概型问题，也可以证明它是成立的．定义1 设A, B是两个事件，且P( A) > 0，称P ( AB) P( B A ) = P ( A)(3)事件A发生的条件下事件B 发生的条件概率 性质： 设A是一事件，且P(A)>0，则 (1) 对任一事件B，0≤P(B|A)≤1; (2) P(Ω| A) =1 ； 1 1 非负性 非负性 2 2 规范性 规范性 3 3 可列可加性 可列可加性(3) 设B1, B2 ,··· 两两互不相容，则 P[(B1∪B2∪ ···)| A] = P(B1|A)+P(B2|A) + ···(4) P (φ A) = 0.(5) P(B1 ∪ B2 A) = P(B1 A) + P(B2 A) − P(B1 B2 A);(6) P ( B A) = 1 − P ( B A).条件概率的计算根据具体的情况，可选用下列两种方法之一来计算 条件概率P(B|A) （1）在缩减后 ΩA 的样本空间中计算； （2）在原来的样本空间Ω 中，直接由定义计算．条件概率 P(B|A)的样本空间ΩABAB样本空间ΩP( AB) P( B A ) = P( A)缩减的样本空间（即事件A）P( B | A)例2 一袋中有10 个球，其中3个黑球，7个白球， 依次从袋中不放回取两球． （ 1 ）已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的 仍是黑球的概率； （ 2 ）已知第二次取出的是黑球，求第一次取出的 也是黑球的概率． 解 记 Ai = { 第 i 次取到黑球 } ( i = 1, 2) （1）可以在缩减的样本空间 ΩA 上计算。
概率公式大全
概率公式大全概率公式大全（上篇）概率公式在概率论中起着非常重要的作用，它们用于描述随机事件的发生概率以及事件之间的关系。
本文将介绍一些常见的概率公式，帮助读者更好地理解和应用概率论。
1. 基本概率公式1) 事件的概率公式：在概率论中，事件的概率通常用P(A)表示，其中A表示一个事件。
事件A的概率可以用下述公式计算：P(A) = N(A) / N(S)其中，N(A)表示事件A发生的次数，N(S)表示样本空间S 中的总次数。
2) 样本空间的概率公式：当样本空间S的每个样本点发生的概率相同且为1/N(S)时，我们可以使用下述公式计算事件A的概率：P(A) = N(A) / N(S)这个公式在实际问题中应用广泛，是基本的概率公式之一。
2. 条件概率公式1) 条件概率的定义：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为A在B 条件下的条件概率，用P(A|B)表示。
条件概率的计算公式如下：P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)其中，P(A ∩ B)表示事件A与事件B同时发生的概率。
2) 乘法公式：乘法公式是条件概率的推广形式，用于计算两个事件同时发生的概率。
根据乘法公式，我们可以得到：P(A ∩ B) = P(A|B) * P(B)这个公式在计算复杂事件的概率时非常有用。
3. 全概率公式全概率公式用于计算一个事件发生的总概率，它假设事件发生的样本空间可以划分为若干个互斥事件。
全概率公式如下：P(A) = Σi P(A|Bi) * P(Bi)其中，Bi表示样本空间S的一个划分，P(A|Bi)表示在Bi条件下事件A发生的概率。
这个公式可以在一些复杂问题中计算事件发生的概率，非常实用。
4. 贝叶斯公式贝叶斯公式是条件概率公式的逆运算，用于通过已知的条件概率反推出相反的条件概率。
根据贝叶斯公式，可以得到：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)其中，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率。
条件概率 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式
称为全概率公式.
B2
A
B1
Bn1 Bn
B3
证 因为
A AS A( B1 B2 Bn )
B2
A
B1
Bn1 Bn
那么, 全概率公式和贝叶斯公式变为
P ( A) P ( A B ) P ( B ) P ( A B ) P ( B ),
P( A B )P(B ) P ( AB ) . P ( B A) P ( A) P ( A B ) P ( B ) P ( A B ) P ( B )
例5
某电子设备制造厂所用的元件是由三家
打破”.以B表示事件“透镜落下三次而未打破 ” .
因为B A1 A2 A3 , 故有 P ( B ) P ( A1 A2 A3 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A2 A1 ) P ( A1 ) 7 1 9 1 1 1 2 10 10
P ( B1 ) 0.3,
P ( B2 ) 0.5,
P ( B3 ) 0.2,
P ( A B1 ) 0.02, P ( A B2 ) 0.01, P ( A B3 ) 0.01, 故 P ( A) P ( A B1 ) P ( B1 ) P ( A B2 ) P ( B2 ) P ( A B3 ) P ( B3 )
例4 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下 时打破的概率为1/2, 若第一次落下未打破, 第二次 落下打破的概率为7/10, 若前两次落下未打破, 第三 次落下打破的概率为9/10. 试求透镜落下三次而未 打破的概率.（积事件概率） 解 以Ai ( i 1,2,3,4)表示事件“透镜第 i次落下
§1.4 条件概率与概率的三个基本公式
第一章 随机事件与概率
2
§1.4 条件概率与概率的三个基本公式
解 记事件 A 为“家庭中至少有一个女孩” ，事件 B 为“家庭中至 少有一个男孩” ，则 A = {bg, gb, gg},
B = {bb, bg, gb} ，从而 P( A) = 3/ 4, P(B) = 3/ 4, P( AB) = 2/ 4 ． 2 又已知事件 A 发生，则事件 B 发生的概率为 P(B | A) = ． 3 这是因为事件 A 的发生， 排除了 bb 发生的可能性， 这时样本空间 Ω 也 随 之 缩 小 为 ΩA ， 而 在 ΩA 中 事 件 B 只 含 2 个 样 本 点 ， 故
P( A A2 LAn ) = P( A )P( A2 | A )P( A3 | A A2 )L 1 1 1 1 P( An | A A2 LAn−1) 1
.
第一章 随机事件与概率 10
§1.4 条件概率与概率的三个基本公式
例 4 设甲、乙、丙三人依次通过抽签参加某种考试．已知在所抽 的 10 个考题签中有 3 个题难答．求下列事件的概率： （1）甲抽到难答签； （2）甲未抽到难答签而乙抽到难答签； （3）甲、乙、丙均抽到难答签． ，事件 B 为“乙抽到难答签” ， 解 记事件 A 为“甲抽到难答签” 事件 C 为“丙抽到难答签” ． （1）因甲是第一个抽签的，所以甲抽到难答签的概率为
P( AB) = P( A)P(B | A)
由对称性，可得
(P( A) > 0) ． （1.5）
P( AB) = P(B)P( A | B)
(P(B) > 0) . （1.6）
公式 （1.5） （1.6） 和 都称为两个事件积的概率的乘法公式． 乘法公式． 乘法公式 这 两个乘法公式还可推广到有限个事件积的概率的情形： 设 A , A ,L, A 是任意 n 个事件，且 P( A A LA ) > 0 ，则 1 2 n 1 2 n
高中数学 全概率公式
n
P( Ai )P(B | Ai ) i 1
——求和符号
二、探读与思考
n
P( Ai ) 1
i 1
全概率公式
一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,
且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,有
P(B)= =
P(A1)P(B | A1) P( A2 )P(B | A2 ) P(An )P(B | An ) .
由贝叶斯公式得
P(A|B)＝PAPPBB |A＝00..8858×7 51≈0.958.
堂 21 小 结
1.设事件 2.写概率 3.代公式
条件概率 P(B|A)＝PAB―→乘法公式 P(AB)＝P(A)P(B|A) PA
↓
全概率公式 由因求果
P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＋…＋P(BAn) 加法公式
易知, A1∪A2∪A3∪A4=Ω，
且两两互斥，
A4 0.4
四、引导与迁移
由因求果
n
P(B) P( Ai )P(B | Ai ) i 1
例2：某人去某地，乘火车、轮船、汽车、飞机的概
率分别为0.3,0.2,0.1,0.4，乘坐这四种交通工具迟到
的概率分别为
由已知得
0.25,0.3,0.1,0.2,
我们称该式为概率的乘法公式.
回顾旧知
1.某地区气象台统计,该地区下雨的概率是145,刮风的概率为125,既刮
风又下雨的概率为 1 ,则在下雨天里,刮风的概率为( C ) 10
A.2825
B.12
C.38
D.34
条件概率
1
解:设A=“下雨”,B=“刮风”,AB=“既刮风又下雨”,则
条件概率与概率的三个基本公式
球”， 则事件 A “第一次取到黑球”， 事件 B “第二次取到黑球”． （1）法一 已知第一次取到白球，那么袋中剩 4 个球，其中 2 个
白球， 2 个黑球，则已知第一次取到白球的条件下，第二次取到的是黑
球的概率为
P(B |
A)
2
1
．
42
法二 由古典概率知 P( A) 3 ， P( AB) P31 P21 3 .
注意 ① P(B) 表示“事件 B 发生”的概率，计算时，是
在整个样本空间 上考察事件 B 发生的概率；②而 P(B | A)
为已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率，计算 时，实际上仅限于在事件 A 发生的范围内，来考察事件 B 的 概率．一般地， P(B | A) P(B) ．
§1.4 条件概率与概率的三个基本公式
条件概率是概率论的基本概念之一，同时又是计算概率 的重要工具．概率的三个基本公式（乘法公式、全概率公式
和贝叶斯 (Bayes) 公式）都建立在条件概率的概念之上．本
节重要学习以下内容： 一、条件概率
二、乘法公式
三、全概率公式
四、贝叶斯（Bayes）公式
第一章 随机事件与概率 1
3 这是因为事件 A 的发生，排除了 bb 发生的可能性，这时样本空间 也 随 之 缩 小 为 A ， 而 在 A 中 事 件 B 只 含 2 个 样 本 点 ， 故 P(B | A) 2 ． 事实上，以上条件概率还可写成
3 P(B | A) 2 2 / 4 P( AB) ． 3 3 / 4 P( A)
公式（1.5）和（1.6）都称为两个事件积的概率的乘法公式．这 两个乘法公式还可推广到有限个事件积的概率的情形：
设 A1, A2 , , An 是任意 n 个事件，且 P( A1A2 An ) 0 ，则 P( A1A2 An ) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2 ) . P( An | A1A2 An1)
第五章5.2条件概率,乘法公式,全概率
i 1 n
Bn -1 A
B2
Bn
B3
全概率公式的证明
n i 1
显然 A = A A B i ( AB i )
i 1
n
A= AB1 AB2
AB1 AB2 …... …...
ABn
ABn
B i B j ( AB i )( A B j ) ,
某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求 该球是取自1号箱的概率. 记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3; B ={取得红球} 求P(A1|B).
P ( A1 B) P ( A1 | B) P ( B)
P ( A1 ) P ( B | A1 )
P ( A ) P ( B｜A )
这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率为0.4825。
例 2 三个罐子分别编号为 1, 2, 3，1号装有 2 红 1 黑球 , 2号装有 3 红 1 黑球， 3号装有 2 红 2 黑球. 某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球， 求取得红球的概率. 解 记 A ={ 取得红球 } 1 2 3 Bi ={ 球取自 i 号罐 } i=1, 2, 3; 则 A 发生总是伴随着 B1，B2，B3 之一同时发生， 即 A = AB1 + AB2 + AB3， 且AB1、AB2、AB3两两互斥，利用有限可加性 P(A) = P(AB1)+P(AB2)+P(AB3)
解：（1）第一次取得一等品后，剩下的9件产品中 还有6件一等品，即
6 2 P ( B A) . 9 3
（2）第一次取得二等品后，剩下的9件产品中 还有7件一等品，即
概率论基本公式
概率论与数理统计基本公式第一部分 概率论基本公式1、A BA B AAB; A BA(B A) 2、对偶率： AB A B ；ABA B .3、概率性率：P ( A B ) P( A) P(AB ), 特别， BA 时有：P( A B) P( A) P(B); P(A) P(B)有限可加： A 1、 A 2 为不相容事件，则 P( A 1A 2 ) P( A 1)P(A 2 )对任意两个事件有：P( AB)P( A) P( B)P( AB)4、古典概型例： n 双鞋总共 2n 只，分为 n 堆，每堆为 2只，事件 A 每堆自成一双鞋的概率 解：分堆法： C 22 n（ (2n)!,自成一双为： n ！，则 P( A)n!！！22n - 2) 2C2n5、条件概率P(B | A)P( AB), 称为在事件 A 条件下，事件 B 的条件概率， P( B)称为无条件概率。
P( A)乘法公式： P(AB)P(A)P(B | A) P(AB)P(B)P(A | B)全概率公式： P(B)P(A i )P(B | A i )i贝叶斯公式： P(A i | B)P( A i B)P( A i )P(B | A i )P( B) P( A j )P( B | A j )j例：有三个罐子， 1 号装有 2 红1黑共 3个球，2号装有 3红1黑 4个球，3 号装有 2 红 2黑 4 个球，某人随机从其中一罐，再从该罐中任取一个球， （ 1）求取得红球的概率； （ 2）如果取得是红球，那么是从第一个罐中取出的概率为多少？解： 设B i { 球取自 i 号罐 } ， i。
{ 取得是红球 } ，由题知、、是一个完备事件(1) 1,2,3 AB 1B 2B 3由全概率公式 P( B)P( A i )P( B | A i )，依题意，有： P( A | B 1 )2;P(A|B 2)3;P(A|B 3) 1 .i342P( B 1)P(B 2 ) P( B 3 )1， P( A) 0.639.3(2)由贝叶斯公式： P(B 1 | A)P( A | B 1)P(B 1)0.348.P( A)6、独立事件（ 1） P(AB)=P(A)P(B), 则称 A 、 B 独立。
概率论与数理统计条件概率
P
i 1
Ai | B
PA
i 1
i
| B
5
性质1.4.1 条件概率P(A|B)是( , F )上的概率
证：(1) A B B, 0 P A | B (2) P | B P B 1 P B
P( A1 A2 … An ).
10
例1.4.3 设100件产品中有5件是 不 合格品,用下列两种方式抽取2件
(1) 不放回； (2) 放回， 求2件都是合格品的概率. 解： 令 A={第一次抽得的是合格品}； B={第二次抽得的是合格品}. 则所求为： P( A B) (1)
95 94 不放回抽取时：P( A) 100 , P( B | A) 99
2
定义1.4.1 条件概率
A F, B F 且 设 , F , P为一概率空间， P B 0，在 “已知事件B已经发生”的条件下, “事件A发生”条件概率 P(A|B) 定义为：
P A B P(A|B)= P B
3
P(A)与P(A|B)的关系
P A B P( A | B) P B
§1.4 条件概率
一、条件概率的定义及性质 二、乘法公式 三、全概率公式 四、贝尔斯公式
1
引例: 确诊率问题
某病被医生诊断出的概率为0.95, 无该病 误诊有该病的概率为0.002, 如果某地区患该 病的比例为0.001, 现随机选该地区一人, 医生 诊断患有该病, 求该人确实患有该病的概率.
P(B|A)=0.32225 <1/3.
概率论公式
n
注：如果有 n 个变量服从同一个 0-1 分布， Xi ~ b(1, p) ，则其和 X Xi 服从二项 i
分布 X ~ b(n, p)
11. Poisson 分布
X ~ P() P( X k) k e , k 0,1,...
F
(x)
0, 1,
x x
c c
E(X ) c
Var( X ) 0
9. 二项分布
X ~ b(n, p)
P( X k) Cnk pk (1 p)nk E(X ) np
Var( X ) np(1 p)
10. 二点分布（0-1 分布）
X ~ b(1, p)
P( X x) px (1 p)1x , x 0,1
p(
x)
2
n 2
1 (
n
)
e
x 2
x
n 2
1
,
x
0
2
0, x 0
E(X ) n
Var( X ) 2n
Gamma 分布变为 2 分布：
当 X ~ Ga(,) ，则 2 X ~ Ga(, 1) 2 (2 ) 2
20. 严格单调函数Y g(X )
pY ( y) px[h(x)] | h '(x) |
21. K 阶原点矩和中心矩
k E(X k ) k E( X E( X ))k
中心矩和原点矩关系：
k
k Cik i (i )ki i0
22. 变异系数
Cv
(
X
)
( E(
概率论公式总结
概率公式整理1．随机事件及其概率吸收律：AAB A A A A =⋃=∅⋃Ω=Ω⋃)(AB A A A A A =⋃⋂∅=∅⋂=Ω⋂)()(AB A B A B A -==-反演律：BA B A =⋃BA AB ⋃=n i ini iA A11===ni ini iA A11===2．概率的定义及其计算：)(1)(A P A P -= 若B A ⊂ )()()(A P B P A B P -=-⇒ 对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=-加法公式：对任意两个事件A , B , 有 )()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃ )()()(B P A P B A P +≤⋃)()1()()()()(2111111n n nnk j i k j inj i j ini ini i A A A P A A AP A AP AP A P -≤<<≤≤<≤==-+++-=∑∑∑3．条件概率 ()=A B P)()(A P AB P 乘法公式())0)(()()(>=A P A B P A P AB P()())0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P全概率公式∑==ni i AB P A P 1)()()()(1i ni i B A P B P ⋅=∑=Bayes 公式)(A B P k )()(A P AB P k =∑==ni i ik k B AP B P B A P B P 1)()()()(4．随机变量及其分布 分布函数计算)()()()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<5．离散型随机变量 (1) 0 – 1 分布1,0,)1()(1=-==-k p p k X P kk (2) 二项分布 ),(p n B 若P ( A ) = p nk p pC k X P kn kk n,,1,0,)1()( =-==-*Possion 定理 0lim >=∞→λn n np有,2,1,0!)1(lim ==---∞→k k ep p C kkn n k nk n n λλ(3) Poisson 分布)(λP,2,1,0,!)(===-k k ek X P kλλ6．连续型随机变量 (1) 均匀分布),(b a U ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(b x a ab x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=1,,0)(a b ax x F(2) 指数分布 )(λE⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f xλλ⎩⎨⎧≥-<=-0,10,0)(x e x x F xλ(3) 正态分布 N (μ , σ 2 )+∞<<∞-=--x e x f x 222)(21)(σμσπ⎰∞---=x t t ex F d 21)(222)(σμσπ*N (0,1) — 标准正态分布+∞<<∞-=-x ex x2221)(πϕ+∞<<∞-=Φ⎰∞--x t ex xtd 21)(22π7.多维随机变量及其分布 二维随机变量( X ,Y )的分布函数 ⎰⎰∞-∞-=x ydvdu v u f y x F ),(),(边缘分布函数与边缘密度函数⎰⎰∞-+∞∞-=x X dvdu v u f x F ),()( ⎰+∞∞-=dv v x f x f X),()(⎰⎰∞-+∞∞-=yYdudv v u f y F ),()( ⎰+∞∞-=du y u f y f Y),()(8. 连续型二维随机变量 (1) 区域G 上的均匀分布，U( G )⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他,0),(,1),(G y x Ay x f(2)二维正态分布+∞<<-∞+∞<<∞-⨯-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+------y x ey x f y y x x ,121),(2222212121212)())((2)()1(21221σμσσμμρσμρρσπσ9. 二维随机变量的 条件分布0)()()(),(>=x f x y f x f y x f X XYX0)()()(>=y f y x f y f YYX Y⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dyy f y x f dy y x f x f Y Y X X )()(),()(⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dxx f x y f dx y x f y f X XYY )()(),()()(y x f Y X )(),(y f y x f Y =)()()(y f x f x y f Y X XY =)(x y f XY)(),(x f y x f X =)()()(x f y f y x f X Y Y X =10.随机变量的数字特征 数学期望∑+∞==1)(k kkp xX E⎰+∞∞-=dxx xf X E )()(随机变量函数的数学期望 X 的 k 阶原点矩 )(kX E X 的 k 阶绝对原点矩 )|(|kX EX 的 k 阶中心矩 )))(((kX E X E - X 的 方差 )()))(((2X D X E X E =-X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩 )(lkY X E X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩 ()lkY E Y X E X E ))(())((--X ,Y 的 二阶混合原点矩 )(XY E X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差()))())(((Y E Y X E X E --X ,Y 的相关系数XY Y D X D Y E Y X E X E ρ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--)()())())(((X 的方差D (X ) = E ((X - E (X ))2) )()()(22X E X E X D -=协方差 ()))())(((),cov(Y E Y X E X E Y X --= )()()(Y E X E XY E -=())()()(21Y D X D Y X D --±±=相关系数)()(),cov(Y D X D Y X XY =ρ。
1.4 条件概率的计算公式
但如果我们事先知道这个家庭至
2 3
少有 一个女孩，则上述事件的概率为
.
这两种情况下算出的概率不同，这也很容
易理解，因为在第二种情况下我们多知道了一
个条件. 记B=｛这个家庭中至少有一个女孩｝， 因此我们算得的概率是“在已知事件B发生的条 件下，事件A发生”的概率，这个概率称为条件 概率，记为P（A|B）.
（2）全概率公式可以推广到可列个事件的情形， 即设 , B ，B . , B是一列互不相容的事件， 2 1 n, 且有 = ，则对任何事 Bi P( Bi ) 0, i ， 1,2, i 1 件A，有P(A)= P( A B ) P( Bi ).
B2 ， Bn .为样本空间 的一个分 （3）条件B1 , n B2 ， Bn .互不相容,且A B, 割，可改写为B1 , i i 1 全概率公式仍然成立。
=
,
13
同理可得 P( B A)=
7 13
.
贝叶斯公式
在上面的计算中,事实上已经建立了一个 极为有用的公式： 定理1.4.2 若 B1 , B2 , , Bn是一列互不相 n 容的事件，且 Bi = ,P( Bi )>0, i 1, 2, , n .
则对任一事件A,P(A)>0有P( Bi A)=
P Ai B PAi B i 1 i 1
A1 , A2 , , An ,
由此可知,对给定的一个概率空间（Ω, F, P） 和事件B∈F,如果P(B)>０，则条件概率 P B 也是
（Ω，F）上的一个概率测度,特别，当时 B ，
P B
就是原来 P 的概率测度,所以不妨将原来的
大学概率论必背公式
数学期望、方差、协方差等都是一些特殊的矩。
五、样本及抽样分布
1、常用统计量 （1）样本均值（样本平均数）
（2）样本方差
（3）k 阶样本矩
2、抽样分布 统计量的分布称为抽样分布。 （1） 2—分 布
性质： A. 可加性 若1 ~ 2(n1)，2~ 2(n2 )，1， 2 独立，则1 + 2 ~ 2(n1+n2 )。 B. 期望与方差 若 ~ 2(n)，则 E()= n，D()=2n。 （2）t—分布 若 ~ N(0, 1), ~ 2(n), 与独立，则
8、相关系数： 若 r.v. X，Y 的方差和协方差均存在, 且 D(X )> 0, D(Y )> 0，则
称为 X 与 Y 的相关系数. X 与 Y 不相关 Cov(X, Y )=0 E(XY )= E(X )E (Y )。
8、矩 （1）k 阶原点矩 E(X k ), k=1, 2, … 而 E(|X|k)称为 X 的 k 阶绝对原点矩； （2）k 阶中心矩 E[XE(X )]k, k=1, 2, … 而 E|X-E(X )|k 称为 X 的 k 阶绝对中心矩；
称 X 服从参数为 p 的几何分布。 （3）二项分布 ( B(n, p) ) 以 X 记 n 重贝努里试验中 A 发生的次数，则其分布率为：
P( X k) C k p k (1 p)nk , (k 0,1, , n) n 称 X 服从参数为(n，p)的二项分布，记为 X~B(n，p)
（4）泊松(Poisson)分布 ( P() ) 若随机变量 X 的所有取值为一切非负整数，且其分布律为：
5. 边缘分布 6. 二维连续型随机变量及其密度函数 联合密度 f (x , y )的性质
7. 边缘密度函数
概率论常用公式整理
则有
h g ( x, y) f ( x, y)dxdy h( z ) p( z )dz ，
f Z ( z ) p( z ), z
随机变量的数字特征
数学期望： E ( X ) 性质： (1) (2)
xf ( x)dx
E ( Y ) E ( g ( X ) )
(5) 收缩性： E ( X ) E ( X ) (6) 马尔可夫不等式： P( X c)
E( X ) c
(7) 若 E ( X ) 0 ，则 P( X 0) 1 几种常见分布的期望： 1)
X ~ B(n, p) E( X ) np
2) 3)
X ~ N ( , 2 ) E( X )
随机变量的函数分布：已知随机变量 X 的概率密度 f X x ，则随机变量 Y g X 的概率 密度的求法： (1)
' fY y f X h y h y , a y b ，其中 x h y 为y g x 的反函数
(2) （积分转化法）h(x)为任意有界连续函数， 则有 fY ( y) p( y), y
h g ( x) f X ( x)dx h( y) p( y )dy ，
(3) 假设 g(X)是单调递增函数， FY ( y) P( g ( X ) y) P( X h( y)) FX (h( y))
概率论 D 常用公式整理
条件概率
乘法公式： P( AB) P( B) P( A | B)
全概率公式：
概率论 第四节条件概率 全概率公式
乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？
解 设事件A表示“取到的产品为正
B1, B2品, B”3 分，别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”
由已知 P(B1 ) 0.2, P(B2 ) 0.3, P(B3 ) 0.5
P( A B1 ) 0.95, P( A B2 ) 0.9, P( A B3 ) 0.8
当有了新的信息（知道B发生），人们对
诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计。 贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。
例8 同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应。 由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95、 0.90、0.80，三家产品数所占比例为2:3:5，混 合在一起。
（1）从中任取一件，求此产品为正品的概率； （2）现取到一件产品为正品，问它是由甲、
我们也称A ，B，C 是相互独立的事件。 定理 若事件A与B是相互独立的，则
A与B ,A与 B , A与 都B 是相互独立的。
例 3 一个均匀的正四面体,将第一面染成
红色,第二面染成白色,第三面染成黑色,第四
面同时染上红、白、黑三种颜色，如果以A、
B、C分别表示投掷一次正四面体时红、白、
黑颜色着地的事件，由于在四个面中两面上
冒病毒是相互独立的，则所求概率为
P1500 Ai 1 PA1A2 A1500
i1
1 PA1PA2 PA1 1 1 0.002 1500 1 e1500 ln 10.002
1 e15000.002 1 e3 0.95
从这个例子可见，虽然每个带有感冒病 毒的可能性很小，但许多聚集在一起时空气 中含有感冒病毒的概率可能会很大，这种现 象称为小概率事件的效应。卫生常识中,不让 婴儿到人多的公共场所去就是这个道理。
乘法公式与全概率公式
解 设A,B分别表示第一、二次摸到白球,则
法一:
P(B | A) k n
C21 C91
2 9
.
法二A：发生P后(的B缩| A减) P( AB) 样本空间所含样 P( A)
本点总数
在间本A缩中点332/减个B/1A所0样数120含本样空92 ;
例2 设某种动物由出生算起活到20年以上的 概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现年20 岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？
1
1 2
1
7 10
1
9 10
3 200
.
三、全概率公式
全概率公式主要用于计算比较复杂事件的 概率, 它实质上是可加性和乘法公式的综合运 用.
综合运用
可加性
P(A∪B)=P(A)+P(B)
A、B互斥
乘法公式 P(AB)= P(A) P(B | A) P(A)>0
定 义 若 事 件 组 B1, B2,, Bn 满 足 以 下 两 个 条 件 ：
注：概率 P(A|B)与P(AB)的区别 与联系
联系：事件A，B都发生了 区别： （1）在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异， B先A后；在P（AB）中，事件A，B同时发生。
（2）样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本 空间；在P（AB）中，样本空间仍为 S 。
因而有 P(A B) P(AB)
(2) 规范性 P( | B) 1；
(3) 可加性 设 A1 ,, An 是 两 两 不 相 容 的 事 件 ， 则
n
n
P( Ai | B) P(Ai | B)
i1
i1
并由此推出条件概率的其它性质：
14乘法公式与全概率公式
(k1,2,,n)
P(Bj )P(A| Bj )
j1
该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观察
到事件A已发生的条件下，寻找导致A发生的每个原因
Bk的概率.
2020/6/5
例5已知三家工厂的市场占有率分别为30％、20％、 50％, 次品率分别为3％、3％、1％.（2）如果买了 一件该商品，发现是次品，问它是甲、乙、丙厂生产 的概率分别为多少? 解 P(B1|A)P(B1P )P ((AA )|B1)0.30.00.2030.45,
解 记A:顾客买下所察看的一箱玻璃杯， Bi :箱中有i件次品(i =0,1,2)，
由题设知，P ( B 0 ) 0 . 8 ， P ( B(A| B1)C C12449054, P(A|B2)C C1244801192, 由全概率公式知
三、全概率公式
全概率公式主要用于计算比较复杂事件的 概率, 它实质上是可加性和乘法公式的综合运 用.
综合运用
可加性
P(A∪B)=P(A)+P(B)
A、B互斥
乘法公式 P(AB)= P(A) P(B | A)
P(A)>0
2020/6/5
定 义 若 事 件 组B1,B2,,Bn满 足 以 下 两 个 条 件 ：
打破的 7,若 概前 率两 是,第 次三 未次 打落 破 破的概9率 1 ,试 0是 求透镜落破 下的 三概 .次率 未
10
解 B1第一次落下,未B2打 第 破二次落下,未
B3 第三次落下未 , 打破
P B P B 1B 2B 3P B 1P B 2P B 3
11 211701190
3 200
.
2020/6/5
P(B 2|A)0.20 .00.0 23 0.3,P(B3|A)0.50 .00.0 21 0.25 .
乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式应用
乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式在概率论和统计学中是非常重要的概念。
它们常常被用来解决复杂的概率问题，对于我们理解和应用概率有着重要的指导意义。
1. 乘法公式乘法公式是概率论中最基本的公式之一，它描述了两个事件同时发生的概率。
乘法公式的一般形式为 P(A and B) = P(A) * P(B|A)，其中P(A and B) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(A) 为事件 A 发生的概率，P(B|A) 表示在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率。
乘法公式的应用非常广泛，比如在生活中，我们经常需要计算多个事件同时发生的概率。
举个简单的例子，假设有一副扑克牌，从中抽取两张牌，求第一张是红桃的概率和第二张也是红桃的概率。
这就是一个典型的乘法公式的应用问题。
2. 全概率公式全概率公式是在条件概率的基础上发展而来的，它用于计算一个事件的概率，当这个事件可以被划分为几个相互独立的事件的并集时，全概率公式能够很好地解决这类问题。
全概率公式的一般形式为P(B) = Σ [P(Ai) * P(B|Ai)]，其中 Ai 是样本空间的一个划分，P(B) 是事件 B 的概率，P(Ai) 是事件 Ai 的概率，P(B|Ai) 是在事件 Ai 发生的条件下，事件 B 发生的概率。
全概率公式的应用场景非常多，比如在市场营销中，我们经常需要根据不同的市场情况来预测产品的销售情况，全概率公式可以帮助我们很好地处理这类问题。
3. 贝叶斯公式贝叶斯公式是一种用于计算条件概率的重要公式，它能够在得到相关先验信息的情况下，根据新的证据来更新我们对事件的概率。
贝叶斯公式的一般形式为 P(A|B) = [P(B|A) * P(A)] / P(B)，其中 P(A|B) 表示在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率，P(B|A) 表示在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率，P(A) 和 P(B) 分别表示事件 A 和事件 B 的先验概率。
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说明试验对于诊断一个人是否患癌症有意义.
(2). 检出阳性是否一定患有癌症? 试验结果为阳性，此人确患癌症的概率为 P(A|B)=0.1066.
即使检出阳性，尚可不必过早下结论有癌 症，这种可能性只有10.66% (平均来说，1000 个人中大约只有107人确患癌症)，此时医生常 要通过其他试验来确认.
1.4.2 乘法公式
P( AB) P( A | B) , P( B)
得
P(B)>0 (2)
P(AB)=P(B)P(A|B) P(A)>0
P( AB) P( B | A) , P( A)
得
P(AB)=P(A)P(B|A)
(3)
(2)和(3)式都称为乘法公式,利用它们 可计算两个事件同时发生的概率.
将上述公式一般化，就得贝叶斯公式.
1.4.3.2 贝叶斯公式
设A1 , A2 ,, An 是样本空间的一个划 分，且P( Ai ) 0，i 1,2,, n.B为中任一事 件，它总是伴随着A1 , A2 ,, An 之一发生，则
P( A i | B) P( A i ) P( B｜A i ) , i 1, 2,, n .
在较复杂情况下，直接计算P(B)不容易, 但总可以适当地构造一组两两互斥的Ai , 使B 伴随着某个Ai 的出现而出现，且每个 P( Ai B) 容易计算.可用所有 P( Ai B) 之和计算 P(B).
我们还可以从另一个角度去理解全概率公式. 某一事件 B 的发生有各种可能的原因 Ai (i=1,2,„,n) ，如果 B 是由原因 Ai 所引起，则 B 发生的概率是
i 1 n
证： B B ( A1 A2 An）B
A1 B A2 B An B, 由A1 , A2 ,, An 两两互斥知
A1 B, A2 B,, An B两两互斥，故
P( B) P( A1 B A2 B An B)
P( A1 B) P( A3
3 (2) P( A B) .
5
可见 P(A) ≠P(A|B). 虽然 P(A) 与 P(A|B) 不同，但二者之间存 在什么关系呢? 先来计算P(B)和P(AB). 因为100件产品中有5件是不合格品， 所以P(B)=5/100. 而P(AB)表示事件“抽到的产品是不合格品、 又是次品”的概率，由100件产品中只有3件即 是不合格品又是次品，得
加法公式 P(A∪B)=P(A)+P(B) A、B互斥
乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A) P(A)>0
定义 3 设 为试验E的样本空间，
事件组A1 , A2 , , An 满足： (1) A1 , A2 , , An 两两互斥； (2) A1 A2 An , 称A1 , A2 , , An 是样本空间的一个 划分或一个完备事件组.
故P( A) P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A 2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 )
10 9 90 0 . 0083 100 99 98
A A1 A2 A3 .
1.4.3 概率基本公式
概率基本公式——全概率公式和贝叶斯公式. 主要用于计算比较复杂事件的概率, 它们实 质上是加法公式和乘法公式的综合运用. 综合运用
P(AB)=3/100 通过简单运算，得
3 3 100 P( AB) P( A | B) . 5 5 P( B) 100 P( AB) 则P( A | B) . P( B)
受此启发，对条件概率进行如下定义.
定义2 对于事件A、B，P(B)>0，则在B发 生的条件下，A的条件概率P(A|B)定义为：
(1) 该试验对于诊断一个人是否患有癌症有 无意义? (2) 检出阳性是否一定患有癌症?
(1). 该试验对于诊断一个人是否患有癌症有无 意义？
如果不做试验，抽查一人, 他是癌症患 者的概率 P(A)=0.005 .
患者阳性反应的概率是0.95，若试验后 呈阳性反应，则根据试验得到的信息：此人 是癌症患者的概率为 P(A|B)= 0.1066 . 概率从0.005增加到0.1066, 约增加了21倍.
CC
1 4
1 3
A
2 5
3 0.6 5
C 3 或P( B) 0.6 5 C
2 (2) P 1 0.5 C4 4
定义1若P(B)>0,在事件B发生的条件下, 事件A 发生的概率称为条件概率， 记为 P(A|B).
C
1 2
1 3 1 5
这样，在引例1的(2)中P =P(B|A)， P(B|A)≠ P(B),条件概率与无条件概率不等. 一般 P(A|B)≠ P(A)
合起来有 P(AB)=P(B)P(A|B)= P(A)P(B|A)
多个事件乘法公式的推广:
P (A1A2…An）
= P(A1) P(A2|A1) …P(An| A1A2…An-1) ， 其中P(A1A2…An-1) > 0 .
例 1 一批灯泡共100只，其中10只是次品，90 只是正品，作不放回抽取，每次取一只，求第 三次才取到正品的概率. 解： 设Ai ={第 i 次取到正品}, i=1,2,3. A ={第三次才取到正品}. 则
例5 某地区患有癌症的人占0.005，患者对试 验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试 验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个 人 ，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的 概率有多大? 解：设 A = {抽查的人患有癌症}, B = {试验结果是阳性}. 则 A ={抽查的人不患癌症}.
则 P( A) 0.005,
考虑上边例子：
记 Ai = {球取自 i 号箱}， i =1, 2, 3; B = {取得红球}.
所求概率为 P(A1|B). P ( A1 B) P( A1 ) P( B | 3 P ( A1 | B) P ( B) 运用全概率公式 计算P(B)
k 1 k
A1 )
k
P( A ) P( B｜A )
P( A1 ) P( B A1 ) P( A2 ) P( B A2 ) P( An ) P( B An ) P( Ai ) P( B Ai )
i 1 n
由公式
P ( B ) P ( Ai ) P ( B｜Ai )
i 1
n
不难看出: “全部概率” P(B)，可分成多 个 “部分概率” P( Ai B) 之和. 它的理论和实用意义在于:
条件概率的性质 设B是一事件，且P(B)>0, 则 1. 对任一事件A，0≤P(A|B)≤1; 2. P(Ω |B)=1； 3. 设A1, A2,…两两互斥，则
P(( A1 A2 ) | B)) P( A1 | B) P( A2 | B)
而且，前面对概率所证明的一切性质， 也都适用于条件概率.
P( A ) 0.995 ,
P( B | A) 0.95, P( B | A ) 0.04 ．
由贝叶斯公式，得
P( A) P( B | A) P( A | B) ， P( A) P( B | A) P( A ) P( B | A )
代入数据计算，得 P(A | B)= 0.1066. 现在来分析一下结果的意义：
P( A i B) 故P( A i | B) P( B)
＝ P( A i ) P( B｜A i )
P( A ) P( B｜A )
i 1 i i
n
, i 1, 2,, n .
例 4 某人从外地赶来参加 紧急会议，他乘
火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是 3 1 1 2 、 、 及 .如果乘飞机来，不会迟到， 10 5 10 5 而乘火车、轮船或汽车来迟到的概率分别为 1 1 1 、 、 .若此人迟到，试推断他是怎么来的？ 4 3 12
诸Ai是原因 B是结果
例3 一盒中放12个乒乓球，其中有9个是新 的，第一次比赛时，从中任取3个球来用，比 赛后放回盒中，第二次比赛时再从盒中取3个 球，求第二次取出的球全是新球的概率.
实际中还有一类问题：已知结果求原因. 接例1，考虑如下问题： 某人从任意一箱中任意摸出一球，发现 是红球，求该球是取自1号箱的概率. 或者问：“该球取自各箱的可能性大小” . 这一类问题在实际中常见，它所求的是 条件概率，是某结果发生条件下，求各原因 发生的可能性大小.
贝叶斯公式 P ( Ai | B)
P ( Ai ) P ( B｜Ai )
P ( A ) P ( B｜A )
j 1 i i
n
在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分别称 为原因的验前概率和验后概率. P(Ai) ( i =1, 2,„, n ) 是在没有进一步的 信息(不知道事件B是否发生) 的情况下，人 们对诸事件发生可能性大小的认识. 当有了新的信息(知道B发生)，人们对诸 事件发生可能性大小 P(Ai | B) 有了新的认识.
P( A ) P( B｜A )
i 1 i i
n
该公式于1763年由贝叶斯 (Bayes) 给出. 它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导 致B发生的每个原因的概率.
证：P( A i B) P( A i ) P( B｜A i )， P( B) P( Ai ) P( B｜Ai )
n i 1
P( B)
P( Ai B)
i 1
3
对和式中的各项 运用乘法公式得
P( Ai ) P( B | Ai )
3
8 1 1 1 2 1 1 3 5 3 5 3 15
将此例中所用的方法推广到一般的情形， 就得到在概率计算中常用的全概率公式.
i 1
1.4.3.1 全概率公式
P( AB ) P( A | B) P( B)