new关于一道概率题两种解答的分析 命题人8套卷编写组 朱教授

关于一道概率题两种解答的分析

（1987[3]）设有两箱同种零件；第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件，其中18件一等品.先从两箱中随机挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回）。试求

（1）先取出的零件是一等品的概率p ；

（2）在先取出的是一等品的条件下，后取出的零件仍然是一等品的条件概率q 。 【官方详解】记A ={取的是第1箱}，

1B ={从该箱中先取出的是一等品}，2B ={从该箱后取出的是一等品}。

则由已知知：

()()()()

111101183,|,|2505305

P A P A P B A P B A ==

====， ()()

12121091817|,|50493029

P B B A P B B A =⨯=⨯ （1）由全概率公式，得

()()()()(

)

11111

132||0.425

255

p P B P

A P

B A P A P B A ==+=⨯

+⨯== （2）仍由全概率公式得

()()()()()

121212

110911817

||0.1942294152504923029

P B B P A P B B A P A

P B B A =

+=⨯⨯+⨯⨯= 故 ()()()122110.194229415

|0.4855735390.4

P B B q P B B P B ====

2.《某书》中认为

其解法的错误之处定性地说问题在于：

1）大学教材中，没有定义过条件概率的条件概率。

本题中《某书》定义的C 事件为“设先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品”，若记B={设先取出的零件是一等品},D={第二次取出的零件仍然是一等品}，则P(C)=P(D|B)所以是个条件概率！再在A 发生的条件下，C 发生, 则P(C|A)= P(D|B |A),显然这种式子是教科书中无法解释的。

2）应用全概公式,那个事件应是完备事件组中的一个子事件! 同学们回顾一下全概率公式

1

1

()()()(|)n n

i i i i i P B P BA P A P B A ====∑∑

中i BA ()1~i n = 都是完备事件组i A ()1~i n =中的子事件。 但是《某书》P(C|A)中的C 事件不是A 与A 的子事件！

综上所述，《某书》中的分析是错误的，细心的读者可以发现其实是下面

1

2

之前的系数不同！ 正解 10951817550492301122922q =⨯+⨯⨯⨯⨯⨯ 错解 11

2922

91749q =⨯+⨯

进一步，我们还可以举2个反例：

1）第一个箱子中2个球全是一等品；第二个箱子中2个球都不是一等品，显然

()21|1q P B B ==，但按照某书的做法111102122

q =⨯+⨯=

. 2）第一个箱子中2个球全是一等品；第二个箱子中1个球是一等品，1个球都不是一等品，

显然()212|3q P B B ==

，但按照某书的做法111102122

q =⨯+⨯=.

通过以上例题的分析，下题当时命题中心的的标准答案是正确的，某书解法是错误的！

（1998[3]）设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份、和5份。随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份。

（1） 求先抽到的一份是女生表达概率p ；

（2） 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q 。

【知识点】全概率公式、条件概率计算【正确答案】2990p =,2061

q = 某书的错误解法：

以上解法是错误的！