数学建模 - 第一章 组合优化模型
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数学建模 组合优化模型
cij 表示从发点i 到收点 j 的单位产品运输费用；
xij 表示从发点i 分配给收点 j 的产品数量。
min
c
i, j
ij ij
x
m x ij a i , (i 1,2,...,m ) j 1 n s.t. x ij b j , ( j 1,2,...,n) i 1 x ij 0
山东财经大学
优化问题建模
马建华
Scilab实现
用Scilab语言求解以上算例所示网络的最小费用流 Scilab语句：
clear tail=[1 1 2 2 3]; head=[2 3 3 4 4]; g=make_graph('g',1,4,tail,head); cost=[1 3 1 3 1]; max_cap=[2 1 2 4 2];
运筹学课件
山东财经大学
优化问题建模 求如图所示运输问题的最优解
网络分析
1
马建华
35
2
1
算例
8 6
-45 2 -20
3
9
9 9 12 13 7 14
50
3
-30 -30
9 16 5
4
40
山东财经大学
优化问题建模
马建华
模型
min 8 x11 6 x12 9 x13 9 x14 9 x 21 12x 22 13x 23 7 x 24 14x31 9 x32 16x33 5 x34 x11 x12 x13 x14 35 x x x x 50 22 23 24 21 x31 x32 x33 x34 40 x11 x 21 x31 45 s.t. x12 x 22 x32 20 x13 x 23 x33 30 x14 x 24 x34 30 x 0, i 1,2,3, j 1,2,3,4 ij
数学建模组合优化模型
详细描述
装箱问题可以分为完全装箱问题和近似装箱问题等类型。常见的求解方法包括贪婪算法、动态规划和 分支定界法等。
调度问题
总结词
调度问题是指在一系列限制条件下，为 一系列任务或作业安排执行顺序或时间 表，以最大化某些目标函数（如利润、 生产率等）的问题。
VS
详细描述
调度问题需要考虑的因素包括任务的优先 级、交货期、资源需求和工艺要求等。常 见的求解方法包括优先级规则、遗传算法 和模拟退火算法等。
解决方案集
多目标优化问题通常需要提 供一组解决方案，而不是单 一的最优解，这要求研究者 们开发新的方法来生成和评 估这些解决方案。
数据驱动的组合优化模型研究
01
数据驱动决策
02
数据预处理
随着大数据技术的不断发展，数据驱 动的组合优化模型成为研究热点。这 些模型能够从大量数据中学习规律， 并用于指导优化问题的求解。
问题概述
生产计划与调度优化是指在满足生产需求的前提下，合理 安排生产计划和调度，以提高生产效率、降低生产成本。
实际应用
生产计划与调度优化广泛应用于制造业、化工等领域。通过数 学建模和优化算法，可以提高生产线的运行效率、降低能耗、
减少生产成本。
解决方案
生产计划与调度优化的解决方案通常包括线性规划、整数规划 等。这些方法通过建立数学模型，对生产计划和调度进行优化
并行计算
利用高性能计算资源，将问题分解为多个子问题并行求解，以提高大规模问题的求解效 率。
多目标优化问题研究
多目标决策
多目标优化问题需要考虑多 个相互冲突的目标，如何权 衡这些目标并找到最优解是
一个挑战。
偏好信息
为了解决多目标优化问题， 需要了解决策者的偏好信息 ，如何准确获取和表达这些
装箱问题可以分为完全装箱问题和近似装箱问题等类型。常见的求解方法包括贪婪算法、动态规划和 分支定界法等。
调度问题
总结词
调度问题是指在一系列限制条件下，为 一系列任务或作业安排执行顺序或时间 表，以最大化某些目标函数（如利润、 生产率等）的问题。
VS
详细描述
调度问题需要考虑的因素包括任务的优先 级、交货期、资源需求和工艺要求等。常 见的求解方法包括优先级规则、遗传算法 和模拟退火算法等。
解决方案集
多目标优化问题通常需要提 供一组解决方案，而不是单 一的最优解，这要求研究者 们开发新的方法来生成和评 估这些解决方案。
数据驱动的组合优化模型研究
01
数据驱动决策
02
数据预处理
随着大数据技术的不断发展，数据驱 动的组合优化模型成为研究热点。这 些模型能够从大量数据中学习规律， 并用于指导优化问题的求解。
问题概述
生产计划与调度优化是指在满足生产需求的前提下，合理 安排生产计划和调度，以提高生产效率、降低生产成本。
实际应用
生产计划与调度优化广泛应用于制造业、化工等领域。通过数 学建模和优化算法，可以提高生产线的运行效率、降低能耗、
减少生产成本。
解决方案
生产计划与调度优化的解决方案通常包括线性规划、整数规划 等。这些方法通过建立数学模型，对生产计划和调度进行优化
并行计算
利用高性能计算资源，将问题分解为多个子问题并行求解，以提高大规模问题的求解效 率。
多目标优化问题研究
多目标决策
多目标优化问题需要考虑多 个相互冲突的目标，如何权 衡这些目标并找到最优解是
一个挑战。
偏好信息
为了解决多目标优化问题， 需要了解决策者的偏好信息 ，如何准确获取和表达这些
优化模型一：线性规划模型数学建模课件
题的求解过程。
混合整数线性规划问题求解
要点一
混合整数线性规划问题的复杂性
混合整数线性规划问题是指包含整数变量的线性规划问题 。由于整数变量的存在，混合整数线性规划问题的求解变 得更加困难，需要采用特殊的算法和技术来处理。
要点二
混合整数线性规划模型的求解方 法
为了解决混合整数线性规划问题，可以采用一些特殊的算 法和技术，如分支定界法、割平面法等。这些方法能够将 问题分解为多个子问题，并逐步逼近最优解，从而提高求 解效率。
目标函数的类型
常见的目标函数类型包括最小化、最大化等。
确定约束条件
约束条件
01
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为数学不等式
或等式。
确定约束条件的原则
02
根据问题的实际情况，选择能够反映问题约束条件的条件作为
约束条件。
约束条件的类型
03
常见的约束条件类型包括等式约束、不等式约束等。
线性规划模型的建立
也可以表示为
maximize (c^T x) subject to (A x geq b) and (x leq 0)。
线性规划的应用场景
生产计划
物流优化
在制造业中，线性规划可以用于优化生产 计划，确定最佳的生产组合和数量，以满 足市场需求并降低成本。
在物流和运输行业中，线性规划可以用于 优化运输路线、车辆调度和仓储管理，降 低运输成本和提高效率。
初始基本可行解
在线性规划问题中，一个解被称为基 本可行解，如果它满足所有的约束条 件。
在寻找初始基本可行解时，可以采用 一些启发式算法或随机搜索方法，以 快速找到一个可行的解作为起点。
初始基本可行解是线性规划问题的一 个起始点，通过迭代和优化，可以逐 渐逼近最优解。
混合整数线性规划问题求解
要点一
混合整数线性规划问题的复杂性
混合整数线性规划问题是指包含整数变量的线性规划问题 。由于整数变量的存在，混合整数线性规划问题的求解变 得更加困难，需要采用特殊的算法和技术来处理。
要点二
混合整数线性规划模型的求解方 法
为了解决混合整数线性规划问题，可以采用一些特殊的算 法和技术，如分支定界法、割平面法等。这些方法能够将 问题分解为多个子问题，并逐步逼近最优解，从而提高求 解效率。
目标函数的类型
常见的目标函数类型包括最小化、最大化等。
确定约束条件
约束条件
01
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为数学不等式
或等式。
确定约束条件的原则
02
根据问题的实际情况，选择能够反映问题约束条件的条件作为
约束条件。
约束条件的类型
03
常见的约束条件类型包括等式约束、不等式约束等。
线性规划模型的建立
也可以表示为
maximize (c^T x) subject to (A x geq b) and (x leq 0)。
线性规划的应用场景
生产计划
物流优化
在制造业中，线性规划可以用于优化生产 计划，确定最佳的生产组合和数量，以满 足市场需求并降低成本。
在物流和运输行业中，线性规划可以用于 优化运输路线、车辆调度和仓储管理，降 低运输成本和提高效率。
初始基本可行解
在线性规划问题中，一个解被称为基 本可行解，如果它满足所有的约束条 件。
在寻找初始基本可行解时，可以采用 一些启发式算法或随机搜索方法，以 快速找到一个可行的解作为起点。
初始基本可行解是线性规划问题的一 个起始点，通过迭代和优化，可以逐 渐逼近最优解。
数学建模中的优化模型
数学建模中的优化模型优化模型在数学建模中起着重要的作用。
通过优化模型，我们可以找到最优的解决方案，以满足不同的约束条件和目标函数。
本文将介绍优化模型的基本概念、常见的优化方法以及在实际问题中的应用。
让我们来了解一下什么是优化模型。
优化模型是指在给定的约束条件下，寻找使目标函数达到最大或最小的变量值的过程。
这个过程可以通过建立数学模型来描述，其中包括目标函数、约束条件以及变量的定义和范围。
在优化模型中，目标函数是我们希望最大化或最小化的指标。
它可以是一个经济指标，如利润最大化或成本最小化，也可以是一个物理指标，如能量最小化或距离最短化。
约束条件是对变量的限制，可以是等式约束或不等式约束。
变量则是我们需要优化的决策变量，可以是连续变量或离散变量。
常见的优化方法包括线性规划、非线性规划、整数规划和动态规划等。
线性规划是指目标函数和约束条件都是线性的优化模型。
它可以通过线性规划算法来求解，如单纯形法和内点法。
非线性规划是指目标函数和约束条件中包含非线性项的优化模型。
它的求解方法相对复杂，包括梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。
整数规划是指变量取值只能是整数的优化模型。
它的求解方法包括分支定界法和割平面法等。
动态规划是一种递推的优化方法，适用于具有最优子结构性质的问题。
优化模型在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在生产计划中，我们可以通过优化模型来确定最佳的生产数量和生产时间，以最大化利润或最小化成本。
在资源分配中，我们可以通过优化模型来确定最佳的资源分配方案，以最大化资源利用率或最小化资源浪费。
在交通调度中，我们可以通过优化模型来确定最短路径或最优路径，以最小化行驶时间或最大化交通效率。
优化模型还可以应用于金融投资、供应链管理、电力系统调度、网络优化等领域。
通过建立数学模型和选择合适的优化方法，我们可以在复杂的实际问题中找到最优的解决方案，提高效率和效益。
优化模型在数学建模中是非常重要的。
它通过建立数学模型和选择合适的优化方法，帮助我们找到最优的解决方案，以满足不同的约束条件和目标函数。
数学建模 - 第一章 组合优化模型与计算复杂性
概念的一种表达形式 . 可以建立完全不同的模型，分别反映该系统的不同
侧面；出于相同的研究目的，对于同一个对象系 模型不是研究对象本身，而是对研究对象的一种 统，也可能建立不同的模型，反映不同的研究角 抽象，它反映现实中对象系统的主要特征，但它又高 度、考察因素和价值取向 . 于现实，因而具有同类问题的共性 .
16
第一章
组合优化模型与计算复杂性
2、按模型的解的特征分类 解析模型与数值模型 3、按模型所用的数学方法分类 初等模型、微分方程模型、差分方程模型、优
化模型等
4、按模型研究的实际范畴分类
人口模型、生态系统模型 、交通流模型、经济
模型、 基因模型等 5、按对实际问题了解的程度分类 白箱模型、灰箱模型、黑箱模型
的本质属性，而且要舍弃事物的物质和能量方面的具
体内容，只考虑其数量关系和空间形式，同时还要把 这些数量关系和空间形式作进一步的抽象，加以形式 化和符号化，以便能够进行逻辑推理和数值运算 . 这种高度的抽象性，实质是对事物认识上的高度 概括和深化，对同类问题包含更多的经验和理解 .
13
§1 组合优化模型与算法 2、高度的精确性 数学方法的高度精确性表现在三个方面： 一是表达各种因素、变量和它们之间的关系相当 明确、清楚；二是逻辑推演和运算规则十分严密；三
s.t. x1 x4 x5 x6 x7 67 某商场根据客流量统计得出一周中每天所需要的
（线度）必须是偶数条 . 见图可知，与四个顶点相连的边都是奇数条，因 这是利用数学模型分析和解决问题的一个成功范例 的第一篇论文 而不可能存在通过每条边一次且仅一次的画法，即一
这是关于图论
笔画不存在 .
故七桥问题不可能有解 .
12
【经典】建模-组合优化模型-组合优化
1. 任选一节点为起点x 2. 寻找距离节点x最近的节点y作为下一个
造访的节点 3. 寻找距离节点y最近的节点z作为下一个
造访的节点 4. 重复以上步骤，直到所有节点均已造访 5. 连接最后一个节点与起点，即形成一个
TSP的可行解
14
最近邻点法
5 2
4
3
5
1
7
8
3
7
12345
4
1 －4 7 3 8
1
旅行推销员问题
Traveling Salesman Problem
2
哈密尔顿循环(Hamiltonian Cycle)
环游世界问题:
有个人想环游世界，他选出全世界的二十个著名城世,然后在地 图上开始他的作业。他打算规画出一条路线,使他可以依序地玩遍这 二十个城市。但问题是并不是任两个城市皆有飞机直航,而他又不愿 重复去同一个城市两次。这个问题转化为图论上便是所谓的哈密尔 顿循环(Hamilton Cycle)，于1857年爱尔兰数学家哈密尔顿(Sir William Hamilton)首次提出。 哈密尔顿循环(Hamilton Cycle)不一定存在
路线构建(route construction)
• 邻点法、节省法、插入法、扫瞄法….
路线改善(route improvement) 局部搜索算法 （local search）
• k-Opt交换法、Or-Opt交换法……
综合型(composite)
• 合并执行路线构建及路线改善
13
最近邻点法(Nearest-neighbor Heuristic)
18
2-opt交换法
5 2
4
4
3
5
1
造访的节点 3. 寻找距离节点y最近的节点z作为下一个
造访的节点 4. 重复以上步骤，直到所有节点均已造访 5. 连接最后一个节点与起点，即形成一个
TSP的可行解
14
最近邻点法
5 2
4
3
5
1
7
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3
7
12345
4
1 －4 7 3 8
1
旅行推销员问题
Traveling Salesman Problem
2
哈密尔顿循环(Hamiltonian Cycle)
环游世界问题:
有个人想环游世界，他选出全世界的二十个著名城世,然后在地 图上开始他的作业。他打算规画出一条路线,使他可以依序地玩遍这 二十个城市。但问题是并不是任两个城市皆有飞机直航,而他又不愿 重复去同一个城市两次。这个问题转化为图论上便是所谓的哈密尔 顿循环(Hamilton Cycle)，于1857年爱尔兰数学家哈密尔顿(Sir William Hamilton)首次提出。 哈密尔顿循环(Hamilton Cycle)不一定存在
路线构建(route construction)
• 邻点法、节省法、插入法、扫瞄法….
路线改善(route improvement) 局部搜索算法 （local search）
• k-Opt交换法、Or-Opt交换法……
综合型(composite)
• 合并执行路线构建及路线改善
13
最近邻点法(Nearest-neighbor Heuristic)
18
2-opt交换法
5 2
4
4
3
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1
数学建模优化模型
1、存贮模型
在商业活动中，需要批量订购商品。订购费用为 P c0 c1x 其中c0是批量订购的一次性费用，c1是商品单价。 批量越大，单位商品的费用越低。
商品购进后，有一个消化过程(销售或使用)。消化 不掉的需要存放，因此形成存贮费用。批量越大， 每天存贮费用越高。
生产活动有类似的情况。批量生产费用为 其中c0是批量生产的生产准备费用，c1是产品 单位成本。批量越大，单位产品的费用越低。 产品生产后，有一个消化过程(销售或使用)。 消化不掉的需要存放，因此形成存贮费用。 批量越大，每天存贮费用越高。 上述问题称为存贮问题。建立数学模型以确 定最佳订货周期和批量，是存贮问题所要解 决的问题。
模型分析
以森林失火造成的损失大小作为目标来优化救火人 数。损失包括两部分： 1、因扑火不及，烧掉林木而造成的损失； 2、因派出消防队员而产生的支出。 目标：总费用最少。 由于地形、风力等的不确定，需要简化问题。
模型假设：
1、0tt1, 过火面积B(t)的导数dB/dt 与 t成正比， 系数 (火势蔓延速度) 2、t1tt2, 降为-x (为队员的平均灭火速度) 3、过火损失与过火面积B(t2)成正比，系数c1 (烧毁 单位面积损失费) 4、每个队员的单位时间灭火费用c2, 一次性费用c3
0 0 0 0
1000 0.1 0.15 0.2
>4000 0.3 0.45 0.6
1 3
5
建模目的
选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立米 水的费用最低，并与淡化海水的费用比较。
冰 山 运 输
模型假设 • 航行过程中船速不变，总距离9600千米 • 冰山呈球形，球面各点融化速率相同
•到达目的地后，每立方米冰可融化0.85立方 米水
数学建模 四大模型总结
四类基本模型1 优化模型1.1 数学规划模型线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。
1.2 微分方程组模型阻滞增长模型、SARS 传播模型。
1.3 图论与网络优化问题最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。
1.4 概率模型决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov 链模型。
1.5 组合优化经典问题● 多维背包问题(MKP)背包问题：n 个物品，对物品i ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何将尽可能多的物品装入背包。
多维背包问题：n 个物品，对物品i ，价值为i p ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。
多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。
该问题属于NP 难问题。
● 二维指派问题(QAP)工作指派问题：n 个工作可以由n 个工人分别完成。
工人i 完成工作j 的时间为ij d 。
如何安排使总工作时间最小。
二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n 台机器要布置在n 个地方，机器i 与k 之间的物流量为ik f ，位置j 与l 之间的距离为jl d ，如何布置使费用最小。
二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。
● 旅行商问题(TSP)旅行商问题：有n 个城市，城市i 与j 之间的距离为ij d ，找一条经过n 个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。
● 车辆路径问题(VRP)车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n 个客户的位置坐标和货物需求，在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。
TSP 问题是VRP 问题的特例。
● 车间作业调度问题(JSP)车间调度问题：存在j 个工作和m 台机器，每个工作由一系列操作组成，操作的执行次序遵循严格的串行顺序，在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成，每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作，同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。
组合优化模型
（线度）必须是偶数条 .
这是见利图用可数知学，模与型四分个析顶和点解相决连问的题边的都这一是是个奇关成于数图功条论范，例因
的第一篇论文
而不可能存在通过每条边一次且仅一次的画法，即一
笔画不存在 . 故七桥问题不可能有解 .
11
第一章 组合优化模型
一、数学模型的特点 1、高度的抽象性
数学方法不仅要抛开事物的次要属性，突出事物 的本质属性，而且要舍弃事物的物质和能量方面的具 体内容，只考虑其数量关系和空间形式，同时还要把 这些数量关系和空间形式作进一步的抽象，加以形式 化和符号化，以便能够进行逻辑推理和数值运算 .
特别适合于揭示事物的量的规定性，成为定量研 究的有力工具 .
13
第一章 组合优化模型
3、应用的普适性 数学方法的高度抽象和精确，使之比任何一种科
学方法的应用范围都更为广泛 . 只存在尚未运用数学方法的领域而不存在不能运
变化在时间上的持
状态表和现形过态程是相对的 .
续和空间上的延伸
3
第一章 组合优化模型
从认识论上看，模型是作为认识与实践活动的中介 . 模型既是认识的表达，又是实践活动的先导 .
模型参与认识世界和改造世界的不断的循环往复 过程，既是认识不断深化的体现，又是实践活动不断 拓展的体现 .
概念化 认识（信息） 用信息载体表达
第一章 模 型
§1 关于模型 §2 数学模型 §3 组合优化模型
1
第一章 组合优化模型
§1 关于模型
一、模型的概念
模由型于（研m究o目de的l ）的是不所同研，究对的于系同统一、个过对程象、系事统物，或 概可念以的建一立种完表全达不形同式的模. 型，分别反映该系统的不同 侧面模；型出不于是相同研的究研对究象目本的身，，对而于是同对一研个究对对象象系的一种 抽统，象也，可它能反建映立现不实同中的对模象型系，统反的映主不要同特的征研，究但角它又高 于度现、实考，察因因而素具和有价同值类取问向题. 的共性 .
数学建模之优化模型
自底向上求解
从最小规模的子问题开始，逐步求解更大规模的子问 题，最终得到原问题的最优解。
自顶向下求解
从原问题开始，将其分解为子问题，通过迭代求解子 问题，最终得到原问题的最优解。
状态转移方程
通过状态转移方程描述子问题之间的关系，从而求解 子问题和原问题。
动态规划模型的应用实例
最短路径问题
如Floyd-Warshall算法，通过动 态规划求解所有节点对之间的最 短路径。
遗传算法
03
模拟生物进化过程的自然选择和遗传机制，通过种群迭代优化
，找到最优解。
整数规划模型的应用实例
生产计划问题
通过整数规划模型优化生产计划，提高生产效 率、降低成本。
投资组合优化
通过整数规划模型优化投资组合，实现风险和 收益的平衡。
资源分配问题
通过整数规划模型优化资源分配，提高资源利用效率。
THANKS
需要进行调整和改进。
02
CATALOGUE
线性规划模型
线性规划模型的定义与特点
线性规划模型是数学优化模型的 一种，主要用于解决具有线性约 束和线性目标函数的优化问题。
线性规划模型的特点是目标函数 和约束条件都是线性函数，形式
简单且易于处理。
线性规划模型广泛应用于生产计 划、资源分配、投资决策等领域
背包问题
如0-1背包问题、完全背包问题和 多重背包问题等，通过动态规划 求解在给定容量的限制下使得总 价值最大的物品组合。
排班问题
如工作调度问题，通过动态规划 求解满足工作需求和工人技能要 求的最优排班方案。
05
CATALOGUE
整数规划模型
整数规划模型的定义与特点
定义
整数规划是一种特殊的线性规划，要求决策变量取整数值。
从最小规模的子问题开始，逐步求解更大规模的子问 题，最终得到原问题的最优解。
自顶向下求解
从原问题开始，将其分解为子问题，通过迭代求解子 问题，最终得到原问题的最优解。
状态转移方程
通过状态转移方程描述子问题之间的关系，从而求解 子问题和原问题。
动态规划模型的应用实例
最短路径问题
如Floyd-Warshall算法，通过动 态规划求解所有节点对之间的最 短路径。
遗传算法
03
模拟生物进化过程的自然选择和遗传机制，通过种群迭代优化
，找到最优解。
整数规划模型的应用实例
生产计划问题
通过整数规划模型优化生产计划，提高生产效 率、降低成本。
投资组合优化
通过整数规划模型优化投资组合，实现风险和 收益的平衡。
资源分配问题
通过整数规划模型优化资源分配，提高资源利用效率。
THANKS
需要进行调整和改进。
02
CATALOGUE
线性规划模型
线性规划模型的定义与特点
线性规划模型是数学优化模型的 一种，主要用于解决具有线性约 束和线性目标函数的优化问题。
线性规划模型的特点是目标函数 和约束条件都是线性函数，形式
简单且易于处理。
线性规划模型广泛应用于生产计 划、资源分配、投资决策等领域
背包问题
如0-1背包问题、完全背包问题和 多重背包问题等，通过动态规划 求解在给定容量的限制下使得总 价值最大的物品组合。
排班问题
如工作调度问题，通过动态规划 求解满足工作需求和工人技能要 求的最优排班方案。
05
CATALOGUE
整数规划模型
整数规划模型的定义与特点
定义
整数规划是一种特殊的线性规划，要求决策变量取整数值。
数学建模——组合优化问题及算法
-16-
启发式算法的类型
1.一步算法（构造型算法） 2.改进型算法 3.数学规划算法
4.解空间松弛算法
5.现代化优化算法
禁 忌 搜 索 （ tabu search), 模 拟 退 火 （ simulated annealing),遗传算法（genetic algorithms),人工神 经网络(neural networks),蚂蚁算法(ant algorithm).
-10-
启发式算法
局部最优与全局最优
若s*满足
f(s*)()f(s),其中sN(s*)F, 则称s*为f在F上的局部(local)最小（最大）解。 若s*满足 f(s*)()f(s),其中sF, 则称 s* 为 f 在 F 上的全局 (global) 最小（最大） 解。
-11-
启发式算法
min f ( x ) s.t. g ( x ) 0 xD
其中D表示有限个点组成的集合。
-2-
一些例子
1. 0-1背包问题 设有一个容积为b的背包，n个体积分别为
ai(i=1,2,…,n), 价值分别为ci (i=1,2,…,n) 的物品，如 何以最大的价值装包？
max c i x i
i 1 n n
-18-
模拟退火算法
模拟退火算法的思路：从选定的初始解开
始，在借助于控制参数t递减时产生的一系列 Markov链中，利用一个新解产生方案和接受 准则，重复进行包括“产生新解-计算目标函 数差-判断是否接受新解-接受（或舍弃）新 解”这四个任务的试验，不断对当前解迭代， 使目标函数逼近最优。
-19-
d x
i 1 i
k 1
i
d k b ，则x =1;否则x =0,k:=k+1; k k
数学建模之优化模型
数学建模之优化模型在我们的日常生活和工作中，优化问题无处不在。
从如何规划一条最短的送货路线，到如何安排生产以最小化成本并最大化利润，从如何分配资源以满足不同的需求，到如何设计一个系统以达到最佳的性能，这些都涉及到优化的概念。
而数学建模中的优化模型，就是帮助我们解决这些复杂问题的有力工具。
优化模型，简单来说，就是在一定的约束条件下，寻求一个最优的解决方案。
这个最优解可以是最大值，比如利润的最大化；也可以是最小值，比如成本的最小化；或者是满足特定目标的最佳组合。
为了更好地理解优化模型，让我们先来看一个简单的例子。
假设你有一家小工厂，生产两种产品 A 和 B。
生产一个 A 产品需要 2 小时的加工时间和 1 个单位的原材料，生产一个 B 产品需要 3 小时的加工时间和 2 个单位的原材料。
每天你的工厂有 10 小时的加工时间和 8 个单位的原材料可用。
A 产品每个能带来 5 元的利润，B 产品每个能带来 8 元的利润。
那么，为了使每天的利润最大化，你应该分别生产多少个A 产品和 B 产品呢？这就是一个典型的优化问题。
我们可以用数学语言来描述它。
设生产 A 产品的数量为 x，生产 B 产品的数量为 y。
那么我们的目标就是最大化利润函数 P ＝ 5x ＋ 8y。
同时，我们有加工时间的约束条件 2x ＋3y ≤ 10，原材料的约束条件 x ＋2y ≤ 8，以及 x 和 y 都必须是非负整数的约束条件。
接下来，我们就可以使用各种优化方法来求解这个模型。
常见的优化方法有线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划等等。
对于上面这个简单的例子，我们可以使用线性规划的方法来求解。
线性规划是一种用于求解线性目标函数在线性约束条件下的最优解的方法。
通过将约束条件转化为等式，并引入松弛变量，我们可以将问题转化为一个标准的线性规划形式。
然后，使用单纯形法或者图解法等方法，就可以求出最优解。
在这个例子中，通过求解线性规划问题，我们可以得到最优的生产方案是生产 2 个 A 产品和 2 个 B 产品，此时的最大利润为 26 元。
数学建模之优化模型PPT课件
（二）优化模型的分类
1.根据是否存在约束条件 有约束问题和无约束问题。
2.根据设计变量的性质 静态问题和动态问题。
3.根据目标函数和约束条件表达式的性质 线性规划，非线性规划，二次规划，多目标规划等。
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（1）非线性规划
目标函数和约束条件中，至少有一个非线性函数。
minu f (x) x
配件厂为装配线生产若干种部件，轮换生 产不同的部件时因更换设备要付生产准备费 （与生产数量无关），同一部件的产量大于需 求时因积压资金、占用仓库要付存贮费。今已 知某一部件的日需求量100件，生产准备费5000 元，存贮费每日每件1元。如果生产能力远大于 需求，并且不允许出现缺货，试安排该产品的 生产计划，即多少天生产一次（称为生产周 期），每次产量多少，可使总费用最小。
由相对变化量衡量对参数的敏感程度。
T 对c1 的敏感程度记为 S(T, c1) 2
S(T , c1)
T c1
T c1
dT d c1
c1 T
1 2
c2r c1 1 2c1 T 2
c2r
1
1
S (T , c2 ) 2
S(T , r) 2
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S (T , c1)
1 2
S
(T
,
一 优化模型的一般意义
（一）优化模型的数学描述
将一个优化问题用数学式子来描述，即求函数
u f ( x) x (x1, x2, x3,...,xn ) 在约束条件 hi (x) 0,i 1,2,...,m.
和 gi (x) 0(gi (x) 0),i 1,2,...,p.
下的最大值或最小值，其中
工厂定期订购原料，存入仓库供生产之用； 车间一次加工出一批零件，供装配线每天生产之用； 商店成批购进各种商品，放在货柜里以备零售； 水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和发电。
第1讲优化模型介绍
优化模型求解
无约束规划
fminsearch fminbnd
线性规划
linprog
非线性规划
fmincon
多目标规划（计算有效解）
目标加权、效用函数
动态规划（倒向、正向） 整数规划（分支定界法、枚举法、LINDO）
祝大家在竞赛中取 得好成绩！
X2
X3
250.000000
75.000000
0.000000
0.000000 DUAL PRICES
ROW SLACK OR SURPLUS 2) 3) 0.000000 0.000000 1.050000 0.625000
4)
0.000000
0.300000
LINDO使用说明
(1) 模型中出现的关键词只能是 MAX ( 或 MIN )， ST (或 SUBJECT TO )和 END。关键词 中不能含有空格。 MAX ( 或 MIN )， ST ( 或 SUBJECT TO )的右面至少要有一个空格，关键 词中字符大写和小写都合法的。 (2) 变量名不超过 8 个字符，其中第一个字符 必须定字母，其余的可以是字母或数字。这样就 可以藉助变量表示变量的实际含义。例如有10种 燃料，可以分别记为FUEL01，…，FUEL10等。
按照以上规定，学生在选课的时候肯定就要 问自己：“为了达到学校的要求,我这学期最 少应该选几门课?应该选哪几门课?” 下面我们利用线性规划来解决以上问题.
2 建立模型
xi=1表示该课程被选修， xi=0表示该课程被 拒绝；选修课程i时必须同时选修j课程，则可以用 xj>= xi 表示；用变量 y1 y2 分别表示选修的限选课、任选课的学分数，y表示总的学分数(包括2个必修学分)。
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⑥ 图论图 —— 包括图论所定义的无向图 G(V， 它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规 铁路站场配置图 etcE . )、 有向图 G(V，A)、加权有(无)向图G(V，A(E)，w). 律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最 优策略或较好策略 . 4、数学模型 数学模型是指运用数学符号和公式来表达、研究 对象系统的结构或过程的模型 .
13
§2 数学模型 2、高度的精确性 数学方法的高度精确性表现在三个方面： 一是表达各种因素、变量和它们之间的关系相当 明确、清楚；二是逻辑推演和运算规则十分严密；三
是结论非常确定 .
数学方法可以处理多变量、关系复杂的问题，可 在有意义的范围内获得令人满意的计算精度 . 特别适合于揭示事物的量的规定性，成为定量研 究的有力工具 .
清（目的、条件、类型 etc.）. 的性质，着手收集数据 ；
首先，要对该问题进
行全面的、深入细微的调查和研究. 明确所解决问题
18
第一章
组合优化模型
但也不能忽略实质 1、简化问题
2、合理假设
2、限定适用范围 相关的因素
现实问题错综复杂，涉及面非常之广. 一个数学 模型面面俱到、无所不包地反映一个现实是不可能
流，数学模型易变动，便于修改和改变计算关系，分
析和求解问题速度快，求解成本低 .
15
§2 数学模型 二、数学模型分类 数学模型分类的方法很多，如： 1、按所研究问题的性质分类 ⑴ 静态模型与动态模型 ⑵ 确定型模型与随机型模型 ⑶ 连续模型与离散模型 ⑷ 线性模型与非线性模型 ⑸ 宏观模型与微观模型
概念化 用信息载体表达
认识（信息）
现实世界
产品和服务
模型 实践活动
决策（行动方案）
5
模型化过程示意图
§1 关于模型 从信息论上看，模型和认识之间存在密切的反馈
关系 . 从已知信息可以通过模型加工产生出新的信
息，相关信息的积累可以从量变产生质变，形成新的 概念，促使认识深化 . 因此，模型的建立和完善不仅要注重对系统物质
组合优化理论
Combinatorial Optimization Theory
第一章 组合优化模型
1
第一章
组合优化模型
§1 关于模型 §2 数学模型 §3 组合优化模型
2
第一章
组合优化模型
§1 关于模型
一、模型的概念 模型（ model ）是所研究的系统、过程、事物或 由于研究目的的不同，对于同一个对象系统， 概念的一种表达形式 . 可以建立完全不同的模型，分别反映该系统的不同 侧面；出于相同的研究目的，对于同一个对象系 模型不是研究对象本身，而是对研究对象的一种
x j 0,1,...,106, j 1,...,7
天，求总人数最少的营业员排班方案 .
是有限集
可行解集 Solution : 设 xj 为从周 j 开始连续工作 5 天的营业员
人数，j = 1,…,7 (其中 x7 为周日开始连续工作 5 天的 营业员数)，则
24
第一章
组合优化模型
Example 3
旅行商问题
（Traveling Salesman Problem）
TSP :
进行商品销售，已知：vi v j 的距离为 wij.( i j ,
有一位旅行售货员，欲到城市 v1，v2,…，vn
19
§2 数学模型
3、建立模型
建模时，要分清问题的类型恰当使用数学工具；
抓住问题的本质简化变量之间的关系 . 用什么样的方法建立数学模型，没有绝对的标
准；数学模型的形式可以是多种多样，数学公式、表 格、图形、算法 .
模型的优劣在于是否采用了恰当的方法，合理地
描述了实际问题，而不在于是否用到了高深的数学工 具. 数学建模是一个过程 .
A
C
显然，解决该问题时， 两岸和岛的大小、形状以及 桥的长短曲直都无关，重要 的是什么？ 对问题进行数学抽象：
B D
把两岸和两岛都看做顶点，将连接这些顶点的桥 当作边，于是得到一无向图 . 则七桥问题就成为无向图中是否存在通过每一边
每块陆地间有 几座桥
一次且仅一次的路（即一笔画）问题 .
11
§2 数学模型 Euler 在他的论文中证明 ： 问题原型 数学抽象 一个图中存在一笔画的 充要条件是同时满足： 有无解？ 1、图是连通的； 无 解
§2 数学模型
6、模型检验
将求解结果和分析结果翻译回到实际问题之中， 与实际现象、实际数据进行比较，检验是否与实际吻 合 . 如果吻合较好，则模型及其结果可以应用于实际 问题；如果吻合不好，则需要对模型进行修正 . 7、改进模型
吻合不好，问题常常出现在模型假设上 . 可能由 于假设了过于苛刻的条件，或者忽略了一些不该忽略 的因素. 所以, 要对实际问题中的主次因素再次分析, 对模型进行修改、补充、完善 . 需要多次反复才能达 到比较满意的程度 。 22
形态和能量形态的认识、把握和描述，而且也依赖于
对系统相关信息不断的采集、积累和加工，这就是用
模型研究问题的现实活动 .
6
第一章
组合优化模型
三、模型的分类
1、原样模型
原样模型是在工程开发末期建立的一种具象实 体，是具有实物形态的模型 . 它与目的工程在结构和过程方面基本相同 . 原样模型经过试验改进和完善后便是所要开发 的目的工程 . 新产品的样机、新著作的原稿 …
组合优化模型
关系 数学模型是用数学的语言、方法去近似地刻画实际 ④ 逻辑图 —— 一种可以反映因素或对象间逻辑关系 ,
是由数字、字母或其他数学符号组成的，描述现实对 的图形； 如：程序流程图、 称为严格图 ⑤ 工程图 —— 一种可以反映物体确定的结构和顺序 象数量规律的数学公式、图形或算法 .
控 （有严格确定的结构 关系的图形； 形式和规范） 是对现实对象本质属性的抽象而又简洁的刻画， 制关系图 etc. 如：建筑工程图、
这是关于图论
笔画不存在 .
故七桥问题不可能有解 .
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第一章
组合优化模型
一、数学模型的特点 1、高度的抽象性 数学方法不仅要抛开事物的次要属性，突出事物
的本质属性，而且要舍弃事物的物质和能量方面的具
体内容，只考虑其数量关系和空间形式，同时还要把 这些数量关系和空间形式作进一步的抽象，加以形式 化和符号化，以便能够进行逻辑推理和数值运算 . 这种高度的抽象性，实质是对事物认识上的高度 概括和深化，对同类问题包含更多的经验和理解 .
23
§3 组合优化模型 min z xj
Example 2 营业员配置问题 s.t. x1 x4 x5 x6 x7 67 x1 x2 x5 x6 x7 72 某商场根据客流量统计得出一周中每天所需要的
j 1
7
营业员数如表：
时间 所需营业员数 周一 67 周二 72
7
§1 关于模型 2、相似模型 系统分析和设计人员常常借助于这些图形模型来 开发、构建一个新系统的想象力和创造力，逐步引申 相似模型是根据不同系统间的相似规律（包括几
出与之有关的问题和需要进一步探索的问题，使所要 何相似、逻辑相似和过程相似等）而建立的用于研究
开发的系统变得越来越清晰、越来越具体 . 的模型 .
时刻所处的状况或 表现形态 状态和过程是相对的 . 变化在时间上的持 续和空间上的延伸
4
第一章
组合优化模型
从认识论上看，模型是作为认识与实践活动的中介 . 模型既是认识的表达，又是实践活动的先导 . 模型参与认识世界和改造世界的不断的循环往复 过程，既是认识不断深化的体现，又是实践活动不断 拓展的体现 .
称为不严格图 地球仪、船体放 3、图形模型 样 （没有严格的规范） 模型、飞机风洞实验 图形模型可以表达非常丰富的内容，主要有： 模
拟模型等等 ① 图画 —— 一种可以示形的图形； ② 草图 —— 一种可以示意的图形； ③ 框图 —— 一种可以表示系统的部分之间或部分
与整体之间联系的图形；
8
第一章
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第一章
组合优化模型
2、按模型的解的特征分类 解析模型与数值模型 3、按模型所用的数学方法分类 初等模型、微分方程模型、差分方程模型、优
化模型等
4、按模型研究的实际范畴分类
人口模型、生态系统模型 、交通流模型、经济
模型、 基因模型等 5、按对实际问题了解的程度分类 白箱模型、灰箱模型、黑箱模型
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翻译回去
七桥问题 A
C
数学模型 一笔画问题 D
逻辑推理
B 无 解
(与图中每一顶点（可能有两点例外）相连的边 一次过七座桥不可能) (一笔画不可能) 2、
（线度）必须是偶数条 . 见图可知，与四个顶点相连的边都是奇数条，因 这是利用数学模型分析和解决问题的一个成功范例 的第一篇论文 而不可能存在通过每条边一次且仅一次的画法，即一
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§2 数学模型
Example 1 七桥问题
该问题由Euler在 1736年解决
18世纪的德国有个哥尼斯堡城，在流贯全城的普
雷尔河两岸和河中两个岛之间架设了七座桥，把河的
两岸和两岛连接起来，能否有这样一种走法，它通过 每座桥一次且仅一次 . Solution :
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第一章
组合优化模型
§2 数学模型
三、数学建模的基本步骤
合理地、有目的地
注意精度 数学模型因问题不同而异，对同一问题，从不同 角度、不同要求出发，甚至问题的解表示结构不同， 都可以建立不同的数学模型. 建立数学模型也没有固 定的方法、标准 . 不同的实际问题，建模模式千差万 别. 在此介绍通常的几个步骤：
1、明确问题 数学建模问题直接来源各领域实际，往往含糊不
第一章