离散数学(01)

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自考离散数学课件

离散概率论在计算机科学中还应用于随机算法的设计。随机算法可以在某些情况下提供比确定算法更高效的解决方案，离散概率论为随机算法的分析提供了理论基础。
离散概率论在统计学中的应用
离散概率论在统计学中用于描述和分析离散随机事件。例如，在调查研究时，离散概率论可以用于估计样本大小、计算抽样误差和置信区间等。
自考离散数学课件
目录
CONTENTS
• 离散数学简介 • 集合论基础 • 图论基础 • 离散概率论基础 • 组合数学基础 • 离散概率论的应用
01 离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研究，最初是为了解决当时的一些实际问题而发展起来的。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、图、树等）的数学分支，它不涉及连续的量或函数，而是专注于研究离散结构及其性质。
离散概率论在统计学中还用于构建和检验离散随机变量的统计模型。这些模型可以帮助我们理解和预测离散随机变量的分布和性质。
离散概率论在决策理论中的应用
离散概率论在决策理论中用于评估不确定环境下的决策效果。通过离散概率模型，可以计算期望效用和期望收益，从而帮助决策者做出最优决策。
离散概率论在决策理论中还用于风险评估和管理。通过离散概率模型，可以评估风险的大小和性质，并制定相应的风险管理策略。
集合的运算和性质
总结词
集合的运算包括并集、交集、差集等，这些运算具有一些重要的性质，如交换律、结合律等。
详细描述
集合的运算包括并集、交集、差集等，这些运算具有一些重要的性质，如交换律、结合律等。交换律指的是集合的并集和交集运算满足交换性；结合律指的是集合的并集和交集运算满足结合性。这些性质在离散数学的后续内容中有着广泛的应用。

离散数学题库

常熟理工学院20 ～20 学年第学期《离散数学》考试试卷（试卷库01卷）试题总分： 100 分考试时限：120 分钟题号一二三四五总分阅卷人得分一、单项选择题（每题2分，共20分）1.下列表达式正确的有( )（A）（B）（C）（D）2.设P：2×2=5，Q：雪是黑的，R：2×4=8，S：太阳从东方升起，下列( )命题的真值为真。

（A）（B）（C）（D）3.集合A={1,2,…,10}上的关系R={<x,y>|x+y=10,x,y A}，则R 的性质为( )（A）自反的（B）对称的（C）传递的，对称的（D）传递的4.设，，其中表示模3加法，*表示模2乘法，在集合上定义如下运算：有称为的积代数，则的积代数幺元是( )（A）<0，0> （B）<0，1> （C）<1，0> （D）<1，1>5.下图中既不是Eular图，也不是Hamilton图的图是( )6.设为无向图，，则G一定是( )（A）完全图（B）树（C）简单图（D）多重图7.设P：我将去镇上,Q：我有时间。

命题“我将去镇上,仅当我有时间”符号化为（）。

（A） P Q （B）Q P （C）P Q （D）8.在有n个结点的连通图中,其边数（）（A）最多有n-1条（B）最多有n 条（C）至少有n-1条（D）至少有n条9.设A－B＝,则有（）（A）B＝（B）B（C）A B （D）A B10.设集合A上有3个元素,则A上的不同的等价关系的个数为（）（A）5 （B）7 （C）3 （D）6二、填空题（每题2分，共20分）1．n个命题变元组成的命题公式共有种不同的等价公式。

2．设〈L，≤〉为有界格，a为L中任意元素，如果存在元素b∈L,使，则称b是a 的补元。

3．设*，Δ是定义在集合A上的两个可交换二元运算，如果对于任意的x,y∈A,都有 ,则称运算*和运算Δ满足吸收律。

4．设T是一棵树，则T是一个连通且的图。

离散数学第一章命题逻辑PPT课件

P
Q
0
0
0
1
1
0
1
1
P→Q 1 1 0 1
如： P:雪是黑的。
Q:太阳从东方升起。
P → Q:如果雪是黑的，则太阳从东方升起。
命题P→Q是假, 当且仅当P是真而Q是假。
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1.2 联结词
条件与汉语中“如果…，就…”相类似，但有所区别: (1)自然语言中，“如果P则Q”，往往P和Q有一定的因果关系，而条件复合命题P→Q中 P和Q 可以完全不相关。 (2)自然语言中，“如果P则Q”，当P为0、Q为1时，整个句子真值难以确定；而条件复合命题P→Q中，当P为0时，复合命题的真值为1。 P则Q的逻辑含义:P是Q的充分条件,的表示命题变元——常用P、Q、R、S等大写字母或加下标的大写字母P1, Q2, R10, ……表示来表示一个命题，称为命题变元。如： P:巴黎在法国。
Q:煤是白色的。
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1.1 命题及其表示法
3、命题相关概念简单命题（原子命题）——不能再分解的命题。复合命题——由若干个简单命题复合而成的命题。真值表——把组成复合命题的各命题变元的真值的所有组合及其相对应的复合命题的真值列成表，称为真值表。
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1.1 命题及其表示法
【例3 】求公式 (P→R)∨(Q→R)的真值表。解：∵公式含有３个命题变元P、Q、R,
∴真值表有２3=8行。其真值表如下表所示：
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1.2 联结词
命题和原子命题常可通过一些联结词构成新命题, 这

离散数学ppt课件

02
集合论基础
集合的基本概念
总结词
集合是离散数学中的基本概念，是研究离散对象的重要工具。
详细描述
集合是由一组确定的、互不相同的、可区分的对象组成的整体。这些对象称为集合的元素。例如，自然数集、平面上的点集等。
集合的运算和性质
总结词
集合的运算和性质是离散数学中的重要内容，包括集合的交、并、差、补等基本运算，以及集合的确定性、互异性、无序性等性质。
生，1表示事件一定会发生。
离散概率论的运算和性质
概率的加法性质
如果两个事件A和B是互斥的，那么P(A或B)等于P(A)加上 P(B)。
概率的乘法性质
如果事件A和B是独立的，那么P(A和B)等于P(A)乘以P(B) 。
全概率公式
对于任意的事件A，存在一个完备事件组{E1, E2, ..., En}，使得P(Ai)>0 (i=1,2,...,n)，且E1∪E2∪...∪En=S，那么 P(A)=∑[i=1 to n] P(Ai)P(A|Ei)。
工程学科
离散数学在工程学科中也有着重要的应用，如计算机通信网络、控制系统、电子工程等领域。
离散数学的重要性
基础性
离散数学是数学的一个重要分支，是学习其他数学课程的基础。
应用性
离散数学在各个领域都有着广泛的应用，掌握离散数学的知识和方法对于解决实际问题具有重要的意义。
培养逻辑思维
学习离散数学可以培养人的逻辑思维能力和问题解决能力，对于个人的思维发展和职业发展都有很大的帮助。
详细描述
邻接矩阵是一种常用的表示图的方法，它是一个二维矩阵，其中行和列对应于图中的节点，如果两个节点之间存在一条边，则矩阵中相应的元素为1，否则为0。邻接表是一种更有效的表示图的方法，它使用链表来存储与每个节点相邻的节点。

离散数学(一)知识梳理

离散数学（一）知识梳理•逻辑和证明部分o命题逻辑题型▪命题符号化问题将自然语言转为符号化逻辑命题▪用命题变量来表示原子命题▪用命题联结词来表示连词▪命题公式的类型判断判断命题公式是否是永真式、矛盾式、可能式▪利用真值表判断▪利用已知的公式进行推理判断▪利用主析取和合取范式判断▪定理：A为含有n个命题变元的命题公式，若A的主析取范式含有2^n个极小项，则A为重言式，若极小项在0到2^n之间，则为可满足式，若含有0个极小项，则A为矛盾式；若A的主合取范式含有2^n个极大项，则A为矛盾式，若极小项在0到2^n之间，则为可满足式，若含有0个极小项，则A为重言式▪翻译：一个命题公式化成主范式后，若所有项都分布在主析取范式中（主合取范式为1）则为重言式；若所有项都分布在主合取范式中（主析取范式为0）则为矛盾式；若均有分布，则为可满足式。

【思想来源：真值表法求主范式】▪一个质析取式是重言式的充要条件是其同时含有某个命题变元及其否定式；一个质合取式是矛盾式的充要条件是其同时含有某个命题变元及其否定式▪一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每项都是矛盾式；一个合取范式是重言式当且仅当它的每项都是重言式▪求（主）析取或合取范式▪等值演算法▪ 1. 利用条件恒等式消除条件（蕴含和双条件）联结词，化简得到一个范式▪ 2. 在缺项的质项中不改变真值地添加所缺项，化简得到一个主范式▪ 3. 找出包含所有命题变元排列中剩余项，凑出另一个主范式（思想上类似于真值表法）▪真值表法▪ 1. 画出命题公式真值表▪ 2. 根据真值表结果求出主范式▪主析取范式：真值为1的所有项，每一项按对应01构成极小项▪主合取范式：真值为0的所有项，每一项按对应01构成极大项▪形式证明与命题推理利用推理规则构造一个命题公式的序列，证明结论▪形式证明：命题逻辑的论证是一个命题公式的序列，其中每个公式或者是前提，或者是由它之前的公式作为前提推得的结论，序列的最后一个是待证的结论，这样的论证也称为形式证明。

离散数学习题及答案01

CIS 607: Mathematical Basis for ComputingSOLUTIONS OF HOMEWORK 1Homework 1 -- Propositional Logic, Predicate Logic and ProofsDue Date: February 14, 2017In this homework, you will answer the following questions. Prepare a pdf file for your solutions and upload that pdf file into the blackboard system.Q1)Let p and q be the propositionsp : I bought a lottery ticket this week.q : I won the million dollar jackpot.Express each of these propositions as an English sentence.∙p →qo If I bought a lottery ticket this week, then I won the million dollar jackpot on Friday.∙￢p ∨(p ∧q)o Either I did not buy a lottery ticket this week, or else I did buy one and won the million dollar jackpot on Friday.∙￢p →￢qo If I did not buy a lottery ticket this week, then I did not win the million dollar jackpot on Friday.Q2)Let p and q be the propositionsp : It is below freezing.q : It is snowing.Write these propositions using p and q and logical connectives (including negations).∙It is not below freezing and it is not snowing.o(￢p ∧￢q)∙If it is below freezing, it is also snowing.o p →q∙Either it is below freezing or it is snowing, but it is not snowing if it is below freezing.o(p ∨ q) ∧ ( p →￢q)Q3)Construct a truth table for each of these compound propositions.∙p →(￢q ∨r)∙(p →q) ∧(￢p →r)∙(￢p ↔￢q) ↔(q ↔r)∙Show that ￢(p ↔q) and p ↔￢q are logically equivalent.o p q ￢(p ↔q) p ↔￢qo T T F Fo T F T To F T T To F F F F∙Show that (p →q) →r and p →(q →r) are not logically equivalent.o p q r (p →q) →r p →(q →r)o F F F F TQ5)Determine the truth value of each of these statements if the domain consists of all integers.∙∀n(n + 1 > n)o T∙∃n(2n = 3n)o T (when n=0)∙∃n(n = −n)o T (when n=0)∙∀n(3n ≤4n)o F (when n is a negative integer)Q6)Suppose that the domain of the propositional function P(x) consists of the integers 1, 2, and 3. Write out each of these propositions using disjunctions, conjunctions, and negations.∙∃xP(x)o P(1) ∨P(2) ∨P(3)∙∀xP(x)o P(1) ∧P(2) ∧P(3)∙￢∃xP(x)o￢ (P(1) ∨P(2) ∨P(3))∙￢∀xP(x)o￢ (P(1) ∧P(2) ∧P(3))Express the negations of each of these statements so that all negation symbols immediately precede predicates.∙∀x∃y∀zT (x, y, z)o∃x∀y∃z￢T (x, y, z)∙∀x∃yP(x, y) ∨∀x∃yQ(x, y)o∃x∀y￢P(x, y) ∧∃x∀y￢Q(x, y)∙∀x∃y(P(x, y) ∧∃zR(x, y, z))o∃x∀y(￢P(x, y) ∨∀z￢R(x, y, z))∙∀x∃y(P(x, y) →Q(x, y))o∃x∀y(P(x, y) ∧￢Q(x, y))Q8)∙Determine whether ∀x(P(x) →Q(x)) and ∀xP(x) →∀xQ(x) are logically equivalent. Justify your answer.o NOTo P: is even number, Q: is odd numbero∀x P(x) →∀xQ(x) is true since ∀xP(x) is false and ∀xQ(x) is falseo But ∀x(P(x) →Q(x)) is false∙Determine whether ∀x(P(x) ↔Q(x)) and ∀x P(x) ↔∀xQ(x) are logically equivalent. Justify your answer.o NOTo P: is even number, Q: is odd numbero∀x P(x) ↔∀xQ(x) is true since ∀xP(x) is false and ∀xQ(x) is falseo But ∀x(P(x) ↔Q(x)) is false∙Show that ∃x(P(x) ∨Q(x)) and ∃xP(x) ∨∃xQ(x) are logically equivalent.o if ∃x(P(x) ∨Q(x)) is trueo P(a) ∨Q(a) is true for a constant ‘a’ (∃-inst)o If P(a) is true →∃xP(x)is true →∃xP(x) ∨∃xQ(x) is trueo If Q(a) is true →∃xQ(x)is true →∃xP(x) ∨∃xQ(x) is trueoo if ∃x(P(x) ∨Q(x)) is falseo→ there is no constant such that P(a) ∨Q(a) is trueo→ there is no constant such that P(a) is true or there is no constant such that Q(a) is trueo→∃xP(x) is false and ∃xQ(x) is falseo→∃xP(x) ∨∃xQ(x) is falseQ9)∙Use rules of inference to show that if ∀x(P(x) →(Q(x) ∧S(x))) and ∀x(P(x) ∧R(x)) are true, then ∀x(R(x) ∧S(x)) is true.Step Reason1.∀x(P(x) → (Q(x) ∧ S(x))) Premise2.∀x(P(x) ∧ R(x)) Premise3.P(a) ∧ R(a) for arbitrary a UI from 24.P(a) for arbitrary a Simplification from 35.R(a) for arbitrary a Simplification from 36.P(a) → (Q(a) ∧ S(a))) for arbitrary a UI from 17.(Q(a) ∧ S(a)) for arbitrary a MP from 4 and 68.S(a) for arbitrary a Simplification from 79.R(a) ∧ S(a) for arbitrary a Conjunction from 5 and 810.∀x(R(x) ∧ S(x)) UG from 9∙Use rules of inference to show that if ∀x(P(x) ∨Q(x)), ∀x(￢Q(x) ∨S(x)), ∀x(R(x)→￢S(x)), and ∃x￢P(x) are true, then ∃x￢R(x) is true.Step Reason1.∀x(P(x) ∨ Q(x)) Premise2.∀x(￢Q(x) ∨ S(x)) Premise3.∀x(R(x) →￢S(x)) Premise4.∃x￢P(x) Premise5.￢P(a) for some a EI from 46.P(a) ∨ Q(a) UI from 17.Q(a) for some a Disjunctive Syllogism from 5 and 68.￢Q(a) ∨ S(a) UI from 29.S(a) for some a Disjunctive Syllogism from 7 and 810.R(a) →￢S(a) UI from 311.￢R(a) for some a Modes Tollens from 9 and 1012.∃x￢R(x) Existential Generalization (EG) from 11Q10)∙Use a direct proof to show that every odd integer is the difference of two squares.Direct Proofo Let n be an odd integer such that n=2k+1 where k is an integer (definition of odd integers) o Let squares of two integers k and (k+1) such as k2 and (k+1)2= k2+2k+1o(k+1)2 - k2 = 2k+1o So, n is the difference of two squares.o QED∙Show that if n is an integer and n3+ 5 is odd, then n is even using a proof by contraposition.Proof by Contrapositiono Assume n is an odd integer (negation of even is odd)o So, n=2k+1 where k is an integer (definition of odd integers)o n3 + 5 = (2k+1)3 + 5 = 8k3+12k2 +6k+1+5 = 2(4k3+6k2 +3k+3)o So, n3 + 5 = 2m where m is an integer such that m = (4k3+6k2 +3k+3)o Thus, n3 + 5 is an even integer (negation of “n3 + 5 is odd”)o Then, n is even (not odd)o QED.∙Prove that if n is an integer and 3n + 2 is even, then n is even using a proof by contradiction.Proof by Contradictiono Assume that n is an odd integer (negation of even is odd)o So, n=2k+1 where k is an integer (definition of odd integers)o3n+2 = 3(2k+1)+2 = 6k+5 = 2(3k+2)+1o So, 3n+2 = 2m+1 where m is an integer such that m=3k+2o Thus, 3n+2 is odd (contradiction with our assumption “3n + 2 is even”)o So, n is eveno QED.。

离散数学.第1章

P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 P∧Q 0 0 0 1
例4
设P：我们去看电影。Q：房间里有十张桌子。则
P ∧ Q表示“我们去看电影并且房间里有十张桌子。”
10
3. 析取“∨”（相容或）[讲解教材P3-5关于或]
4. 定义1.3
由命题P和Q利用“∨”组成的复合命题，称为析取式复合命题，记作“P∨Q”（读作“P或Q”）。当且仅当P和Q至少有一个取值为真时，P∨Q取值为真。
练习1-1
1. 判断下列语句哪些是命题，若是命题，则指出其真值。
（1）（2）只有小孩才爱哭。 X+6=Y ( 是假 ) ( 不是 ) (是真) ( 不是 )
（3）
银是白的。
（4）起来吧，我的朋友。 2．将下列命题符号化
（1）我看见的既不是小张也不是老李。解令P：我看见的是小张；Q：我看见的是老李。则该命题可表示为¬ P∧¬ Q （2）如果晚上做完了作业并且没有其它的事，他就会看电视或听音乐。解令 P：他晚上做完了作业；Q：他晚上有其它的事； R：他看电视； S：他听音乐。则该命题可表示为（P∧¬ Q）→（R∨S）
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1.3 等值演算
• 定义1.10 设A和B是两个命题公式, 若等价式A↔B 是重言式，则称公式A 和B等值，记为A B,称 AB为等值式。
• 注意：（1）符号“”与“↔”的区别与联系 “”不是联结词，AB不表示一个公式，它表示两个公式间的一种关系，即等值关系。 “↔”是联结词，A↔B是一个公式。 AB 当且仅当 A↔B 是永真公式。
1 0 1 0 1 0 1 0
0 0 1 1 1 1 1 1
0 0 0 1 0 0 0 1
1 1 0 1 0 0 0 1

离散数学第一章习题解答,屈婉玲耿素云高等教育出版社

习题一1.下列句子中,哪些是命题？在是命题的句子中,哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？（1）中国有四大发明.答：此命题是简单命题，其真值为1.（2是无理数.答：此命题是简单命题，其真值为1.（3）3是素数或4是素数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为1.x+<（4）235答：不是命题.（5）你去图书馆吗？答：不是命题.（6）2与3是偶数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（7）刘红与魏新是同学.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.（8）这朵玫瑰花多美丽呀！答：不是命题.（9）吸烟请到吸烟室去！答：不是命题.（10）圆的面积等于半径的平方乘以π.答：此命题是简单命题，其真值为1.（11）只有6是偶数，3才能是2的倍数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（12）8是偶数的充分必要条件是8能被3整除.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（13）2008年元旦下大雪.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.2.将上题中是简单命题的命题符号化.解:（1）p：中国有四大发明.（2）p:错误!未找到引用源。

是无理数.（7）p:刘红与魏新是同学.（10）p:圆的面积等于半径的平方乘以π.（13）p:2008年元旦下大雪.3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值.（1是有理数.是无理数.p.q.其否定式q的真值为1.（2不是无理数.答：是有理数. p 不是无理数. q 是有理数. 其否定式q 的真值为1.（3）2.5是自然数.答：否定式：2.5不是自然数. p ：2.5是自然数. q ：2.5不是自然数. 其否定式q 的真值为1.（4）ln1是整数.答：否定式：ln1不是整数. p ：ln1是整数. q ：ln1不是整数. 其否定式q 的真值为1.4.将下列命题符号化，并指出真值. （1）2与5都是素数答：p ：2是素数，q ：5是素数，符号化为p q ∧，其真值为1.（2）不但π是无理数，而且自然对数的底e 也是无理数.答：p ：π是无理数，q ：自然对数的底e 是无理数，符号化为p q ∧，其真值为1. （3）虽然2是最小的素数，但2不是最小的自然数.答：p ：2是最小的素数，q ：2是最小的自然数，符号化为p q ∧⌝，其真值为1. （4）3是偶素数.答：p ：3是素数，q ：3是偶数，符号化为p q ∧，其真值为0. （5）4既不是素数，也不是偶数.答：p ：4是素数，q ：4是偶数，符号化为p q ⌝∧⌝，其真值为0. 5.将下列命题符号化，并指出真值. （1）2或3是偶数. （2）2或4是偶数. （3）3或5是偶数.（4）3不是偶数或4不是偶数. （5）3不是素数或4不是偶数.答: p ：2是偶数，q ：3是偶数，r :3是素数，s :4是偶数, t :5是偶数 (1) 符号化: p q ∨，其真值为1. (2) 符号化：p r ∨，其真值为1. (3) 符号化：r t ∨，其真值为0. (4) 符号化：q s ⌝∨⌝，其真值为1.(5) 符号化：r s ⌝∨⌝，其真值为0. 6.将下列命题符号化.（1）小丽只能从筐里拿一个苹果或一个梨.答：p ：小丽从筐里拿一个苹果，q ：小丽从筐里拿一个梨，符号化为: p q ∨. （2）这学期，刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课.答：p ：刘晓月选学英语，q ：刘晓月选学日语，符号化为: ()()p q p q ⌝∧∨∧⌝. 7.设p ：王冬生于1971年，q ：王冬生于1972年，说明命题“王冬生于1971年或1972年”既可以化答:列出两种符号化的真值表：p q0 0 0 00 1 1 11 0 1 11 1 0 1根据真值表,可以判断出,只有当p与q同时为真时两种符号化的表示才会有不同的真值,但结合命题可以发现,p与q不可能同时为真,故上述命题有两种符号化方式.8.将下列命题符号化,并指出真值.（1）只要错误!未找到引用源。

离散数学(胡海涛)第1章答案

(2) ((P→Q)∨(R→S))→((P∨R)→(Q∨S))
P Q R S P→Q R→S (P→Q)∨(R→S) P∨R Q∨S (P∨R)→(Q∨S) 原公式
11 1 1 1
1
1
1
1
1
1
11 1 0 1
0
1
1
1
1
11Βιβλιοθήκη 0 1 1111
1
1
1
11 0 0 1
1
1
1
1
1
1
10 1 1 0
1
1
1
1
⇔P∧(┐P∨┐Q)⇔(P∧┐P)∨(P∧┐Q) ⇔F∨(P∧┐Q)⇔(P∧┐Q) ⇔┐(┐P∨Q)
（3）Q∨┐((┐P∨Q)∧P)⇔Q∨(┐(┐P∨Q)∨┐P)⇔ Q∨(P∧┐Q)∨┐P
⇔( Q∨┐P∨P ) ∧(Q∨┐P∨┐Q)⇔ T∨T⇔T
11. 试证明{∨}，{→}不是全功能联结词集合。
证明：
若{∨}是最小联结词组，则 ┐P⇔( P∨...)
对所有命题变元指派 T，则等价式左边为 F，右边为 T，等价式矛盾。
若{→}是最小联结词组，则
┐P⇔ P→ ( P→( P→...)...)
对所有命题变元指派 T，则等价式左边为 F，右边为 T，等价式矛盾。
12. 证明下列蕴涵式：
（1）P∧Q⇒(P→Q)
(Q→┐R)⇔ ┐P→(Q→┐R) 15. 如果 A(P，Q，R)由 R↑(Q∧┐(R↓P))给出，求它的对偶 A*(P，Q，R)，并求出与 A 及 A*
等价且仅包含联接词“∧”，“∨”及“┐”的公式。
解：
A*(P，Q，R)：R↓ (Q∨┐(R↑P))
R↑(Q∧┐(R↓P))⇔┐(R∧(Q∧(R∨P)))⇔┐R∨┐Q∨(┐R∧┐P)

离散数学-第1章

27
练习1解答
提示：分清复合命题与简单命题分清相容或与排斥或分清必要与充分条件及充分必要条件
答案: (1) 是简单命题
(2) 是合取式
(3) 是析取式（相容或）(4) 是析取式（排斥或）
设 p: 交通阻塞，q: 他迟到
(5) pq,
(6) pq或qp
(7) qp 或pq, (8) qp或pq
假命题真命题不是命题不是命题
不是命题不是命题
命题，但真值现在不知道
5
命题分类
命题分类：简单命题（也称原子命题）与复合命题简单命题符号化
用小写英文字母 p, q, r, …, pi, qi, ri (i1)表示简单命题
用“1”表示真，用“0”表示假例如，令
p： 2是有理数，则 p 的真值为0，
p q p pq (pq) (pq)q
00 1 1
0
0
01 1 1
0
0
10 0 0
1
0
11 0 1
0
0
成假赋值:00,01,10,11; 无成真赋值
24
公式的类型
定义1.10 (1) 若A在它的任何赋值下均为真, 则称A为重言式或永真式; (2) 若A在它的任何赋值下均为假, 则称A为矛盾式或永假式; (3) 若A不是矛盾式, 则称A是可满足式.
30
练习3解答
(1) pr(qp)
pqr
qp (qp) pr(qp)
000
1
0
0
001
1
0
0
010
0
1
0
011
0
1
0
100
1
0
0
101

离散数学第1章答案

解：（1）P：王皓球打得好，Q：王皓歌唱得好。原命题可符号化：P∧Q。（2）P：我看书，Q：我听音乐。原命题可符号化：P∧Q。（3）P：老张是球迷，Q：老李是球迷。原命题可符号化：P∧Q。（4）P：努力学习，Q：成绩会好。原命题可符号化：P→Q。（5）P：休息好，Q：工作好。原命题可符号化：Q→P。（6）P：a 是偶数，Q：b 是偶数，R：a+b 是偶数。原命题可符号化：（P∧Q）→R。（7）P：我们游泳，Q：我们跑步。原命题可符号化：┐（P∧Q）。（8）P：我反悔，Q：太阳从西边出来。原命题可符号化：P→Q。（9）P：f(x)在点x0处可导， Q：f(x)在点x0处可微。原命题可符号化：P→ ←Q。（10）P：张老师讲这门课，Q：李老师讲这门课，R：王老师讲这门课。原命题可符号化：（┐P∧┐Q）→R。（11）P：四边形 ABCD 是平行四边形，Q：四边形 ABCD 的对边平行。原命题可符号化： P→ ←Q。（12）P：你给我写信，Q：信在途中丢失了。原命题可符号化：┐P← ∣ →（P∧Q）。 4. 判断下列公式哪些是合式公式，哪些不是合式公式。（1）(Q→R∧S) （2）(P→←(R→S)) （3）((┐P→Q) →(Q→P))) （4）(RS→F) （5）((P→(Q→R))→((P→Q) →(P→R))) 解：（1）、（2）、（5）是合式公式，（3）、（4）不是合式公式。 5. 否定下列命题：（1）桂林处处山清水秀。（2）每一个自然数都是偶数。解：（1）桂林并非处处山清水秀。（2）并不是每一个自然数都是偶数。或：有些自然数不是偶数。 6. 给出下述每一个命题的逆命题、否命题和逆否命题。（1）如果天下雨，我将不去。（2）仅当你去我才不去。（3）如果Δ=b2−4ac<0，则方程ax2+bx+c=0无实数解。（4）如果我不获得奖学金，我就不能完成学业。解：（1）逆命题：如果我不去，那么天下雨。

离散数学的ppt课件

科学中的许多问题。
03
例如，利用图论中的最短路径算法和最小生成树算法
等，可以优化网络通信和数据存储等问题。
运筹学中的应用
01
运筹学是一门应用数学学科，主要研究如何在有限资源下做出最优决策，离散数学在运筹学中有着广泛的应用。
02
利用离散数学中的线性规划、整数规划和非线性规划等理论，可以解决运筹学中的许多问题。
并集是将两个集合中的所有元素合并在一起，形成一个新的集合。
详细描述
例如，{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的并集是 {1, 2, 3, 4}。
总结词
补集是取一个集合中除了某个子集以外的所有元素组成的集合。
详细描述
例如，对于集合{1, 2, 3}，{1, 2}的补集是{3}。
集合的基数
总结词
）的数学分支。
离散数学的学科特点
03
离散数学主要研究对象的结构、性质和关系，强调推
理和证明的方法。
离散数学的应用领域
计算机科学
01
离散数学是计重要的工具和方法。
通信工程
02
离散数学在通信工程中广泛应用于编码理论、密码学、信道容
量估计等领域。
集合的基数是指集合中元素的数量。
详细描述
例如，集合{1, 2, 3}的基数是3，即它包含三个元素。
03 图论
图的基本概念
顶点
图中的点称为顶点或节点。
边
连接两个顶点的线段称为边。
无向图
边没有方向，即连接两个顶点的线段可以是双向的。
有向图
边有方向，即连接两个顶点的线段只能是从一个顶点指向另一个顶点。
研究模态算子（如necessity、possibility）的语义和语法。

西安电子科技大学考研复试科目-离散数学01命题逻辑d

(¬P ∧ Q ∧ R ) ∨ (Q ∧ ¬R ) ∨ R
是一个析取范式。
西安电子科技大学计算机学院毛立强
7
lqmao@
定义一个命题公式称为合取范式（conjunctive normal form），当且仅当它具有如下形式：
A1 ∧ A 2 ∧ ... ∧ A n
现以两个变元为例25西安电子科技大学计算机学院毛立强lqmaomailxidianeducn这样n个变元的大项可以很快写出来26西安电子科技大学计算机学院毛立强lqmaomailxidianeducn这里是将命题变元对应于0命题变元的否定对应于1小项记法相反例如3个变元的大项是这样对应的大项其目的是当且仅当将大项的对应指派代入该大项才使该大项的真值为0使今后许多运算得到方便
例如
( n ≥ 1)
其中，A1，A2，…，An是由命题变元或其否定所组成的析取式。
( ¬ P ∨ Q ∨ R ) ∧ (Q ∨ ¬ R ) ∧ R
是一个合取范式。
西安电子科技大学计算机学院毛立强
8
lqmao@
任何一个命题公式，都可以求得它的合取范式或者析取范式，步骤如下：将公式中的联结词都归约成¬、∨和∧。利用德·摩根定律将否定符号¬直接移到各命题变元之前。利用分配律、结合律将公式归约成合取范式或者析取范式。
2n −1 i =0
∨ mi ⇔ T
定义一个仅由小项的析取组成的公式, 如果与给定的命题公式 A等价, 则称它是A的主析取范式（principle disjunctive normal form）。
16
西安电子科技大学计算机学院毛立强
lqmao@
定理：在真值表中，一个公式的真值为T的指派所对应的小项的析取，即为此公式的主析取范式。例3 用构造真值表的方法求命题公式 ¬P ∧ (Q → R)的主析取范式。

离散数学题库

院（系）班级学号（9位）姓名 ———————————阅————卷————密————封————装————订————线——————————第 1 页/共 39 页常熟理工学院20 ～20 学年第学期《离散数学》考试试卷（试卷库01卷）试题总分： 100 分考试时限：120 分钟题号一二三四五总分阅卷人得分一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 下列表达式正确的有( )（A ） Q Q P ⇒ → ⌝ ) ( （B ）P Q P ⇒∨（C ）P Q P Q P ⇔⌝∧∨∧)()( （D ）T Q P P ⇔→→)(2. 设P ：2×2=5，Q ：雪是黑的，R ：2×4=8，S ：太阳从东方升起，下列( )命题的真值为真。

（A ）R Q P ∧→ （B ）S P R ∧→ （C ）R Q S ∧→ （D ）)()(S Q R P ∧∨∧ 3. 集合A={1,2,…,10}上的关系R={<x,y>|x+y=10,x,y ∈A}，则R 的性质为( )（A ）自反的（B ）对称的（C ）传递的，对称的（D ）传递的4. 设>=< },2,1,0{1G ，>=<},*1,0{2G ，其中表示模3加法，*表示模2乘法，在集合21G G ⨯上定义如下运算：,,,,21G G d c b a ⨯>∈<><∀有,,,,>*>=<<∙><d b c a d c b a 称>∙⨯<,21G G 为21G G ⨯的积代数，则21G G ⨯的积代数幺元是( )（A ）<0，0>（B ）<0，1>（C ）<1，0>（D ）<1，1>5. 下图中既不是Eular 图，也不是Hamilton 图的图是( )6. 设>=<E V G ,为无向图，23,7==E V ，则G 一定是( )（A ）完全图（B ）树（C ）简单图（D ）多重图7. 设P ：我将去镇上,Q ：我有时间。

《离散数学讲义》课件

离散概率分布的定义
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的数据分析方法，用于推断总体特征和比较不同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研究，最初是为了解决当时的一些实际问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、图、树、逻辑等）的数学分支，它不涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。

精品课程《离散数学》PPT课件(全)(1)

13
1.1 命题符号化及联结词
命题与命题变项象程序语言中常量与变量的关系一样。
例：5是一个常量，是一个确定的数字，而x是一个变量，赋给它一个什么值它就代表什么值，即x的值是不定的。
例3：判断下列句子是否为命题？
1．张校长的头发有一万根。
（是）
2．我所说的是假的。
（否）
14
1.1 命题符号化及联结词
式公式。（2）称A是n+1(n≥0)层公式是指下列情况之一：
(a) A= B,B是n层公式; (b)A=B∧C,其中B,C分别为i层和j层公式,且n=max(i,j) ； (c) A=B ∨ C,其中B,C的层次及n同(b); (d) A=B ∨ C,其中B,C的层次及n同(b); (e) A=B C,其中B,C的层次及n同(b); (f) A=B C,其中B,C的层次及n同(b);
4
第一章命题逻辑
❖ 数理逻辑是研究推理（即研究人类思维的形式结构和规律）的科学，起源于17世纪，它采用数学符号化的方法，因此也称为符号逻辑。
❖ 从广义上讲，数理逻辑包括四论、两演算—— 即集合论、模型论、递归论、证明论和命题演算、谓词演算，但现在提到数理逻辑，一般是指命题演算和谓词演算。本书也只研究这两个演算。
6
第一章命题逻辑
❖ 数理逻辑与计算机学、控制论、人工智能的相互渗透推动了其自身的发展，模糊逻辑、概率逻辑、归纳逻辑、时态逻辑等都是目前比较热门的研究领域。
❖ 本篇我们只从语义出发，对数理逻辑中的命题演算与谓词演算等作一简单的、直接的、非形式化的介绍，将不涉及任何公理系统。
7
1.1 命题符号化及联结词
运算规则：
p
q
p q

离散数学第1章习题答案

#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<malloc.h>#define MAX_STACK_SIZE 100 typedef int ElemType; typedef struct{ElemType data[MAX_STACK_SIZE];int top;} Stack;void lnitStack(Stack *S){S->top=-1;}int Push(Stack *S,ElemType x){if(S->top==MAX_STACK_SIZE-1){printf("\n Stack is full!");return 0;}S->top++;S->data[S->top]=x;return 1;}int Empty(Stack *S){return (S->top==-1);}int Pop(Stack *S,ElemType *x){if(Empty(S)){printf("\n Stack is free!");return 0;}*x=S->data[S->top];S_>top__;return 1;}void conversion(int N){int e;Stack *S=(Stack*)malloc(sizeof(Stack));InitStack(S); while(N){Push(S,N%2);"}while(!Empty(S)){Pop(S, &e);printf("%d ",e);}}void main(){ int n;printf(" 请输入待转换的值n: \n");scanf ("%d",&n);conversion(n);1. 判断下列语句是否是命题，为什么？若是命题，判断是简单命题还是复合命题？(1) 离散数学是计算机专业的一门必修课。

离散数学1命题逻辑

第1章
例7
例7、将下列命题符号化，并讨论他们的真值。 (1)如果3＋3＝6，则雪是黑色的； (2)只有a(正整数)能被2整除，a才能被4整除； (1)设：p：3＋3＝6，q：雪是黑色的原语句符号化为：p→q 真值为0 (2)设p：a(正整数)能被2整除，q：a能被4整除原语句符号化为：q →p 真值为1
离散数学第一篇数理逻辑
蔡广军
第1章
数理逻辑简介(1)
数理逻辑(Mathematical Logic) 用数学方法(主要是建立符号体系的方法)来研究推理形式结构和推理规律的数学学科。通过引入一套符号体系来研究推理规律的学科，故又称之为符号逻辑(Symbolic Logic)
第1章
例题5
例5、p：2＋2＝4 q：3是奇数 (1) 2+2=4当且仅当3是奇数。p↔q (2) 2+2=4当且仅当3不是奇数。p↔┐q (3) 2+2≠4当且仅当3是奇数。┐p↔q (4) 2+2≠4当且仅当3不是奇数。┐p↔┐q
第1章
数理逻辑联结词与自然语言联结词
6、逻辑联结词与自然语言中联结词的关系否定——不是、没有、非、不合取——并且、同时、和、既…又…,不但… 而且…，虽然…但是… 析取——或者、或许、可能蕴含——若…则…，假如…那么…，既然…那就倘若…就… 等价——当且仅当、充分必要、相同、一样
要回答这样的问题，实际上就是看由一些诸如“商人戴的是红帽子”这样的前提能否推出“猜出答案的应试者戴的是黑帽子”这样的结论来。这又需要经历如下过程： (1) 什么是前提？有哪些前提？ (2) 结论是什么？ (3) 根据什么进行推理？ (4)怎么进行推理？
第1章
第一章命题逻辑