哈工大年集合论与图论试卷

--本试卷满分90分(计算机科学与技术学院0９级各专业) 一、填空（本题满分１0分,每空各1分)1.设B A ,为集合,则A B B A = )\(成立的充分必要条件是什么？(A B ⊆) ２.设}2,1{},,,2,1{==Y n X ,则从X 到Y 的满射的个数为多少?（22-n ) ３．在集合}11,10,9,8,4,3,2{=A 上定义的整除关系“|”是A 上的偏序关系， 则最大元是什么? ( 无 ）4．设{,,}A a b c =，给出A 上的一个二元关系,使其同时不满足自反性、反自 反性、对称性、反对称和传递性的二元关系。

({(,),(,),(,),(,)}R a a b c c b a c =） ５．设∑为一个有限字母表,∑上所有字(包括空字）之集记为*∑，则*∑是 否是可数集? （ 是 )６.含5个顶点、3条边的不同构的无向图个数为多少？ （ ４ ）7.若G 是一个),(p p 连通图，则G 至少有多少个生成树? （ 3 ）8. 如图所示图G ,回答下列问题：(１）图G 是否是偶图? ( 不是 )(2）图G 是否是欧拉图? ( 不是 ）(3)图G 的色数为多少？ ( 4 )二、简答下列各题（本题满分40分）1．设D C B A ,,,为任意集合，判断下列等式是否成立?若成立给出证明，若不 成立举出反例。

(6分)(1))()()()(D B C A D C B A ⨯⨯=⨯ ；（2）()()()()A B C D A C B D ⨯=⨯⨯。

解:（1）不成立。

例如}{,a c B D A ====φ即可。

（2）成立。

(,)x y ∀∈()()A B CD ⨯，有,x A B y C D ∈∈，即 ,,,x A x B y C y D ∈∈∈∈。

所以(,),(,)x y A C x y B D ∈⨯∈⨯,因此 (,)()()x y A C B D ∈⨯⨯,从而()()A B CD ⨯⊆()()A C B D ⨯⨯。

反之,(,)x y ∀∈()()A C B D ⨯⨯，有,,,x A x B y C y D ∈∈∈∈。

即 (,)x y ∈()()A B C D ⨯，从而()()A C B D ⨯⨯⊆()()A B CD ⨯。

因此，()()A B C D ⨯＝()()A C B D ⨯⨯。

2. 设G 是无向图,判断下列命题是否成立？若成立给出证明，若不成立举出反例。

（6分）（1）若图G 是连通图，则G 的补图C G 也是连通图。

(2)若图G 是不连通图，则G 的补图C G 是连通图。

解：(1）C G 不一定是连通图。

(2）C G 一定连通图。

因为G 不连通，故G 至少有两个分支,一个是1G ,另外一些支构成的子图是2G 。

对于c G 中任意两个顶点u 和v :（１）若12,u V v V ∈∈,则u 与v 不在G 中邻接。

由补图的定义可知:u 与v 必在c G中邻接;（2)若12,()u v V V ∈或,取2w V ∈2()V 或,则u 与w ，w 与v 在G 都不邻接，故u 与w ，w 与v 在c G 必邻接,于是uwv 就是c G 中的一条路。

综上可知,对c G 中任两个顶点u 和v 之间都有路连接，故c G 是连通的。

3.设集合{,,,,}A a b c d e =,A 上的关系定义如下：(6分）{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),R a a a b a c a d a e b b b c =(,),(,),(,),(,),(,),(,)}b e c c c e d d d e e e 。

则（1)写出R 的关系矩阵; (2)验证(,)A R 是偏序集； （３)画出Hasse 图。

解：（１)R 所对应的关系矩阵为R M 为: 11111011010*******1100001R M ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (2）由关系矩阵可知： 对角线上的所有元素全为1,故R 是自反的;1ij ji r r +≤，故R 是反对称的; 2R 对应的关系矩阵2R M 为:21111101101001010001100001R R M M ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。

因此R 是传递的。

综上可知：故R 是A 上的偏序关系，从而(,)A R 是偏序集。

c（3)(,)A R 对应的Hasse 图如图所示。

4．设A 是有限集合,A A f →:。

则(３分)（1)若f 是单射，则f 必是满射吗？反之如何？（2)若A 是无限集合，结论又如何？解：(１)f 是单射，则f 必是满射；反之也成立；（2）若A 是无限集合,结论不成立。

举例:令N={1，２，3，…｝,则(１）设N N s →:，,()1n N S n n ∀∈=+。

显然,S 是单射，但不是满射。

(2）设N N t →:,,(1)1,()1,2n N t t n n n ∀∈==-≥。

显然,T 是满射，但不是单射。

5．（4分）（１）根据你的理解给出关系的传递闭包的定义；(２）设},,,{d c b a A =,A 上的关系{(,),(,),(,)}R a b b c c a =，求关系R 的传递闭包+R 。

解：（1)设R 是集合A 上的二元关系，则A 上包含R 的所有传递关系的交称为关系R 的传递闭包。

（２))},(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,{(b c a c c b a b c a b a c c b b a a R =+６.由６个顶点，１2条边构成的平面连通图G 中,每个面由几条边围成?说明 理由。

（４分)解:每个面由3条边围成。

在图G 中，6p =,12q =,根据欧拉公式2p q f -+=，得8f =。

因为简单平面连通图的每个面至少由3条边围成，所以假设存在某个面由大于 ３条边围成，则有:32f q <,即2424<，矛盾。

故每个面至多由3条面围成,于是G 中每个面由3条边围成的。

7．设(,)G V E =是至少有一个顶点不是孤立点的图。

若,v V ∀∈deg v 为偶数，则G 中是否必有圈?说明理由。

(4分)解: G 中必有圈。

令P 是G 中的一条最长的路,12:n P v v v ,则由1deg 2v ≥知，必有某个顶点u 与i v 邻接。

由于P 是最长路，所以u 必是34,,,n v v v 中的某个,3i v i ≥。

于是，121i v v v v 是G 的一个回路。

8.设T 是一个有0n 个叶子的二元树，出度为２的顶点为2n ,则0n 与2n 有何关系？ 说明理由。

（４分）解:0n 与2n 的关系为：021n n =+由()()i i v V v Vid v od v q ∈∈==∑∑且1q p =-，得22021()1n p n n p ⨯+⨯--=-， 得021n n =+。

9.已知有向图D 的邻接矩阵0110010001000010010000010A ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭,则(3分)（1)画出邻接矩阵为A 的有向图D 的图解；（2)写出D 的可达矩阵R ；(3）写出计算两顶点之间长为k 的有向通道条数的计算方法。

解: （1） （2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0011100111001111111111111; （3）ij k A )(。

三、证明下列各题(本题满分４0分,每小题各5分)1．设G 是一个),(q p 图,证明：G 是树⇔G 无圈且1+=q p 。

证：⇒因为G 是树,所以G 是无圈；其次对G 的顶点数p 进行归纳证明p=q+1。

当ｐ为１或2时，连通图G 中显然有p=q+1。

假设对一切少于ｐ个顶点的树结论成立；今设G 是有p 个顶点树,从G 中去掉任一条边x,则G-x 恰有两个支。

由归纳假设，每个支中顶点数与边数之间有关系式:p 1=q 1+１,p 2=ｑ2+1。

所以，p=p １＋ｐ2=q １＋q 2+2=(q 1+q 2+1)+1=q+1。

⇐只须证明G 连通即可。

假设G 不连通,则必有k 个支且ｋ≥2。

由于每个支都是连通的且无回路,故每个支都是树。

于是，对每个支都有k i q p i i ,,2,1,1 =+=。

于是,∑∑==+=+==k i k i i i k q k q p p 11。

由假设k ≥2,这与p=q+1相矛盾。

因此，Ｇ是连通的。

即G 是树。

2．设:f X Y →,证明：f 是单射12,(())X F f f F F -⇔∀∈=。

证：(1）⇒1(())x f f F -∀∈，则()()f x f F ∈，于是F 中必存在1x ，使得 1()()f x f x =。

因为f 是单射，故必有1x x =。

即x F ∈，所以1(())f f F F -⊆。

反过来, ,()()x F f x f F ∀∈∈，从而有1(())x f f F -∈，所以1(())F f f F -⊆。

因此1(())f f F F -=。

⇐假设f 不是单射,则1212,,x x X x x ∃∈≠，但12()()f x f x y ==。

令1{}F x =， 于是111112(())(({})({}){,}f f F f f x f y x x ---===,故有121{,}{}x x F x ==，矛盾。

即f 一定为单射。

３．设G 是一个)3(≥p p 个顶点的图。

u 和v 是G 的两个不邻接的顶点,并且p v u ≥+deg deg 。

证明:G 是哈密顿图uv G +⇔是哈密顿图。

证明：⇒显然成立。

⇐假设G 不是哈密顿图，则有题意知在G 中必有一条从u 到v 的哈密顿路。

不妨设此路为v v v uv p 132- ，令de ｇv 1＝k,degv p =l ，则在G 中与u 邻接的顶点为u ｉ1 ,u ｉ2,…，u ik ，其中２=i １<i 2＜…＜i k ≤ｐ-1。

这时顶点ｕi ｒ-1(r=2，３…,k)不能与顶点ｖp 邻接。

因为此时Ｇ有哈密顿回路ｕｖ2…v ir-1vv p-1…ｖi ｒu,因此v p 至少与u ，ｖ2,…，v ｐ-1中的k 个顶点不邻接。

于是，ｌ≤p-1－k ，从而k+1≤p-1,与题设矛盾,故Ｇ是哈密顿图。

4.设R 是A 上的一个二元关系，证明：R 是对称的1-=⇔R R 。

证:⇒(,)x y R ∀∈，由R 的对称性有(,)y x R ∈,即1(,)x y R -∈,从而R ⊆R －1反之,1(,)y x R -∀∈,则(,)x y R ∈。

由R 的对称性有：(,)y x R ∈,从而Ｒ-1⊆R 故R=R -1⇐x ∀,y ∈X ，若(,)x y R ∈,由R ＝Ｒ-1,得1(,)x y R -∈，即(,)y x R ∈，故R 是对称的。