二次函数分类讨论

二次函数

【复习目标】

1． 掌握二次函数解析式的求解方法——待定系数法；

2． 能灵活应用二次函数的单调性和对称性解决有关问题；

3． 理解二次函数，二次方程，二次不等式之间相互转换的关键；

4． 掌握二次函数值域求解的三种基本类型：定轴定区间，动轴定区间，定轴动区间；

5． 能熟练应用二次方程的实根分布知识解决二次函数中的参数取值范围问题。

【重点难点】

二次函数值域求解中分类讨论；函数中的“换元”思想及如何控制换元的等价性；数形结合思想在二次方

程实根分布知识中的应用。

【典型例题】

例1（1）设二次函数)(x f 满足)2(-x f ＝)2(--x f ，且图象在y 轴上的截距为1，被x 轴截得的线段

长为22，求)(x f 的解析式。

（2）若定义在[]6,6-上的奇函数)(x f 在[]3,0上为一次函数，在[]6,3上为二次函数，且]6,3[∈x 时，

)(x f ≤)5(f ＝3，)6(f ＝2，求)(x f 的解析式。

例2（1）已知函数54)(2+-=mx x x f 在区间),2[+∞-上是增函数，则)1(f 的范围是______________

（2）设函数)1(,0)()0()(2+<>++=m f m f a a x x x f 则满足的符号是 .

（3）已知函数a x x x x a ax ax x f +=+<>+-=1,),1(12)(21212且若，则)()(21x f x f 与的大小关系

是 。

例3．（1）已知3

1≤a ≤1，若f (x )＝a x 2－2x ＋1在区间[1，3] 上的最大值为M （a ），最小值为N （a ），令g(a )=M （a ）－N （a ）。

①

求g(a )的解析式 ②

判断g(a )的单调性并求出g(a )的最小值。

（2）已知二次函数2()f x ax bx =+满足(1)(1)f x f x +=-，且方程()f x x =有两个相等实根，若函数()f x 在定义域为[,]m n 上对应的值域为[2,2]m n ，求,m n 的值。

（3）设a 为实数，设函数x x x a x f -+++-=111)(2的最大值为g (a )。

①设t ＝x x -++11，求t 的取值范围，并把f (x )表示为t 的函数m (t )

②求g (a )

（4）已知二次函数R c b a bx x g c bx ax x f ∈-=++=,,,)()(2其中和一次函数且满足

0)1(,=>>f c b a .

①证明：函数)()(x g x f 与的图象交于不同的两点A ，B ；

②若函数]3,2[)()()(在x g x f x F -=上的最小值为9，最大值为21，试求b a ,的值；

③求线段AB 在x 轴上的射影A 1B 1的长的取值范围.

例4（1）设函数)(x f ＝x 2＋a x ＋3－a 在]2,2[-∈x 上恒非负，求实数a 的取值范围。

（2）已知23)1(3)(2+⋅+-=x x k x f ，当R x ∈时，)(x f 恒大于0，求实数k 的取值范围。

（3）已知a 为实数，不等式222++-a ax x ≤0有解，且它的解集是不等式452+-x x ≤0的解集的子

集，求实数a 的取值范围。

（4）已知函数12)2(24)(22-----=a a x a x x f 在区间[－1，1]内至少存在一点c ，使)(c f ＞0，求

实数a 的取值范围。