2018上海中考数学二模压轴题详解
2018中考二模数学压轴题汇编
（1）如图 9-2，当 AB OM 时，求证： AM AC ； （2）求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域； （3）当 OAC 为等腰三角形时，求 x 的值.
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（2018 年黄浦二模）
四边形 ABCD 中，∠BCD=∠D=90°，E 是边 AB 的中点.已知 AD=1，AB=2.
（1）设 BC=x，CD=y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域；
（2）当∠B=70°时，求∠AEC 的度数；
D
A
（3）当△ACE 为直角三角形时，求边 BC 的长.
（1）求证：BD 平分 ABC ；
（2）设 BE x ， CF y ，求 y 与 x 之间的函数关系式；
（3）联结 FG，当 △GEF 是等腰三角形时，求 BE 的长度．
A
A
D
D
F
G
B
E
C
B
C
（第 25 题图）
（备用图）
题型二、动点产生的相似综合 思路点拨： 1.首先寻找题目中特殊的条件和不变的量，并找出由条件引发的一些相等角、相等线 段等特殊 条件；（挖掘题目中的隐藏条件） 2.然后注意分类讨论，先找到对应相等的角，再决定分类讨论情况： 3.相似三角形的边如果能直接求出列等式最好，如果不能求出，注意转化相似（是否产生新的相 似、等腰、平行四边形等更特殊的条件）.
（2018 年静安二模）如图，平行四边形 ABCD 中，已知 AB 6 ， BC 9 ， cos ABC 1 ．对角线 AC 、 3
2018上海有关中考二模数学压轴题精选
24.(此题12分)如图,在平面直角坐标系中,以坐标原点O为圆心,2为半径画圆,P是..上一动点且在第一象限内,过点P作..的切线,与x、y轴分别交于点A、B.(1) 求证：△ OBP与4OPA相似；(2) 当点P为AB中点时,求出P点坐标；(3) 在..上是否存在一点Q,使得以Q、O、A、P为顶点的四边形是平行四边形.假设存在, 试求出Q点坐标；假设不存在,请说明理由.225.(此题14分)如图,抛物线y = ax +bx + c(a a 0)父x轴于A、B两点(A点在B点左侧),交y轴于点CoB (8, 0), n /AC =：, AABC的面积为8.(1) 求抛物线的解析式；(2) 假设动直线EF (EF//x轴)从点C开始,以每秒1个长度单位的速度沿y轴负方向平移,且交y轴、线段BC于E、F两点,动点P同时从点B出发,在线段OB上以每秒2个单位的速度向原点O运动.联结FP,设运动时间t秒.当t为何值时, 噩累的值最小,求出最大值；(3) 在满足(2)的条件下,是否存在t的值,使以P、B、F为顶点的三角形与△ABC相似.假设存在,试求出t的值；假设不存在,请说明理由.24.(此题总分值12分,每题各4分)〔1〕当点P 的横坐标为2时,求^ PMN 的面积； 〔2〕证实：MN || AB;〔如图 7〕〔3〕试问：△ OMN 能否为直角三角形？假设能,请求出此时点P 的坐标；假设不能,请说明理度关系如何？并〔2〕当△ 〔3 〕 设,矩形 OABC 在平面直角坐标系中位置如下图,A 的坐标〔4,0〕 , C 的坐标〔0,-2〕,直线2 _ ______ ____ _ _ y = —— x 与边BC 相父于点D ,3⑴求点D 的坐标；y|〔2〕抛物线y =ax 2+bx + c 经过点A 、D 、O,求此抛物线的表达式;⑶在这个抛物线上是否存在点M ,使O 、D 、A 、M顶点的四边形是梯形？假设存在,请求出所有符合条件的点 假设不存在,请说明理由.25.〔此题总分值14分,第〔1〕小题4分,第〔2〕小题5分,第〔3〕小题5：在 RtA ABC 中,/ ACB=90° , BC=6, AC=8,过点 A 作直线 MN 第24位A C ,点E 是直线MN 上的一个动点,〔1〕如图1,如果点E 是射线AM 上的一个动点〔不与点A 重合〕,联结CE 交AB 于点P.假设AE为X, AP 为y,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域;〔2〕在射线AM 上是否存在一点 E,使以点E 、A 、P 组成的三角形与^ ABC 相似,假设存在求 AE 的长,假设不存在,请说明理由；〔3〕如图2,过点B 作BDXMN,垂足为D ,以点C 为圆心,假设以 AC 为半径的.C 与以ED 为半径的.E 相切,求.E 的半径.124.〔此题12分〕点P 是函数y=— 21 ,、 x 〔x>0〕图像上一点,PA^x 轴于点A,交函数y=— 〔x>0〕 x图像于点M, PB^y 轴于点B,交函数y 1 ,=一〔x>0〕图像于点 N.〔点M 、N 不重合〕xOM 的坐标;C分BD 两人M 〔图9〕 O MEOPBE=x, CF=y,试求y 关于xC线段BE 与OE 的长求线段BE 的长； F N的函数解析式,并A DB说明理由；CEF 是等腰直角三角形时 N(1)试问写出函数定义域. (图8)(图9)24.(此题总分值12分,每题总分值各 6分)在直角坐标平面内, O 为原点,二次函数 y =—x 2+bx + c 的图像经过A (-1, 0)和点B (0,3),顶点为P .(1)求二次函数的解析式及点 P 的坐标；(2)如果点Q 是x 轴上一点,以点 A 、P 、Q 为顶点的三角形是直角三角形,求点Q 的坐标.25.(此题总分值14分,第(1)小题总分值4分,第(2)小题总分值4分,第(3)小题总分值6分) 如图8,在RtA ABC 中,/ C=90° , AC=BC , D 是AB 边上5「点,E 是在AC 边上的一个动点(与点 A 、C 不重合),DF ,DE , DF 与射线BC 相交于点F .4-(1)如图9,如果点D 是边AB 的中点,求证：DE = DF;3 B (2)如果 AD : DB=m,求 DE ： DF 的值；2(3)如果 AC=BC=6, AD : DB=1 ： 2,设 AE=x, BF=y., 1 '①求y 关于x 的函数关系式,并写出定义域［；；3 0 ； 2-4-3-2-10 । 乙②以CE 为直径的圆与直线 AB 是否可相切,假设可能,-录出此时由. -224.(此题总分值12分,第(1)小题6分,第(2)小题6卷) . 一 ___ __ __ ./X ..................................... — 一 — - 4" ____________ ZX. ..一 — 一如图,二次函数图檬的频点为坐标原点 O 、且经过点A (3, 3)/—次函数的图像经过点 A 和点 B (6, 0) . / \(1)求大%数与_少配次式；(2)/y 相县^ 点A,点D 而线段AC 上,与y 轴平行的直 线DE 与二科第图像相交于点 E, ZCDO=ZOED,求点D 的坐标.25.(此题总分值14分,第(1)小题6分,第 (2)小题2分,第(3)小题6分)在半彳仝为4的..中,点C 是以AB 为直 是射线AB 上的任意一点,DF//AB, DF 与CE 相交于点F ,设EF= x , DF= y .A ___ I ___ j ___ t ___ k_3 4 5 6 7 x x 的值,假设不可能,请说明理C径的半圆的中点,ODLAC,垂足为D,点E(1)如图1,当点E在射线OB上时,求y关于x的函数解析式,并写出函数定义域；(2)如图2,当点F在..上时,求线段DF的长；(3)如果以点E为圆心、EF为半径的圆与.O相切,求线段DF的长.24.(此题总分值12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y = x2bx c2经过点A(1,3), B(0,1).(1)求抛物线的表达式及其顶点坐标；(2)过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点①求△ ABC的面积；-5 -4 -3 -2 -1 0-1 C, -2-3-4-5形,BC=3, CD=2,〞其余条件不变〔如图 25-2〕,请直接写出条件改变后的函数解析式；〔3〕如果将问题1中的条件“四边形 ABCD 是正方形,BC =1〞进一步改为："四边形ABCD 是梯 如图,在^ ABC 中,AB = BC = 5, AC = 6, BOXAC,垂足为点 O.过点A 作射线 AE // BC, 点P 是边BC 上任意一点,联结 PO 并延长与射线 AE 相交于点Q,设B 、P 两点间的距离为x.〔1〕如图1,如果四边形 ABPQ 是平行四边形,求 x 的值；〔2〕过点Q 作直线BC 的垂线,垂足为点 R,当x 为何值时,△ PQRs^CBO? 〔3〕设^ AOQ 的面积为V,求y 与x 的函数关系式,并写出函数的定义域. 24.〔此题总分值12分,其中每题各 4分〕A 的坐标为〔-2, 0〕,点B 是点A 关于原点的对称点,P2 .是函数y= 〔x>0〕图像上的一点,且 4ABP 是直角二角 x 11〕求点P 的坐标；〔2〕如果二次函数的图像经过 A 、B 、P 三点,求这个 函数的解析式；〔3〕如果第〔2〕小题中求得的二次函数图像与 y 轴交 C,过该函数图像上的点 C 、点P 的直线与x 轴交于点D, 较/ BPD 与/ BAP 的大小,并说明理由.25.〔此题总分值14分,其中第〔1〕小题3分,第〔2〕小 分,第〔3〕小题6分〕如图,在矩形 ABCD 中,AB=3, BC=4, P 是边 长线上的一点,联接 AP 交边CD 于点E,把射线AP 沿 AD 翻折,交射线 CD 于点Q,设CP=x, DQ=y.〔1〕求y 关于x 的函数解析式,并写出定义域. 〔2〕当点P 运动时,4APQ 的面积是否会发生变化？②在y 轴上取一点 P,使^ ABP 与△ ABC 相似, 求满足条件的所有 P 点坐标. 25.〔此题总分值14分〕 数学课上,张老师出示了问题1:〔1〕经过思考,小明认为可以通过添加辅助线一一过点 个想法可行吗？请写出问题 1的答案及相应的推导过程；〔2〕如果将问题1中的条件“四边形 ABCD 是正方形, 24题图O 作OM ,BC ,垂足为M 求解.你认为这BC =1〞改为“四边形 ABCD 是平行四边 形,AD // BC, BC =a , 请你写出条件再次改变后24.〔此题共3小题,第〔 CD =b , AD =c 〔其中a , b , c 为常量〕〞其余条件不变〔如图 25-3〕, y 关于x 的函数解析式以及相应的推导过程.A1〕小题3分,第〔2〕小题4分,第〔3〕小题5分,7 y =-x 2+2x +1-m 与x 轴相交于 A 、B 两点,与y 轴相0, 3〕,顶点为点D,联结CD,抛物线的对称轴与图〔e5-9/ CDE 的度数；〔3〕在抛物线对称轴的右侧局部上是否存在一点△ PDC 是等腰三角形？如果存在,求出符合条件的点果不存在,请说明理由.25.〔此题共3小题,第〔1〕小题4分,第〔2〕、 分,P,使得 P 的坐_____B 一E x标；如〔3〕小题每〔第24题图〕小题5如图,在平面直角坐标系中,点形.二次 于点 试比 题 5 BC 延 直线如果发性知抛物线 irW ,1 EA如图, D图 25-3COy B"D 〔第25题生变化,请求出4APQ的面积S关于x的函数解析式,并写出定义域；如果不发生变化,请说明理由.〔3〕当以4为半径的.Q与直线AP相切,且.A与.Q也相切时,求.A的半径.A的坐标为〔2, 2〕,点B、C在x轴25.24. m〕与y轴交于点(1)(2)(3)求直线BC求经过A、设经过A、C.的解析式；B、C三点的二次函数的解析式；B、C三点的二次函数图像的顶点为D,对称轴与x轴的交点为E.问：在二次函数的对称轴上是否存在一点P,使以O、E、P为顶点的三角形与△ BCD相似？假设存在,请求出点P的坐标；假设不存在,请说明理由.如图,△ ABC中,AB=AC= J5, BC=4,点O在BC边上运z 径的圆与边AB交于点D 〔点A除外〕,设OB = x , AD = y .(1)(2)(3)求sin/ABC的值；求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域;当点O在BC边上运动时,O O是否可能与以C为圆心,1BC长为半彳5的.C相切？如果可能,请求出两圆相切时〔此题总分值12分,第〔1〕小题如图,在平面直角坐标系中,直线4x的值；如果不可能,请说明理由.y = -3x +3/ 4D 轴交干点24.如图,在平面直角坐标系中,点O为原点,点二次函数y = ax2— 4ax + c的图象经过点B和点C 〔-1, 0〕,顶点为P.上,BC=8, AB=AC , 1〕求点C、D的坐标; 2〕求图象经过B、D、及它的顶点坐标. 直线AC与y轴相交于点D. A三点的二次函数解析式25. 如图,SinZ ABC= 1 , O O的半径为2,3圆心O在射线BC上,..与射线BA相交于E、F两点,EF=223.(1)(2)如图,求BO的长；点P在射线BC上,以点P为圆心作圆,使得. 求所有满足条件的.P的半径.在梯形ABCD中,AD//BC , E、F分另是AB、P同时第24题与.O和射线DC边的中点,AB=4BA相切,,Z B= 6024. 〔1〕求点E到BC边的距离；〔2〕点P为线段EF上的一个动点,过P作PMLBC, 垂足为M,过点M作MN//AB交线段AD于点N , 联结PN.探究：当点P在线段EF上运动时, △ PMN的面积是否发生变化？假设不变,请求出△ PMN的面积；假设变化,请说明理由.如图,直线OA与反比例函数的图像交于点A〔3, 3〕, 向下平移直线OA,与反比例函数的图像交于点B〔6,CODAxDCMA N,以O为圆心,OA为半由、O CB4分,第〔2〕小题3分,第〔_2〕A］、题5分〕〔1〕求这个二次函数的解析式,并求出 P 点坐标；〔2〕假设点D 在二次函数图象的对称轴上,且 AD // BP,求PD 的长； 〔3〕在〔2〕的条件下,如果以 PD 为直径的圆与圆 O 相切,求圆O 的半径.25 .〔此题总分值14分,第〔1〕小题①4分,第〔1〕小题②5分,第〔2〕小题5分〕 如图,正方形 ABCD 中,AB=1,点P 是射线DA 上的一动点, DELCP,垂足为 巳 EF± BE 与射线DC 交于点F.〔1〕假设点P 在边DA 上〔与点D 、点A 不重合〕. ①求证：△ DEFs^CEB;②设AP=x, DF=y,求y 与x 的函数关系式,并写出函数定义域； ⑵当S 西=4S 年时,求AP 的长.〔3〕假设点E 在直线l 上,且以A 为圆心,AE 为半径的圆与.B 相切,求点E 的坐标.26 .〔此题总分值14分,第〔1〕题3分、第〔2〕题4分、第〔3〕题7分〕4如图,在等腰梯形 ABCD 中, AD // BC, AB=CD , AD=3 , BC=9 , tan/ABC =一, 3直线MN 是梯形的对称轴,点 P 是线段MN 上一个动点〔不与 M 、N 重合〕,射线BP 交线段CD 于点巳过点C 作CF//AB 交射线BP 于点F.2〔1〕求证：PC =PE PF ；（2） 设PN =X , CE = y,试建立y 和x 之间的函数关系式,并求出定义域； （3） 联结PD,在点P 运动过程中,如果 AEFC 和APDC 相似,求出PN 的长.224.直线y=kx+1与x 轴父于点 A,与y 轴父于点 B,与抛物线 y = ax -x + c 父于点 A 和 . 1 5 ........... 一、,点C 〔 — ,5〕,抛物线的顶点为 Do2 4〔1〕求直线和抛物线的解析式； 〔2〕求ABD 的面积.25.〔此题总分值14分,第〔1〕小题4分,第〔2〕小题6分,第〔3〕小题4分〕在等腰梯形 ABCD 中,AD//BC, AD=3 , AB=CD=4, BC=5, / B 的平6淡交 DC 于点E,交AD 的 延长线于点F .——1——1-------- :---- 1-----,…心 ,,一,,、一,O , 、 r x〔1〕如图〔1〕,假设/ C 的平分线交BE 于点G,写出图中所有的相似三有步〔不必证实〕 〔2〕在〔1〕的条件下求BG 的长；〔1〕求直线l 胖 A ,点 B 在x 地上,以3为半径的.B 与y 轴相切,直线l 过C.〔2〕假设抛物线y =2 ., B A 一,. . B ................ .....ax +bx + c 〔a >0〕经过点O 和B ,顶点在.B 上,求抛物线的解析式;C〔3〕题各4循24.〔此题总分值分7 角坐标系中点A(—2,0 ),且和相交于点 解析式;：如图, P(3)假设点P为BE上动点,以点P为圆心,BP为半径的.P与线段BC交于点Q (如图(2)),请直接写出当BP 取什么范围内值时,①点A在OP内；②点A在OP内而点E在OP外.22 .(此题总分值10分,每题总分值各5分) y：如图四,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点, 小以y轴负半轴上一点A为圆心,5为半径作圆A,交x轴于点B、点C,交y轴于点D、点E, tan/DBO=2求：(1)点D的坐标;(2)直线CD的函数解析式.23 .(此题总分值12分,每题总分值各6分)：如图五,在等腰梯形ABCD中,AD//BC, AB= DC , 点E为边BC上一点,且AE=DC.(1)求证：四边形AECD是平行四边形；(2)当/ B = 2/DCA时,求证：四边形AECD是菱形.24.(此题总分值12分,第(1)小题总分值3分,第(2)小题总分值4分,第(3)小题总分值5分)：如图六,抛物线的顶点为点D,与y轴相交于点A,直线y= ax+3与y轴也交于点A,矩形ABCO的顶点B在此抛物线上,矩形面积为12.(1)求该抛物线的对称轴；(2) O P是经过A、B两点的一个动圆,当. P与y轴D相交,且在y轴上两交点的距离为4时,求圆心P的坐标；y((3)假设线段DO与AB交于点E,以点D、A、E为顶点的三角形是否有可能与以点D、O、A为顶点的三角形相似, / \ ) 如果有可能,请求出点D坐标及抛物线解析式；如果不可能, / \请说明理由. 7~O--------------------------- C -------- \x25.(此题总分值14分,第(1)小题总分值5分,第(2)小题总分值44分,第(3小题总分值5分)如图七,在直角坐标平面内有点A(6, 0), B(0, 8), C(-4, 0),点M、N分别为线段AC和射线AB上的动点,点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动,点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动, MN交OB于点P. x \y(1)求证：MN : NP为定值；\B(2)假设△ BNP与^ MNA相似,求CM的长；\ ((3)假设4BNP是等腰三角形,求CM的长. '"\ 单-2。
(完整版)2018上海市黄浦区2018届中考二模数学试题含答案,推荐文档
（A） y kx k ；
（B） y kx k ；
（C） y kx k ；
（D） y kx k ．
4．一个民营企业 10 名员工的月平均工资如下表，则能较好反映这些员工月平均工资水平的是（ ）
人次
1
1
1
2
1
1
3
工资
30
3
2
1.5
1.2
2
24．（本题满 12 分）
已知抛物线 y x2 bx c 经过点 A（1,0）和 B（0,3），其顶点为 D.
（1）求此抛物线的表达式； （2）求△ABD 的面积； （3）设 P 为该抛物线上一点，且位于抛物线对称轴 右侧，作 PH⊥对称轴，垂足为 H，若△DPH 与△AOB 相 似，求点 P 的坐标.
P，则该反比例函数的解析式为
．
12．如果一次函数的图像经过第一、二、四象限，那么其函数值 y 随自变量 x 的值的增大而
．
（填“增大”或“减小”）
13．女生小琳所在班级共有 40 名学生，其中女生占 60%.现学校组织部分女生去市三女中参观，需要
从小琳所在班级的女生当中随机抽取一名女生参加，那么小琳被抽到的概率是
那么 AD∶AB=
．
三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分）
19．（本题满分 10 分）
1
计算： 22 23 2
0
2018 2018 3 2 3 .
20．（本题满分 10 分）
第3页
x2 2xy y2 9
解方程组：
x
2
y2
5
.
21．（本题满分 10 分）
2
如图，AH 是△ABC 的高，D 是边 AB 上一点，CD 与 AH 交于点 E.已知 AB=AC=6，cosB= ，
上海市各区2018届中考数学二模试卷精选汇编压轴题专题(有答案)
上海市各区2018届九年级中考二模数学试卷精选汇编：压轴题专题宝山区、嘉定区25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）在圆O 中，AO 、BO 是圆O 的半径，点C 在劣弧AB 上，10=OA，12=AC ，AC ∥OB ，联结AB . （1）如图8，求证：AB 平分OAC ∠；（2）点M 在弦AC 的延长线上，联结BM ，如果△AMB 是直角三角形，请你在如图9中画出 点M 的位置并求CM 的长；（3）如图10，点D 在弦AC 上，与点A 不重合，联结OD 与弦AB 交于点E ，设点D 与点C 的 距离为x ，△OEB 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.25.（1）证明：∵AO 、BO 是圆O 的半径 ∴BO AO =…………1分 ∴B OAB ∠=∠…………1分 ∵AC ∥OB∴B BAC ∠=∠…………1分 ∴BAC OAB ∠=∠∴AB 平分OAC ∠…………1分 (2)解：由题意可知BAM ∠不是直角，所以△AMB 是直角三角形只有以下两种情况:︒=∠90AMB 和︒=∠90ABM① 当︒=∠90AMB ，点M 的位置如图9-1……………1分 过点O 作AC OH ⊥,垂足为点H图8图10图8∵OH 经过圆心 ∴AC HC AH 21== ∵12=AC ∴6==HC AH 在Rt △AHO 中，222OA HO AH =+ ∵10=OA ∴8=OH∵AC ∥OB ∴︒=∠+∠180OBM AMB ∵︒=∠90AMB ∴︒=∠90OBM ∴四边形OBMH 是矩形 ∴10==HM OB∴4=-=HC HM CM ……………2分 ②当︒=∠90ABM ，点M 的位置如图9-2 由①可知58=AB ，552cos =∠CAB 在Rt △ABM 中，552cos ==∠AM AB CAB∴20=AM8=-=AC AM CM ……………2分综上所述，CM 的长为4或8.说明：只要画出一种情况点M 的位置就给1分，两个点都画正确也给1分. （3）过点O 作AB OG ⊥,垂足为点G 由（1）、（2）可知，CAB OAG ∠=∠sin sin 由（2）可得：55sin =∠CAB ∵10=OA ∴52=OG ……………1分 ∵AC ∥OB ∴ADOBAE BE =……………1分 又BE AE -=58,x AD -=12,10=OB ∴xBEBE -=-121058 ∴x BE -=22580 ……………1分∴52225802121⨯-⨯=⨯⨯=xOG BE y ∴xy -=22400……………1分自变量x 的取值范围为120<≤x ……………1分图10长宁区25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）在圆O 中，C 是弦AB 上的一点，联结OC 并延长，交劣弧AB 于点D ，联结AO 、BO 、AD 、BD . 已知圆O 的半径长为5 ，弦AB 的长为8．（1）如图1，当点D 是弧AB 的中点时，求CD 的长； （2）如图2，设AC =x ，y S S OBDACO=∆∆，求y 关于x 的函数解析式并写出定义域； （3）若四边形AOBD 是梯形，求AD 的长．25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分） 解：（1）∵OD 过圆心，点D 是弧AB 的中点，AB =8， ∴OD ⊥AB ，421==AB AC （2分） 在Rt △AOC 中，︒=∠90ACO Θ，AO =5， ∴322=-=AC AO CO （1分）5=OD Θ，2=-=∴OC OD CD （1分）（2）过点O 作OH ⊥AB ，垂足为点H ，则由（1）可得AH =4，OH =3 ∵AC =x ，∴|4|-=x CH在Rt △HOC 中，︒=∠90CHO Θ，AO =5， ∴258|4|322222+-=-+=+=x x x HC HO CO ， （1分）∴525882+-⋅-=⋅=⋅==∆∆∆∆∆∆x x x x OD OC BC AC S S S S S S y OBD OBC OBC ACO OBD ACO O AC DBO BA C DBAOxx x x 5402582-+-= （80<<x ） （3分）（3）①当OB //AD 时， 过点A 作AE ⊥OB 交BO 延长线于点E ，过点O 作OF ⊥AD ,垂足为点F ， 则OF =AE ， AE OB OH AB S ABO ⋅=⋅=∆2121Θ ∴OF OB OH AB AE ==⋅=524 在Rt △AOF 中，︒=∠90AFO Θ，AO =5， ∴5722=-=OF AO AF ∵OF 过圆心，OF ⊥AD ，∴5142==AF AD . （3分） ②当OA //BD 时， 过点B 作BM ⊥OA 交AO 延长线于点M ，过点D 作DG ⊥AO ，垂足为点G ， 则由①的方法可得524==BM DG ， 在Rt △GOD 中，︒=∠90DGO Θ，DO =5， ∴5722=-=DG DO GO ，518575=-=-=GO AO AG ， 在Rt △GAD 中，︒=∠90DGA Θ，∴622=+=DG AG AD （ 3分）综上得6514或=AD 崇明区25．（本题满分14分，第(1)小题4分，第(2)小题4分，第(3)小题6分）如图，已知ABC △中，8AB =，10BC =，12AC =，D 是AC 边上一点，且2AB AD AC =⋅，联结BD ，点E 、F 分别是BC 、AC 上两点（点E 不与B 、C 重合），AEF C ∠=∠，AE 与BD 相交于点G ． （1）求证：BD 平分ABC ∠；（2）设BE x =，CF y =，求y 与x 之间的函数关系式； （3）联结FG ，当GEF △是等腰三角形时，求BE 的长度．25．（满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）（第25题图）A BCDGEF（备用图）ABCD（1）∵8AB =，12AC = 又∵2AB AD AC =g ∴163AD =∴16201233CD =-= ……………………………1分 ∵2AB AD AC =g ∴AD AB AB AC= 又∵BAC ∠是公共角 ∴ADB ABC △∽△ …………………………1分 ∴ABD C =∠∠，BD ADBC AB= ∴203BD =∴BD CD = ∴DBC C =∠∠ ………………………1分 ∴ABD DBC =∠∠ ∴BD 平分ABC ∠ ………………………1分 （2）过点A 作AH BC ∥交BD 的延长线于点H∵AH BC ∥ ∴16432053AD DH AH DC BD BC ==== ∵203BD CD ==，8AH = ∴163AD DH == ∴12BH = ……1分 ∵AH BC ∥ ∴AH HG BE BG = ∴812BG x BG -= ∴128xBG x =+…1分 ∵BEF C EFC =+∠∠∠ 即BEA AEF C EFC +=+∠∠∠∠ ∵AEF C =∠∠ ∴BEA EFC =∠∠ 又∵DBC C =∠∠∴BEG CFE △∽△ ……………………………………………………………1分∴BE BGCF EC= ∴12810x x x y x +=-∴228012x x y -++= …………………………………………………………1分（3）当△GEF 是等腰三角形时，存在以下三种情况：1° GE GF = 易证23GE BE EF CF == ，即23x y =，得到4BE = ………2分 2° EG EF = 易证BE CF =，即x y =，5BE =-+…………2分 3° FG FE = 易证 32GE BE EF CF == ，即32x y =3BE =-+ ………2分奉贤区25．（本题满分14分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分4分）已知：如图9，在半径为2的扇形AOB 中，∠AOB=90°，点C 在半径OB 上，AC 的垂直平分线交OA 于点D ，交弧AB 于点E ，联结BE 、CD ．（1）若C 是半径OB 中点，求∠OCD 的正弦值； （2）若E 是弧AB 的中点，求证：BC BO BE ⋅=2；（3）联结CE ，当△DCE 是以CD 为腰的等腰三角形时，求CD 的长．图9备用图ABO备用图ABO黄浦区25．（本题满分14分）如图，四边形ABCD中，∠BCD=∠D=90°，E是边AB的中点.已知AD=1，AB=2.（1）设BC=x，CD=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（2）当∠B=70°时，求∠AEC的度数；（3）当△ACE为直角三角形时，求边BC的长.25. 解：（1）过A作AH⊥BC于H，————————————————————（1分）由∠D=∠BCD=90°，得四边形ADCH为矩形.在△BAH 中，AB =2，∠BHA =90°，AH =y ，HB =1x -，所以22221y x =+-，——————————————————————（1分） 则()22303y x x x =-++<<.———————————————（2分）（2）取CD 中点T ，联结TE ，————————————————————（1分） 则TE 是梯形中位线，得ET ∥AD ，ET ⊥CD .∴∠AET =∠B =70°. ———————————————————————（1分） 又AD =AE =1，∴∠AED =∠ADE =∠DET =35°. ——————————————————（1分） 由ET 垂直平分CD ，得∠CET =∠DET =35°，————————————（1分） 所以∠AEC =70°＋35°=105°. ——————————————————（1分）（3）当∠AEC =90°时，易知△CBE ≌△CAE ≌△CAD ，得∠BCE =30°， 则在△ABH 中，∠B =60°，∠AHB =90°，AB =2，得BH =1，于是BC =2. ——————————————————————（2分）当∠CAE =90°时，易知△CDA ∽△BCA ，又2224AC BC AB x =-=-，则2241174AD CAx x AC CBx -±=⇒=⇒=-（舍负）—————（2分） 易知∠ACE <90°.所以边BC 的长为2或117+.——————————————————（1分）金山区25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5 分）如图9，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC =AD =5，3sin 5B =，P 是线段BC 上 一点，以P 为圆心，PA 为半径的⊙P 与射线AD 的另一个交点为Q ，射线PQ 与射线CD 相交于点E ，设BP =x ．（1）求证△ABP ∽△ECP ；（2）如果点Q 在线段AD 上（与点A 、D 不重合），设△APQ 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （3）如果△QED 与△QAP 相似，求BP 的长．25．解：（1）在⊙P 中，PA =PQ ，∴∠PAQ ＝∠PQA ，……………………………（1分）∵AD ∥BC ，∴∠PAQ ＝∠APB ，∠PQA ＝∠QPC ，∴∠APB ＝∠EPC ，……（1分） ∵梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ，∴∠B ＝∠C ，…………………………（1分） ∴△APB ∽△ECP ．…………………………………………………………（1分） （2）作AM ⊥BC ，PN ⊥AD ，∵AD ∥BC ，∴AM ∥PN ，∴四边形AMPN 是平行四边形，∴AM =PN ，AN =MP ．………………………………………………………（1分） 在Rt △AMB 中，∠AMB =90°，AB =5，sinB =35， ∴AM =3，BM =4，∴PN =3，PM =AN =x -4，……………………………………（1分） ∵PN ⊥AQ ，∴AN =NQ ，∴AQ = 2x -8，……………………………………（1分） ∴()1128322y AQ PN x =⋅⋅=⋅-⋅，即312y x =-，………………………（1分） 定义域是1342x <<．………………………………………………………（1分） （3）解法一：由△QED 与△QAP 相似，∠AQP ＝∠EQD ，①如果∠PAQ ＝∠DEQ ，∵△APB ∽△ECP ，∴∠PAB ＝∠DEQ ，又∵∠PAQ ＝∠APB ，∴∠PAB ＝∠APB ，∴BP =BA =5．………………………（2分）ABCD图9备用图②如果∠PAQ ＝∠EDQ ，∵∠PAQ ＝∠APB ，∠EDQ ＝∠C ，∠B ＝∠C ，∴∠B ＝∠APB ，∴ AB =AP ，∵AM ⊥BC ，∴ BM =MP =4，∴ BP =8．………（2分） 综上所述BP 的长为5或者8．………………………………………………（1分） 解法二：由△QAP 与△QED 相似，∠AQP ＝∠EQD ， 在Rt △APN 中，AP PQ ===∵QD ∥PC ，∴EQ EPQD PC=， ∵△APB ∽△ECP ，∴AP EPPB PC=，∴AP EQ PB QD =， ①如果AQ EQ QP QD =，∴AQ AP QP PB =x=，解得5x =………………………………………………………………………（2分） ②如果AQ DQ QP QE =，∴AQ PBQP AP==解得8x =………………………………………………………………………（2分） 综上所述BP 的长为5或者8．…………………………………………………（1分）静安区25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分4分） 如图，平行四边形ABCD 中，已知AB =6，BC =9，31cos =∠ABC ．对角线AC 、BD 交于点O ．动点P 在边AB 上，⊙P 经过点B ,交线段PA 于点E ．设BP = x ．（1） 求AC 的长；（2） 设⊙O 的半径为y ，当⊙P 与⊙O 外切时， 求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3） 如果AC 是⊙O 的直径，⊙O 经过点E ， 求⊙O 与⊙P 的圆心距OP 的长．25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分） 解：（1）作AH ⊥BC 于H ，且31cos =∠ABC ，AB =6， A 第25题图B P OC DE · 第25题备用图ABOCDDA · POE那么2316cos =⨯=∠⋅=ABC AB BH …………（2分） BC =9，HC =9-2=7，242622=-=AH ， ……………………（1分） 9493222=+=+=HC AH AC ﹒ ………（1分）（2）作OI ⊥AB 于I ，联结PO , AC =BC =9，AO =4.5 ∴∠OAB =∠ABC ,∴Rt △AIO 中， 31cos cos ==∠=∠AO AI ABC IAO∴AI =1.5，IO =2322=AI ……………………（1分） ∴PI =AB -BP -AI =6-x -1.5=x -29， ……………………（1分） ∴Rt △PIO 中，41539481918)29()23(2222222+-=+-+=-+=+=x x x x x OI PI OP ……（1分） ∵⊙P 与⊙O 外切，∴y x x x OP +=+-=415392 ……………………（1分） ∴y =x x x x x x -+-=-+-153364214153922…………………………（1分） ∵动点P 在边AB 上，⊙P 经过点B ,交线段PA 于点E ．∴定义域：0<x ≤3…………（1分） （3）由题意得：∵点E 在线段AP 上，⊙O 经过点E ，∴⊙O 与⊙P 相交 ∵AO 是⊙O 半径，且AO ＞OI ，∴交点E 存在两种不同的位置，OE =OA =29① 当E 与点A 不重合时，AE 是⊙O 的弦，OI 是弦心距，∵AI =1.5，AE =3， ∴点E 是AB 中点，321==AB BE ,23==PE BP ,3=PI , IO =23 3327)23(32222==+=+=IO PI OP ……………………（2分）② 当E 与点A 重合时，点P 是AB 中点，点O 是AC 中点,2921==BC OP ……（2分） ∴33=OP 或29． 闵行区25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）如图，已知在Rt △ABC 中，∠ACB = 90o，AC =6，BC = 8，点F 在线段AB 上，以点B 为圆心，BF 为半径的圆交BC 于点E ，射线AE 交圆B 于点D （点D 、E 不重合）．（1）如果设BF = x ，EF = y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出它的定义域；第25题图(2)（2）如果»»2EDEF =，求ED 的长； （3）联结CD 、BD ，请判断四边形ABDC 是否为直角梯形？说明理由．25．解：（1）在Rt △ABC 中，6AC =，8BC =，90ACB ∠=o∴10AB =．……………………………………………………………（1分） 过E 作EH ⊥AB ，垂足是H ， 易得：35EH x =，45BH x =，15FH x =．…………………………（1分） 在Rt △EHF 中，222223155EF EH FH x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴(08)y x x =<<．………………………………………（1分+1分） （2）取»ED的中点P ，联结BP 交ED 于点G ∵»»2EDEF =，P 是»ED 的中点，∴»»»EP EF PD ==． ∴∠FBE =∠EBP =∠PBD ．∵»»EPEF =，BP 过圆心，∴BG ⊥ED ，ED =2EG =2DG ．…………（1分） 又∵∠CEA =∠DEB ，∴∠CAE =∠EBP =∠ABC ．……………………………………………（1分）又∵BE 是公共边，∴BEH BEG ∆∆≌．∴35EH EG GD x ===．在Rt △CEA 中，∵AC = 6，8BC =，tan tan AC CECAE ABC BC AC∠=∠==， ∴66339tan 822CE AC CAE ⨯⨯=⋅∠===．……………………………（1分） （备用图）CBA （第25题图）CBEF DADEBACF∴9169782222BE =-=-=．……………………………………………（1分） ∴6672125525ED EG x ===⨯=．……………………………………（1分）（3）四边形ABDC 不可能为直角梯形．…………………………………（1分）①当CD ∥AB 时，如果四边形ABDC 是直角梯形， 只可能∠ABD =∠CDB = 90o． 在Rt △CBD 中，∵8BC =， ∴32cos 5CD BC BCD =⋅∠=， 24sin 5BD BC BCD BE =⋅∠==． ∴321651025CD AB ==，328153245CE BE -==； ∴CD CEAB BE≠． ∴CD 不平行于AB ，与CD ∥AB 矛盾．∴四边形ABDC 不可能为直角梯形．…………………………（2分） ②当AC ∥BD 时，如果四边形ABDC 只可能∠ACD =∠CDB = 90o． ∵AC ∥BD ，∠ACB = 90o， ∴∠ACB =∠CBD = 90o ． ∴∠ABD =∠ACB +∠BCD > 90o． 与∠ACD =∠CDB = 90o矛盾．∴四边形ABDC 不可能为直角梯形．…………………………（2分）普陀区25．（本题满分14分）已知P 是O ⊙的直径BA 延长线上的一个动点，P ∠的另一边交O ⊙于点C 、D ，两点位于AB 的上方，AB ＝6，OP m ＝，1sin 3P ＝，如图11所示．另一个半径为6的1O ⊙经过点C 、D ，圆心距1OO n ＝．（1）当6m ＝时，求线段CD 的长；（2）设圆心1O 在直线AB 上方，试用n 的代数式表示m ；（3）△1POO 在点P 的运动过程中，是否能成为以1OO 为腰的等腰三角形，如果能，试求出此时n 的值；如果不能，请说明理由．DEBACFDC25．解：（1）过点O 作OH ⊥CD ，垂足为点H ，联结OC ．在Rt △POH 中，∵1sin 3P ＝，6PO =，∴2OH =． ········· （1分） ∵AB ＝6，∴3OC ＝． ······················ （1分）由勾股定理得 CH = ····················· （1分）∵OH ⊥DC ，∴2CD CH == ················ （1分） （2）在Rt △POH 中，∵1sin 3P ＝， PO m ＝，∴3mOH ＝． ········ （1分） 在Rt △OCH 中，2293m CH ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝． ················ （1分）在Rt △1O CH 中，22363m CH n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝． ·············· （1分）可得 2236933m m n ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝，解得23812n m n -＝． ········· （2分）（3）△1POO 成为等腰三角形可分以下几种情况：● 当圆心1O 、O 在弦CD 异侧时①1OP OO ＝，即m n ＝，由23812n n n-＝解得9n ＝． ········· （1分）即圆心距等于O ⊙、1O ⊙的半径的和，就有O ⊙、1O ⊙外切不合题意舍去．（1分）②11O P OO ＝n ＝，解得23m n ＝，即23n 23812n n -＝，解得n ·········· （1分） ● 当圆心1O 、O 在弦CD 同侧时,同理可得 28132n m n-＝．∵1POO ∠是钝角，∴只能是m n =，即28132n n n-＝，解得n ． ·· （2分）综上所述，n ．青浦区25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）如图9-1，已知扇形MON，∠MON=90o，点B在弧MN上移动，联结BM，作OD⊥BM，垂足为点D，C为线段OD上一点，且OC=BM，联结BC并延长交半径OM于点A，设OA= x，∠COM的正切值为y．（1）如图9-2，当AB⊥OM时，求证：AM =AC；（2）求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）当△OAC为等腰三角形时，求x的值.25．解：（1）∵OD⊥BM，AB⊥OM，∴∠ODM =∠BAM=90°．··········（1分）∵∠ABM +∠M =∠DOM +∠M，∴∠ABM =∠DOM．·········（1分）∵∠OAC=∠BAM，OC =BM，∴△OAC≌△ABM，······················（1分）∴AC =AM．·························（1分）（2）过点D作DE//AB，交OM于点E．················（1分）∵OB＝OM，OD⊥BM，∴BD＝DM．················（1分）∵DE//AB，∴=MD MEDM AE，∴AE＝EM，∵OM，∴AE＝)12x．················（1分）∵DE//AB，∴2==OA OC DMOE OD OD，···················（1分）∴2=DM OAOD OE，∴=y（0<≤x·················（2分）（3）（i）当OA=OC时，∵111222===DM BM OC x，O MNDCBA图9-1ONDCBA图9-2NMO备用图在Rt △ODM中，==OD =DM y OD，1=x=x=x ．（2分） （ii ）当AO =AC 时，则∠AOC =∠ACO ，∵∠ACO >∠COB ，∠COB =∠AOC ，∴∠ACO >∠AOC ，∴此种情况不存在． ····················· （1分） （ⅲ）当CO =CA 时，则∠COA =∠CAO=α，∵∠CAO >∠M ，∠M =90α︒-，∴α>90α︒-，∴α>45︒，∴290α∠=>︒BOA ，∵90∠≤︒BOA ，∴此种情况不存在． ·· （1分）松江区25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题每个小题各5分）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =2，AC =3，以点C 为圆心、CB 为半径的圆交AB 于点D ，过点A 作AE ∥CD ，交BC 延长线于点E.（1）求CE 的长；（2）P 是 CE 延长线上一点，直线AP 、CD 交于点Q.① 如果△ACQ ∽△CPQ ，求CP 的长；② 如果以点A 为圆心，AQ 为半径的圆与⊙C 相切，求CP 的长.25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题每个小题各5分） 解：（1）∵AE ∥CD∴BC DC BE AE=…………………………………1分 ∵BC=DC∴BE=AE …………………………………1分 设CE =x(第25题图)CBA DE(备用图)CBADECBA DE则AE =BE =x +2 ∵ ∠ACB =90°， ∴222AC CE AE +=即229(2)x x +=+………………………1分 ∴54x =即54CE =…………………………………1分 （2）①∵△ACQ ∽△CPQ ，∠QAC>∠P∴∠ACQ=∠P …………………………………1分 又∵AE ∥CD ∴∠ACQ=∠CAE∴∠CAE=∠P ………………………………1分 ∴△ACE ∽△PCA ，…………………………1分 ∴2AC CE CP =⋅…………………………1分 即2534CP =⋅ ∴365CP =……………………………1分 ②设CP =t ，则54PE t =- ∵∠ACB =90°，∴AP ∵AE ∥CD ∴AQ ECAP EP=……………………………1分5545454t t ==--∴AQ =1分若两圆外切，那么1AQ == 此时方程无实数解……………………………1分CBA DEPQ若两圆内切切，那么2595t AQ +== ∴21540160t t -+= 解之得2041015t ±=………………………1分又∵54t >∴2041015t +=………………………1分徐汇区25. 已知四边形ABCD 是边长为10的菱形，对角线AC 、BD 相交于点E ，过点C 作CF ∥DB 交AB 延长线于点F ，联结EF 交BC 于点H . （1）如图1，当EF BC ⊥时，求AE 的长；（2）如图2，以EF 为直径作⊙O ，⊙O 经过点C 交边CD 于点G （点C 、G 不重合），设AE 的长为x ，EH 的长为y ；① 求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；③ 联结EG ，当DEG ∆是以DG 为腰的等腰三角形时，求AE 的长.杨浦区25、（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）如图9，在梯形ABCD中，AD//BC,AB=DC=5，AD=1，BC=9，点P为边BC上一动点，作PH⊥DC，垂足H在边DC上，以点P为圆心PH为半径画圆，交射线PB于点E.（1）当圆P过点A时，求圆P的半径；（2）分别联结EH和EA，当△ABE△CEH时，以点B为圆心，r为半径的圆B与圆P相交，试求圆B的半径r的取值范围；（3）将劣弧沿直线EH翻折交BC于点F，试通过计算说明线段EH和EF的比值为定值，并求出此定值。
2018徐汇区初三数学二模卷及答案解析
2018年徐汇区初三数学二模卷（满分150分，考试时间100分钟） 2018.4考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．下列算式的运算结果正确的是 A. 326m m m ⋅=； B. 532m m m ÷=（0m ≠）；C. 235()m m --=；D. 422m m m -=．2．直线31y x =+不经过的象限是A ．第一象限；B ．第二象限；C ．第三象限；D ．第四象限．3 ．如果关于x 的方程210x +=有实数根，那么k 的取值范围是A ．0k >；B ．0k ≥；C ．4k >；D ．4k ≥． 4．某射击选手10次射击的成绩统计结果如下表，这10次成绩的众数、中位数分别是A ．45°；B ．60°；C ．120°；D ．135°． 6．下列说法中，正确的个数共有（1）一个三角形只有一个外接圆； （2）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形； （3）在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等； （4）三角形的内心到该三角形三个顶点距离相等．A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．4个． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） [请将结果直接填入答题纸的相应位置]7．函数12y x =-的定义域是 ▲ . 8．在实数范围内分解因式：22x y y - = ▲ .92=的解是 ▲ ．10．不等式组2672x x -≥⎧⎨+>-⎩的解集是 ▲ .11．已知点1(,)A a y 、2(,)B b y 在反比例函数3y x=的图像上.如果0a b <<，那么1y 与2y 的大小关系是：1y ▲ 2y .12．抛物线2242y x x =+-的顶点坐标是 ▲ .13．四张背面完全相同的卡片上分别写有0.3g、227四个实数，如果将卡片字面朝下随意放在桌子上，任意取一张，那么抽到有理数的概率为 ▲ ．14．在△ABC 中，点D 在边BC 上，且BD:DC=1:2.如果设a AB =，AC b =uuu r r，那么BD uuu r 等于 ▲ （结果用a r 、b r的线性组合表示）.15．如图，为了解全校300名男生的身高情况，随机 抽取若干男生进行身高测量，将所得数据（精确到1cm ） 整理画出频数分布直方图（每组数据含最低值，不含 最高值），估计该校男生的身高在170cm ﹣175cm 之间 的人数约有 ▲ 人．16．已知两圆相切，它们的圆心距为3，一个圆的半径是4，那么另一个圆的半径是 ▲ . 17．从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，该顶点与该交点间的线段把这个三角形分割成两个小三角形.如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个与原三角形相似，那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．如图，在△ ABC 中，DB =1，BC =2，CD 是△ ABC 的完美分割线，且△ ACD 是以CD 为底边的等腰三角形，则CD 的长为 ▲ .18．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =5，BC =3．点P 、Q 分别在边BC 、AC 上，PQ ∥AB ．把△PCQ 绕点P 旋转得到△PDE （点C 、Q 分别与点D 、E 对应），点D 落在线段PQ 上，若AD 平分∠BAC ，则CP 的长为 ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）()011() 3.1442π-+--+．20．（本题满分10分）解分式方程：2216124xx x-+=+-．21．（本题满分10分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，3AC=，4BC=，AD平分∠BAC交BC于点D．（1）求tan∠DAB；（2）若⊙O过A、D两点，且点O在边AB上，用尺规作图的方法确定点O的位置并求出⊙O的半径（保留作图痕迹，不写作法）．22．（本题满分10分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分7分）“五一”期间小明和小丽相约到苏州乐园游玩，小丽乘私家车从上海出发30分钟后，小明乘坐火车从上海出发，先到苏州北站，然后再乘出租车去游乐园（换乘时间忽略不计），两人恰好同时到达苏州乐园，他们离上海的距离y（千米）与乘车时间t（小时）的关系如图所示．请结合图像信息解决下面问题：（1）本次火车的平均速度是▲千米/小时？（2）当小明到达苏州北站时，小丽离苏州乐园的距离还有多少千米？l3ll23．（本题满分12分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，BD=BC．点E在对角线BD上，且∠DCE=∠DBC．（1）求证：AD=BE；（2）延长CE交AB于点F，如果CF⊥AB，求证：4EF⋅FC=DE⋅BD．24．（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分3分，第（3）小题满分6分）如图，已知直线122y x=-+与x轴、y轴分别交于点B、C，抛物线212y x bx c=-++过点B、C，且与x轴交于另一点A．（1）求该抛物线的表达式；（2）点M是线段BC上一点，过点M作直线l∥y轴交该抛物线于点N，当四边形OMNC是平行四边形时，求它的面积；（3）联结AC，设点D是该抛物线上的一点，且满足∠DBA=∠CAO，求点D的坐标．25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题①满分4分，第（2）小题②满分6分）已知四边形ABCD是边长为10的菱形，对角线AC、BD相交于点E，过点C作CF//DB交AB延长线于点F，联结EF交BC于点H．（1）如图1，当EF⊥BC时，求AE的长；（2）如图2，以EF为直径作⊙O，⊙O经过点C交边CD于点G（点C、G不重合），设AE的长为x，EH的长为y．①求y关于x的函数关系式，并写出定义域；②联结EG，当△DEG是以DG为腰的等腰三角形时，求AE的长．第24题图第25题图2018年第二学期徐汇区学习能力诊断卷参考答案2018.4一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.B；2.D；3.D；4.B；5.A；6．C．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．2x≠的一切实数；8．(y x x；9．7x=；10．93x-<≤-；11．>；12．(1,4)--；13．34；14．1133a b-+r r；15．72；16．1或7；17．32；18．2．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．解：原式214=+-+-………………………………………（8分）32+=……………………………………………………………（2分）20．解：方程两边同时乘以(2)(2)x x+-得：2280x x--=…………………………………………………………（3分）解得：12x=-，24x=………………………………………………（3分）经检验，2x=-是原方程的增根，4x=是原方程的根………………（2分）所以，原方程的解是4x=21．解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，过点D作DE⊥AB于点E，∵AD平分∠BAC，∠C=90°，AD=AD∴()ACD AED A A S∆≅⋅⋅V∴DC=DE，AC=AE=3，∴BE=2Rt△ABC中，3tan4ACBBC==在Rt△BDE中，3tan4DEBBE==，∴DE =32…………………………………（1分）∴1tan 2DE DAB AE ∠==………………………………………………………（1分） （2）作图正确……………………………………………………………………………（2分）联结OD ，设⊙O 的半径为r ，∵AO =OD ，∴∠OAD =∠ODA ，∵AD 平分∠BAC ，∴∠OAD =∠DAC ，∴∠ODA =∠DAC ，∴OD ∥AC …………………………………………………（2分） ∴OB OD AB AC =，即553r r -=，解得15.8r =……………………………………（1分）22．解：（1）180千米/小时……………………………………………………………（3分）（2）设2l 的解析式为(0)y kt b k =+≠，当0.5t =时，y=0；当t=1时，y=90，得：0.5090k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：18090k b =⎧⎨=-⎩，18090y t =-．…………………………（3分）故把56t =代入18090y t =-，得y =60， ……………………………………（1分） 设1l 的解析式(0)y at a =≠，当56t =时，y =60，得：5606a =∴a =72，∴y =72t ，………………………………………………………………（1分） 当t =1，y =72，∴120-72=48（千米）…………………………………………（2分） 答：当小明到达苏州北站时，小丽离苏州乐园的距离还有48千米……………（2分） 23.证明：(1)∵在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD ，∴∠ABC =∠DCB ，………………………………………………………………（1分） ∵∠DCE =∠DBC ，∴∠ABD =∠ECB ．………………………………………（1分） ∵AD ∥BC ，∴∠ADB =∠EBC ，……………………………………………（1分） ∵BD =BC ，∴ABD ∆≌()ECB A S A ⋅⋅V …………………………………（2分） ∴AD BE =．(2)联结AC ，∵AD ∥BC ，AB =CD ，∴AC =BD ，∵BD =BC ，∴AC=BC ．………………………………………（1分）∵CF ⊥AB ，∴AF =BF =1122AB CD =，……………………………………（1分） 又∵∠BFE =∠CFB =90°，由（1）∠ABD =∠ECB ，∴BFE V ∽CFB V ，∴2BF EF FC =⋅．…………………………………（2分） 同理可证：2DC DE BD =⋅……………………………………………………（2分）∴4EF FC DE BD ⋅=⋅．…………………………………………………………（1分） 24．解：（1）∵122y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点B （4，0）、C （0，2）……（1分） 由题意可得1164022b c c ⎧-⨯++=⎪⎨⎪=⎩，解得322b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线表达式为213222y x x =-++．………………………………………（2分）（2）设M 1(,2)2t t -+，N 213(,2)22t t t -++，MN =2122t t -+当OMNC 是平行四边形时，MN =21222t t OC -+==,122t t ==……（2分）∴平行四边形OMNC 的面积22 4.S =⨯=．……………………………（1分）（3）由2132022y x x =-++=，解得121,4x x =-=，∴A （-1，0）．……………………（1分）当点D 在x 轴上方时，过C 作CD ∥AB 交抛物线于点D ，∵A 、B 关于对称轴对称，C 、D 关于对称轴对称，∴四边形ABDC 为等腰梯形， ∴∠CAO =∠DBA ，即点D 满足条件，∴D （3，2）；……………………………（2分） 当点D 在x 轴下方时，∵∠DBA =∠CAO ，∴tan ∠DBA =tan ∠CAO =2，……（1分）∵设点D 213(,2)22d d d -++，过点D 作DE ⊥直线AB 于点E ， ∴由题意可得BE =4d -，DE =213222d d --，21322224d d d--=-，125,4d d =-=（舍），∴D （﹣5，﹣18） ……………（2分） 综上可知满足条件的点D 的坐标为（3，2）或（﹣5，﹣18） 25．解：（1）∵四边形ABCD 是菱形∴DC ∥AB ，AB =BC ，DB 和AC 互相垂直平分．………………………………（1分） ∵CF //DB ，∴四边形DBFC 是平行四边形，∴BF =DC =AB=10，∴∠CAB =∠BCA ………………………………………………（1分） 当EF ⊥BC 时，∠CAB =∠BCA =∠CFE ，∴Rt △AFC ∽Rt FEC V ，∴2FC CE AC =⋅，即222FC AE =…………………（1分） Rt △ACF 中，222CF AC AF +=，2224400AE AE +=，AE =…………（1分）（2）①联结OB ，AB=BF ，OE=OF ，∴OB //AC ，且111222OB AE EC x ===……（1分） ∴12OH OB EH EC ==，∴23EH EO =…………………………………………………（1分）在Rt △EBO 中，2222212EO BE OB x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，∴23y EO ==10x <)．……………………………………（2分）（说明：当C 、G 两点重合时有EF ⊥BD ，x =②当GD =GE 时，有∠GDE =∠GED ，又∵AC ⊥DB ，∠DEC=90°，∴∠GCE =∠GEC ， ∴GE =GC ，∴GD =GC ，即G 为DC 的中点， 又∵EO =FO ，∴GO 是梯形EFCD 的中位线，∴GO 322DE CF DE +==，…………………………………………………………（1分）∴32y ==………………………………（1分）解得x =1分）法一：当DE =DG 时，联结OD 、OC 、GO ．∵GO=EO ，DO=DO ，∴△OED ≌△OGD (SSS)，…………………………………（1分） ∴∠DEO=∠DGO ，∴∠CGO=∠BEO=∠OFC ，∴∠CGO=∠OCG=∠OFC=∠OCF ，∴GC=CF …………………………………（1分）∴DC=DG +GC=DE+2DE=10，即10=，解得x =1分）法二：当DE =DG 时，过点D 作DM ⊥GE 于点M ，延长交EC 于点N ，联结GN ． ∴∠EDN =∠GDN ，又∵DN=DN ，∴△NDE ≌△NDG (SAS)，∴∠DGN=∠DEN=90°，14NE NG x ==，34NC x =……………………………（1分）即sinDE GNDCADC NC∠==，即143104xx=，……………………………………（1分）解得x=1分）综上，当△DEG是以DG为腰的等腰三角形时，AE．。
上海市各区2018届中考数学二模试卷精选汇编：解方程组不等式组及参考答案
静安区
x1 1
5 ,
x2 1
5
，…………………………………………（
y1 3 5
y2 3 5
4 分）
20．（本题满分 10 分）
x4 5
解方程：
x1 1x
20．（本题满分 10 分）
6x
．
x2 1
x4 5
6x
解方程：
x1 1x
x2 1
解： ( x 4)( x 1) 5( x 1) 6x
x2 3x 4 5x 5 6x 0 x 2 8x 9 0 x1 1， x2 9 经检验 x1 1是 增根，舍去 ∴原方程的根是 x 9 ．
20．（本题满分 10 分）
解：方程①可变形为 (x 6 y)( x y) 0
得 x 6y 0或 x y 0
（ 2 分）
将它们与方程②分别组成方程组，得（Ⅰ）
x 6y 0
xy0
或（Ⅱ）
（ 2 分）
2x y 1
2x y 1
解方程组（Ⅰ）
6 x
13 ， 1
y 13
解方程组（Ⅱ）
x1 y1
（ 4 分）
所以原方程组的解是
所以原方程组可化为两个二元一次方程组：
x 2 y 3, 2x y 1;
x 2 y 3,
……………… 2 分
2x y 1;
分别解这两个方程组，得原方程组的解是
1
x1 1, x2
, 5 ………… 4 分
y1 1; y2
7 .
5
长宁区 20．（本题满分 10 分）
2
x
5 xy
6y2
0 ， ①
解方程组：
2x y 1 ． ②
2x 3 x x x 12
2018年上海市虹口区中考数学二模试卷含答案解析
2018年上海市虹口区中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．]1．（4分）下列实数中，有理数是（）A．B．C．πD．02．（4分）如果关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜1 B．k＜1且k≠0 C．k＞1 D．k＞1且k≠0．3．（4分）如果将抛物线y=x2向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y=x2+1 B．y=x2﹣1 C．y=（x+1）2D．y=（x﹣1）2．4．（4分）如图，是某中学九（3）班学生外出方式（乘车、步行、骑车）的不完整频数（人数）分布直方图．如果乘车的频率是0.4，那么步行的频率为（）A．0.4 B．0.36 C．0.3 D．0.245．（4分）数学课上，小明进行了如下的尺规作图（如图所示）：（1）在△AOB（OA＜OB）边OA、OB上分别截取OD、OE，使得OD=OE；（2）分别以点D、E为圆心，以大于DE为半径作弧，两弧交于△AOB内的一点C；（3）作射线OC交AB边于点P．那么小明所求作的线段OP是△AOB的（）A．一条中线B．一条高C．一条角平分线D．不确定6．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，联结B E，如果AB=6，BC=4，那么分别以AD、BE为直径的⊙M与⊙N的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内切二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]7．（4分）a6÷a2=．8．（4分）某病毒的直径是0.000 068毫米，这个数据用科学记数法表示为毫米．9．（4分）不等式组的解集是．10．（4分）方程的解为．11．（4分）已知反比例函数，如果当x＞0时，y随自变量x的增大而增大，那么a的取值范围为．12．（4分）请写出一个图象的对称轴为y轴，开口向下，且经过点（1，﹣2）的二次函数解析式，这个二次函数的解析式可以是．13．（4分）掷一枚材质均匀的骰子，掷得的点数为素数的概率是．14．（4分）在植树节当天，某校一个班的学生分成10个小组参加植树造林活动，如果10个小组植树的株数情况见下表，那么这10个小组植树株数的平均数是株．15．（4分）如果正六边形的两条平行边间的距离是，那么这个正六边形的边长为．16．（4分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，如果，，那么用向量、表示向量是．17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，sinA=，CD为AB边上的中线，以点B为圆心，r为半径作⊙B．如果⊙B与中线CD有且只有一个公共点，那么⊙B的半径r的取值范围为．18．（4分）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanB=，点D是AB的中点，如果把△BCD沿直线CD翻折，使得点B落在同一平面内的B′处，联结A B′，那么A B′的长为．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）先化简，再求值：，其中．20．（10分）解方程组：21．（10分）如图，在△ABC中，sinB=，点F在BC上，AB=AF=5，过点F作EF ⊥CB交AC于点E，且AE：EC=3：5，求BF的长与sinC的值．22．（10分）甲、乙两车需运输一批货物到600公里外的某地，原计划甲车的速度比乙车每小时多10千米，这样甲车将比乙车早到2小时．实际甲车以原计划的速度行驶了4小时后，以较低速度继续行驶，结果甲、乙两车同时到达．x（小时）y（千米）（1）求甲车原计划的速度；（2）如图是甲车行驶的路程y（千米）与时间x（小时）的不完整函数图象，那么点A的坐标为，点B的坐标为，4小时后的y与x 的函数关系式为（不要求写定义域）．23．（12分）如图，四边形ABCD是矩形，E是对角线AC上的一点，EB=ED且∠ABE=∠ADE．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）延长DE交BC于点F，交AB的延长线于点G，求证：EF•AG=BC•BE．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2x+c与直线y=﹣x+3分别交于x轴、y轴上的B、C两点，抛物线的顶点为点D，联结CD交x轴于点E．（1）求抛物线的解析式以及点D的坐标；（2）求tan∠BCD；（3）点P在直线BC上，若∠PEB=∠BCD，求点P的坐标．25．（14分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，DC=5，以CD为半径的⊙C与以AB为半径的⊙B相交于点E、F，且点E在BD上，联结EF交BC于点G．（1）设BC与⊙C相交于点M，当BM=AD时，求⊙B的半径；（2）设BC=x，EF=y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当BC=10时，点P为平面内一点，若⊙P与⊙C相交于点D、E，且以A、E、P、D为顶点的四边形是梯形，请直接写出⊙P的面积．（结果保留π）2018年上海市虹口区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．]1．（4分）下列实数中，有理数是（）A．B．C．πD．0【解答】解：，，π是无理数，0是有理数，故选：D．2．（4分）如果关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜1 B．k＜1且k≠0 C．k＞1 D．k＞1且k≠0．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，∴△＞0，即（﹣2）2﹣4k＞0，解得k＜1，故选：A．3．（4分）如果将抛物线y=x2向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y=x2+1 B．y=x2﹣1 C．y=（x+1）2D．y=（x﹣1）2．【解答】解：∵抛物线y=x2向左平移1个单位后，所得新抛物线的表达式为y=（x+1）2，故选：C．4．（4分）如图，是某中学九（3）班学生外出方式（乘车、步行、骑车）的不完整频数（人数）分布直方图．如果乘车的频率是0.4，那么步行的频率为（）A．0.4 B．0.36 C．0.3 D．0.24【解答】解：∵乘车的有20人，它的频率是0.4，∴总人数是=50人，∴步行的频率为=0.36；故选：B．5．（4分）数学课上，小明进行了如下的尺规作图（如图所示）：（1）在△AOB（OA＜OB）边OA、OB上分别截取OD、OE，使得OD=OE；（2）分别以点D、E为圆心，以大于DE为半径作弧，两弧交于△AOB内的一点C；（3）作射线OC交AB边于点P．那么小明所求作的线段OP是△AOB的（）A．一条中线B．一条高C．一条角平分线D．不确定【解答】解：利用作法可判断OC平分∠AOB，所以OP为△AOB的角平分线．故选：C．6．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，联结BE，如果AB=6，BC=4，那么分别以AD、BE为直径的⊙M与⊙N的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内切【解答】解：如图所示：连接MN，可得M是AD的中点，N是BE的中点，则MN是梯形ABED的中位线，则MN=（AB+DE）=4.5，∵EC=3，BC=AD=4，∴BE=5，则⊙N的半径为2.5，⊙M的半径为2，则2+2.5=4.5．故⊙M与⊙N的位置关系是：外切．故选：B．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]7．（4分）a6÷a2=a4．【解答】解：a6÷a2=a4．故答案为：a4．8．（4分）某病毒的直径是0.000 068毫米，这个数据用科学记数法表示为 6.8×10﹣5毫米．【解答】解：0.000 068=6.8×10﹣5．故答案为：6.8×10﹣5．9．（4分）不等式组的解集是x＜﹣1．【解答】解：，解不等式①，得x＜﹣1，解不等式②，得x＜2，所以不等式组的解集为：x＜﹣1．10．（4分）方程的解为x=1．【解答】解：两边平方得：﹣x+2=x2，即（x﹣1）（x+2）=0，解得：x=1或x=﹣2，经检验x=﹣2是增根，无理方程的解为x=1，故答案为：x=111．（4分）已知反比例函数，如果当x＞0时，y随自变量x的增大而增大，那么a的取值范围为a＞3．【解答】解：∵反比例函数，如果当x＞0时，y随自变量x的增大而增大，∴3﹣a＜0，解得，a＞3，故答案为：a＞3．12．（4分）请写出一个图象的对称轴为y轴，开口向下，且经过点（1，﹣2）的二次函数解析式，这个二次函数的解析式可以是y=﹣x2﹣1等（答案不唯一）．【解答】解：∵对称轴为y轴，∴设二次函数解析式为y=ax2+c，将（1，﹣2）代入解析式，得a+c=﹣2，不防取a=﹣1，c=﹣1，得解析式为y=﹣x2﹣1，答案不唯一．故答案为：y=﹣x2﹣1等（答案不唯一）．13．（4分）掷一枚材质均匀的骰子，掷得的点数为素数的概率是．【解答】解：掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数可能是1、2、3、4、5、6中的任意一个数，共有六种可能，其中2、3、5是素数，所以概率为=，故答案为：．14．（4分）在植树节当天，某校一个班的学生分成10个小组参加植树造林活动，如果10个小组植树的株数情况见下表，那么这10个小组植树株数的平均数是6株．【解答】解：这10个小组植树株数的平均数是=6（株），故答案为：6．15．（4分）如果正六边形的两条平行边间的距离是，那么这个正六边形的边长为2．【解答】解：如图所示，∵此正多边形是正六边形，∴∠ABC=120°，连接AC，过B作BD⊥AC于点D，∵AC=2，∴AD=，∠ABD=∠ABC=60°，∴AB===2．故答案为：2．16．（4分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，如果，，那么用向量、表示向量是﹣．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴==，==﹣，∴=+=﹣．﹣．故答案为：17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，sinA=，CD为AB边上的中线，以点B为圆心，r为半径作⊙B．如果⊙B与中线CD有且只有一个公共点，那么⊙B的半径r的取值范围为5＜r≤6或．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，sinA=，∴BC=6，AC=8，∵CD为AB边上的中线，∴CD边的高=6×8÷2÷2×2÷5=，∵⊙B与中线CD有且只有一个公共点，∴⊙B的半径r的取值范围为5＜r≤6或．故答案为：5＜r≤6或．18．（4分）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanB=，点D是AB的中点，如果把△BCD沿直线CD翻折，使得点B落在同一平面内的B′处，联结A B′，那么A B′的长为．【解答】解：如图，作AE⊥BC于E，DK⊥BC于K，连接BB′交CD于H．∵AB=AC，AE⊥BC，∴BE=EC=4，在Rt△ABE中，∵tanB==，∴AE=6，AB==2，∵DK∥AE，BD=AD，∴DK=AE=3，在Rt△CDK中，CD==3，∵B、B′关于CD对称，∴BB′⊥CD，BH=HB′=•BC•DK=•CD•BH，∵S△BDC∴BH=，∴BB′=，∵BD=AD=DB′，∴∠AB′B=90°，∴AB′==，故答案为．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）先化简，再求值：，其中．【解答】解：原式===，当时，原式==﹣7﹣4．20．（10分）解方程组：【解答】解：由①得，x﹣2y=2或x﹣2y=﹣2将它们与方程②分别组成方程组，得：解，得；解得．所以原方程组的解为：，．21．（10分）如图，在△ABC中，sinB=，点F在BC上，AB=AF=5，过点F作EF ⊥CB交AC于点E，且AE：EC=3：5，求BF的长与sinC的值．【解答】解：过点A作AD⊥CB，垂足为点D，∵，∴，在Rt△ABD中，，∵AB=AF AD⊥CB，∴BF=2BD=6，∵EF⊥CB AD⊥CB，∴EF∥AD，∴，∵AE：EC=3：5DF=BD=3，∴CF=5，∴CD=8，在Rt△ABD中，，在Rt△ACD中，，∴．22．（10分）甲、乙两车需运输一批货物到600公里外的某地，原计划甲车的速度比乙车每小时多10千米，这样甲车将比乙车早到2小时．实际甲车以原计划的速度行驶了4小时后，以较低速度继续行驶，结果甲、乙两车同时到达．x（小时）y（千米）（1）求甲车原计划的速度；（2）如图是甲车行驶的路程y（千米）与时间x（小时）的不完整函数图象，那么点A的坐标为（4，240），点B的坐标为（12，600），4小时后的y与x 的函数关系式为y=45x+60（不要求写定义域）．【解答】解：（1）设甲车原计划的速度为x千米/小时由题意得，解得x1=﹣50x2=60经检验，x1=﹣50x2=60都是原方程的解，但x1=﹣50不符合题意，舍去∴x=60，答：甲车原计划的速度为60千米/小时；（2）4×60=240，所以点A的坐标为（4，240）；点B的坐标为（12，600）；4小时后的y与x 的函数关系式为y=45x+60；故答案为：（4，240）；（12，600）；y=45x+6023．（12分）如图，四边形ABCD是矩形，E是对角线AC上的一点，EB=ED且∠ABE=∠ADE．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）延长DE交BC于点F，交AB的延长线于点G，求证：EF•AG=BC•BE．【解答】（1）证明：连接BD．∵EB=ED，∴∠EBD=∠EDB，∵∠ABE=∠ADE，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是正方形．（2）证明：∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC，∴，同理，∵DE=BE，∵四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∴，∴EF•AG=BC•BE．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2x+c与直线y=﹣x+3分别交于x轴、y轴上的B、C两点，抛物线的顶点为点D，联结CD交x轴于点E．（1）求抛物线的解析式以及点D的坐标；（2）求tan∠BCD；（3）点P在直线BC上，若∠PEB=∠BCD，求点P的坐标．【解答】解：（1）由题意得B（6，0），C（0，3），把B（6，0）C（0，3）代入y=ax2﹣2x+c得，解得：，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x+3=（x2﹣8x）+3=（x﹣4）2﹣1，∴D（4，﹣1）；（2）可得点E（3，0），OE=OC=3，∠OEC=45°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F在R t△OEC中，EC==3，在Rt△BEF中，BF=BE•sin∠BEF=，同理，EF=，∴CF=3+=，在Rt△CBF中，tan∠BCD==；（3）设点P（m，）∵∠PEB=∠BCD，∴tan∠PEB=tan∠BCD=，①点P在x轴上方∴，解得：，∴点P（，），②点P在x轴下方∴，解得：m=12，∴点P（12，﹣3），综上所述，点P（，）或（12，﹣3）．25．（14分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，DC=5，以CD为半径的⊙C与以AB为半径的⊙B相交于点E、F，且点E在BD上，联结EF交BC于点G．（1）设BC与⊙C相交于点M，当BM=AD时，求⊙B的半径；（2）设BC=x，EF=y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当BC=10时，点P为平面内一点，若⊙P与⊙C相交于点D、E，且以A、E、P、D为顶点的四边形是梯形，请直接写出⊙P的面积．（结果保留π）【解答】解：（1）如图1中，连接DM．在Rt△DCM中，，∵AD∥BC BM=AD，∴四边形ABMD为平行四边形，∴AB=DM=，即⊙B的半径为．（2）如图2中，过点C作CH⊥BD，垂足为点H．在Rt△BCD中，，∴，可得∠DCH=∠DBC，∴，在Rt△DCH中，，∵CH⊥BD，∴，∴，∵⊙C与⊙B相交于点E、F，∴EF=2EG，BC⊥EF，在Rt△EBG中，，∴（）．（3）①如图3中，当PE∥AD时，设PC交DE于H，则CH垂直平分线段DE．在Rt△BCD中，BD==5，CH==2，DH==，∴EH=DH=，∵AD∥BC，PE∥AD，∴PE∥BC，∴∠HEP=∠HBC，∴cos∠HEP=cos∠CBD，∴=，∴=，∴PE=，∴⊙P的面积为π．②如图4中，当AP∥DE时，作AT⊥BC于T，设AD交PC于Q，BD交PC于H．由①可知：DE=2，BE=BA=3，AT=CD=5，在Rt△ABT中，BT==2，∴AD=CT=10﹣2，由△DQH∽△BDC，可得DQ=，QH=，∴AQ=AD﹣DQ=﹣2，由△APQ∽△DHQ，可得PQ=﹣2，在Rt△PDH中，PD2=DH2+PH2=29﹣8，∴⊙P的面积为（29﹣8）π．③如图5中，当DP∥AE时，作AR⊥BD于R．由△ADR∽△DBC，∴==，∴AR=2﹣2，DR=4﹣4，∴ER=DR﹣DE=2﹣4，在Rt△ARE中，AE==，∵AE∥DP，∴∠AER=∠PDQ，∴cos∠AER=cos∠PDH，∴=，∴PD=，∴⊙P的面积为．。
上海市各区届中考二模数学分类汇编压轴题专题含答案
上海市各区2018届九年级中考二模数学试卷精选汇编：压轴题专题宝山区、嘉定区25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）在圆O 中，AO 、BO 是圆O 的半径，点C 在劣弧AB 上，10=OA ，12=AC ，AC ∥OB ，联结AB .（1）如图8，求证：AB 平分OAC ∠；（2）点M 在弦AC的延长线上，联结BM ，如果△AMB 是直角三角形，请你在如图9中画出点M 的位置并求CM 的长；（3）如图10，点D 在弦AC 上，与点A 不重合，联结OD 与弦AB 交于点E ，设点D 与点C 的距离为x ，△OEB 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.25.（1）证明：∵AO 、BO 是圆O 的半径 ∴BO AO =…………1分 ∴B OAB ∠=∠…………1分 ∵AC ∥OB图8图10图8∴B BAC ∠=∠…………1分 ∴BAC OAB ∠=∠∴AB 平分OAC ∠…………1分 (2)解：由题意可知BAM ∠不是直角，所以△AMB 是直角三角形只有以下两种情况:︒=∠90AMB 和︒=∠90ABM① 当︒=∠90AMB ，点M 的位置如图9-1……………1分 过点O 作AC OH ⊥,垂足为点H∵OH 经过圆心 ∴AC HC AH 21==∵12=AC ∴6==HC AH 在Rt △AHO 中，222OA HO AH =+ ∵10=OA ∴8=OH∵AC ∥OB ∴︒=∠+∠180OBM AMB ∵︒=∠90AMB ∴︒=∠90OBM ∴四边形OBMH 是矩形 ∴10==HM OB∴4=-=HC HM CM ……………2分 ②当︒=∠90ABM ，点M 的位置如图9-2由①可知58=AB ，552cos =∠CAB 在Rt △ABM 中，552cos ==∠AM AB CAB∴20=AM8=-=AC AM CM ……………2分综上所述，CM 的长为4或8.说明：只要画出一种情况点M 的位置就给1分，两个点都画正确也给1分. （3）过点O 作AB OG ⊥,垂足为点G 由（1）、（2）可知，CAB OAG ∠=∠sin sin 由（2）可得：55sin =∠CAB图10∵10=OA ∴52=OG ……………1分 ∵AC ∥OB ∴ADOBAE BE =……………1分 又BE AE -=58,x AD -=12,10=OB∴xBEBE -=-121058 ∴x BE -=22580 ……………1分∴52225802121⨯-⨯=⨯⨯=xOG BE y ∴xy -=22400……………1分自变量x 的取值范围为120<≤x ……………1分长宁区25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）在圆O 中，C 是弦AB 上的一点，联结OC 并延长，交劣弧AB 于点D ，联结AO 、BO 、AD 、BD . 已知圆O 的半径长为5 ，弦AB 的长为8．（1）如图1，当点D 是弧AB 的中点时，求CD 的长； （2）如图2，设AC =x ，y S S OBDACO=∆∆，求y 关于x 的函数解析式并写出定义域； （3）若四边形AOBD 是梯形，求AD 的长．25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分） 解：（1）∵OD 过圆心，点D 是弧AB 的中点，AB =8，∴OD ⊥AB ， （2分） 在Rt △AOC 中，，AO =5，∴ （1分） ， （1分）（2）过点O 作OH ⊥AB ，垂足为点H ，则由（1）可得AH =4，OH =3 ∵AC =x ，∴在Rt △HOC 中，，AO =5， ∴， （1分） ∴（） （3分） （3）①当OB （3分） ②当OA ABC △8AB =10BC =12AC =2AB AD AC =⋅AEF C ∠=∠ABC ∠BE x =CF y =y xGEF △8AB =12AC=2AB AD AC =g 163AD =16201233CD =-=2AB AD AC =g AD AB AB AC =BAC ∠ADB ABC △∽△ABD C =∠∠BD AD BC AB =203BD =BD CD =DBC C =∠∠ABD DBC =∠∠BD ABC ∠A AH BC ∥BD H AH BC∥16432053AD DH AH DC BD BC ====203BD CD ==8AH =163AD DH ==12BH =AH BC∥AH HGBE BG =812BG x BG-=128xBG x =+BEF C EFC=+∠∠∠BEA AEF C EFC +=+∠∠∠∠AEF C =∠∠BEA EFC=∠∠DBC C=∠∠（第25题图） A B C D G EF（备用图）AB C DBEG CFE△∽△BE BGCF EC=12810x x x y x+=-228012x x y -++=GEF GE GF=23GE BE EF CF ==23x y =4BE =EG EF =BE CF =x y =5BE =-FG FE =32GE BE EF CF ==32x y =3BE =-+BC BO BE ⋅=2知AD =1，AB =2. （1）设BC =x ，CD =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （2）当∠B =70°时，求∠AEC 的度数； （3）当△ACE 为直角三角形时，求边BC 的长.25. 解：（1）过A 作AH ⊥BC 于H ，————————————————————（1分） 由∠D =∠BCD =90°，得四边形ADCH 为矩形.在△BAH 中，AB =2，∠BHA =90°，AH =y ，HB =1x -，所以22221y x =+-，——————————————————————（1分） 则()03y x =<<.———————————————（2分）（2）取CD 中点T ，联结TE ，————————————————————（1分） 则TE 是梯形中位线，得ET ∥AD ，ET ⊥CD .∴∠AET =∠B =70°. ———————————————————————（1分） 又AD =AE =1，∴∠AED =∠ADE =∠DET =35°. ——————————————————（1分） 由ET 垂直平分CD ，得∠CET =∠DET =35°，————————————（1分） 所以∠AEC =70°＋35°=105°. ——————————————————（1分）（3）当∠AEC =90°时，易知△CBE ≌△CAE ≌△CAD ，得∠BCE =30°， 则在△ABH 中，∠B =60°，∠AHB =90°，AB =2，图9AB C D O E备用图ABO 备用图 AB得BH=1，于是BC=2. ——————————————————————（2分）当∠CAE=90°时，易知△CDA∽△BCA，又AC=则AD CAxAC CB=⇒=⇒=2分）易知∠ACE<90°.所以边BC的长为2或12+.——————————————————（1分）金山区25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5 分）如图9，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=5，3sin5B=，P是线段BC上一点，以P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AD的另一个交点为Q，射线PQ与射线CD相交于点E，设BP=x．（1）求证△ABP∽△ECP；（2）如果点Q在线段AD上（与点A、D不重合），设△APQ的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△QED与△QAP相似，求BP的长．25．解：（1）在⊙P中，PA=PQ，∴∠PAQ ＝∠PQA，……………………………（1分）AB CD图9备用图∵AD ∥BC ，∴∠PAQ ＝∠APB ，∠PQA ＝∠QPC ，∴∠APB ＝∠EPC ，……（1分） ∵梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ，∴∠B ＝∠C ，…………………………（1分） ∴△APB ∽△ECP ．…………………………………………………………（1分） （2）作AM ⊥BC ，PN ⊥AD ，∵AD ∥BC ，∴AM ∥PN ，∴四边形AMPN 是平行四边形，∴AM =PN ，AN =MP ．………………………………………………………（1分） 在Rt △AMB 中，∠AMB =90°，AB =5，sinB =35， ∴AM =3，BM =4，∴PN =3，PM =AN =x -4，……………………………………（1分） ∵PN ⊥AQ ，∴AN =NQ ，∴AQ = 2x -8，……………………………………（1分）∴()1128322y AQ PN x =⋅⋅=⋅-⋅，即312y x =-，………………………（1分）定义域是1342x <<．………………………………………………………（1分）（3）解法一：由△QED 与△QAP 相似，∠AQP ＝∠EQD ，①如果∠PAQ ＝∠DEQ ，∵△APB ∽△ECP ，∴∠PAB ＝∠DEQ ，又∵∠PAQ ＝∠APB ，∴∠PAB ＝∠APB ，∴BP =BA =5．………………………（2分） ②如果∠PAQ ＝∠EDQ ，∵∠PAQ ＝∠APB ，∠EDQ ＝∠C ，∠B ＝∠C ，∴∠B ＝∠APB ，∴ AB =AP ，∵AM ⊥BC ，∴ BM =MP =4，∴ BP =8．………（2分） 综上所述BP 的长为5或者8．………………………………………………（1分） 解法二：由△QAP 与△QED 相似，∠AQP ＝∠EQD ，在Rt △APN 中，AP PQ ===∵QD ∥PC ，∴EQ EPQD PC=， ∵△APB ∽△ECP ，∴AP EPPB PC=，∴AP EQ PB QD =，①如果AQ EQQP QD =，∴AQ AP QP PB =x=，解得5x =………………………………………………………………………（2分） ②如果AQ DQQP QE =，∴AQ PBQP AP ==解得8x =………………………………………………………………………（2分） 综上所述BP 的长为5或者8．…………………………………………………（1分）静安区25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分4分）如图，平行四边形ABCD 中，已知AB =6，BC =9，31cos =∠ABC ．对角线AC 、BD 交于点O ．动点P 在边AB 上，⊙P 经过点B ,交线段PA 于点E ．设BP = x ．（1） 求AC 的长；（2） 设⊙O 的半径为y ，当⊙P 与⊙O 外切时， 求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3） 如果AC 是⊙O 的直径，⊙O 经过点E ， 求⊙O 与⊙P 的圆心距OP 的长．25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分） 解：（1）作AH ⊥BC 于H ，且，AB =6， 那么…………（2分）BC =9，HC =9-2=7，， ……………………（1分） ﹒ ………（1分）（2）作OI ⊥AB 于I ，联结PO , AC =BC =9，AO = ∴∠OAB =∠ABC , ∴Rt △AIO 中，∴AI =，IO = ……………………（1分） ∴PI =AB -BP -AI ==， ……………………（1分） ∴Rt △PIO 中，A第25题图B P OC DE·第25题备用图ABOCDDA ·第25题图BP OCHE第25题图……（1分）∵⊙P 与⊙O 外切，∴ ……………………（1分） ∴= …………………………（1分）∵动点P 在边AB 上，⊙P 经过点B ,交线段PA 于点E ．∴定义域：0<x ≤3…………（1分） （3）由题意得：∵点E 在线段AP 上，⊙O 经过点E ，∴⊙O 与⊙P 相交 ∵AO 是⊙O 半径，且AO ＞OI ，∴交点E 存在两种不同的位置，OE =OA = ① 当E 与点A 不重合时，AE 是⊙O 的弦，OI 是弦心距，∵AI =，AE =3， ∴点E 是AB 中点，,,, IO =……………………（2分）② 当E 与点A 重合时，点P 是AB 中点，点O 是AC 中点, ……（2分） ∴或．闵行区25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）如图，已知在Rt △ABC 中，∠ACB = 90o，AC =6，BC = 8，点F 在线段AB 上，以点B 为圆心，BF 为半径的圆交BC 于点E ，射线AE 交圆B 于点D （点D 、E 不重合）． （1）如果设BF = x ，EF = y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出它的定义域； （2）如果»»2EDEF ，求ED 的长； （3）联结CD 、BD ，请判断四边形ABDC 是否为直角梯形说明理由．25．解：（1）在Rt △ABC 中，，，∴．……………………………………………………………（1分）（备用图）CBA （第25题图）CBEF DA过E作EH⊥AB，垂足是H，易得：，，．…………………………（1分）在Rt△EHF中，，∴．………………………………………（1分+1分）（2）取的中点P，联结BP交ED于点G∵，P是的中点，∴．∴∠FBE =∠EBP =∠PBD．∵，BP过圆心，∴BG⊥ED，ED =2EG =2DG．…………（1分）又∵∠CEA =∠DEB，∴∠CAE=∠EBP=∠ABC．……………………………………………（1分）又∵BE是公共边，∴．∴．在Rt△CEA中，∵AC = 6，，，∴．……………………………（1分）∴．……………………………………………（1分）∴．……………………………………（1分）（3）四边形ABDC不可能为直角梯形．…………………………………（1分）①当CD∥AB时，如果四边形ABDC是直角梯形，只可能∠ABD =∠CDB = 90o．在Rt△CBD中，∵，∴，．∴，；∴．∴CD不平行于AB，与CD∥AB矛盾．∴四边形ABDC不可能为直角梯形．…………………………（2分）②当AC∥BD时，如果四边形ABDC是直角梯形，只可能∠ACD =∠CDB = 90o．∵AC∥BD，∠ACB = 90o，∴∠ACB =∠CBD = 90o．∴∠ABD =∠ACB +∠BCD > 90o．与∠ACD =∠CDB = 90o矛盾．∴四边形ABDC不可能为直角梯形．…………………………（2分）普陀区25．（本题满分14分）已知P 是O ⊙的直径BA 延长线上的一个动点，P ∠的另一边交O ⊙于点C 、D ，两点位于AB 的上方，AB ＝6，OP m ＝，1sin 3P ＝，如图11所示．另一个半径为6的1O ⊙经过点C 、D ，圆心距1OO n ＝． （1）当6m ＝时，求线段的长；（2）设圆心1O 在直线AB 上方，试用n 的代数式表示m ；（3）△1POO 在点P 的运动过程中，是否能成为以1OO 为腰的等腰三角形，如果能，试求出此时n 的值；如果不能，请说明理由． 25．解：（1）过点O 作OH ⊥CD ，垂足为点H ，联结OC ．在Rt △POH 中，∵1sin 3P ＝，6PO =，∴2OH =． ········· （1分） ∵AB ＝6，∴3OC ＝． ······················ （1分） 由勾股定理得CH = ····················· （1分）∵OH ⊥DC，∴2CD CH == ··············· （1分） （2）在Rt △POH 中，∵1sin 3P ＝， PO m ＝，∴3m OH ＝． ········ （1分） 在Rt △OCH 中，2293m CH ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝． ················ （1分）在Rt △1O CH 中，22363m CH n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝． ·············· （1分）可得 2236933m m n ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝，解得23812n m n -＝． ········· （2分）OAB备用图PDOABC图11（3）△1POO 成为等腰三角形可分以下几种情况：● 当圆心1O 、O 在弦CD 异侧时①1OP OO ＝，即m n ＝，由23812n n n-＝解得9n ＝． ········· （1分）即圆心距等于O ⊙、1O ⊙的半径的和，就有O ⊙、1O ⊙外切不合题意舍去．（1分） ②11O P OO ＝n ＝， 解得23m n ＝，即23n 23812n n-＝，解得n ········· （1分） ● 当圆心1O 、O 在弦CD 同侧时,同理可得 28132n m n-＝．∵1POO ∠是钝角，∴只能是m n =，即28132n n n-＝，解得n ． ·· （2分）综上所述，n．青浦区25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）如图9-1，已知扇形MON，∠MON =90o ，点B 在弧MN 上移动，联结BM ，作OD ⊥BM ，垂足为点D ，C 为线段OD 上一点，且OC =BM ，联结BC 并延长交半径OM 于点A ，设OA = x ，∠COM 的正切值为y ．（1）如图9-2，当AB ⊥OM 时，求证：AM =AC ； （2）求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （3）当△OAC 为等腰三角形时，求x 的值.图9-1图9-2备用图25．解：（1）∵OD ⊥BM ，AB ⊥OM ，∴∠ODM =∠BAM =90°． ·········· （1分）∵∠ABM +∠M =∠DOM +∠M ，∴∠ABM =∠DOM ． ········· （1分） ∵∠OAC =∠BAM ，OC =BM ，∴△OAC ≌△ABM ， ······················ （1分） ∴AC =AM ． ························· （1分）（2）过点D 作DE=MD MEDMAE)12x2==OA OC DM OE OD OD 2=DM OA ODOE =y0<≤x 111222===DM BM OCx ==OD =DMyOD1=x=x =x α90α︒-α90α︒-α45︒290α∠=>︒BOA 90∠≤︒BOA （1）求CE 的长；（2）P 是 CE 延长线上一点，直线AP 、CD 交于点Q.① 如果△ACQ ∽△CPQ ，求CP 的长；② 如果以点A 为圆心，AQ 为半径的圆与⊙C 相切，求CP 的长.25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题每个小题各5分） 解：（1）∵AE ∥CD∴…………………………………1分 ∵BC=DC∴BE=AE …………………………………1分(第25题图)CBA DE(备用图)CBADE(第25题图)CBA DE设CE =x 则AE =BE =x +2 ∵ ∠ACB =90°， ∴即………………………1分 ∴即…………………………………1分 （2）①∵△ACQ ∽△CPQ ，∠QAC>∠P∴∠ACQ=∠P …………………………………1分 又∵AE ∥CD ∴∠ACQ=∠CAE∴∠CAE=∠P ………………………………1分 ∴△ACE ∽△PCA ，…………………………1分 ∴…………………………1分 即∴ ……………………………1分 ②设CP =t ，则 ∵∠ACB =90°， ∴ ∵AE ∥CD∴……………………………1分 即∴……………………………1分 若两圆外切，那么此时方程无实数解……………………………1分 若两圆内切切，那么 ∴21540160t t -+=CBA DEPQ解之得2015t ±=………………………1分又∵∴2015t +=………………………1分徐汇区25. 已知四边形ABCD 是边长为10的菱形，对角线AC 、BD 相交于点E ，过点C 作CF ∥DB 交AB 延长线于点F ，联结EF 交BC 于点H . （1）如图1，当EF BC ⊥时，求AE 的长；（2）如图2，以EF 为直径作⊙O ，⊙O 经过点C 交边CD 于点G （点C 、G 不重合），设AE 的长为x ，EH 的长为y ；① 求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；③ 联结EG ，当DEG ∆是以DG 为腰的等腰三角形时，求AE 的长.杨浦区25、（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）（1） 如图9，在梯形ABCD 中，AD 当圆P 过点A 时，求圆P 的半径；（2） 分别联结EH 和EA ，当△ABE △CEH 时，以点B 为圆心，r 为半径的圆B 与圆P 相交，试求圆B 的半径r 的取值范围；（3） 将劣弧沿直线EH 翻折交BC 于点F ，试通过计算说明线段EH 和EF 的比值为定值，并求出此定值。
2018年静安区初三数学二模试卷参考答案及评分标准(可编辑修改word版)
2 1 24 x - 3考生注意：2018 年静安区初三数学二模试卷（满分 150 分，100 分钟完成）1. 本试卷含三个大题，共 25 题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本调研卷上答题一律无效．2. 除第一、二大题外,其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1. 下列实数中，有理数是（A ） ；（B ）； （C ） 3 4 ； （D ） ．2. 下列方程中，有实数根的是（ A ）= -x ； （ B ） (x + 2)2 - 1 = 0 ； （ C ） x 2 + 1 = 0 ； （ D ）+ = 0 ．3. 如果 a > b ， m < 0 ，那么下列不等式中成立的是(A) am > bm ； (B)a > bm m； (C) a + m > b + m ； (D) - a + m > -b + m ． 4. 如图，AB //CD ，直线 EF 分别交 AB 、CD 于点 E 、F ，EG 平分∠BEF ，AEB如果∠EFG =64°，那么∠EGD 的大小是(A) 122°； (B) 124°； (C) 120°； (D) 126°．C FGD5．已知两组数据：a 1，a 2，a 3，a 4，a 5 和 a 1-1，a 2-1，a 3-1，a 4-1，a 5-1， 下列判断中错误的是(A) 平均数不相等，方差相等；(B) 中位数不相等，标准差相等；(C) 平均数相等，标准差不相等；(D) 中位数不相等，方差相等．6. 下列命题中，假命题是（A ） 两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（B ） 有一条对角线与一组邻边构成等腰三角形的平行四边形是菱形； （C ） 一组邻边互相垂直，两组对边分别平行的四边形是矩形； （D ） 有一组邻边相等且互相垂直的平行四边形是正方形．第 4 题图x - 1 x - 4⎩二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】 7． (2a )2⋅ a 3=▲ ．8．分解因式： (x - y )2 + 4xy = ▲．⎧x + y = 3, 9.方程组⎨ y - 2x = 6 的解是▲ ．x10.x 的取值范围是 ▲ ．11.如果函数 y = - a 2 - 1 x 1 （a 为常数）的图像上有两点(1, y 1 ) 、(3, y 2 ) ，那么函数值y 1 ▲ y 2 ．(填“＜”、“=”或“＞”)12. 为了解植物园内某种花卉的生长情况，在一片约有3000 株此类花卉的园地内，随机抽测了200株的高度作为样本，统计结果整理后列表如下：（每组数据可包括最低值，不包括最高值）试估计该园地内此类花卉高度小于 55 厘米且不小于 45 厘米的约为▲株．13. 从 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9 中任取一个数， 这个数即是奇数又是素数的概率是▲ ．14. 如图，在△ABC 中，点 G 是重心，过点 G 作 DE ∥BC ，分别交 AB 、AC 于点D 、E ．已知 AB = a , CB = b，那么 AE =▲ ．（用向量a 、b 表示）15. 如图，已知⊙O 中，直径 AB 平分弦 CD ，且交 CD 于点 E ，如果 OE =BE ，那么弦 CD 所对的圆心角是 ▲ 度．16. 已知正多边形的边长为 a ，且它的一个外角是其内角的一半，那么此正多边形的边心距是 ▲ ．（用含字母 a 的代数式表示）．17. 在平面直角坐标系中，如果对任意一点（a ，b ），规定两种变换：C第 14 题图f (a , b ) = (-a ,-b ) ，g (a , b ) = (b ,-a ) ，那么 g [ f (1,-2)] =▲．18. 等腰△ABC 中，AB =AC ，它的外接圆⊙O 半径为 1，如果线段 OB 绕点O 旋转 90°后可与线段 OC 重合，那么∠ABC 的余切值是 ▲ ．三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】第 15 题图3EHE19．（本题满分 10 分）计算： + (-cot 45 )2018+ - + (- 3)0 - (sin 30 )-1 ．20．（本题满分 10 分）x + 456x解方程：x + 1 +1 - x = ．x 2- 121．（本题满分 10 分，第（1）小题满分 5 分，第（2）小题满分 5 分）已知：如图，边长为 1 的正方形 ABCD 中，AC 、DB 交于点 H ．DE 平分∠ADB ，交 AC 于点 E ．联结 BE 并延长，交边 AD 于点 F ．（1） 求证：DC =EC ；（2） 求△EAF 的面积．A F DBC第 21 题图22．（本题满分 10 分，第（1）小题满分 5 分，第（2）小题满分 5 分）今年本市蜜桔大丰收，某水果商销售一种蜜桔，成本价为 10 元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于 18 元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量 y （千克）与销售价 x （元/千克）之间的函数关系如图所示：（1） 求 y 与 x 之间的函数关系式；（2） 该经销商想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应定为多少？ （销售利润=销售价－成本价） y （千克）4024O10 18x （元/千克）23.（本题满分 12 分，第（1）小题满分 6 分，第（2）小题满分 6 分） 已知：如图，在平行四边形 ABCD 中， AC 、DB 交于点 E ， 点 F 在 BC 的延长线上，联结 EF 、DF ，且∠DEF =∠ADC ．A DEF （1） 求证： BF= AB ；DB（2） 如果 BD 2= 2 A D ⋅ DF ，求证：平行四边形 ABCD 是矩形．BF第 23 题图18 2A E OP · B C 第 25 题图AOC24．（本题满分 12 分，第（1）小题满分 4 分，第（2）小题满分 4 分，第（3）小题满分 4 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 B （8,0）和点 C （9， - 3 ）．抛物线 y = ax 2 - 8ax + c （a ， c 是常数，a ≠0）经过点 B 、C ，且与 x 轴的另一交点为 A ．对称轴上有一点 M ，满足 MA =MC ．（1） 求这条抛物线的表达式；（2） 求四边形 ABCM 的面积；（3） 如果坐标系内有一点 D ，满足四边形 ABCD且 AD //BC ，求点 D 的坐标．25．（本题满分 14 分，第（1）小题满分 4 分，第（2）小题满分 6 分，第（3）小题满分 4 分）1如图，平行四边形 ABCD 中，已知 AB =6，BC =9， cos ∠ABC =．对角线 AC 、BD 交于点3O ．动点 P 在边 AB 上，⊙P 经过点 B ,交线段 PA 于点 E ．设 BP = x ．（1） 求 AC 的长；D（2） 设⊙O 的半径为 y ，当⊙P 与⊙O 外切时， 求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域； （3） 如果 AC 是⊙O 的直径，⊙O 经过点 E ， 求⊙O 与⊙P 的圆心距 OP 的长．DB第 25 题备用图3 3 2 2EH⎨ y = 42018 年静安区初三数学二模试卷参考答案及评分标准（2018 年 4 月）（考试时间：100 分钟，满分：150 分）题号 1 2 3 4 5 6答案D B C A C B二、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）7、4a 5 ． 8、(x + y )2 ． 9、⎧x = -1． 10、x > 4． 11、>． 12、960．⎩131 2 2、 ． 14 、 a - 33 b ． 15 、120． 16、 3 a ． 17、（2，1）． 18、 2± 1． 三、解答题（本大题共 12 题，满分 78 分）19．（本题满分 10 分） 计算： + (-cot 45 )2018+ - + (- 3)0 - (sin 30 )-1 ．解：原式= 3 + (-1)2018+ (- 2) + 1 - ( 1 )-1 2…………………（5 分） = 3 + 1 + - + 1 - 2 …………………………（3 分） = 2 +20．（本题满分 10 分）…………………………………（2 分）解方程：x + 4 x + 1 + 5 = 1 - x 6xx 2 - 1解： (x + 4)(x - 1) - 5(x + 1) = 6xx 2+ 3x - 4 - 5x - 5 - 6x = 0 x 2 - 8x - 9 = 0 x 1 = -1， x 2 = 9 经检验 x 1 = -1是 增根，舍去 ………………………（4 分）………………………（2 分）……………………（1 分） ………………………（2 分） ∴原方程的根是 x = 9 ． ............................................................. （1 分）21．（本题满分 10 分, 第（1）小题 5 分，第（2）小题 5 分）解：（1）∵正方形 ABCD ，∴DC=BC=BA=AD , ∠BAD =∠ADC =∠DCB =∠CBA =90°AH=DH=CH=BH , AC ⊥BD ,∴∠ADH =∠HDC =∠DCH =∠DAE = 45°． ........................... （2 分）又∵DE 平分∠AD B ∴∠ADE =∠EDH∵∠DAE +∠ADE =∠DEC , ∠EDH +∠HDC =∠EDC ............... （1 分）AFD32 18 2 23 2 32 22 ⎨⎨∴∠EDC =∠DEC ....................................................................... （1 分） ∴DC =EC .................................................................................... （1 分） （2）∵正方形 ABCD ，∴AD ∥BC , ∴△AFE ∽△CBE ∴S ∆AEF= (AE)2………………………………（1 分）S ∆CEBEC∵AB=BC=DC=EC =1，AC = ,∴AE= - 1 ..................................... （1 分）Rt △BHC 中， BH = BC = ,2 2∴在△BEC 中，BH ⊥EC , S ∆BEC= 1 ⨯1⨯ 2 = 2 2 2 4……………………（2 分）∴S ∆AEF = ( 24- 1)2, ∴ S ∆AEF =2 ⨯ (3 - 2 42) = 32 - 4 …………（1 分）422．（本题满分 10 分,第（1）小题 5 分，第（2）小题 5 分）解：（1）解：设 y 与 x 之间的函数关系式 y=kx+b ， (k ≠ 0)⎧10k + b = 40把（10，40），（18，24）代入得： ⎩18k + b = 24 ⎧k = -2 ，… ........... （2 分） /千克）解得， ⎩b = 60……………………………………（2 分）∴y 与 x 之间的函数关系式 y =﹣2x +60；… ............................... （1 分） （2）解：由题意得（x ﹣10）（﹣2x +60）=150 ........................ （2 分）x 2-40x +375=0， ............................................................ （1 分）解得 x 1=15，x 2=25（不合题意，舍去） ..................................... （2 分） 答：该经销商想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应定为 15 元．23．（本题满分 12 分，第（1）小题 6 分，第（2）小题 6 分）证明：（1）∵平行四边形 ABCD ，∴AD //BC ，AB //DC∴∠BAD +∠ADC =180°，… ................................................... （1 分） 又∵∠BEF +∠DEF =180°, ∴∠BAD +∠ADC =∠BEF +∠DEF ……（1 分） ∵∠DEF =∠ADC ∴∠BAD =∠BEF ， ......................................... （1 分）∵AB //DC ， ∴∠EBF =∠ADB ................................................... （1 分）2 2⎨ ⎨ EF ∴△ADB ∽△EBF ∴ BF = AB DB………………………（2 分）AD (2) ∵△ADB ∽△EBF ,∴ BD BE, ......................................... （1 分） BF1在平行四边形 ABCD 中，BE =ED = BD2∴ AD ⋅ BF = BD ⋅ BE = 1BD 22∴ BD 2 = 2 A D ⋅ BF , ................................................................................. （1 分）又∵ BD 2 = 2 AD ⋅ DF∴ BF = DF ,△DBF 是等腰三角形 ........................................................... （1 分） ∵ BE = DE ∴FE ⊥BD , 即∠DEF =90° ....................... （1 分） ∴∠ADC =∠DEF =90° ...................................... （1 分） ∴平行四边形 ABCD 是矩形 ....................................................................... （1 分）24．（本题满分 12 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 4 分，第（3）小题 4 分）8a解：（1）由题意得：抛物线对称轴 x = - 2a，即 x = 4 ． ................... （1 分）点 B （8,0）关于对称轴的对称点为点 A （0,0）∴ c = 0 ， ................... （1 分）将 C （9，-3）代入 y = ax 2 - 8ax ，得 a = -1 ................................... （1 分）3∴抛物线的表达式： y = - 1 x 2 + 8 x…………………………（1 分）33（2）∵点 M 在对称轴上，∴可设 M （4，y ） 又∵MA =MC ，即 MA 2 = MC 2∴ 42 + y 2 = 52 + ( y + 3)2 , 解得 y =-3, ∴M （4，-3） ............................. （2 分）∵MC //AB 且 MC ≠AB , ∴四边形 ABCM 为梯形，, AB =8,MC =5,AB 边上的高 h = y M = 3 ∴ S = 1 ( A B + MC ) ⨯ MH = 1 ⨯ (8 + 5) ⨯ 3 =39222(3) 将点 B （8,0）和点 C （9，﹣3）代入 y BC = kx + b 可得⎧8k + b = 0⎩9k + b = -3 ⎧k = -3 ，解得 ⎩b = 24=62 - 22 2 AH 2 + HC 2 32 + 49 A E P · BOHC第 25 题图(1)IE P · BOHC11 由题意得，∵AD //BC , k BC = -3 ∴ k AD = -3 ， y AD = -3x …（1 分）又∵AD 过（0,0），DC =AB =8，设 D (x ,-3x )(x - 9)2 + (-3x + 3)2 = 82 , ......................................... （1 分）解得 x 1 = 1(不合题意，舍去)， x = 13 2 5…………………………（1 分）∴ y = -3x = -39 ∴点 D 的坐标(13 ,- 39) ．… ........................... （1 分） 55 525．（本题满分 14 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分，第（3）小题 4 分） 解：（1）作 AH ⊥BC 于 H ，且cos ∠ABC = ，AB =6， D3那么 BH = AB ⋅ cos ∠ABC = 6 ⨯ = 2 .............. （2 分） 3BC =9，HC =9-2=7，AH = = 4 ， ..................................... （1 分）AC = = = 9 ﹒ ………（1 分）（2） 作 OI ⊥AB 于 I ，联结 PO ,AC =BC =9，AO =4.5 A D∴∠OAB =∠ABC ,AI1∴Rt △AIO 中， cos ∠IAO = cos ∠ABC ==AO 3∴AI =1.5，IO = 2 2 AI = 3 9……………………（1 分）第 25 题图(2)∴PI =AB -BP -AI =6-x -1.5= 2∴Rt △PIO 中，- x ， ................................. （1 分）OP 2 = PI 2 + OI 2 = (3 2)2 + ( 9 - x )2 = 18 + x 2 - 9x + 81 = x 2 - 9x + 153……（1 分）2∵⊙P 与⊙O 外切，∴ OP == x + y 4 4……………………（1 分）∴ y =- x = 1 24x 2 - 36x + 153 - x…………………………（1 分）∵动点 P 在边 AB 上，⊙P 经过点 B ,交线段 PA 于点 E ．∴定义域：0<x ≤3 ............... （1 分）2x 2- 9x + 153 4 x 2- 9x + 153 427 3 1 1 （3） 由题意得：∵点 E 在线段 AP 上，⊙O 经过点 E ，∴⊙O 与⊙P 相交∵AO 是⊙O 半径，且 AO ＞OI ，∴交点 E 存在两种不同的位置，OE =OA = 92① 当 E 与点 A 不重合时，AE 是⊙O 的弦，OI 是弦心距，∵AI =1.5，AE =3， ∴点 E 是 AB 中点， BE =AB = 3 , BP = PE = 23 , PI = 3 , IO = 32 OP = = 32+ (3 2 )2= = 3……………………（2 分）② 当 E 与点 A 重合时，点 P 是 AB 中点，点 O 是 AC 中点, OP = BC = 9 2 2……（2 分）∴ OP = 3 或 9．22PI 2+ IO 23。
上海18年初三数学各区二模23题汇编(含答案)
18年 二模23题汇编求线段比值或者证明线段倍数关系：1. 构造“A ”字形或“8”字形，利用比例线段常见于背景为平行四边形、特殊平行四边形或者梯形等存在隐含平行的几何图形的题目，或者题目已知平行或比值，以及燕尾形中。
2. 利用相似，对应边成比例 3. 利用锐角三角比常见于以直角三角形，矩形、正方形为背景，或者本身已知垂直的题目，遇到等腰梯形或直角梯形也常添加垂直与锐角三角比结合23．（普陀）已知：如图9，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ∥AB ，DE 与对角线AC 交于点F ，FG ∥AD ，且FG EF =.（1）求证：四边形ABED 是菱形； （2）联结AE ，又知AC ⊥ED ，求证：212AE EF ED =.23．证明： （1）∵AD ∥BC ，DE ∥AB ，∴四边形ABED 是平行四边形． ·································· （2分） ∵FG ∥AD ，∴FG CFAD CA=． ············································································· （1分） 同理 EF CF AB CA =． ···························································································· （1分） 得FG AD ＝EF AB∵FG EF =，∴AD AB =． ·············································································· （1分） ∴四边形ABED 是菱形． ····················································································· （1分） （2）联结BD ，与AE 交于点H ．∵四边形ABED 是菱形，∴，BD ⊥AE ． ········································· （2分）得90DHE ∠= ．同理90AFE ∠=． ∴DHE AFE ∠∠＝． ························································································ （1分） 又∵AED ∠是公共角，∴△DHE ∽△AFE ． ······················································ （1分） ∴EH DE EF AE =． ································································································ （1分） ∴12AE 2=EF i ED ． ······················································································· （1分）12EH AE =ABCDEF G图923（崇明）如图，AM 是ABC △的中线，点D 是线段AM 上一点（不与点A 重合）．DE AB ∥交BC 于点K ，CE AM ∥，联结AE ．（1）求证：AB CMEK CK=； （2）求证：BD AE =．23．（本题满分12分，每小题6分） （1）证明：∵DE AB ∥∴ ABCEKC =∠∠ ……………………………………………………1分 ∵CE AM ∥∴ AMB ECK =∠∠ ……………………………………………………1分∴ABM EKC △∽△ ……………………………………………………1分∴AB BMEK CK=………………………………………………………1分 ∵ AM 是△ABC 的中线∴BM CM = ………………………………………………………1分 ∴AB CMEK CK=………………………………………………………1分 （2）证明：∵CE AM ∥∴DE CMEK CK =………………………………………………………2分 又∵AB CMEK CK=∴DE AB = ………………………………………………………2分 又∵DE AB ∥∴四边形ABDE 是平行四边形 …………………………………………1分 ∴BD AE = ………………………………………………………1分23．（奉贤）已知：如图7，梯形ABCD ，DC ∥AB ，对角线AC 平分∠BCD ，点E 在边CB 的延长线上，EA ⊥AC ，垂足为点A ． （1）求证：B 是EC 的中点；（2）分别延长CD 、EA 相交于点F ，若EC DC AC ⋅=2，求证：FC AC AF AD ::=．（第23题图）ABK MCDEACDE图7B23．（本题满分12分，每小题满分各6分）证明：（1）∵DC ∥AB ，∴∠DCB =∠CAB . ……………………………………………1分 ∵AC 平分∠BCD ，∴∠DCB =∠BCA .∴∠CAB =∠BCA . ………………………………………………………………………1分 ∴BC =BA . ………………………………………………………………………………1分 ∵EA ⊥AC ，∴∠CAB +∠BAE=90°，∠BCA +∠E=90°. ∴∠BAE =∠E . …………1分 ∴BA =BE . …………………………………………………………………………………1分 ∴BC =BE ，即B 是EC 的中点. ………………………………………………………1分 （2）∵EC DC AC ⋅=2，∴AC EC DC AC ::=.∵∠DCA =∠ACE ，∴△DCA ∽△ACE . ………………………………………………2分 ∴EC AC AE AD ::=.……………………………………………………………………1分 ∵∠FCA =∠ECA ，AC=AC ，∠F AC =∠EAC ，∴△FCA ≌△ECA . …………………2分 ∴AE =AF ，EC =FC .∴FC AC AF AD ::=. …………………………………………………………………1分23．（黄浦）如图，点E 、F 分别为菱形ABCD 边AD 、CD 的中点. （1）求证：BE =BF ；（2）当△BEF 为等边三角形时，求证：∠D =2∠A .23. 证：（1）∵四边形ABCD 为菱形，∴AB =BC =AD =CD ，∠A =∠C ，——————————————————（2分） 又E 、F 是边的中点，∴AE =CF ，——————————————————————————（1分）∴△ABE ≌△CBF ———————————————————————（2分） ∴BE =BF . ——————————————————————————（1分）（2）联结AC 、BD ，AC 交BE 、BD 于点G 、O . ——————————（1分） ∵△BEF 是等边三角形, ∴EB =EF ，又∵E 、F 是两边中点， ∴AO =12AC =EF =BE .——————————————————————（1分） 又△ABD 中，BE 、AO 均为中线，则G 为△ABD 的重心， ∴1133OGAO BE GE ===, ∴AG =BG ，——————————————————————————（1分） 又∠AGE =∠BGO ，∴△AGE ≌△BGO ，———— ——————————————————（1分）∴AE =BO ，则AD =BD ，∴△ABD 是等边三角形，—— —————————————————（1分） 所以∠BAD =60°，则∠ADC =120°，即∠ADC =2∠BAD . ——— ——————————————————（1分）FEDCBAE G第23题图C A B DF23．（虹口）如图，四边形ABCD 是矩形，E 是对角线AC 上的一点，EB =ED 且∠ABE =∠ADE ． （1）求证：四边形ABCD 是正方形；（2）延长DE 交BC 于点F ，交AB 的延长线于点G ，求证：EF AG BC BE ⋅=⋅．23. 证：（1）证明：联结BD …………………………………………………………………（1分）∵EB =ED ∴∠EBD =∠EDB …………………………………………………（2分）∵∠ABE =∠ADE ∴∠ABD =∠ADB …………………………………………（1分） ∴AB=AD …………………………………………………………………………（1分） ∵四边形ABCD 是矩形 ∴四边形ABCD 是正方形………………………（1分） （2）证明：∵四边形ABCD 是矩形∴AD ∥BC ∴EF ECDE EA =………………………………………………（2分）同理 DC EC AG EA =……………………………………………………………（2分）∵DE=BE∵四边形ABCD 是正方形 ∴BC=DC …………………………………………（1分） ∴EF BC BE AG =∴EF AG BC BE ⋅=⋅ ……………………………………………………………（1分）证明乘积式：1. 化成比例式找相似相似找法，一般为横看或者竖看比例式当中的线段，观察构成两条线段的三个顶点即为要找的三角形顶点2. 找中间量进行转化：1） 找中间比利用等比转化 2） 找中间积利用等积进行转化3. 特殊四边形的特性与判定条件，如对角线相互平分 23．（闵行）如图，已知在△ABC 中，∠BAC =2∠C ，∠BAC 的平分线AE 与∠ABC 的平分线BD 相交于点F ，FG ∥AC ，联结DG ．（1）求证：BF BC AB BD ⋅=⋅； （2）求证：四边形ADGF 是菱形．23．证明：（1）∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAC =2∠BAF =2∠EAC ．∵∠BAC =2∠C ，∴∠BAF =∠C =∠EAC ．…………………………（1分） 又∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠DBC ．……………………………（1分） ∵∠ABF =∠C ，∠ABD =∠DBC ，∴ABF CBD ∆∆∽．…………………………………………………（1分） ∴AB BF BC BD=．………………………………………………………（1分） ∴BF BC AB BD ⋅=⋅．………………………………………………（1分） （2）∵FG ∥AC ，∴∠C =∠FGB ，∴∠FGB =∠F AB ．………………（1分）∵∠BAF =∠BGF ，∠ABD =∠GBD ，BF =BF ，∴ABF GBF ∆∆≌．∴AF =FG ，BA =BG ．…………………………（1分） ∵BA =BG ，∠ABD =∠GBD ，BD =BD ，∴ABD GBD ∆∆≌．∴∠BAD =∠BGD ．……………………………（1分） ∵∠BAD =2∠C ，∴∠BGD =2∠C ，∴∠GDC =∠C ，∴∠GDC =∠EAC ，∴AF ∥DG ．……………………………………（1分） 又∵FG ∥AC ，∴四边形ADGF 是平行四边形．……………………（1分） ∴AF =FG ．……………………………………………………………（1分） ∴四边形ADGF 是菱形．……………………………………………（1分）AB E GC F D（第23题图）23.（青浦）如图7，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点M ，点E 在边 BC 上，且DAE DCB ∠=∠，联结AE ，AE 与BD 交于点F ．（1）求证：2DM MF MB =⋅； （2）联结DE ，如果3BF FM =，求证：四边形ABED 是平行四边形.23．证明：（1）∵AD //BC ，∴∠=∠DAE AEB ， ············································· （1分）∵∠=∠DCB DAE ，∴∠=∠DCB AEB ， ································ （1分） ∴AE //DC ，··········································································· （1分）∴=FM AMMD MC． ··································································· （1分） ∵AD //BC ，∴=AM DMMC MB， ··················································· （1分） ∴=FM DM MD MB， ··································································· （1分） 即2=⋅MD MF MB ．（2）设=FM a ，则=3BF a ，=4BM a ． ··········································· （1分）由2=⋅MD MF MB ，得24=⋅MD a a ，∴2=MD a ， ········································································ （1分）∴3==DF BF a ． ·································································· （1分） ∵AD //BC ，∴1==AF DFEF BF， ···················································· （1分） ∴=AF EF ， ········································································· （1分） ∴四边形ABED 是平行四边形. ··················································· （1分）MFE DCBA图723.（松江）如图，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠D =90°，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ， F 是AB 的中点，联结AE 、EF ，且AE ⊥BE ．求证：（1）四边形BCEF 是菱形；（2）.证明：(1) ∵BE 平分∠ABC ,∴∠ABE =∠CBE …………………………………………………1分 ∵AE ⊥BE ∴∠AEB =90°∵F 是AB 的中点∴………………………………………………1分∴∠FEB =∠FBE …………………………………………………1分 ∴∠FEB =∠CBE …………………………………………………1分 ∴EF ∥BC …………………………………………………1分 ∵AB ∥CD∴四边形BCEF 是平行四边形…………………………1分 ∵∴四边形BCEF 是菱形……………………………………1分 (2) ∵四边形BCEF 是菱形, ∴BC =BF ∵ ∴AB =2BC ………………………………………………1分 ∵ AB ∥CD∴ ∠DEA =∠EAB ∵ ∠D =∠AEB∴ △EDA ∽△AEB ………………………………………2分∴ …………………………………………1分∴ BE ·AE =AD ·AB∴ …………………………………1分2BE AE AD BC ⋅=⋅12EF BF AB ==EF BF =12BF AB =AD AEBE AB =2BE AE AD BC ⋅=⋅(第23题图)FA CD EB23. （徐汇）在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB CD =，BD BC =，点E 在对角线BD 上，且DCE DBC ∠=∠. （1）求证：AD BE =；（2）延长CE 交AB 于点F ，如果CF AB ⊥， 求证：4EF FC DE BD ⋅=⋅.23．（长宁）如图，在四边形ABCD 中，AD //BC ，E 在BC 的延长线，联结AE 分别交BD 、CD 于点 G 、F ，且AG GF BE AD =．（1）求证：AB //CD ；（2）若BD GD BC ⋅=2，BG =GE ，求证：四边形ABCD 是菱形．证明：（1）∵BC AD // ∴BGDG BE AD = （2分）∵AG GF BE AD = ∴AGGF BG DG = （1分） ∴ CD AB // （2分）（2）∵BC AD //，CD AB //∴四边形ABCD 是平行四边形 ∴BC=AD （1分）∵ BD GD BC ⋅=2∴ BD GD AD ⋅=2即ADGDBD AD =又 ∵BDA ADG ∠=∠ ∴ADG ∆∽BDA ∆ （1分）∴ABD DAG ∠=∠∵CD AB // ∴BDC ABD ∠=∠ ∵BC AD // ∴E DAG ∠=∠∵BG =GE ∴E DBC ∠=∠ ∴DBC BDC ∠=∠ （3分） ∴BC=CD （1分） ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴平行四边形ABCD 是菱形. （1分） 23.（宝山嘉定）如图6，在正方形ABCD 中，点M 是边BC 上的一点（不与B 、C 重合），点N 在CD 边的延长线上，且满足︒=∠90MAN ，联结MN 、AC ，MN 与边AD 交于点E . （1）求证：AN AM =；ACDEF GB第23题图（2）如果NAD CAD ∠=∠2，求证：AE AC AM ⋅=2.证明垂直：1. 所求角所在的三角形与已知直角三角形相似2. 三线合一，勾股定理，证明互余等3. 特殊的四边形特性与判定23．（金山）如图7，已知AD 是△ABC 的中线， M 是AD 的中点， 过A 点作AE ∥BC ，CM 的延 长线与AE 相交于点E ，与AB 相交于点F ．（1）求证：四边形AEBD 是平行四边形；（2）如果AC =3AF ，求证四边形AEBD 是矩形．23．证明：（1）∵AE //BC ，∴∠AEM =∠DCM ，∠EAM =∠CDM ，…………………………（1分）又∵AM=DM ，∴△AME ≌△DMC ，∴AE ＝CD ，………………………………（1分） ∵BD=CD ，∴AE =BD ．……………………………………………………………（1分） ∵AE ∥BD ，∴四边形AEBD 是平行四边形．……………………………………（2分）（2）∵AE //BC，∴AF AEFB BC=．………………………………………………………（1分） ∵AE=BD=CD ，∴12AF AE FB BC ==，∴AB=3AF ．……………………………（1分）∵AC=3AF ，∴AB=AC ，…………………………………………………………（1分） 又∵AD 是△ABC 的中线，∴AD ⊥BC ，即∠ADB =90°．……………………（1分） ∴四边形AEBD 是矩形．…………………………………………………………（1分）E AF M B D图7C23.（静安）已知：如图，在平行四边形ABCD 中， AC 、DB 交于点E ， 点F 在BC 的延长线上，联结EF 、DF ，且∠DEF =∠ADC ． （1）求证：DBABBF EF =； （2）如果DF AD BD ⋅=22，求证：平行四边形ABCD 是矩形．23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分） 证明：（1）∵平行四边形ABCD ，∴AD //BC ，AB //DC∴∠BAD +∠ADC =180°，……………………………………（1分）又∵∠BEF +∠DEF =180°, ∴∠BAD +∠ADC =∠BEF +∠DEF ……（1分） ∵∠DEF =∠ADC ∴∠BAD =∠BEF ， …………………………（1分） ∵AB //DC ， ∴∠EBF =∠ADB …………………………（1分）∴△ADB ∽△EBF ∴DB ABBF EF =………………………（2分） (2) ∵△ADB ∽△EBF ,∴BFBEBD AD =, ………………………（1分） 在平行四边形ABCD 中，BE =ED =BD 21∴221BD BE BD BF AD =⋅=⋅∴BF AD BD ⋅=22, ………………………………………（1分） 又∵DF AD BD ⋅=22∴DF BF =,△DBF 是等腰三角形 …………………………（1分） ∵DE BE =∴FE ⊥BD , 即∠DEF =90° …………………………（1分） ∴∠ADC =∠DEF =90° …………………………（1分） ∴平行四边形ABCD 是矩形 …………………………（1分）C第23题图A B DEF11 / 1123. （杨浦）已知：如图7，在平行四边形ABCD 中，点G 为对角线AC 的中点，过点G 的直线EF 分别交边AB 、CD 于点E 、F ，过点G 的直线MN 分别交边AD 、BC 于点M 、N ，且AGE CGN ．（1）求证：四边形ENFM 为平行四边形；（2）当四边形ENFM 为矩形时，求证：BE BN ．（1）ABCD 是平行四边形∴BC AD CD AB ∥，∥∴ACB DAC ∠=∠在AMG △与CNG △中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠CGNAGM GC AG ACBDACCNG AMG ≌△△∴GN MG =同理CFG AEG ≌△△∴GF EG =∴EMFN 是平行四边形（2）EMFN 是矩形∴GN EG =在AEG △与CNG △中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=GNEG CGN AGE GCAGCNG AGE ≌△△∴NC AE GCN GAE =∠=∠,∴AC AB =∴BN EB =。
上海市闵行区2018届九年级中考数学二模试卷解析
2018年上海市闵行区中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1. 在下列各式中，二次单项式是（）A. x2+1B. xy2C. 2xyD. （﹣）2【答案】C【解析】分析：根据单项式的概念和次数、系数直接判断即可.详解：由题意可知：2xy是二次单项式，故选：C．点睛：此题主要考查了单项式的概念，会判断单项式的系数和次数是解题关键，比较简单.2. 下列运算结果正确的是（）A. （a+b）2=a2+b2B. 2a2+a=3a3C. a3•a2=a5D. 2a﹣1=（a≠0）【答案】C【解析】分析：根据整式的加减乘除运算的法则，完全平方公式，同底数幂相乘，负整指数幂的性质求解即可.详解：根据完全平方公式，可知（a+b）2=a2+2ab+b2，故A错误；根据整式的加减法，可由2a2+a中没有同类项，不能合并，故B错误；根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可知a3•a2=a5，故正确；根据负整指数幂的性质，可知2a﹣1=，故D错误；故选：C．点睛：此题主要考查了整式的加减和整式的乘除，熟记完全平方公式，同底数幂相乘，负整指数幂的性质是解题关键.3. 在平面直角坐标系中，反比例函数y=（k≠0）图象在每个象限内y随着x的增大而减小，那么它的图象的两个分支分别在（）A. 第一、三象限B. 第二、四象限C. 第一、二象限D. 第三、四象限【答案】A【解析】分析：根据反比例函数的图像与性质，由性质得到函数的图像的特点，然后判断即可.详解：∵反比例函数y=（k≠0）图象在每个象限内y随着x的增大而减小，∴k＞0，∴它的图象的两个分支分别在第一、三象限．故选：A．点睛：此题主要考查了反比例函数的图像与性质，熟记反比例函数的图像与性质是解题关键.当k＞0时，函数y=（k≠0）的图像在一三象限，在每个象限内，y随x增大而减小；当k＜0时，函数y=（k≠0）的图像在二四象限，在每个象限内，y随x增大而增大.4. 有9名学生参加校民乐决赛，最终成绩各不相同，其中一名同学想要知道自己是否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（）A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差【答案】B【解析】解：由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少．故选B．5. 已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A. 当AB=BC时，四边形ABC D是菱形B. 当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C. 当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形D. 当AC=BD时，四边形ABCD是正方形【答案】D【解析】A.因为有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，所以A正确；B.因为对角线相等的平行四边形是菱形，所以B正确；C.因为有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以C正确；D.对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，所以D错误.故选D.6. 点A在圆O上，已知圆O的半径是4，如果点A到直线a的距离是8，那么圆O与直线a的位置关系可能是（）A. 相交B. 相离C. 相切或相交D. 相切或相离【答案】D【解析】解：∵点A在圆O上，已知圆O的半径是4，点A到直线a的距离是8，∴圆O与直线a的位置关系可能是相切或相离．故选D．点睛：本题考查了直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7. 计算：|﹣1|+22=_____．【答案】5【解析】分析：根据绝对值的意义和乘方的意义，依次计算即可.详解：原式=1+4=5，故答案为：5点睛：此题主要考查了有理数的混合运算，利用绝对值的性质和乘方的意义求解即可，比较简单.8. 在实数范围内分解因式：4a2﹣3=_____．【答案】【解析】分析：根据多项式在实数范围内的因式分解，直接利用平方差公式进行因式分解即可.详解：4a2﹣3=．故答案为：．点睛：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式，完全平方公式）、三检查（彻底分解）.9. 方程=1的根是_____．【答案】x=1【解析】分析：根据算术平方根的意义，方程两边分别平方，化为整式方程，然后求解即可.详解：两边平方得2x﹣1=1，解得x=1．经检验x=1是原方程的根．故本题答案为：x=1．点睛：此题主要考查了无理方程的解法，利用算术平方根的意义把无理方程化为整式方程是解题关键，比较困难，容易忘记检验.10. 已知关于x的方程x2﹣3x﹣m=0没有实数根，那么m的取值范围是_____．【答案】m＜-【解析】分析：根据一元二次方程的根的判别式求解即可.详解：∵关于x的方程x2﹣3x﹣m=0没有实数根，∴△＜0，即（﹣3）2﹣4（﹣m）＜0，解得m＜﹣，故答案为：m＜﹣．点睛：此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，关键是明确根的个数和判别式的关系.当△=b2-4ac＞0时，一元一次方程有两个不相等的实数根；当△=b2-4ac=0时，一元一次方程有两个相等的实数根；当△=b2-4ac＜0时，一元一次方程没有实数根.11. 已知直线y=kx+b（k≠0）与直线y=﹣x平行，且截距为5，那么这条直线的解析式为_____．【答案】y=-x+5【解析】分析：根据互相平行的两直线的关系求得系数k的值，再根据再y轴的截距确定出b的值即可得到直线的解析式.详解：∵直线y=kx+b平行于直线y=﹣x，∴k=﹣．又∵截距为5，∴b=5，∴这条直线的解析式是y=﹣x+5．故答案是：y=﹣x+5．点睛：此题主要考查了待定系数法求函数的解析式，关键是明确互相平行的两直线的系数k相同.12. 某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率为_____．【答案】【解析】分析：根据红绿灯的时间求出总时间，然后根据绿灯时间除以总时间即可求出概率.详解：抬头看信号灯时，是绿灯的概率为=．故答案为：．点睛：此题主要考查了求随机事件的概率，熟记概率的意义和公式是解题关键，比较简单.13. 已知一个40个数据的样本，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别为10，5，7，6，第五组的频率是0.10，则第六组的频数为_____．【答案】814. 如图，已知在矩形ABCD中，点E在边AD上，且AE=2ED．设=，=，那么=_____（用、的式子表示）．【答案】【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AB∥CD，AD=BC，AD∥BC，∴====．∵AE=2DE，∴==+=﹣．故答案为：﹣．15. 如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1与a2互为相反数，b1与b2相等，c1与c2互为倒数，那么称这两个函数为“亚旋转函数”．请直接写出函数y=﹣x2+3x﹣2的“亚旋转函数”为_____．【答案】y=x2+3x-【解析】分析：仔细阅读题意，明确“亚旋转函数”的意义，然后根据特点求解即可.详解：∵y=﹣x2+3x﹣2中a=﹣1，b=3，c=﹣2，且﹣1的相反数是1，与b相等的数是3，﹣2的倒数是﹣，∴y=﹣x2+3x﹣2的“亚旋转函数”为 y=x2+3x﹣．故答案是：y=x2+3x﹣．点睛：此题主要考查了新定义下的函数关系，仔细认真审题，确定解题方法，然后直接根据特点求解是解题关键.16. 如果正n边形的中心角为2α，边长为5，那么它的边心距为_____．（用锐角α的三角比表示）【答案】（或）【解析】分析：根据正多边形的边数，确定正多边形的中心角，然后构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质和锐角三角函数解直角三角形即可.详解：如图所示：∵正n边形的中心角为2α，边长为5，∵边心距OD=（或），故答案为：（或），点睛：此题主要考查了正多边形的性质，关键是正确确定正多边形的中心角，够造直角三角形.17. 如图，一辆小汽车在公路l上由东向西行驶，已知测速探头M到公路l的距离MN为9米，测得此车从点A行驶到点B所用的时间为0.6秒，并测得点A的俯角为30o，点B的俯角为60o．那么此车从A到B的平均速度为_____米/秒．（结果保留三个有效数字，参考数据：≈1.732，≈1.414）【答案】17.3【解析】解：在Rt△AMN中，AN=MN×tan∠AMN=MN×tan60°=9×=9．在Rt△BMN中，BN=MN×tan∠BMN=MN×tan30°=9×=3，∴AB=AN﹣BN=9﹣3=6．则A到B的平均速度为：==10≈17.3（米/秒）．故答案为：17.3．点睛：本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，将已知条件和所求结论转化到同一个直角三角形中求解是解直角三角形的常规思路．18. 在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AB=12，DC=7，cos∠ABC=，点E在线段AD上，将△ABE 沿BE翻折，点A恰巧落在对角线BD上点P处，那么PD=_____．【答案】12-12【解析】解：过点C作CF⊥AB于点F，则四边形AFCD为矩形，如图所示．∵AB=12，DC=7，∴BF=5．又∵cos∠ABC=，∴BC=13，CF==12．∵AD=CF=12，AB=12，∴BD==12．∵△ABE沿BE翻折得到△PBE，∴BP=BA=12，∴PD=BD﹣BP=12﹣12．故答案为：12﹣12．点睛：本题考查了翻折变换、直角梯形以及解直角三角形，通过解直角三角形求出AD、BD的长度是解题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19. 计算：+（﹣1）2018﹣2cos45°+8．【答案】2【解析】分析：根据二次根式的分母有理化，乘方的意义，特殊角的三角函数值，分数指数的性质计算即可.详解：原式=﹣1+1﹣2×+2=﹣+2=2．点睛：此题主要考查了实数的运算，熟记二次根式的分母有理化，乘方的意义，特殊角的三角函数值，分数指数的性质是解题关键.20. 解方程组：【答案】，【解析】分析：根据题意，把方程②因式分解为ab=0的形式，然后构造二元一次方程组，再根据加减消元法或代入消元法求解方程即可.详解：由②得：（x﹣2y）（x+y）=0x﹣2y=0或x+y=0原方程组可化为，解得原方程组的解为，∴原方程组的解是为，学,科,网...学,科,网...学,科,网...学,科,网...学,科,网...学,科,网...学,科,网...学,科,网...21. 已知一次函数y=﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为边在第一象限内作直角三角形ABC，且∠BAC=90°，tan∠ABC=．（1）求点C的坐标；（2）在第一象限内有一点M（1，m），且点M与点C位于直线AB的同侧，使得2S△ABM=S△ABC，求点M的坐标．【答案】（1）（4，1）（2）（1，）【解析】分析：（1）先求出点A、B的坐标，再求出AB、AC的长，过点C作CD⊥x轴于点D，易得△OBA∽△DAC，得出AD=2,CD=1，从而得到结论；（2）分别求出△ABC的面积和△ABM的面积，令令直线x=1与线段AB交于点E，ME=m﹣2；分别过点A、B 作直线x=1的垂线，垂足分别为F、G，得到AF+BG=OA=2，由△ABM的面积=△BME的面积+△AME的面积，得到ME的长，从而求解即可.详解：（1）令y=0，则﹣2x+4=0，解得x=2，∴点A坐标是（2，0）．令x=0，则y=4，∴点B坐标是（0，4）．∴AB===2．∵∠BAC=90°，tan∠ABC==，∴AC=AB=．如图1，过C点作CD⊥x轴于点D，∠BAO+∠ABO=90°，∠BAO+∠CAD=90°，∵∴∠ABO=∠CAD，，∴△OAB∽△DAC．∴===，∵OB=4，OA=2，∴AD=2，CD=1，∴点C坐标是（4，1）．（2）S△ABC=AB•AC=×2×=5．∵2S△ABM=S△ABC，∴S△ABM=．∵M（1，m），∴点M在直线x=1上；令直线x=1与线段AB交于点E，ME=m﹣2；如图2，分别过点A、B作直线x=1的垂线，垂足分别是点F、G，∴AF+BG=OA=2；∴S△ABM=S△BME+S△AME=ME•BG+ME•AF=ME（BG+AF）=ME•OA=×2×ME=，∴ME=，m﹣2=，m=，∴M（1，）．点睛：此题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定与性质，三角形的面积求解，灵活准确的添加辅助线是解题关键.22. 为了响应上海市市政府“绿色出行”的号召，减轻校门口道路拥堵的现状，王强决定改父母开车接送为自己骑车上学．已知他家离学校7.5千米，上下班高峰时段，驾车的平均速度比自行车平均速度快15千米/小时，骑自行车所用时间比驾车所用时间多小时，求自行车的平均速度？【答案】自行车的平均速度是15千米/时【解析】试题分析：根据题目中的关键语句“骑自行车所用时间比驾车所用时间多小时”，找到等量关系列出分式方程求解即可．试题解析：解：设自行车的平均速度是x千米/时．根据题意，列方程得：﹣=解得：x1=15，x2=﹣30．经检验，x1=15是原方程的根，且符合题意，x2=﹣30不符合题意舍去．答：自行车的平均速度是15千米/时．23. 如图，已知在△ABC中，∠BAC=2∠C，∠BAC的平分线AE与∠ABC的平分线BD相交于点F，FG∥AC，联结DG．（1）求证：BF•BC=AB•BD；（2）求证：四边形ADGF是菱形．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）通过证明△ABF∽△CBD，由相似三角形对应边成比例即可得出结论；（2）先证明△ABF≌△GBF，得到AF=FG，BA=BG，再证明△ABD≌△GBD，得到∠BAD=∠BGD，进而得到AF∥DG，从而有四边形ADGF是平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形即可得到结论．试题解析：证明：（1）∵AE平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAF=2∠EAC．∵∠BAC=2∠C，∴∠BAF=∠C=∠EAC．又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC．∵∠ABF=∠C，∠ABD=∠DBC，∴△ABF∽△CBD，∴，∴BF•BC=AB•BD．（2）∵FG∥AC，∴∠C=∠FGB，∴∠FGB=∠F AB．∵∠BAF=∠BGF，∠ABD=∠GBD，BF=BF，∴△ABF≌△GBF，∴AF=FG，BA=BG．∵BA=BG，∠ABD=∠GBD，BD=BD，∴△ABD≌△GBD，∴∠BAD=∠BGD．∵∠BAD=2∠C，∴∠BGD=2∠C，∴∠GDC=∠C，∴∠GDC=∠EAC，∴AF∥DG．又∵FG∥AC，∴四边形ADGF是平行四边形，∴AF=FG，∴四边形ADGF是菱形．24. 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴相交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；（2）求证：∠DAB=∠ACB；（3）点Q在抛物线上，且△ADQ是以AD为底的等腰三角形，求Q点的坐标．【答案】（1）（﹣1，4）；（2）∠DAB=∠ACB；（3），【解析】试题分析：（1）把B、C坐标代入抛物线解析式中，解方程组即可得到抛物线解析式，从而得到抛物线顶点坐标；（2）由tan∠OCB=．tan∠DAC=，得到∠DAC=∠OCB，从而得到结论；（3）令Q（x，y）且满足，由△ADQ是以AD为底的等腰三角形，得到QD2=QA2，从而得到x-2+2y=0．解方程组，即可得到结论．试题解析：解：（1）把B（1，0）和C（0，3）代入中，得：，解得：．∴抛物线的解析式是：，∴顶点坐标D（－1，4）．（2）令y=0，则，x1=－3，x2=1，∴A（－3，0），∴OA=OC=3，∴∠CAO=∠OCA．在Rt△BOC 中，tan∠OCB=．∵AC=，DC=，AD=，∴AC2+DC2=20，AD2=20，∴AC2+DC2=AD2，∴△ACD是直角三角形且∠ACD=90°，∴tan∠DAC=．又∵∠DAC和∠OCB都是锐角，∴∠DAC=∠OCB，∴∠DAC+∠CAO=∠BCO+∠OCA，即∠DAB=∠ACB．（3）令Q（x，y）且满足，A(－3，0），D（－1，4）．∵△ADQ是以AD为底的等腰三角形，∴QD2=QA2，即，化简得：x-2+2y=0．由，解得：，，∴点Q的坐标是（，），（，）．25. 如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点F在线段AB上，以点B为圆心，BF为半径的圆交BC于点E，射线AE交圆B于点D（点D、E不重合）．（1）如果设BF=x，EF=y，求y与x之间的函数关系式，并写出它的定义域；（2）如果，求ED的长；（3）联结CD、BD，请判断四边形ABDC是否为直角梯形？说明理由．【答案】（1）y=x（0＜x＜8）（2）（3）四边形ABDC不可能是直角梯形【解析】试题分析：（1）在Rt△ABC中由勾股定理得到AB=10．过E作EH⊥AB，垂足是H，易得：EH=，BH=，FH=．在Rt△EHF中，由勾股定理即可得到结论；（2）取弧ED的中点P，联结BP交ED于点G．由，P是弧ED的中点，得到弧EP=弧EF=弧PD，进而得到∠FBE =∠EBP =∠PBD．由垂径定理得BG⊥ED，ED =2EG =2DG．易证△BEH≌△BEG，得到EH=EG=GD=．解Rt△CEA得到CE，BE的长，从而得到结论．（3）四边形ABDC不可能为直角梯形．分两种情况讨论：①当CD∥AB时，如果四边形ABDC是直角梯形，只可能∠ABD =∠CDB = 90o．由，即可得到结论．②当AC∥BD时，如果四边形ABDC是直角梯形，只可能∠ACD =∠CDB = 90o．由∠ABD＞90o．即可得到结论．试题解析：解：（1）在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∠ACB=90°，∴AB=10．过E作EH⊥AB，垂足是H，易得：EH=，BH=，FH=．在Rt△EHF中，，∴（0＜x＜8）．（2）取弧ED的中点P，联结BP交ED于点G．∵，P是弧ED的中点，∴弧EP=弧EF=弧PD，∴∠FBE =∠EBP =∠PBD．∵弧EP=弧EF，BP过圆心，∴BG⊥ED，ED =2EG =2DG．又∵∠CEA =∠DEB，∴∠CAE=∠EBP=∠ABC．又∵BE是公共边，∴△BEH≌△BEG，∴EH=EG=GD=．在Rt△CEA中，∵AC = 6，BC=8，tan∠CAE=tan∠ABC=，∴CE=AC•tan∠CAE==，∴BE==，∴ED=2EG===．（3）四边形ABDC不可能为直角梯形．①当CD∥AB时，如果四边形ABDC是直角梯形，只可能∠ABD =∠CDB = 90o．在Rt△CBD中，∵BC=8，∴CD•cos∠BCD=，BD=BC•sin∠BCD==BE，∴，，∴，∴CD不平行于AB，与CD∥AB矛盾，∴四边形ABDC不可能为直角梯形．②当AC∥BD时，如果四边形ABDC是直角梯形，只可能∠ACD =∠CDB = 90o．∵AC∥BD，∠ACB = 90o，∴∠ACB =∠CBD = 90o，∴∠ABD =∠ACB +∠BCD＞90o．与∠ACD =∠CDB = 90o矛盾．∴四边形ABDC不可能为直角梯形．点睛：本题是圆的综合题．考查了圆的有关性质和直角梯形的判定．解题的关键是（3）要分两种情况讨论．。
(完整版)2018年上海市中考数学二模试卷
2018年上海市中考数学二模试卷一、选择题（每小题4分，共24分）1．（4分）（2018•上海）计算的结果是（）A．B．C．D．32．（4分）（2018•上海）据统计，2013年上海市全社会用于环境保护的资金约为60 800 000 000元，这个数用科学记数法表示为（）A．608×108B．60.8×109C．6.08×1010D．6.08×10113．（4分）（2018•上海）如果将抛物线y=x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（）A．y=x2﹣1 B．y=x2+1 C．y=（x﹣1）2D．y=（x+1）24．（4分）（2018•上海）如图，已知直线a、b被直线c所截，那么∠1的同位角是（）A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠55．（4分）（2018•上海）某事测得一周PM2.5的日均值（单位：）如下：50，40，75，50，37，50，40，这组数据的中位数和众数分别是（）A．50和50 B．50和40 C．40和50 D．40和406．（4分）（2018•上海）如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（）A．△ABD与△ABC的周长相等B．△ABD与△ABC的面积相等C．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍D．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍二、填空题（每小题4分，共48分）7．（4分）（2018•上海）计算：a（a+1）=_________．8．（4分）（2018•上海）函数y=的定义域是_________．9．（4分）（2018•上海）不等式组的解集是_________．10．（4分）（2018•上海）某文具店二月份销售各种水笔320支，三月份销售各种水笔的支数比二月份增长了10%，那么该文具店三月份销售各种水笔_________支．11．（4分）（2018•上海）如果关于x的方程x2﹣2x+k=0（k为常数）有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是_________．12．（4分）（2018•上海）已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1：2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为_________米．13．（4分）（2018•上海）如果从初三（1）、（2）、（3）班中随机抽取一个班与初三（4）班进行一场拔河比赛，那么恰好抽到初三（1）班的概率是_________．14．（4分）（2018•上海）已知反比例函数y=（k是常数，k≠0），在其图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值的增大而增大，那么这个反比例函数的解析式是_________（只需写一个）．15．（4分）（2018•上海）如图，已知在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，且AB=3EB．设=，=，那么=_________（结果用、表示）．16．（4分）（2018•上海）甲、乙、丙三人进行飞镖比赛，已知他们每人五次投得的成绩如图，那么三人中成绩最稳定的是_________．17．（4分）（2018•上海）一组数：2，1，3，x，7，y，23，…，满足“从第三个数起，前两个数依次为a、b，紧随其后的数就是2a﹣b”，例如这组数中的第三个数“3”是由“2×2﹣1”得到的，那么这组数中y表示的数为_________．18．（4分）（2018•上海）如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE=2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C、D分别落在边BC下方的点C′、D′处，且点C′、D′、B在同一条直线上，折痕与边AD交于点F，D′F与BE交于点G．设AB=t，那么△EFG的周长为_________（用含t的代数式表示）．三、解答题（本题共7题，满分78分）19．（10分）（2018•上海）计算：﹣﹣+||．20．（10分）（2018•上海）解方程：﹣=．21．（10分）（2018•上海）已知水银体温计的读数y（℃）与水银柱的长度x（cm）之间是一次函数关系．现有一支水银体温计，其部分刻度线不清晰（如图），表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长度．水银柱的长度x（cm）4.2 …8.2 9.8体温计的读数y（℃）35.0 …40.0 42.0（1）求y关于x的函数关系式（不需要写出函数的定义域）；（2）用该体温计测体温时，水银柱的长度为6.2cm，求此时体温计的读数．22．（10分）（2018•上海）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH．（1）求sinB的值；（2）如果CD=，求BE的值．23．（12分）（2018•上海）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC、BD相交于点F，点E 是边BC延长线上一点，且∠CDE=∠ABD．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）连接AE，交BD于点G，求证：=．24．（12分）（2018•上海）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣2）．（1）求该抛物线的表达式，并写出其对称轴；（2）点E为该抛物线的对称轴与x轴的交点，点F在对称轴上，四边形ACEF为梯形，求点F的坐标；（3）点D为该抛物线的顶点，设点P（t，0），且t＞3，如果△BDP和△CDP的面积相等，求t的值．25．（14分）（2018•上海）如图1，已知在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，cosB=，点P是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G．（1）当圆C经过点A时，求CP的长；（2）连接AP，当AP∥CG时，求弦EF的长；（3）当△AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长．2018年上海市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共24分）1．（4分）（2018•上海）计算的结果是（）A．B．C．D．3考点：二次根式的乘除法．专题：计算题．分析：根据二次根式的乘法运算法则进行运算即可．解答：解：•=，故选：B．点评：本题主要考查二次根式的乘法运算法则，关键在于熟练正确的运用运算法则，比较简单．2．（4分）（2018•上海）据统计，2013年上海市全社会用于环境保护的资金约为60 800 000 000元，这个数用科学记数法表示为（）A．608×108B．60.8×109C．6.08×1010D．6.08×1011考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：60 800 000 000=6.08×1010，故选：C．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（4分）（2018•上海）如果将抛物线y=x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（）A．y=x2﹣1 B．y=x2+1 C．y=（x﹣1）2D．y=（x+1）2考点：二次函数图象与几何变换．专题：几何变换．分析：先得到抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再得到点（0，0）向右平移1个单位得到点的坐标为（1，0），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．解答：解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向右平移1个单位得到点的坐标为（1，0），所以所得的抛物线的表达式为y=（x﹣1）2．故选：C．点评：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．4．（4分）（2018•上海）如图，已知直线a、b被直线c所截，那么∠1的同位角是（）A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5考点：同位角、内错角、同旁内角．分析：根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角可得答案．解答：解：∠1的同位角是∠5，故选：D．点评：此题主要考查了同位角的概念，关键是掌握同位角的边构成“F“形．5．（4分）（2018•上海）某事测得一周PM2.5的日均值（单位：）如下：50，40，75，50，37，50，40，这组数据的中位数和众数分别是（）A．50和50 B．50和40 C．40和50 D．40和40考点：众数；中位数．分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．解答：解：从小到大排列此数据为：37、40、40、50、50、50、75，数据50出现了三次最多，所以50为众数；50处在第4位是中位数．故选：A．点评：本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．6．（4分）（2018•上海）如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（）A．△ABD与△ABC的周长相等B．△ABD与△ABC的面积相等C．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍D．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍考点：菱形的性质．专题：几何图形问题．分析：分别利用菱形的性质结合各选项进而求出即可．解答：解：A、∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=AD，∵AC＜BD，∴△ABD与△ABC的周长不相等，故此选项错误；B、∵S△ABD=S平行四边形ABCD，S△ABC=S平行四边形ABCD，∴△ABD与△ABC的面积相等，故此选项正确；C、菱形的周长与两条对角线之和不存在固定的数量关系，故此选项错误；D、菱形的面积等于两条对角线之积的，故此选项错误；故选：B．点评：此题主要考查了菱形的性质应用，正确把握菱形的性质是解题关键．二、填空题（每小题4分，共48分）7．（4分）（2018•上海）计算：a（a+1）=a2+a．考点：单项式乘多项式．专题：计算题．分析：原式利用单项式乘以多项式法则计算即可得到结果．解答：解：原式=a2+a．故答案为：a2+a点评：此题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．（4分）（2018•上海）函数y=的定义域是x≠1．考点：函数自变量的取值范围．分析：根据分母不等于0列式计算即可得解．解答：解：由题意得，x﹣1≠0，解得x≠1．故答案为：x≠1．点评：本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．9．（4分）（2018•上海）不等式组的解集是3＜x＜4．考点：解一元一次不等式组．专题：计算题．分析：先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集．解答：解：，解①得：x＞3，解②得：x＜4．则不等式组的解集是：3＜x＜4．故答案是：3＜x＜4点评：本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x ＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．10．（4分）（2018•上海）某文具店二月份销售各种水笔320支，三月份销售各种水笔的支数比二月份增长了10%，那么该文具店三月份销售各种水笔352支．考点：有理数的混合运算．专题：应用题．分析：三月份销售各种水笔的支数比二月份增长了10%，是把二月份销售的数量看作单位“1”，增加的量是二月份的10%，即三月份生产的是二月份的（1+10%），由此得出答案．解答：解：320×（1+10%）=320×1.1=352（支）．答：该文具店三月份销售各种水笔352支．故答案为：352．点评：此题考查有理数的混合运算，理解题意，列出算式解决问题．11．（4分）（2018•上海）如果关于x的方程x2﹣2x+k=0（k为常数）有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是k＜1．考点：根的判别式．分析：根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式的意义得到△＞0，即（﹣2）2﹣4×1×k＞0，然后解不等式即可．解答：解：∵关于x的方程x2﹣3x+k=0（k为常数）有两个不相等的实数根，∴△＞0，即（﹣2）2﹣4×1×k＞0，解得k＜1，∴k的取值范围为k＜1．故答案为：k＜1．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．12．（4分）（2018•上海）已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1：2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为26米．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：应用题．分析：首先根据题意画出图形，根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案．解答：解：如图，由题意得：斜坡AB的坡度：i=1：2.4，AE=10米，AE⊥BD，∵i==，∴BE=24米，∴在Rt△ABE中，AB==26（米）．故答案为：26．点评：此题考查了坡度坡角问题．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，注意理解坡度的定义．13．（4分）（2018•上海）如果从初三（1）、（2）、（3）班中随机抽取一个班与初三（4）班进行一场拔河比赛，那么恰好抽到初三（1）班的概率是．考点：概率公式．分析：由从初三（1）、（2）、（3）班中随机抽取一个班与初三（4）班进行一场拔河比赛，直接利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：∵从初三（1）、（2）、（3）班中随机抽取一个班与初三（4）班进行一场拔河比赛，∴恰好抽到初三（1）班的概率是：．故答案为：．点评：此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．（4分）（2018•上海）已知反比例函数y=（k是常数，k≠0），在其图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值的增大而增大，那么这个反比例函数的解析式是y=﹣（只需写一个）．考点：反比例函数的性质．专题：开放型．分析：首先根据反比例函数的性质可得k＜0，再写一个符合条件的数即可．解答：解：∵反比例函数y=（k是常数，k≠0），在其图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值的增大而增大，∴k＜0，∴y=﹣，故答案为：y=﹣．点评：此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握对于反比例函数y=，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大．15．（4分）（2018•上海）如图，已知在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，且AB=3EB．设=，=，那么=﹣（结果用、表示）．考点：*平面向量．分析：由点E在边AB上，且AB=3EB．设=，可求得，又由在平行四边形ABCD中，=，求得，再利用三角形法则求解即可求得答案．解答：解：∵AB=3EB．=，∴==，∵平行四边形ABCD中，=，∴==，∴=﹣=﹣．故答案为：﹣．点评：此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用．16．（4分）（2018•上海）甲、乙、丙三人进行飞镖比赛，已知他们每人五次投得的成绩如图，那么三人中成绩最稳定的是乙．考点：方差；折线统计图．专题：图表型．分析：根据方差的意义数据波动越小，数据越稳定即可得出答案．解答：解：根据图形可得：乙的成绩波动最小，数据最稳定，则三人中成绩最稳定的是乙；故答案为：乙．点评：本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．17．（4分）（2018•上海）一组数：2，1，3，x，7，y，23，…，满足“从第三个数起，前两个数依次为a、b，紧随其后的数就是2a﹣b”，例如这组数中的第三个数“3”是由“2×2﹣1”得到的，那么这组数中y表示的数为﹣9．考点：规律型：数字的变化类．分析：根据“从第三个数起，前两个数依次为a、b，紧随其后的数就是2a﹣b”，首先建立方程2×3﹣x=7，求得x，进一步利用此规定求得y即可．解答：解：解法一：常规解法∵从第三个数起，前两个数依次为a、b，紧随其后的数就是2a﹣b∴2×3﹣x=7∴x=﹣1则2×（﹣1）﹣7=y解得y=﹣9．解法二：技巧型∵从第三个数起，前两个数依次为a、b，紧随其后的数就是2a﹣b∴7×2﹣y=23∴y=﹣9故答案为：﹣9．点评：此题考查数字的变化规律，注意利用定义新运算方法列方程解决问题．18．（4分）（2018•上海）如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE=2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C、D分别落在边BC下方的点C′、D′处，且点C′、D′、B在同一条直线上，折痕与边AD交于点F，D′F与BE交于点G．设AB=t，那么△EFG的周长为2t（用含t的代数式表示）．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：几何图形问题．分析：根据翻折的性质可得CE=C′E，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠EBC′=30°，然后求出∠BGD′=60°，根据对顶角相等可得∠FGE=∠∠BGD′=60°，根据两直线平行，内错角相等可得∠AFG=∠FGE，再求出∠EFG=60°，然后判断出△EFG是等边三角形，根据等边三角形的性质表示出EF，即可得解．解答：解：由翻折的性质得，CE=C′E，∵BE=2CE，∴BE=2C′E，又∵∠C′=∠C=90°，∴∠EBC′=30°，∵∠FD′C′=∠D=90°，∴∠BGD′=60°，∴∠FGE=∠BGD′=60°，∵AD∥BC，∴∠AFG=∠FGE=60°，∴∠EFG=（180°﹣∠AFG）=（180°﹣60°）=60°，∴△EFG是等边三角形，∵AB=t，∴EF=t÷=t，∴△EFG的周长=3×t=2t．故答案为：2t．点评：本题考查了翻折变换的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，等边三角形的判定与性质，熟记性质并判断出△EFG是等边三角形是解题的关键．三、解答题（本题共7题，满分78分）19．（10分）（2018•上海）计算：﹣﹣+||．考点：实数的运算；分数指数幂．专题：计算题．分析：本题涉及绝对值、二次根式化简两个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解答：解：原式=2﹣﹣2+2﹣=．点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．20．（10分）（2018•上海）解方程：﹣=．考点：解分式方程．专题：计算题；转化思想．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：（x+1）2﹣2=x﹣1，整理得：x2+x=0，即x（x+1）=0，解得：x=0或x=﹣1，经检验x=﹣1是增根，分式方程的解为x=0．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．21．（10分）（2018•上海）已知水银体温计的读数y（℃）与水银柱的长度x（cm）之间是一次函数关系．现有一支水银体温计，其部分刻度线不清晰（如图），表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长度．水银柱的长度x（cm）4.2 …8.2 9.8体温计的读数y（℃）35.0 …40.0 42.0（1）求y关于x的函数关系式（不需要写出函数的定义域）；（2）用该体温计测体温时，水银柱的长度为6.2cm，求此时体温计的读数．考点：一次函数的应用．专题：应用题；待定系数法．分析：（1）设y关于x的函数关系式为y=kx+b，由统计表的数据建立方程组求出其解即可；（2）当x=6.2时，代入（1）的解析式就可以求出y的值．解答：解：（1）设y关于x的函数关系式为y=kx+b，由题意，得，解得：，∴y=x+29.75．∴y关于x的函数关系式为：y=+29.75；（2）当x=6.2时，y=×6.2+29.75=37.5．答：此时体温计的读数为37.5℃．点评：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，由解析式根据自变量的值求函数值的运用，解答时求出函数的解析式是关键．22．（10分）（2018•上海）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH．（1）求sinB的值；（2）如果CD=，求BE的值．考点：解直角三角形；直角三角形斜边上的中线．专题：几何图形问题．分析：（1）根据∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，可得出CD=BD，则∠B=∠BCD，再由AE⊥CD，可证明∠B=∠CAH，由AH=2CH，可得出CH：AC=1：，即可得出sinB的值；（2）根据sinB的值，可得出AC：AB=1：，再由AB=2，得AC=2，则CE=1，从而得出BE．解答：解：（1）∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD=BD，∴∠B=∠BCD，∵AE⊥CD，∴∠CAH+∠ACH=90°，又∠ACB=90°∴∠BCD+∠ACH=90°∴∠B=∠BCD=∠CAH，即∠B=∠CAH，∵AH=2CH，∴由勾股定理得AC=CH，∴CH：AC=1：，∴sinB=；（2）∵sinB=，∴AC：AB=1：，∴AC=2．∵∠CAH=∠B，∴sin∠CAH=sinB==，设CE=x（x＞0），则AE=x，则x2+22=（x）2，∴CE=x=1，AC=2，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，∴BC=4，∴BE=BC﹣CE=3．点评：本题考查了解直角三角形，以及直角三角形斜边上的中线，注意性质的应用，难度不大．23．（12分）（2018•上海）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC、BD相交于点F，点E 是边BC延长线上一点，且∠CDE=∠ABD．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）连接AE，交BD于点G，求证：=．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定．专题：证明题．分析：（1）证△△BAD≌△CDA，推出∠ABD=∠ACD=∠CDE，推出AC∥DE即可；（2）根据平行得出比例式，再根据比例式的性质进行变形，即可得出答案．解答：证明：（1）∵梯形ABCD，AD∥BC，AB=CD，∴∠BAD=∠CDA，在△BAD和△CDA中∴△BAD≌△CDA（SAS），∴∠ABD=∠ACD，∵∠CDE=∠ABD，∴∠ACD=∠CDE，∴AC∥DE，∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形；（2）∵AD∥BC，∴=，=，∴=，∵平行四边形ACED，AD=CE，∴=，∴=，∴=，∴=．点评：本题考查了比例的性质，平行四边形的判定，平行线的判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，难度适中．24．（12分）（2018•上海）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣2）．（1）求该抛物线的表达式，并写出其对称轴；（2）点E为该抛物线的对称轴与x轴的交点，点F在对称轴上，四边形ACEF为梯形，求点F的坐标；（3）点D为该抛物线的顶点，设点P（t，0），且t＞3，如果△BDP和△CDP的面积相等，求t的值．考点：二次函数综合题．专题：代数几何综合题；压轴题．分析：（1）根据待定系数法可求抛物线的表达式，进一步得到对称轴；（2）因为AC与EF不平行，且四边形ACEF为梯形，所以CE∥AF．分别求出直线CE、AF的解析式，进而求出点F的坐标；（3）△BDP和△CDP的面积相等，可得DP∥BC，根据待定系数法得到直线BC的解析式，根据两条平行的直线k值相同可得直线DP的解析式，进一步即可得到t的值．解答：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，﹣2），∴，解得．故抛物线的表达式为：y=x2﹣x﹣2=（x﹣1）2﹣，对称轴为直线x=1；（2）设直线CE的解析式为：y=kx+b，将E（1，0），C（0，﹣2）坐标代入得：，解得，∴直线CE的解析式为：y=2x﹣2．∵AC与EF不平行，且四边形ACEF为梯形，∴CE∥AF．∴设直线AF的解析式为：y=2x+n．∵点A（﹣1，0）在直线AF上，∴﹣2+n=0，∴n=2．∴设直线AF的解析式为：y=2x+2．当x=1时，y=4，∴点F的坐标为（1，4）．（3）点B（3，0），点D（1，﹣），若△BDP和△CDP的面积相等，则DP∥BC，则直线BC的解析式为y=x﹣2，∴直线DP的解析式为y=x﹣，当y=0时，x=5，∴t=5．点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的表达式，待定系数法求直线的解析式，两条平行的直线之间的关系，三角形面积，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．25．（14分）（2018•上海）如图1，已知在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，cosB=，点P是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G．（1）当圆C经过点A时，求CP的长；（2）连接AP，当AP∥CG时，求弦EF的长；（3）当△AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长．考点：圆的综合题．专题：压轴题．分析：（1）当点A在⊙C上时，点E和点A重合，过点A作AH⊥BC于H，直接利用勾股定理求出AC进而得出答案；（2）首先得出四边形APCE是菱形，进而得出CM的长，进而利用锐角三角函数关系得出CP以及EF的长；（3）∠GAE≠∠BGC，只能∠AGE=∠AEG，利用AD∥BC，得出△GAE∽△GBC，进而求出即可．解答：解：（1）如图1，设⊙O的半径为r，当点A在⊙C上时，点E和点A重合，过点A作AH⊥BC于H，∴BH=AB•cosB=4，∴AH=3，CH=4，∴AC==5，∴此时CP=r=5；（2）如图2，若AP∥CE，APCE为平行四边形，∵CE=CP，∴四边形APCE是菱形，连接AC、EP，则AC⊥EP，∴AM=CM=，由（1）知，AB=AC，则∠ACB=∠B，∴CP=CE==，∴EF=2=；（3）如图3：过点C作CN⊥AD于点N，∵cosB=，∴∠B＜45°，∵∠BCG＜90°，∴∠BGC＞45°，∴∠BGC＞∠B=∠GAE，即∠BGC≠∠GAE，又∠AEG=∠BCG≥∠ACB=∠B=∠GAE，∴当∠AEG=∠GAE时，A、E、G重合，则△AGE不存在．即∠AEG≠∠GAE∴只能∠AGE=∠AEG，∵AD∥BC，∴△GAE∽△GBC，∴=，即=，解得：AE=3，EN=AN﹣AE=1，∴CE===．点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理以及锐角三角函数关系等知识，利用分类讨论得出△AGE是等腰三角形时只能∠AGE=∠AEG进而求出是解题关键．。
上海18年初三数学各区二模25( 压轴题)题汇编(含答案)
二模25题汇编题型一、等腰三角形的分类讨论思路点拨：出现概率较高题型，重点。
解决此类问题主要通过两个方面解决：1.一方面从边方面入手，将此三角形的三边用x y 或的表达式表示，根据腰相等建立方程求出线段长度（优点：方法简单，易理解；缺点：计算量偏大，易出错）；2.另一方面从角方面入手，利用等腰产生的底角相等转化出其他的角度关系或边长关系进而建立方程求出线段的长度（优点：计算量偏小，易计算，缺点：此方法对于孩子的分析能力要求较高，适合一部分程度较好的学生）。
（2018年奉贤二模）已知：如图9，在半径为2的扇形AOB 中，︒=∠90AOB ，点C 在半径OB 上，AC 的垂直平分线交OB 于点D ，交弧AB 于点E ，联结BE 、CD ．（1）若C 是半径OB 中点，求OCD ∠的正弦值； （2）若E 是弧AB 的中点，求证：；（3）联结CE ，当DCE ∆是以CD 为腰的等腰三角形时，求CD 的长．25．（本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分） （1）∵C 是半径OB 中点，2=OB ，∴1=OC ．∵DE 垂直平分AC ，∴AD=CD ．…………………………………………………1分 设a AD =，则a DO -=2，a DC =，在DOC Rt ∆中，43452=-=DO 222DC OC DO =+，即2221)2a a =+-（. 解得：45=a ． ……………………………………………………………………2分 ∴在DOC Rt ∆中，53sin ==∠DC DO OCD ．………………………………………2分 即COD ∠的正弦值是53．（2）联结AE 、EC 、EO .∵E 是弧AB 的中点，∴BE AE =． ……………………………………………1分 ∵DE 垂直平分AC ，∴EC AE =． ……………………………………………1分 ∴EC BE =． ∴ECB EBC ∠=∠．∵OB OE =， ∴OEB EBC ∠=∠． ……………………………………………………1分图9A BC DO E备用图A BO备用图AB O∴OEB ECB ∠=∠又∵EBO CBE ∠=∠，∴BEO ∽∆∆BCE ……………………………………………1分 ∴BOBE BEBC = ．∴BC BO BE ⋅=2． ………………………………………………1分（3）联结OE AE 、，由DCE ∆是以CD 为腰的等腰三角形可得：①当ED CD =时，∵AD CD =，∴AD ED =．∴DEA DAE ∠=∠．∵OE OA =，∴OEA DAE ∠=∠．∴点D 与点O 重合，点C 与点B 重合．∴2==OB CD ． …………………………………………………………………………2分 ②当CE CD =时，∵AD CD =，AE CE =，∴AE CE AD CD ===．∴四边形ADCE 是菱形，∴//EC AD ． ∵︒=∠90AOB ，∴︒=∠90COE ．设a CD =，在COE Rt ∆中，22224a EC EO CO -=-=． 在DOC Rt ∆中，22222)2(a a DO CD CO --=-=．∴222)2(4a a a --=-． 整理得 0842=-+a a ，解得 232-±=a （负数舍去）． ∴232-=CD ． ………………………………………………………………………2分 综上所述，当CD 的长是2或232-时，DCE ∆是以CD 为腰的等腰三角形．（2018年青浦二模）如图9-1，已知扇形MON 的半径为2，︒=∠90MON ，点B 在弧MN 上移动，联结BM ，作BM OD ⊥，垂足为点D ，C 为线段OD 上一点，且BM OC =，联结BC 并延长交半径OM 于点A ，设x OA =，COM ∠的正切值为y ．（1）如图9-2，当OM AB ⊥时，求证：AC AM =； （2）求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （3）当OAC ∆为等腰三角形时，求x 的值.25．解：（1）∵OM AB BM OD ⊥⊥,， ∴︒=∠=∠90BAM ODM ． ················ （1分）∵M DOM M ABM ∠+∠=∠+∠，∴DOM ABM ∠=∠． ······················· （1分） ∵BM OC BAM OAC =∠=∠,，∴ABM OAC ∆≅∆， ···································································· （1分） ∴AM AC =． ··········································································· （1分） （2）过点D 作//AB DE ，交OM 于点E ． ·············································· （1分）OMNDCBA图9-1OMNDCBA图9-2NMO备用图∵BM OD OM OB ⊥=,，∴DM BD =． ·········································· （1分） ∵//AB DE ， ∴AEMEDM MD =，∴EM AE =， ∵2=OM ，∴()x AE -=221． ················································· （1分）∵//AB DE ， ∴OD DMOD OC OE OA 2==， ································································ （1分） ∴OEOAOD DM 2=， ∴()202≤<+=x x x y ． ····························································· （2分） （3）（i ） 当OC OA =时， ∵x OC BM DM 212121===， 在ODM Rt ∆中，222124=-=-OD OM DM x ．∵=DMy OD ，∴2121224=+-xx x x ．解得1422-=x ，或1422--=x （舍）． ········· （2分） （ii ）当AC AO =时，则ACO AOC ∠=∠，∵AOC COB COB ACO ∠=∠∠>∠,，∴AOC ACO ∠>∠，∴此种情况不存在． ·································································· （1分） （ⅲ）当CA CO =时，则α=∠=∠CAO COA ，∵α-︒=∠∠>∠90,M M CAO ，∴αα-︒>90，∴α>45︒，∴290α∠=>︒BOA ，∵90∠≤︒BOA ，∴此种情况不存在． ·············· （1分）25．（普陀）已知P 是O ⊙的直径BA 延长线上的一个动点，P ∠的另一边交O ⊙于点C 、D ，两点位于AB 的上方，AB ＝6，OP m ＝，1sin 3P ＝，如图11所示．另一个半径为6的1O ⊙经过点C 、D ，圆心距1OO n ＝．（1）当6m＝时，求线段的长； （2）设圆心1O 在直线AB 上方，试用n 的代数式表示m ；（3）△1POO 在点P 的运动过程中，是否能成为以1OO 为腰的等腰三角形，如果能，试求出此时n 的值；如果不能，请说明理由．CD OABPD OABC25．解：（1）过点O 作OH ⊥CD ，垂足为点H ，联结OC ．在Rt △POH 中，∵1sin 3P ＝，6PO =，∴2OH =． （1分） ∵AB ＝6，∴3OC ＝． （1分）由勾股定理得 CH =（1分）∵OH ⊥DC ，∴2CD CH == （1分） （2）在Rt △POH 中，∵1sin 3P ＝， PO m ＝，∴3mOH ＝． （1分） 在Rt △OCH 中，2293m CH ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝． （1分）在Rt △1O CH 中，22363m CH n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝．（1分）可得 2236933m m n ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝，解得23812n m n -＝． （2分）（3）△1POO 成为等腰三角形可分以下几种情况： ● 当圆心1O 、O 在弦CD 异侧时①1OP OO ＝，即m n ＝，由23812n n n-＝解得9n ＝ （1分）即圆心距等于O ⊙、1O ⊙的半径的和，就有O ⊙、1O ⊙外切不合题意舍去． （1分）②11O P OO ＝n ＝，解得23m n ＝，即23n 23812n n-＝，解得n● 当圆心1O 、O 在弦CD 同侧时,同理可得 28132n m n -＝．∵1POO ∠是钝角，∴只能是m n =，即28132nn n-＝，解得n ．综上所述，n25. （徐汇）已知四边形ABCD是边长为10的菱形，对角线AC、BD相交于点E，过点C作CF∥DB 交AB延长线于点F，联结EF交BC于点H.（1）如图1，当EF BC⊥时，求AE的长；（2）如图2，以EF为直径作⊙O，⊙O经过点C交边CD于点G（点C、G不重合），设AE的长为x，EH的长为y；①求y关于x的函数关系式，并写出定义域；②联结EG，当DEG∆是以DG为腰的等腰三角形时，求AE的长.解：（1）∵四边形ABCD是菱形∴DC∥AB，AB=BC，DB和AC互相垂直平分．………………………………（1分）∵CF//DB，∴四边形DBFC是平行四边形，∴BF=DC=AB=10，∴∠CAB=∠BCA………………………………………………（1分）当EF⊥BC时，∠CAB=∠BCA=∠CFE，∴Rt△AFC∽Rt FEC，∴2FC CE AC=⋅，即222FC AE=…………………（1分）Rt△AC F中，222CF AC AF+=，2224400AE AE+=，AE=…………（1分）（2）①联结OB，AB=BF，OE=OF，∴OB//AC，且111222OB AE EC x===……（1分）∴12OH OBEH EC==，∴23EH EO=…………………………………………………（1分）在Rt△EBO中，2222212 EO BE OB x⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，∴23y EO==10x<)．……………………………………（2分）（说明：当C、G两点重合时有EF⊥BD，x=②当GD=GE时，有∠GDE =∠GED，又∵AC⊥DB，∠DEC=90°，∴∠GCE=∠GEC，∴GE=GC，∴GD=GC，即G为DC的中点，又∵EO=FO，∴GO是梯形EFCD的中位线，∴GO322DE CFDE+==，…………………………………………………………（1分）∴32y==………………………………（1分）解得5303x =………………………………………………………………………（1分）法一：当DE=DG 时，联结OD 、OC 、GO ．∵GO=EO ，DO=DO ，∴△OED≌△OGD(SSS)，…………………………………（1分） ∴∠DEO=∠DGO ，∴∠CGO=∠BEO=∠OFC ，∴∠CGO=∠OCG=∠OFC=∠OCF ，∴GC=CF …………………………………（1分） ∴DC=DG+GC=DE+2DE=10，即2310010x -=，解得2023x =．…………（1分）法二：当DE=DG 时，过点D 作DM ⊥GE 于点M ，延长交EC 于点N ，联结GN ． ∴∠EDN=∠GDN ，又∵DN=DN ，∴△NDE≌△NDG(SAS)，∴∠DGN=∠DEN=90°，14NE NG x ==，34NC x =……………………………（1分）即sin DE GN DCA DC NC ∠==，即2110043104xx x -=，……………………………………（1分）解得2023x =．…………………………………………………………………………（1分） 综上，当△DEG 是以DG 为腰的等腰三角形时，AE 的长为5303或2023．25.（崇明） 如图，已知ABC △中，8AB =，10BC =，12AC =，D 是AC 边上一点，且2AB AD AC =⋅，联结BD ，点E 、F 分别是BC 、AC 上两点（点E 不与B 、C 重合），AEF C ∠=∠，AE 与BD 相交于点G ．（1）求证：BD 平分ABC ∠；（2）设BE x =，CF y =，求y 与x 之间的函数关系式； （3）联结FG ，当GEF △是等腰三角形时，求BE 的长度．解：（1）∵8AB =，12AC = 又∵2AB AD AC =（第25题图） A B C D G E F （备用图） AB CD∴163AD =∴16201233CD =-= ……………………………1分 ∵AB 2=AD i AC ∴ADABAB AC=又∵BAC ∠是公共角 ∴ADB ABC △∽△ …………………………1分 ∴ABD C =∠∠，BD ADBC AB= ∴203BD =∴BD CD = ∴DBC C =∠∠ ………………………1分 ∴ABD DBC =∠∠ ∴BD 平分ABC ∠ ………………………1分 （2）过点A 作AH BC ∥交BD 的延长线于点H∵AH BC ∥ ∴16432053AD DH AH DC BD BC ==== ∵203BD CD ==，8AH = ∴163AD DH == ∴12BH = ……1分 ∵AH BC ∥ ∴AH HG BE BG = ∴812BG x BG -= ∴128xBG x =+…1分 ∵BEF C EFC =+∠∠∠ 即BEA AEF C EFC +=+∠∠∠∠∵AEF C =∠∠ ∴BEA EFC =∠∠ 又∵DBC C =∠∠∴BEG CFE △∽△ ……………………………………………………………1分∴BE BGCF EC = ∴12810xx x y x+=- ∴228012x x y -++= …………………………………………………………1分（3）当△GEF 是等腰三角形时，存在以下三种情况： 1° GE GF = 易证23GE BE EF CF == ，即23x y =，得到4BE = ………2分2° EG EF = 易证BE CF =，即x y =，5BE =-…………2分3° FG FE = 易证32GE BE EF CF == ，即32x y =3BE =-+………2分题型二、动点产生的相似综合 思路点拨：1.首先寻找题目中特殊的条件和不变的量，并找出由条件引发的一些相等角、相等线 段等特殊条件；（挖掘题目中的隐藏条件）2.然后注意分类讨论，先找到对应相等的角，再决定分类讨论情况：3.相似三角形的边如果能直接求出列等式最好，如果不能求出，注意转化相似（是否产生新的相似、等腰、平行四边形等更特殊的条件）.（2018年金山二模）如图9，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，5===AD DC AB ，3sin 5B =，P 是线段BC 上一点，以P 为圆心，PA 为半径的⊙P 与射线AD 的另一个交点为Q ，射线PQ 与射线CD 相交于点E ，设x BP =．（1）求证ABP ∆∽ECP ∆；（2）如果点Q 在线段AD 上（与点A 、D 不重合），设APQ ∆的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（3）如果QED ∆与QAP ∆相似，求BP 的长．25．解：（1）在⊙P 中，PQ PA =，∴PQA PAQ ∠=∠，………………………………（1分）∵AD ∥BC ，∴PQC PQA APB PAQ ∠=∠∠=∠,，∴EPC APB ∠=∠，……（1分）∵梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DC AB =，∴C B ∠=∠，……………………（1分） ∴APB ∆∽ECP ∆．……………………………………………………………（1分） （2）作AD PN BC AM ⊥⊥,，∵AD ∥BC ，∴AM ∥PN ，∴四边形AMPN 是平行四边形，∴MP AN PN AM ==,．………………………………………………………（1分） 在AMB Rt ∆中，︒=∠90AMB ,5=AB ，3sin 5B =， ∴4,3==BM AM ，∴4,3-===x AN PM PN ，…………………………………………（1分）∵AQ PN ⊥，∴NQ AN =，∴82-=x AQ ，…………………………………（1分） ∴()1128322y AQ PN x =⋅⋅=⋅-⋅，即312y x =-，………………………（1分） 定义域是1342x <<．……………………………………………………………（1分） （3）解法一：由QED ∆与QAP ∆相似，EQD AQP ∠=∠，ABPC DQEABCD图9备用图①如果DEQ PAQ ∠=∠，∵APB ∆∽ECP ∆，∴DEQ PAB ∠=∠， 又∵APB PAQ ∠=∠，∴APB PAB ∠=∠，∴5==BA BP ．……………………（2分） ②如果EDQ PAQ ∠=∠，∵APB PAQ ∠=∠，C B C EDC ∠=∠∠=∠,，∴APB B ∠=∠，∴ AB =AP ，∵AM ⊥BC ，∴ BM =MP =4，∴ BP =8．…………（2分）综上所述BP 的长为5或者8．………………………………………………………（1分）解法二：由QAP ∆与QED ∆相似，EQD AQP ∠=∠，在APN Rt ∆中，AP PQ ===∵QD ∥PC ，∴EQ EPQD PC=， ∵APB ∆∽ECP ∆，∴AP EP PB PC=，∴AP EQPB QD =，①如果AQ EQQP QD =，∴AQ AP QP PB =x=，解得5x =…………………………………………………………………………（2分） ②如果AQ DQQP QE =，∴AQ PB QP AP ==，解得8x =……………………………………………………………………（2分）综上所述BP 的长为5或者8．…………………………………………………（1分）题型三、动点产生的直角三角形问题思路点拨：当判断一个动三角形为直角三角形时，首先注意分类讨论。
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如图1，已知平行四边形ABCD 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝45°．将△ABC 沿着AC 翻折，点B 落在点E 处，联结DE ，那么DE AC的值为_________．图1动感体验请打开几何画板文件名“18松江18”，可以体验到，△ACH 是等腰直角三角形，DE 与AC 平行．答案 1．思路如下：如图2，设CE 与AD 交于点H ．由∠ACB ＝45°，可知∠BCE ＝90°．所以△ACH 是等腰直角三角形．所以===CE CB CA CH CH CH 1=EH CH． 由△EAC ≌△BAC ≌△DCA ，可知A 、D 两点到AC 的距离相等．所以DE //AC ．所以1==DE EH AC CH ．图2如图1，已知抛物线y ＝ax 2＋b x 的顶点为C (1,－1)，P 是抛物线上位于第一象限内的一点，直线OP 交该抛物线于点B ，直线CP 交x 轴于点A ．（1）求该抛物线的表达式；（2）如果点P 的横坐标为m ，使用m 的代数式表示线段BC 的长；（3）如果△ABP 的面积等于△ABC 的面积，求点P 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“18松江24”，拖动点P 在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，△ABP 与△ABC 是同高三角形，面积比等于PH 与CE 的比．思路点拨1．函数的解析式中待定两个系数，需要知道两个点的坐标．看似缺少条件，其实解析式中隐含了抛物线经过原点．2．△ABP 与△ABC 是同高三角形，面积相等时高也相等．图文解析（1）设抛物线的顶点式为y ＝a (x －1)2－1＝ax 2－2ax ＋a －1．对照y ＝ax 2＋b x ，根据常数项相等，得a －1＝0．所以a ＝1．所以抛物线的解析式为y ＝(x －1)2－1＝x 2－2x ．（2）如图2，作PH ⊥x 轴于H ，设对称轴与x 轴交于点E ，那么E (1, 0)．已知点P 的横坐标为m ，那么PH ＝m 2－2m ． 由=BE PH OE OH ，得221-=BE m m m．所以BE ＝m －2． 所以BC ＝BE ＋EC ＝m －2＋1＝m －1．图2 图3（3）如图3，因为△ABP 与△ABC 是同高三角形，当它们的面积相等时，底边AP ＝AC ． 此时PH ＝CE ＝1．所以点P 的纵坐标为1．解方程m 2－2m ＝1，得1=m当1=m 时，PH ＝m 2－2m ＝m (m －2)＝1)＝1．所以点P 的坐标是(1．考点伸展第（3）题可以从不同的角度认识△ABP 和△ABC ．例如，如图3，当△ABP 与△ABC 的面积相等时，△PBC 是△ABC 面积的2倍，这两个三角形有公共底边BC ，所以高EH 是高EA 的2倍．于是得到A 是EH 的中点，进一步得到P 、C 两点的纵坐标互为相反数．再如，把BA 看作△ABP 与△ABC 的公共底边，那么P 、C 两点到直线BA 的距离相等．由于两条高是平行且相等的，这样也可以得到A 是PC 的中点．例 2018年上海市松江区中考模拟第25题如图1，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝2，AC ＝3，以点C 为圆心、CB 为半径的圆交AB 于点D ，过点A 作AE //CD ，交BC 的延长线于点E ．（1）求CE 的长；（2）P 是CE 延长线上一点，直线AP 、CD 交于点Q ．①如果△ACQ ∽△CPQ ，求CP 的长；②如果以点A 为圆心，AQ 为半径的圆与⊙C 相切，求CP的长．图1动感体验请打开几何画板文件名“18松江25”，拖动点P 在CE 的延长线上运动，可以体验到，⊙A 与⊙C 可以内切，不可能外切．思路点拨1．图形中A 、B 、C 、D 、E 等5个点都是确定的，因此图1中所有线段和角都是确定的．因为点P 而动的线段CP 、EP 、AP 、AQ ，都可以用CP ＝x 来表示．2．如果△ACQ ∽△CPQ ，那么∠P ＝∠ACQ ＝∠CAE 也是确定的．3．对于⊙A 与⊙C ，⊙C 的半径和圆心距是确定的，如果两圆相切，⊙A 的半径AQ 就是确定的．图文解析（1）如图2，由DC //AE ，得 DC BC AE BE．因为DC ＝BC ，所以AE ＝BE ． 设CE ＝m ，那么在Rt △ACE 中，AE ＝BE ＝2＋m ，AC ＝3．由勾股定理，得(2＋m )2＝32＋m 2．解得CE ＝m ＝54．图2 图3（2）①如图2，在Rt △ACE 中，CE ＝54，AC ＝3，所以tan ∠CAE ＝512． 如图3，如果△ACQ ∽△CPQ ，那么∠ACQ ＝∠P ．又因为∠ACQ ＝∠CAE ，所以∠P ＝∠CAE ．在Rt △ACP 中，tan ∠P ＝AC CP ＝512，所以CP ＝125AC ＝365． ②对于⊙A ，r A ＝AQ ；对于⊙C ，r C ＝2；圆心距d ＝AC ＝3．当⊙A 与⊙C 内切时，AQ －2＝3，此时AQ ＝5．当⊙A 与⊙C 外切时，AQ ＋2＝3，此时AQ ＝1．如图3，在Rt △ACP 中，AC ＝3，设CP ＝x ，那么AP如图4，由DC //AE ，得555()4445==÷-=-AQ EC x AP EP x ．当AQ ＝5545=-x 45=-x ． 整理，得15x 2－40x ＋16＝0．解得1 2.18=≈x （如图5所示），20.49=≈x （舍去）．当AQ ＝1545=-x ．所以45=-x ． 整理，得9x 2＋40x ＋200＝0．此方程无实数根，所以⊙A 与⊙C 不可能外切．图4 图5考点伸展第（1）题求CE 的长，还可以这样解：如图6，设⊙C 的直径为BF ，那么∠B 是等腰三角形ABF 的底角．如图7，∠B 是等腰三角形CBD 和等腰三角形EBA 的公共底角．这三个等腰三角形两两相似． 由=BA BF BE BA ，得2134==BA BE BF ．所以CE ＝BE －BC ＝1324-＝54．图6 图7如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三角形．已知直角三角形ABC是半高三角形，且斜边AB＝5，则它的周长等于_________．动感体验请打开几何画板文件名“18长宁17”，拖动点C在以AB为直径的半圆O上运动，可以体验到，半高三角形有两种情况，一是等腰直角三角形，二是两条直角边的比为1∶2．答案如图1，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，CO是斜边上的中线，那么CO＝12AB＝52为定值．当CD＝12AB时，CD与CO重合，△ABC是等腰直角三角形（如图2所示）．此时△ABC的周长为5+．如图2，当AC＝2BC时，设AC＝2m，BC＝m，由勾股定理，得5m2＝52．解得m ABC的周长为5+图1 图2 图3如图1，在矩形ABCD 中，对角线BD 的长为1，点P 是线段BD 上一点，联结CP ，将△BCP 沿着直线CP 翻折，若点B 落在边AD 上的点E 处，且EP //AB ，则AB 的长等于________．图1动感体验请打开几何画板文件名“18长宁18”，拖动点A 可以改变矩形ABCD 的形状，但是对角线BD 保持不变，可以体验到，△BCP 和△ECP 关于CP 保持对称，当EP //AB 时，∠CED ＝∠ABD ．答案 12．思路如下：已知BD ＝1，设AB ＝x ，那么AD EC ＝BC ＝AD如图2，当EP //AB 时，∠DEP ＝90°．根据等角的余角相等，∠CED ＝∠ABD ． 如图3，如图4，由sin ∠CED ＝sin ∠ABD ，得=DC AD EC BD．1=．整理，得x 2＋x －1＝0．解得12-=x ．图2 图3 图4如图1，在直角坐标平面内，抛物线y ＝ax 2＋bx －3与y 轴交于点A ，与x 轴分别交于B (－1, 0)、C (3, 0)两点，点D 是抛物线的顶点．（1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标；（2）联结DC ，求△ACD 的面积；（3）点P 在直线DC 上，联结OP ，若以O 、P 、C为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“18长宁24”，可以体验到，△ACD 是直角三角形．拖动点P 在直线CD 上运动，可以体验到，△OCP 与△ABC 相似存在两种情况．思路点拨1．第（2）题先证明△ACD 是直角三角形，再计算面积比较方便．2．第（3）题首先要发现并证明△OCP 与△ABC 中一组相等的角，然后根据两边对应成比例分两种情况列方程．图文解析（1）因为抛物线与x 轴交于B (－1, 0)、C (3, 0)两点，所以y ＝a (x ＋1)(x －3)． 对照y ＝ax 2＋bx －3，根据常数项相等，得－3a ＝－3．解得a ＝1．所以y ＝(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4．顶点为D (1,－4)．（2）如图2，由A (0,－3)、C (3, 0)、D (1,－4)，可得AC 2＝18，AD 2＝2，CD 2＝20． 所以CD 2＝AC 2＋AD 2．所以△ACD 是直角三角形，∠CAD ＝90°．所以S △ACD ＝12⋅AC AD 3．图2 图3 图4（3）第一步，先探求∠OCD ＝∠BAC ．如图3，由C (3, 0)、D (1,－4)，可得tan ∠DCO ＝42＝2．如图4，作BH ⊥AC 于H ．由OA ＝OC ，得AC ＝C ＝45°．在等腰直角三角形BCH 中，BC ＝4，所以BH ＝CH ＝在Rt △BAH 中，AH ＝tan ∠BAC ＝BHAH ＝2． 所以∠OCD ＝∠BAC ． 第二步，当点P 在射线CD 上时，∠OCP ＝∠BAC ，分两种情况讨论相似．如图5，作PM ⊥x 轴于M ，那么CM ＝5，PM ＝2CM ．①当=CP ABCO AC 时，3CP CP 此时CM ＝1，PM ＝2．所以P (2,－2)（如图6所示）．②当=CP ACCO AB 时，3CP CP ． 此时CM ＝95，PM ＝185．所以OM ＝935-＝65，P 618(,)55-（如图7所示）．图5 图6 图7考点伸展第（2）题求△ACD 的面积方法多样．例如，如图8，用梯形ONDC 的面积减去直角三角形AOC 和直角三角形AND 的面积． 再如，如图9，DF 把△ACD 分割为两个三角形，DF 是公共底边，高的和等于OC ． 还可以由∠OAC ＝∠DAN ＝45°，先证明直角三角形ACD ，再计算面积．图8 图9例 2018年上海市长宁区中考模拟第25题在圆O 中，C 是弦AB 上的一点，联结OC 并延长，交劣弧AB 于点D ，联结AO 、BO 、AD 、BD ．已知圆O 的半径长为5，弦AB 的长为8．（1）如图1，当点D 是弧AB 的中点时，求CD 的长；（2）如图2，设AC ＝x ，△△ACO OBDS S ＝y ，求y 关于x 的函数解析式并写出定义域； （3）若四边形AOBD 是梯形，求AD 的长．图1 图2 备用图动感体验请打开几何画板文件名“18长宁25”，拖动点C 在AB 上运动，可以体验到，△AOC 与△OBC 是同高三角形，△OBD 与△OBC 也是同高三角形．还可以体验到，四边形AOBD 的两组对边各有一个时刻平行．思路点拨1．圆中已知定弦，一般先求弦心距．2．在△ACO 个△OBD 之间，找一个相关联的△OBC ．3．按照对边平行，分两种情况讨论梯形AOBD ．图文解析（1）如图3，当点D 是弧AB 的中点时，OD 垂直平分弦AB ，垂足为C ．在Rt △OAC 中，OA ＝5，AC ＝4，所以OC ＝3．此时CD ＝OD －OC ＝5－3＝2．图3 图4 图5（2）如图5，△ACO 和△OBD 都可以与△OBC 相关联．第一步，用x 表示OC 的长．如图4，作OH ⊥AB 于H ，那么OH ＝3，CH ＝4－x ，所以OC第二步，如图5，因为△△ACO OBC S S ＝AC BC ＝8-x x ，△△OBD OBC S S ＝OD OC，所以y ＝△△ACO OBD S S ＝△△△△÷ACO OBD OBC OBC S S S S＝8-x x定义域是0＜x ＜8．（3）如图6，延长BO 交圆于点E ，那么BE 是圆的直径，AE ＝2OH ＝6． 情形1，如图6，如果OA //BD ，那么∠DBA ＝∠BAO ＝∠ABO ．根据相等的圆周角所对的弧相等，相等的弧所对的弦相等，此时AD ＝AE ＝6． 情形2，如图7，如果AD //BO ，那么四边形ADBE 是等腰梯形． 作AM ⊥BE 于M ，作DN ⊥BE 于N ，那么AD ＝MN ．在Rt △AEM 中，AE ＝6，cos ∠E ＝35，所以EM ＝35AE ＝185． 此时AD ＝MN ＝BE －2EM ＝181025-⨯＝145．图6 图7 图8考点伸展第（2）题也可以用面积公式求△ACO 的面积，用割补法求△OBD 的面积．如图8，△OBC 和△DBC 的公共底边为BC ，高OH ＝3，求高DG 也要先用x 表示OC 的长，再根据相似比求得DG 的长．在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，点E是边AB上一点（不与A、B重合），以点A 为圆心，AE为半径作⊙A，如果⊙C与⊙A外切，那么⊙C的半径r的取值范围是______．动感体验请打开几何画板文件名“18崇明17”，拖动点E在AB上运动，可以体验到，⊙C的半径CF＝AC－AE．答案8≤r＜13．思路如下：如图2，在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝12，所以AC＝13．如果⊙C与⊙A外切于点F，那么⊙C的半径r＝CF＝AC－AE＝13－AE．因为0＜AE≤5，所以8≤r＜13．图1如图1，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，联结CE ，那么线段CE 的长等于_________．图1动感体验请打开几何画板文件名“18崇明18”，可以体验到，A 、B 、C 、E 四点在以AB 为直径的圆D 上，四边形AEDB 是轴对称图形，可以计算得到对角线EB 的长，进而在直角三角形ECB 中得到CE 的长．答案 如图2，在Rt △ABC 中， AB ＝6，AC ＝8，所以BC ＝10． 在△ABD 中，DA ＝DB ＝5，AB ＝6，容易得到S △ABD ＝12． 所以S 四边形AEDB ＝24．再由S 四边形AEDB ＝12⋅AD EB ＝52EB ＝24，得EB ＝485． 如图3，在Rt △ECB 中，CE 2＝CB 2－EB 2＝224810()5-＝225048()()55-＝2221()(5048)5⨯-＝21()9825⨯⨯＝21()4945⨯⨯．所以CE ＝1725⨯⨯＝145．图2 图3如图1，已知抛物线经过点A(0, 3)、B(4, 1)、C(3, 0)．（1）求抛物线的解析式；（2）联结AC、BC、AB，求∠BAC的正切值；（3）点P是该抛物线上一点，且在第一象限内，过点P作PG⊥AP交y轴于点G，当点G在点A的上方，且△APG与△ABC相似时，求点P的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“18崇明24”，拖动点P在抛物线上运动，可以体验到，△AHP 与△APG保持相似．直角三角形AHP的两条直角边的比可以为1∶3，也可以为3∶1．思路点拨1．第（1）题设抛物线的一般式列三元一次方程组比较方便．2．第（2）题先证明△ABC是直角三角形，用勾股定理的逆定理书写起来比较方便．3．第（3）题根据相似三角形的传递性，过点P作y轴的垂线段PH，转化为△AHP与△ABC相似的问题．4．根据直角边对应成比例，分两种情况讨论△AHP与△ABC相似．图文解析（1）设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c．将A(0, 3)、B(4, 1)、C(3, 0)分别代入，得3,1641, 930.=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ca b ca b c解得12=a，52=-b，c＝3．所以215322=-+y x x．（2）如图2，由A(0, 3)、B(4, 1)、C(3, 0)，得AC2＝18，BC2＝2，AB2＝20．所以AC2＋BC2＝AB2．所以△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．所以tan∠BAC＝BCAC13．图2（3）设点P 的坐标为215(,3)22-+x x x ． 如图3，作PH ⊥y 轴于H ，那么△AHP ∽△APG ． 如果△APG 与△ABC 相似，那么△AHP 与△ABC 也相似． 分两种情况讨论△AHP 与△ABC 相似：①如图4，当3==HA CAHP CB 时，3=HA HP ． 解方程21533322-+-=x x x ，得x ＝11，或x ＝0．此时P (11, 36)．②如图5，当13==HA CA HP CB 时，13=HA HP ．解方程215133223-+-=x x x ，得x ＝173，或x ＝0．此时P 1726(,)33．图3 图4 图5考点伸展如果第（3）题求点G 的坐标，也需要先求点P 的坐标．如图4，HG ＝13HP ＝113，此时OG ＝y P ＋HG ＝11363+＝1193．所以G 119(0,)3． 如图5，HG ＝3HP ＝17，此时OG ＝y P ＋HG ＝26173+＝773．所以G 77(0,)3．例 2018年上海市崇明区中考模拟第25题如图1，已知△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝12，D是AC边上一点，且AB2＝AD·AC，联结BD，点E、F分别是BC、AC上两点（点E不与B、C重合），∠AEF＝∠C，AE与BD相交于点G．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）设BE＝x，CF＝y，求y与x之间的函数关系式；（3）联结FG，当△GEF是等腰三角形时，求BE的长度．图1动感体验请打开几何画板文件名“18崇明25”，可以体验到，在等腰三角形ANC中，有一个“一线三等角”模型．点击屏幕左下方的按钮“第（3）题”，拖动点E在BC运动，可以体验到，△GEF的每个顶点都可以落在对边的垂直平分线上．思路点拨1．第（1）题是典型的“平分＋平行”模型，过点A作BC的平行线交于BD的延长线于M，通过计算得到AM＝AB．2．第（2）题如果想到了“一线三等角”，就构造一个等腰△ANC，问题迎刃而解．3．第（3）题的△GEF中，cos∠GEF是定值，设法用x表示夹∠GEF的两条边，然后分三种情况列方程．图文解析（1）由AB2＝AD·AC，得26416123===ABADAC．所以1641239=÷=ADAC．所以45=ADCD．如图2，过点A作BC的平行线交BD的延长线于点M，那么45==AM ADBC CD．所以AM＝45BC＝8．所以AM＝AB．所以∠M＝∠ABM．图2 又因为∠M＝MBC，所以∠ABM＝∠MBC，即BD平分∠ABC．（2）第一段，如图3，作AH⊥BC于H，设BH＝m，那么CH＝10－m．由勾股定理，得AB2－BH2＝AC2－CH2．所以82－m2＝122－(10－m)2．解得m＝1．因此cos ∠C ＝93124==CH AC ． 第二段，如图3，以AH 为对称轴，构造等腰三角形ANC ，那么NB ＝8．第三段，如图4，由∠AEC ＝∠N ＋∠NAE ，∠AEC ＝∠AEF ＋∠CEF ，∠N ＝∠C ＝ ∠AEF ，可得∠NAE ＝∠CEF ．又因为∠N ＝∠C ，所以△ANE ∽△ECF ． 所以=AN EC NE CF ．所以12108-=+xx y． 整理，得280212+-=x x y ．定义域是0＜x ＜10．图3 图4（3）如图5，在△GEF 中，∠GEF 是定值，cos ∠GEF ＝cos ∠C ＝34． 第一步，用x 表示EG 、EF ．如图6，由8==EG BE x AG AM ，得8==+EGBE xAE AM x． 所以8=+xEG AE x．如图4，由△ANE ∽△ECF ，得1012-==EFEC xAEAN ． 所以1012-=xEF AE ．图5 图6第二步，分三种情况讨论等腰三角形GEF ． ①如图7所示，当EF ＝EG 时，10812-=+x x AE AE x ．整理，得x 2＋10x －80＝0．解得5=-x ．此时BE 5． ②如图8所示，当GE ＝GF 时，1324=EF EG ．所以131028412-⨯=⨯+x xx ． 整理，得x 2＋16x －80＝0．解得x ＝4，或x ＝－20．此时BE ＝4． ③如图9所示，当FE ＝FG 时，1324=EG EF ．所以110321248-⨯=⨯+x xx． 整理，得x 2－6x －80＝0．解得3=-x BE 3图7 图8 图9考点伸展第（1）题也可以这样思考：如图10，已知△ABC 的三边，由AB 2＝AD ·AC ，可以求得AD 的长，也可以得到△ABD ∽△ACB ．再根据对应边成比例，求得DB 的长，得到DB ＝DC ，得到∠DBC ＝∠C ．经过等量代换，得到∠ABD ＝∠DBC ．但是这个解法对第（2）、（3）题的帮助不大．图10如图1，点A、B在圆O上，弦AC与半径OB互相平分，那么∠AOC的度数为_________．图1动感体验请打开几何画板文件名“18嘉定17”，可以体验到，四边形OABC是菱形，△OAB是等边三角形．答案120°．思路如下：如图2，由弦AC与半径OB互相平分，可知四边形OABC是平行四边形．由OA＝OC，得平行四边形OABC是菱形．如图3，由OA＝OB＝AB，得△OAB是等边三角形．于是可得∠AOC＝120°．图2 图3如图1，已知△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，点D 在边AB 上，且∠BDC ＝90°．如果△ACD 绕点A 顺时针旋转，使点C 与点B 重合，点D 旋转至点D 1，那么线段DD 1的长为_________．图1动感体验请打开几何画板文件名“18嘉定18”，拖动点C 1绕点A 旋转，可以体验到，△ACC 1与△ADD 1保持相似．答案4225．思路如下： 如图2，作AH ⊥BC 于H ，那么BH ＝CH ＝3．所以cos ∠B ＝BHAB＝35． 在Rt △BCD 中，BD ＝BC ·cos ∠B ＝365⨯＝185．所以AD ＝1855-＝75．如图3，由△ADD 1∽△ACC 1，得11=AD ACDD CC ． 如图4，当C 1与B 重合时，17556=DD ．此时DD 1＝4225．图2 图3 图4例 2018年上海市嘉定区中考模拟第24题已知平面直角坐标系中，直线y ＝x ＋m 经过点A (－4, 0)和点B (n , 3)．（1）求m 、n 的值；（2）如果抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A 、B ，该抛物线的顶点为P ，求sin ∠ABP 的值；（3）设点Q 在直线y ＝x ＋m 上，且在第一象限内，直线y ＝x ＋m 与y 轴的交点为D ，如果∠AQO ＝∠DOB ，求点Q 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“18嘉定24”，可以体验到，△ABP 是直角三角形．点击屏幕左下方的按钮“第（3）题”，可以体验到，△BOD ∽△BQO ．思路点拨1．第（2）题求sin ∠ABP 的值，可以先求tan ∠ABP 的值．如果准确描出A 、B 、P 三点的位置，答案就在图形中．2．第（3）题先根据题意画出示意图，如果能根据∠AQO ＝∠DOB ，发现相似三角形，那么就可以确定BQ 的长，进而求得点Q 的坐标．图文解析（1）将点A (－4, 0)代入y ＝x ＋m ，得－4＋m ＝0．解得m ＝4．将点B (n , 3)代入y ＝x ＋4，得n ＋4＝3．解得n ＝－1．（2）因为抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A (－4, 0)，可设y ＝(x ＋4)(x －x 2)． 代入点B (－1, 3)，得3＝3(－1－x 2)．解得x 2＝－2．所以y ＝(x ＋4)(x ＋2)＝x 2＋6x ＋8＝(x ＋3)2－1．顶点为P (－3,－1)．如图2，由A (－4, 0)、B (－1, 3)、P (－3,－1)，可知A 、B 两点间的水平距离和竖直距离都是3，A 、P 两点间的水平距离和竖直距离都是1，所以∠BAO ＝∠P AO＝45°，AB ＝AP所以在Rt △ABP 中，tan ∠ABP ＝AP AB ＝13．所以sin ∠ABP 图2（3）如图3，由y ＝x ＋4，得D (0, 4)．再由B (－1, 3)，得BO 2＝10，BD 如果∠AQO ＝∠DOB ，那么△BOD ∽△BQO ．所以=BO BQBD BO ．所以2===BO BQ BD 所以B 、Q 两点间的水平距离和竖直距离都等于5．所以Q (4, 8)．图3 图4考点伸展第（3）题也可以用等角的正切值相等来解．如图4，作BF ⊥y 轴于F ，作OE ⊥AB 于E ．在等腰直角三角形AOE 中，AO ＝4，所以OE ＝E (－2, 2)．由于tan ∠DOB ＝BF OF ＝13，所以tan ∠AQO ＝OE QE ＝13．所以QE ＝3OE ＝． 所以Q 、E 两点间的水平距离和竖直距离都等于6．所以Q (4, 8)．例 2018年上海市嘉定区中考模拟第25题在圆O中，AO、BO是圆O的半径，点C在弧AB上，OA＝10，AC＝12，AC//OB，联结AB．（1）如图1，求证：AB平分∠OAC；（2）点M在弦AC的延长线上，如果△AMB是直角三角形，请你在如图2中画出点M 的位置并求CM的长；（3）如图3，点D在弦AC上，与点A不重合，联结OD与弦AB交于点E，设点D 与点C的距离为x，△OEB的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．图1 图2 图3动感体验请打开几何画板文件名“18嘉定25”，拖动点M在AC的延长线上运动，可以体验到，直角三角形ABM存在两种情况．拖动点D在AC上运动，可以体验到，△OEB与△OAB是同高三角形，y随x的增大而增大．思路点拨1．已知半径和弦，一般情况下先求弦心距．2．直角三角形ABM存在两种情况，∠AMB＝90°和∠ABM ′＝90°，两种情况的图形叠放在一起，BM就是直角三角形ABM′斜边上的高．3．第（3）题用同高三角形的面积比，运算量比较小．图文解析（1）如图4，由OA＝OB，得∠OAB＝∠OBA．由AC//OB，得∠CAB＝∠OBA．所以∠OAB＝∠CAB，AB平分∠OAC．（2）点M存在两种情况：M和M′（如图6所示）．如图5，作OH⊥AC于H，那么在Rt△OAH中，OA＝10，AH＝6，所以OH＝8．如图6，当∠AMB＝90°时，AM＝AH＋HM＝AH＋OB＝6＋10＝16．此时CM＝AM－AC＝16－12＝4．当∠AB M ′＝90°时，∠BAM＝∠M ′BM．所以'81162===M M BMBM AM．所以1'42==M M BM．此时CM ′＝8．图4 图5 图6（3）第一步，如图7，S △OAB ＝12⋅OB OH ＝11082⨯⨯＝40． 第二步，如图8，由1012==-BE BO AE AD x ，得1022=-BE BA x ． 第三步，如图9，由于△OEB 与△OAB 是同高三角形，所以1022△△==-OEB OAB S BE S BA x ． 所以y ＝S △OEB ＝104022⨯-x ＝40022-x．定义域是0≤x ＜12．图7 图8 图9考点伸展第（3）题求△OEB 的面积的方法多样．例如，△ODB 的面积是定值，△OEB 与△ODB 也是等高三角形，底边OE 与OD 的比，同样根据OB 与AD 的比可以推导出来．再如，如果把EB 看作底边，那么高是定值，等腰三角形OAB 的高和底角、底边也是确定的，于是可以根据比例线段推导出EB 的长（用x 表示）．如果两圆的半径之比为3∶2，当这两圆内切时圆心距为3，那么当这两圆相交时，圆心距d的取值范围是_________．动感体验请打开几何画板文件名“18金山17”，拖动圆心B向右运动，可以体验到，圆A与圆B 的位置关系依次是内切、相交和外切．答案15．思路如下：设圆A的半径为3m，圆B的半径2m．如图1，当圆A与圆B内切时，圆心距d＝AB＝3m－2m＝3．解得m＝3．如图2，当圆A与圆B外切时，圆心距d＝AB＝3m＋2m＝5m＝15．如图3所示，圆A与圆B相交．图1 图2 图3如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AB的中点，P是直线BC上一点，把△BDP沿PD所在的直线翻折后，点B落在点Q处，如果QD⊥BC，那么点P和点B间的距离等于_________．图1动感体验请打开几何画板文件名“18金山18”，拖动点P在直线BC上运动，可以体验到，有两个时刻，直线QD与BC垂直，此时Rt△PEQ的三边比为3∶4∶5．答案52或10．思路如下：在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10，sin∠B＝35，tan∠B＝34．如图2，设直线QD与BC交于点E，当QD⊥BC时，E为垂足．已知D为AB的中点，所以QD＝BD＝5．在Rt△BDE中，BD＝5，所以DE＝3，BE＝4．在Rt△PEQ中，∠Q＝∠B，QE＝QD－DE＝5－3＝2，所以PE＝34QE＝32．此时PB＝BE－PE＝342＝52．如图3，在Rt△PEQ中，QE＝QD＋DE＝5＋3＝8，所以PE＝34QE＝6．此时PB＝BE＋PE＝4＋6＝10．图2 图3如图1，平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A (1, 0)和点B (3, 0)，与y 轴相交于点C ，顶点为P ．（1）求这条抛物线的表达式和顶点P 的坐标；（2）点E 在抛物线的对称轴上，且EA ＝EC ，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为直线MN ，点Q 在直线MN 右侧的抛物线上，∠MEQ ＝∠NEB ，求点Q 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“18金山24”，可以体验到，当EA ＝EC 时，点E 在AC 的垂直平分线上．还可以体验到，与∠NEB 相等的∠MEQ 有两个，就是直线AE 与抛物线的两个交点，但是点A 在对称轴的左侧．思路点拨1．已知二次项系数和抛物线与x 轴的两个交点，可以直接写出交点式．2．如果EA ＝EC ，由两点间的距离公式，根据EA 2＝EC 2列整式方程．3．已知∠MEQ ＝∠NEB ，构造两个直角三角形相似，用相似比求解比较简便． 图文解析（1）因为抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (1, 0)、B (3, 0)两点，所以y ＝(x －1)(x －3)＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1．顶点为P (2,－1)．（2）如图2，由y ＝x 2－4x ＋3，得C (0, 3)．设E (2, m )，已知A (1, 0)．由EA 2＝EC 2，得12＋m 2＝22＋(m －3)2．解得m ＝2．所以点E 的坐标为(2, 2)．（3）如图3，设抛物线的对称轴与x 轴交于点F ．作PH ⊥MN 于H ．设Q (x , x 2－4x ＋3)，已知B (3, 0)、E (2, 2)．由tan ∠HEQ ＝tan ∠FEB ，得=QH BF EH EF ． 所以221(43)22-=-+-x x x ．整理，得x 2－6x ＋5＝0． 解得x ＝5，或x ＝1（在对称轴左侧，舍去）．此时Q (5, 8)．图2 图3考点伸展第（3）题求得的x 1＝5，x 2＝1的几何意义是什么呢？由于∠FEB 是确定的，所以∠MEQ 的大小也是确定的，位置有两个．也就是说，经过点E 的直线EQ 与抛物线有两个交点，其中一个交点就是A (1, 0)．显然A 、B 两点关于抛物线的对称轴是对称的．第（2）题求得点E (2, 2)以后，通过计算可以证明，△ACE 是等腰直角三角形．常用的方法有两种，一是勾股定理的逆定理，二是相似比．方法一，由A (1, 0)、C (0, 3)、E (2, 2)，可得AE 2＝5，CE 2＝5，AC 2＝10．所以AC 2＝AE 2＋CE 2．所以△ACE 是直角三角形．方法二，如图2，由2==CG EF EG AF，得∠ECG ＝∠AEF ． 由于∠ECG 与∠CEG 互余，所以∠AEF 与∠CEG 互余．于是得到∠AEC ＝90°．例 2018年上海市金山区中考模拟第25题如图1，已知在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC＝AD＝5，sin∠B＝35，P是线段BC上一点，以P为圆心、P A为半径的圆P与射线AD的另一个交点为Q，射线PQ与射线CD 相交于点E，设BP＝x．（1）求证△ABP∽△ECP；（2）如果点Q在线段AD上（与点A、D不重合），设△APQ的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△QED与△QAP相似，求BP的长．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“18金山25”，拖动点P在BC上运动，可以体验到，△APQ 的高是定值，就是梯形的高．还可以体验到，△QED与△QAP相似存在两种情况，每种情况下，△ABP、△ECP、△EDQ和△APQ都是等腰三角形．思路点拨1．过等腰梯形上底的两个顶点作双垂线，把所有的线段长都标记出来．2．△ABP、△ECP和△EDQ两两相似，△APQ是等腰三角形．如果这4个三角形中任何两个相似时，4个三角形都是等腰三角形．图文解析（1）如图2，因为四边形ABCD是等腰梯形，所以∠B＝∠C．因为P A＝PQ，所以∠1＝∠2．由AD//BC，得∠1＝∠3，∠2＝∠4．所以∠3＝∠4．所以△ABP∽△ECP．图2 图3（2）如图3，作AM⊥BC于M，作PN⊥AD于N．在Rt△ABM中，AB＝5，sin∠B＝35，所以AM＝3，BM＝4．所以AN＝MP＝BP－BM＝x－4．由P A＝PQ，PN⊥AQ，得AQ＝2AN＝2(x－4)．所以y＝S△APQ＝12⋅AQ PN＝12(4)42⨯-⨯x＝4x－16．定义域是4＜x＜132．（3）按照点Q的位置分两种情况讨论△QED与△QAP相似．情形1，如图4，点Q在AD上．由于△EDQ∽△ECP∽△ABP，当△EDQ∽△APQ时，△ABP∽△APQ．因为P A＝PQ，所以BP＝BA＝5．情形2，如图5，点Q在AD的延长线上．当△DEQ∽△APQ时，∠EDQ＝∠A．所以DC//AP．所以∠3＝∠C．又因为∠C＝∠B，所以∠3＝∠B．所以AB＝AP．所以点A在BP的垂直平分线上，此时BP＝2BM＝8．图4 图5考点伸展第（2）题求y关于x的函数关系式，事实上，不论点Q在AD上，还是点Q在AD的延长线上，都有AQ＝2AN＝2MP＝2(BP－BM)＝2(x－4)，所以关系式是一样的．这样的话，函数的定义域为4＜x≤13．当x＝132时，如图6所示；当x＝13时，如图7所示．图6 图7在平面直角坐标系中，如果对任意一点(a, b)，规定两种变换：f (a, b)＝(－a,－b)，g (a, b)＝(b,－a)，那么g [ f (1,－2)]＝_________．动感体验请打开几何画板文件名“18静安17”，拖动点P(a, b)在坐标平面内运动，可以体验到，变换f (a, b)就是作点P(a, b)关于原点的对称点；变换g (a, b)分两步，先作点P(a, b)关于直线y＝x的对称点Q，再作点Q关于x轴的对称点（如图1所示）．答案如图2，由f (a, b)＝(－a,－b)，得f (1,－2)＝(－1, 2)．由g (a, b)＝(b,－a)，得g(－1, 2)＝(2, 1)．所以g [ f (1,－2)]＝g(－1, 2)＝(2, 1)．图1 图2等腰△ABC 中，AB ＝AC ，它的外接圆⊙O 的半径为1，如果线段OB 绕点O 旋转90°后可与线段OC 重合，那么∠ABC 的余切值是_________．动感体验请打开几何画板文件名“18静安18”，可以体验到，等腰三角形ABC 与等腰直角三角形OBC 的对称轴是重合的．答案 11．思路如下：如图2，在等腰直角三角形OBC 中，OB ＝OC ＝1，所以BC设BC 的中点为H ，那么OH ⊥BC ，AH ⊥BC ．所以A 、O 、H 三点共线．如图3，在Rt △ABH 中，BH ，AH ＝1cot ∠ABC ＝BH AH 1．如图3，在Rt △ABH 中，BH ＝2，AH ＝12-，所以cot ∠ABC ＝BH AH 1．图2 图3 图4如图1，在平面直角坐标系中，已知点B(8, 0)和点C(9,－3)，抛物线y＝ax2－8ax＋c（a、c是常数，a≠0）经过点B、C，且与x轴的另一个交点为A，对称轴上有一点M，满足MA＝MC．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求四边形ABCM的面积；（3）如果坐标系内有一点D，满足四边形ABCD是等腰梯形，且AD//BC，求点D的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“18静安24”，可以体验到，四边形ABCM是梯形．还可以体验到，如果四边形ABCD是等腰梯形，那么△ADE∽△CBF．思路点拨1．第（2）题先根据两点间的距离公式列方程求得点M的坐标，再判断四边形ABCM 的形状，然后求面积．2．第（3）题中，A、B、C三点是确定的，用一个字母n表示点D的坐标，就可以列方程了．列方程的依据可以根据腰相等，也可以根据对角线相等．图文解析（1）由y＝ax2－8ax＋c，可知抛物线的对称轴是直线x＝4．点B(8, 0)关于直线x＝4的对应点是A(0, 0)．设抛物线的解析式为y＝ax(x－8)，代入C(9,－3)，得－3＝9a．解得13=-a．所以2118(8)333=--=-+y x x x x．（2）设M(4, m)．由MA2＝MC2，得42＋m2＝52＋(m＋3)2．解得m＝－3．所以M(4,－3)，MC//x轴，MC＝5．所以四边形ABCM是梯形，高为3．所以S梯形ABCM＝139(5+8)322⨯⨯=．图2 图3 （3）作等腰梯形ABCD的外接矩形AEHF．由B(8, 0)、C(9,－3)，可得tan∠CBF＝3．由∠ADE＝∠DAB＝∠CBF，得tan∠ADE＝3．设DE ＝n ，AE ＝3n ，那么D (n ,－3n )．由DC ＝AB ，得DC 2＝AB 2．所以(n －9)2＋(3n －3)2＝82．整理，得5n 2－18n ＋13＝0．解得n ＝1，或n ＝135． 当n ＝1时，D(1,－3)．此时DC //x 轴//AB ，四边形ABCD 是平行四边形，不合题意． 当n ＝135时，D 1339(,)55-．此时ABCD 是等腰梯形． 考点伸展第（3）题解等腰梯形，设好了点D 的坐标为(n ,－3n )以后，有4种列方程的方法． 上面第一种方法，由腰相等DC ＝AB ，根据DC 2＝AB 2列方程．这个方程是一元二次方程，一个解是等腰梯形，另一个解是平行四边形．也就是说，一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形或平行四边形．这是因为以C 为圆心、AB 为半径的圆与直线AD 有两个交点．第二种方法，由对角线相等DB ＝AC ，根据DB 2＝AC 2列方程．这个方程的两个解，也是等腰梯形和平行四边形．这是因为以B 为圆心、AC 为半径的圆与直线AD 有两个交点（如图4所示）．第三种方法，设BC 的中点为P ，那么P 173(,)22-，根据PD 2＝P A 2列方程．这个方程的两个解，一个是点A ，一个是点D ．这是因为以P 为圆心、P A 为半径的圆与直线AD 有两个交点（如图5所示）．第四种解法，设AD 的中点为Q ，那么Q 3(,)22-n n ，根据QB 2＝QC 2列方程．这个方程是一元一次方程，有一个解．这是因为AD 的垂直平分线与BC 有且只有一个交点（如图6所示）．图4 图5 图6第五种解法，设D (x , y )．由2222,,⎧=⎪⎨=⎪⎩DC AB DB AC 列方程组2222222(9)(3)8,(8)93，⎧-++=⎪⎨-+=+⎪⎩x y x y 一个解是平行四边形ABDC ，一个解是等腰梯形ABCD ．例 2018年上海市静安区中考模拟第25题如图1，平行四边形ABCD 中，已知AB ＝6，BC ＝9，cos ∠ABC ＝13，对角线AC 、BD 交于点O ，动点P 在边AB 上，⊙P 经过点B ，交线段P A 于点E ．设BP ＝x ．（1）求AC 的长；（2）设⊙O 的半径为y ，当⊙P 与⊙O 外切时，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）如果AC 是⊙O 的直径，⊙O 经过点E ，求⊙O 与⊙P 的圆心距OP 的长．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“18静安25”，拖动点P 在由B 向A 运动，可以体验到，⊙P 与⊙O 保持外切，直角三角形OPH 的直角边OH 是定值，斜边OP 和直角边PH 随PB 的增大而减小．思路点拨1．通过计算，可以发现平行四边形ABCD 中，△ABC 是等腰三角形．2．第（2）题和第（3）题的一般策略是，构造圆心距OP 为斜边的直角三角形． 图文解析（1）如图2，作AF ⊥BC 于F ．在Rt △ABF 中，AB ＝6，cos ∠ABF ＝BF AB ＝13，所以BF ＝2．所以AF ＝．在Rt △ACF 中，CF ＝BC －BF ＝9－2＝7，所以AC 9．图2 图3（2）如图3，作CG ⊥AB 于G ，作OH ⊥AB 于H ，那么OH ＝12CG ． 在Rt △BCG 中，BC ＝9，cos ∠GBC ＝BG BC ＝13，所以BG ＝3．所以CG ＝AG ＝3．所以OH ＝12CG ＝AH ＝12AG ＝32．。