工程电磁场 第1章静电场

a) 点电荷产生的电场强度
Ep(r )
F qt

q
4 0r 2
er
V/m
图1.1.2 点电荷的电场
F
q r r'
Ep( r ) qt 4 0 r r' 2 r r'

q(
4
r
0
r' ) r r'
3

q
4 0 R2
eR
V/m
b) n个点电荷产生的电场强度 (注意:矢量叠加)
E( r ) 1
4 0
N k 1
r
qk rk'
2

r r
rk' rk'
1
4 0
N k 1
qk Rk 2
ek
V/m
c) 连续分布电荷产生的电场强度
dE( r ) 1
4 0
r r' r r' 3
dq(
r'
)
体电荷分布 dq ( r' )dV'
图1.1.3 体电荷的电场
用冲击函数 表示点电荷的密度分布。
( x, y,z ) ( r ) 0
当r 0
当r 0
图1.1.5 单位点电荷的密度分布
( x, y, z )dV' ( r )dV' 1
V'
V'
( 积分区域 V' 包含r 0点)
点电荷的密度 ( r ) q( r )
E Exex Eyey Ezez
积分是对源点 (x', y', z') 进行的,计算结果是场点(x, y, z) 的函数。
点电荷的数学模型 点电荷是电荷体分布的极限情况,可以把它看成是一个体积很小,电荷密度
很大，总电量不变的带电小球体。
当 a 0 时，电荷密度趋近于无穷大，通常
ຫໍສະໝຸດ Baidu
dEy
y dE x2 y2
Ex
L2 L1
4
o(

x2

y2
)

Ey
L2 L1
4
o(

x2

y2
)

x

dx
(
x2 y2
4 o
y dx (
x2 y2
4 o
1 L22 y2
L2

L22 y2
1) L12 y2
L1
)
L12 y2
适用条件
两个可视为点电荷的带电体之间相互作用力;

无限大真空情况
(式中
0
109
36
8.85 1012 F/m)
可推广到无限大各向同性均匀介质中(0 )
当真空中引入第三个点电荷 q3 时，试问 q1 与 q2 相互间的作用力
改变吗? 为什么？
结论：电场力符合矢量叠加原理
4 0 l'
R2
eR
例1.1.1 真空中有长为L的均匀带电直导线 , 电荷线密度为 ,
试求P 点的电场.
解: 采用直角坐标系, 令y轴经过场点p,导线与x轴重合。
dx dE( x, y ) 4 o( x2 y2 )
dEx
x dE x2 y2
图1.1.4 带电长直导线的电场
1.1 电场强度
1.1.1 库仑定律
库仑定律是静电现象的基本实验定律。大量试验表明: 真空中两个静止的
点电荷 q与1 q之2 间的相互作用力:
F21

q1q2
4 0

e12 R2
F12

q1q2
4 0

e21 R2
N( 牛顿) N( 牛顿)
F21 F12
图1.1.1 两点电荷间的作用力
面电荷分布
E( r ) 1
4 0
r r' V' r r' 3 dq
1
4 0
( r' )dv'
v'
R2
eR
线电荷分布
dq (r')ds'
E( r ) 1
4 0
s'

(
r' )ds' R2
eR
dq (r')dl'
1 ( r' )dl'
E( r )
1.1.2 静电场基本物理量——电场强度
定义：
lim F ( x, y, z )
E( x, y,z )
qt 0
qt
V/m (N/C)
电场强度（Electric Field Intensity ) E 表示单位正电荷在电场中所受到
的力(F ), 它是空间坐标的矢量函数, 定义式给出了E 的大小、方向与单位。
第一章 静电场
第一章 静 电 场
静电场： 相对观察者静止且量值不随时间变化的电荷所产生的电场。
本章任务： 阐述静电荷与电场之间的关系，在已知电荷或电位的情况下求解
电场的各种计算方法，或者反之。
静电场知识结构框图
静电场是本课程的基础。由此建立的物理概念、分析方法在一 定条件下可类比推广到恒定电场,恒定磁场及时变场。
当L L1 L2 时,
E p ( y ) Eyey Exex 2 0 y e y
E( , , z ) E e E e Ezez
2 0 e
(直角坐标) ( 圆柱坐标)
无限长直均匀带电导线产生的电场为平行平面场。
电场强度 E( x, y,z )的矢量积分一般先转化为标量积分, 然后再合成,即
E 0
表明 静电场是一个无旋场。 2. 静电场的环路定律
由斯托克斯定理，得
l E dl s( E ) ds 0
在静电场中,电场强度沿着闭合回路的环量恒等于零。 电场力作功与路径无关,静电场是保守场。
E 0
E dl 0 二者等价。 l
无旋场一定是保守场，保守场一定是无旋场。
3 . 电位函数
1) 电位的引出
E 0, 根据矢量恒等式 0 E
在静电场中可通过求解电位函数(Potential)（标量）， 再利用上式可方 便地求得电场强度E 。式中负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。

1 r r'
3
( r r'
)
1 r r'
3
( r r'
)
直接微分得
( r r' ) 0
1
r r'
r r' 3 (r r') 3 r r' 5 (r r' ) 0
故
E( r ) 0
电场强度E 的旋度等于零
可以证明，上述结论适用于点电荷群和连续分布电荷产生的电场。 即任一分布形式的静电荷产生的电场的旋度恒等于零，即
1.2 静电场环路定理和高斯定律
1.2.1 静电场环路定理
1. 静电场旋度 点 电 荷
q r r'
E( r ) 4 0 r r' 3
E( r
)
q
4 0

r r' r r' 3
矢量恒等式 CF C F C F

r r' r r' 3