数列求和知识点总结

合集下载

数列知识点求和方法总结

数列知识点求和方法总结一、数列知识点1. 什么是数列数列是指按照一定的规律排列的一组数，其中每个数称为数列的项。

通常用a1, a2, a3,...表示数列的各个项，其中ai表示第i个项。

数列可以是有限的，也可以是无限的。

2. 数列的常见形式（1）等差数列：如果一个数列中任意两个相邻的项之间的差值都相等，那么这个数列就是等差数列。

例如：1，3，5，7，9...就是一个等差数列，其公差为2。

（2）等比数列：如果一个数列中任意两个相邻的项之间的比值都相等，那么这个数列就是等比数列。

例如：1，2，4，8，16...就是一个等比数列，其公比为2。

（3）等差-等比数列：某些数列既是等差数列又是等比数列，这种数列就是等差-等比数列。

3. 数列的通项公式数列的通项公式是数列中各项的一般表示形式，通常用an表示第n项的表达式。

例如：等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。

4. 数列的前n项和数列的前n项和表示数列中前n项的总和，通常用Sn表示。

例如：等差数列前n项和的公式为Sn=(a1+an)n/2，其中a1为首项，an为第n项。

二、数列求和方法总结1. 等差数列求和（1）公式法：根据等差数列的通项公式和前n项和的公式，可以直接利用这两个公式求得等差数列的前n项和。

（2）差值法：等差数列的求和还可以利用差值法，即将数列的首项和末项相加，然后将第二项和倒数第二项相加，以此类推，最终得到数列的总和。

（3）递推法：递推法即通过递推关系式将数列的前n项和与前n-1项和联系起来，从而求得前n项和。

例如对于等差数列an=a1+(n-1)d，可得出递推关系式为Sn=Sn-1+an。

2. 等比数列求和（1）公式法：根据等比数列的通项公式和前n项和的公式，可以利用这两个公式求得等比数列的前n项和。

（2）通项公式变形法：对于等比数列an=a1*q^(n-1)，公比为q，可以对通项公式进行变形，然后用前n项和的公式来求和。

数列求和的知识点总结

数列求和的知识点总结一、数列求和的基本概念1. 数列的定义数列是按照一定的规律排列的一组数，数列中的每个数被称为该数列的项。

数列一般用{}表示，其中n是数列的下标，表示数列的第n个项。

2. 数列的性质（1）有限项数列和无限项数列数列的项的个数有限时，称为有限项数列，否则称为无限项数列。

（2）等差数列和等比数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差是常数的数列，其通项公式为an=a1+(n-1)d。

等比数列是指数列中相邻两项之间的比是常数的数列，其通项公式为an=a1*q^(n-1)。

3. 数列求和的基本概念数列求和指的是将数列的各项相加的操作，可以分为有限项求和和无限项求和。

有限项数列的求和可以用公式进行计算，而无限项数列的求和需要通过取极限的方法进行求解。

二、数列求和的常用公式1. 等差数列求和公式在等差数列an=a1+(n-1)d中，前n项和Sn的计算公式为Sn=n/2*(a1+an)。

2. 等比数列求和公式在等比数列an=a1*q^(n-1)中，前n项和Sn的计算公式为Sn=a1*(q^n-1)/(q-1)。

3. 平方和与立方和公式在数列1,2,3,4,...,n中，平方和S(n^2)=n*(n+1)*(2n+1)/6，立方和S(n^3)=[n*(n+1)/2]^2。

4. 斐波那契数列求和公式斐波那契数列是指数列的每一项是前两项之和的数列，其前n项和Sn的计算公式为Sn=F(n+2)-1，其中F(n)表示斐波那契数列中的第n项。

5. 其他数列求和公式在一些特殊的数列中，如等差中项数列、调和数列等，也可以根据数列的特性推导出对应的求和公式。

三、数列求和的运算方法1. 直接求和法在有限项数列的求和中，可以直接将数列的各项相加得到结果。

这种方法适用于项数较少或者数列的规律明显的情况。

2. 差分法对于一些复杂的数列，可以通过差分的方法将其转化为等差数列或等比数列，然后利用相应的求和公式进行求解。

3. 递推法递推法是指通过给定的递推关系求解数列的前n项和，常用于斐波那契数列等递归定义的数列。

数列的通项与求和例题和知识点总结

数列的通项与求和例题和知识点总结一、数列的通项在数列中，通项公式是指第 n 项 an 与项数 n 之间的关系式。

（一）等差数列的通项公式若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。

其通项公式为：an ＝ a1 ＋（n 1)d ，其中a1 为首项，d 为公差。

例如：数列 2，5，8，11，14，是一个首项 a1 ＝ 2，公差 d ＝ 3 的等差数列，其通项公式为 an ＝ 2 ＋（n 1)×3 ＝ 3n 1 。

（二）等比数列的通项公式若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。

其通项公式为：an ＝ a1×q^（n 1) ，其中 a1 为首项，q 为公比。

例如：数列 2，4，8，16，32，是一个首项 a1 ＝ 2，公比 q ＝ 2 的等比数列，其通项公式为 an ＝ 2×2^（n 1) ＝ 2^n 。

（三）常见的求通项公式的方法1、观察法通过对数列前几项的观察，找出规律，从而推测出通项公式。

例如：数列 1，3，5，7，9，很容易观察出其通项公式为 an ＝ 2n1 。

2、累加法当数列的递推关系为 an an 1 ＝ f(n) 时，可用累加法求通项公式。

例如：已知数列｛an} 满足 a1 ＝ 1，an an 1 ＝ n ，求 an 。

因为 an an 1 ＝ n ，所以a2 a1 ＝ 2a3 a2 ＝ 3an an 1 ＝ n将上述式子相加得：an a1 ＝ 2 ＋ 3 ＋＋ n所以 an ＝ a1 ＋ 2 ＋ 3 ＋＋ n ＝ 1 ＋（2 ＋ 3 ＋＋ n) ＝ 1 ＋ n(n＋ 1)／2 。

3、累乘法当数列的递推关系为 an ／ an 1 ＝ f(n) 时，可用累乘法求通项公式。

例如：已知数列｛an} 满足 a1 ＝ 1，an ／ an 1 ＝ n ，求 an 。

因为 an ／ an 1 ＝ n ，所以a2 ／ a1 ＝ 2a3 ／ a2 ＝ 3an ／ an 1 ＝ n将上述式子相乘得：an ／ a1 ＝ 2×3××n所以 an ＝ a1×2×3××n ＝ n! 。

数列求和知识点总结高中

数列求和知识点总结高中一、数列的概念和类型首先，我们需要了解数列的概念和类型。

数列是由一列有限或无限项按照一定的规律排列组成的序列，通常用 {an} 表示，其中 an 表示数列中的第n项。

根据数列的性质和规律，可以将数列分为等差数列、等比数列、等差数列和等比数列等不同类型。

等差数列：若数列 {an} 满足 an = a1 + (n-1)d，其中 a1 是首项，d 是公差，则称 {an} 为等差数列。

等比数列：若数列 {an} 满足 an = a1 * q^(n-1)，其中 a1 是首项，q 是公比，则称 {an} 为等比数列。

二、数列求和的基本方法在数列求和的过程中，我们需要掌握一些基本的方法和技巧，这些方法和技巧可以帮助我们更快更准确地求解数列的和。

下面是一些常用的数列求和方法：1. 等差数列求和公式对于等差数列 {an}，它的前 n 项和 Sn 可以用以下公式表示：Sn = n/2 * (a1 + an)其中，n 表示项数，a1 表示首项，an 表示末项。

这个公式是通过将数列反复相加得到的，可以快速求解等差数列的和。

2. 等比数列求和公式同样地，对于等比数列 {an}，它的前 n 项和 Sn 可以用以下公式表示：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)其中，n 表示项数，a1 表示首项，q 表示公比。

这个公式也是通过数列的递推关系得到的，可以快速求解等比数列的和。

3. 折半相加法对于一些特殊的数列，我们可以通过折半相加的方法来求解其和。

这种方法可以将数列分解为两部分，然后将这两部分相加，得到整个数列的和。

这种方法在解决一些复杂的数列求和问题时非常有用。

4. 公式推导法对于某些数列求和问题，可以通过对数列的递推关系进行推导，得到求和公式。

这种方法需要对数列的规律进行深入分析，然后利用数学推导的方法得到求和公式，能够快速求解数列的和。

三、应用题解析数列求和是数学建模和应用题中不可或缺的一部分，下面我们通过一些具体的例题来解析数列求和的应用。

数列求和知识点总结

一、数列的概念数列是按一定的顺序排列的一组数。

其中，排在第一位的数叫做第一个数，排在第二位的数叫做第二个数，依此类推，排在第n位的数叫做第n个数。

数列可以按照数值的递增或递减规律进行排列，也可以按照一定的公式进行排列。

比如：1, 2, 3, 4, 5, 6, ...这是一个递增数列；1, 3, 5, 7, 9, ...这是一个按照公式排列的数列。

对于数列的求和，我们主要关注以下几种数列：1. 等差数列：等差数列是指连续的两项之间的差值都是一个常数。

比如：1, 3, 5, 7, ...这是一个公差为2的等差数列。

2. 等比数列：等比数列是指连续的两项之间的比值都是一个常数。

比如：2, 6, 18, 54, ...这是一个公比为3的等比数列。

3. 部分和：对于给定的数列，我们可能不仅仅要求整个数列的和，还会需要求出数列的前n项和。

这个就是部分和的概念。

二、数列求和的基本方法1. 等差数列求和：等差数列的前n项和可以通过以下公式来求得：Sn = (n/2) * (a + l)其中，Sn表示等差数列的前n项和，n表示数列的项数，a表示数列的首项，l表示数列的末项。

这个公式的推导是通过将等差数列的每一项按照首项和末项的规律进行分组求和得到的。

2. 等比数列求和：等比数列的前n项和也有一个相对简单的公式：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)其中，Sn表示等比数列的前n项和，a表示数列的首项，r表示数列的公比，n表示数列的项数。

这个公式的推导是通过等比数列的前n项和与首项和末项的关系进行递推得到的。

3. 部分和：对于部分和的求解，我们可以通过等差数列的部分和公式来进行求解。

也可以通过等比数列的部分和公式来进行求解。

另外，对于一般的数列，我们也可以通过分组求和的方法来进行求解。

1. 等差数列求和应用于金融学中的资金收益计算，消费指数的计算等等等差数列的求和公式可以应用于金融学中的资金收益计算中。

数列求和高考知识点汇总

数列求和高考知识点汇总数列求和是高等数学中的一个重要概念，也是高考数学考试中经常出现的考点之一。

通过对数列求和问题的学习和掌握，有助于提高学生的数学思维能力和解题能力。

本文将从数列的定义、求和公式和常见类型等方面对数列求和的相关知识进行汇总介绍。

一、数列的定义数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的，其中每个数称为数列的项。

数列的项通常用通项公式来表示。

常见的数列有等差数列和等比数列两种。

等差数列中，相邻两项之间的差是常数，而等比数列中，相邻两项之间的比是常数。

二、数列求和的基本方法数列求和的基本方法有两种，分别是递推法和通项求和法。

1. 递推法：根据数列的定义，通过递推公式来计算数列的前n项和。

递推法要求我们能够准确找到数列中的递推关系，从而通过计算出前n项的和得到数列的和。

2. 通项求和法：对于有明确通项公式的数列，我们可以通过将公式中的项代入并化简，最终求解出数列的和。

通项求和法适用于能够找到数列通项公式的情况，这样可以直接进行计算，简化求和的过程。

三、等差数列求和等差数列求和是高考中较为基础和常见的考点之一。

对于等差数列，它的前n项和可以通过以下公式来计算：Sn = (a1 + an) × n / 2其中，Sn表示等差数列的前n项和，a1表示等差数列的首项，an表示等差数列的末项，n表示等差数列的项数。

四、等比数列求和等比数列求和也是高考数学中的重要知识点。

对于等比数列，它的前n项和可以通过以下公式来计算：Sn = a1 × (1 - q^n) / (1 - q)其中，Sn表示等比数列的前n项和，a1表示等比数列的首项，q表示等比数列的公比，n表示等比数列的项数。

五、常用数列求和公式除了等差数列和等比数列的求和公式之外，还有一些常用的数列求和公式需要掌握：1. 等差数列求和公式的推广：Sn = (a1 + an) × n / 2= (a1 + a1 + d + a1 + 2d + ... + an) × n / 2= (n × a1 + n × (n - 1) × d) / 22. 平方数列求和：1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n × (n + 1) × (2n + 1) / 63. 立方数列求和：1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = (n × (n + 1) / 2)^2六、综合应用数列求和作为高等数学中的一个重要概念，能够应用到许多实际问题中。

高二数列求和知识点归纳总结

高二数列求和知识点归纳总结数列是数学中常见的概念，它是按照一定规律排列的数的集合。

在高二数学学习中，我们经常会遇到数列求和的问题，对此我们需要掌握一些与数列求和相关的知识点。

本文将对高二数列求和的知识进行归纳总结。

一、等差数列求和公式等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列，常用的求和公式如下：1. 等差数列前n项和公式：Sn = (a1 + an) * n / 2其中，Sn表示前n项和，a1表示首项，an表示末项，n表示项数。

2. 等差数列常用的性质公式：Sn = (a1 + an) * n / 2an = a1 + (n-1) * d其中，d表示公差。

二、等比数列求和公式等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列，常用的求和公式如下：1. 等比数列前n项和公式（当公比不等于1时）：Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)其中，Sn表示前n项和，a1表示首项，r表示公比，n表示项数。

2. 等比数列前n项和公式（当公比等于1时）：Sn = a1 * n三、特殊数列求和公式除了等差数列和等比数列外，还存在一些特殊的数列求和公式，包括以下几种常见情况：1. 平方数列求和公式：Sn = (2n^3 + 3n^2 + n) / 62. 立方数列求和公式：Sn = (n^2 * (n + 1)^2) / 43. 斐波那契数列求和公式：Sn = F(n+2) - 1其中，F(n)表示第n项斐波那契数。

四、应用案例分析在实际应用中，数列求和常常结合实际问题进行分析和求解。

以下是两个典型的应用案例：案例一：小明每天读书，第一天读了1页，第二天读了2页，第三天读了3页，以此类推，第n天读了n页。

求小明连续读了10天后的总页数。

解析：根据题目中的描述，我们可以知道该题是等差数列，且首项a1=1，公差d=1，项数n=10。

利用等差数列求和公式，可以得到：Sn = (a1 + an) * n / 2= (1 + 10) * 10 / 2= 55因此，小明连续读了10天后的总页数是55页。

数列求和知识点总结

数列求和1■求数列的前n项和的方法(1)公式法①等差数列的前n项和公式②等比数列的前n项和公式(2)分组求和法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．(5)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广2．常见的裂项公式111(1)=)n(n+1)nn+1.“、11(11)(2)(2n—1)(2n+1)2(2n—12n+1丿⑶卅寸丽-扣高频考点一分组转化法求和例1、已知数列｛a｝的前n项和S=兰尹，nG N*.nn2(1)求数列｛a｝的通项公式；n(2)设b=2a+(—1)a，求数列｛b｝的前2n项和.nnnn【感悟提升】某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论．【变式探究】已知数列｛a｝的通项公式是a=2^3n-1+(―1)n・(ln2—In3)+(—nn1)n nln3,求其前n项和S.n高频考点二错位相减法求和例2、(2015・湖北)设等差数列｛a｝的公差为d,前n项和为S,等比数列｛b｝的公比为nnnq,已知b=a,b=2,q=d,S=100.11210(1)求数列｛a｝,｛b｝的通项公式；nna(2)当d>1时，记c=b，求数列｛c｝的前n项和T.bn【感悟提升】用错位相减法求和时,应注意：(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S”与“qS”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确nn写出“s—qS”的表达式；nn(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解．【变式探究】已知数列｛a｝满足首项为a=2,a丄=2a(nW N*).设b=3loga—1＋122(nG N*)，数列｛c｝满足c=ab.nnnn(1)求证：数列｛b｝为等差数列；n(2)求数列｛c｝的前n项和S.nn高频考点三裂项相消法求和例3、设各项均为正数的数列｛a｝的前n项和为S，且S满足S2—(n2+n—3)S—3(n2nnnnn+n)=0,nE N*.(1)求a1的值；(2)求数列｛a｝的通项公式；n有aa+1+aa+1+^+aa+11122nn1【变式探究】已知函数f(x)=x a 的图象过点(4,2)，令a n ^fn+1+fn ,nG N *.记数列｛a ｝的前n 项和为S,则S=.nn 201711【感悟提升】(1)用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，女如：需十:市=k"Jn+k1111ijn),nn+k =匸卡—帚)裂项后可以产生连续可以相互抵消的项•⑵抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.(1)求s 的表达式；n⑵设b=^+?，求｛b ｝的前n 项和T.2n+1练习:2n —13211.已知数列｛a ｝的通项公式是a=r"-，其前n 项和S ，则项数n=()2nn 64A.13B.10C.9D.6 (3)证明：对一切正整数n. 【举一反三】在数列｛a ｝中，a=1,当n$2时, 其前n 项和S 满足S 2=a nn2.已知数列｛a｝满足a=1，a•a=2n(nG N*)，则S=()n1n+1n2012A.22012—1B.3*21006—3C.3・21006—1D.3・21005—213.已知函数f(x)=X2+2bx过(1,2)点,若数列｛厂厂｝的前n项和为匚则S2012的值为() 012,2011)010,2011)013,2012)012,2013)14.数列｛a｝满足a+a=T(nG N*)，且a=1,S是数列｛a｝的前n项和，则S=()nnn+121nn21B.6C.10D.115.已知函数f(n)=n2cos(nn),且a=f(n)+f(n+1)，则a+a+aa=()n123100A.-100B.0C.100D.102006.在数列｛a｝中，已知a=1,a+—a=sin—上弓—，记S为数列｛a｝的前n项和，则n1n+1n2nnS=()2014A.1006B.1007C.1008D.10097.在数列｛a｝中，a=1，a丄=(—1)n(a+1)，记S为｛a｝的前n项和，则S=。

高中总结数列求和知识点

高中总结数列求和知识点一、数列求和的基本概念数列是按照一定规律排列的一系列数的集合，通常用数学形式表示为{a1, a2, a3, ... , an}，其中ai表示数列的第i项。

数列求和即是对数列中的所有项进行加和运算，得到一个数值作为结果。

在数学中，数列求和是一个非常基础但又非常重要的问题，其应用涉及到数学、物理、经济等多个领域。

在高中数学中，学习数列求和不仅有助于深化对数学基础概念的理解，还有助于加深对递推数列、等差数列、等比数列等的认识。

二、求和公式的推导为了方便计算各种不同类型数列的求和问题，人们发展出了一系列数列的求和公式。

下面我们将以常见的等差数列和等比数列为例，介绍求和公式的推导过程。

1. 等差数列的求和公式假设有一个等差数列{a, a+d, a+2d, a+3d, ... , a+(n-1)d}，其中a为首项，d为公差，n为项数。

根据等差数列的性质，我们可以将这个数列反向排列，得到{a+(n-1)d, a+(n-2)d, ... ,a+3d, a+2d, a+d, a}。

将这两个数列逐项相加，得到2S = (2a + (n-1)d) + (2a + (n-1)d) + ... + (2a + (n-1)d) = n(2a + (n-1)d)。

因此，等差数列的求和公式为S = n/2 * (2a + (n-1)d)。

2. 等比数列的求和公式假设有一个等比数列{a, ar, ar², ar³, ... , ar^(n-1)}，其中a为首项，r为公比，n为项数。

我们可以将这个数列乘以公比r，得到{ar, ar², ar³, ... , ar^n}。

然后两个数列逐项相减，得到Sn = a(1 - r^n) / (1 - r)。

因此，等比数列的求和公式为Sn = a(1 - rⁿ) / (1 - r)。

通过上述示例，我们可以看到，求和公式的推导过程本质上是基于数列本身的性质，通过找到数列之间的关系，进而得到求和公式。

数学求和的知识点总结

数学求和的知识点总结一、数列求和数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列，而数列求和则是计算数列中所有项的总和。

对于一个有限项的数列，其求和可以通过将所有项相加得到，而对于无限项的数列，则需要通过一定的技巧进行求和。

1.1 等差数列的求和公式等差数列是指数列中相邻两项之间的差恒定的数列，其通项公式可表示为an=a1+(n-1)d。

对于n项等差数列的求和，可以利用求和公式来进行计算，其求和公式为Sn=n/2*(a1+an)或Sn=n/2*(2a1+(n-1)d)。

其中，Sn表示数列的前n项和，a1表示数列的首项，an表示数列的第n项，d表示数列的公差。

1.2 等比数列的求和公式等比数列是指数列中相邻两项之间的比值恒定的数列，其通项公式可表示为an=a1*q^(n-1)。

对于n项等比数列的求和，可以利用求和公式来进行计算，其求和公式为Sn=a1*(q^n-1)/(q-1)或Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)。

其中，Sn表示数列的前n项和，a1表示数列的首项，q表示数列的公比。

1.3 其他数列的求和公式除了等差数列和等比数列以外，还有一些常见的数列求和公式，如等差-等比数列的求和公式、调和数列的求和公式等。

这些求和公式可以帮助我们快速计算数列的和，是数学中求和问题的重要工具。

二、级数求和级数是指一系列数相加得到的和，其中每一项都是按照一定规律排列的。

级数求和是数学中常见的问题，它涉及到了无穷项的求和，需要通过适当的技巧来进行计算。

2.1 收敛级数的求和对于收敛级数（即级数和有限的级数），可以利用求和公式来计算其和。

常见的收敛级数包括等比级数、调和级数、幂级数等，它们都有相应的求和公式来计算其和。

2.2 发散级数的求和对于发散级数（即级数和无穷的级数），其求和需要通过一定的技巧来进行计算。

常见的技巧包括部分和的计算、级数收敛性的判断等，这些技巧可以帮助我们对发散级数进行求和。

2.3 绝对收敛级数的求和绝对收敛级数是指级数的所有项的绝对值之和收敛的级数，对于绝对收敛级数，可以利用绝对收敛级数的性质来进行求和。

高考数列求和知识点总结

高考数列求和知识点总结数列求和是高中数学中的一个重要知识点，也是高考数学中经常考察的内容之一。

掌握了数列求和的方法和技巧，可以帮助我们更好地解决问题，提高解题效率。

下面将对数列求和的相关知识进行总结和归纳。

一、等差数列的求和等差数列是高中数学中最基本的数列之一，求和公式为Sn = n* (a1 + an) / 2，其中Sn表示前n项和，a1表示首项，an表示第n 项。

例题1：已知某等差数列的首项为2，公差为3，求前10项的和。

解题思路：首先根据等差数列的公式an = a1 + (n - 1) * d，计算出第10项的值为2 + (10 - 1) * 3 = 29。

然后利用等差数列的求和公式Sn = n * (a1 + an) / 2，代入n=10，a1=2，an=29，计算出前10项的和为10 * (2 + 29) / 2 = 155。

二、等比数列的求和等比数列是高中数学中另一个重要的数列，求和公式为Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中Sn表示前n项和，a1表示首项，q表示公比。

例题2：已知某等比数列的首项为1，公比为2，求前5项的和。

解题思路：首先根据等比数列的公式an = a1 * q^(n - 1)，计算出第5项的值为1 * 2^(5 - 1) = 16。

然后利用等比数列的求和公式Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，代入n=5，a1=1，q=2，计算出前5项的和为1 * (1 - 2^5) / (1 - 2) = 31。

三、一般数列的求和对于一般的数列，如果找不到明显的规律或者确定不了数列的类型，可以采用递推法求和。

例题3：已知数列{an}满足a1 = 1，an = an-1 + 2，求前5项的和。

解题思路：根据数列的递推关系an = an-1 + 2，可以得出第2项a2 = a1 + 2 = 1 + 2 = 3，第3项a3 = a2 + 2 = 3 + 2 = 5，以此类推，可以求得前5项依次为1，3，5，7，9。

整理求和性质知识点总结

整理求和性质知识点总结1. 等差数列求和公式等差数列是指数列中每一项与它的前一项之间的差都相等的数列。

如果一个等差数列的首项是 a，公差是 d，第 n 项是为 a_n，则等差数列的前 n 项和可以表示为：S_n = (a + a_n) * n / 2其中 S_n 表示前 n 项和，a_n 表示第 n 项。

这个公式是等差数列求和的基本公式，可以很方便地用来计算等差数列的和。

2. 等比数列求和公式等比数列是指数列中每一项与它的前一项之间的比值都相等的数列。

如果一个等比数列的首项是 a，公比是 r，第 n 项是为 a_n，则等比数列的前 n 项和可以表示为：S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r)同样，这个公式是等比数列求和的基本公式，可以很方便地用来计算等比数列的和。

需要注意的是，当 r 大于 1 时，等比数列和存在限制，当 r 小于 1 时，等比数列和是无限的。

3. 等差数列和等比数列的性质等差数列和等比数列具有一些特殊的性质。

例如，对于等差数列，如果其首项是 a，公差是 d，前 n 项和是 S_n，那么对于任意正整数 m，有：S_(mn) = m * S_n + n * (n - 1) * d / 2这是等差数列前 mn 项和的公式，它表示 mn 项和与 n 项和的关系。

类似地，对于等比数列，存在着类似的性质。

这些性质可以帮助我们更方便地计算数列的和，同时也是数学中很重要的性质之一。

4. 级数的概念与性质级数是数学中的一个重要概念，它是指将一个数列的各项加起来所得到的和。

级数在数学分析、微积分和数学分析等学科中有着广泛的应用。

级数有很多重要的性质，例如级数的收敛性、发散性等。

级数的收敛性是指级数的和是否有限，发散性则是指级数的和是否无限。

判断级数的收敛性是数学中一个重要的问题，它涉及到很多数学原理和方法。

在级数的求和中，常用到的有级数的和与级数的前 n 项和之间的关系，以及级数的收敛域等概念。

等差数列和的知识点归纳总结

等差数列和的知识点归纳总结等差数列是指数列中相邻两项之差恒为常数的数列。

等差数列的和是数列中所有项的总和，对于等差数列求和，有以下几个重要的知识点需要归纳总结。

知识点一：等差数列的通项公式等差数列的通项公式是指通过数列的首项和公差来表示数列中的任意一项的公式。

通项公式为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示数列的第n 项，a1表示数列的首项，d表示公差。

例如，对于等差数列1, 4, 7, 10, 13，公差d为3，首项a1为1，则该数列的通项公式为an = 1 + (n-1)3。

知识点二：等差数列的前n项和公式等差数列的前n项和公式是指通过数列的首项、末项和项数来求等差数列的和的公式。

前n项和公式为：Sn = (n/2)(a1 + an)，其中Sn表示数列的前n项和，a1表示数列的首项，an表示数列的第n项。

例如，对于等差数列1, 4, 7, 10, 13，首项a1为1，末项an为13，项数n为5，则该数列的前n项和公式为Sn = (5/2)(1 + 13)。

知识点三：等差数列和的性质等差数列和的性质有以下几个方面：1. 公差相同的等差数列，其和与项数成正比。

即当公差固定时，等差数列的和随着项数的增加而增加。

2. 公差为正的等差数列，其和随项数的增加而增加；公差为负的等差数列，其和随项数的增加而减小。

3. 公差为正的等差数列，它的前n项和比它的前n-1项和要大；公差为负的等差数列，它的前n项和比它的前n-1项和要小。

知识点四：等差数列和的应用等差数列和的应用非常广泛，它可以帮助解决各种数学问题。

以下是几个常见的应用场景：1. 求等差数列中某一段数列的和，可以利用前n项和公式进行计算。

2. 求等差数列中项数，可以利用前n项和公式的逆推方法进行计算。

3. 根据等差数列的和和项数求出公差，可以利用前n项和公式和等差数列的通项公式进行计算。

综上所述，等差数列和的知识点主要包括等差数列的通项公式、前n项和公式、和的性质以及应用。

初中数列求和知识点归纳总结

初中数列求和知识点归纳总结数列与求和是初中数学中重要的知识点之一，它们在数学运算、代数方程和数学模型等方面都具有广泛的应用。

本文将对初中数列求和的相关知识点进行归纳总结，帮助大家对数列求和有更深入的理解。

1. 数列的定义与分类数列由一系列有序的数字组成，根据规律不同可以分为等差数列和等比数列两种。

- 等差数列：等差数列指的是数列中的每个数与它前面的数之差都相等，这个差值称为公差，用d表示。

等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，n为项数。

- 等比数列：等比数列指的是数列中的每个数与它前面的数之比都相等，这个比值称为公比，用q表示。

等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，n为项数。

2. 数列求和的方法与公式数列求和是指将数列中的所有数相加的操作，求和的结果称为数列的和。

常见的数列求和方法有以下几种。

- 等差数列的求和：对于等差数列，可以利用求和公式S = n * (a1 + an) / 2来计算数列的和，其中n为项数，a1为首项，an为末项。

- 等比数列的求和：对于等比数列，可以利用求和公式S = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)来计算数列的和，其中a1为首项，q为公比，n为项数。

3. 求解实际问题中的数列求和数列求和在实际问题中有广泛的应用，通过将问题转化为数列的求和可以简化计算。

以下是一些常见的实际问题求解示例。

- 等差数列求和：小明从家到学校，每天都按照相同的速度骑自行车，第一天骑行10分钟，之后每天骑行时间比前一天增加5分钟。

问小明连续骑行30天后的总共骑行时间是多少分钟？解答：首先确定此问题可以通过等差数列求和来解决，其中首项a1为10，公差d为5，项数n为30，代入求和公式S = n * (a1 + an) / 2，可以得出小明连续骑行30天后的总共骑行时间。

- 等比数列求和：小明投资了一笔基金，每年的回报率为5%，该基金的投资期限为5年，问小明最终能够获得多少钱？解答：首先确定此问题可以通过等比数列求和来解决，其中首项a1为投资金额，公比q为1 + 5% = 1.05，项数n为5，代入求和公式S = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)，可以得出小明最终能够获得的金额。

数列的通项公式与求和公式知识点总结

数列的通项公式与求和公式知识点总结数列是数学中常见的数值按照一定规律排列形成的序列。

在数列的研究中，通项公式和求和公式是两个重要的概念，它们能够帮助我们对数列进行分析和计算。

本文将对数列的通项公式和求和公式进行总结和说明。

一、通项公式通项公式又称为一般项公式，可以表达数列中第n个数值与n的关系。

通过通项公式，我们可以直接计算出数列中任意位置的数值，从而更好地理解和分析数列的特性。

1.1 等差数列的通项公式等差数列是指数列中相邻两项之间的差值恒定的数列。

设等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项公式为an = a1 + (n-1)d。

其中，an表示数列中第n个数值，an-1为前一项的值。

1.2 等比数列的通项公式等比数列是指数列中相邻两项之间的比值恒定的数列。

设等比数列的首项为a1，公比为r，则其通项公式为an = a1 * r^(n-1)。

其中，an表示数列中第n个数值，an-1为前一项的值。

1.3 斐波那契数列的通项公式斐波那契数列是一种特殊的数列，其每一项都是前两项之和。

设斐波那契数列的首项为a1，前一项为a(n-1)，当前项为an，则其通项公式为an = a(n-1) + a(n-2)。

其中，a2是斐波那契数列的第二项，一般取1。

二、求和公式求和公式是用来计算数列前n项和的公式。

通过求和公式，我们能够快速计算出数列的和，从而更方便地进行数列求和的操作。

2.1 等差数列的求和公式等差数列前n项和的求和公式为Sn = (n/2)(a1 + an)，其中Sn表示前n项的和，a1为首项，an为第n项。

2.2 等比数列的求和公式等比数列前n项和的求和公式分两种情况，当r=1时，Sn = na1；当r不等于1时，Sn = (a1 * (1 - r^n)) / (1 - r)。

其中，Sn表示前n项的和，a1为首项，r为公比。

2.3 斐波那契数列的求和公式斐波那契数列前n项和的求和公式为Sn = a(n+2) - a2，其中Sn表示前n项的和，a(n+2)为斐波那契数列的第n+2项，a2为第二项。

数列求和知识点和典型例题

数列求和知识点和典型例题数列求和是数学中的一个基础概念，它常常出现在学习数学的初中和高中阶段。

掌握数列求和的知识点和解题方法，对于数学学习的进一步发展和应用都有着重要的意义。

本文将从数列求和的基本概念、求和公式和典型例题三个方面进行详细的介绍。

一、数列求和的基本概念数列是按照一定规律排列的一组数，求和即为对数列中的数进行加法运算得到的结果。

对于有限项的数列求和可以通过逐项相加的方法得到，而对于无限项的数列求和则需要根据数列的规律进行推导得到求和公式。

二、数列求和的公式1.等差数列求和公式等差数列指的是一个数列中任意两项之间的差值都相等。

对于等差数列，其求和公式为：Sn = (a1 + an)*n/2，其中Sn为数列的前n项和，a1为首项，an为末项。

这个公式的推导可以通过将数列从首项到末项排列，再从末项到首项排列再相加得到。

2.等比数列求和公式等比数列指的是一个数列中任意两项之间的比值都相等。

对于等比数列，其求和公式为：Sn=(a1*(1-q^n))/(1-q)，其中Sn为数列的前n项和，a1为首项，q为公比。

这个公式可以通过将数列前n项与公比相乘得到一个新的等差数列，并用等差数列的求和公式进行计算得到。

3.平方数列求和公式平方数列指的是一个数列中每一项都是前一项的平方。

对于平方数列，其求和公式为：Sn=1^2+2^2+...+n^2=n*(n+1)*(2n+1)/6、这个公式可以通过数学归纳法进行推导得到。

三、数列求和的典型例题1.求等差数列1,3,5,7,...的前100项和。

解：根据等差数列的求和公式，a1=1，an=2n-1，n=100。

代入公式得到Sn = (1 + (2*100-1))*100/2 = 5050。

2.求等差数列2,5,8,11,...的前50项和。

解：根据等差数列的求和公式，a1=2，an=3n-1，n=50。

代入公式得到Sn = (2 + (3*50-1))*50/2 = 14753.求等比数列1,2,4,8,...的前10项和。

数列求和知识点归纳总结

数列求和知识点归纳总结数列求和是数学中的一项重要内容，是指根据数列中的规律，计算出数列中所有项的和。

在数学中，数列求和有各种不同的方法和公式，下面将对常见的数列求和知识点进行归纳总结。

一、等差数列的求和等差数列是指数列中每一项与前一项之差都相等的数列。

在等差数列中，我们常用的求和公式为：Sn = n（a1 + an）/ 2其中，Sn表示前n项的和，a1为首项，an为末项，n为项数。

例子一：求和公式对于等差数列1，3，5，7，9的前10项和可以表示为：S10 = 10（1 + 9）/ 2 = 10 * 10 / 2 = 50二、等比数列的求和等比数列是指数列中每一项与前一项的比值都相等的数列。

在等比数列中，我们常用的求和公式为：Sn = a1（1 - q^n）/ (1 - q)其中，Sn表示前n项的和，a1为首项，q为公比，n为项数。

例子二：求和公式对于等比数列2，4，8，16，32的前5项和可以表示为：S5 = 2（1 - 2^5）/ (1 - 2) = 62三、特殊数列的求和除了等差数列和等比数列，还有一些特殊的数列求和公式需要注意。

1. 奇数数列的求和对于奇数数列1，3，5，7，9，11......，前n项和可以表示为：Sn = n^22. 平方数列的求和对于平方数列1，4，9，16，25，......，前n项和可以表示为：Sn = n（n + 1）(2n + 1)/63. 立方数列的求和对于立方数列1，8，27，64，125，......，前n项和可以表示为：Sn = [n(n + 1)/2]^2四、递推公式的应用在一些情况下，数列的求和可以利用递推公式来求解。

递推公式是指通过前一项或前几项来推导出下一项的公式。

例子三：对于数列1，1/2，1/4，1/8，1/16，......，可以发现每一项都是前一项的一半。

因此，我们可以利用递推公式来求和：Sn = 1（1 - 1/2^n）/ (1 - 1/2) = 2 - 1/2^n以上是数列求和的一些常见知识点的归纳总结。

高中数学知识点总结(第六章数列第四节数列求和)

第四节数列求和一、基础知识1．公式法(1)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝na 1＋a n 2＝na 1＋nn －1d2. 推导方法：倒序相加法．(2)等比数列{a n }的前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n 1－q ，q ≠1.推导方法：乘公比，错位相减法． (3)一些常见的数列的前n 项和： ①1＋2＋3＋…＋n ＝nn ＋12； ②2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)； ③1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2. 2．几种数列求和的常用方法(1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和．(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法求解．(4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解．考点一分组转化法求和[典例] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n 2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和． [解] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n2－n －12＋n －12＝n .又a 1＝1也满足a n ＝n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)知a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)n n . 记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝21－22n 1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n . 故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2. [解题技法]1．分组转化求和的通法数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求数列的前n 项和的数列求和．2．分组转化法求和的常见类型[题组训练]1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －⎝⎛⎭⎫12n，则其前20项和为( ) A ．379＋1220B ．399＋1220C ．419＋1220D ．439＋1220解析：选C 令数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 20＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 20＝2(1＋2＋3＋…＋20)－⎝⎛⎭⎫12＋122＋123＋…＋1220＝420－⎝⎛⎭⎫1－1220＝419＋1220. 2．(2019·资阳诊断)已知数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋2，n 是奇数，2a n，n 是偶数，则数列{a n }的前20项和为( )A ．1 121B ．1 122C ．1 123D ．1 124解析：选C 由题意可知，数列{a 2n }是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a 2n －1}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{a n }的前20项和为1×1－2101－2＋10×1＋10×92×2＝1 123.选C.考点二裂项相消法求和考法(一) 形如a n ＝1nn ＋k型 [典例] (2019·南宁摸底联考)已知等差数列{a n }满足a 3＝7，a 5＋a 7＝26. (1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝1a n a n ＋1，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和T n .[解] (1)设等差数列的公差为d ，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1. (2)因为c n ＝1a n a n ＋1＝12n ＋12n ＋3，所以c n ＝12⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3，所以T n ＝12⎝⎛⎭⎫13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3＝12⎝⎛⎭⎫13－12n ＋3＝n6n ＋9. 考法(二) 形如a n ＝1n ＋k ＋n型[典例] 已知函数f (x )＝x α的图象过点(4,2)，令a n ＝1f n ＋1＋f n ，n ∈N *.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 019＝( )A. 2 018－1B. 2 019－1C. 2 020－1D. 2 020＋1[解析] 由f (4)＝2可得4α＝2，解得α＝12，则f (x )＝x 12.∴a n ＝1f n ＋1＋f n ＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，S 2 019＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 019＝(2－ 1 )＋(3－ 2 )＋(4－ 3 )＋…＋( 2 019－2 018)＋( 2 020－ 2 019)＝ 2 020－1. [答案] C[解题技法]1．用裂项法求和的裂项原则及消项规律 2．常见的拆项公式(1)1n n ＋1＝1n －1n ＋1；(2)12n －12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1； (3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ；(4)2n2n－12n ＋1－1＝12n－1－12n ＋1－1. [题组训练]1.在等差数列{a n }中，a 3＋a 5＋a 7＝6，a 11＝8，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋3·a n ＋4的前n 项和为( )A.n ＋1n ＋2B.n n ＋2C.n n ＋1D.2n n ＋1解析：选C 因为a 3＋a 5＋a 7＝6，所以3a 5＝6，a 5＝2，又a 11＝8，所以等差数列{a n }的公差d ＝a 11－a 511－5＝1，所以a n ＝a 5＋(n －5)d ＝n －3，所以1a n ＋3·a n ＋4＝1n n ＋1＝1n －1n ＋1，因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an ＋3·a n ＋4的前n 项和为1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1，故选C.2.各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝8，且2a 1，a 3,3a 2成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足b n ＝1n log 2a n，求{b n }的前n 项和S n . 解：(1)设等比数列{a n }的公比为q (q >0)． ∵2a 1，a 3,3a 2成等差数列，∴2a 3＝2a 1＋3a 2，即2a 1q 2＝2a 1＋3a 1q ， ∴2q 2－3q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－12(舍去)，∴a n ＝8×2n －1＝2n ＋2. (2)由(1)可得b n ＝1n log 22n ＋2＝1n n ＋2＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2， ∴S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2＝12⎝⎛⎭⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2 ＝34－2n ＋32n ＋1n ＋2. 考点三错位相减法[典例] (2017·山东高考)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n .已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n项和T n .[解] (1)设{a n }的公比为q ，由题意知：a 1(1＋q )＝6，a 21q ＝a 1q 2.又a n ＞0，解得a 1＝2，q ＝2，所以a n ＝2n . (2)由题意知， S 2n ＋1＝2n ＋1b 1＋b 2n ＋12＝(2n ＋1)b n ＋1，又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0，所以b n ＝2n ＋1.令c n ＝b na n ，则c n ＝2n ＋12n ，因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋12n ，又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1，两式相减得12T n ＝32＋⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n －1－2n ＋12n ＋1＝32＋1－⎝⎛⎭⎫12n －1－2n ＋12n ＋1＝52－2n ＋52n ＋1，所以T n ＝5－2n ＋52n .[变透练清]1.变结论若本例中a n ，b n 不变，求数列{a n b n }的前n 项和T n .解：由本例解析知a n ＝2n ，b n ＝2n ＋1，故T n ＝3×21＋5×22＋7×23＋…＋(2n ＋1)×2n ，2T n ＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n ＋1)×2n ＋1，上述两式相减，得，－T n ＝3×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n ＋1)2n ＋1 ＝6＋81－2n－11－2－(2n ＋1)2n ＋1＝(1－2n )2n ＋1－2 得T n ＝(2n －1)×2n ＋1＋2.2．已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{a 2n b n }的前n 项和(n ∈N *)．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q . 由已知b 2＋b 3＝12，得b 1(q ＋q 2)＝12，而b 1＝2，所以q 2＋q －6＝0. 因为q >0，解得q ＝2，所以b n ＝2n . 由b 3＝a 4－2a 1，可得3d －a 1＝8. ① 由S 11＝11b 4，可得a 1＋5d ＝16. ② 联立①②，解得a 1＝1，d ＝3，由此可得a n ＝3n －2.所以{a n }的通项公式为a n ＝3n －2，{b n }的通项公式为b n ＝2n . (2)设数列{a 2n b n }的前n 项和为T n ，由a 2n ＝6n －2，有 T n ＝4×2＋10×22＋16×23＋…＋(6n －2)×2n ，2T n ＝4×22＋10×23＋16×24＋…＋(6n －8)×2n ＋(6n －2)×2n ＋1，上述两式相减，得－T n ＝4×2＋6×22＋6×23＋…＋6×2n －(6n －2)×2n ＋1 ＝12×1－2n 1－2－4－(6n －2)×2n ＋1＝－(3n －4)2n ＋2－16，得T n ＝(3n －4)2n ＋2＋16.所以数列{a 2n b n }的前n 项和为(3n －4)2n ＋2＋16.[易误提醒](1)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号．(2)对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的n －1项和当作n 项和．(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q ＝1和q ≠1两种情况求解．[课时跟踪检测]A 级1．数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋n －1，若该数列的前k 项之和等于9，则k ＝( )A ．80B ．81C ．79D ．82解析：选B a n ＝1n ＋n －1＝n －n －1，故S n ＝n ，令S k ＝k ＝9，解得k ＝81，故选B.2．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( ) A ．15 B ．12 C ．－12D ．－15解析：选A a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝－1＋4－7＋10－13＋16－19＋22－25＋28＝5×3＝15，故选A.3．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5B.3116或5C.3116D.158解析：选C 设{a n }的公比为q ，显然q ≠1，由题意得91－q 31－q ＝1－q 61－q，所以1＋q 3＝9，得q ＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，前5项和为1－⎝⎛⎭⎫1251－12＝3116.4．在等差数列{a n }中，a 4＝5，a 7＝11.设b n ＝(－1)n ·a n ，则数列{b n }的前100项之和S 100＝( )A ．－200B ．－100C ．200D ．100解析：选D 设数列{a n }的公差为d ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝5，a 1＋6d ＝11⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝2⇒a n ＝2n－3⇒b n ＝(－1)n (2n －3)⇒S 100＝(－a 1＋a 2)＋(－a 3＋a 4)＋…＋(－a 99＋a 100)＝50×2＝100，故选D.5．已知T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n ＋12n 的前n 项和，若m >T 10＋1 013恒成立，则整数m 的最小值为( )A ．1 026B ．1 025C ．1 024D ．1 023解析：选C ∵2n ＋12n ＝1＋⎝⎛⎭⎫12n， ∴T n ＝n ＋1－12n ，∴T 10＋1 013＝11－1210＋1 013＝1 024－1210，又m >T 10＋1 013， ∴整数m 的最小值为1 024.6．已知数列：112，214，318，…，⎝⎛⎭⎫n ＋12n ，…，则其前n 项和关于n 的表达式为________．解析：设所求的前n 项和为S n ，则 S n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋⎝⎛⎭⎫12＋14＋…＋12n ＝nn ＋12＋12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝n n ＋12－12n ＋1. 答案：nn ＋12－12n ＋1 7．(2017·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则∑k ＝1n1S k ＝________.解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝3，4a 1＋6d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，所以S n ＝n n ＋12，1S n ＝2nn ＋1＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，因此∑k ＝1n1S k ＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2nn ＋1.答案：2nn ＋18．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 018＝________.解析：∵数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n ，① ∴n ＝1时，a 2＝2，n ≥2时，a n ·a n －1＝2n －1，②由①÷②得a n ＋1a n －1＝2，∴数列{a n }的奇数项、偶数项分别成等比数列， ∴S 2 018＝1－21 0091－2＋21－21 0091－2＝3·21 009－3.答案：3·21 009－39．(2019·成都第一次诊断性检测)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝3，S 4＝16，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设数列{a n }的公差为d ， ∵a 2＝3，S 4＝16， ∴a 1＋d ＝3,4a 1＋6d ＝16，解得a 1＝1，d ＝2. ∴a n ＝2n －1. (2)由题意知，b n ＝12n －12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1 ＝n2n ＋1. 10．(2018·南昌摸底调研)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1－2，记b n ＝a n S n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)∵S n ＝2n ＋1－2，∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝21＋1－2＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝2n . 又a 1＝2＝21，∴a n ＝2n .(2)由(1)知，b n ＝a n S n ＝2·4n －2n ＋1，∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋...＋b n ＝2(41＋42＋43＋...＋4n )－(22＋23＋ (2)＋1)＝2×41－4n 1－4－41－2n 1－2＝23·4n ＋1－2n ＋2＋43.B 级1．(2019·潍坊统一考试)若数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －λ(λ>0，n ∈N *)． (1)证明数列{a n }为等比数列，并求a n ；(2)若λ＝4，b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，log 2a n ，n 为偶数(n ∈N *)，求数列{b n }的前2n 项和T 2n .解：(1)∵S n ＝2a n －λ，当n ＝1时，得a 1＝λ，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－λ， ∴S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1，∴数列{a n }是以λ为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＝λ·2n －1.(2)∵λ＝4，∴a n ＝4·2n －1＝2n ＋1，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋1，n 为奇数，n ＋1，n 为偶数，∴T 2n ＝22＋3＋24＋5＋26＋7＋…＋22n ＋2n ＋1 ＝(22＋24＋…＋22n )＋(3＋5＋…＋2n ＋1) ＝4－4n ·41－4＋n 3＋2n ＋12＝4n ＋1－43＋n (n ＋2)，∴T 2n ＝4n ＋13＋n 2＋2n －43.2．已知首项为2的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＋1＝3S n －2S n －1(n ≥2，n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝n ＋1a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)因为S n ＋1＝3S n －2S n －1(n ≥2)，所以S n ＋1－S n ＝2S n －2S n －1(n ≥2)，即a n ＋1＝2a n (n ≥2)，所以a n ＋1＝2n ＋1，则a n ＝2n ，当n ＝1时，也满足，故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .(2)因为b n ＝n ＋12n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫12n，所以T n ＝2×12＋3×⎝⎛⎭⎫122＋4×⎝⎛⎭⎫123＋…＋(n ＋1)×⎝⎛⎭⎫12n ，① 12T n ＝2×⎝⎛⎭⎫122＋3×⎝⎛⎭⎫123＋4×⎝⎛⎭⎫124＋…＋n ×⎝⎛⎭⎫12n ＋(n ＋1)×⎝⎛⎭⎫12n ＋1，② ①－②得12T n ＝2×12＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －(n ＋1)⎝⎛⎭⎫12n ＋111＝12＋⎝⎛⎭⎫121＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －(n ＋1)⎝⎛⎭⎫12n ＋1 ＝12＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫12n ＋1 ＝12＋1－⎝⎛⎭⎫12n －(n ＋1)⎝⎛⎭⎫12n ＋1 ＝32－n ＋32n ＋1. 故数列{b n }的前n 项和为T n ＝3－n ＋32n .。

数列公差求和知识点总结

数列公差求和知识点总结一、数列与等差数列1. 数列数列是按照一定顺序排列的一组数字的集合，这个顺序可以是递增的、递减的，也可以是其他的规律。

数列的通项一般写作$a_n$，表示第n个数的值。

2. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项的差是一个常数的数列。

等差数列的通项公式如下：$a_n = a_1 + (n-1)d$其中，$a_n$表示等差数列的第n项，$a_1$表示等差数列的首项，n表示项数，d表示公差。

二、等差数列的求和公式1. 等差数列前n项和等差数列的前n项和可以用以下公式表示：$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$其中，$S_n$表示前n项和，$a_1$表示首项，$a_n$表示第n项，n表示项数。

2. 等差数列的前n项和公式的推导等差数列前n个数的和可以通过以下方法推导出来：首先，我们将等差数列的第n项和第1项相加，第n-1项和第2项相加，第n-2项和第3项相加，一直到第n/2项和第n/2+1项相加。

可以发现，每对数的和都等于常数$d$。

因此，我们可以得出如下结论：等差数列的前n项和等于$n$个数的平均值乘以$n$。

三、求解等差数列的公差1. 等差数列的公差等差数列的公差即为相邻两项之间的差。

求解等差数列的公差的方法一般有两种：a. 通过数列的通项公式进行求解b. 通过已知等差数列的前n项和求解2. 求解等差数列的公差的具体步骤a. 写出等差数列的通项公式$a_n$；b. 根据已知的数列的前n项和公式，求解出等差数列的首项$a_1$；c. 根据已知的数列的前n项和公式，求解出等差数列的第n项$a_n$；d. 通过等差数列的通项公式求解公差$d$。

四、等差数列的特殊求和1. 等差数列的奇数项和与偶数项和对于等差数列来说，如果是求解奇数项的和或者偶数项的和，可以采用如下方法进行求解：a. 求解奇数项和：将奇数项的公式代入$n=\frac{n-1}{2}$，然后用前n项和公式进行求解；b. 求解偶数项和：将偶数项的公式代入$n=\frac{n}{2}$，然后用前n项和公式进行求解。

数列求和知识点总结

数列知识点求和方法总结

数列求和的知识点总结

数列的通项与求和例题和知识点总结

数列求和知识点总结高中

数列求和知识点总结

数列求和高考知识点汇总

高二数列求和知识点归纳总结

数列求和知识点总结

高中总结数列求和知识点

数学求和的知识点总结

高考数列求和知识点总结

整理求和性质知识点总结

等差数列和的知识点归纳总结

初中数列求和知识点归纳总结

数列的通项公式与求和公式知识点总结

数列求和知识点和典型例题

数列求和知识点归纳总结

高中数学知识点总结(第六章 数列 第四节 数列求和)

数列公差求和知识点总结

高中数学知识点总结(第六章数列第四节数列求和)