视图与投影讲义

九年级上册数学讲义——视图与投影知识点

本章精要知识点归纳

1. 主要概念：

（1）圆柱的主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是圆。

（2）圆锥的主视图是三角形；左视图是三角形；俯视图是圆，还要画上圆心。

（3）球的主视图是圆；左视图是圆；俯视图是圆。

（4）投影：物体在光线的照射下，会在地面或墙上留下它的影子，这就是投影现象。

（5）平行投影：太阳光线可以看成是平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影。

（6）中心投影：由一点发出的光线形成的投影是中心投影。

（7）视点：眼睛的位置称为视点。

（8）视线：由视点出发的线称为视线。

（9）盲区：视线看不到的地方称为盲区。

2. 主要原理：

（1）画视图时，看得见的部分的轮廓通常画成实线，看不见部分的轮廓线通常画成虚线。

（2）我们在画三视图时，主、左视图的高要相等；俯、左视图的宽要相等。

（3）在同一时刻，不同物体的影子与它们的高度是成比例的。

（4）在同一天中，由早晨到傍晚，物体的影子由正西、北偏西、正北、北偏东、正东的方向移动。

（5）当投影光线与投影面垂直时，形成的投影就是物体的正投影。

第一节视图

知识剖析：

1、画圆柱、圆锥、球的三视图

还记得一个物体的主视图、左视图和俯视图吗，你能画出下面物体的主视图、左视图和俯视图吗?

圆柱圆锥球

图中物体从正面、侧面、上面看这些儿何体，它们的形状各是什么样的？

上面我们研究的是三种有代表性的几何体，生活中还有更多几何体及物体．

2、画直三棱柱与直四棱柱的三种视图：

先想象出图中各几何体的三种视图，然后互相讨论结果的正确性。

根据想象和讨论，可以基本确定直三棱柱和直四棱柱的三种视图：

直三棱柱

直四棱柱

从上面的直棱柱的三种视图中，能否总结一下，在画视图时应注意什么?

（在画视图时，看得见部分的轮廓线通常画成实线，看不见部分的轮廓线通常画成虚线．应注意主视图和左视图是否同样宽．）

典型例题

例1. 如图，画出正三棱柱在这两种位置时的视图。

位置（一）位置（二）

解：图中正三棱柱在位置（一）时的三视图如下图所示。

主视图左视图俯视图

图中正三棱柱在位置（二）时的三视图如下图所示：

主视图左视图俯视图

例2. 如图所示，画出下列物体的三视图。

（1） （2）

答：两个物体的三视图如图（a ）（b ）

主视图 左视图 俯视图

（a ）

主视图 左视图 俯视图

（b ）

例3. 图1是底面为等腰直角三角形的三棱柱俯视图，画出它们主视图和左视图。

d

A

B C

D

E

F

a b c （1）

（2）

图1

解：如图2。

主视图 左视图 主视图 左视图

a b c d

（1） （2）

课堂练习

已知某四棱柱的俯视图如下图所示，尝试画出它的主视图和左视图．

本节知识点归纳：

1．画三视图的原则

画三视图时，应注意主、俯视图要“”，主、左视图要“”，左、俯视图要“宽相等”．

[注意] 在画圆锥的俯视图时，要注意不要漏掉圆心处的实点．

2．三视图的画法

首先观察物体的几何构成，确定主视图的位置，依次画出视图的外轮廓线，然后将视图补充完整，看得见的轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线．

[总结] 三视图中的方位与物体上的方位的对应关系：

(1)主视图中的上、下、左、右对应物体的上、下、左、右；

(2)俯视图中的上、下、左、右对应物体的后、前、左、右；

(3)左视图中的上、下、左、右对应物体的上、下、后、前．

3．画三视图的顺序

三种视图中首先应确定主视图的位置，画出主视图，然后在主视图下面画出俯视图，在主视图右面画出左视图．

典型例题

►考点一确定物体的三视图

例1 如图S4－1(a)所示几何体的主(正)视图是( )

[分析] B容易看出主视图有两层组成，最上层一个正方形，第二层三个正方形．

方法技巧

三个视图是分别从正面、左面、上面三个方向看同一个物体所得到的平面图形，要注意用平行光去看．画三个视图时应注意尺寸的大小，即三个视图的特征：主视图(从正面看)体现物体的长和高，左视图体现物体的高和宽，俯视图体现物体的长和宽．

►考点二由视图确定物体

例2 由若干个相同的小立方体搭成的几何体的三视图如图S4－2所示，则搭成这个几何体的小立方体的个数是( )

A．3 B．4 C．5 D．6

[分析] B由主视图可以看出几何体有两层，由俯视图可以看出第一层有3个小立方体，由左视图可以看出第二层有1个小正方体．

方法技巧

从俯视图可以看出行数与列数，再由各个位置上小正方体的个数确定每行每列的最高层数，从而确定出小正方体的个数．另外，在根据三个视图确定立体图形时，一定要充分发挥自己的空间想象力，并且要注意由三个视图想象实物时可能不唯一．建议同学们在俯视图的各个位置上写上该位置上小正方体的个数，然后把各个位置上的小正方体的个数相加即可．

第二节太阳光与影子（平行投影）

知识剖析：

实践：取若干长短不等的小棒及三角形、矩形纸片，观察它们在太阳光下的影子。

问题：如果改变小棒或纸片的位置和方向，它们的影子发生了什么变化？

概念：太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影。

思索：在同一时刻，大树和小树的影子与它们的高度之间有什么关系？与同伴交流。

议议：物体的主视图实际上就是说物体在某一平行光线下的投影（如图4-13），左视图和俯视图也是如此，你同意这种看法吗？先想一想，再与同伴交流。

典型例题

►考点三平行投影问题

例3 小刚身高1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶( )

A．0.5 m B．0.55 m C．0.6 m D．2.2 m

[分析] A本题是平行投影问题，可借助相似三角形的有关知识来解决．设小刚举起的手

臂超出头顶x m，则0.85

1.7＝ 1.1

1.7＋x

，解之得x＝0.5 m.

方法技巧

物体在太阳光下所形成的影子大小和形状随着物体与投影面的位置关系的改变而改变．特别地，当物体与投影面平行时，所形成的影子与物体全等；同一物体在不同时刻的影