4金属自由电子气的其他性质

• 被激发的电子能量与估计值比较
N U ~ N T / T k T U ~ ( T / T ) k T F B F B 16 http://10.107.0.68/~jgche/ 自由电子气的其他性质 4 2
2
2 2 T U k T el B CV Nk B 0 Nk B EF TF 2 2 T V
与定性的结 果仅差常数 因子
定性的解释是正确的，即 只有Fermi面附近的电子被 激发！
http://10.107.0.68/~jgche/
自由电子气的其他性质
17
低温时，电子气对热容的贡献很小
el CV T
并不只适用于自由电子气。电子许可 能级形成能带时也是正确的 通过电子气比热测量，可以获得Fermi 面附近能量态密度的信息！
http://10.107.0.68/~jgche/
自由电子气的其他性质
3
1、定量计算比热(kBT<<EF) f ( E ) e( E E
• 用总电子数确定Fermi能级
N

1
F
) / k BT
1
0
C EF E dE , T 0 0 f ( E ) D ( E )dE C f ( E ) E dE , T 0 0
自由电子气的其他性质
15
4、总能量(T<<TF)
QE H d D d C
E E 0 0 E 0
U f ( E ) D( E ) EdE
0

2 d CE 5/2 5
3/2
3 Q" E C E 2
T 0K, k BT E F
13
0 f E , T
1.1 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0 2
e
E EF / k BT
1
1
1
1 f EF , T 2
T=0.01TF T=0.02TF T=0.05TF T=1.0TF
F
4 6 8 10
f()
(A.U.)
E EF ,
http://10.107.0.68/~jgche/
1 f E 2
E EF ,
自由电子气的其他性质
1 f E 2 14
1.00
0.95
F
0.90
0.85
0.80
0.0
0.1
0.2
T/TF
0.3
0.4
0.5
http://10.107.0.68/~jgche/
http://10.107.0.68/~jgche/
自由电子气的其他性质
1
本讲内容
• 自由电子气低温性质
* 比热，Sommerfeld积分，总能wk.baidu.com，费米能级
• 为什么经典模型能够较好地描写电导率
* 电子实际的平均自由程远远大于原子间距
• 弛豫时间的物理意义
* 碰撞机制与经典理论的不同 * 物理意义与经典理论的不同
5 2 2 5/ 2 U CE F 1 (k BT / E F ) 2 5 8
T 0K
2 0 U C EF 5
U 3 0 EF N 5

5/ 2
k BT E F
U 3 0 5 2 0 2 E F 1 k BT / E F N 5 12
• 均匀磁场中的电子气
* 为讲解量子霍尔效应作些理论上的准备
http://10.107.0.68/~jgche/
自由电子气的其他性质
2
第4讲、自由电子气的其他性质
1. 定量计算比热 2. Sommerfeld积分 3. 费米能级 4. 电子气总能量 5. 金属电导率——碰撞机制讨论 6. 均匀磁场中的电子气






http://10.107.0.68/~jgche/
自由电子气的其他性质
8
低温性质
• 总能量 • 总电子数 •
U D( E ) f ( E ) EdE
0
N f ( E ) D( E )dE

EF N EF f ( E ) D( E )dE
0
U f C dEED ( E ) 对这两个式子求导，得 T T 0 f 0 dEEF D( E ) 0 T f el C dE E E D ( E ) 相减后，得 F V 0 T el V


自由电子气的其他性质
12
化学势随温度的变化
T 0K, k BT E F
2 2 2 k T 3/ 2 B 1 N CEF 3 8 EF
N C f ( E ) E dE
0

T 0K
2 0 N C EF 3
Fermi面
T 0K
Fermi 面以内被 电子占满，形成 所谓的费米球
http://10.107.0.68/~jgche/
kBT的范围
Fermi 面附近kBT 范 围内的电子
5
自由电子气的其他性质
T 0 电子被热激发，看被积函数
k BT
D( E ) C E
f ( E ) D( E ) C E
http://10.107.0.68/~jgche/
p rs
量子经典
自由电子气的其他性质
由于电子的平均 自由程远大于原 子间距，因此经 典模型已是很好 的近似
20
ne 2 实验事实碰撞机制 m • 纯净的铜晶体，液氦温度（4K）下的电导率接 近室温（300K）的105倍！ 8 -9 • 据此，弛豫时间约10 秒量级 l vF , vF ~ 10 cm / s • 这样，平均自由程l就是0.1厘米量级 • 室温下，电导率小105倍，平均自由程比原子间 距大107倍 • 外推至温度T=0的电阻率——剩余电阻率，由 缺陷（浓度不太大）引起的电阻率，基本与温 度无关
0
•
http://10.107.0.68/~jgche/
• 根据(E-EF)df/dT的类δ函数性质，可以近似得 f 到 el C D( E ) dE E E
V 0 自由电子气的其他性质 F

F
T
9
E EF / k BT f E E e • 对费米分布求导 F T k BT 2 e E EF / kBT 1 2
19
5、金属电导率——碰撞机制再讨论
ne 2 • 经典模型 m
• 一个给出了这样结果的理论，一定会包含许多 真理！——洛伦茨？——物理原因？ 实际情况是电 子在金属中平 均自由程很大
p k F
k F 3 n
2


1/ 3
n
1/ 3
1 rs
x rs xp
上讲回顾
• 用半经典模型估计比热
* 量子理论成功地解答了Drude模型将比热高估之 谜，这是因为高估了能被热激发电子数目 * 同时也告诉我们，应该用F—D分布代替M—B分 布，用量子力学处理电子气
• Sommerfeld模型，仍然沿用Drude模型的基本 假定，但用量子力学来处理金属自由电子气
* 给出了基态（T=0）的重要性质，引入重要概念 费米能级、费米波矢、费米速度，状态密度，基 态能量


• 进行变量替换，x E EF / k BT
el 2 kB CV TD ( EF ) EF / k BT
dxx 2
e
3
ex
x
1

2
• 低温时，可将积分下限推至负无穷大，得 2 x e 2


dxx
e
x
1

2

2 3 T el 2 2 N Nk B • 于是 CV k BTD ( EF ) k BT 3 3 2 EF 2 TF T el • 与前面的估计比较 CV Nk B TF
E EF
f ( E ) D( E ) 0
E EF
N f ( E ) D( E )dE
0
f ( E ) D( E )
EF
C E e ( E E F ) / k BT 1
N f ( E ) D ( E ) dE http://10.107.0.68/~jgche/
2
2
http://10.107.0.68/~jgche/
自由电子气的其他性质
10
2、Sommerfeld积分
I H ( ) f ( )d
0
E 0

• 常遇这样的积分，引入函数 Q ( E ) H ( )d
f • 作分部积分 I Q( ) f ( ) Q( ) d 0 0

• 上式第一项为零。第二项中-df/dE为中心在EF 处的类δ函数，宽度约kBT，是(E-EF)的偶函 数，将Q(E)在EF附近展开到二级近似，得到
1 2 Q ( ) Q ( EF ) EF Q ' ( EF ) EF Q ' ' ( EF ) 2
0

自由电子气的其他性质 0
U f ( E ) D( E ) EdE 6

低温时费米分布函数的数学性质
f E
T 0
k BT EF
f 类函数, 且是 ( E EF )的偶函数 E
T 0
http://10.107.0.68/~jgche/ 自由电子气的其他性质
假定不随温度变
7
-df(E)/dE的对称性
• 对费米分 布，其对E 的导数总是 E-μ的偶函 数 • 当T0时， 才是delta函 数
x E k BT 1 x f x f E E k BT 1 e 1 e ex ,x 0 2 x x df e e 1 2 x x dx e 1 e ,x 0 2 x e 1 1
T C N EF k B 2 T http://10.107.0.68/~jgche/ 自由电子气的其他性质 F
el V
2

18
固体比热的实验结果
CV T bT C C
3 el V
lat V
因此，只有在极低温度下，电子对比 http://10.107.0.68/~jgche/ 自由电子气的其他性质 热的贡献才重要！

3/ 2
2 T 0 1 EF EF T 12 F

2

0 EF EF
• 化学势随温度变化
* 因为TF=104~105，所以室温下，与绝对温度零度时 的费米能级非常接近
http://10.107.0.68/~jgche/ 自由电子气的其他性质 思考：为什么化学势随着温度升高而降低？
0
• 确定电子气能量
U

0
C EF E 3 / 2 dE , T 0 0 f ( E ) D ( E ) EdE C f ( E ) E 3 / 2 dE , T 0 0
0
http://10.107.0.68/~jgche/
自由电子气的其他性质
4
T 0K
• 该展开的第二项是(E-EF)的奇函数，也为零
http://10.107.0.68/~jgche/ e 1
x
利用 dxx 2



ex

2

2
3 自由电子气的其他性质
，则得，I Q( EF )
2
6
Q" ( EF )k BT
11
2
3、费米能级(T<<TF)
• 对于
N f ( E ) D( E )dE
原子振动 缺陷 原子振动 缺陷
• 与温度有关的电阻率对同一种金属的不同样品 相同——原子振动引起的电阻率
0
I Q ( EF )
2
6
Q" ( EF )k BT
2
H D
E
2 QE H d D d C d CE 3/2 0 0 0 3 2 1 2 2 -1/2 3/2 Q" E CE N CEF 1 k BT / EF 2 3 8
E E


2 N CE 3

0 3/ 2 F
E
0 3/ 2 F
2 2 3/ 2 kBT / EF EF 1 8
• 利用kBT<<EF
http://10.107.0.68/~jgche/
2 0 0 2 EF EF 1 k BT / EF 12